analisis struktur dengan cara matriks

63
'49

Upload: h4nk02

Post on 03-Jan-2016

1.132 views

Category:

Documents


109 download

DESCRIPTION

Buku Struktur dengan cara matriks

TRANSCRIPT

Page 1: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

'49

Page 2: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

c72,91),lus

.L

Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Susastrawan M.Sc.

=.

Penerbit ANDI OFFSET Yogyakarta|!

Page 3: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Stmktur Dengan CaraOleh: Susastrawan M. Sc.

Hah Cipta @ 1991, pada penulis,DiLarang mernperbanyah sebagian atau seruruh isi buhu ini daram bentukappun, tanp izin tcrtulis dari penutis.

Edisi Pertama,Cetahan Pertama, lggl

Penerbit:ANDIOFFSETJl. Beo 3&40, Telp. 61881,88282Yogyaharta 5i281

Percetahan:

ANDI OFFSETJl. Beo 3&40, Telp. 61881,88282Yogyoharta 55281

Pusat Penjualan :

- Unit Kanuas ANDI OFFSETJl. Bu ,10, Telp. 61881, 88292Yogyaharta 552ts1

- Sleff & PartnersJl. GrunVille BlahBG No. 28 TeIp. 5604289Jaharto Borat

MILIKPERPL.sT^KN*N DAERAH

J,\WA TTMUR

Kata Pengantar

I(ATAPENGANITAR

Perkembangan teknologi elektronika khususnya teknologikomputer begitu pesatnya, sehingga boleh dikata setiap kegi-atan diberbagai bidang tidak bisa lepas dengan penggunaankomputer. Demikian pula didunia teknik sipil penggunaanperalatan komputer untuk menganalisa berbagai bentuk struk-tur merupakan kebutuhan yang sulit untuk ditinggalkan.

Cara konvensional untuk menganalisa berbagai bentukstruktur baik Rangka atau Portal telah cukup banyak dikenal,misalnya metode Takabeya, Kani, Hardy Cross, Clapeyron dansebagainya. Metode-metode tersebut diatas, rumus-rumus dansifat hitungannya sangat sulit berinteraksi dengan sifathitungan program komputer. Untuk mengatasi hal itu terdapatsuatu metode untuk menganalisa struktur dengan bantuan alja-bar matrix. Dengan penggunaan aljabar matrix maka akan sa-ngat mudah berinteraksi dengan peralatan komputer.

Oleh karena itu buku ini pada Bab I menyajikan dasarhitungan aljabar matrix secara garis besar (untuk lebihrincinya dianjurkan mempelajari aljabar matrix pada aljabarlinear). Pada Bab II menerangkan analisa struktur denganmetode displesemen, sedang Bab III menyajikan program kompu-ter dengan Fortran yang dapat dipakai untuk menghitung baikRangka ("Truss") maupun Portal (nFrame"), beserta penjelasandan cara penggunaannya.

ilt

Page 4: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

- Penulis sangat berterima kasih kepadatelah memberikan bantuan sehingga dapatini. Saran dan kritik selalu kami harapkanbuku ini pada edisi berikutnya.

semua pihak yangtersusunnya buku

demi kesempurnaan

Penulis

(Ir. Susastrawan, MS)

Dattar lsi

DAFTAR, ISI

KATA PENGANTARDAFTAR ISIBAB I ALJABAR MATRIKS

1.1. Pendahuluan1.2. Tlpe Matriks

1.2.1. Matriks Baris1.2.2. Matriks Kolom1.2.3. Matriks Bujur Sangkar1.2.4. Matriks Simetri1.2.5. Matriks Diagonal1.2.6. Matriks Satuan1.2.7. Band Matrix

1.3. Operasi Aljabar Matriks1.3.1. Penambahan dan Pengurangan Matriks1.3.2. Perkalian Matriks Dengan Sebuah Bilangan1.3.3. Perkalian Matriks Dengan Matriks1.3.4. Transpose Matriks1.3.5. Invers Matrix

BAB II2.1.g9

2.3.

ANALISIS STRUKTURDeformasi AksialDeformasi Lentur

2.3.1. Persamaan Dasar2.3.2. Matriks Transformasi

2.4. Portal Bidang ("Frame Struktures")2.4.1. Batang Yang Mengalami Deformasi Aksial2.4.2. Batang Yang Mengalami Deformasi Lentur

Rangka Batang Bidang ("Truss Element")

lllv1

1

1

1

222233334467II

2239394053ilu

Page 5: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

2.4.3. BatangYang mengalami Deformasi Aksial danLentur (Portal) il

2.4.4. Matriks Transformasi ..............2.4.5. ElementActions2.4.6. Fixed end Forces2.4.7. Prosedur Hitungan ................

BAB III PROGRAM KOMPUTER ................3.1. Penjelasan Program Komputer3.2. Penyusunan Input Data ..........

BAB IV APLIKASI PROGRAM KOMPUTER ................4.1. Konstruksi Portal Bidang4.2. Konstruksi Rangka Bidang4.3. Struktur Denga.n Kondisi Pembebanan Lebih Dari Satu ...

DAFTAR PUSTAKA

5558606181

Aliabar Matriks

BAB IALIABARMATRIKS

1.1 Pendahuluan

Dengan adanya kemajuan yang cukup pesat dalam bidang elektronika,

khususnya bidang Komputer, maka proses hitungan dalam berbagai bidang

ilmu pengetahuan banyak menggunakan cara aljabar matriks. Yang disebut

matriks dalam hal ini adalah suatu rangkaian unsur yang disusun dalam baris

<ian kolom. Bila susunan itu terdiri atas m baris dan n kolom, disebut matriks

m x n. Bila m dan n sama besar, disebut matriks buj ur sangkar ("Square matrix')secara umum suatu matriks m x n dapat ditulis sebagai berikut:

96103105105107110LL?

tAl3zt

?at

?tZ ?ts ..'. Orn

?zz ozl ..' . ?zn

dlz 0lg . .. . 8sn (1.i)

diTp ?mz ?me '...3mn

Suatu unsur matriks dengan simbol all berarti unsur tersebut berada pada baris

idan kolom j.

1.2 Type ttlatriks

1.2.1 lhtriks Baris

Suatu matriks yang hanya terdiri atas satu baris disebut matriks baris

Page 6: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

("row matrix '1. Cara penulisan biasanya digunakan sepasang kurung kait,sebagai contoh :

tAl= [ a, e2 o3 7 ttt

1.2.2 Matriks Kolom

Suatu matriks yang hanya terdiri atas satu kolom disebut matriks kolom("Column matrix") Cara penulisan pada umumnya seperti nampak pada contohsebagai berikut :

[^]

1.2.4 tulatriks Simari

Matriks simetri adalah matriks bujur sangkar bila unsur-unsurnya terhadap

O1

d2

33

1.23 tulatriks Eujur Sangkar

Matriks m x n dikatakan matriks bujur sangkar apabila m = n.

contoh: I A] = [.

, ult10 2 3lL,u , ul

diagonal simetri, misal :

tAl= [-o lI

lt 2I

L.31.2.5 fulatriks Diagonal

:lMatriks diagonal adalah suatu matriks dengan unsur-unsurnya nol kecuali

unsur-unsur diagonalnya.

Analisis Struktur Denqan Cara Matriks Alrb.r Metriks

tAl(1.6)

I 2.6 lvlatriks 9tuan

Matriks satuan adalah matriks diagonal dengan semua unsur diagonalnyalrrrr nilai satu.

f4 o ollo 2 o I

L. o ,-]

tt1= 1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1.2.7 "Band lVlatrix"

"Band matrix" ialah suatu matriks bujur sangkar dengan unsur-unsur

rli dekat diagonalnya tidak

Contoh: I A ]

sama dengan nol.

(1.7 )

(1.8)(1.4)

0.5t

532131057003001000

0

1

6

4

7

6

0

0

2

2

8

I

0

0

0

1

6

I

1.3 Operasi Aliabar l{latriks

1.3.1 Penambahan dan fungurangan bbtriks

Proses penambahan dan penguran{Fn matriks hanya dapat berlangsung

bila ukuran matriks tersebut.sama besar., Peniumlahan/pengurangan dua matriks

riilakukan dengan menambahkan/mengurangi unsur-unsur matriks yang sesuai.

c'n 'h [; :]

.[i :] L: I

Page 7: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

tBt =f-u,, b,,l A=.TxIIo" o"| \q:,-.1 ,.-rL ot' o"-l \-r

= [r,t

?rz a,]l [-0,,

o,rl 3 ]+ '{

Lr,, ?zz a,jl | 0,, 0,, | ?K q ? .)"

[-0., o.r-] L.,,..,,=.:.r*:J=

[.trbrr*srzbzr+drrb:r orrbr:+a:zb:r+a,r6.rl

Lulou tazzbzt*azrbsr 6u rbr: +a22ii22+a23b32 f

[-0-,, o,,l l-,,r or: .,.1

| 0,, 0,,

I L,, , dzz .,,

J

Lo" 6"J

I- b,,a,rtbrz?zr b11o12*b12?22 btr?13+b,r2r, IrlI bzr ar tlbzzozr bz r ar2*b22a22 b2ya131b22?23 | ,

ltL Or,r,r+bszaz! b31212+b32x2 b31a134b3232. lx I A ] = t C I pharussamadenganq

(q x n) 9m x r) 11.12l.

x I B ] x[ c ] =t D I (1.13)

(qxr) (sxn) (mxn)

=s E

Aiabar Makiks

lAl x [B]

lAl x [B]

tAl(mxp)

I A .](mxp)

Syarat : P

r

l,ada perkalian 3 buah matriks seperti diatas dapat dilakukan dengan mengalikan

lAl dan IB] terleUitr dahulu, kemudian hasilnya dikalikan dengan IC]. Atau

lBl dikalikan terlebih dahulu dengan [C], kemudian matriks [A] dikalikan

rhrngan matriks hasil perkalian IB] dan IC].

contoh : ( tAl tB I ) ICI = [A] ( tBI tcl) { 1.r4}

Contoh : [A] = [- .,,I

L .r,

Anelinii Struktur Dsngan Ccre iilatiks

Sifat penjumlahan/pengurangan adalah kedua matriksku rangkan dapat ditrrkar letaknya.

Contoh: Ie] + [ B ] = tB 1 + tAl

yang dijumlahkan/di-

1.3.2 Perkalian Matriks dengan Sebuah Bilarryan

Perkalian antara sebuah matriks dengan suatu bilangan (misal a) adalah

sama dengan perkalian atas unsur-unsur matriks tersebut dengan bilangan itu.

(1.e)

Dan letak antara keduanya bisa ditukar.

Contoh: atAl = [AjajikalAl =[4 t 2l

L' u 'l(1.10)

Bila a = 2,

makaa[A] =

makaa[A]=

a. 1 a.2

a.6 a.8

2412 16

l- a.+

[,u

[,:

1.3.3 furkalian Matriks dengan tVbtriks

Suatu matriks dapat bikalikan dengan matriks lain dengan sifat dan syarat

perkalian sebagai berikut :

1. Perkalian matriks A dengan matriks B tidak sama dengan perkalian matriks

B dengan matriks A.

tAl tBl + tBItAl (1.11)

2. Dua matriks A dan matriks B hanya dapat dikalikan dengan cara [A] [B]apabila jumlah kolom matriks [A] sama dengan jumlah baris matriks

IB]. Adapun matriks hasil perkaliannya mempunyai jumlah baris matriks

[A], dan jumlah kolom sama dengan jumlah kolom matriks B-

?tZ

?ZZ

,r, I"r, l

Page 8: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

1.3.4 Transpose Matri ks

Misal terdapat dua buah matriks

Icl=l-r , .l danlDl

[a u u]

lCl dan ID]

= [, *llz sl

[s ']Matriks [D] dapat diperoleh dengan cara menukar baris dan kolom matriks [C] .

Dalam hal ini matriks ID ] dikatakan transpose matriks IC] dan dituliskan

sebagai :

tDl = tclrBeberapa sifat transpose matriks I

1. Bila suatu matriks ditranspose dua kali, maka akan

semula, yaitu :

(tAlt)t = tAl

Bila transpose dari dua matriks dijumlahkan hasilnya sama dengan trans-

pose hasil penjumlahan kedua matriksnya'

IAlT+tBl? =tiAl+tBl)T

3. Transpose dari suatu .perkalian matriks sama dengan perkalian dari trans-

pose masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

(tAltBI)7 = tBl" [R]' (1'18)

4. Transpose dari suatu matriks simetri sama dengan matriks itu sendiri.

Jika matriks [A] simetri, maka

lAl = [A]7

Bila [A] matriks anti simetri (yaitu suatu

diagonalnya nol dan unsur'unsur terhadap

berlainan tanda), maka

lAl = - tAlr

5. Hasil kali suatu matriks terhadap matriks transposenya selalu berupa

. matriks simetri,

tAltAlT =tcl ('1.211

IC]matrikssimetri

6. Suatu matriks bujur sangkar selalu dapat diuraikan men,iadi penjumlahan

dari matriks simetri dan matriks anti simetri.

l- , 2 3l [.' z.s r,sl I o - o,b 1,51

l. 1 2l =lr,u 1 l,sl.lo.s o 0.5 I

lo 1 2t I I l-t,u -0,5 o IL- -J L,,'u l'' , , L lsimetri antl slmetrl

ta;; J = tbij I * lcii | 11.221

dengan' bij = lY, l(.ij *.ii )-simetri

Cii = l%11 aii ali ) * antisimetri

Aliabar Matriks

1.3.5 lnvers lubtrix

Suatu matriks [A] disebut sebagai inversnya matriks IB] bila hasil kalik eduanya merupakan matriks satuan.

iAl tBl (1.23)

Langkah-langkah proses invers matriks ;

l. Gantikan masing-masing unsur matriks dengan masing-masing nilai kofak-tornya.

Transposekan matriks yang diperoleh tersebut. Matriks ini kemudiandisebut sebagai matriks'adjoint".

Hitung nilai determinan (matriks) aslinya.

Bagilah unsur-unsur matriks 'Adjoint 'ldengan nilai determinan matriksaslinya.

di bawah

(1.15)

diperoleh matriks

(1.16)

(1 .17 I

(1'19)

matriks dengan unsur-unsur

diagonal sama besar tetaPioontoh : lnveskanlah matriks [A] berikut ini :

lAl= [-r 2l

:t

4

(1.20)

Page 9: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analids Sruhur Dcnsut Care iiatikt

Penielasan :

1. Arr

f2L_,

2. Aadj

2 Art

- 3l,l

=fzL-.

--2 Azz - 'l--3

;]

-42-6 =

[- - o,u

L o,7s

[:

[: ;][;l:],:::,1 [: :]Suatu matriks yang matriks inversnya nol disebut matriks "singular'.

DeterminanlAl=

Matriks invers

"1[A]-r =-4

5. Kontrol :

3.

4.

;]0,5 Io,ru

_l

Analisis Strul<tur

BAB IIANIALISIS STUKTUR

Suatu konstruksi bangunan yang menerima beban luar, baik itu bebanpada batang atau beban pada titik buhul, maka konstruktur tersebut akan me-ngalami deformasi. Secara umum deformasi tersebut berupa : deformasi aksial,lentur dan puntir.2.1 Deformasi Aksial

Dengan memperhatikan gambar 2. 1, sebuah batang dibebani N, dan Nopada ujung-ujungnya, maka :

&

tI

Ia-,

N^

k_.- I

(")

AE N=--:---N,r.i\F-__-,rF--+ a,

(b)

Nb\

GAMBAR 2. I Deformasi aksial batang

Page 10: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

10 Analisis Struktur Dengan Cara Matrike

Syarat keseimbangan pada gambar 2.1 .lal

AE

I

AE

I

dan keseimbangan pada gambar 2.1.(b)

Nu = + ot'o'

I

AENb

- ' dl

I

Dengan menggabungkan persamaan 12.11 dan 12.2],, maka akan

AE AEN, = +-.d, -T.d,

AEAE)Nb = - T.d, + I'

Persamaan (2.3) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :

[.,] [_r :=] [.]

t2.21

diperoleh:

(2.3)

12.3al

Nd̂

Nb

.d2

.d2

(2.11

12.2t

atau: [tl ]

dengan = [-'NlKIo

=trlLol] = matriks beban luar

I = matriks kekakuan batang

] = matriks disPlesemen

(2.3b)

Andi8is Struktur1

f,.:11

Jika batangnya lebih dari satu yang dirangkai dalam satu konstruksi.

l3

[*-]a3

GAI\4BAR 2.2 Gabungan Batang

Dari gambar 2.2 nampak :

tr tr dan tr adalah nomor titik buhul

F t , Fz dan F3 adalah gaya luar

dl ,d2 dan d3 adalah deformasi pada titik buhul 1,2 dan 3

Sesuai dengan persamaan (2.3), maka dapat diperoleh :

Ar Er Ar E,l-r - +

-

dl11 ll

_ ArEr Ar ErF1 = -- dr +

-.

I

F--+ar

----) Fg

[-"-+ az

. AlE: A:E, d]d. +

-

drli 13

A. E, A. E.du + '- dr-'" cl 3 Q.4l

12 12

AzEz Ar Esd2 +_ d3 +: d3

l: l:

l1

= - ArE,

l3

Ar Er

l1

ArEzdt

l2

AzEzJikakl = -I-,*, =

h

dapat dituliskan sebagai berikut :

A, E:dan k3 =

_ maka persamaan (2.41

Page 11: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

DalamkeadaanYangsesungguhnyakonstruksisepertinampakpadagambar2.2tidakmungkin(karenatidakstabil}'Agarstabilharusadatitikyangdi.pegang (dikonstrain). Misal titik 1 dipegang (dalam bentuk tumpuan)' maka

dr = 0, Sehingga persamaan (2.6) meniadi :

Fl = 11,+k3)d1

F2 = (-krldl +

F3 = (.-k3)dr +

atau :

[', I [r, .

lr, l= l-t'L".l I n.

I t, I f-t,*t,

L ".1 =[- *,

.t

+ (-k r ) dz + (-k3) dr

(k, +-krld2 + (-k2)d3

(-kz)dz+(kr+k3)d3

k3 -k, -k3 I [.,.lkr+k2 -k2 I lo, I

-k2 n,*n,-l L..J

[,,] t:ltt

ditetapkan dihitung

rur42

L::lKarena ,dr = 0, maka bagian yang diarsir persamaan (2'7) diatas dapat dihilang-

kan, sehingga persamaan (2.7) meniadi =

;:, l[l]r1gaya luar matriks kekakuan

system struktur

Persamaan (2.8) dapat ditulis dalam bentuk :

displesemenyang teriadi

[x, +kz -k2 I[-*, *r**.]

tdisusun

-1

Analisis Struktur

"Join Code" UCODE) dan "lWember Code" (MCODE)

JCODE adalah satu set angka yang terdiri atas nomor-nomor derajat kebebasan

pada suatu titik.

MCODE adalah satu set angka yang terdiri atas nomor-nomor derajat kebebasan

pada ulung-uiung suatu batang.

JCODE dan MCODE merupakan alat bantu untuk menyusun matriks kekakuan,matriks beban luar dan untuk keperluan lain. Sebagai contoh akan disusun kem-

bali persamaan (2.6) dengan menggunakan JCODE/MCODE.

13

12.5t

(2.6)

12.71

(2.8)

rromor do f mssing-mrsing tittkGAMBAR 2.3 Deralat kebebasan (d o f)

Dari gambar 2.3 dapat disusun :

JCODE(I) = 1 artinya Joint Code titik 1 = nomor derajat

JCODE(2) = 2 artinya Joint Code titik 2 = nornor derajat

kebebasan 1.

kebebasan 2.

dan seterusnya

MCODE(I)= [1 2] artinya ujung-ujung batang I mempunyai nomorderajat kebebasan (m d o f) 1 dan 2.

MODE(2) = 12 3l artinya ujung-ujung batang 2 mempunyai no d o f 2dan 3.

MCODE(3) = [l 3] artinya ujung-ujung batang 3 mempunyai nod o f1 dan 3.

Srstem konstruksi gambar 2.3 diatas mempunyai 3 deraiat kebebasan (3 degre,rl freedom), sehingga matriks kekakuan sistem strukturnya berukuran 3 x 3.l'r'rryusunan matriks kekakuan dilakukan berdasarkan pada persamaan 2.3a dan2 3t-r yang merupakan persmaan dasr untuk struktur yarry batang-batangnwlranya mengalami deforixi aksiat.

Page 12: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Penyelesaian :

Batans 1 : MCODE(I)= [1 2l

kr =

+matriks kekakuan

batang 1

, *ZMCoDE

kz=

matriks kekakuan sistem struk'tur sumbangan dari batang 1.

1 ,*IMCODE(I) 1 2 3

f o,t, -4,E, I r to,1 -ArEr o

I h r, 1 ucoo.E Krr r I

rr rr

I _o, t, Ar Er

| , -

l_1t, o,t, o

L-Ir-j,J l', 11

L o o o-

Maksud dari penulisan diatas ialah dengan bantuan MCoDE, matriks kekakuan

batang disusun kedalam matriks kekakuan sistem struktur. Dalam hal ini matriks

kekakuan sistem struktur berukuran 3 x 3 sesuai dengan iumlah 'd o f'Sebesar

3.

Batans2 :MCODE(2)= [2 3]

-n" f" A, E, -1

t2t2i-I

'-AxE2 A2E2 I 3_l-12 t2 I

0

0-

0

AzE,

h

AzEz

3

l0l

AzEz

l2

AzEz

l2

Analisis Struktur 15

Batans3:MCODE(3) =[1 3l

1

Aa Es

l3

Ar Es

t:

= Ktr) * K(z) * K(g)

r

,

=

McoDE

A.E. I

;." l,l t'lcoDE K(a)=

A.E. I

13 -]3

1

Ar Ee

lr

0

As Es

l3

2

o-

3

Ar Er

l3

0

ArEr

l3

_A.r Er

l3

0

As E:

13 i

0

0

2

3

At Er

l1

_A, E,

ll

0

A, Er

lr

Ar Er

ll

0

0

0-

A2E2 _A2E2

l2 lz

AtEz AzEz

12 12-

to= a,0

l3

Ae Ea0

l3

A, E, AzEz AeEa

ll l3

-k3 I

_, j;,

.J

K = l-t,*t| -n,

L-*,

l2

- kl

k1 +k2

-k2

(2.1d)

Page 13: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

16 Analisis Struktur Denoan Cara Matriks

Jika titik buhul 1 dipegang ("constrain"), maka :

trF->.o

nomor deraj at kebebabasan masing-masing tit ik

GAMBAB 2.4 Deraiat kebebasan

Pada titik buhul l derajat kebebasannya 0, hal ini berarti titik buhul l tidakbergerak karena ditumpu. Dengan demikian jumlah derajat kebebasan dari sistemstruktur tersebut adalah 2, dan matriks kekakuan sistem struktur menjadi2 x2.Penyelesaian untuk kasus titik buhul 1 dipegang :

Batang 1 : MCODE(I)= [0 1 ]

tr

F+r #2

0

Ar Er

1

Ar Er

1

l-o,t,

t"LO

< _ MCODE(1)

kt=lr l,

ArE, ArE,

l1 l1

Batans2:MCODE(2)=[1 21

0MCODE K(l)=

1

1

MCoDE K(2)=.J

2

,l,l

12AzEz AzEz

l2 l2

AzEz AzEz

=

MCoDE(2) 12

AzEz AzEz

AzEz

12.

AzEz

l2

kz=

l2 l2

Analisis Struktur 17

Batans3=MCODE(3)= [0 2)

0

AaEs

21,.t,

MCODE(2)

MCODE K(3)=__-_---5-

--------?

A: E:

[:r]ks=

l3

A: E:

l3

l3

Aa E:

l3

K(z) *

lr

K=

0

kl + kz

-k2

(lihat persamaan 2.8)Contoh :

Dlketahui : Konstruksi tergambar

A = 0,5cmE = 2.1o6 kglcm2F2 = ltonF3 = lton

A,E,

lz lz

AzE, AzE,

=K(

II

L

1) +

Ar Et

K(s)

l.l I

AzEz0

0lz lz

I

l-k2

k2+k3

(2.11t

tr

Page 14: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

dl = dipakai index I agar sesuai dengan no ,d o f,,nyad2 = dipakai index 2 agar sesuai dengan no ,d o f,,nyaDisplesemen titik buhul 1 = 0. karena ditumpu.

Pertanyaan : Hitung gaya-gaya batang ,l,2 dan 3.

Jawab : Sesuai dengan persamaan 2.g atau pers 2..1 1

F = K.d, maka

[:][::..":.]L.]. AE 0,5.2. 100Kr

lr 400

. AE 0,5. 2 . ro6k.

2500 kglcm

1667 ks/cm

1000 kg/cmk3

lz 600

AE 0,5.2..106

13 1000

dimasukkan kedalam persamaan diatas :

[-'J" ;;, ] '

f oru, - 1667 I -t

[-,u., ,u., j

t,,] = l.;l

r;;:l [:;]

Analisis Struktur 19

lvrc-a zto-4 I t-roool= [., I[z . ro-o s.ro-'J L ,ooo_J L rJ

dr = 3,2 . ro-4. (-1000) * 2.to-410o0 = - o,12 cm

d2 = 2.10-.4.(-1000)*5.t0-4.rooo = 0,30cm

Hal ini berarti dr berarah kekiri, atau dengan kata lain titik buhul 2 bergeserkekiri sebesar 0, 12 cm.

Menyusun matriks deformasi pada masing-batang.

6z = deformasi pada batang 1

f. MCODE(1) Penlelasan :

dr= [oJ___,0 JikaMCoDE=o.maka d=ottL d,, 1 -----) Jika MCODE = 1, maka d = d,

fol=tt[ - o,,r]

6z = deformasi pada batang 2.

d McoDEt2t

I o,l 'l

ttL"J 2

deformasi pada batang 3.

- MCoDEl3l

v0

2

f trl

t:,1[.,]

Page 15: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Menghitung gaya{aya batang

Batans r : t*,] = [n,] [r,l

fbt = Nb!

[:

:'

-t'I [-o In,J L o,J

kr.0 + (-kr)dr0 - 2500.(_0,

+ 300ks(r)

-kr)0 + kr dr

0 + 2500.(_0,

-300ks(<--1

[:: 1

far = Nat

121

121

-,

Ial

o+l-

fa'- = gaya dalam ujung kiri dari batang lfbt = gaya dalam ujung kanan dari Uatang lMelihat dari arah fa dan f bl , maka dapat diambir kesimpuran bahwa batang 1adalah batang tekan.

Batans2: [r'] = [*1 = f*,-] [.:-][*'l_[-, -r, I [-a,t

L,,l =

L _-, *, _f L.,J

Analisis Struktur 21

Ia2

lb2

1667. { -O,12 )- 1667 (0,30 )

-700ks(+)(-kzld,+krd2

(- 1667 )(-0,12 ) + 1667 (0,30 )

700 ks

ofb2

maka dapat diambil kesimpulan bahwa batang 2 adalah

+-lrr'

rk' I [o']

:t t:J( - k3 ) d2

1000 . 0,30

+)

+ kr,d2

+ 1000 .0,30

(-)

o fb3

Page 16: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

22

Melihat arah fa3 danfb3, maka beiarti batang 3 adalah batang tarik'

Reaksi perletakan= ! gaya normal batang-batang yang berhubungan'

R = far+fa3= 300-300=0ton

Melihat proses hitungan diatas maka dapat diambil kesimpulan bahwa dalam

analisis struktur dengan cara matriks, untuk dapat menghitung gaya-gaya dalam

tiap-tiap batang harus terlebih dahulu menghitung deformasi titik-titik buhulnya.

Atau dengan kata lain gaya-gaya dalam tiap-tiap batang merupakan fungsi dari

deformasi/displesemen titik buhulnya.

2.2 Deformasi Lentur

GAMBAR 2.5 Batang Lentur

Untuk memperoleh persamaan dasar batang lentur dapat diturunkan dari per'

samaan "slope-def lection".

Persamaan'sloPe'deflection" :

setelah deformasi

Analisis Struktur 23

2EtMa

L

2EtMb

L

dengan

1

Vab = -L

l20b +0b *3tl'ab)

(Yb-Ya) (2.13)

Agar memenuhi syarat keseimbangan, maka :

1

Va 1Y3+Mb) i.2.14l,L

Vb =-Va

Dengan mengkombinasikan persamaan (2.121, (2.13) dan 12.14l. , maka akan

dapat diperoleh :

Untuk memudahkan proses hitungan dengan metode matriks, maka indekspada persamaan (2. 15) diganti dengan nomor urut. Begitu pula notasi yang laindiganti sesuai dengan gambar 2.6 dibawah ini.

1_,,E.I. L 5

dq,lq

(20a + 0b - 3 Vab)

(12Ya +6Lda -12Yb +6LOb)(6LYa + 4L20a - 6LYb + 2L2?bl

l-12Ya-6L0a + 12Yb - 6L0b)(6L Ya + 2L2 0a - 61. Yb + 4L20bl

(2.12\

(2.151

Va =qMa =aVb =aMb -- oL

EIdengan q =

-L'

dt, fz

dr,fr

GAMBAR 2.6 Batang Lentur (bentuk matriks)

Page 17: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Arah gaya maupun deformasi pada gambar 2.6 adalah arah-arah positif.

menjadi :

d, Id"ld,

I

d. l

Dengan demikian

ill .[::1,, I l-,,LioJ L 6L

persamaan 2.15 dapat disusun kembali

6L -12 6L I i4L' -61 2L2 I I

-61 12 -61 I I

212 -61 orrl L

EIdenqan- L3

Persamaan 2.16 disebut persamaan dasar batang lentur.

Persamaan 2.'16 secara simbolis dapat dituliskan sebagai berikut :

"f =kd (2.111

dengan

12 6L

6L 4L2

-12 -6L6L 2L2

-12 6L

- 6L 2L2

12 -6L

- 6L 4L2

(2.16)

EI12.17 a)

L3

k =o

bntoh Soal I :

Pada kasus balok menerus sistem koordinat lokal dan koordinat global adalahsama, maka matriks kekakuan batang (persamaan 2.17 al dapat langsung diguna.kan sebagai matriks kekakuan pada sistem koordinat global tanpa transformasikoordinat.

AnaliCs Sbuhur 25

oord Lokal

(a) balok menerus(b) element batang

;_ araz, Qz

a,) fr,l{,Koord Global i

t

i^'I-/rT:v oto

GAMBAB 2.7 Contoh soal

= 14tmdanO2 =0Diambil O1

1. 'Unknowns' (Faktor yang tidak diketahui)

Seperti sudah dijelaskan dimuka bahwa dalam analisis struktur denganmatriks, untuk dapat menghitung gaya{aya batang harus dihitung dahuludeformasi/displesemen tiap-tiap titik buhulnya. Pada kasus batang lentur, setiaptitik buhul dapat berdeformasi/berdisplesemen dalam dua arah yaitu vertikal(naik/turun) dan berputar (searah/berlawanan jarum jam) seperti nampak padagambar 2.6.

Pada contoh soal ini (lihat gambar 2.7t,, deformasi/displesemen yangmungkin terjadi adalah :

titik buhur 1 : "tri,il;!!,1[!f*T:ff tH['titik buhul 2 : vertikal,'tidak bis karena ditumpu

berputar, i,isa karena tumpuan sendi (=q, )

titik buhul 3 : vertikal, tidak bis karena ditumpuberputar, Orba karena tumpuan sendi (=q, )

Dengan demikian dalam hal ini ada 2 kemungkinan deformasi/disflesemen yaituq, dan q2. Sistem struktur yang demikian dikatakan mempunyai 2 derajatkebebasan 12 "d o f"). Sehingga sebagai "unknowns" dalam hal ini adalah :

Page 18: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

26 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

ag , k = 1,2

2. 'Elemen Models 'i

12.17).

Ji= k ai,i=t,2

dengan

f n 6LIk=a I ot- 4L2I

| _12 _61

L 6L 2L2

Pada tiap-tiap batang berlaku persamaan dasar, yaitu persamaan 12.16),

-12*61

12

-6L

EI,a=-

L3

(2.18 )

(2.19)

(2.19a)

6L

2L2

-614L2

3. "System Models"

Satu sistem struktur adalah merupakan penggabungan dari beberapabatang dan harus memenuhi syarat kompatibilitas dan keseimbangan. Kondisikompatibel dapat dinyatakan dengan "member code"(tvlCoDE).

[\4enentukan JCODE dan l\4CODE

0

tr

GAMBAR 2.8 JCODE dan IaCODE

Angka nol pada gambar 2.8 dimaksud bahwa titik buhul tidak bisa bergerakarah -tersebut.

JCODE(I) = [0 0] MCODE(I]= [a 0 0 1]

'2

tr

Analisis Struktur 27

JCoDE{!} =16 0l MCODE(2) =[0JCODE(3) = [0 21

2)

, MCODE(1I\_J.

0

0=

0

1

Dr = dl = [.,',i o,'

-oI

DI

dr

F

K

D

F

d,'

dr'

dr'

do'

0

Qr

0

Qa

displesemen batang 1 pada sistem koordinat global

displesement batang 1 pada sistem koordinat lokal

I o,'I

l-oo'

0

0

-0, -i

0

1

0=2

(2.20

12.21\

Dalam hal ini D1 = dl karena sistem koordinat global sama dengan sistemkoordinat lokal.

D2 =d2

pntuk tiap-tiap batang berlaku rumus f = k d , maka pada sistem struktur juga

berlaku rumus :

F = K.D

= matriks beban luar

= matriks kekakuan sistem struktur

= matriks displesemen titik buhul pada koordinat global

-trc

F = beban pada titik buhul ('Joint loads")

F = beban pada batang (dihitung dari "fixed end forces")

NE

(2.22t

12.231

Page 19: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

29Anellair Sfuktur

B, Beban pada batang (dihitung dengan 1'fixed end forcesl').

-batansl: F' = lrlf-McoDE(1)I t; I o MCoDE.F(1) = [rli 1

I ', lo :-:+

l-, )zLrI J,

- batans 2 .. F2 = t-F?l g-MCoDE(2)

lr, | ,r MCoDE\ F(2) = [tel ,

i'1 lo: l,e),LFi )2

1= \Firir = ?(1) + Gt2t e.z6t=1 =[,rl l,zl t,l [.-| _ ['lL. l. L',.i

= L,l.L,l=irl

r = F-? = [o,l [. I _ [o,l

L",J L.] =

1",]O1 = 14 tm dan 02= 0, maka

F = l.r1L,l

-12 6L

_6L 2L,

12 -61-6L 4L,

ET,0 =.-

L"

Menyusun matriks kekakuan sistem struktur

|n 6L

K =k=el 6L 4L'

l-r, - oLI

L ur zL2

28 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Menyusun matriks beban luar:

A. Beban pada titik buhul

F _ d JCODE(I)

- titik 1 : Fr = [t,'l i JCoDE ... F(1) [o I 1

ir7 lrLr,'J o

Lo -l z

= p 6(i)i=1

NE = ,,Number of Elemen1,, (=jumlah batang)

(2.34)

sesuaidengandof

JCoDE r r(2) = [tr'l 1

- rrL0 12

= [o, I ,

L0)2JcoDE. F(3) = [-o I r

- Lr,,l 2

= [, I ,

LO,J 2

+ ;(3) .. e.zst

[olttL

o,_l

- titjk 2 : F2 = [-., ,l o

L','l ,

-titik3: F3 =

E- H' ;(i)i=1

[,]

BI

Ir,'l o

1,,,] ,

?(1) + Er(z)

[;'] +

Page 20: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

3l

0

0

02

aL2

=5m)Gaya€aya batang (diambil L

Batang I :

Sesuai pers (2.2O1 ,maka

l-ol I [o-lo,=1.;l = l:i

L:ill:,1

t=lIt-L

gesuai pers .2.19!,, maka :

,.I I,][

t:

L;iperoleh

5.

2,t)

4,O

2,4

8,0

- ol,lqL2 |

,' II

-q.L2 J

1221), maka

l:'l,laz I

L.; J(2,19) akan d

Batang 2 :

Sesuai pers

d2=

Dengan pers

Analisis Struktur30 Analigis Struktur DenEan Cara ltetiks

K2 =E

0

f,,.lut

l-tzl-u.

0

12

6L

-126L

Kt=

o 0 13 McoDE(l)

6L -12 6L lo 1 2

4L2 -61 zr-' I o[or. I(')=o [+r' o -l

,

-61 12 -61 lo- Lt o)22L' -61 oL'_) 1

1 o 2lMcoDE(2)6L -12 6Ll0 1 2

4L2 -61 -zt I 1 McoDE 6(2)= o [-+s2 zr-, I 1

-61 12 -61 I , -

["' +t )'zzLz -oL +t'1) z

*=SK(i) = K(t) + K(2)i=l =(y [or' .l*o[0.' ,,-'l=a [o oJ*"1-r.' o,-'-]

l- eL' z..1=o Lr.' o.'l

12.27 |

(2.28l

Sesuai persamaan2.22, maka :

o l- au, zr-, I [',1- [r+llz., +t, j Lo,J [o ]

4. PenyelesaianPersamasnPenyelesaian persamaan (2.28) menghasilkan

219r =

;I, , 92= - "L"

Page 21: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Struklirr Dengan e,ara Matriks Analisis Struktur

P2 = .fb' +

p3 = {b,=[;:]

Prosedur perhitungan pada metode displesemen tanpa beban pada batang :

1. "Un knowns"

33

Di( MCODE D

4td isplesemen seluruh sistemstruktur disusun kembali.kedalammasing-masing batang (Dl)dr=ArDt

5. Gaya batang

Penyusunan matrikskekakuan dan beban luar

,i-nirri

Matriks kekakuan sistemstruktur

ri nacooe , r(i)

Matriks kekakuan masing-masing

elemen disusun kembali sesuai

dengan no "d o f"

"=$*liri=l

2. "Elementmodel"

6. Gaya pada titikbuhul

F,=*:il

(2.30)

fi=Lioi

4. "Solution"

3. Systemmodel

Gambar 2.10 Prosedur Hitungan

32

[u, 6Llt-'l [',']{2=a lo., 21, ll # I I

6,0 Illl

l;.: -;:, ll : I l::lL ,L-#.i L"-]6, "Joint Forces" (gaya{aya pada titik buhul).

Gaya-gaya pada titik buhul dihitung dari gaya-gaya batang pada sistemkoordinat global. Karenadalam hal ini sistem koordinat lokal dan global sudahsesuai maka tidak perlu transformasi koordinat. Dengan kata lain gaya padatitik buhul dapat dihitung langsung dari gaya batang pada sistem koordinatlokal. maka :

P, = f.', P' =!b' +{ar,Pt =fb' (22et

"Free body" dengnn

+2| ,,

4t

( |_6tm

't\-Jtm

F}] L{ ,[#]

H

I

GAMBAR 2.9 Gaya Batans

Sesuai gambar 2.9. maka :

Sehingga,

Pl= !r' =f ',01

L o,o-l

Page 22: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

34 Analisis Strulrtur Dengan Cara Matriks

bntoh Sc.al 2:

Balok menerus30 tm, Oz = 0.

pada gambar 2.11 dibebani dengan beban titik sebesar 01 =

A qzQz

lr,Qr I

tr

Hitung : Gaya-gaya batang.

funyeleuian:

1. "Unknowns"

Seperti sudah diielaskan dimuka bahwa sebagai "unknowns" adalah dis-plesemen pada "joint".

aP, k = 1,2

2. "Element Models"

Persamaan dasar untuk tiap batang ("element")

ti = t ai, i=l,z

k adalah seperti pada persamaan (2.19a)

3. "System Model"

Menyusun JCODE dan MCODE

T' , a],' ,ltr

GAMBAR 2.12 JCODE dan MCODE

0

tr

GAMBAR 2.11 Balon Menerus

Analisis Sffuktur

JCODE(I) = t0 0lJcoDE(2) = to 1lJCODE(3) = lZ 0l

MCODE(I) = t0 0 0 1lMCODE(2) = to 1 2 0l

Menyusun matriks kekakuan sistem struktu rl

Batang l.

[o o o o I t?McoDEtl\I 12 6L -12 6L l0 1 2

r'=t= o, I ol 4t2 - 6L 2L I o ,.ora 6(1)=o, lo.' ol r'ltll-rz-or- P -61 lo- l_o oJ,Lu.2L2 -61 4L2 lt

K(l) = dapat diartikan sebagai sumbangan kekakuan batang 1 ter-hadap kekakuan sistem struktur.

Batang 2.

35

tr

K- =k= 0z

2

K ='i=1

K(1) a 6(2)

['112

lu'l-nl- u'

K(i) =

1

6L

4L2

-612L2

o I l- qr-' - 6L-l [a,-'l+ o, I I =al

o J 'L-u' ,2) L-ut

2012 6L

6L 2L2

12 -6L6L 4L2

url ,

n)z

MCODE(2)

0T1 MCoDE trl2lnr l oa.-z l-or-

l_0

f qt'=arl

Io Il

Page 23: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

37Analisis Struktur

)l4. Penyelesaian persamaan diatas, menghasilkan:

.63D1 =--------:- , D:

oL' aL

sehingga tidak me-

- Gaya-gaya batang :

Dengan persamaan 2.19, jika diambil L = 4 m akan diperohh:

t:II:,] "L::,

Gaya- gaya batang ("Element Forces")

- Displesemen pada masing-masing batang :

Batang 1 :

D t:il : [: tt:]L:il :Jltil

karena koordinat lokal dan global sudah sesuai,

merlukan transformasi koordinat, maka dr = Dr.

Batang 2 :

D [:l l;JlHlL,, I :*'l l_-'i

d2= D2

36 Analisis Struktur Dengan Cara Metriks

JCODE F(1) =

JcoDE Ftzt =

- titik3: F = F(3) =

1

2

1

2

t:l

[:']

[;']

[:']

[:,]

Menyusun matriks beban luar

A. Beban pada titik buhul

- titir< r :F, = hll,i_,1L'lJ o

- titik z,i' = [t:1,l_,1[_rrJ r

[-.1l:l l'JcoDELF,J o

3 _...F =:F(t)

i=1

B. Beban pada batang

Dalam kasus soal ini beban pada batang tidak ada, sehingga f = O.

r E*? [:J.t] [:l [']L

Sehingga diperoleh (dari persamaan F = KD) :

Page 24: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Struktur Dengan Gara Matriks38

t,ilI

0

0

0

6

.rL-il

t=.1

t

If_J_

fl

=0

r2Io

2

{o

{2= hl

2

l_,,

0,0

6,0

0,0

Batang 1 :

IIJ1,l

I.i2

tl3

{t'4

Batang 2 :

f?

r2J,

"Free body" diagram

9I

6 L --12

4L2 -6L

-61 12

2L2 -6 L -6,0

9r

(G t.t(-)6 t-

GAMBAR 2.13"Free Body"

Gaya-gaya pada titik buhul ("Joint Forces")

Pz=

rl 1-,, I r\T-,j2 tm 24 tm

f u" , P{= fb'.

[,::].H r..,1

Pr =L', P, = fb,

Pr = [ t'tl

,

I rz,o]

P3 = l- o,o-l

I-- uoJ

Analisis Struldur

2

2afm | 30fm

ai 2 -

2. ror

.*,r1l^. .1,9t

9t

2.3. Rangka Batang Bidang ("Truss Element")

Rangka batang bidang didefinisikan sebagai konstruksi rangka dengantitik-titik buhulnya berupa sendi (diarggap sendi). Sehingga deformasi yangterjadi pada batang-batangnya akibat beban luar dalah hanya deformasi aksial.

Pada bab 2. 1 telah dibicarakan dan dijabarkan persamaan dasar suatubatang yang mengalami deformasi aksial. Pada bab 2.3 ini persamaan dasarnyaadalah sama dengan pada bab 2.1, sedang perbedaannya adalah pada rangkabatarq bidang arah kedudukan batang-batangnya sembarang. Dengan kata lainsistem koordinat masing-masing batangnya tidak selalu sama dengan sistemkoordinat strukturnya. sehingga untuk menganalisis konstruksi ini diperlukantransformasi koord inat.

2.3. I Persmaan dasr i

'

t,.d, {- A ';

GAMBAR 2.15 "Element" Rangka

Arah gaya dan displesemen yang tampak pada gambar 2..l5 adalah arah positif.Sesuai dengan persamaan (2.3), maka :

][.,]fl.f = k d

="t [, -1I

L-l 1

(2'31],

AE,?= -- 12.32l.

Page 25: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

dengan: r=rlr -tlI I '7=

AE

[-t 1J L

atau: n = [nr.

nro I

L nou noo l (2.33)

2.3.2 tbtri*s Transformasi

Seperti sudah disebutkan diatas bahwa arah kedudukan batang-batangRangka Batang Bidang adalah sembarang, sehingga kedudukan Rangka BatangBidang secara umum dapat dilihat pada gambar 2.16.

Garis putus-putus pada gambar 2.16 menun.iukkan Sistem KoordinatGlobal (sistem koordinat struktur). Pada umumnya sumbu 1/sumbu X diambilhorisontal dan sumbu 2/sumbu y diambil vertikal. Sedang sistem KoordinatLokal digambarkan dengan garis penuh, sumbu 1/sumbu x diambilsumbu tiapbatang dan sumbu 2/sumbu y diambiltegak lurus sumbu batang.

u'I"

v__ _./^

(a )

d rfr

GAMBAR 2.16. a) Kondisi lokalb) Kondisiglobalc) Transformasi ujurg a

d) Transformasi ujung b

Analisis Struktur

Gambar 2.16a menunjukkan gaya dan deformasi pada sistem koordinatlokal, sedang gambar 2.16b.pada sistem koordinat global. Dari gambar 2.16cakan dapat diperoleh persamaan sebagai berikut:

dr = Dr Cos0 + D2 Sin0

dalam bentuk matriks :

d, = [coso sin o) f-orlLo'l

Dari gambar 2.16 c dan analoog dengan pers {2.35} dapat diperoleh :

12.341

(2.35)

41

Untuk memudahkan dalam penlelasan lebih laniut ujung-uiurg batang biasa

disebut dengan uiung a dan uiung b seperti nampak pada gambar (2.16a). De-

ngan demikian persamaan 2.35 dan 2.36 dapat dituliskan seb4ai berikut:

d2=rcosg Singr i:l

d. = [c s] Da

db = [c s] Db

dengan: c = Cos0,s=Sind

oa=l-o,l , Db= l-r,lL,J 1,.]Jika diambill = [c s ]. maka persamaan (2.37]dapat dituliskan :

[::] [: l]t:t). = matriks transformasi

Untuk menyederhanakan penulisan dan penlabaran lebih lanjut(2.38) sering dituliskan sebagai berikut :

[r] = rnr [o]

(2.36)

|.2.371

{2.38)

persamaan

(2.39)

Page 26: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

42 Analisis Strukur Denoan Gara Matriks

densan L.l [:] ^ [: : I ['l t:ilAnaloog dengan persamaan (2.38), akan dapat disusun persamaan sebagai berikut:

[q-l = [^ 'l ['.-lL,, l= L, ^ I L'ol

atau :

[,] = tn,[.]Dari persamaan (2.38) dan (2.40) dapat diperoleh :

[,.-J =[^, ol [0, IL,,l= L, ^'.i 1.,-]

atau

[r] = r^r' [.]dan

:,1[l]atau

[r] = rAr'tr]Dari persamaan (2.3) dan (2'45) akan diperoleh :

Lr l = nrto

Dari persamaan (2.46) dan (2.39), dapat diperoleh :

r = Art<Ao

L:il i:'

(2.40\

12.41t

Q.42\

12.43\

12.441

t2.451

(2.46)

(2.471

43Analisis Struktur

Persamaan (2.47) identik dengan persamaan (2.22\, sehingga diperoleh :

K = Ar tA

sehingga,

12.481

K= lrr o llu k ll-^ ol| - I l'-aa .ab

lo rrjLoo.**.1 Lo ^l[ ^,

ou. x i ,rr r.o x I [*., i o.ol| -:- -f -------- l= l-- - | - - I 12.491I )rr,,u) i rrkuo^ | i*0. i ooolL Da : "" I r- , --J

dengan, K., = )l kr.)

Kab = X' nro X (2.50)

Kb, = trr k0, IKuo = lr too L

Dengan ) = [ c s ] dan dari persamaan (2.33) maka akan diperoleh :

[.' cs -c] -*ltKr=r 1", s2-cs -,. l,r=5 e,s1tl"iL

| -c- -cs c- ", I

[-* - s2 cs r' lIK] adalah matriks kekakuan "element" (batang) pada sistem koordinat global.

Page 27: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

44 A"alisis Struktur Dengan Cara Matriks

Cara menghitung matriks transformasi :

1. 0 Padakwadran I

b (xb, yb)

JL

GAMBAR 2.17 Kwadran I

C.os 6

Sin 0

Xb-X.I

'b 'a

(positi{ }

(rcsitif )

L

2. 0 pada kwadran ll

(negatif)

(positif)

Q.521

-)La (Ya, Ya)

GAMBAB 2.18 Kwadran tl

Xu- X,Cos 0

L

Yu-Y.Sin 0

L

45Andigis Struktur

3. 0 pada kwadran lll

Cos 0

Sin tjL

4. 0 pada kwadran lV

a (xa, ya)

I;)

4I

I

I

-l--\l

l

l

I

+i

Xb-Xu

L

Yb-Yu

GAMBAR 2.18 Kwadran lll

(negatif)

( negatif )

GAMBAR 2.19 Kwadran lV

(positif)

(negaif )

Cos0 =

Snd =

Xb-X.

L

Yb-Y"

(2.53)

12.52].

b (xb, yb)

(2.54)

Page 28: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

1.

3.

, n=zoooto

Analisie Struktur

Berdasarkan analisis diatas, dapat diambil kesimpulan bahwa dapat dibentuk

suatu persamaan yang berlaku umum :

X nomor titik besar - X nomor titik kecilCos 0

L

Y nomor titik besar - Y nomor titik kecil

(2.55)

Sin 0

L

C.ontoh 1 :

Diketahui konstruksi rargka seperti nampak pada gambar 2'20'

Pertanyaan : Hiturq gaya-gaya batangnya.

. 3m I

v

tI

tr

E = 1oo kg/cm2

A=4cm2

trGAMBAR 2.20 Rangka Batang Bidang

funyelesaian:

Variabel yang tidd( diketahui (yang harus dihitung) dalam hal ini adalah

displesemen horisontal dan vertikal di titik 2, yaitu:

Dp, k = 1.2

Persanraan dasar masing-masing batang adalah :

fi=ti ai, i=t,z

Menyusun persamaan sistem struktur'

I\lbnentukan JCODE dan MCODE

JCODE(I) = [O 0JCODE(2) = [1 2JCODE(3) = [0 0

MCODE(I)= t0 0 1 2JMCODE(2)= [1 2 0 0]

Menghitung matriks transformasi tiap-tiap elemen/batang.

Eatang 7.' trl = [ ms 0 sin 0 ]

Cos dXz-Xr 3-0

=lL3

Yr-Y' 3-3L3

trr = [lBatang 2 :

C.os 0 =

0l

12=[os0sin0]Xs*Xz 0-3

= -=

-%J23,t2

(pers 2.55)

47

(pers.2.55)

Page 29: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis StqEglryggl0ara llatriks,

sino = Yr-Y,

= o-3

= _%,t2L 3,t2

),2 = l_U,t2_%J2l

Menyusun matriks kekakuan struktur.

Batang 1 : c= 1,s =0, 7, = + - 4io6

= 1,333'1063

Dari pers 2.51 :

0 O "t 2<:,MCODE(1\

f I o - I olo 1 2

rr=r,3l3.t0ol 0 o 0 o lo McoDEr(l)=t,g33'r06[ o II- I u I u lr l^l-' | ' E olI o o o o],

Batang 2:c=-1,,12,s=-T,"'2,j, =+ -- 4'106

=0'943'106

Dari pers 2,51 :

1

2

1 2 0 o-MCODE(2)

ln Y,-Y,-Y,f1- t

x'=o,s+s.rou | % % - v, - "1, r'acooE r(.2)=o,sar'rou

l-i'l-n-Y,' k v'lo l!'

l.-v, v, *)oK = 3, 6 (i)= 6(1) + K(2)

i=1

2

;7"

= ,,333106

[: :] + o,e+z.to6lu.

:l

= l-t,ao+.tot 0,471.106 I[-0,+zr.rou 0,471.106 ]

Menyusun matriks beban luar.

Karena merupakan konstruksi rangka maU ? = 0. Beban pada titik buhul :

Analisis Strulrtur 49

titik I :F ., 6JCODE(1) r -l

F'= lFl l[ r.orr F(1]= lo I ,l-,-l I I

L';jo [o ),titik 2 :

" f-" -'1 f 1 rJcoDE(2|F'=lFil io l! :et F _,

Lt,.]=L-,,,J;sS F =

11,,,J;titik 3:

-3 l-: -1

F = lt'ILF: J

3 -,F = X Fti=1

_ [r lL,.j

r = F*?

t:li) = F(l

-lil-1.] L

- JCODE

{ JcoDE F(s)= [r l 1

:l0 LoJ 2

I +7t2t +F(3)

ol,*oJ

L,:-].[:] L:JSehingga diperoleh persamaan simultan untuk sistem struktur (F = KD) :

| . I t-t,80+.t06 o,+zr roul

|_r, IL-r* J [0,+zr.rou o,+zr rou] Lo, -]

4. "solution" (penyelesaian pers diatas)

Dr = 0,0015 cm

Page 30: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

51Analisis Struktur

f.rl [' o o ol f o

L.l"j -[_,0 1 ']lr,,r:,

f-o,oosz

)-: Dr (pers 2.39)

o-l F: -

i'_i i";lo.L": -

. I [,,,. I-ntz) l-o,oosz I

L:l= f-,,,,

LO

= | o,oozsz ILO JGaya{aya batang

Batang 1 : (f t = kr dr ).(Pers' 2'3'l)

[rl I t,a33to6 [, - ,o-l f o IL;; I t, ,J1.",'-i

=f o Ib.*,1

Batang 2: d: : d2 =

[:rjt:

-tJ2 0

o -%'f 2

Analisis Struktur Denoan Cara Matriks

D2 = *0,0O57 cm

5. "Element Forces" (Gaya-gaya batang)

Displesemen yang diperoleh pada butir 4 diatas disusun kembali padamatriks displesemen masing-masing batang dengan bantuan MCODE.

Batang 1 :

o

0

D,

D,

0

0=

1

2

0

0

0,001 5

-0,005 7

/ MCODE(I)T\

0

o McoDE Dl =-t

1

2

:;l'l::l

Dl=

Batang 2 :

[,: I ('McoDE(zt

[,, I , 1,,.,,, ID2= lri I ,.=\r,= lo, l , =l-o,oos,

llo:lo- loio l,L";-]. L,l. L,lDisplesemen Dr dan D2 masih pada sistem koordinat global. Untuk menghitunggaya'gaya batang ( / = k d ), maka Dr dan D2 perlu ditransformasi dahulu kedalam sistem koordinat lokal dt dan d2.

Menghiturg displesemen pda sistem koordinat lokal.

futang I : dt =A I Dr (pers2.3g)

[:r]t]':l[:l]loi I

L'l J

Page 31: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

52 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

- ,l [,,*rn,l'JL ' j

[i][-- rsgs,s I=tt=L+ 1999,s _l

Batang 2: I t2 = k2 d2 )

[1; ]=oe431on L;

_ [ zaoo.srl _ [r; If zaoo,ur_l Lr; l

"Joint Forces" (Gaya-gaya titik ouhul)

P, = Fa' = rrr,, =

[;] 1eee,5

t ":'j =[':'],z = ri + F2 = trr '\*\"t'"

= [;],nnn,u

. l_-:;::]

,,oo,u,

= [li;1,,,]= [:,,,JP, = Fb' = t," tlf -u,rz 1= L-"'J tzeoo'szt

_ [ rsao,el P*olf ,nro,rJ =

b*r-l

Analisis Struktur 53

7. "Free Body"

1999,5 6\ l99e'5 ,2ooo'tilEv/ru*.u,

/Laa/,/

,/ ?oo('El2800.57

2.4 Portal Bidang ("Frame Structures")

Portal dalah suatu konstruksi rangka yang batang-batangnya dihubungkansecara kaku sempurna, sehingga sudut antara batang-batangnya sebelum dansesudah pembebasan tetap adanya.

Karena adanya beban luar, baik itu beban pada batang ("element load")atau beban pada titik buhul ("joint load"), batang akan mengalami deformasiaksial dan lentur. Dengan demikian persamaan dasarnya merupakan gabungan

antara persamaan dasarnya merupakan gabungan antara persamaan dasar batangyang berdeformasi aksial (pers 2.3) dan persamaan dasar batang lentur (pers

2.161.

Untuk lebih jelasnya kedua persamaan tersebut diatas akan ditulis kembalidi bawah ini.

-)L ,dz

(a)

'I/1"f., o.)o..

b-----+ fc, de

t', o'

deformasi aksial

deformasi lenturkombinasi (a) dan (b)

(a).

(b).

(c).

fi, dr

GAMBAR 2.20 Batang

Page 32: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

2.4.1 Batang yang mengalami deformasi aksial

Lihat gambar 2.20 a

f t I l-rtrt Ill=illr I l-1l_tlL-

2.4.2 Batang yang mengalami deformasi lentur

Lihat gambar 2.20 b

- 1 I l-o, l,11.,]

12 6L

6L 2L2

12 -6L6L 4L2

AE

L

[-0,I

ld:I

i

I o.

Lo.

EI,a=

L'

(2.s6)

12.57 \

{1

{2

f3

fJ4

[" 6L

=o I ol 4t'

l-,, -u,-

I u. zLz

2.4.3 Batang yang mengalami deformasi aksial dan lentur (biasa disebut sebagai

Portal)

Seperti nampak pada gambar 2.2O c maka dapat disusun suatu persamaan

yang merupakan gabungan persamaan 2.56 dan 2.57, yaitu

EI,a - ^ (2.58)

L'

AL2o-p-I

Persamaan 2.58 disebut persamaan dasar struktur portal bidang. Persamaan

2.58 tersebut diturunkan berdasarkan sumbu batang sejajar dengan sumbu Xlokal. Dengan demikian agar dapat dilakukan penyusunan matriks kekakuanseluruh sistem struktur diperlukan matriks transformasi.

P a o -F o o l[o,lo 12 6L o -126Lll ., I

o 6L 412 o -6Lr*ll ., 1

-P o o P o o ll o. I

o -12 -61 O 12 -6LIl ds I

o 6L 212 o -61 o.'J[o. J

tilI Jt Il-l

I n i ="

It iIf, I

L-l

'il

Analisis Struktur 55

2.4.4 Matriks tranformasi

,/;11

G AMBA R 2.21 Tr ansformasi koordinat

dl = Di oos0 + D2 Sin 0

dz - -Drsin0 + D2cos0

d3 - D3

Persamaan (2.59) dapat dituliskan dalam bentuk matriks

dt,{z

(2.59)

sebagai berikut :

-l I o,l

ll,,lI L,,j

[0,-l I coso

| ., I l-'"eLo, j I o

sin0 0

cosO 0

01 (2.60)

Page 33: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

fl

56 Analisis Struktur Dengan C,ara Matriks

atau,

Jika cos 0 =

lI1 =

[..] = r^r P,lc&Sin6=S maka

5 0-'l

; :l

(2.61)

12.621

(2.63)

Q.64t

(2.65)

(2.66)

l-"

[:

Analog dengan pers (2'60) akan dapat diperoleh

[l [:*]'l [ll

rKt =[.., I K.ul

L;;; I '.;J

atau: Io.J =tr,[ro]

Dengan menggabungkan persamaan 2.61 dan 2.64 akan diperoleh :

[,j L, :lL,,lD=tA1

Analog dengan penjabaran per 2.39 s/d pers 2.50, maka akan diperoleh :

Analisis Struktur 57

dengan: K.. = tr'a.. Itr'*.0 rtr'kbu rtr'kcu r

Ni lai-ni lai kaa,kab,ko. dan koo adalah merupakan matriks kekakuan batangpada sistem koordinat lokal, seperti nampak pada persamaan dibarvah ini.

(2.68)

(2.69)

(2.701

ttl= [,. ,],,1 = .[oo,

I ooo_]

0

0

9_

-p0

0

o o i-p o o

12 6L io -12 6L

6L +r2 | o -61 zL'----lo o iB o o

I-12 -6t,0 12 6L

6L 2L' ', o -6L 4L't*

- 9r - 9c 9c

-92 -9: 9s

- 9q - 9s gt

9r gz - 9r

9a - 9s

9o

Sehingga diperoleh :

l-" - s

K..= o | , c

L0 0

ol0l,-l

" [: o,, :.-Ji1, .

[o 6L otll_,r o

olol,]

Dengan cara yang sama akan dapat dlhitung nilai-ni lai Kab, Kba dan KOO.Sehingga akan dapat diperoleh matriks kekakuan batang/elemen paoa sistEF,koordinat global, seperti nampak dibawah ini :

9+

9s

9o

9r gz

9r

Simetri12.6n

tKt= l2:71],

Page 34: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

58 Analisis Struktur Dengan C,ara Matriks

dengan : g 1 =0

-0

(p cz + 12s21'

cs(0 -12)lA s2 + 12c21

q 6Ls 12.71 al

o 6Lcot 4L2oL 2L2

9z

9s

9c

9s

9o

9r

EI AL2n_u - ^ ,p-L, I

2.4. 5 "E lenpnt Actions"

"Element actions" adalah suatu kondisi luar yang menyebabkan batangtetap diam pada tempatnya jika tidak ada displesemen pada titik buhulnya.

A-4.'tlII

d =0a d =0b

GAMBAR 222"Fixed End Forees"

"Element actions" dapat terdiri atas :

pembebananperubahan temPeraturketidaksempurnaan pembuatan, dan lain-lain.

Secara khusus respon dari suatu sistem struktur dapat ditransformasikan ke-

dalam beban titik ekivalen dengan persamaari :

FS =FS+ FS

x

Analisis Struktur 59

rs

FS

gaya-gaya dalam sesungguhnya, termasuk didalamnya gaya-gaya primer

dan gaya-gaya titik buhul.

gaya-gaya primer yang terdiri respons batang-batangnya dan gaya-gaya

pada titik buhul yang dibutuhkan untuk menahan displesemen pada

titik buhul.

sistem gaya titik ekivalen tanpa gaya primer.

.4=F_F

F = Vektor beban pada titik buhulF = Vektor beban pada titik buhul tetap

12.751

12.73t

FS hanya terdiri beban padatitik buhul sebab "element actigns" FSdan denganpersamaan 2.73, dikurangkan terhadap FS menghasilkan FS. Sehingga FSdapatdihitung dengan metode matriks displesemen. Sedang FS dengan jelas dapatdihitung secara sendiri-sendiri tiap batang karena tiap-tiap titik buhulnya di-tahan sehingga tidak ada interaksi dengan batang lainnya.

Dalam bentuk matriks beban titik buhul eqivalen dapat dinyatakan sebagai

berik ut:

FS

F

dengan

AFS = FS- FS

12.7 4\

("fixed and forces")F = Vektor beban eqivalen

F sudah dilelaskan terdahulu Oan ? dapat dihitung sebagai berikut :

1. Untuk tiap-tiap batang/elemen yang menderita beban pada batang, dihitungvector "fixed and forces" ( f I ) pada koordinat lokal dan kemudian ditrans-formasikan ke vektor "fixed and forces" pada koordinat global liit.

2. Dengan bantuan MCODE, ?i Oi transtormasikan sesuai dengan nomorderajat kebebasan yang ditunjukkan oleh MCODE sehingga diperoleh?(i)-

?iMCoDE ;(i)J-'---------

(untuk lebih jelasnya lihat pada ontoh soal)

3. Untuk seluruh sistem struktur dengan n derajat kebebasan yarq terdiri dariNE ("N umber of Elenrents"), diperoleh kondisi keseimbangan.

;=$poi=1Q.72l,

(2.761

Page 35: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

60 Analisis Struktur Dengan C,ara Matriks

Vektor gaya.dalam tiap-tiap batang dapat dihitung dengan rumus dibawah ini,analog dengan pers.2.72 :

?i = fi *j'dengan , fi = ki di

12.77l,

2.4.6 "Fixed and Forces"

Dibawah ini akan disajikan rumus "fixed and forces" yang paling banyakdigunakan pada sistem pembebanan di lndonesia.

li,fr.

r-a'tz.-stlL a ( 1 - a )2 |

a' l2a- 3l I

La2(1-a) l

?,{q , I '(\''\r+-r!--l . +)a--l , *ro

GAMBAB 2.23 "Fixed and Forces"(a). Beban terpusat(b). Beban terbagi rata

Beban terpusat :

f=Pt2.781

ilAnalisis Struktur 61

Beban terb4i rata :

f =q L

%(1-aa + 2a3 -2alLI (t-3aa+ga3-6ar)12

%(1+ao-2a3]}L-(1+3a4-4a3112

Q.791

2.4.7 . Prosedur hitungan

1. "Un knowns"

5. "Element

Forces"6. "Joint Forces"

6i =1sr; i

"System Steffness Matrix

Ki M K(i)

NEK= I KIU

i=1

"Equivalent Joint Load Vector,,

Fi*p(i),.- $ertiti=1

r=i - r

"Assembly"

Din M D

oi- nioiGAMBAR 2.24 Metode "matrix displecemen" dengan beban pada batang

( n =d o f, NE = jumlah batang ).

.f r=krd'+.f

i

3. "System models

4. Solution

Page 36: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Penjelasan diagram alir pada gambar 2.24 diatas :

1. "Unknowns"

Menentukan berapa iumlah displesemen yang mungkin terjadi pada

sistem tersebut yaitu sesuai dengan berapa nilai derajat kebebasan sistem

struktur tersebut ( = n ). Cara menghitung n adalah dengan meli hat satu

persatu kemungkinan displesemen masing-masing titik buhul'

2. "Element Models"

Menentukan bentuk persamaan d"*r, ii = k id i + ?i

fi = gayadalam

ki = matriks kekakuan batang pada koordinat lokal

di = displesemen ujurg tiaptiap batang pada koordinat lokal

?i = gaya-gaya primer ( "fixed and forces")

Sehingga dalam hal ini gaya-gaya dalam final adalah merupakan penlum-

lahan gaya dalam karena displesemen titik buhul dan gaya-gaya primer'

3. "S6tem Model"

Menyusun persamaan simultan KD = F, matriks kekakuan sistem struktur(K) dan matriks beban luar (F) disusun. Sehingga dari pers KD = F di-

peroleh matrik displesemen seluruh sistem struktur (D) pada sistem

koordinat global.

Menyusun matriks I K] :

Ki M, K(i). matriks kekakuan elemen pada koordinat global Ki

(persamaan 2.7 1) dengan bantuan "MCODE"(M). indeks ("subs'

cribs") unsur'unsurnya disesuaikan dengan norror d o f pada masing'

masing "MCODE"nya' Sehingga diperoleh matriks K(rl dengan

indeks sudah sesuai dengan nomor d o f' Dengan kata lain Kt"merupakansumbangankekakuanbatangkeiterhadapkekakuansistem struktur.

NE

i-1penjumlahan matriks kekakuan batang'batangnva (r(it'

iliril62

Menyusun matriks :

[']'[']=[']- t'l

Analisis Struktur 63

Matriks beban luar I t ] adalah merupakan pengurangan dari matriksbeban titik I F ] Jan matriks gaya-gaya datam orimer f F ] ("f ixedand forces").

.- i J-CO-1E F(i), matrits beban luar pada masing-masing titik buhulF' disusun kembali dengan indeks sesuai d o f pada JCODE, sehinggaoiperorcrr F (i).

F (i ) , *rtrits beban luar titik buhul merupakan pen-

jumlahan dari beban luar masing-masing titik buhul ( NJ = "Numberof Joint"/jumlah titik buhul).

? lg i (i) , gava ujung batans/gaya-gaya primet^(s91ng juga dikata-

kan ipmen primerl atau "fixed and forces" IF i l letak unsur-unsurnya disusun kembali sesuai dengan norortd o i pada MCODEmasing-masing,.,batangnya. Sehingga diperoleh matriks "fixed andforces" L t

*'! dengan indeks unsur-unsarrnya sesuai dengan nomordof.

NE F ; r (i), "tixeo and forces" total adalah merupakan pen-

i=1jumlahan "f ixed and forces" masing-masing batangnya.

"fulution"

Dari langkah butir 3 diatas diperoleh persamaan simultan KD = F. Solusldari persamaan tersebut akan diperoleh matriks displesemen seluruh titikbuhulsistemstrukturtersebut t I O ] t.

"Elemen Forces" (gaya dalam batang)

Agar supaya dapat dihitung gaya dalam masing-masing batang (?i = t iO i +f I ). maka perlu. dihitung terlebih dahulu matriks displesemen masing-masing batang. (Ol ) pada sistem koordinat lokal. Adapun langkah untukmenghitungdladalah:

D M, D.i, matriks displesemen masing-masing batang pada koordinatglobal ( p I ), unsur-unsurnya diambilkan dari matriks D dengan bantu-an nomor indeks sesuai pada MCODE masing-masing batang.

d .i = Ai Di , matrik displesemen batang pada sistem koordinat globalDr dikalikan dengan matriks transformasi D l. sehingga diperoleh ma-triks displesemen masing-masing batang pada sistem koordinat lokaldl.

NJc-\'

i=l

4.

5,

Page 37: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

64 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Setelah diperoleh matriks d i, maka dengan persamaan 2.77 dapx dihitunggaya dalam masing-masing batangf l.

6. "Joint Forces" (gaya pda titik buhul)

Gaya-gaya titik buhul pada umumnya dinyatakan pada sistem koordinatglobal. Gaya-gaya titik buhul dihiturg dengan cttra mentransformasikan

kembali gayadalam masing-masing batang ( Pj = Y A iTfi )

i=1

Contoh Soal 1 : Tanpa beban pada batang

E = 30.000ksi,A=5in2| = 50ina

L = 10ftl4kft = 14,12 = 168k in

"Unknowns" (terdapat 3d of )

Dk, k = 1,2,3

't.

Analisis Struktur 65

"Element Models" (terdiri 2 batang)

.li=tiai,i=l,z

"System l/lodel"

- Menentukan JCODE(J) dan N4CODE(M)

L)

A

^\ ,,-i---,\_) / , ' -,,.\r,5FI\+ u

JCOD E

I.4CODE :

- Menghitungpers.2.55)

Batang 1 :

Titikbuhul 'l : JCODE(I) = i0 0 0rTitikbulrul2 : JCODE(2I = [0 0 2)Titikbuhul3 : JCODE(3) = [0 0 3,

Satansl: MCODE(I)= t0 0 0 1 0 2

Batang2: MCODE(2) = tt 0 2 0 0 3

matriks transformasi tiap"tiap batang (untuk in i d ipakai

X._X,Cos d

L

Y"_Y,

L

= 0-0

L

= 0-L

L

oloJ1.1

=0

- -t

Io)'r =l

1

L,

-1.0

0

Page 38: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

66 Analisis Strukur Dengan Cara Matriks

Batang 2 : Cos0=Xs-Xz L-0

L

Y:-YrL

0 -0Sin 0L

[r oI).2= lo 1

I

L0 0

L

2 <--7 MCODE(1 )

-V

ol,l1J

Menyusun matriks kekakuan sistem struktur I K ]

El 30000 .50Batangl u = ---T = --_-=- = 0,87- L' 120'

AL? 5 fi20126 =_ = 1440't50

coso= 0 ; s = sin 0=_1.

gr001g2 Bo -gtg3 8s -82

B6 -94

@

0

-92 rol

Kl=-93 gs

-gs 81

0

0

0

123l-r, 84 ol 1

l-so Ed o | 2

l-o o o_j 3

t, @l t v.x(l)=\--l I

93 -gs lo .-

Simetri@1,

Dengan pers2.7 1a akan dapat dihitung :

a lFc2 +12s2 )=0,87(0 + 12(-1)2 )=10,44

-q 6L 0,87.6.12O.(-11 = 626,4

q .4 .l2 = O,87 .4 . (12012 = 50112

Sesuai iumlah d o-f

9t

9z

9o

K(1)=

0l

It10,44 - 626,4

626,4 50112

o0

Sehingga :

f

Analisis Struktur 67

Batang 2 = 1440

sind = 0

1lo l-e,z tl r(2)=leoo +

i.r.0

3

3

@ES

@-94

@

o I ftzsz,e

ol.I .

,_] L,

t

t

1

@0

g2

83

00-gl -91-92 -93-94 -gsg1 8z

83

K2=

K(2)=

252,8 0

0 50112

0 25056

NEK = t K(i ) = K(1) + K(2)

i=1

2

g4

g6

E,I

501 12 25056

25056 501 12

3

s+lrc1

12soj3

0

2s056

50112

10,44

626,4

0

- 626,4

50112

0

EI

"=r-. =o'87

c = cos0= 1, s

2

@@

Dengan pers 2.71 a akan dapat dihitung :

9r = o (pc2 +12s', ) = 0,87(1440.12 + 0) = 1252,8

9e = -0.6.L.s = 0

9o = a.4.L2 = O,87.4.(12012 = 50112

gr = q.2.12 = 0,87 .2.ilr20]r2 = 25056

Sehingga :

Page 39: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

-I

69Analisis Struktur Denoan Cara Matriks08-

Titik 3 :

0

0 J F(3) =-_\.3

F =F_F=F_0=F=

- 626,4

100224

2s056

4. "So lution"

Penyelesaian dari persamaan simultan diatas adalah :

Analisis Struktur

['ll'*iLo -l

persamaan 2.22, yaitu:.simultan, sesuai

. I [,, I25056 llr, I

uo , ,, -l L". -]

Sehingga dipero leh persamaan

F = KD.

[o I f ,rur,rollli 168 I = l- 626,4ttt.Lo-J L o

f nazz+ - 626,4 . I

l- uru,o 1oo224 ,uouu I

L o 25056 uo,,r--]

- Menyusun matriks beban luar.

Beban pada titik buhul ( "Joint" ) :

ritikl: [.-l ['-11

''=l o l';1Frrr- l']|,l, tp l, );JCOD E(1 ) Sesuai dengan d o -f

ritik2, [ol , [, I

j

sz= io I o J;(2) = lroel z

[.,] ;* L;l ', Io,l [o,oooss ID = I o, l= I o,oo''n, I

L ,, I [o.ooonu-.1

"Element Forces"

-D -q Di

5.

it,i.l

o [oolo,10,

| 0.000es

010z [o,oo,r,

0

0

0

D1

0

- Dz

_

Dr= lot

0

0

o M Dr=

1

0

2l\ lr,tcooefi)

-1Dr

1

Dz

3

1

D+I

Ds

IDe

[;]

[olF3= lo I

L,]NJ

F = , = F(1) + Ft2t + F(3)i='l

['] [' I [' I [']= | o

I . lroa l* I o I = l,*iL.J L,-j1,] L,J

Beban pada batang: tidak ada, maka F = 0 Sesuai persamaan 2.1 4, maka:

Page 40: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

il

70 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Penjelasan : pada batang 1 diatas, sesuai dengan MCODE nya maka

terdapat 2 displesemen yaitu O] dan t-l I Dengan ni-lai masing-masing :

Di = Dr (indeks 1 disini sesuai dengan MCODE pada

posisi tersebut)

D'o = O, ( idem )

D2=

- Menghitung deformasi tiaptiap elemen/batang pada sistem koordinatlokal (dr =nrDr)

Batansl: [.;l [^'L.r .l = L'

D2I

D22

D23

D24

D?

D26

1

0

2 M D2=_.--..,

0'0

3

DI

0

D2

0

0

D3

1.

0

2=

0

0

3

0.00095

0,00192

0

0

-0,00096

:lt::ldl

didl

Ide

ald:

0

0

0

s

c

0

Di

Dt

Dl

DlolD:

cs0-sc0001000000000

c = 0;s = -1

0

0

0

c

-s0

0

0

0

0

0

1

Analisis Struktur 71

oolo ol0 0l

-1.1o oio ,_l

oi

dl

o1

o]

oi5

oj

0-1 0

100001000000000

0

0

0

0

0,00095

0.001s2

s0c001000000

= 1, s =

0

0

0

0

1

0

.l'l0l

0,00095 iol

o,oorn,l

oi

d12

oidl

4

ol5

dI6

Bata,ng 2 :

[.;][]':,]t,;]d2

I

ai

ai

ai

a?5

d26

c

-s

0

0

0

0

D2I

a)

D23

D24

o?5

o?o

000000000cs0

-sc0001

Page 41: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

72 Analisis Struktur Denoan Cara Matriks

-d21

d22

d23

di

d25

d26

d?I

d:

d23

di

d:_:

d26

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0,00095

0

0,00192

0

0

-0,00096

Menghitung gaya,dalam batang ("Ir= kr dr )

Batang 1: .fr=kld1.

ol

'l0l,lOI

,J

0,00095

0

0,00192

0

0

-0,00096

rI

I

kr =a

po012061

-P o

o -12061

o -p61 0

4L2 0

0p-61 0

2L2 o

0

-12-61

0

12

-6L144o

0

6L

2L2

0

-6L4L2

a = 0,87;9 =

tt!1

Analisis Struktur 73

kl

tlJ,

f;.lI

-i

rlJo

I /ll:

L,:

Batang

t2Jl

2l^

a

J3

I"4

J,arJ6

1252,8

0

0

- 1252,8

0

0

11( 1 Q

0

0

-r 252,E

0

0

0010,44 626,4

626,4 501 1 2

00

- 10,44 - 626,4

626,4 25056

- 12s2,8

0

0

1252,8

0

0

1152,8 ()

0 - )0,44

{) 626,4

12s2,8 O

0 . I (),,14

0 tr26,4

0010,44 626,4

626,4 250s6

0010,44 626,4

626,4 50',1 1 2

0

626,4

2505 6

0

- 626,4

50 t r 2

OO

10 ,41 626,4

626,4 50112

,00

I 0 ,4,1 626,1

6)6,4 2505 6

0

1,193

47,512

0

1,193

95,620

k

km

2: {1 =k?d2

1252,8 0 0

0 10,44 626,4

0 626,4 50112

-1252,8 0 0

0 - 10,44 -626,4

0 626,4 25056

0

1,193 k

3.959 k / t

0

1,193 k

7,968 k / t

1252,8 0

0 - 10,44

0 -626,4

1252,8 0

0 10,44

0 -626,4

IoI

loi,i.I

lo,0oo

le,ou ,

95

92

t=t

I

I

L

-ln,"-l

l-., I- I ja

I-t----lL'o' j

0

626,4

250s6

-626,4

501 12

0,00095-

0

0,00 r 92

0

0

0,00096

Page 42: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

il

7574 Analisis StrukiurAnalisis Struktur Dengan Cara Matriks

7. "Free Body"t1,1e k II o,oo k I [r,l= i 6,01 k/t I=lu I

i-,';,i; k I L;;']10,60k I

L o or, I

k

k

kink

k

1,19

0,60

72,16

1,19

0,60

0 l"Joint Forces" (gaya pada titik buhul)

Dengan persamaan 2.45 akan dapat diperoleh :

6.

l.1k/fl,01

(F' = 1r T {1a -a

- rl T r I-/\rb-.7- /\ ,b

T,,, J o,uo

1 10i:i-i)

\?-;PI

P ,]

P-l +

+trrrf--arut *

Fb'

Contoh soal 2 : Ada beban pada batang.

Bentuk dan ukuran strukturnya sama dengan contoh soal 1.

i , i :l [,:i,] t,:,,1

ll L';ll{ : :l ['::] [:;l- [::'J

il [;f;l r;::]

P=1

Pz=Io r

I -, 0

l-o o

f r o

lo l

Lo o

Ps=

1,68 k/fr

Page 43: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

'1

t6 Analisis Sitruktur Dengan Cara lt/bttiks

funyelesian:

Contoh soal 2 diatas adalah sama dengan mntoh soal 1, sedang perbedaannyaada pada pembebanannya. Pada soal 2 diatas disamping beban pada titik buhul3, terdapat pula beban terbagi rata pada batang 2. Pada penyelesaian disini hal-hal yang sama dengan soal 1 tidak dibahas lagi. Sedang yang akan dibahas adalahmenyusun matriks beban luar, menghitung gaya dalam dan gaya pada titik buhul.

Menyusun matriks beban luar.

Beban pada titik buhul :

Titik buhul 'l :

i:l :L.l 3

Iol

L:l

['l 1

L:]

"

'[ L;l ':

t:l ',

L.J 3

t u loI o lo JI t-->L168 k in _l 3

[*] Lil

NJF= rF(i) =F(lt+rt2ti=1

lol Irl=l.lL:l

.L:l

0

o J F(1)=\o-

Titik buhul 2 :

Tilik buhul 3 :

J F(3) =

==>

;(3) -F3 =

+ F(3)

Andir{s Sfuktur 77

Beban pada batang ( "Element Load" )

Batang 1 : tidak terdapat beban, sehingga :

{t =0 maka F(1) =O

Batang 2 : Dengan pers 2.79 akan diperoleh

F

JL =

J

L

0001000'r0001000000

0,0

8,4

-168,0

0,0

8,4

168.0

0,0

8,4

-168,0

0,0

8,4

168,0

tt

J,

Jz

{2J

l2'4pz

5

y2-6

pz-,12 t 1z=

1

0

0

0

0

0

0,0

8,4

-168,0

0,0

8,4

168,0

000000001o01

Page 44: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

T

79nt Analisis StrukturAnalisis Struktur Dengan Crara liatriks

k ll-ll._tk I ltrlkf t i =l a

II l-. I, ll/;l

rlLJOt, -l

-I

t_I

r

[- r,rsl i- o,o

lo,ooll 8,4

f'*?'= | e,or l*l-ta,o1*r,ro I I o,o

l-o,ooli r,o

L o,o _.1 l_ r+,0

1,19

1,8

7qq

1 ,19

9,0

14,0

|z M ;{2t

"Joint Forces"

I

il[;:: I

l_ 168,0 _l

i[.j:]I o,o

L -,.:;

[:] L::] L;::]r F-i =l-:l

[;*:] [:l]L,*,q

Matriks beban luar (F) sama dengan matriks beban luar pada contoh soal 1,

sehingga gaya dalam akibat displesemen (dl) akan sama pula. Dengan demikianakan dapat diperoleh gaya dalam total, yaitu pengaruh displesemen pada titikbuhul dan "f ixed and forces", sesuai dergan pers.2.77.

i i Lll;;] ffi] Lfil [']

1

0

2 M a(2)=----2

0

0

3

1,193

0,0

3,95 9

= 1rr 7^,

= trrrior I,= rr [,

0 0,0

0 1,193

1 3,95 9

0,0

1,,l91 +

7,968

"1 ,19_on

14,0

P =FrraPr=fj+ru2P. = to'

01Pr = -1 0

00= yrtir = f rrt * itzri=1

F

Page 45: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

axt

BAB IIIPROGRAMKOMPUTER

GAMBAR 3.1. STRUKTUR PROGRAM

Di bawah ini disajikan listing program komputer secara lengkap dalam bahasaFORTRAN. Program tersebut dapat digunakan untuk menghitung Portal Bidangataupun Rangka Bidang tanpa merubah program.

10

H

FRAME PROGRAM

ESULT

MBAN

D

Page 46: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

83a2 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

IDEBU6

I$U$$t$llllutu$$ltlutillltulllulrlrlrltllllltlffirltllrtlltttltt

PNI]GRAII PORIAL BIDAN6

tttlI DISUSUII 0LEH : SUSASTRAIIAII. llSc ttuuffi rilt$lrultllllltilulllurt$tltlltltllrutlttllttltttltlllltlL

C PR()GRAII UIAITA PIIRIAL EII}A}IG

cc(lililt]il F (6, 150),P(3, 125),SS(350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( 150)

c0fiil01{ E}10D il50 ), E1Eil6 0 50), CI il 50), C2 ( 150), ltct)DE (6, 1 50), I ( 2, 1 25 )

c0illt(lll JC0DE(3, 125), ltmc (2, 150), llA ( 150), 0 (6), I}x(6), 6 (7)

ct)iilt}il DJ (3, t25) , ltE, ilJ, llLc, Lc

c0tilt0t{ il80,ilEe

C

0PEll(2, tlLE=' DATA. IIT' )

0PEN (3, flLE=t HAS I L. TIT' ' STATUS='NEll' )

c

READ (2, tl llE, llJ, llLc

c

IF 0lE. LE. 150. AXD. llJ. LE. 125) THEII

00 l0 LC=lrllLC

CALL DAIA

CALL SYSTEII

CALL RESULI

l0 coltTuluE

c

EIID IF

70 sroP

EilD

SUB PR(]GRAII OATT

SUBRflIIITE DATA

c0ilt0tt F(6, t50), P (3, 125),SS(350, 25), 0(350), AREA ( 150), I I ( 150)

c0tilt0lt Ett0D050), ELEilG( 150), Cl ( 150), C2( 1 50), llC0DE (5, 150), I (2, 125)

c0illt(}il JCoDE (3, 125), llltlc (2, 150 ), ttA ( 150), D (6), Dx (6), 8(7)

Program Komputer

c0tilt0fl DJ (3, 125), llE, llJ, llLc, Lc

coffi(llt il80,ilEec

IF (LC. EE. I ) IHE}I

CALI STRUCT" EilO ITCALL L()ID

REIURII

EIIl}

c

C sUB PRI,GRA'I STRUCT

c

SUER{)UIIIIE STRUCT

. c0tilt0lt r(6,150),p(3,125),ss(350,25),0(350),AREAil50),11fl50)c(]ilil(lil 8i00il50), ELEltG 050), c 1 il50 ), c2 il 50 ), llc(lDE (6, 150 ), I (2, 1 25)

c0tflt(llt Jc(]tlE (3, t25), ilIilc (2, 150), ltA( I50), D (6), I}K (6), G (7)

c0illt0il DJ(3, 125), llE,ltJ, ilLc, Lc

cl}tilt0lt ilBD,ltEe

c

00 l0 ll=lrllEctilttlllil1il]lllllllllllillilllililllltlillllliltllltllltlt

READ(2, t) I, iIl{C ( l, I ), illilC(2, I ), AREA ( I ), ll ( I ), Ell0D( I )

cilltllilllllliltllillt$lttillilllllltllltlllIlliltilllililll0 colTliluE

cIl0 30 J=lrllJ

D{l 20 L=lr3JC0DE (1, J) =l20 c0riltlruE

30 c0[TI]ruE

ctililillllillllillllllr35 REAIT(2, t) JilUil, JDIR

cilililllllllillllllllllIr(JilUtt.ltE.0)rHEr{

JCllDE(JDIR, JllUll) =0

60.T0 3s

EtSE

crLt c0DEs

il,1 PMP

txo ttrEIUilEID

tI

tt

I2

3

4

5

6

7

I9

l0llt2l3t{l5l617

t8l920

2t22

23

24

25

26

27

28

29

30

3l32

33

3{35

36

37

38

39

{0{t42

43

4{{546

47

48

{950

5l52

53

5{55

56

57

58

59

50

6t62

63

6{65

65

67

68

69

70

7t72

73

74

75

76

7t78

79

80

8l82

83

8{

c

c

c

c

Page 47: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

ET

Analiria Struktu Dengan Cara MakiksProgram Komputar

80 c0lrTllluE

90 c0ilTliluE. REIURII

ENO

c

C SU8 PROGRAII PROPERIIES

c

SUER(IUTIilE PR(]P

c0ltlt(]il F (5, 150), P (3, 125), ss (350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( t50)c0tilt(llt Elt0D il50), ELEIG il50), c t il 50), c2 ( 1 50 ), ltc0DE (6, 150 ), I ( 2, t25)c0tiltl)il JC0DE(3, I25), iIilc(2, I50), llA ( I50), D (6), I}K(6), 6(7)c0ilil(}ll 0J (3, 125), llE, ilJ, flLc, Lc

c0ilil0lt ttB0,t{Eo

c

C IIIPUT |((]()RDIIIAT TITIK BUHUL

C

cttttttttil$urrtuttrtrtttiltiltD0 l0 X=trllJ

READ(2, t)l(, I u, K) , X (2, K)

r 0 coilT tlruE

ctlruttiltutulttltrtt$ttttutt15 00 20 I=lrNE

J = lllNC(lr I)K = ltlllC(2r I)ELI = I(lrK)-I(lrJ)EL2 = I(2rlO-I(2rJ)

. ELE}{6(l) = S0RI(ELlll2 + EL2tt2)Cl(l) = ELI/ELEll6(l)C2(l) = EL2lELEil6(l)

20 C(II{TIilUE

RETUR}I

E}III

c

C SUB PR|IGRAII L(IAD

c

SUBR{]UTIt{E LtlAO

c(}llll{}l{ f (6, 150), p(3, t25), ss (350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( t 50)c0iltl)lt gt0l}il50), ELElt8 il 50), c! 0 50), c2 il 50), ilcIlDE (6,

1 50), r ( 2, t 25 )

c0ilttl]t{ JC0DE (3, I 25), i It{c (2, t50), t{A ( t50), 0 (6), I)K ( 6 ), 6 ( 7)cl]mtl}lt ItJ(3, t25), t{E, }lJ, }t[c, Lc

c(litt0t{ lt8D, ilEe

c

8584

c

C SI'E PR|!6RAII CllDES

cSUBRIIUTIIE CtlDES

coil[o]t F (6, 150], P (3, 125) r SS (350, 25], e (350), AREI ( 150), I I ( 150)

c0itt0x Ei00 (l50), ELEllG ( 150), Ct ( 150), c2 ( 150), ltc(]DE (6, 150), I ( 2, 125)

cllmtlllt JC(ll}E (3, 125), lllllc (2, 150) r ttA( 150), D (5), 0l( (6), 6 ( 7)

c0,flt01t DJ (3, 125) , ilE,llJ,llLc, Lc

c0tilt0il il80,NEe

c

NEO=0D0 20 J=lrllJ

D0 l0 L=lr3Ir(JC{}DE(1, J).llE. 0)THEll

llE0 = llE0+lJC0DE(L,J) = ilEe

Elro Itl0 c()ilIllruE20 c0ltTINuE

c

D0 {0 I=lrllEJ = lllllC(l,I)K = lllll0(2rI)D0 30 L=lr3

llC(lDE(L,l) = JC0DE(LrJ)

llC0DE(L+3, I) = JC0DE(LrX)

30 c0ilIllruE{0 cot{TI[uE

c

C C|IIIPUIE IHE HALF 8A}II}TIDTH 'II8A}ID'c

ll80 = 0D0 90 II = I,llt

00 80 IJ=lr5D0 85 IK=IJ+Ir5

K = ltC0l}E(lJrtl)L = llC0llE(ll(rll)IF(K. ilE.0.AilD. t. XE.0) IlrEll

85

86

87

88

89

90

9l92

93

9{95

95

9t98

99

100

t0t102

103

t0{r05106

t07t08t09ll0lil12il3rr{ll5lt6n7ll8lt9120

l2rt22123

tzt125

t26

t27

t28

t29

130

l3lt32

t33t3.l135

136

137

r3B

r39

l{0l4tt42

143

144

145

t45147

t{8149

150

t5r152

153

t5{t55

t56

t57

[58159

150

l5tt52t63l6{155

166

t57.

168

ItT = IABS(K-L)

EilD IT

It(llT. 6I. llBIl)llBD=llI

C(IllIIIIUE Iil{i

ru

Page 48: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

86 Analisis Struktur Dengan Cara MatriksProgram Komputer

c(]lilt0ll Jc00E(3,125),lilltc(2,150),llA(150),0(6),DK(6),G(7) 2ltc()lllt0il DJ(3,125),ltE,ilJ,l{Lc,Lc 212

c{]tilttlil iEI),ltE0 213

c 2l{cfillflililllllllillllllllllll 2I5

l0 READ(2,1)|tlt,llAI,AcI,0lsI 216

c$illlfillllllllillllllllll[ 217

I F 0ilr.ltE.o ) IHEI{ 218

NA (ltll) =HA (ltll) + I 219

Ir(ilAT.to. l)IHEil 220

A = DIST/ELEt{6(ltil) 221

F(l,llil) = f(t,llll) 22?

F(z,ttil) = F(2,il}t) | ACIt(-1.-Alt2t(2.1A-3.)) 223

F(3,ltll) = F(3,llll) r ACTI(-DISTI(1.-A)II2) 224

F({,lll{) = F(4,llll} 225

F(5,11il) = F(s,lill) + ACTr(Arl2t(2.tA-3. )) 226

F(5,llll) = F(6,llN) + ACII(ELEll6(ltli)tAtlzr(1.*A)) 227

ELSE IF(IIAT.EA.2)THE}I 728

A=DI5T/ELEll6(llll) 229

230EL = ELEIIG(ltll)/12.

IP = ACTIELEIIE(IiI|) 231

F(l,ltll) = F(lrllll) 232

F(2,llll) = F(2rllll) + IPI(-.51(1.-Alt4+2.tAlt3-2.IA)) 233

F(3,ltil) = F(3,llll) r IPt(-ELt(1.-3.lAtt4+8.lA113-6.rArr2)l 234

F({,ll}l) = f(4,lll{) 235

F(s,ilil) = F(5,1f{) + IPt(-.sto.+Alt{-2.lAu3)) 236

F(6,llll) = F(6rlltl) + IPt(ELl(1.+3,tAtt4-4.rAlt3)) 237

Elro It 238

60 T0 r0 239

8il0 Ir 2{020 CALL ASSEiT 241

RETURII 242

Et{o 2{3c 24{

C SUB PROBRAII ASSEIIELAGE T()RCE IIATRII 245

c 246

SUBROUTIIIE ASSEilT 217

c(lilt(I}l F(6,150),P(3,125),ss(350,25),0(350),AREA(150),I1il50) 2{8cl]ilill]il Eil00il50), ELEltG050), ct 050), c2il50), llc(lDE(5, 150), I (2, 125) 219

c0liltoil Jc00E(3,t25),lilllc(2,150),ltAilso),0(6),Dx(6),6(7) 250

c0t0t0il DJ(3,125)rilE,ilJ,l{Lc,Lc 251

c(lltil0lt i80,ltE0 252

87

D0 l0 K=lrllE00(K)=0.

l0 c0trlIiluEc

D0 30 l=lrllEllA( I )=0

D0 20 L=tr6F(Lr I)=0.

20 c()llilltuE30 c0[TI]tuE

c

CALL JLIIAD

CALL IIACT

REIURII

EIID

c

C SUB PR(}GRAII JOIilT LOAOIIIG

c

SUSROUIIIIE JL(IAD

c0ltioH r (6, 150), P(3t 125), ss(350, 25), 0(350), AREA( 150), Z I ( 150)

coni()il Elt0I} ( 150), tLEltG( 150), c t ( 150), c2( 150), ic(lDE (5, 150), I (2, t25)cotiltt)il Jc0DE(3, t25), ttIltc(2, t50), llA ( I50), D(5), Dx(5), 6(7)c(]tilt(}il DJ(3, 125),ltE,ilJ, ltLc, Lc

cllil[(lil ttBD,t{Eo

c

cilfllillt1lilfi lllt$lllllllr5 REAI}(2, t) JilUI, J0lR, [0RCE

cmilt]illtlllllltilllfiilt1rIF (Jt{Ult.rE.0) IHEII

K = JC0DE(JDIR,Jllull)0(K) = F0RCE

60I05EilO IT

c

RETURII

EXD

c

C SUB PRI)GRAII IIEIIBER ACTII}II

c

SUBR{,UTI}IE IIACI

c0ilmil F(6, tso),P(3, 125),ss(350, 25), e(350),AREA( t50), I I ( t50)cl}iltllil E,t()D ( t50), ELEt6il50l, ct 050), c2 il50), [c0DE (6, 150), I (2, t25)

169

170

t7tt72173

t71175

175

177

l7B

179

180

l8l182

183

184

t85

l86tB7

188

189

190

t9 t

192

193

l9{les196

197

t98199

200

201

202

203

204

205

206

?01

208

209

210

Page 49: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

88 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

SIATEIIE]IT FU}ICII()}I

FG(Cl I, C2l, fLI, FLY) =Ct ITFLI+C2lIFLY

D0 20 I=lrNEIF0tA(I).irE.0)THEil

D0 t0 L=tr6K=ltC0DE(Lr I)IF0(.ltE.0)THElr

IF(L.EO.1)THEII0(l()=0(K)-F6(Cl(l),-C2(l),t(1, I),f (2, I) )

ELSE IF(L.EO.2)THEII0(K)=e(K)-FG(C2(l),Cl (l ),f ( I, I),F(2, I) )

ELSE IF(L.EO.3)THEII

e (K) =e

(K) -F (3r I )

ILSE IF(L.EO.4)THEil

0(X)=0(K)-F6(Cl ( I ),-C2(l),F(4, I ), F(5, I ) )

ELSE IF(L.EO.5)THEX

0(K)=e(K)-F6(C2(l), Cl ( I), F(4, I ), F(5, I ) )ELSE

0 (K) =e(K) -F (5r I )

E}ID IF

END IT

t0 coltTtxuEEilD IT

20 cor{II}ruE

RETURil

Elr0

c

C SU8 PROGRAII SYSTEII

c

suEtouTIllE sYsTEil

c(Iilt(ll{ t(5, 150), P(3, 125), ss (350, 25), I (350), AREA( 150), Z I ( 150)

c(]lilt(]il Ei00( 150), ELEllB(l50), c1 il50), c2il50), ltC(IDE (6, 150), I (2, 125)

c0lilt(ll Jc00E (3, 125), lilllc (2, 150), t{A ( 150), D(6), DK(6), 6 (7)

c0tilt0il 0J (3, 125) , llE, llJ,llLC, Lc

c(}tillt)l{ ltBD,}lEo

c

Ir(LC.Ee. l)THEll

CALL STITT

EilI} IF

c

cc

253

254

255

256

257

258

259

260

261'262aE1

251

255

255

267

258

259

270

27t?72

273

274

275

?76

277

?78

27i280

28t

28?283

28{285

286

287

2Bg

289

290

291

292

293

294

Program Komguter

CALL S(]LI/E

REIURII

END

PROGRAIT SIIFT}IES

SUBROUTI}IE STITF

c0liltt)il r(6, 150), P(3, 125), ss (350, 25), 0 (350), AREA ( I 50), Z I ( I 50)

c0lilt0il E1t00il50), ELEltGil50), c l ( t50), c2 il50), ic00E (6, 150), I (2, 125)

c(}liltt)}{ JC0DE (3, I 25 ), ll I llc ( 2, I 50), HA ( 150), D (5), DK ( 5 ), 6 ( 7 )

coilt(lll DJ(3, 125), ltE, ltJ, ilLc, Lc

c0fitt0il tt8D,ilEo

D IfiEilS t0t{ t}toEl (6, 6 ), ALP|{A ( 150 ), ALBEI ( t50 )

DATA II{DEI/l r 2t 4 fl fzt 4 t2, 3, 5, -2, -3, 5, {, 5, 5, -4, -5, 7,

| -l r-2,-1,1,2,-{,-2,-3,-5,2,3,-5,{,5,7,-{,-5,5/

D0 2 J=lrNE0

D0 I I=lrllED+lSS(l,J)=0.

I COilTI}IUE

2 COilTINUE

00 30 ll = lrt{EALPHA (ll) =Elt0D (l{) tt I (il) / (ELEI{6 (il) lr3)ALBET (ll) =Ell0D (ll)IAREA(ll) /ELEllG (il)6( I ) =ALBET

(il) tC I (ll) ltz+ 12. TALPHA (ll) lC2 (U tr2G (2) =ALBEI (ll) lC I (]l) tC2 (N ) -l 2. lALPllA (U rC I ( tl) lCz (l{ )

G (3) =ALBEI (ll) tC2(t{) tl21 12. IALPHA(}l)lC t (il) lr26 ({ ) =-ALPHA (}l) t6. tELEt{6 (il) tC2 (ll)G (5) =ALPHA(N) t5. lELEllG(ll)tCl (ll)G (6) =ALPHA(ll) t{. rELEllG (il)rt26(7) =ALPHA (il)12. rELEllG(il) lr2

ASSEIIBLAGE STITTilESS (FAI(IORISASI)

00 20 JE=lr6J=llC0DE(JEr ll)lF(J.Ee.0)60 T0 20

Dll IO IE=JEI6I=llC0l}E( lErll)Ir(I.Ee.0)60 T0 t0

f=l-J+l

89

C

C SUB

c

c

c

c

295

296

297

298

299

300

301

302

303

30{

305

306

307

308

309

310

3il312

313

3t4315

3r5

317

3lB319

320

321

322

323

32{

325

326

327

328

329

330

331

332

333

33{

335

336

Page 50: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

90 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

l020

30

L=IABS ( IIIDEI ( JE, IE) )LL=lllDEI(JEr tE)/LSS( J, l( ) =SS(J, K) +6 (L ) TFL0AI (LL )

C(l}IT I}IUE

COIITII{UE

coilr tiluE

REIURil

ENO

PR(!GNAi SOL'JING OT EOUAIIOII

SUEROUTI}tE. SOLVE

c0tiltt)il F(5, t50), P(3, 125), ss(350, 25), 0 (350), AREA( 150), I I ( 150)

cllIil0tt Eil()D ( t50),81tlt6il50) , c t il50) , c2050) ,llc()DE (6, 150),I (2r 125)

c0ilttlt{ JC0DE(3, 125}, lil}lc(2, 150), }lA( I50), D(6), Dx(5), 6 (7)

c0lilt0il 0J (3, t25) , ltE,ltJ, ]lLc, Lc

c0t$t(lil lt8D, il80

IIITEGER HEII

IF(LC.ltE.r)60 I0 800

HBL=iB0+l

D0 790 ll=t,llE0

. D0 780 L=2rHBll

IF(sS0l,L).Eo.o. )60 I0 780

I =ll+L- lSUS=SS (tlr L) /SS (llr t )

J=0

D0 750 K=LrHBll

J=J+ ISS( I, J) =SS( I

' J) -SUSISS (il, K)

750 Cor{IIilUE

SS (ll, L) =SUS

780 C0XIIilUE

790 C(lt{TIXUE

800 D0 830 il=t,l{E0D0 820 L=ZrtlBll

IF(SS(t{,t).E0.0. )60 T0 820

I =l{+L- Ie( I ) =0( I )-SS (ll,L)t0(ll)

820 C0ITIilUE

0(il)=e(il)/SS(llr l)830 Ct)ilTIltUE

337

338

339

3{034t342

3{334{

345

3{6347

3{8349

3s0

351

352

3s3

354

355

356

357

358

3s9

350

36r

362

363

36{

365

365

367

.368

369

370

37t

372373

37{375

376

371

378

c

c su8

C

Prooram Komouter 91v

D0 850 ll=2rtlE0 379

ll=llE0+l-il 380

00 850 L=ZrtlBI 381

IF(SS(}|,L).80.0.)60 I0 850 382X=ll+L-l 383

e([)=0(ll)-SS(]1, L)10(K) 38{

850 C(II{TIIUE 385

850 ColrTIilUE 385

RETUR}I 387

EltD 388

c 389

C SUB PRtlBRAi NESULT 390

c 39rSUBROUTI}IE RESULT 392c0liltoN r(5,t50),P(3,125),ss(350,25),0(350),AREA(l50),zt(t50) 393

ctllilt0il Ett0Dil50),ELEltG(l50),ctil50),C2(150),ltc0DE(5,150),I(2,125) 394

c(]illt0ll JC0DE(3,125),lllllc(2,150),ltA(150),0(6),I)l((6),G(7) 395

c0tiltlllt 0J(3, t25),ilE,ltJ,t{Lc,Lc 398

c(liltt(}t{ tt8D,l{80 397

c 398

D0 20 J=lrt{J 399

D0 l0 L=lr3 {00P(L,J)=0. {01

t0 c0lrlliluE 40?

20 coilItruE {03c 40{

ctLL t(lRcEs {05CALL llUIPU {06

c {07nEIURlt {088il0 {09

c {t0C SU8 PR()GRAI T{}RCES {IIc {12

SUEROUIIITE IORCES tI3c(lilil()il f(6,150),P(3,t25),ss(350,25),0(350),AREAfl50),ZIu50) {t{c(l[iloil 8il00(l50),ELEllG050), ct il50), c2( 150), llc0DE(6, 150), I (2, t25) { t5cl]lilt0IJ00DE(3,125),lllllc(2,150),ilA(150),0(6),DK(6),6(7) 4t6c0tilt0t{ DJ (3, 125) , }tE, ilJ, ilLc, Lc { t 7

c0ilt0ll tt8D,t{80 {t8c{lilI()l I {19

c t20

Page 51: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

92 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

D0 l0 I=lrltECALL ELEIIF

CALL JOIilITt0 c0l{TI{uE

REIURII

EIID

c

C SU8 PR(IORAII ELEIIEilT TORCE

c

SUENOUII}IE ELEIIF

clltiltl}N F(6, 150), P(3, t25), ss(350, 25), 0(350), AREA( t50), Z I ( I 50)

c0ilil0lt 8il00il50), ELEilG ( 150), ct ( t50), c2 il50), llct]oE (6, 150), I (2, 125)

ctlitt0il JCI]DE (3, I 25), iltilc(2, 150), NA ( I 50), D (5), I)K (5), 6 (7)

c(lin()il 0J (3, t25), NE, ilJ, ltLc, Lc

c{)ilttt)lt ttBD,ilE0

colfioil I

c

00 l0 L=tr6K=llC0DE(1, l)IF(K. ilE. O} THEII

D(L) = 0(K)

ELSE IF(I(.EO.O)THEII

D(L) = 0.

EHO ITIO C()}ITIilUE

c

DK(l )=Cl ( I )tD( I )+C2( I)tD(2)DK(2)=-C2( I)t0( I ) +Cl ( t)rD(2)DK(3)=D(3)

0K({) =ct ( I)10({)+c2( I)10(5)Dl((5)=-C2 ( I )t0({)+Cl ( I )tD(5)0K (6)

=0 (6 )

c

A=Ell0O( I ) tI I ( I ) / (ELEllG( I ) U3)8=Ell00 ( I ) TAREA( I ) /ELEll6( I )

Fl =Bt (0K ( t ) -0K({) }F2=Al( 12. t (DK(2) -DK (5) ) +6. rELEllG( I ) I (DK (3)+DK(5) ) )

F3=Al (6. lELEtlG ( I ) r ( Dl( (2) -Df (5) ) +2. lELEllG ( I ) tt2t (2. tOK(3) +DK(6) ) )

F6=F2tELENG(l)-F3

C

F(lr I)=t(1, I)+FlF(2, l)=t(2, I)+F2

421

422

{23

421425

{25427

{28429

{30

{31

{32

433

{3{435

{36

437

{38{39{{0441

442

{{3{44{{5{{6147

{48{{9{50

451

{52{53{5{455

{56

457

{58459

{60

{6t462

Program Komputer

F(3, I)=[(3, I)+F3 '{53F({, l)=F({, I)-Ft {6{F(5, I)=F(5, I)-F2 465

F(6, I)=F(5, I)if2tELEl{6(l)-F3 {66c 467

RETUR}I {58Elil, {59

c {70C SU8 PROGRAII JOItlT TORCI 471

c 472

SUEROUII||E JtlIilTT {73c{ltilt0lt F(6,150),P(3,125),ss(350,25),8(350),AREA(l50),2Iil50) {7{c0tilt(llt Ettt)Dil50),ELEttGu50),c1il50),c2050),ltct]I}E(5,150),x(2,125) 475

c(lnil()il JC0DE(3,125),nlilc(2,150),11Ail50),0(6),DK(6),G(7) {76ct]ilil0lt IIJ(3,125),ltE,ltJ,NLc,Lc 477

c0iltt()ll i8t),il80 lzac()lilt0x I 47sc {80

c STATEilEI|T FUltCIt0il 48tc lgzf6(Cll,C2l,tLI,FLY)=ClllFLIlC2ltFLY {93c 48{J=ltlll0(lrl) {BsX=llltlC(2r I ) {86

c {97P(l,J)=P(l,J)+FG(Cl(l),-C2(l),F(l,l),F(2,1)) 4ggP(2,J)=P(2,J)+f0(C2(l),Ct(l),F0, I),F(2, I)) {89P(3,J)=P(3,J)+F(3, I) {90

c {91P(l,K)=P(l,l()+tG(Cl(l),-C2(l),F({, I),F(S, I)) 4gzP(2,K)=P(2,l()+FG(C2(l),Cl(l),f({, I),F(S, I)) {93P(3,K)=P(3,K)+F(5, I) {9{c lgsREIURT{ 495Ell0 4jlc 498

c suB PR06RAlt 0UIPUT {99c sooSUBROUTII{E 0UTPUT S0lct]Htt0il F(5,150),p(3,125),s5(350,25),0(350),AREAil50),2Iil50) 502c0fiil0lt Eil00il50), E1EilG il50), c1 il50), c2il50), ltc00E (6, 150), I (2, 125) 503c0,iltt]l{ JC0DE(3,125),illNc(2,150),}lAu50),0(6),DK(6),6(7) 50{

93

Page 52: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

c(llill0ll I}J (3, 125) ,llE,llJ,llLc, LC

c0il10il lt8D,llE0

gRIIE(3,90)LC

TRIIE(3, l0o)ItRITE (3,500)

IRI IE (3,200)

ItRIIE(3,500)TRITE(3, l0o)D0 20 l=lrllJ

00 l0 J=tr3K=JC0DE(Jrl)It (K.llE.0) IHEII

DJ(Jr l)=0(10

ELSE IF(l(.EE.O)IHEII

DJ(J' I)=0'EilO IT

l0 c0lllllluE

I|RITE(3, lll) I,llJ(1, I),DJ(2, I),DJ(3, I)20 c0ilIliluE

lrRlIE(3,100)rntTE(3,333)

IRIIE (3,300)

ItRITE(3,700)

lrRlTE(3,100)

IR IIE (3,800)

IIIIE(3f300)D0 30 l(=lrllE

rnlTE(b,222)r, r( I, l(), F(2r lo r r(3, K) r F({r l(} ' F(5r K) r F(5' l()

30 c(lffillluEItRITE (3,300)

rnlIE(3,333)

IRITE(3, t00)rnlTE(3,900)gRITE(3,200)

HRITE(3,600)

IEITE(3,100)D0 l0 J=lrllJ

IIRITE(3, t I I )J, P ( l, J) '

P (2' J), P (3, J)

505

506

507

508

509

510

5il512

5t35l{515

516

5t7518

519

520

52t

5??

523

52{

52s

s26

s27

328

i2e530531

532

533

53{535

536

537

538

539

540

541

5{25{3544

5{55{6

Proqram Komputer

{0 c0}tTliluEIIRITE(3,100)

IIRIIE(3,333)c

90 F0RltAT(///,5I, tLoad Condition nurbrr :',13/)loo F(lRltAT(6I,{7(', -' ) )

200 F0RltAT( l3I, 40(', -', ) )

3oo F(]RttAI(6Ir 73(', -', ) )

400 r0R[AT( 14I,65 ( ' -', ) )

500 t0RllAT(23I,'Joint Di:placcrtnts' )

500 F0RllAI(6I,'Joint Direction I Dirtction 2 Direction 3')700 fORiAT(37I,'Locrl Eltrent Forces' )800 F0RllAT(5I, t Elcttnt

"5Ir

t I l

"9I,

t f2" 9Ir' f 3', 9Ir' I4', 9I,' l5', 9I,| ,f6,)

900 F0RltAT(26I,' Joint Forcts' )

I I I F(IRI{AT(6I, I{,3({I,E10.3) )

222 F0RIIAT(6I, 15, 6( lI,El0. 3) )

3:B toRnAI(' ')RETURII

. E}II)

95

547

548

s{9s50

551

552

553

5s{555

556

557

558

5s9

s50

55t

562

s53

56{

555

566

Page 53: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

il

9796 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks Prooram KomDutet

3.1. Penjelasan Program Komputer

Baris 1 - 34

Ba ris 23

Baris 36 - 51

Baris 46 - 50

Baris 53 - 84

Baris 62 - 66

Baris 68 - 72 :

PROGRAM UTAMASesuai gambar 3. 1, terdiri atas 3 buah sub program DATA,SYSTEM dan RESULT.

lnput data NE, NJ dan N LC

NE = Jumlah batang ("Number of Element")NJ = Jumlah titik buhul ("N umber of Joint" )

N LC = Jumlah kondisi pembebanan("N umber of Load Condition" )

SUB PROGRAM DATASesuai gambar 3. 1, terdiri atas 2 buah sub program STRUCTdan LOAD.

Sub program STBUCT cukup dipakar 1 kali, sedang sub pro

gram LOAD dipakai berkali-kali untuk setiap proses hitunganyang terdiri lebih dari satu kondisi pembebanan. Hal ini beranibahwa data strukturnya tidak perlu dihitung berulang-ulanguntuk lebih dari satu kondisi pembebanan.

SUB PROGRAM STRUCT.

lnput data struktur, yaitu :

I = Nomor batangMINC( 1,lI = Nomor titik buhul kiriikecii[/llNC(2,1) = Nomor titik buhul kanan/besarAREA(l) = Luas tampang batang

Zl(ll = Momen inersia batang

EMOD(l) =. Modulus Elastis batang

Semua titik buhul yang ada dianggap bisa bergerak bebas(tidak da kekangan/konstrain ).

Contoh :

Baris 74

"1 " berarti bergerak

GAMBAR 3.2 STRUKTUR TANPA KONSTRAIN

: lnputkekangan/konstrainINUM = Nomor titik buhul yang dikonstrainlDlR = Arah kekangan/konstrainContoh : Gambar 3.2 diatas

, , \ Pada titik buhul 1 diiePit atau

1 2 )dikonstraindalam arah 1,2dan3

1 3/, ,\2 2 \titlt2-idem-2s/

il{litttil

{lfl

"0 " berarti dikonrtrain

Page 54: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

98 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

baris 76 - 79

Baris 86 - 130 : SUB PROG RAM CODESBaris 86-103 : SUB PROGRAM CODES

Sub program ini untuk menentukanMBD (MBAND)

Barisg5-103 : - Mengubah angka 1 pada JCODEnya, sebagai contoh dari gambar

JCODE(1) =

JCODE(2) =

JCODE(3) =JCODE(4) =

Titik buhul dengan arah yang dikonstrain, JCODE nya di-matikan/dinolkan, sehingga gambar 3.2 menjadi :

,08 \o trGAMBAR 3.3 STRUKTUR DENGAN KONSTRAIN

JCODE, I\/ICODE dAN

menjadi penjumlahan-

3.3 dirubah menjadi

000000123!56

0

tr

GAMBAR 3.4 JCODE DIJUMLAHKAN

99

it*

{i

(r

it

ti

Proqram Komputer

Baris 105-1'12

Baris 1 14- 1 30 :

Baris 132-158

Baris 144-i 46

Baris 1€-156 :

Baris 160-183

Baris 185-204

Baris 195-201

Setelah dijumlahkan maka akan diperoleh NEO ("Number

of EOUATION" = JUMLAH PEBSAMAAN SIMULTAN)

Menentukan MCODE, sehingga untuk contoh diatas akan

d ipero leh:

MCODE(I)= [0 0 0 1 2 3]MCODE(2) = [1 2 3 4 5 6]MCODE(3)= [0 0 0 4 5 6]

- Menghitung MBAND dari matriks kekakuan. system

struktur, untuk mntoh diatas maka :

MBD= 6-1=5.

(MBD dipakai untuk menghemat memori dalam komputer).

SUB PROGRAM PROP.

Sub program ini dipakai untuk input data koordinat titik-titik buhul dan menghitung matriks transformasi batang.

lnput data koordinatK = Nomor titik buhulX(1, K) = Absis

X(2, K) = Ordinat

Sesuai dengan persamaan 2.55, maka

c1(l) = cos0 = c

A(ll -- sin 0 = s

SUB PBOGRAM LOADPembebanan disini dibedakan atas 2 macam, yaitu bebanpada titik buhul (sub program JLOAD) dan beban pada

batang (sub program MACT).

SUB PBOGRAMJLOAD

lnput data beban pada titik buhulJNUM : "JOINT NUMBER" yaitu nomor titik buhul.JDI R : "JOINT DIRECTION" yaitu arah pembebanan.

1 : arah datar2 : arah vertikal3 : arah momenFORCE : besar gaya. dengan arah positif kekanan, keatas,

berlawanan arah jarum iam,

Page 55: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

100 Analisis Strullur Dengan Cara Matriks Prooram Komputer l0t

Nampak pada barisO(K). Dalam hal Kpada arah beban

Contoh.

199 bahwa motasi beban luar dipakaimen unj ukkan nomor deraj at kebebasan

tersebut, sesuai dengan gambar 3.4.

P4--

Baris 28F297

Baris 299-344

Baris 317-326

Baris 728-342

SUB PROGRAM SYSTEMSrb program ini dipakai untuk membentuk matriks ke-

kakuan system strr*.tur (dengan sub program STIFF)sehingga diperoleh persamaan simultan system struktur.Sedang sub program SOLVE dipakai untuk menyelesaikanpersamaan si multan tersebut.

SUB PROGRAM STIFF

Matriks kekakuan masing-masing batang pada sistemkoordinat global (sesuai pers 2.7 1 dan pers 2.7 1al.

Penyusunan matriks kekakuan system struktur secara

"banded". Secara skematis dapat ditunjukkan sebagai

berik ut.

#tr

GAMBAR 3.5 BEBAN TITIK

Dengan bantuan JCODE pada gambar 3.4 maka diperoleh:

Baris2O6-243

Baris 216

Baris 220-238 :

o(4) =*P

Tanda "-" berarti arah kekiri.

SUB PROGRAM MACT

lnput data beban pada batang

MN : Nomor batang

MAT : Macam / Tipe pembebanan

1 = beban terpusat2 = beban terbagi rata

ACT : Besar beban

DIST : Jarak dari titik kiri

Untuk menghitung "fixed and forces" sesuai dengan

2.78 dan2.79.

SUB PROGRAM ASSEMF

Sub program ini dipakai untuk menyusun matriks beban

luar total yang merupakan penggabungan dari beban pada

titik buhul dan beban Pada batang.

Kij = A,..k = i-i+1

GAMBAR 3.6 "BAND STORAGE"

Baris 34f388 : SUB PROGRAM SOLVEPersamaan simultan yang diperoleh dari sub program

SYSTEM diselesaikan dergan sub program SOLVE. Vektormatriks O yang semula sebagai vektor matriks beban luar,keluar dari sub program SOLVE sebagai vektor matriksdisPlesemen (O(l), I = 1, NEO).

Baris 390-O9 : SUB PROGRAM RESULTSub program ini dipakai untuk menghitung gaya batang,gaya thik buhul (dengan sr^tb program FORCES) danmenyajikan hasil hiturgan (dengan sub program OUTPUTI.

&

Baris245-281

Page 56: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Program Komputer 103

Baris 411-426 :

Baris 428-469

Baris 438-445

Baris 447-452

Baris 454-466

Baris 471-497

Baris zl83

Baris 488-490

Baris 492-494

Baris 499-566

Baris 515-522

SUB PBOGRAM FORCESSub program ini terdiri 2 bagian. yaitu :

- srb program ELEMF, untuk menghiturg gaya batang.- sub program JOINTF, untuk menghitung gaya pada

titik buhul.

SUB PROGRAM ELEMF

Menyusun matriks displesemen masing-masing batangpada sistem koordinat global. Matriks displesemen tersebutdiambil dari matriks displesemen sistem struktur denganbantuan MCODE masing-masing batang (perhatikan baris43tl dan baris 441).

Menghitung matriks displesemenpada sistem koordinat lokal (6 = ,1

Menghitung gaya batang (f = k d )

k = matriks kekakuan batanglokal.

SUB PROGBAM JOINTF

Sebuah furgsi untuk menghitung gaya titik buhul, yaitudengan rumus :

p = ).rJMenghitung gaya titik buhul pada ujurg batang dengannomor titik buhul kecil"

Menghitung gaya titik buhul pada ujung batang denganr.}ornor titik buhul besar.

SUB PBOGRAM OUTPUTSub program ini digunakan untuk menyajikan hasil hitung_an.

Menyusun matriks displesemen masing-masing titik buhulpada sistem koodinat global. Matriks displesemen tersebutdiambil dari matriks displesemen sistem struktur denganbantuan JCODE masing-masing titik buhul (perhatikanbaris 516 dan 518).

Untuk rnenuliskan matriks displesemen masing-masing titikbuhul.

Baris 535

Baris 546

: Untuk menuliskan gaya-gaya batang.

: Untuk menuliskan gaya pada titik buhul.

masrng-masing batangD).

pada sistem koordinat

3.2 Fenyusunan Input Data

1. Data konstruksi / lihat baris 23 pada Program Komputer)

IUN4LAHBATANC

(NE )

I UM LAHTITIK

(N,l )

IUNIILAH TYPEPEMBEBAN AN

N LC

2. Data batang (lihat baris 64)

3. Data batang (lihat baris 64) :

NO TITIKI ARAHI tr, z, l)

(|NUM) I Uorn) 1 : arah horisontai2 : arah vertikal3 : arah Putararl

* Tulis angka 0 (nol)sebagai akhir data.

r 45)4. Data koordinat (lihat baris

NOTITIK I X I Y

K I x(1, K) | x(2, K)

5. Data pembebanan pada titik (lihat baris 195)

NO TITIK ARAH I BESAR GAYA(1 ,2,3)

(,NUM) ('DtR) | (FoRCE)

1 : Gaya Horison [al

1 : Gaya Florisontal2 : Gaya Vertikal3: Momen

* Tulis angka 0 (nol)

sebagai akhir data.

NO BATANG NO UIUNG1

NO UIUNG2

LUASTAf\4PANG

IvlolvlENINERSIA

MODU LUSE LASTI S

(r) MrNC(1,1) rvltNC(2,t) AREA(r) EI il) EMOD(I)

Baris 524

Page 57: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

104 ArralisisiPtruktur Dengan Cara Matriks

6. Data pembebanan pada batang (lihat baris 216)

: Beban titik: Beban terbagi rata

* Tu lis ang ka 0 (no I)

sebagai akhir data.

BAB IVAPLII(ASI PROGRAM KOMPUTER

Di bawah ini akan diberikan contoh penggunaan program komputer pada

beberapa jenis konstruksi, yaitu: konstruksi portal bidang, konstruksi rangka

bidang dan sebuah konstruksi dengan beberapa kondisi pembebanan'

4.1. Konstruksi Portal Bidang

,1 u,4tt l'/nrl

v,

A

,I

--- (,.{-i'

ci t',

\

E = 70. 106 k N/m2

| = 3.10-3m4

L = Im A-- O,OZmz

P = 100k N

,I EN IS BEBAN

(MAT)

GAMBAR 4.1 PORTAL BIDANG

Page 58: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Aplikasi Proorarn Komputer 107

Locel €luent [orces

tl errnt fl f6f5f{f33411122233341112134142001 0.0

2 3.0

3 9.0

4 11.0

22313233001200

0.02 0.003

0.02 0^003

0.02 0.003

70000000.0

70000000.070000000.0

t -.749t+02 .295E+03 .5{3E+03

2 -. l0BE+03 -. I I lE+03 -.332Er03

3 -.50{E+02 .{27E+02 . l9lE}03

.7{8E+0? -.5498+02 .3328}03

.l0BE+03 .lllE+03 -.341E+03

.604E+02 -.427[+02 -. {{7t-04

Joint Forces

Joint 0irection I Direction 2 Direction 3

0.0

4.0

5.0

1.0

-100.0100.0

200.0

-150.00.0

-48.00.0

I21

4

-. 281 E+03

-. r53E-0{

. l00E+03-. I I 2Er02

. I t7E+03 .543E+03-. l00E+03 .305E-04

.269t+03 -. l50E+03-.73tE+02 -.{{7E-04

0.0

0.0

4.2. Konstruksi Rangka Bidang

= 21000000t1m2

= 0,002 m2

tr

P = lton

tr

E Z 2r ooo ooo trlnr2Ai o,OO2 nrz

E

A

E]Hasil hitungan adalah seperti nampak dibawah ini :

Load Condition nurber : I

Joint Displrcemnts

Joint I)irertion I 0irection 2 Dirtction 3

(9,

I2

3

4

.000E+00

.7378-02

.6{ I E-02

.0008+00

.000E+00

-.5t 9E-02

.342E-02

.696t+00

.000E+00

-. l3.rE-03-.2698-03-.230E-02

P:ltoni

ili

I

Susunan input data :

GAMBAR 4.2 RANGKA BIDANG

Page 59: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

109108 Analisis Struktur Dengan Cara Matriks Aplikasi Program Komputer

Susunan input data : Hasil hitungan :

Load Condition nurber : I107112132435363748595

106

0.0020.002

0.0020.0020.0020.0020.002

0.0020.0020.002

1

2

4

4

4

5

b

6

6

7

7

0.0

0.00.0

0.00.0

0.0

0.0

0.0

0.00.0

21000000.021000000.0

21000000.0

21000000.021000000.021000000.0

21000000.021000000.0

21000000.021.00000.0

.000E+00

.000E+00

-. l90E-03

. {29E-03-.238E-03

. 6 I 9E-03

.6678-03

Joint Displacerents

Joint Dirrction I Dirrction 2 Direction 3

I2

3

4

5

5

7

.000E+00 .0008+00

.000E+00 .000E+00-. l3tE-02 .0008+00-. I l0E-02 .000E+00-.270E-02 .000E+00-.255E-02 .0008+00-.37{E-02 .000Er00

1112

21222 3

------------>3 3- ---+43536373001 0.0 0.0

2 0.o 2.0

3 2.0 0.0

4 2.0 2.O

5 4.0 0.0

6 4.0 2.0

7 6.0 .2.0

3 2 -2.O5 2 -2.07 2 -1.0000.00 0 0.0 0.0

khusus untuk Rangka Bidang

idem

idem

idem

idem

idem

idem

Local Elerent Forces

Elerrnt fl 12 f3 t4 f5 f5----;---:;;;;;;;--

:;;;;;;; :;;;;;;;' ::;;;;-;;---:;;;;;;;-- :;;;;_;;2 .707E+01 .0008+00 .000E+00 -.707E+01 .000E+00 .000E+003 -.900E+01 .000E+00 .000Ei00 .900E+01 .000E+00 .000E+00{ -.5008+01 .0008+00 .000E+00 .500E+01 .000E+00 .000E+005 . t00Er0l .000E+00 .000E+00 -. l00E+0t .000E+00 .000Er006 .{2{E+01 .000E+00 .0008+00 -.{24Erot .000E+00 .000E+007 -.{00E+01 .000E+00 .000E+00 .400E+01 .0008+00 .000E+00I -.300E+01 .0008100 .000E+00 .300E+01 .000E+00 .0008+009 . l4tE+01 .000t+00 .000E+00 -. l4tE+0t .000E+00 .000E+00l0 -. l00E+01 .000E+OO .000E+00 . l00E+01 .000E+00 .000E+00

Joint Forres

Joint Direction I Direction 2 Direction 3

I2

3

{5

6

7

. 900E+0 I-.9008+0t

.7lsE-06-.2388-06-.556E-06

. l3lE-05

.250E-0s

.500E+01

.0008+00-. 2008+0 I-. {778-06-.200E+01

.8588-05-. l00E+01

.000E+00

.0008+00

.000E+00

.000E+00

.000E+00

.0008+00

.000E+00

Page 60: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

110 Analisis S"truktur Dengan Cara Matriks

4.3. Strukur deng*t kondisi pembebanan lebih dari satu'

Kondisi 1 :

r _1,E = 70.106kN/m2| = 3.10-3ma

'a

A - 0,02 m'

P = 100kN

cl = 50kN/ml

Kondisi 2 :

Itr

tro

Kondisi 3:

Kondisi 3 :

Susunan input data :

6631130.022240.O23340.O24350.025460.026560.0211121321222300

0.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.00.003 70000000.0

GAMBAR 4.3 : a) Beban vertikalb) Beban horisontalc) Kombinasi vertikal dan horisontal

@

^

Page 61: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

112 Analisis Sruhur Dengan Cara Matriks

1 0.0 0.0

2 6.0 0.0

3 0.0 4.0

4 6.0 4.0

5 0.0 8.0

6 6.0 8.0

000.03 2 -50.06 1 -100.0000.03 1 100.0

5 1 200.0

000.0000.06 1 100.0

000.03 1 - 100.0

000.0

Loral EleuEnt [orieE

El er*nt fl t2 f6f5{4

2.0

3.0

0.0

I,?

?-{.J

i

. I 16t+03 -. t60E+..)l

, t8{Er0l . t;0Er02, l?Yi+0: .548Er01Slli+rl1 - 1Q'iFril-:

. +89E+0: . ?g9E+0i

.?BlE+0: ,5llE+,;:

-. 1 t5E+03 . l60E+0: -.395E+02-. l84E+03 -. 15DEr0': ,.{43E+01

,1i'9E+02 . 135t+03 -. 1C4E+03

-,5ltE+0: .28,.iElrj2 -.627i+02-.183E+0? -.289E+02 .562t+0:-,289E+02 .{3',1E+0i -,5btEi0:

-, i45E+02

, l!bEi0:.922E+0?

- , 5i7E +0:

.533E+02

,DrlE"l.l-

0.0

s.o

0.0

Joi nt Forces

Joinf Direition I Direriion i Dirertion 3

I

J

{.l

i

. I 50E+0?

- lirlEr,l:,

,ljrJrjLrrl(./

-.38iE-05-, 57:E-0s

. 1 1ti+03 -.245E+02

,1S{8i03 .19&ii0:-.1r1E-04 -,763E-05-.53.+E-04 -.305i-04

. 38 I E-05 . 763t-05

.000E+00 -. l9lE-0'lHasil hitungan :

Load [ondiiir-rn nuuber r I

Joint I}isplacenents

Joint Direction I Direction 2 Direction 3

Load Conditiun nurber : 2

Joint Displai*rents

Jnint Dirertir-rn 1 0ir*rtion 2 Dirertion 3I2,,

{q

6

.000E+00

.0008+00

-. l20E:03-. 6{8E-0{-.91 rE-0{-.215E-03

.000E+00 .000E+00

.69$t+00 .000E+00

-.331E-03 -. l43E-03-.526E-03 .235E-03-.4778-03 -,?38E-03-.6668-03 .2068-03

1

t,]

tc'J

6

.000E+00

. 000E+ 00

,780E-02

.759E-02

. I 70E-0 I

. I 65E-0 I

,000E+00 .000E+00

,000E+00 .000E+00

,570E-03 -, l97t-02-,570E-03 -. 191E-02

,789E-03 -. r3gE-02

-.789E-03 -. l34E-02

Page 62: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

Aplikasi Program Komputer 115

Loral Eletent For':esLoral Elerent ForceE

f5f5f'tIJf2f5f5f4l,)lu{t EI erurt ftEI erent fl

t-/.j

t-

6-

t-

.j

{-J

6

I

1

4cJ

€,

.199t+03 .15it+03

.199E+03 ,149t+03

,49/t+(rl -.121t+tl3

.768E+(i2 .169t+03

,7LgE+q2 .99tE+02

. c95E+02 -,768E+02

, ttrE+03 -.151t+03

-,199E+03 -.149t+03

-.4glt+0i , l23E+03

.75[i+02 -.16(|i+03

-, TEBE+(12 -.93[tr02-.9i6E+01 .759t+02

,3i 1t+0i ,378i+02

. 1_36i+03 ,622E+02

, 280E+0 I . E20E-(.) t

,3u?E+02 ,407E+0?'.ri ti ri) ,, \v'.!i +Il /

.1078+02 -.352E+02

,125t+03 .3bli+02.158i+03 -. l35E+f3

_,ESgE+02 _.29et+i)l

.561t+Ci ,3tiE+u:

. l:iE+03 -.36iE+(r2

-.103E+03 ,4ir7E+07

-.378E+02 ,25ii+0?-,6??l+(t? .908i+02

,YY9t+02 -.:l{t+03-.407E+02 .103E+03-.5iJE+02 ,114t+03

.3f,2E+0? -. l14E+03

.467t+03

,397t+(r3-. r70E+03

. I 70E+03

. 15,1t+03

-. ',3iE+03

. ?00E+03

, 19i,t+03-, :l;,rE+03

'r1?Frfr1

,229t+03-, ??9E+03

J,:int [':rrtE

Jaint Dire,:tiutt I Direititrrr i Dirt':tion 3

J,:i ni F'-rri es

J,:int Dirr,:ii,:n I 0ire,:tion 2 0irrttt,-rtl 3

I

I

J

4g.J

b

-. l5':E+03_. 14St+(r3

. I 00t+03

. 153E-(t3

, ?00E+01

, i 03E-0:

_,19!t+03I Qif +{i1

.38 tE-04-. 763E-ii5

,76it-03-, i29E-ii1

,4078+'J-l

.397E+03

.107E-t'r:

. 198i-0-?

. t53E-l'4

,2?9E-0-?

-. i I ot"ui-.E!?E+02

.0008+0i

.648E-04'luIlL -I) l

. I 00t+03

-,3ilt+{.}: .l:;E+CrJ

. l3f,E+03 , l:Bi+03, 763t-{j5 -,3r,"5E-0{

-.i63E-05 .153i-04-.3Alr-u5 .2:?i-0{-,114E-(i1 .rl0t-ii4

Load Curdition nuDber I 3

Joint 0i:plaierents

J,lint Dir*itinn I Direction 2 0iretti':tt 3

I

i

'

I?

J

.t

5

6

,000E+00

,0008+()0

.287E-02

. ?gsE-02

.690E-02

.707E-02

,000t+00 .696t+00

, (i00E+00 .66$t+00

. r03E-03 -.952E-03

-.389E-03 -.638E-03

.206E-03 -.548E-03

-.492E-03 -.7lBE-03

Page 63: Analisis Struktur Dengan Cara Matriks

DAFTAR PUSTAI{A

t-.u. Bhirud, 1975, MATRIX OPERATIONS ON THE COMPUTER, Oktord& IBH Publishlng Co, New Delhi.

Siegfried M. Holzer, 1985, COMP(/TER ANALYSIS OF STRUCTURE! MatrixStructural Analysis Structured Programming, Elsevier Science PublishingCo., lnc, New York.

William Weaver, lr. James M. Gerej, Wira. 1986, ANALISA MATRIKS UNTUKSTRUKTUR RANGKA, Penerbit Erlangga, Jakarta - lndonesia.

Kardiyono Tiokrodimuljo, 1988, BAHAN KULIAH PADA KURSUS SINGKATDl PAU UGM, Yogyakarta.