ANLISIS TRIGONOMTRICO

ANLISIS TRIGONOMTRICORELACIONES ENTRE FUNCIONES TRIGONOMTRICASPara deducir las relaciones fundamentales que existen entre las funciones trigonomtricas,observemos el siguiente tringulo:

En la grfica podemos aplicar varios conceptos ya vistos:

Si se divide ahora la funcin coseno entre la funcin seno:

Si se compara los resultadosencontrados para el valor de la tangente y la cotangente,se puede deducir que stasdos funciones son inversas, luego entonces:

Igualmente pasa al comparar las funciones secante y coseno de A, y tambin en elcasode las funciones cosecante y seno de A. En los dos casos se puede decir quelasfunciones son inversas. Veamos:

Ahora veamos otra serie de relaciones:

Si a esta relacin le dividimos cada uno de los trminos entre la expresin,se obtiene:

De igual manera, si a la relacin fundamental le dividimos cada uno delos trminosentre la expresin, se obtiene:

Resumiendo, se tiene que las relaciones fundamentales entre las funciones trigonomtricasms importantes y de mayor aplicacin son:

Determinar el Cos A, si A es un ngulo del III cuadrantey Sen A = - 4/5Como el ngulo es del cuadrante III, entonces el valor del seno es negativo; tambinse sabe que la funcin coseno en el tercer cuadrante es negativo, luego:

IDENTIDADES TRIGONOMTRICASSe entiende por Identidad trigonomtrica una igualdad que contiene variasfunciones trigonomtricas, y que toma un valor verdadero para todos y cada uno delos valores que se le den a los ngulos, para los cuales estn definidas estas funciones.Para desarrollar una identidad trigonomtrica se puede emplear cualquiera de los siguientes procedimientos:Reducir uno de los miembros de la igualdad y expresarlo en trminos delotro miembro,generalmente se reduce el ms complicado, es decir, elquetiene mayor cantidad defunciones trigonomtricas.Trabajar de forma simultnea los dos trminos de la igualdad,utilizando las relaciones fundamentales.

Demostrar las siguientes identidades trigonomtricas:

ECUACIONES TRIGONOMTRICASUna ecuacin trigonomtrica es una relacin de igualdad que posee una o variasfunciones trigonomtricas y que satisface solo algunos valores de los ngulos.Parala solucin de las ecuaciones trigonomtricas se tiene en cuenta los conceptosutilizadosen el desarrollo de las ecuaciones algebraicas, es decir, que mediante variosprocesosmatemticos se encuentra el valor de la incgnita que satisface a la ecuacin,para questa adquiera el carcter de identidad o sea verdadera. Es preciso recordarel valor quetoman las funciones trigonomtricas de acuerdo con el cuadrante con el cual estn relacionadas.

Resolver la ecuacin trigonomtrica

INCLUDEPICTURE "E:\\MATERIAS\\mat10\\Gmat10\\mat10545.jpg" \* MERGEFORMATINET para el intervalo de ngulos comprendidos entre 0 y 360Se despeja el valor de la incgnita de la misma manera que se hace en una ecuacin algebraica:

Ahora se debe averiguar para qu ngulos se cumple que:

Como el problema nosplantea que el desarrollo de la ecuacin debe estar dentrodel intervalo 0 y 360, esdecir,y, adicionalmente se, conoce queSen x > 0es positivo en el I y IIcuadrantes, y negativo en los III y IV cuadrantes, entoncesse buscan soluciones en loscuatro cuadrantes.

Por cada giro que se realice existe una solucin para la ecuacin, puesto que una revolucin = 360. Por esta razn, todos los valores de x que satisfacen a la ecuacinen el primer cuadrante estn dados por la expresin: Los ngulos que se encuentran en el II cuadrante vienen dados por 180 - x, entoncesse tiene 180 - 30 = 150 que ser otra solucin de la ecuacin, puesto que en el IIcuadrante el valor de Sen x, tambin es positivo. 150 corresponde en radianes a,de igual manera que en el caso anterior, por cada giro que se realice hay otra solucinpara la ecuacin. Entonces, todos los valores de x que satisfacen a la ecuacin en elsegundo cuadrante tendrn la expresin:

Observemos que la ecuacin planteada es de segundo grado, donde intervienen dos variables, Cos x y Sen x, por esta razn, se debe expresar una funcin en trminos dela otra por medio del uso de las relaciones fundamentales entre funciones trigonomtricas. Veamos:

En los siguientes ejercicios encuentre todas las soluciones de la ecuacintrigonomtrica si x representa un ngulo medido en radianes, es decir, en trminosde.

FRMULAS PARA LA SUMA Y RESTA DE NGULOSEn esta parte de la trigonometra se estudia el desarrollo de las diferentes frmulaspara la suma, resta y otras operaciones fundamentales entre ngulos.Funciones Seno y Coseno de la suma de dos ngulosHasta ahora se han demostrado las frmulas de las funciones trigonomtricas respecto de un ngulo, pero se hace necesario conocer el desarrollo cuando se planteauna suma o diferencia de dos ngulos. Para la demostracin de estas frmulas seutiliza la grfica de un crculo trigonomtrico (de radio = 1) y dos ngulos agudos( < de 90) positivos A y B.

La suma de los dos ngulos (A + B) puede ser menor o mayor de90. En la grfica se puede distinguir un ngulo GOQ = A y el ngulo QOP = B, de locual se puede concluir que el ngulo GOP = A + B. De igual manera, se puededecir que los tringulos rectngulos EDP y OFE son semejantes entre s aplicando losconceptos de semejanza de tringulos vistos en unidades pasadas.

Finalmente los valores:Cos B Sen A = FESen B Cos A = DPSe reemplazan en la expresin: resultando:Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen B Cos AAl utilizar la misma figura y al desarrollar un proceso similar al anterior, encontramosla frmula para el Coseno de una suma de ngulos:Cos (A + B) = Cos ACos B - Sen A Sen BEstas dos frmulas sirven para deducir las frmulas del seno y coseno de la diferencia dedosngulos:Sen (A - B) = Sen A Cos B - Sen B Cos ACos (A - B) = Cos A Cos B + Sen A Sen BLa frmula para la tangente de la suma y de la diferencia de dos ngulos, se desarrollaa partir de las encontradas para el seno y coseno. Recordemos que la funcin tangenteviene dada por la expresin:

Demostrar que Sen (60+ x) - Sen (60 - x) = Sen xAplicamos las frmulas encontradas para el seno de la suma y la diferenciade dos ngulos y reemplazamosA = 60 y B = xComo:Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen B Cos ASen (A - B) = Sen A Cos B - Sen B Cos A

Calcular Cos 105El ngulo 105 se puede expresar como la suma de dos ngulos, es decir:Cos 105 = Cos (60 + 45)Como Cos (A + B) = Cos A Cos B - Sen A Sen BEntonces:Cos (60 + 45) = Cos 60 Cos 45 - Sen 60 Sen 45

Calcular Tg 105Tg 105 = Tg (60 + 45), utilizamos la frmula:

IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS PARA NGULOS DOBLESVeamos algunas demostraciones, en las que utilizaremos bsicamente las frmulaspara Seno, Coseno y Tangente de la suma o diferencia de dos ngulos.Sen (A + B) = Sen A Cos B + Sen B Cos ACos (A + B) = Cos A Cos B - Sen A Sen B

Demostrar:

Sen 2A = 2 Sen A Cos ASen 2A = Sen (A + A)Sen (A + A) = Sen A Cos A + Sen A Cos ASen (A + A) = 2 Sen A Cos A Sen 2A = 2 Sen A Cos A

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Retomando la frmula del coseno del ngulo doble, para desarrollar otras frmulasgeneradas a partir de la frmula inicial. Recordemos que la ecuacin fundamental dela trigonometra viene dada por:

Ahora calculando el valor del lado c, para hallar las otras funciones: Se aplica el teoremade Pitgoras:

FUNCIONES TRIGONOMTRICAS DEL NGULO MEDIO

Igualmente se puede llegar a varias expresiones de las funciones coseno y tangenteen funcin de coseno de A:

Transformacin de sumas o diferencias de dos funciones enproductosEn varias aplicaciones para la demostracin de identidades trigonomtricas se hacepreciso expresar un producto de dos funciones trigonomtricas como el resultado deuna suma o una diferencia, lo que a travs de procesos similares a los que se hanidoestudiando se pueden obtener las siguientes identidades:

Las anteriores identidades se logran a partir de las frmulas halladas para la sumay la resta de la funcin Seno y Coseno, realizando la suma miembro a miembro entrelas funciones.Transformacin de un producto entre funciones a sumas odiferencias.De igual manera tambin es necesario lograr expresar las sumas o diferencias delas funciones trigonomtricas como resultados de productos, y se pueden desarrollara partir de las identidades anteriores, realizando un proceso inverso al utilizado en hallarlas identidades trigonomtricas de una suma o diferencia de dos funcionestrigonomtricas.Estas identidades seran:

Demostrar la siguiente identidad:

Un pastor tiene que pasar un zorro, una cabra y un repollo de una a otra orilla de un ro.Dispone de una barca en la que slo caben l y una de las otras tres cosas. Si el zorrose queda solo con la cabra, se la come. Si la cabra se queda sola con el repollo, se locome.Cmo debe proceder el pastor

Un prisionero est encerrado en una celda con dos puertas: una conduce a la salvacin,la otra a la muerte. Cada una de ellas est vigilada por un guardin. El prisionero sabeque uno de los guardianes siempre dice la verdad, y que el otro siempre miente. Paraelegir la puerta por la que pasar, slo puede hacer una pregunta a uno solo de losguardianes.Qu debe hacer

Solucin a los acertijos en la siguiente unidad.