analisis variansi ( anova ) - · pdf filecontoh soal : 2. selama satu semester seorang siswa...

8/29/2012

1

ANALISIS VARIANSI/

ANALYSIS OF VARIANCE

( ANOVA )

Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha Bandung

LT Sarvia

ANOVA

• Dasar perhitungan ANOVA ditetapkan oleh Ronald A. Fisher.

• Distribusi teoritis yang digunakan adalah Distribusi F.

• adalah suatu teknik untuk menguji kesamaan beberapa rata-

rata secara sekaligus. Uji yang dipergunakan dalam ANOVA

adalah uji F karena dipakai untuk pengujian lebih dan 2

sampel.

• Makin menyebar suatu data makin besar nilai variansinya.

• Makin tidak menyebar suatu data makin kecil nilai

variansinya

• Pada data seragam atau data yang tidak menyebar, variansi

adalah nol

LT Sarvia

8/29/2012

2

ANALISIS VARIANSI ( ANOVA )

• Jadi ANOVA merupakan suatu prosedur

hipotesis yang membandingkan k populasi

untuk menguji :

Kesamaan Variansi

Ada / Tidak ada efek treatment

Kesamaan rata-rata

• Analisis Variansi sering juga disebut

Analisis Ragam

8/29/2012 3 LT Sarvia


• Uji Anova ini didasarkan pada perbandingan

antara variansi yang disebabkan oleh error

percobaan dan variansi yg disebabkan oleh

error percobaan + perbedaan populasi,

dengan menggunakan Distribusi F.

8/29/2012 4 LT Sarvia

8/29/2012

3

Asumsi pengujian ANOVA :

1. Populasi yang akan diuji berdistribusi normal

2. Varians/ragam dan populasi yang diuji sama

3. Sampel tidak berhubungan satu dengan

yang lain

LT Sarvia

Tujuan Pengujian ANOVA :

• Untuk mengetahui apakah ada pengaruh dan

berbagai kriteria yang diuji terhadap hasil

yang diinginkan.

• Contoh : seorang manajer produksi menguji

apakah ada pengaruh kebisingan yang

ditimbulkan oleh mesin-mesin produksi di

pabrik pada hasil perakitan sebuah

komponen yang cukup kecil dan sebuah

sirkuit yang memerlukan konsentrasi yang

tinggi dari seorang operator rakit.

LT Sarvia

8/29/2012

4


• Cara pengujian dalam ANOVA dapat

diklasifikasikan menjadi 3 jenis, yaitu :

8/29/2012 7

1. Klasifikasi 1 Arah

2. Klasifikasi 2 Arah

3. Klasifikasi 2 Arah dengan Interaksi

4. Klasifikasi 3 Arah dengan Interaksi

LT Sarvia

KLASIFIKASI SATU ARAH:

• ANOVA klasifikasi 1 arah merupakan

ANOVA yang didasarkan pada

pengamatan 1 kriteria.

• Sampel dibagi menjadi beberapa

kategori dan ulangan

kolom = kategori

baris = ulangan/replika

8/29/2012 8

LT Sarvia

8/29/2012

5

Prosedur Pengujian ANOVA 1 Arah :

a. Struktur Hipotesis :

8/29/2012 9

b. Taraf nyata a

c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah

H0 : m1 = m2 = ......... = mk

H1 : sekurang-kurangnya terdapat dua nilai tengah tidak sama

LT Sarvia

Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH

• Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :

8/29/2012 10

kn

T - X SST JKT

2

..k

1 i

n

1 j

2

ij

kn

T -

n

T

SSR JKK 2

..

k

1 i

2i.

JKG = SSE = JKT – JKK

dimana :

n : jumlah data tiap kolom

k : jumlah kolom data

LT Sarvia

Sumber

Variansi

Sum of

Squar

e

Derajat

Kebebasan

( v )

Mean Square

( MS ) Stat. Uji

Nilai Tengah

Kolom JKK k - 1

Galat atau Error JKG k ( n – 1 )

Total JKT ( n k ) – 1

1 -k

JKK S

2

1

) 1 -n (k

JKG S

22

22

21

S

S f

SST = Sum of Square Total / Jumlah Kuadrat Total

SSR = Sum of Square Regression / Jumlah Kuadrat

Regresi

SSE = Sum of Square Error / Jumlah Kuadrat Galat

8/29/2012

6

Statistik Uji : ANOVA 1 ARAH

• Untuk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom Berbeda :

8/29/2012 11

dimana :

ni : Jumlah data tiap kolom

k : Jumlah kolom data

N : Jumlah Total Sampel

LT Sarvia

Sumber

Variansi

Sum of

Squar

e

Derajat

Kebebasan

( v )

Mean Square

( MS ) Stat. Uji

Nilai Tengah

Kolom JKK k - 1

Galat atau Error JKG N - k

Total JKT N – 1

1 -k

JKK S

2

1

k - N

JKG S

2

2 2

2

21

S

S f

N

T - X SST JKT

2..

k

1 i

n

1 j

2ij

N

T -

n

T SSR JKK

2..

k

1 i i

2i.

JKG = SSE = JKT – JKK

d. Wilayah Kritis : f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho

8/29/2012 12

Dimana :

a = .........

v1 = derajat kebebasan JKK atau SSR = k – 1 = .......

v2 = derajat kebebasan Galat atau Error = ........ f a = .........

f a

Wilayah Kritis : f > f a

e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis.

LT Sarvia


8/29/2012

7

Keputusan : TERIMA Ho

LT Sarvia

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H i1 seluruhidak

321 μμμ

Semua mean bernilai sama

Hipotesis nol adalah benar

(Tak ada efek treatment)

Keputusan : TOLAK Ho

LT Sarvia

Chap 11-14

321 μμμ 321 μμμ

or

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA semuaidak Minimal ada 1 mean yg berbeda

Hipotesis nol tidak benar

(Terdapat efek treatment)

8/29/2012

8

Contoh Soal :

1. Tiga buah mesin hendak dibandingkan. Mesin-mesin ini menghasilkan keluaran (output) perjamnya dengan berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut dan hasilnya sbb :

8/29/2012 15

Apakah nilai tengah output

perjam ketiga mesin itu

sesungguhnya berbeda?

Gunakan taraf nyata 5 %.

Sampel Output dari 3 buah

Mesin

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

47 55 54

53 54 50

49 58 51

50 61 51

46 52 49

LT Sarvia

Jawab :

8/29/2012 16


H0: m 1 = m 2 = m 3

H1: sekurang-kurangnya terdapat

dua nilai tengah tidak sama

LT Sarvia

Sampel Output dari 3 buah Mesin

Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

47 55 54

53 54 50

49 58 51

50 61 51

46 52 49

245 280 255

245+280+255 = 780

n

=

5

k= 3

b. Taraf nyata : a = 0,05

c. Statistik Uji : ANOVA 1 Arah

Utk ukuran sampel (n) untuk tiap kolom sama :

Total

224 JKT

40.560 - 40.784 JKT

3 * 5

780 - 49 ..... 55 47 JKT

kn

T - X SST JKT

2222

2

..k

1 i

n

1 j

2

ij

8/29/2012

9

Sumber Variansi Sum of

Square

Derajat

Kebebasan

( v )

Mean Square

( MS ) Stat. Uji

Nilai Tengah Kolom 40 3– 1 = 2 20 f = 1,304

Galat atau Error 184 3 ( 5 – 1 ) = 12 15,33

Total 224 ( 3 * 5 ) – 1 = 14

8/29/2012 17 LT Sarvia

40 JKK

40.650 - 40.690 JKK

3 * 5

780 -

5

255 280 245 JKK

kn

T -

n

T

SSR JKK

2222

2

..

k

1 i

2

i.

JKG = SSE = JKT – JKK = 224 – 40= 184


8/29/2012 18

Dimana :a = 0,05 v1 = k – 1 = 3 – 1 = 2

v2 = k ( n – 1 ) = 3 ( 5 – 1 ) = 12 f 0,05 (2,12) = 3,89

3,89

1,304

LT Sarvia

e. Keputusan : Terima Ho

f. Kesimpulan : bahwa nilai tengah

output ketiga mesin adalah sama

pada taraf nyata 0,05.

8/29/2012

10

Contoh Soal :

2. Selama satu semester seorang siswa menerima nilai Quiz pada berbagai Mata Kuliah seperti tabel di bawah ini. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara kemampuan tersebut untuk Mata Kuliah yang berbeda pada taraf nyata 0,05

LT Sarvia 8/29/2012 19

Ektek Matvek APK Statistik

72 81 88 74

80 74 82 71

83 77 90 77

75 87 70

80

Jawab :


c. Statistik Uji : ANOVA 1 arah

8/29/2012 20


H0: m Ektek = m Matvek = m APK = m Statistik

H1: sekurang-kurangnya terdapat dua

nilai tengah tidak sama

N = n1 + n2 + n3 + n 4 = 4 + 3 + 5 + 4 = 16

564,437 JKT

99.382,565 - 99.947 JKT

16

1.261 - 70 ..... 80 72 JKT

N

T - X SST JKT

2222

2..

k

1 i

n

1 j

2ij

LT Sarvia

Utk ukuran sampel (n) tiap kolom BERBEDA:

Ektek Matvek APK Statistik

72 81 88 74

80 74 82 71

83 77 90 77

75 87 70

80

310 232 427 292

310+232+427+292 = 1.261

8/29/2012

11

Jawab :


Square

Derajat

Kebebasan

( v )

Mean Square

( MS ) Stat. Uji

Nilai Tengah Kolom 365,5675 4 – 1 = 3 121,856 f = 7,353

Galat atau Error 198,8695 16 – 4 = 12 16,572

Total 564,437 16 – 1 = 15

8/29/2012 21

365,5675 JKK

99.382,565 - 99748,13 JKK

16

1.261 -

4

292

5

427

3

232

4

310 JKK

N

T -

n

T SSR JKK

22222

2

..k

1 i i

2

i.

JKG = SSE = JKT – JKK = 564,437 – 365,5675 = 198,8695

LT Sarvia


8/29/2012 22

Dimana :a = 0,05 v1 = k – 1 = 4 – 1 = 3

v2 = N – k = 16 – 4 = 12 f 0,05 (3,12) = 3,49

3,49

7,353

LT Sarvia

e. Keputusan : Tolak Ho

f. Kesimpulan :

bahwa terdapat perbedaan nilai

tengah kemampuan quiz untuk

keempat Mata Kuliah pada taraf

nyata 0,05

8/29/2012

12

KLASIFIKASI DUA ARAH :

• ANOVA klasifikasi 2 arah merupakan ANOVA

yang didasarkan pada pengamatan 2 kriteria

( baris & kolom ).

• Dalam kategori, terdapat blok/sub-kelompok

kolom : kategori-1;

baris : blok, kategori-2

• Setiap sel berisi satu data

8/29/2012 23 LT Sarvia

8/29/2012 24


b. Taraf nyata a

c. Statistik Uji : ANOVA

H0’: a1 = a2 = ......... = ar = 0 ( pengaruh baris adalah nol )

H1’: sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol

H0”: b1 = b2 = ......... = bc = 0 ( pengaruh kolom adalah nol )

H1”: sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol

cr

T - X SST JKT

2..

r

1 i

c

1 j

2ij

LT Sarvia


cr

T -

c

T

SSA JKB2

..

r

1 i

2i.

Dimana :

r = row = baris

c = column = kolom

8/29/2012

13

8/29/2012 25

1 -r

SSA S

21

23

21

1S

S f

1 - c

SSB S

22 2

3

22

2S

S f

) 1 - c ( ) 1 -r (

SSE S

23

Sumber

Variansi

Sum of

Square

Derajat

Kebebasan ( v )

Mean Square

( MS ) Statistik Uji

Nilai Tengah

Baris SSA r – 1

Nilai Tengah

Kolom SSB c – 1

Galat atau

Error SSE ( r – 1 ) ( c – 1 )

Total SST ( r c ) – 1

LT Sarvia

cr

T -

r

T

SSB JKK

2

..

c

1 j

2

.j

JKG = JKT – JKB – JKK ; atau :

SSE = SST – SSA – SSB

Dimana :

r = row = baris

c = column = kolom


d. Wilayah Kritis :

8/29/2012 26

f a

f1 > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho

v1 : derajat kebebasan Baris

v3 : derajat kebebasan Error


v2 : derajat kebebasan Kolom


e.Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis

ada 2 buah keputusan dan kesimpulan

LT Sarvia


8/29/2012

14

Contoh Soal :

3. Tiga buah mesin hendak dibandingkan mengenai keluaran / output perjamnya berfluktuasi karena pengaruh acak, suatu sampel acak 5 waktu yang berbeda diambil dari masing-masing mesin tersebut yang berasal dari lima operator yang berbeda yang menghasilkan satu pengamatan sampel dari setiap mesin dan hasilnya sbb :

8/29/2012 27

Output dari 3 buah Mesin

Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

1 47 55 54

2 53 54 50

3 49 58 51

4 50 61 51

5 46 52 49

LT Sarvia

Ujilah hipotesis pada taraf nyata

0,05 bahwa :

a. Tidak ada beda rata-rata

ouput perjam untuk kelima

operator tersebut

b. Tidak ada beda rata-rata

ouput perjam untuk ketiga

jenis mesin tersebut

Jawab :


8/29/2012 28

H0’: a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = operator


H0”: b 1= b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = mesin


b. Taraf nyata : α= 0,05

LT Sarvia


224 JKT

40.560 - 40.784 JKT

3 * 5

780 - 49 ..... 55 47 JKT

rc

T - X SST JKT

2222

2

..r

1 i

c

1 j

2

ij

8/29/2012

15

8/29/2012 29

40,667 40.560 - 40.600,667 JKB

3*5

780 -

3

147162 158 157 156 JKB

cr

T -

c

T

SSA JKB

222222

2

..

r

1 i

2

i.

JKG = JKT – JKB – JKK = 224 – 40,667– 40 = 143,333

LT Sarvia

Jawab :


Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Total (Ti)

1 47 55 54 156

2 53 54 50 157

3 49 58 51 158

4 50 61 51 162

5 46 52 49 147

Total (Tj) 245 280 255 780

40 JKK

40.650 - 40.690 JKK

3 * 5

780 -

5

255 280 245 JKK

cr

T -

r

T

SSR JKK

2222

2

..

c

1 i

2

j


Square

Derajat Kebebasan

( v )

Mean Square


Nilai Tengah Baris 40,667 5 – 1 = 4 10,16675 f1 = 0,5674

Nilai Tengah Kolom 40 3 – 1 = 2 20 f2 = 1,1163

Galat atau Error 143,333 (5 – 1) (3 – 1) = 8 17,916625

Total 224 ( 5 * 3 ) – 1 = 14

8/29/2012 30 LT Sarvia

Jawab :

d. Wilayah Kritis : f1 > f a ( v1 ; v3 ) Terima Ho


f a,v1,v3 = 3,84 v2 : derajat kebebasan Error

3,84

a = 0,05 v1 = 4

v3 = 8 O,5674

Wilayah Kritis : f1 < 3,84

8/29/2012

16

Jawab :

d. Wilayah Kritis :

8/29/2012 31

f2 > f a ( v2 ; v3 ) Terima Ho Wilayah Kritis : f2 < 4,46

LT Sarvia

f a,v2,v23 = 4,46 4,46

a = 0,05 v2 = 2

v3 = 8

1,1163

e. Keputusan dan Kesimpulan ada 2 buah 1. Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata ouput

perjam dari kelima operator pada taraf nyata 0,05.

2. Terima Ho kesimpulan : bahwa tidak ada beda rata-rata output

perjam dari ketiga jenis mesin tersebut, pada taraf nyata 0,05

KLASIFIKASI DUA ARAH DENGAN INTERAKSI :

• Prosedur pengujian ANOVA dalam Klasifikasi Dua Arah Dengan Interaksi :

8/29/2012 32

a.Struktur Hipotesis : H0’: a1 = a2 = ......... = ar ( pengaruh baris nol )


H0”: b1 = b2 = ......... = bc ( pengaruh kolom nol )


H0’’’ : ( ab )11 = ( ab )12 = ......... = ( ab )rc ( pengaruh interaksi nol )

H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol

LT Sarvia

b. Tentukan nilai a

8/29/2012

17

r = row = baris

c = column = kolom

n = jumlah sampel/replikasi


8/29/2012 33

n cr

T - X SST JKT

2

...r

1 i

c

1 j

n

1 k

2

ijk

n cr

T -

n c

T

SSA JKB

2...

r

1 i

2i..

n cr

T -

nr

T

SSB JKK

2...

c

1 j

2.j.

LT Sarvia

n cr

T

nr

T

- n c

T

- n

T

SS(AB) JK(BK)2

...

c

1 j

2.j.

r

1 i

2i..

r

1 i

c

1 j

2ij

JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) ; atau :

SSE = SST – SSA – SSB – SS(AB)


LT Sarvia

SSBSSArcn

T

n

T

ABJK

a

i

b

j

ij

....

21 1

..2

)(

Pembuktian Rumus

rcn

T

n

T

ABJK

a

i

b

j

ij

....2

1 1

..2

)(

rcn

T

cn

T

a

i

i

....2

1

...2

rcn

T

rn

T

b

j

j

....2

1

...2

SSB

SSA Jadi

rcn

T

rn

T

cn

T

n

T

ABJK

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

)(

Rumus di buku

Walpole

8/29/2012

18

8/29/2012 35

1 -r

SSA S

21 2

4

21

1S

S f

1 - c

SSB S

22 2

4

22

2S

S f

) 1 - c ( ) 1 -r (

SS(AB) S

23 2

4

23

3S

S f

) 1 -n ( ) cr (

SSE S

2

4

Sumber

Variansi

Sum of

Square

Derajat

Kebebasan ( v )

Mean Square


Nilai Tengah

Baris SSA r – 1

Nilai Tengah

Kolom SSB c – 1

Interaksi SS(AB) ( r – 1 ) ( c – 1 )

Galat atau Error SSE ( r c ) ( n – 1 )

Total SST ( r c n ) – 1

LT Sarvia


d. Wilayah Kritis :

8/29/2012 36


v1 = derajat kebebasan Baris

v2 = derajat kebebasan Error


v1 = derajat kebebasan Kolom



v1 = derajat kebebasan Interaksi


f a

LT Sarvia


e. Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis ada 3 buah!!!

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Baris

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Kolom

Keputusan dan Kesimpulan Hipotesis untuk Interaksi

8/29/2012

19

Contoh Soal :

4. Data dibawah ini menunjukkan output perjam dari 3 Mesin dan 5 Operator yang berbeda dengan 3 kali pengulangan untuk masing-masing percobaannya :

8/29/2012 37 LT Sarvia


Operator Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3

1

47 55 54

30 55 44

45 78 50

2

53 54 50

33 32 50

56 54 50

3

49 58 51

66 34 54

70 34 65

4

50 61 51

21 20 65

32 30 54

5

46 52 80

47 23 98

55 70 62

Ujilah hipotesis pada taraf nyata

0,05 bahwa :

a. Tidak ada beda rata-rata

ouput perjam untuk kelima

operator tersebut

b. Tidak ada beda rata-rata

ouput perjam untuk ketiga

jenis mesin tersebut

c. Tidak ada interaksi antara

operator dengan jenis mesin

Jawab :


• H0’ : a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0 ( pengaruh baris adalah nol ) r = Operator

H1’ : sekurang-kurangnya satu ai tidak sama dengan nol

• H0” : b1 = b2 = b3 = 0 ( pengaruh kolom adalah nol ) c = Mesin

H1” : sekurang-kurangnya satu bj tidak sama dengan nol

• H0’’’ : ( ab ) 11 = ( ab ) 12 = ......... = ( ab ) 53 ( pengaruh interaksi nol )

H1’’’ : sekurang-kurangnya satu ( ab )ij tidak sama dengan nol

dimana :

r= baris = 5 ; c= kolom= 3; n= jumlah sampel/replikasi = 3


8/29/2012 38 LT Sarvia

8/29/2012

20

Jawab :

LT Sarvia



1

47 55 54

458

30 55 44

45 78 50

2

53 54 50

432

33 32 50

56 54 50

3

49 58 51

481

66 34 54

70 34 65

4

50 61 51

384

21 20 65

32 30 54

5

46 52 80

533

47 23 98

55 70 62

Total (Tj) 700 710 878 2288

10.812 116.332 -127.144 JKT

3*3*5

2882. - 6298 ..... 30 47 JKT

n cr

T - X SST JKT

22222

2

...r

1 i

c

1 j

n

1 k

2

ijk

Jawab :

C. Statistik Uji : ANOVA

8/29/2012 40 LT Sarvia

1.367 116.332 - 117.699 3*3*5

2.288-

3*3

1.059.294 JKB

3*3*5

2.288 -

3 * 3

533 384481 432 458

n cr

T -

n c

T

SSA JKB

2

2222222...

r

1 i

2i..



OP 1 122 188 148 458

OP 2 142 140 150 432

OP 3 185 126 170 481

OP 4 103 111 170 384

OP 5 148 145 240 533

Total (Tj) 700 710 878 2288

1.334 116.332 - 117.6663*3*5

2.288-

3*5

1.764.984 JKK

3*3*5

2.288 -

3 * 5

878 710 700

n cr

T -

nr

T

SSB JKK

2

22222...

c

1 j

2.j.

8/29/2012

21

Jawab :

8/29/2012 41

n cr

T

nr

T

- n c

T

- n

T

SS(AB) JK(BK)

2...

c

1 j

2.j.

r

1 i

2i..

r

1 i

c

1 j

2ij

JKG = JKT – JKB – JKK – JK(BK) = 10.812 – 1.367 – 1.334 – 2885

JKG = 5.226

LT Sarvia

2.885 JK(BK)

116.332 1334 - 1367 - 121.918 JK(BK)

116.332 1344 - 1367 - 3

240 ..... 142 122 JK(BK)

222

n cr

T SSB-SA -

n

T

SS(AB) JK(BK)

2...

r

1 i

c

1 j

2ij

S

Rumus di buku

Walpole

Rumus yang lebih

Sederhana

Jawab :

8/29/2012 42

n cr

T

nr

T

- n c

T

- n

T

SS(AB) JK(BK)

2...

c

1 j

2.j.

r

1 i

2i..

r

1 i

c

1 j

2ij

LT Sarvia

2885 JK(BK)

116.332 117.666-117.699 - 121.918 JK(BK)

116.332 3*5

1.764.984 -

3*3

1.059.294 -

3

240 ..... 142 122 JK(BK)

222

Rumus di buku

Walpole

Idem hasilnya dengan rumus yg

lebih sederhana

8/29/2012

22

Jawab :

8/29/2012 43 LT Sarvia


Square

Derajat Kebebasan

( v )

Mean Square


JKB 1.367 5 – 1 = 4 341,75 f1 = 1,96

JKK 1.334 3 – 1 = 2 667 f2 = 3,83

JK(BK) 2.885 (5 – 1) (3 – 1) = 8 360,625 f3 = 2,07

Galat atau Error 5.226 (5 * 3) (3 – 1) = 30 174,2

Total 10.812 (5 * 3 * 3) – 1 = 44

d. Wilayah Kritis : f1 > f a ( v1 ; v4 ) Terima Ho

v1 : derajat kebebasan Baris

v4 : derajat kebebasan Erro r

a = 0,05

v1 = 4 f a = 2,69

v4 = 30




a = 0,05

v2 = 2 f a = 3,32

v4 = 30

8/29/2012 44

2,69

1,96

3,32

3,83

LT Sarvia

8/29/2012

23

f3 > f a ( v3 ; v4 ) Terima Ho

v3 : derajat kebebasan Interaksi


a = 0,05

v3 = 8 f a = 2,27

v4 = 30

e. Keputusan dan Kesimpulan

Hipotesis ada 3 buah

• Terima Ho kesimpulan : bahwa

tidak ada beda rata-rata ouput

perjam dari kelima operator pada

taraf nyata 0,05.

• Tolak Ho kesimpulan : bahwa

ada beda rata-rata output perjam

dari ketiga jenis mesin tersebut,

pada taraf nyata 0,05

• Terima Ho kesimpulan : bahwa

tidak ada interaksi antara kelima

operator yang mengoperasikan

dengan ke-3 jenis mesin tersebut,


8/29/2012 45

2,27

2,07

LT Sarvia

SOAL – SOAL

1. Disebuah Universitas di AS,

Professor Pria dan Wanita

diambil secara bebas (tidak

saling terikat) yang

memberikan hasil pendapatan

tahunan mereka berikut

(dalam jutaan rupiah) :

Apakah terdapat perbedaan

rata-rata pendapatan yang

signifikan antara pria dengan

Wanita Professor? ( a = 0,05 )

8/29/2012 46

Jenis Kelamin

Pria Wanita

12 9

11 12

19 8

16 10

22 16

LT Sarvia

8/29/2012

24

SOAL – SOAL

2. Tabel di bawah ini menunjukkan hasil perhektar dari 4 jenis

tanaman pertanian yang diberikan 3 jenis perlakuan penyubur

tanah yang berbeda. Dengan menggunakan taraf nyata 0,01 :

a) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan

penyubur tanah?

b) Apakah terdapat perbedaan hasil perhektar karena perbedaan

jenis tanaman pertanian?

8/29/2012 47 LT Sarvia

Jenis I Jenis II Jenis III Jenis IV

Penyubur A 4,5 6,4 7,2 6,7

Penyubur B 8,8 7,8 9,6 7

Penyubur C 5,9 6,8 5,7 5,2

SOAL – SOAL

3. Tabel berikut menunjukkan jarak (dalam mil) yang ditempuh oleh

kendaraan yang serupa pada setiap galon dari lima merk bahan bakar

yang berbeda. Tentukan apakah terdapat perbedaan antara merk bahan

bakar pada taraf nyata 0,01.

LT Sarvia

Merk A 12 15 14 11 15

Merk B 14 12 15

Merk C 11 12 10 14

Merk D 15 18 16 17 14

Merk E 10 12 14 12

8/29/2012

25

SOAL – SOAL

4. Sebuah pabrik ingin menentukan efektivitas dari 4 jenis mesin (A,B,C,D)

dalam memproduksi sekrup. Untuk itu jumlah baut rusak yang diproduksi

oleh mesin setiap mesin pada suatu hari-hari yang ditentukan, diamati

untuk setiap shift kerja. Tiap hari terdapat 2 shift kerja. Hasilnya

ditunjukkan pada tabel dibawah ini. Lakukan analisis varians untuk

menentukan apakah terdapat perbedaan antar mesin dan antar shift


LT Sarvia

Mesin Shift Pertama Shift kedua

Senin Selasa Rabu Kamis Jumat Senin Selasa Rabu Kamis Jumat

A 6 4 5 5 4 5 7 4 6 8

B 10 8 7 7 9 7 9 12 8 8

C 7 5 6 5 9 9 7 5 4 6

D 8 4 6 5 5 5 7 9 7 10

LT Sarvia

8/29/2012

26

ANALISIS VARIANSI/

ANALYSIS OF VARIANCE

( ANOVA )

Elty Sarvia, ST., MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri

Universitas Kristen Maranatha Bandung

LT Sarvia

KLASIFIKASI 3 ARAH :

• ANOVA klasifikasi 3 arah merupakan ANOVA

yang didasarkan pada pengamatan 3 kriteria.

8/29/2012 52 LT Sarvia

8/29/2012

27

Prosedur pengujian ANOVA TriFaktor :

8/29/2012 53

a.Struktur Hipotesis :

1. H0 : α1 = α2 =.....αi H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.

2. H0 : β1 = β2 =......βj H1 : sekurangk-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.

3. H0 : γ1 = γ2 = ....... γk H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol. 4. H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = .... = (αβ)ij H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.

5. H0 : (αγ)11 = (αγ)12 = .... = (αγ)ik H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol. 6. H0 : (βγ)11 = (βγ)12 = .... = (βγ)jk H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.

7. H0 : (αβγ)111 = (αβγ)112 = .... = (αβγ)ijk H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol

LT Sarvia

b. Tentukan nilai


• Jumlah kuadrat dihitung dengan mengganti jumlah yang sesuai ke dalam

rumus perhitungan berikut :

a

i

b

j

c

k

n

l

ijklabcn

TyJKT

1 1

....2

1 1

2

abcn

T

bcn

T

JKA

a

i

i

....2

1

...2

abcn

T

acn

T

JKB

b

j

j

....2

1

...2

abcn

T

abn

T

JKC

c

k

k

....2

1

...2

LT Sarvia

c. Statistik Uji : ANOVA TriFaktor

8/29/2012

28


abcn

T

acn

T

bcn

T

cn

T

ABJK

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

)(

abcn

T

abn

T

bcn

T

bn

T

ACJK

c

k

k

a

i

i

a

i

c

k

ki

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

)(

abcn

T

abn

T

acn

T

an

T

BCJK

c

k

k

b

j

j

b

j

c

k

jk

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

)(

abcn

T

abn

T

acn

T

bcn

T

an

T

bn

T

cn

T

n

T

ABCJK

c

k

k

b

j

j

a

i

i

b

j

c

k

jk

a

i

c

k

ki

a

i

b

j

ij

a

i

b

j

c

k

ijk

....2

1

...2

1

...2

1

...2

1 1

...2

1 1

..2

1 1

..2

1 1 1

.2

)(

JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC

LT Sarvia

Rumus Yang Sederhana

SSBSSAabcn

T

cn

T

ABJK

a

i

b

j

ij

....

21 1

..2

)(

SSCSSAabcn

T

bn

T

ACJK

a

i

c

k

ki

....2

1 1

..2

)(

SSCSSBabcn

T

an

T

BCJK

b

j

c

k

jk

....

21 1

..2

)(

abcn

TSSBCSSACSSABSSCSSBSSA

n

T

ABCJK

a

i

b

j

c

k

ijk

....2

1 1 1

.2

)(

LT Sarvia

8/29/2012

29

LT Sarvia

SSBSSAabcn

T

cn

T

ABJK

a

i

b

j

ij

....

21 1

..2

)(

Pembuktian Rumus

abcn

T

cn

T

ABJK

a

i

b

j

ij

....2

1 1

..2

)(

abcn

T

bcn

T

a

i

i

....2

1

...2

abcn

T

acn

T

b

j

j

....2

1

...2

SSB

SSA Jadi

abcn

T

acn

T

bcn

T

cn

T

ABJK

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

)(

Rumus di buku

Walpole

SSAB

Pembuktian Rumus

abcn

T

abn

T

abcn

T

acn

T

abcn

T

bcn

T

n

T

ABCJK

c

k

k

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

c

k

ijk

....2

1

...2

....2

1

...2

....2

1

...2

1 1 1

.2

)(

LT Sarvia

abcn


n

T

ABCJK

a

i

b

j

c

k

ijk

....2

1 1 1

.2

)(

abcn

T

abn

T

acn

T

an

Tc

k

k

b

j

j

b

j

c

k

jk

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

Jadi

abcn

T

abn

T

bcn

T

bn

T

c

k

k

a

i

i

a

i

c

k

ki

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

abcn

T

acn

T

bcn

T

cn

T

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

SSA

SSAC

SSBC

abcn

T ....2

8/29/2012

30

LT Sarvia

n

T

ABCJK

a

i

b

j

c

k

ijk

1 1 1

.2

)(cn

T

a

i

b

j

ij

1 1

..2

bcn

T

bn

T

a

i

i

a

i

c

k

ki 1

...2

1 1

..2

abn

T

acn

T

an

Tc

k

k

b

j

j

b

j

c

k

jk

1

...2

1

...2

1 1

..2

abcn

T ....2

abcn


n

T

ABCJK

a

i

b

j

c

k

ijk

....2

1 1 1

.2

)(

Idem dengan rumus dibawah ini :

Cara perhitungan pengujian tiga arah dan lambangnya sebagai berikut

• T… = jumlah seluruh abcn pengamatan.

• Ti… = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A

• T.j.. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B

• T..k. = jumlah pengamatan taraf ke k faktor C

• Tij.. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke j faktor B

• Ti.k. = jumlah pengamatan taraf ke i faktor A dan taraf ke k faktor C

• Tj.k. = jumlah pengamatan taraf ke j faktor B dan taraf ke k faktor C

• Tijk. = jumlah pengamatan pada kombinasi perlakuan ke (ijk)

LT Sarvia


8/29/2012

31


A B

Jumlah 1 2 … b

1 T11.. T12.. … T1b.. T1...

2 T21.. T22.. … T2b.. T2...

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a Ta1.. Ta2.. … Tab.. Ta...

Jumlah T.1.. T.2.. … T.b.. T….

k = 1,2,3, …, c

LT Sarvia

Tabel 1 Dua arah A-B


A C

Jumlah 1 2 … c

1 T1.1. T1.2. … T1.c. T1...

2 T2.1. T2.2. … T2.c. T2...

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

a Ta.1. Ta.2. … Ta.c. Ta...

Jumlah T..1. T..2. … T..c. T….

k = 1,2,3, …, c

LT Sarvia

Tabel 2 Dua arah A-C

8/29/2012

32


B C

Jumlah 1 2 … c

1 T.11. T.12. … T.1c. T.1..

2 T.21. T.22. … T.2c. T.2..

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

b T.a1. T.b2. … T.ac. T.b..

Jumlah T..1. T..2. … T..c. T….

k = 1,2,3, …, c

LT Sarvia

Tabel 3 Dua arah B-C

Tabel 5. Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi

Sumber

variansi

Jumlah

kuadrat

Derajat

kebebasan

Rataan

Kuadrat

f

hitungan

Pengaruh utama

A JKA a - 1 S12 f 1 = S1

2/S2

B JKB b - 1 S22 f 2 = S2

2/S2

C JKC c – 1 S32 f 3 = S3

2/S2

Interaksi dwifaktor

AB JK(AB) (a-1) (b-1) S42 f 4 = S4

2/S2

AC JK(AC) (a-1) (c-1) S52 f 5 = S5

2/S2

BC JK(BC) (b-1) (c-1) S62 f 6 = S6

2/S2

Interaksi trifaktor

ABC JK(ABC) (a-1) (b-1)(c-1) S72 f 7 = S7

2/S2

Galat JKG abc(n-1) S2

Jumlah JKT abcn-1 LT Sarvia

8/29/2012

33

Contoh Soal

5. Dalam pembuatan sejenis barang ada tiga faktor yang perlu diperhatikan:

• A = pengaruh petugas (tiga orang)

• B= katalis yang dipakai dalam percobaan (tiga katalis)

• C= Waktu pencucian barang sesudah proses pendinginan (15 menit dan 20 menit).

• Tiga replikasi diambil pada tiap kombinasi faktor. Diputuskan bahwa semua interaksi antara faktor perlu diselidiki. Hasilnya adalah sbb :

LT Sarvia

• Buatlah analisis variansi untuk menguji

keberartian pengaruh

Pengaruh

Petugas

(A)

Waktu Pencucian (C)

15 menit 20 menit

Katalis (B) Katalis (B)

1 2 3 1 2 3

10,7 10,3 11,2 10,9 10,5 12,2

10,8 10,2 11,6 12,1 11,1 11,7

Ana 11,3 10,5 12 11,5 10,3 11

Susi

11,4 10,2 10,7 9,8 12,6 10,8

11,8 10,9 10,5 11,3 7,5 10,2

11,5 10,5 10,2 10,9 9,9 11,5

13,6 12 11,1 10,7 10,2 11,9

14,1 11,6 11 11,7 11,5 11,6

Frans 14,5 11,5 11,5 12,7 10,9 12,2

LT Sarvia

8/29/2012

34

Jawab

Struktur Hipotesis

1. H0 : α1 = α2 =α3

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 αi yang tidak sama dengan nol.

2. H0 : β1 = β2 =β3

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 βj yang tidak sama dengan nol.

3. H0 : γ1 = γ2

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 γk yang tidak sama dengan nol.

4. H0 : (αβ)11 = (αβ)12 = .... = (αβ)33

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβ)ij yang tidak sama dengan nol.

5. H0 : (αγ)11 = (αγ)12 = .... = (αγ)32

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αγ)ik yang tidak sama dengan nol.

6. H0 : (βγ)11 = (βγ)12 = .... = (βγ)32

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (βγ)jk yang tidak sama dengan nol.

7. H0 : (αβγ)111 = (αβγ)112 = .... = (αβγ)332

H1 : sekurang-kurangnya ada 1 (αβγ)ijk yang tidak sama dengan nol

LT Sarvia

Jawab :

• Buat tabel :

Pengaruh Petugas

(A)

Katalis (B) Total

1 2 3

Ana 67,3 62,9 69,7 199,9

Susi 66,7 61,6 63,9 192,2

Frans 77,3 67,7 69,3 214,3

Total 211,3 192,5 202,9 606,7

LT Sarvia

8/29/2012

35

Jawab:

Pengaruh Petugas

(A)

Waktu Pencucian (C) Total

15 menit 20 menit

Ana 98,6 101,3 199,9

Susi 97,7 94,5 192,2

Frans 110,9 103,4 214,3

Total 307,2 299,2 606,4

LT Sarvia

Jawab :

Katalis (B) Waktu Pencucian (C)

Total 15 menit 20 menit

1 109,7 101,6 211,3

2 97,7 94,5 192,2

3 99,8 103,1 202,9

Total 307,2 299,2 606,4

LT Sarvia

8/29/2012

36

Jawab :

LT Sarvia

Pengaruh

Petugas

(A)

Waktu Pencucian (C)

15 menit 20 menit

Katalis (B) Katalis (B)

1 2 3 1 2 3

Ana 32,8 31 34,8 34,5 31,9 34,9

Susi 34,7 31,6 31,4 32 30 32,5

Frans 42,2 35,1 33,6 35,1 32,6 35,7

Jawab :

• Hitung

19.6354

4.6062.12......8.107.10

2222

1 1

....2

1 1

2

JKT

abcn

TyJKT

a

i

b

j

c

k

n

l

ijkl

98.1354

4.606

3*2*3

3.2142.1929.199 2222

....2

1

...2

JKA

abcn

T

bcn

T

JKA

a

i

i

18.1054

4.606

3*2*3

9.2022.1923.211 2222

....2

1

...2

JKB

abcn

T

acn

T

JKB

b

j

j

LT Sarvia

8/29/2012

37

Jawab :

18.154

4.606

3*3*3

2.2992.307 222

....2

1

...2

JKC

abcn

T

abn

T

JKC

c

k

k

78.465.680983.681963.68236

3.69.........7.663.67)(

)(

222

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

ABJK

abcn

T

acn

T

bcn

T

cn

T

ABJK

b

j

j

a

i

i

a

i

b

j

ij

92.265.680993.681063.68239

4.103........7.976.98)(

)(

222

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

ACJK

abcn

T

abn

T

bcn

T

bn

T

ACJK

c

k

k

a

i

i

a

i

c

k

ki

LT Sarvia

Jawab :

64.365.680983.681083.68199

1.103......7.977.109)(

)(

222

....2

1

...2

1

...2

1 1

..2

BCJK

abcn

T

abn

T

acn

T

an

T

BCJK

c

k

k

b

j

j

b

j

c

k

jk

89.4)(

65.680983.681093.681963.682365.682473.682759.68383

7.35.........7.348.32)(

)(

222

....2

1

...2

1

...2

1

...2

1 1

...2

1 1

..2

1 1

..2

1 1 1

.2

ABCJK

ABCJK

abcn

T

abn

T

acn

T

bcn

T

an

T

bn

T

cn

T

n

T

ABCJK

c

k

k

b

j

j

a

i

i

b

j

c

k

jk

a

i

c

k

ki

a

i

b

j

ij

a

i

b

j

c

k

ijk

JKG = SSE = JKT – JKA – JKB – JKC – JKAB – JKBC – JKAC - JKABC

JKG = 63.19 - 13.98 - 10.18 - 1.18 - 4.78 - 2.92 - 3.64 - 4.89

JKG = 21.62

LT Sarvia

8/29/2012

38

Analisis variansi untuk percobaan trifaktor dengan n replikasi

Sumber

variansi

Jumlah

kuadrat

Derajat

kebebasan

Rataan

Kuadrat

f

hitungan

Pengaruh

utama

A(Petugas) 13.98 2 6.99 11.65

B(Katalis) 10.18 2 5.09 8.48

C(Waktu cuci) 1.18 1 1.18 1.97

Interaksi

dwifaktor

AB 4.78 4 1.2 2

AC 2.92 2 1.46 2.43

BC 3.64 2 1.82 3.03

Interksi

trifaktor

ABC 4.89 4 1.22 2.03

Galat 21.62 36 0.6

Jumlah 63.19 53 LT Sarvia

Wilayah Kritis :f > f a ( v1 ; v2 ) Tolak Ho

8/29/2012 76

Dimana :a = 0,05 v1 = 2

v2 = 36 Interpolasi f a =3,278

3,278

11.65

Wilayah Kritis : f > 3,278

Keputusan : Tolak Ho

Kesimpulan :bahwa sekurang-kurangnya ada 1 aj yang tidak sama dengan nol pada taraf nyata 0.05

atau Ada pengaruh petugas dalam pembuatan barang

pada taraf nyata 0.05

LT Sarvia

8/29/2012

39

• Keputusan : Pengaruh utama A : Tolak Ho

(11,65>3,278)

Pengaruh utama B : Tolak Ho (8,48>3,278)

Pengaruh utama C : Terima Ho (1.97<2.651)

Interaksi Dua Arah AB : Terima Ho (2<2,651)

Interaksi Dua Arah AC : Terima Ho (2,43<3,278)

Interaksi Dua Arah BC : Terima Ho (3,03<3,278)

Interaksi Tiga Arah ABC : Terima Ho (2,03<2,651)

• Kesimpulan : Ada pengaruh petugas dalam pembuatan

barang pada taraf nyata 0.05

Ada pengaruh katalis yang digunakan dalam pembuatan barang pada taraf nyata 0.05

Tidak Ada perbedaan waktu mencuci barang sesudah proses pada taraf nyata 0.05

Interaksi Dua Arah AB : Tidak ada perbedaan interaksi petugas dengan katalis yang digunakan pada taraf nyata 0.05

Interaksi Dua Arah AC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05

Interaksi Dua Arah BC : Tidak ada perbedaan interaksi katalis dengan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05

Interaksi Tiga Arah ABC : Tidak ada perbedaan interaksi petugas, katalis dan waktu pencucian pada taraf nyata 0.05

LT Sarvia

Teknik Mengingat

Grouping

Visualisasi Mengingat

kata kunci

Gunakan singkatan

Gunakan irama

LT Sarvia

8/29/2012

40

7 Area Soft Skills : Winning Characteristics

* Menurut Patrick

O’Brien dalam bukunya

“Making College Count”

LT Sarvia

analisis variansi ( anova ) - · pdf filecontoh soal : 2. selama satu semester seorang siswa...

Documents