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ISBN 970-~O-40~7-~

II I9 789 7 0 1 040171

TheMcGraw'HiIICompan/es "

,HUMBERTO GUTIERREZ PULIDOCentro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniera

Universidad de GuadalajaraROMN DE LA VARA SALAZAR

Centro de Investigacin en MatemticasGuanajuato, Mxico

Revisin tcnica:Porfirio Gutirrez Gonzlez

Centro Universitario de Ciencias Exactas e IngenieraUniversidad de Guadalaiara

Carlos Tllez MartnezDirector del Departamento de Ingeniera Industrial

Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores deMonterreyCampus Guadalajara

Mara del Carmen Temblador PrezDepartamento de Ingeniera Industrial y de Sistemas

Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores deMonterreyCampusMonterrey

MXICO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRiDNUEVA YORK ~ SAN JUAN SANTAF DE BOGOT SANTIA

AUKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHSAN FRANCISCO SINGAPUR ST.LQl.:JIS/$10~

Gerente de producto: Javier Reyes MartnezEditor de desarrollo: Sergio Campos PelezSupervisor de produccin: Zeferino Garca Garca

ANLISIS Y DISEO DE EXPERIMENTOS

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorizacin escrita del editor.

_ McGraw-Hill- InteramericanaDERECHOS RESERVADOS 2004, respecto a la primera edicin porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.v.A Subsidiary ofThe McGraw-Hill Companies, Ine.

Cedro Nm. 512, Col. AtlampaDelegacin Cuauhtmoc06450 Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN 970-10-4017-1

3456789012

Impreso en Mxico

Esta obra se termin

A Irma, Arnoldo y Noel

H.G.P.

A Rosalinda y Armda

R.V.S.

n'

(

35

36

2627

XIII

AGRADECIMIENTOS XV

ACERCA DE lOS AUTORES

PREFACIO XVII

CAPTULO DOS Elementos de inferencia estadstica: experimentoscon uno y dos tratamientos 24

Poblacin y muestra, parmetros y estadsticosDistribuciones de probabilidad en inferenciaEstimacin puntual y por intervalo 30

Resumen de frmulas para intervalos de confianzaConceptos bsicos de prueba de hiptesis 35

Planteamiento de una hiptesis estadsticaEstadstico de prueba 37Criterio de rechazo 38El riesgo de una decisin equivocada: errores tipo

CAPTULO UNO Introduccin al diseo de experimentos 2El diseo de experimentos en la industria 4Evolucin del control de calidad y los experimentos en Japn 5Diseo de experimentos en la investigacin 7Definiciones bsicas en el diseo de experimentos 9

Experimento 9Diseo de experimentos 10Unidad experimental 10Variables, factores y niveles 10

Etapas en el diseo de experimentos 14Planeacin 14Anlisis 15Interpretacin 15Conclusiones finales 16

Consideraciones prcticas sobre el uso de mtodos estadsticos 16Principios bsicos 17Clasificacin y seleccin de los diseos experimentales 19Conceptos clave 20Preguntas y ejercicios 21

VIII Contenido

Prueba para la media 41Prueba para la media con varianza desconocida 41

Prueba para la varianza 44Tres criterios de rechazo o aceptacin equivalentes 45Hiptesis para dos medias: comparacin de dos tratamientos 47Prueba para la igualdad de varianzas 52Poblaciones pareadas (comparacin de dos medias con muestras

dependientes) 53Poblaciones pareadas: caso ms general 56

Resumen de frmulas para procedimientos de prueba dehiptesis 58

Uso de un software estadstico 60Conceptos clave 62Preguntas y ejercicios 62

80

73

100

109112

88

115

CAPTULO TRES Experimentos con un solo factor (anlisis devarianza) 68

Familia de diseos para comparar tratamientosDiseo completamente al azar y ANOVA 77

ANOVA para el diseo completamente al azar (DCA)Clculos manuales 87

Diagramas de cajas simultneosGrficos de medias 89

Comparaciones o pruebas de rango mltiples 90Comparacin de parejas de medias de tratamientos 90Comparacin de tratamientos con un control (mtodo de

Dunnet) 96Comparacin por contrastes 97

Verificacin de los supuestos del modeloNormalidad 101Varianza constante 105Independencia 108

Eleccin del tamao de la muestraCmo hacerlo en Statgraphics o ExcelConceptos clave 114Preguntas y ejercicios

CAPTULO CUATRO Diseo en bloques 122Diseo en bloques completos al azar 124

Efecto de bloque 129Diseo en cuadro latino 131

Seleccin y aleatorizacin de un cuadro latino 136Diseo en cuadro grecolatino 137Uso de Statgraphics o Excel 140Conceptos clave 141Preguntas y ejercicios 141

CAPTU LO CINCO Diseos factoriales 148Conceptos bsicos en diseos factoriales 150

Representacin del efecto de interaccin 153 .Experimentacin factorial vs. mover un factor a la vez 155Diseos factoriales con dos factores 158

Modelo estadstico 158Hiptesis a evaluar y anlisis de varianza 159Comparacin de medias 166Verificacin de supuestos 171

Diseos factoriales con tres factores 171Modelo estadstico 171Hiptesis de inters 172

Transformaciones para estabilizar varianza 178Diseo factorial general 180Modelos de efectos aleatorios 184

El caso de dos factores aleatorios 185Modelo mixto. factores aleatorios y fijos 186

Cmo hacerlo en Statgraphics o Excel 189Uso de Excel 189

Conceptos clave 190Preguntas y ejercicios 190

CAPTULO SEIS Diseos factoriales 2k 198Diseo factorial 22 200

Representacin geomtrica 201Clculo de los efectos 201Anlisis de varianza 202

Experimento 22: ejemplo integrador 207Diseo factorial 23 223

Anlisis del diseo factorial 23 223Experimento 23: ejemplo integrador 225

Planeacin del experimento 226Anlisis del experimento 230Conclusiones e impacto econmico 233

Diseo factorial general Z' 237Diseo factorial Z' no replicado 241

Cmo decidir cules efectos mandar al error?Grfico de efectos en papel normal (Daniel's plot)Diagrama de Paretode efectos 244Colapsacin o proyeccin del diseo 246

Experimento 25 no replicado: ejemplo integradorAnlisis de experimento 248Interpretacin 252Verificacin de supuestos 254Anlisis alternativo: colapsacin o proyeccin del

diseo 255

243244

247

X Contenido

Cuando la significancia de los efectos es menos clara: unejemplo 257

El experimento 258Anlisis del experimento 259Verificacin de supuestos 262Grficas de efectos y conclusiones 263

Factoriales 2k con punto al centro 265Factoriales 2k en bloques 268Uso de Statgraphics 271Conceptos clave 276Preguntas y ejercicios 276

CAPTULO SIETE Diseos factoriales 3k y factorialesmixtos 294

Diseos factoriales 3k 296Diseo factorial 32 298Anlisis del diseo factorial 32 298

Factoriales mixtos 308Uso de Statgraphics 311Conceptos clave 312Preguntas y ejercicios 312

CAPTULO OCHO Diseos factoriales fraccionados 2k - p 314Diseo factorial fraccionado 2k - 1 317

Diseo factorial fraccionado 23 -1 318El concepto de resolucin 323Construccin de fracciones 2k - 1 324Experimento 25 - 1: ejemplo integrador 325

Anlisis de las dos fracciones 326Interpretacin 327

Diseos factoriales fraccionados 2k - 2 327Construccin en dos pasos del diseo 2k - 2 329

Diseo factorial fraccionado 2k - p 332Experimento 27-4: ejemplo integrador 336

.Anlisis del experimento 338Interpretacin. 339

Tpicos. adicionales sobre factoriales fraccionados 340Comentarios sobre la resolucin 340Diseos fraccionados con aberracin mnima 341Fracciones saturadas 342Diseos de Plackett-Burman 343Aclaracin de ambigedades con otra fraccin 344

Uso de Statgraphics 348Conceptos clave 350Preguntas y ejercicios 351

CAPTULO NUEVE Introduccin al diseo robusto (Taguchi) 360Filosofa Taguchi 362El concepto de robustez 365Factores de control, de ruido y de seal 367Arreglos ortogonales 371

Tipos de estudios de robustez 374Diseo con arreglo interno y externo (diseo de parmetros) 375El cociente seal!ruido 376

Optimizacin en dos pasos 378Experimento robusto: ejemplo integrador 378Conceptos clave 381Preguntas y ejercicios 381

394395

411

CAPTULO DIEZ Planeacin de un experimento 388Experimentacin: una estrategia para probar 'conjeturas y generar

aprendizaje 390El diseo de experimentos y el ciclo de DemingEtapas y actividades para una buena planeacin

Planeacin y diseo 395Anlisis 402Interpretacin 402Conclusiones finales 403

Control de factores de bloque y de ruido 404Qu sigue despus del primer experimento 405Qu hacer cuando ningn efecto es significativo 409Conceptos clave 411Preguntas y ejercicios

CAPTULO ONCE Anlisis de regresin 414Regresin lineal simple 416Pruebas de hiptesis en la regresin lineal simple 423Calidad del ajuste en regresin lineal simple 429

Coeficiente de determinacin R2 429Anlisis grfico de residuos 432Verificacin del supuesto de independencia 433

.Prueba de falta de ajuste 434Estimacin y prediccin por intervalo en regresin simpleRegresin lineal mltiple 440Pruebas de hiptesis en regresin lineal mltiple 447Intervalos de confianza y prediccin en regresin mltipleUso de un software estadstico 455Conceptos clave 456Preguntas y ejercicios 456

CAPTULO DOCE Optimizacin de procesos con metodologa desuperficie de respuesta 470

XII Contenido

El concepto de optimizacin 472Metodologa de superficie de respuesta 477Modelos de superficie de respuesta 484Diseos de superficie de respuesta 488

Relacin modelo-diseo 489Diseos de primer orden 490Diseos de segundo orden 493Cul diseo de segundo orden utilizar? 497

Tcnicas de optimizacin 498Escalamiento ascendente (descendente) 499Anlisis cannico 504Anlisis de cordillera 515

Optimizacin simultnea de varias respuestas 520Mtodo grfico 521Mtodo de la funcin de deseabilidad 526

Uso de Statgraphics o Excel 530Conceptos clave 533Preguntas y ejercicios 533

APNDICE 548

REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFA 561

NDICE ANALTICO 563

Acerca de los autores

Humberto Gutirrez Pulido es profesor investigador en el Centro Uni-versitario de Ciencias Exactas e Ingeniera de la Universidad de Guadala-jara. Obtuvo el doctorado en estadstica por el Centro de Investigacin enMatemticas (CIMAT) de Guanajuato, Mxico.

Entre las empresas en las que ha impartido capacitacin y/o asesoraen calidad total, control estadstico y diseo de experimentos, destacanlas siguientes: Cervecera Modelo, Tequila Herradura, Kodak, Xerox, [abil,Coca-Cola e IBM.

Ha escrito a lo largo de su trayectoria profesional tres libros, entre ellos,Calidad totaly productividad, publicado por McGraw-Hill, y 25 artculos deinvestigacin. Asimismo, ha sido conferenciante a nivel nacional e inter-nacional.

Romn de la Vara Salazar es investigador consultaren el Centro de In-vestigacin en Matemticas (CIMAT) de Guanajuato, Mxico.

Es candidato a doctor en estadstica por el CIMAT.Entre las empresas en las que ha impartido capacitacin y/o asesora

en ingeniera para la calidad y estadstica, destacan las siguientes: Pemex,INEGI, Motorola, Comisin Federal de Electricidad, CENAM, Mabe, Ge-neral Motors y Kodak.

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,

Agradecer a todas las personas que directa o indirectamente contribuye-ron en un libro como ste no es fcil, ya que a lo largo de los aos seacumulan ideas, comentarios, dudas, ejemplos, datos, respuestas, discu-siones y experiencia de las personas con las que se ha tenido contacto en elterreno profesional. Finalmente, las respuestas a esas dudas, las experien-cias y los diferentes aportes se han vertido en los 12 captulos del libro,alrededor de 50 ejemplos y ms de 200 preguntas y ejercicios reales. Decualquier manera, y disculpndonos de antemano por las omisiones, qui-siramos dejar testimonio de nuestro agradecimiento a las siguientes per-sonas: Julio Yuen (Flextronics); Leopoldo Torres y Ricardo Alderete(Motorola); Miguel Cedeo (Tequila Herradura); Mario Soto y Javier Ulloa(IBM); Ignacio Gallo, Jorge Quirarte (Kodak); Martn Marn, Osear Famo-so y Pedro Ponce (Panasonic); Alberto Godnez, Felipe Camacho y DanielRomo (Lucent Technology); Armando Miramontes (Innopack); GustavoBasurto (Coca-Cola); Enrique Villa, Jorge Domnguez y Gustavo Torres(Cimat); Porfirio Gutirrez, Osvaldo Camacho, Lizbeth Daz, AgustnRodrguez, Mara de Jess Guzmn, Cecilia Garibay y Claudia Snchez(Universidad de Guadalajara); Vctor Aguirre (ITAM);Javier Quezada (Tec.de Monterrey); Jorge Villa (U. de Sonora); Cuauhtmoc Reyes (U. A. deSinaloa); Marcial Quintanar y Carlos Manzo (Plus); Juan Ulin, Pvel Mo-rales, Edmundo Dvila y Rubn Crdenas (Jabil Circuits); CerveceraModelo (Joaqun Avalos); [oel Crdenas (Pemex): Jos Toro (Mabe Sanyo);Valentn Gutirrez (Emerson).

Prefacio

Este libro es resultado de ms de quince aos de enseanza, capacitaciny asesora sobre diseo y anlisis de experimentos. As, adems de la con-tribucin de los autores, .esta obra ha sido posible gracias a las ideas, co-mentarios, dudas, ejemplos, datos, respuestas, discusiones y experienciade las personas con las que se ha tenido contacto en el terreno profesional;desde estudiantes universitarios, estudiantes de posgrado, investiga-dores y personal tcnico y directivo de empresas. Las respuestas a esasdudas, las experiencias y los diferentes aportes se han vertido en los 12captulos del libro, alrededor de SO ejemplos y ms de 200 preguntas yejercicios reales.

Esperamos que esta obra resulte un aporte para enfrentar de mejormanera los tiempos actuales. Ya que la globalizacin y la alta competenciaes una realidad tan contundente que deja poco lugar a dudas de la necesi-dad de quelas organizaciones enfrenten rpida y eficazmente esta com-petencia. Se puede afirmar que la globalizacin ha dejado atrs muchasdiscusiones en nuestros pases sobre la forma de enfrentar los nuevos tiem-pos. Hoy se sabe casi en todas las empresas y organizaciones que ya nohay clientes cautivos, y que en cualquier momento los clientes puedenencontrar una alternativa mejor. En este contexto, en los procesos de pro-duccines necesario mejorar calidad de productos, reducir costos, redu-cir tiempos de ciclo, disear, redisear o hacer cambios en los procesos,sustituir materiales, modificar mtodos, disear productos y procesos ro-bustos, etctera. Una de las metodologas claves para que todo esto sehaga de manera eficaz es el diseo y anlisis estadstico de experimentos.

El papel crucial que actualmente juega el diseo de experimentos enlos centros de investigacin yen los procesos productivos, es algo que sefue consolidando a lo largo de la segunda mitad del siglo xx, particular-mente en los aos ochenta recibi un impulso decisivo debido a la in-fluencia del control de calidad en Japn, .en donde se dieron cuenta quems que detectar la mala calidad, es mejor enfocar esfuerzos de preven-cin. En los ltimos 20 aos el diseo de experimentos se fue consolidan-do hasta convertirse hoy en da en una herramienta fundamental en lastareas del personal tcnico de prcticamente todo tipo y tamao de indus-tria. Esto lo han reconocido la mayora de centros educativos que tienencomo tarea la formacin de ingenieros, bilogos.. qumicos, agrnomos,etctera; y han incorporado el diseo de experimentos como parte de suformacin bsica. En muchas industrias este tipo de profesionistas reci-

XVIII Prefacio

ben un entrenamiento adicional en diseo de experimentos para fortale-cer sus conocimientos y habilidades en este campo, y as estn en posibili-dades de generar ms y mejores acciones de mejora e innovacin.

En este libro se describen los aspectos ms importantes del diseo yanlisis de experimentos, aunque se ven los aspectos matemticos, msbien se enfatizan los conceptos, cundo aplicar cada tipo de diseo, cmoaplicarlo y cmo hacer el anlisis e interpretacin de los datos obtenidosmediante el experimento. N os hemos apoyado en muchos ejemplos parfiresaltar los aspectos finos de la aplicacin del diseo y anlisis de experi-mentos, de esta forma hacemos evidente la gran utilidad del diseo deexperimentos como herramienta de mejora e innovacin.

A lo largo de ms de quince aos en que hemos enseado y asesoradola aplicacin del diseo de experimentos, hemos visto que la gente conformacin tcnica rpidamente capta su utilidad y, cuando los aplica, pron-to se familiariza y los incorpora a su "caja" de herramientas de uso relati-vamente cotidiano. La gente que est ligada a la operacin y mejora de losprocesos est acostumbrada a hacer pruebas (experimentos) de diferentendole, por lo que en este caso el reto es que estas pruebas se hagan enforma planeada y ptima (diseo estadstico de las pruebas), en-lugar deltradicional "prueba y error". En cada captulo se describe la forma en quese puede utilizar un software estadstico para facilitar tanto el diseo comoel anlisis de cada tipo de esquema experimental. Al final de cada captu-lo se plantean preguntas y ejercicios como material complementario paraayudar al profesor y alumno, y en general al usuario, a lograr un mejoraprendizaje de la tcnica.

El libro cubre prcticamente todo el material de cualquier curso dediseo de experimentos a nivel licenciatura y posgrado. Tambin cubretpicos adicionales que en ocasiones no se alcanzan a cubrir en un solocurso, pero es necesario conocer para lograr una mejor panormica de lasposibilidades de aplicacin del diseo de experimentos. En este ltimocaso estn los contenidos de los captulos 9 y 12: "Introduccin al diseorobusto (Taguchi)" y "Optimizacin en procesos con metodologa de su-perficie de respuesta", respectivamente.

MAPA CONCEPTUAL

4 Captulo Uno

EL DISEO DE EXPERIMENTOSEN LA INDUSTRIA

En el campo de la industria es una prctica comn hacer experimentos opruebas con la intencin de que al mover o hacer algunos cambios en losmateriales, mtodos o condiciones de operacin de un proceso se puedandetectar, resolver o minimizar los problemas de calidad. Por ejemplo, seprueban varias temperaturas en una mquina hasta encontrar la que da elmejor resultado, o se intenta un nuevo material con la intencin de elimi-.nar los problemas que tiene el material actual, o bien, se prueban diferen-tes velocidades para determinar la que minimiza la vibracin excesiva delequipo.

Sin embargo, es comn que estas pruebas o experimentos se hagansobre la marcha, a prueba y error, apelando a la experiencia ya la intui-cin; en lugar de seguir un plan experimental adecuado que garanticeuna buena respuesta a las interrogantes planteadas. Algo similar puededecirse respecto al anlisis de los datos experimentales, donde ms quehacer un anlisis riguroso de toda la informacin obtenida y que tome encuenta la variacin, se hace un anlisis informal "intuitivo". Es tal el po-der de la experimentacin, que en ocasiones a pesar de 'que el experimen-to se hizo a prueba y error se logran mejoras. Sin embargo, en muchassituaciones no es suficiente aplicar experimentacin a prueba y error, porlo que es mejor proceder siempre en una forma eficaz que garantice laobtencin de las respuestas a las interrogantes planteadas, en un lapsocorto de tiempo y utilizando pocos recursos.

El diseo estadstico de experimentos es precisamente la forma eficazde hacer pruebas en los procesos, ya que proporciona la tcnica y la estra-tegia necesarias para llevar de manera eficaz los procesos a mejores con-diciones de operacin. En su parte medular, el diseo deexperimentos con-siste en determinar cules pruebas y cmo es que se deben realizar, paraobtener datos que al analizarlos estadsticamente se obtengan conclusio-nes y decisiones que deriven en mejoras del desempeo del proceso. Al-gunos problemas tpicos de la industria que se pueden resolver con eldiseo y anlisis de experimentos son los siguientes:

1. Comparar a dos o ms proveedores del mismo material con el finde elegir al que mejor cumple los requerimientos.

2. Comparar varios instrumentos de medicin para verificar si tra-bajan con la misma precisin y exactitud.

3. Proponer una nueva manera de operar el proceso, variar sus con-diciones y hacer cambios con el objetivo de reducir el nmero dedefectos.

4. Determinar los factores o fuentes de variabilidad que tienen im-pacto en la capacidad del proceso para cumplir con sus requeri-mientos ms importantes.

Introduccin al

5. Localizar las condiciones de operacin (temperatura, velocidad, hu-medad; por ejemplo) donde el proceso logra su desempeo ptimo.

6. Proponer un nuevo mtodo de muestreo igual de efectivo, peroms econmico que el actual. .

7. Reducir el tiempo de ciclo del proceso.8. Hacer el proceso insensible o robusto a oscilaciones de variables

ambientales.9. Apoyar en el diseo o rediseo del producto o proceso para mejo-

rar su desempeo.

En general, cuando se quiere mejorar un proceso existen dos manerasbsicas de obtener la informacin necesaria para ello: una es observar omonitorear va herramientas estadsticas, hasta obtener seales tiles quepermitan mejorarlo; se puede decir que sta es una estrategia pasiva. Laotra manera es experimentar, es decir, hacer cambios estratgicos y deli-berados al proceso para provocar dichas seales tiles. Al analizar los re~sultados del experimento se tienen de manera inmediata las pautas a se-guir, que muchas veces se concretan en mejoras sustanciales del proceso.En este sentido, experimentar es mejor que sentarse a esperar a que elproceso nos indique por s solo cmo mejorarlo. El diseo de experimentos(DDE) es un conjunto de tcnicas activas, en el sentido de que no esperanque el proceso mande las seales tiles, sino que ste se "manipula" parainducirlo a proporcionar esa informacin qlle se requiere para mejorarlo.El control estadstico de procesos (CEP) sirvedebase para dirigir mejor labsqueda mediante DDE, ya que dependiendo del estado del proceso encuanto a capacidad y estabilidad se debe orientar la estrategia de mejoradel proceso y, por lo tanto, la aplicacin del DDE.

El saber diseo de experimentos y otras tcnicas estadsticas, combi-nadas con conocimiento del proceso, sitan al responsable del mismo comoobservador perceptivo y proactivo, que es capaz de observar algointere-sante (oportunidades de mejora) en el proceso y en los datos donde otrapersona no ve nada. De aqu su mejor capacidad para proponer posiblessoluciones a un problema determinado.

EVOLUCiN DEL CONTROL DE CALIDADY LOS EXPERIMENTOS EN JAPN

Uno de los elementos fundamentales de la evolucin del control de cali-dad ha sido el enfocar mayores esfuerzos hacia la prevencin, en detri-mento de la deteccin (inspeccin). Lo anterior se puede apreciar grfica-mente en la figura 1.1, donde se muestra el caso particular de la evolucindel control de calidad en Japn (Romero y Znica, 1994). Ah, como en losdems pases, el control de calidad inicia con actividades de inspecciondespus de la produccin.

Diseo de experimentos

Conjunto de.tcnic~saq~ya~que manipu1all elJ?r?c~~.9para inducirlo a prop()rci()::rla informacin que se .requiere para mejorarlo.Tcnicas estadsticas ydeingeniera que permitenlograr la mxima eficacia delos procesos de produccin almenor costo.

6 Captulo Uno

1980

1950(Japn)

1920

nfasis en laprevencin

Diseo delproducto

Diseo delproceso

Fabricacin Expedicin

Control estadstico decalidad

FIGURA 1.1 Evolucin del control de la calidad de deteccin a prevencin.

Sin embargo, las empresas japonesas lderes fueron desplazando elcontrol de calidad a detectar y prevenir oportunamente los problemas decalidad durante la fase de fabricacin, para ello aplicaron el control estadie-tico de la calidad (SPC, Statistical Process Control). Es a partir de los aos

Actividades que se respaldanen tcnicas estadsticasenfocadas a detectaroportunamente posiblesfallas o problemas en eldesempeo de los procesos.

100%

80%

60%

40%

20%

Japn

50 60 70 80 90

100%

80%

60%

40%

20%

Estados Unidos

50 60 70 80 90

.Total o sumaTradicional (inspeccin)

- Control fuera de lneaSPC (CEP)

FIGURA 1.2 Diferentes herramientas del control de calidad y su evolucin.

Introduccin al diseo deexpet'imefJ.tos

ochenta que en Japn, en las empresas lderes, se llega a la conclusin deque los esfuerzos de control de calidad deben enfocarse principalmentehacia actividades fuera de la lnea de produccin (off-Zine) para prevenirlos problemas de calidad desde las fases de diseo del producto y deldiseo de su correspondiente proceso de produccin. Es en estas etapasdonde tcnicas como QFD, AMEF, Confiabilidad, Diseo de Experimen-tos, etc., han tenido una amplia aplicacin.

En la figura 1.2 se muestra la contribucin de diferentes herramientasa los esfuerzos de control de calidad en Japn y Estados Unidos. En ella seaprecia cmo enJapn la inspeccin ha ido disminuyendo desde 1950, cosaque empez a ocurrir en Estados Unidos hasta la dcada de los ochenta. Encuanto al diseo de experimentos en Japn, su aplicacin se inicia a partirde 1960, y ha crecido de manera sistemtica; en cambio en Estados Unidosse empez a aplicar ms ampliamente el diseo de experimentos apenas apartir de 1980. Otro hecho que destaca es que a medida que el control decalidad fuera de lnea se difunde y tiene xito en la empresa, es menosnecesaria la inspeccin y el control estadstico. Como conclusin de lo an-terior podemos decir que es necesario trabajar ms en actividades de con-trol de calidad enfocadas a la preoencin durante las fases de diseo delproducto y del proceso; y para esto el diseo de experimentos es funda..mental. Esto se reconoce cada da ms en los medios industriales, y estametodologa cada da es utilizada en mayor medida en todo el mundo, porsu relativa sencillez, utilidad y eficacia tanto en resolver problemas, buscarmejoras y buscar innovaciones (nuevos productos, materiales o procesos).

En particular, en Japn se hacen millones de experimentos cada ao ysupera conmucho a cualquier otro pas en este campo. Aproximadamen-te 80% de los experimentos son exitosos, el resultado de esto es fcil deimaginar: cada ao hay ms y mejor conocimiento va la experimenta-cin. De ninguna manera debe intimidar la palabra experimentacin, ypensar que eso es posible slo en laboratorios de investigacin y desarro-llo. Nada ms alejado de la verdad. Experimentar es hacer pruebas y sepueden hacer en todo tipo de procesos y productos. El reto es que estaspruebas se hagan en forma planeada y organizada; y de manera cotidianaa lo largo y ancho de los procesos industriales, en lugar de que se realicensobre la marcha y en forma aislada. Hemos visto en el lapso de la ltimadcada que cumplir con ese reto es muy posible en Latinoamrica; tam-bin cmo cada da ms en muchas empresas el diseo de experimentosse vuelve una herramienta cotidiana.

DISEO DE EXPERIMENTOSEN LA INVESTIGACiN

El diseo de experimentos tambin es fundamental en la investigacincientfica, cuyo objetivo es ampliar el conocimiento que sobre la naturale-

8 Captulo Uno

Proceso de deduccin

Es cuando las consecuenciasderivadas de la hiptesispueden ser comparadas conlos datos.

Proceso de induccin

Es aquel en el que lasconsecuencias de la hiptesisoriginal y los datos no estnde acuerdo; es entonces quese inicia este proceso paracambiar tal hiptesis.

za y la humanidad se tiene. En este caso quiz no se tenga en mente unproblema concreto en un proceso de produccin, pero al igual que en laindustria, tambin se plantea una hiptesis que es necesario validar me-diante algn tipo de evidencia ms objetiva. Por ello todo lo que hemosdicho para un proceso de produccin es igualmente vlido para la inves-tigacin cientfica. En el caso de la ciencia, el objetivo es producir conoci-miento y soluciones fundamentales, por tanto aqu es ms necesario recu-rrir a estrategias bien planeadas que lleven a responder con mayor seguri-dad y amplitud las interrogantes planteadas. Tambin en este campo seencuentra el obstculo de la estrategia tradicional de la prueba y error.

El objetivo de los mtodos estadsticos es lograr que el proceso degenerar conocimiento y aprendizaje sea tan eficiente como sea posible.Este proceso ha demostrado, a lo largo de la historia de la humanidad, serun proceso secuencial en el cual interactan dos polos (vase figura 1.3),por un lado la teora, modelos, hiptesis, conjeturas, supuestos y por elotro la realidad, hechos, fenmenos, evidencia, datos. As, como se co-menta en Box et al. (1978), una hiptesis inicial lleva a un proceso dededuc-cin en el que las consecuencias derivadas de la hiptesis pueden ser com-paradas con los datos. Cuando las consecuencias y los datos no corres-ponden, entonces la discrepancia puede llevar a un proceso deinduccin, enel cual se modifica la hiptesis original. De esta manera se inicia un se-gundo ciclo de la interaccin de teora y datos; en el cuallas consecuen-cias de la hiptesis modificada son comparadas con los datos (los viejos ylos que se obtengan en este nuevo ciclo); esto puede llevar a futuras modi-ficaciones y a la obtencin de conocimiento.

Este proceso interactivo de aprendizaje puede visualizarse como unciclo de retroalimentacin (figura 1.4), en el cual las discrepancias entrelos datos y las consecuencias de la hiptesis H I , lleva a una hiptesis mo-dificada H2, y de la verificacin de sta, adems de conocimiento, se llegaa una modificacin de la modificacin (hiptesis H 3) , y as sucesivamente.

La direccin del aprendizaje es: conocimiento, conjeturas, imagina-cin, experimentacin, anlisis y reflexin; y esto de forma repetidase

teora, modelos; hiptesis, supuestos

/\./\/\realidad, hechos, fenmenos, datos

FIGURA 1.3 Proceso interactivo de la experimentacin.

Introduccin al diseo de experimentos 9

La hiptesis H2 reemplazaa H1

FIGURA1.4 El proceso de generacin de aprendizaje y conocimiento comoun ciclo de retroalimentacin.

transforma en aprendizaje. Para establecer conjeturas se requiere conoci-miento previo, para que tales conjeturas sean ms concretas.

DEFINICIONES BSICAS EN EL DISEODE EXPERIMENTOS

El diseo estadstico de experimentos permite optimizar la informacin ge-nerada acerca del proceso, en relacin a los objetivos planteados. En otraspalabras, el diseo de experimentos es la aplicacin del mtodo cientfico paragenerar conocimiento acerca de un sistema o proceso. Esta herramienta seha ido consolidando en la industria actual como un conjunto de tcnicas es-tadsticas y de ingeniera, que permiten lograr la mxima eficacia de los pro-cesos con el mnimo costo. El diseo de experimentos es especialmente tilpara crear calidad desde la fase de diseo del producto y del proceso; perotambin permite lograr mejoras sustanciales en procesos ya establecidos.

Experimento

Un experimento es un cambio en las condiciones de operacin de un siste-ma o proceso, que se hace con el objetivo de medir el efecto del cambiosobre una o varias propiedades del producto. Dicho experimento permiteaumentar el conocimiento acerca del sistema. Por ejemplo, en un procesoqumico se pueden probar diferentes temperaturas y presiones, y se mideel cambio observado en el rendimiento (yield, ppm, defectivo) del proce-so. Esta experimentacin genera conocimiento acerca del proc.es()'qumi-ca, lo que permite mejorar su desempeo.

Experimento

Es un cambio en las connes de operacin de unsistema o proceso, que shace con el objetivo deel efecto del cambivarias propiedadproducto.

10 Captulo Uno

Unidad experimental

Es la muestra de artculosque es necesario producir enuna condicin para obteneruna medicin o datorepresentativo.

Diseo de experimentos

El diseo de experimentos consiste en planear un conjunto de pruebasexperimentales, de tal manera que los datos generados puedan analizarseestadsticamente para obtener conclusiones vlidas y objetivas acerca delsistema o proceso.

Unidad experimental

La unidadexperimental es la muestra de artculos que es necesario produciren una condicin de operacin del proceso para obtener, a partir de ellos,una medicin o dato representativo de lo que all ocurre. En cada diseode experimentos es importante definir cuidadosamente la unidad experi-mental, ya que sta puede ser una pieza o un conjunto de piezas produc-das,dependiendo del proceso que se estudia. Por ejemplo, si el problemaes investigar alternativas para reducir el porcentaje de piezas defectuosasen un proceso que produce muchas piezas en un lapso corto de tiempo, esclaro que no sera muy confiable que la unidad experimental fuera 'unasola pieza, en la cual se vea si en una condicin experimental fue defec-tuosa o no. Aqu la unidad experimental sera cierta cantidad de piezas'que se producen en las mismas condiciones experimentales, y que al finalse analiza cuntas de ellas son defectuosas y cuntas no.

Variables, factores y nivelesEn todo proceso intervienen distintos tipos de variables o factores comolos que se definen a continuacin:

Entrada' SalidaFactores .. Caractersticascontrolables de calidad oFactores no variables decontrolables

..respuesta

Cules caractersticas de calidad se van a medir?Cules factores controlables deben incluirse en el experimento?Qu niveles debe utilizar cada factor?Cul diseo experimental es el adecuado?

FIGURA 1.5 Variables de un proceso y preguntas a responder aldisear un experimento.

Variable de respuesta Es la caracterstica, variable de salida opropie-dad del producto, cuyo valor interesa mejorar (vase figura 1.5). Por logeneral el valor de dicha caracterstica determina algn aspecto de la cali-dad del producto. La conjetura tpica para utilizar diseo experimental esque existe otra manera de operar el proceso en la cual el comportamientode una o varias variables de respuesta sera mejor que el actual.Factores controlables Son variables de proceso o variables de entradaque se pueden fijar en un punto o en un nivel de operacin. Algunos destos son los que usualmente se controlan durante la operacin normaldel proceso (vase figura 1.5), y se distinguen porque para cada uno deellos existe la manera o el mecanismo para cambiar o manipular su nivelde operacin. Esto ltimo es lo que hace posible que se pueda experimen-tar con ellos. Por ejemplo, si en el proceso se usa agua a 60C entoncesdebe haber un mecanismo que permite fijar la temperatura del agua den-tro de un rango de operacin. Algunos factores que generalmente se con-trolan son: temperatura, tiempo de residencia, cantidad de cierto reactivo,velocidad, presin, etc. A los factores controlables tambin se les llamavariables de entrada, condiciones de proceso, variables de diseo, parmetros delproceso, o simplemente factores.

Factores no controlables o de ruido Son variables que no se puedencontrolar durante la operacin normal del proceso. Por ejemplo, algunosfactores que suelen ser no controlables son las variables ambientales (luz,humedad, temperatura, partculas, ruido, etc.), el nimo de los operado-res, la calidad del material que se recibe del proveedor (interno o externo)y los diversos usos que el cliente pueda dar al producto. Un factor queahora es nocontrolable puede convertirse en controlable, cuando se tengael mecanismo o tecnologa para ello.

Factores estudiados Son las variables que se investigan en el experi-mento, en cuanto a cmo influyen o afectan a la(s) variable(s) de respuesta.Los factores estudiados pueden ser factores controlables o no controlables,donde estos ltimos fue posible y de inters controlarlos durante el experi-mento. Para que un factor pueda ser estudiado es necesario que duranteelexperimento se haya probado en al menos dos niveles o condiciones.

En principio, cualquier factor, sea controlable o no, puede tener algu-na influencia en la variable de respuesta que se refleja en su media o ensu variabilidad. Para fines de un diseo de experimentos deben selec-cionarse los factores que se considera, por conocimientodel procesoyconjeturas, que pueden tener efecto sobre la respuesta de inters. Y partede la problemtica a superar durante el diseo es ver la manera en que secontrolar durante el experimento un factor que normalmente es no con-trolable.

Niveles y tratamientos Los diferentes valores que se asignan a cadafactor estudiado en un diseo experimental se llaman fLL'CLCi:).

Es la caractE!rsiticaproducto cuyomejorar mediantede experimentos,

Factores controlables

Son variables dese pueden fijar en unen un nivel de operacin.

Factores no controlables

Son Variables que !lo sepueden controlar dW::ant~laoperacin normal d~l PWSE!socomo la luz, temperatura,humedad ambientales.

Factores estudiados

12 Captulo Uno

TABLA 1.1 Puntos de diseo o tratamientos.

1212

1122

1234

Error aleatorio

Es la variabilidad observadaque nose puede explicar porlosfactor~sestudiados; yres11lta del pequeo efecto delos factores no estudiadosydel error experimental.

Error experimental'>;

Componente del erroraleatorio que refleja loserrores del experimentadoren la planeacin y ejecucindel experimento.

nacinde niveles de todos los factores se llama tratamiento o puntode dise-o. Por ejemplo, si en un experimento se controlan la velocidad y la tem-peratura, y se decide probar cada uno en dos niveles, entonces cada com-binacin de niveles (velocidad, temperatura) es un tratamiento. En estecaso habra cuatro tratamientos, como se muestra en la tabla 1.1.

De acuerdo con estas definiciones, en el caso de experimentar con unsolo factor, la combinacin de niveles es a la vez un tratamiento.

Erroraleatorio y error experimental Siempre que se realiza un estu-dio experimental, parte de la variabilidad observada no se podr explicarpor los factores estudiados. Esto es, siempre habr un remanente de va-riabilidad que se debe a causas comunes o aleatorias, que generan lavariabilidad natural del proceso. Esta variabilidad constituye el llamadoerror aleatorio, que no es error en el sentido de equivocacin, sino variabi-lidad no explicada. Por ejemplo, ser parte de este error aleatorio el pe-queo efecto que tienen los factores que no se estudiaron, siempre y cuan-do se mantenga pequeo o despreciable, as como la variabilidad de lasmediciones hechas bajo las mismas condiciones. Sin. embargo, el erroraleatorio tambin absorber todos los errores (ahora s en el sentido deequivocacin) que el experimentador comete durante los experimentos,y si stos son graves, ms que error aleatorio hablaremos de error experi-mental, y de predominar ste, la deteccin de cules de los factores .estu-diados tienen un efecto real sobre la respuesta ser difcil, si no es queimposible.

Cuando se corre un diseo experimental es importante que la variabi-lidad de la respuesta observada se deba principalmente a los factores es-tudiados y en menor medida al error aleatorio, y adems que este errorsea efectivamente aleatorio. Cuando la variabilidad observada se debe afactores no estudiados o a error no aleatorio, no se podr distinguir cules. el verdadero efecto que tienen los factores estudiados, con lo que elexperimento resultara intil. De aqu la importancia de no dejar variarlibremente a ningn factor que pueda influir de manera significativa so-breel comportamiento de la respuesta (principio de bloqueo). Un procesocualquiera y-las variables que en l intervienen se representa en la figura

Factores de diseo (fciles de controlar):tiempo de ciclo, presin del molde, velocidad de tornillo,temperatura, tiempo de curado, contenido de humedad

Introduccin

Materia prima

Caractersticas decalidad: Encogimiento

DurezaColorCostoTextura

Factores de ruido (difciles de controlar):

Parmetros de calidaddel proveedor

Qumica del plstico

Otras variables del. proceso

Variables ambientales

FIGURA 1.6 Factores y variables en la fabricacin de un envase de plstico.

1.5, donde tambin se muestran algunas interrogantes que surgen al pla-near un diseo experimental.

En la figura 1.6 se muestran las variables q~e intervienen en el proceso de EJEMPLO 1. 1fabricacin de un envase de plstico. El problema general es encontrar lascondiciones de operacin de los factores controlables, que dan por resul-tado valores ptimos de las caractersticas de calidad all listadas. Tam-bin podra ser de inters investigar el efecto de factores no controlables,buscando lograr un proceso insensible (robusto) a su posible efecto. Su-pongamos que slo interesa la dureza de la pieza de plstico resultante.Algunas preguntas que se pueden responder con un diseo experimentalson: cules factores afectan la dureza del plstico?, cmo es que la afee-tan?, o bien, qu relacin hay entre los factores controlables y la dureza?;existen otras condiciones de operacin, distintas a las actuales que mejo-ran la dureza? Estas preguntas se pueden responder probando diferentescombinaciones en los niveles de los factores controlables, seleccionadasde manera adecuada. Esto ltimo significa escoger el diseo experimentalms adecuado al problema, que en este caso parece ser un diseo factorialcompleto o fraccionado (captulos 5, 6 Y8).

14 Captulo Uno

Matriz de diseo

Es el arreglo formado por lasdiferentes condiciones deproceso que sern corridas,incluyendo las repeticiones.

Planeacin

Son actividades encaminadasa entender el problema,disear y realizar las pruebasexperimentales adecuadas.

ETAPAS EN EL DISEODE EXPERIMENTOS

Un aspecto fundamental del diseo de experimentos es decidir cules prue-bas o tratamientos se van a correr en el proceso, y cuntas repeticiones decada uno, de manera que se obtenga la mxima informacin al mnimocosto sobre lo que se estudia. El arreglo formado por las diferentes condi-ciones de proceso que sern corridas, incluyendo las repeticiones, recibeel nombre de matriz de diseo, o slo diseo.

Un diseo experimental es algo ms que un conjunto de condicionesde prueba; ms bien es una secuencia de etapas o actividades que debenrealizarse para cumplir con xito los objetivos que se persiguen. En estesentido, la actividad ms importante ya la que se le debe dedicar mayortiempo, es la planeacin (vase captulo 10). A continuacin se describende manera breve las etapas del diseo de experimentos con objeto de daruna visin global de lo que implica su correcta aplicacin. Varios concep-tos que se mencionan en estas etapas se definen con detalleen.los siguien-tes captulos, y se explican con ms profundidad en la seccin "Etapas yactividades para una buena planeacin" del captulo 10.

Planeacin

1. Encontrar un problema de calidad que causa prdidae importantes a la com-paa o queesde inters para un investigador. No basta decir "me parece quees un problema importante", sino que deben obtenerse datos que as lodemuestren y cuantificar el impacto de ese problema. Definir y medir elpunto de partida (situacin actual o inicial) es el primer paso en cual-quier esfuerzo de mejora; por ello, aqu se puede utilizar el anlisis dePareto o estudios de la capacidad del proceso. Es fundamental ademstener un conocimiento inicial sobre el proceso donde se ubica el proble-ma, por ejemplo saber algo o al menos tener buenas conjeturas acerca decmo se relacionan las variables que all intervienen; tener idea de culesvariables de respuesta son ms importantes y cules factores de procesoo variables pueden influir en su desempeo.

2. Determinar cules factores deben estudiarse o inoesiigarse, de acuerdo a lasupuesta influencia quetienen sobre larespuesta. No se trata de que el experi-mentador tenga que saber a priori cules factores influyen, puesto que pre-cisamente para eso es el experimento, pero s de que utilice toda lainformacin disponible al respecto.

3. Elegir late) uariablets) de respuesta quesern medidas en cada punto deldise-oy verificar quesemidedemanera confiable. La eleccin de esta(s) variable(es)es vital, ya que son el objetivo del experimento, y son las que se pretende

Introduccin al diseo

mejorar. Por ello se debe elegir aquellas que mejor reflejen el problema, yasea en trminos de calidad o productividad. Es frecuente que haya ms deuna variable de respuesta. Adems se debe tener la confianza que las me-diciones que se obtengan sobre esas variables sean confiables. En otraspalabras, se debe garantizar que los instrumentos y/o mtodos de medi-cin son capaces de repetir y reproducir una medicin, que tienen la pre-cisin (error) y exactitud (calibracin) necesaria. Recordemos que los sis-temas de medicin son la forma en la que percibimos la realidad, por loque si estos sistemas son deficientes, las decisiones que se tomen con baseen ellas pueden ser inadecuadas. En ocasiones si se piensa que el sistemade medicin genera mucho error, una forma de reducirlo es repetir la me-dicin y reportar el promedio.

4. Seleccionar el diseo experimental adecuado a losfactoresque se tienen y al'objetivo delexperimento. Este paso tambin implica determinar cuntas re-peticiones se harn para cada tratamiento, tomando en cuenta el tiempo,costo y la precisin deseada.

5. Planear y organizar el trabajo experimental. Con base en el diseoseleccio-nado, organizar y planear con detalle el trabajo experimental, por ejemplolas personas que van a intervenir, la forma operativa en que se harn lascosas, etctera (vase seccin 10.3).

6. Realizar el experimento. Seguir al pie de la letra el plan previsto en laetapa anterior, y en caso de algn imprevisto no contemplado, sealar lapersona a la que se le reportara y lo que se hara.

Anlisis

Se debe determinar el modelo de anlisis de varianza Anova (es suacrnimo en ingls) o la tcnica estadstica que mejor describa el compor-tamiento de los datos. En algunos experimentos el anlisis de varianzaque arrojan directamente los sistemas computacionales no es el ms ade-cuado y el experimentador debe refinarlo, para lo cual se recomienda uti-lizar tcnicas grficas de apoyo.

Interpretacin

Aqu se debe ir ms all del anlisis estadstico formal, y se debe analizarcon detalle lo que ha pasado en el experimento, desde contrastar las con-jeturas iniciales con los resultados del experimento, hasta observar los nue-vos aprendizajes que sobre el proceso se lograron, verificar suouestoselegir el tratamiento ganador.

16 Captulo Uno

Conclusiones finalesPara concluir el proyecto se recomienda decidir qu medidas implementarpara generalizar el resultado del estudio y para garantizar que las mejorasse mantengan. Adems organizar una presentacin para difundir los lo-gros.

Como se observa, estas cinco etapas implican tener conocimiento delproceso que se estudia, aunque no se requiere ser un experto. Sin embar-go, en la medida que se conoce el proceso objeto de estudio se est enposicin de llegar ms rpido a la solucin del problema, debido a unamejor planeacin (captulo 10).

CONSIDERACIONES PRCTICAS SOBRE EL USODE MTODOS ESTADSTICOS

En adicin a lo dicho en la seccin anterior, es importante tomar en cuentaque aunque el uso de metodologas. estadsticas por lo general ayuda ahacer ms eficiente el proceso de investigacin y de solucin de proble-mas, es necesario reconocer que las metodologas estadsticas por s solasno garantizan investigaciones exitosas, por ello es importante considerarlos siguientes puntos.

El conocimiento no estadstico es vital Para utilizar los mtodosestadsticos en general y los diseos de experimentos en particular, antesque todo se requiere que el experimentador tenga un buen nivel de cono-cimiento tcnico y prctico sobre el fenmeno o proceso que estudia, detal forma que pueda vislumbrar con cierta facilidad cules son los aspec-tos clave del fenmeno y pueda plantear conjeturas precisas, vislumbrarel tipo de relaciones entre las variables de respuesta y los factores de pro-ceso. Todo esto ayudar a seleccionar mejor los factores y sus niveles, ascomo el diseo que es mejor aplicar. Adems ese conocimiento permitirsacarle un provecho real al anlisis estadstico de los resultados y sacarconclusiones, generando aprendizaje y soluciones.

Reconocer la diferencia entre significancia estadstica e impor-tancia prctica En ocasiones un experimentador puede concluir quedos tratamientos son diferentes estadsticamente. Pero que tales diferen-cias, aunque sean significativas, no representan una diferencia .que en laprctica sea digna de consideracin. En otras palabras, nunca perder devista el objetivo ltimo de un experimento, en elanlisis estadstico, paraen funcin de eso y los resultados estadsticos, poder tomar decisiones.

Apostarle ms a la experimentacin secuencial que a unexperi-mento nico y definitivo En ocasiones los experimentadores novatos

Introduccin al diseo

pretenden en una sola fase de experimentacin contestar todas susinterrogantes sobre un proceso o fenmeno en particular; Sin embargo,esto puede llevar a experimentos demasiado extensos que consuman de-masiados recursos y que retarde la generacin de resultados. Por ello esimportante considerar como alternativas diferentes fases de experimenta-cin en forma secuencial, en los cuales se alcance paulatinamente mayorprecisin en los conocimientos y soluciones. En apartados anteriores seseal que el proceso de generar aprendizaje y de investigacin es un pro-ceso secuencial.

No confundir la experimentacin secuencial con la experimentacin apruebay error (vase seccin "Experimentacin factorial vs. Mover un factor a lavez" del captulo 5). La experimentacin secuencial en cada fase sigueuna estrategia bien definida y pensada; y, por tanto, en cada fase se obtie-nen resultados y conclusiones importantes que permiten generar solucio-nes y conocimiento ms refinado para plantear de mejor manera la si-guiente fase de experimentacin.

PRINCIPIOS BSICOS

Aleatorizacin

El diseo de experimentos trata de fenmenos que son observables yrepetibles. Sin pensamiento estadstico los conceptos de observabilidad yrepetibilidad son inherentemente contradictorios. Cualquier cosa obser-vada se aprecia con variabilidad; nada ocurre exactamente de la mismaforma dos veces, incluso mediciones del mismo evento varan. As, quse quiere decir cuando la ciencia demanda que una observacin sea repe-tible?, qu repeticin es repeticin?, cuando un resultado es el mismo odifiere es confirmacin o contradiccin? Estas preguntas no pueden sercontestadas de manera coherente sin el pensamiento estadstico. Por ejem-plo: alguien da una nueva receta de chocolate; te dicen que no falla, perolo pruebas y no sale, mientras en el segundo y tercer intento s. La recetaest comprobada completamente? (los chocolates tienen ms de 800 in-gredientes individuales que pueden ser separados).

De acuerdo con lo anterior, se debe ser muy cuidadoso en la planea-cin y anlisis de un experimento. El punto de partida para una correctaplaneacin es aplicar los principios bsicos del diseo de experimentos:aleatorizacin, repeticin y bloqueo, los cuales tienen que ver directamentecon que los datos obtenidos sean tiles para responder a las preguntasplanteadas, es decir, la validez del anlisis de los datos se apoya en estosprincipios.

Aleatorizacin Consiste en hacer las corridas experimentales en ordenaleatorio y con material seleccionado tambin aleatoriamente. Este princi-pio aumenta la probabilidad de que el supuesto de de loserrores se cumpla, que es un requisito para la validezestadsticas que. se realizan. Tambines una rnariera

18 Captulo Uno

Repeticin

Es correr ms de una vez untratamiento o combinacin defactores.

Bloqueo

Es nulificar o tomar en cuentaen forma adecuada todos losfactores que pueden afectar larespuesta observada.

pequeas diferencias provocadas por materiales, equipo y todos los facto-res no controlados, se repartan de manera homognea en todos los trata-mientos. Por ejemplo, una evidencia de incumplimiento o violacin deeste principio se manifiesta cuando el resultado obtenido en una corridadel proceso est muy influenciado por la corrida inmediata anterior.

Repeticin Es correr ms de una vez un tratamiento o combinacin defactores dada. No confundir este principio con medir varias veces el mis-mo producto o artculos fabricados de una sola vez en cierta combinacinde factores. Repetir es volver a correr el proceso, partir desde volver a fijarlas condiciones de-operacin, para obtener un nuevo producto, hasta elmedir resultado de esta otra corrida del proceso. Las repeticiones permi-ten distinguir mejor qu parte de la variabilidad total de los datos se debeal error aleatorio y cul a los factores. Cuando no se hacen repeticiones nohay manera de estimar la variabilidad natural o error aleatorio y esto difi-culta la construccin de estadsticas realistas en el anlisis de los datos. Elrepetir aumenta la confiabilidad de las mediciones, ya que las repeticio-nes en el mismo tratamiento se esperan razonablemente parecidas, enparticular cuando el proceso est en control estadstico.

Bloqueo Es nulificar o tomar en cuenta en forma adecuada todos losfactores que puedan afectar la respuesta observada. El nombre de esteprincipio se deriva de experimentos agrcolas en los cuales se controla elefecto de parcela (bloque) al comparar varios tratamientos. Al bloquear sesupone que el subconjunto de datos que se obtengan dentro de cada blo-que (nivel particular del factor bloqueado), deben resultar ms homog-neos que el conjunto total de datos. Con el principio de bloqueo se logramayor precisin del experimento al eliminar variabilidad no explicadaque provocara el error aleatorio. Por ejemplo, si se quieren comparar cua-tro mquinas del mismo tipo usando un operador, la comparacin puederesultar injusta por favorecer a una de las mquinas (a la preferida por eloperador), y entonces no hay garanta de que el resultado obtenido semantenga con los otros operadores; en este caso se est usando un solobloque (el operador). Una mejor estrategia es experimentar con los cuatrooperadores (cuatro bloques), donde cada uno de ellos prueba en ordenaleatorio las cuatro mquinas; en este segundo caso la comparacin de lasmquinas resulta ms justa y de mayor validez. Aunque en ambos casos,ya con el uso de un operador o cuatro operadores, se est aplicando elprincipio de bloqueo, es ms adecuada la segunda estrategia al ser mscercana a la realidad en la que existen los cuatro operadores. Cada opera-dor es un bloque porque se espera que las mediciones del mismo operadorsean ms parecidas entre s que las mediciones de varios operadores.

Los principios bsicos se entendern mejor en la medida de que seestudien los ejemplos de los captulos siguientes. En particular, en la sec-cin "Poblaciones pareadas" del captulo 2 se presenta el experimento mssimple donde la aplicacin de estos principios es evidente.

Introduccin al diseo

CLASIFICACiN Y SELECCiNDE LOS DISEOS EXPERIMENTALES

Se han inventado y propuesto muchos diseos experimentales para po-der estudiar la gran diversidad de problemas o situaciones que ocurrenen la prctica. Esta cantidad de diseos hace necesario saber cmo elegirel ms adecuado para el problema que se quiere resolver, y por ende, co-nocer cmo es que se clasifican los diseos de acuerdo a su objetivo y a sualcance dentro del objetivo en cuestin,

Los cinco aspectos que ms influyen en la seleccin de un diseo ex-perimental, en el sentido de que cuando cambian nos llevan generalmen-te a cambiar de diseo, son:

1. El objetivo del experimento.2. El nmero de factores a controlar.3. El nmero de niveles que se prueban en cada factor.4. Los efectos que interesa investigar (relacin factores-respuesta).5. El costo del experimento, tiempo y precisin deseada.

Estos cinco puntos no son independientes entre s, pero es importantesealarlos de manera separada, ya que al cambiar cualquiera de ellos, cam-bia el diseo experimental a utilizar (vase captulo 10). Con base en algu-nos de estos cinco puntos se pueden clasificar los diseos como lo hace-mos a continuacin.

El objetivo del experimento se ha utilizado como un criterio general declasificacin de los diseos experimentales, mientras que los otros cuatropuntos son tiles para subclasificarlos. En este sentido, de acuerdo con suobjetivo y sin pretender ser exhaustivo, los diseos se pueden clasificarcomo:

1. Diseos para comparar dos o ms tratamientos.2. Diseos para estudiar el efecto de varios factores sobre la(s)

respuesta(s).3. Diseos para determinar el punto ptimo de operacin del pro-

ceso.

4. Diseos para la optimizacin de una mezcla.5. Diseos para hacer el producto insensible a factores no controla-

bles.

En la figura 1.7 se muestra la clasificacin general de los diseos expe-rimentales de acuerdo con su objetivo. Dentro de cada rama se puedenclasificar de acuerdo al nmero de factores, al tipo de efectos que se pre-tende estudiar y segn las restricciones existentes. En la misma figura selistan los diseos particulares ms representativos de cada rama.

Note que los diseos factoriales completos y traccionados ocupande un lugar en la figura 1.7. La razn es que estos QU;eI1LOS

20 Captulo Uno

{Diseo completamente al azar1. Diseos para comparar

dos o ms tratamientos Diseo de bloques completos al azarDiseo en cuadros latino y grecolatino

2. Diseos para estudiar el { Diseos factoriales 2kefecto de varios factores Diseos factoriales 3ksobre una o ms variables Diseos factoriales fraccionados 2 k - pde respuesta

Diseo.s para{.Diseos factoriales. 2k y 2 k - pmodelo de Diseo de Plakett-Burmanprimer orden Diseo simplex3. Diseos para la

optimizacin deprocesos Diseos para el {Diseo central compuesto

modelo de segundo Diseo de Box-Behnkenorden Diseos factoriales 3k y 3 k - p

4; Diseos robustos { ~~:~~:::~'::~~:j~~!;~:ie=~~ales)5. Diseos de mezclas { ~::~~ ::'.::~~~:~~~roide

Diseo con restriccionesDiseo axial

FIGURA 1.7 Clasificacin de los diseos experimentales.

diversas situaciones prcticas. De hecho, varios de los otros diseos quese mencionan en esta figura son casos particulares o generalizaciones delos diseos factoriales. En los siguientes captulos se vern con detallevarios de estos diseos.

Conceptos clave

Diseo de experimentos Control estadstico de calidad Proceso de deduccin Proceso de induccin Experimento Unidad experimental Variable de respuesta Factores controlables Factores no controlables Factores estudiados

Niveles Punto de diseo Error aleatorio Error experimental Matriz de diseo Planeacin Aleatorizacin Repeticin Bloqueo

PREGUNTAS Y EJERCICIOS1. Explique las ventajas que tiene el diseo de experimentos sobre

una estrategia de prueba y error. .2. Qu aspectos le parecen ms relevantes de la evolucin del con-

trol de calidad y su relacin con el diseo de experimentos?3. ,Que es un experimento y qu es disear un experimento?4. En elcontexto de un diseo de experimentos, qu es una variable

de respuesta, qu es un factor estudiado, y qu relacin se espera-ra que haya entre la variable y los factores?

5. En un experimento slo es posible estudiar los factores que ac-tualmente se controlan en la operacin normal del proceso?

6. Es posible estudiar cmo influye un factor sobre la variable derespuesta, si el factor se mantiene fijo en todas las corridas o prue-bas experimentales? Explique.

7. Se tiene un experimento en el que los factores a estudiar y susniveles son los siguientes: temperatura (10, 20 Y 30C) Y tiempo(60 y 90 minutos). Haga una lista de todos los tratamientos de estediseo.

8. Qu es el error aleatorio y qu es el error experimental?9. Por qu es importante aleatorizar el orden en que se corren los

diferentes tratamientos en un diseo de experimentos?10. Seale las etapas en el diseo de un experimento, y seale algunos

aspectos clave de cada una de ellas.11. Describa brevemente los tres principios bsicos del diseo de ex-

perimentos.12. Suponga que quiere estudiar el desempeo de un automvil y lo

que desea es encontrar los factores que ms influyen en su rendi-miento, cules podran ser las variables de respuesta?, cules losfactores a estudiar?, cules los factores no controlables o de ruido?

13. Una compaa farmacutica realiz un experimento para compro-bar los tiempos promedio (en das) necesarios para que una perso-na se recupere de los efectos y complicaciones que siguen a unresfriado comn. En este experimento se compararon las personasque tomaron distintas dosis diarias de vitamina C. Para hacer elexperimento se contact a un nmero determinado de personas,que en cuanto les daba el resfriado empezaban a recibir algntipode dosis (las cuales se iban rotando). Si la edad de stas es unaposible fuente de variabilidad, explique con detalle cmo aplica-ra la idea de bloqueo para controlar tal fuente de variabilidad.

14. En el caso anterior qu podra pasar si no se controla la posiblefuente de variacin que es la edad?

15. Un grupo de investigadores trabaja para industrializar la merme-lada de tuna, para ello realizan mermeladas considerando los ,si-

22 Captulo Uno

guientes factores: a) variedad de tuna: tres tipos, b) con cscara osin cscara, e) completa o la pura pulpa. Por tanto, se tiene 12 posi-bles formas (tratamientos) de producir mermelada. La preguntacentral que se plantean es si influyen en el sabor los factores consi-derados, y quisieran encontrar cul es la mejor combinacin de mer-melada (tratamiento ganador). Para responder hicieron las 12 com-binaciones y cada una la pusieron en un recipiente numerado. Enseguida se trasladaban a lugares concurridos donde acomodabanlos recipientes ordenados del 1 al 12, y a personas del pblico lesentregaban una hoja de registro y la invitaban a que en el ordendado probaran en pequeas porciones las mermeladas y anotabanqu tan buena le pareca la mermelada (en una calificacin entre Oa 10).Al final se tuvo la respuesta de 420 personas, donde cada unadaba 12 calificaciones (una para cada mermelada). Hay algo quedesde su punto de vista invalide los resultados obtenidos? Utilicesentido comn y argumente su respuesta.

MAPA CONCEPTUAL

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26 Captulo Dos

Poblacin finita

Es aquella en la que sepueden medir todos losindividuos para tener unconocimiento exacto de suscaractersticas.

Parmetros

Caractersticas que mediantesu valor numrico describena un conjunto de elementos oindividuos.

Poblacin infinita

Es aquella en la que lapoblacin es grande y esimposible e incosteable medirtodos los individuos.

Muestra representativa

Es una parte de una pobla-cin, seleccionada adecuada-mente, que conserva losaspectos claves de lapoblacin.

Il1ferenci~ estadstica

Son las afirmaciones vlidasacerca de la poblacin oproceso con base en lainformacin contenida en lamuestra.

POBLACiN Y MUESTRA, PARMETROSY ESTADSTICOS

Una poblacin es una coleccin o totalidad de posibles individuos, espe-cmenes, objetos o medidas de inters sobre los que se hace un estudio conel fin de acrecentar el conocimiento que se tiene acerca de ellos. Las pobla-ciones pueden ser finitas o infinitas. Si es finita y pequea se pueden me-dir todos los individuos para tener un conocimiento"exacto" de las carac-tersticas (parmetros) de esa poblacin. Por ejemplo, un parmetro quepodra ser de inters es la proporcin p de productos defectuosos, o lamedia, J1, de alguna variable medida a los productos. Si la poblacin esinfinita o grande es imposible e incosteable medir a todos los individuos,en este caso se tendr que sacar una muestrarepresentativa de dicha pobla- .cin, y con base en las caractersticas medidas en la muestra (estadsticos)se podrn hacer afirmaciones acerca de los parmetros de la poblacin(figura 2.1).

En la industria las poblaciones de inters son los materiales, los pro-ductos terminados, partes o componentes, procesos, etc. En muchos casosestas poblaciones se pueden suponer infinitas o grandes. Por ejemplo, enempresas con produccin en masa es imposible, o al menos imprctico,medir cada pieza de material que llega o las propiedades de cada productoterminado. Incluso si la produccin no es masiva, conviene imaginar alproceso como una poblacin infinita o muy grande, debido a que el flujodel proceso no se detiene, es decir, no existe el ltimo artculo producidomientras la empresa siga operando. En estos casos losprocesos se estudianmediante muestras de artculos extradas en algn punto del proceso.

Un asunto importante ser lograr que las muestras sean representati-vas, en el sentido de que tengan los aspectos clave que se desean analizaren la poblacin. Una forma de lograr esa representatividad es disear demanera adecuada un muestreo aleatorio (azar), donde la seleccin no sehaga con algn sesgo en una direccin que favorezca la inclusin de cier-tos elementos en particular, sino que todos los elementos de la poblacintengan las mismas oportunidades de ser incluidos en la muestra. Existenvarios mtodos de muestreo aleatorio, por ejemplo el simple, estratificado,muestreo sistemtico, y por conglomerados; cada uno de ellos logra mues-tras representativas en funcin de los objetivos del estudio y de ciertascircunstancias y caractersticas particulares de la poblacin (vase GutirrezPulido, 1997).

Inferencia estadstica El objetivo de la inferencia estadstica" es hacerafirmaciones vlidas acerca de la poblacin o proceso con base en la dnfor-macin contenida en una muestra. En la industria, estas afirmaciones tie-nen por objetivo coadyuvar en la toma de decisiones para mejorar el de-sempeo de todos los procesos de la organizacin. La inferencia estadsti-ca que por lo general se divide en estimacin y prueba dehiptesis, se apoya

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno

Poblacin (toda laproduccin del mes) aleatorial77 Muestra

~Sf}ts (representativa de laproduccin del mes)0'= ? PARMETROS(SIEMPRE DESCONOCIDOS) X S

FIGURA 2.1 Relacin entre poblacin y muestra,parmetros y estadsticos.

en cantidades o datos estadsticos calculados a partir de las observacionesen la muestra. Un estadstico se define como cualquier funcin de los datosmuestrales que no contiene parmetros desconocidos. Un ejemplo de es-tadstico es la media muestral X, con la cual se tratan de hacer afirmacio-nes sobre la media, /1, que es un parmetro poblacional.

Un aspecto clave en la interpretacin y utilizacin de cualquier esta-dstico es que es una variable aleatoria, ya que su valor depende de loselementos que son seleccionados en la muestra, y por tanto vara de unamuestra a otra: La forma de tomar en cuenta este hecho es conocer la dis-tribucin de probabilidad de cada estadstico. Esto, como se ver ms ade-lante, permitir que al conocer la distribucin de probabilidad del esta-dstico se podrn hacer estimaciones acerca de cul es el valor del par-metro poblacional, y tambin se podr probar o verificar la validez dehiptesis o conjeturas que se tengan sobre la poblacin o proceso. Por ejem-plo, un proveedor puede afirmar queel porcentaje de su producto que nocumple con especificaciones es del 0.1%, e interesara investigar si estaafirmacin se puede tomar como verdadera.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADEN INFERENCIA

La distribucin de probabilidad o distribuciones de una variable aleatoriaX es una descripcin del conjunto de valores posibles de X (rango de X),con la probabilidad asociada a cada uno de estos valores. La distribucinse representa a travs de una tabla que relaciona los posibles valores conla probabilidad de que ocurra cada uno de esos valores, Q tambin se re-presenta por medio de una funcin en forma de frmula. Por ejemplo, sealavariable aleatoria dada por el estadstico media muestral,X, entonces alconocer su distribucin de probabilidad podremos saber cules son losvalores que puede tomar X y cules de estos valores son

Estadstico

Cualquier funcin de losdatos muestrales que nocontiene parmetrosdesconocidos.

28 Captulo Dos

NORMAL ESTNDAR

JI-CUADRADA

TDESTUDENT

F

FIGURA 2.2 Representacin grfica de las distribuciones de probabilidad dems uso en inferencia.

En otras palabras, la distribucin de probabilidad de la media muestral Xseala qu valores se espera que tome X, de acuerdo a los supuestos quese han asumido. De esta forma la distribucin de probabilidad hace que loaleatorio no sea capricho, y modela (describe, acota) los posibles valoresde un estadstico muestral, con lb que al observar una realizacin espec-fica de un estadstico se pueden corroboraro rechazar supuestos (pruebade hiptesis) o bien darse una idea de algunas caractersticas particularesde la poblacin, como estimar qu posibles valores toma algn parmetropoblacional.

Las distribuciones de probabilidad de mayor utilizacin en intervalosde confianza y pruebas de hiptesis son las distribuciones: normal, T deStudent, ji-cuadrada y F. En la figura 2.2 se representan las formas tpicasde estas cuatro distribuciones. La distribucin normal est completamen-te definida por sus parmetros que son la media, Ji,y la desviacin estn-dar, (J. Por ejemplo, en la figura 2.2 se muestra la distribucin normal conJi= OY(J = 1, que se simboliza con N(O, 1) Yse conoce como la distribucinnormal estndar.

En la figura 2.2 se observa que tanto la distribucin normal estndarcomo la T de Student son simtricas y centradas en cero, mientras que lasdistribuciones ji-cuadrada y F son sesgadas y toman slo valores positi-vos. Las cuatro distribuciones estn relacionadas entre s, ya que las dis-tribuciones T de Student, ji-cuadrada y F se definen en trminos de la

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dos tratamientos 29

distribucin normal estndar. Los parmetros que definen completamen-te las distribuciones T de Student, ji-cuadrada y F, reciben el nombre degrados de libertad, que tienen que ver con los tamaos muestrales involu-crados. Por ejemplo, si se tiene una muestra de tamao 20 ser de intersuna distribucin T de Student con 19 grados de libertad para hacer infe-rencia sobre la media poblacional; o una 'ji-cuadrada con 19 grados delibertad para hacer inferencias sobre la varianza poblacional.

La distribucin T de Student tiende a la distribucin normal estndarcuando el tamao de muestra crece, y prcticamente son la misma distri-bucin para n > 45. La diferencia bsica entre las dos distribuciones es quela T de Student es ms ancha (respecto al eje horizontal) en las colas (vasefigura 2.2). La distribucin normal estndar es una curva nica, por elloexisten tablas que proporcionan cualquier rea o probabilidad de intersbajo esta curva. No pasa lo mismo con las otras distribuciones a las quehemos hecho referencia, ya qu~ cada una es una curva diferente para cadatamao muestral. Por eso las tablas de estas distribuciones slo reportanlos valores que separan las reas de mayor uso en inferencia estadstica.Las tablas de estas distribuciones se reportan en el apndice al final dellibro, aunque su uso ha venido a menos con la aparicin de las compu-tadoras y los paquetes estadsticos..En la actualidad es mejor utilizar unpaquete estadstico para encontrar cualquier rea o percentil que se quierade cada distribucin.

Como se muestra ms adelante, las distribuciones normal y T deStudent sirven para hacer inferencias sobre las medias; la distribucin ji-cuadrada ser de utilidad para hacer inferencias sobre varianzas y la dis-tribucin F se utilizar para comparar varianzas. Es por esto que la distri-bucin F es la de mayor relevancia en diseo de experimentos, dado queel anlisis de la variabilidad que se observ. en un experimento se hacecomparando varianzas.

Uso de Excel Se puede utilizar lahoja de clculo deExcel{o algo equi-valente) para calcular las probabilidades con la distribucin normal. Paraello se utiliza la siguiente funcin:

DI5TR.NORM(x, media, desv_estndar, acum)donde en la celda x se da el valor de referencia para el clculo de probabi-lidades (P(X ~ x, en media se da el valor de la media, /1,de la distribucinnormal con la que se quiere obtener probabilidades, y en desv_estndar sedeclara el valor de la desviacin estndar, a, de la distribucin normal.Finalmente, acumes un valor lgico que determina la forma de la funcin,si el argumento acumes VERDADERO (se da unl),la funcin DISTR.NORMdevuelve la funcin de distribucin acumulada (P(X ~ x; si es FALSO (seda un O), devuelve la funcin de densidad de probabilidad, es decir/daf(x).

Para elresto de las distribuciones es algo similar con las funcionesque se describen en el siguiente apartado.

Grados de libertad

Son parmetros que definenlas distribuciones T, ji-cuadrada y F, Yse determi-nan a partir de los tamaosmuestrales involucrados.

30 Captulo Das

f Estimador puntual

Estadstico que estima unvalor especfico de unparmetro.

ESTIMACiN PUNTUAL Y POR INTERVALOLas distribuciones de probabilidad que tienen una variable que represen-ta cierta caracterstica de una poblacin se definen completamente cuan-do se conocen sus parmetros. Por lo que cuando stos no se conocen,ser necesario estimarlos con base en los datos muestrales, para as poderhacer inferencias sobre la poblacin. Por ejemplo, los parmetros de unadistribucin normal son la media, u, y la desviacin estndar, (J, que encaso de desconocerse ser necesario estimarlos a partir de los datos en lamuestra. Hay dos tipos de estimacin: puntual y por intervalo.

Estimacin puntual Un estimador puntualde un parmetro desconoci-do, es un estadstico que genera un valor numrico simple que se utilizapara hacer una estimacin del valor del parmetro desconocido. Por ejem-plo, tres parmetros relacionados conlas caractersticas de calidad de unproceso, sobre los que frecuentemente se desea hacer inferencia, son:

La media f.ldel proceso (poblacin). La varianza (J2 o desviacin estndar (J del proceso. Laproporcin p de artculos defectuosos.

Los estimadores puntuales (estadsticos) ms recomendados para es-timar estos parmetros son, respectivamente:

La media muestral P= X. La varianza muestral 2 = 52. La proporcin de defectuosos en la muestra, p= XIn, donde X es el

nmero de artculos defectuosos en una muestra de tamao ni

Colocar un gorro (smbolo ") sobre un parmetro es una manera gene-ral de denotarun estimadorpuntual del correspondiente parmetro, puestoque los estimadores no son nicos. Por ejemplo, la e~timaciil de la me-dia, P, podra hacerse con el uso de la media muestral X, la mediana X, o lamoda, dado que lastres sondiferentes medidas de la tendencia central deunos datos.

Estimacin por intervalo Como la estimacin puntual de un parme-tro se genera a travs de un estadstico, y como el valor de ste es aleato-rio, ya que depende de los elementos que hayan sido seleccionados en lamuestra, entonces la estimacin que se hace sobre el parmetro depende-r y variar de una muestra a otra. De esta forma, cuando se quiere tenermayor certidumbre sobre el verdadero valordel parmetro poblacional,ser necesario obtener la informacin sobre qu tan precisa es la estima-cin puntual. As, la estimacin puntual dir poco sobre el parmetro cuan-do la variacin entre una estimacin y otra es muy grande. Una forma desaber qu tan variable es el estimador es calculando la desviacin estn-

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno

dar o error estndar del estadstico visto como variable aleatoria, Por ejem-plo, consideremos la desviacin estndar S y la media X de una muestrade tamao n. Puesto que Xes una variable aleatoria, sta tiene su propiadesviacin o error estndar, que se puede estimar mediante o-x = S/-/.

Una forma operativa de saber qu tan precisa es la estimacin es cal-cular un intervalo deconfianza que indique un rango u donde puede estar elparmetro" con cierto nivel de seguridad o confianza. Construir un inter-valo al 100(1 - a)% de confianza para un parmetro desconocido e, con-siste en estimar dos nmeros (estadsticos) L YU tales que la probabilidadde que ese encuentre entre ellos sea 1 - a, es decir,

p(L5:e5:U)=l-a, (2.1 )donde L YU son precisamente el intervalo de confianza buscado [L, U]. Lacorrecta interpretacin de un intervalo de confianza es como sigue: si seobtuvieran 100 muestras independientes de la misma poblacin o proce-so, cada una de tamao n y para cada muestra se calcular el intervalo deconfianza al 95% para el mismo parmetro, entonces se espera que 95 delos 100 intervalos contengan el verdadero valor de dicho parmetro. En laprctica se obtiene solamente un intervalo y aunque sea al 95% de con-fianza, existe la posibilidad de que no contenga al verdadero parmetro.As que no se debe decir que el parmetro est contenido en [L, U] conprobabilidad 1- a, sino slo que el intervalo [L, U] tiene una confianza del100(1 - a)%; esto ltimo tiene una interpretacin frecuentista, en el sent-do de que lo nico que sabemos es que el parmetro estar en el intervaloel100(1- a)% de las veces que apliquemos el procedimiento.

La longitud del intervalo de confianza es una medida de la precisin ocalidad de la informacin obtenida de la muestra. De aqu que es deseableque la longitud de los intervalos sea pequea y con alto nivel de confian-za. El ancho de los intervalos es mayor amayor sea la varianza de la po-blacin y el nivel de confianza exigido; el nico modo de reducir el anchodel intervalo es hacer crecer el tamao de la muestra.

Intervalo de confianza para una media Por definicin de intervalode confianza, se trata de encontrar dos nmeros L y U tales que el parme-tro u se encuentre entre ellos con una probabilidad de 1 - a. Esto es,

P(L 5: f.1 5:U) =1-a.Sea Xl' X21 ..., XI!una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin

con distribucin normal con media f.1 y varianza 0"'2, ambas desconocidas.El procedimiento general para deducir el intervalo consiste en partir deun estadstico que involucra al parmetro de inters y que tiene una dis-tribucin conocida. Tal estadstico es

x - ut----- S/-!ii'

Intervalode confianza

Rango donde se estima estel valor de un parmetro.

32 Captulo Dos

el cual sigue una distribucin T de 5tudent con n -1 grados de libertad.Por lo tanto, se" pueden ubicar en la tabla de esta distribucin o en su gr-fica, dos valores crticos ta/ 2 Y-ta/ 2, tales que

X-f.lP(-ta / 2 S -C s ta / 2 ) =1- a.5/-vn

De aqu, despejando hasta dejar slo en medio de las desigualdadesal parmetro de inters, se llega a que

- S .:: SP(X - ta / 2 -In s f.ls X + ta / 2 -In) = 1-a. (2.2)

- s - sEn este sentido, L =X - ta / 2 r y U =X + ta / 2 r son los nmeros bus-~n ~ncados, que definen un intervalo al 100(1 - a)% para la media desconocidau. De la tabla de la distribucin T de Student se puede ver que para unamuestra mayor o igual a 30, el intervalo al 100(1- a)% para la media Jlesaproximadamente X2 Jn ' o sea la media ms menos 2 veces su errorestndar.

EJEMPLO 2. 1 En un proceso de inyeccin de plstico una caracterstica de calidad delproducto (disco) es su grosor, que debe ser de 1.20 mm con una toleranciade 0.10 mm. As, el grosor del disco debe estar dentro dela especificacininferior, El = 1.10, Yla superior, ES = 1.30, para considerar que el procesode inyeccin fue satisfactorio. Para evaluar esta caracterstica de calidad,durante una semana se hace un muestreo sistemtico en una lnea de pro-duccin, y se obtienen 25 muestras de tamao 5 cada una. Por tanto al finalse tiene una muestra de n =125, Yse obtiene la mediamuestral, X=1.179mm y la varianza, 52 =0.00071. Por lo que el error estndar de la media es

~ = 0.0266 =0.0024.-In 11.18

Cuando n e 45, la distribucin T de Student esprcticamente igual ala distribucin normal estndar, por tanto, de la tabla de la distribucinnormal se obtiene que t

a/ 2 = za/2 = 1.96 para a = 0.05. De aqu que el inter-

valo al 100(1 - a)% de confianza para la media f.ldel grosor de los discosest dado por

- S (0.0266JX ta / 2 r =1.179 1.96 --.--. =1.179 0.00466.-m 11.18

Se puede afirmar entonces que con una confianza del 95%, la media f.lde grosor de los discos se encuentra en el intervalo [1.174, 1.184].

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno

Intervalo para la varianza De manera similar a como se obtiene elintervalo para la media, se pueden deducir intervalos de confianza paracualquier parmetro. En particular, para construir un intervalo de con-fianza para la varianza o", la distribucin de referencia es una ji-cuadradacon n - 1 grados de libertad. Ya que bajo el supuesto de que la variable deinters tiene una distribucin normal con media y varianza desconocidas,el estadstico (n - 1)52 / a 2 sigue esta distribucin ji-cuadrada con n - 1grados de libertad. De esta manera, con un poco de lgebra, se llega a queel intervalo de confianza para la varianza est dado por

(n-1)5 2 < 2 < (n-1)522 _a - 2 '

Xa/2,n-l Xl-a/2,n-l(2.3)

donde X~/2,n-ly XLa/2,n-l son puntos crticos de la distribucin ji-cuadradacon n - 1 grados de libertad y se leen en la tabla de esta distribucin parael valor de a dado. Es decir, P(X > X~/2,n-l) = a/2.

En el proceso de fabricacin de discos de 3.5 para computadoras una de las EJEMPLO 2.2variables crticas es el rendimiento de formato. Se toma una muestra alea-toria de n =10 discos de la produccin del turno de la maana. Se formateany se reporta el rendimiento de cada disco. Los datos obtenidos son: 96. 11,91. 06,93.38,88.52,89.57,92.63,85.20,91. 41, 89.79,92.62. Con base enestos datos interesa estimar puntualmente y por intervalo la media y ladesviacin estndar para la poblacin de discos de dicho turno.

Los estimadores puntuales para la media y la desviacin estndar re-sultan ser

LI D XX= i=1 1 =91.03 Y 5 =10

L ID - 2. (Xi -X)1=1 = 2.99.9

Suponiendo distribucin normal, el intervalo a195% de confianzaparala media J.L est dado por

[- 5 - 5] [ 2.99 2.99] .X - ta /2 ~ , X + ta / 2~ = 91.03 - 2.26 {lO' 91.03+ 2.26 {lO =[88.89, 93.17],

donde el valor del punto crtico ta/2 =tO025=2.26 se lee en las tablas para ladistribucin T de Student con 9 grados de libertad que se localiza en elapndice. Con una confianza del 95% se espera que el rendimiento pro-medio de los discos producidos durante ese turno est entre 88.89 y 93~17.El correspondiente intervalo para la desviacin estndar a se obtiene sa-can.do la raz cuadrada al intervalo para la varianza a2 dado en la relacin(2.3). As, el intervalo para a est dado por

34 Captulo Dos

(~ -1)52 J=l (9)(2.99)2,Xl-a/2,n-l 19.02

(9)(2.99)2 ] = [2.055.46]2.70 "

donde los valores crticos X~/2,1l-1= X~.025,9= 19.02 y Xi-CX/2,1l-1= X~.975,9= 2.70se obtienen de la tabla de la distribucin ji-cuadrada que est en el apn-dice, o tambin se puede consultar un software. As con una confianza del95% se espera que la desviacin estndar del rendimiento de los discosproducidos durante ese turno est entre 2.05 y 5.46.

Cuando no se est satisfecho con la amplitud del intervalo, entoncesser necesario incrementar la precisin de la estimacin, y esto se haceaumentando el tamao de muestra.

Intervalo para la proporcin Bajo el supuesto de que el nmero de art-culos defectuosos en una muestra sigue una distribucin binomial, y su-poniendo que se inspecciona una cantidad grande de n artculos y se en-cuentra una proporcin pde defectuosos, se puede construir un intervalode confianza para la proporcin poblacional p, apoyndose en la aproxi-

TABLA 2.1 Resumen de frmulas para intervalos de confianza.

J1

p

- 5X -ta /2 -Jn

(n-1)522

Xa/2, n-l

(n -1)522Xl-a/2, n-l

p+z ~P(l- p)a/2 n

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y ao!stt'attlthfenfos

macinde la distribucin binomial por la normal. En estas condiciones sepuede afirmar que la proporcin muestral psigue una distribucin nor-mal con media p y varianza p(l;P) . Con el uso de la misma argumentacinque en el intervalo para la media, se deduce que el intervalo de confianzapara la proporcin es de la forma

p_z~p(1- p) Xi-a/2,n-l) = 1- a / 2. Estos valores se determinan fcil,mente con el uso de un software estadstico o de las tablas dadas en el apn-dice.

CONCEPTOS BSICOSDE PRUEBA DE HIPTESIS

Algunos ejemplos de hiptesis o conjeturas que interesa probar en la in-dustria son:

a) Este proceso produce menos de 3% de artculos defectuosos.b) Hemos logrado mejorar nuestro proceso en 5% respecto al mes

anterior.e) Nuestros tres proveedores del material x tienen el mismo nivel de

calidad.

36 Captulo Dos

Hiptesis estadstica

Es una afirmacin sobre losvalores de los parmetros deuna poblacin o proceso quepuede probarse a partir de lainformacin contenida enuna muestra.

d) La edad de los operadores no influye en su rendimiento.e) El porcentaje de este ingrediente afecta el resultado de la mezcla.j) An no hemos alcanzado nuestro rendimiento ptimo.g) El contenido de los envases tiene demasiada variabilidad.h) El tiempo de espera de esta operacin es de tres horas.i) ste es el defecto ms comn que se observa y se debe a la causa x.j) Consideramos que se puede reducir el nmero de muestras a la

mitad.k) Los instrumentos de medicin no arrojan el mismo resultado.1) Si aumentamos la cantidad de reactivo se elimina el problema.

Este tipo de afirmaciones son frecuentes, pero no es comn que lapersona que la expresa tenga los elementos para probarla. No basta fun-damentar la afirmacin en lo que "se ha percibido" en el proceso, sino quees necesario mostrar datos adecuados que corroboren lo que se afirma.Cmo distinguir que lo observado no se debe al azar y que por tantopuede ser relevante en la mejora del proceso? Precisamente el diseo deexperimentos es la tcnica que permite obtener datos de manera planeadapara probar algunas de las afirmaciones de inters y permite cuantificarlos riesgos en los que se incurre y el impacto del cambio que de la afirma-cin se deriva.

Las afirmaciones o hiptesis deben estar bien especificadas, en el sen-tido de que el significado de la afirmacin quede. completamente. clara alas personas interesadas. Por ejemplo, en la afirmacin g) se supone quetodos entienden que significa tener"demasiada variabilidad", y en la con-jetura 1) todos los involucrados saben a culreactivo ya

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con

A la expresin H : p = O.OS se le conoce como hiptesisnula y HA: p 10 para una buenaaproximacin; en este caso con n ~ 120 unidades inspeccionadas sera su-ficiente.

El estadstico de prueba es un nmero que tiene las dos propiedadessiguientes: a) contiene la informacin muestral respecto al parmetro deinters y b)bajo el supuesto de que la hiptesis nula (Ha) es verdadera,sigue una distribucin de probabilidad conocida. Estos dos aspectos ha-cen a este nmero til para comprobar la validez estadstica de Ha, sloverificando si en realidad sigue la distribucin que se supone debe deseguir; si hubiera contradiccin se atribuye este hecho a la falsedad de Hay se acepta como vlida la hiptesis alternativa HA'

Es el conjunto de posiblesvalores del estadstico deprueba que llevan a rechazarla hiptesis nula.

Regin de aceptacin

Son los posibles valoresdonde no se rechaza lahiptesis nula.

p-O.OSzo =--J;=O.=OS==(=l-=O.=OS=)==n ' (2.6)

Criterio de rechazo

El estadstico de prueba, construido bajo el supuesto de que Ha esverda-dera, es una variable aleatoria con distribucin conocida. Si efectivamenteHa es verdad, el valor del estadstico de prueba debera caer dentro delrango de valores ms probables de su distribucin asociada, rango que seconoce como regin deaceptacin. Si cae en una de las colas de su distribu-cin asociada, fuera del rango de valores ms probables (en la regin derechazo), es evidencia en contra de que este valor pertenece a dicha distri-bucin (vase figura 2.3). De aqu se deduce que debe estar mal elsupues-to bajo el cual se construy, es decir, Ha debe ser falsa.

Elementos de inferencia estadstica: experimentos con uno y dOl;.tr;t~i11lirel

Pruebas de una y dos colas (unilaterales y bilaterales) La ubica-cin de la regin o intervalo de rechazo depende de si la hiptesis es bila__ieralo unilateral. Como se vio en el caso de las proporciones, una hiptesises bilateral cuando la hiptesis alternativa (HA) es del tipo "no es igual"(:;t), y son unilaterales cuando la alternativa es del tipo "mayor que" ( o"menor que" (). Cuando es bilateral, la regin de rechazo est repartidaequitativamente entre ambas colas de la distribucin del estadstico deprueba. Si la hiptesis es unilateral, la evidencia en contra de la hiptesisnula se ubica en un solo lado de la distribucin, esto es, la regin de recha-zo se concentra en slo una de las colas. Por ejemplo, para las hiptesisplanteadas en (2.4) la regin de rechazo se concentra en el lado izquierdode la distribucin del estadstico dado por (2.6), que corresponde a unadistribucin normal estndar (vase figura 2.3). La desigualdad "menorque" ) en la hiptesis alternativa indica que la regin o intervalo derechazo se ubica al lado izquierdo de la distribucin.

Para las hiptesis dadas por (2.5), la regin de rechazo se reparte enlas dos colas de la distribucin, y esto se sabe por elsmbolo no igual (:;t)en la hiptesis alternativa. Los nm