analitička geometrija zadaci · 2015. 6. 9. · saes. 5. 6 poglavlje 1. poglavlje 1.11 neka su...
TRANSCRIPT
![Page 1: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/1.jpg)
Analitička geometrijaZadaci
13. siječnja 2014.
![Page 2: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/2.jpg)
2
![Page 3: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/3.jpg)
Sadržaj
1 Poglavlje 51.1 Ponavljanje. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Koordinatizacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Skalarni produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Vektorski produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Mješoviti produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Poglavlje 11
3 Poglavlje 153.1 Kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.3 Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Opći oblik krivulje drugoga reda 19
5 Plohe 21
3
![Page 4: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/4.jpg)
4 SADRŽAJ
![Page 5: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/5.jpg)
Poglavlje 1
Vektori
1.1 Ponavljanje. Uvod
1.1 Nacrtajte a⃗ + 2b⃗ za dane a⃗ i b⃗.
1.2 Uvjerite se da vrijedi:
(a) a⃗ +1
2(b⃗ − a⃗) =
1
2(a⃗ + b⃗),
(b) a⃗ −1
2(a⃗ + b⃗) =
1
2(a⃗ − b⃗),
1.3 Neka je ABCDEF pravilni šesterokut teÐ→AB = a⃗,
Ð→AD = b⃗. Izrazite
Ð→BF ,
Ð→BC i
ÐÐ→DC pomoću Ð→a i
Ð→b .
1.4 Neka je ABCD paralelogram i neka suÐ→AC =Ð→a ,
ÐÐ→BD =
Ð→b . Izrazite vektore
Ð→AB,
Ð→BC,
ÐÐ→CD i
Ð→DA pomoću vektora a⃗ i b⃗.
1.5 Neka je ABC trokut, a A1, B1 i C1 polovišta njegovih stranica. Neka jeÐ→AB = a⃗,
Ð→AC = b⃗. Izrazite vektore
ÐÐ→AA1,
ÐÐ→BB1 i
ÐÐ→CC1 pomoću vektora a⃗ i b⃗.
1.6 Neka je T težište trokuta ABC. Provjerite da jeÐ→AT +
Ð→BT +
Ð→CT = Θ.
1.7 ABCA′B′C ′ je trostrana prizma, a točke P , Q, R su redom središta stra-nica BCC ′B′, ACC ′A′ i ABB′A′. Pomoću
Ð→AB,
Ð→AC i
ÐÐ→AA′ prikažite vek-
toreÐÐ→B′C,
Ð→AQ i
Ð→RP .
1.8 Neka je ABCDA′B′C ′D′ kvadar. Pokažite da vektori određeni njegovimdijagonalama
ÐÐ→AC ′,
ÐÐ→B′D,
ÐÐ→CA′ i
ÐÐ→D′B tvore (prostorni) četverokut.
1.9 Neka točke P , Q i R dijele redom stranice AB, BC i AC trokuta ABC uistom omjeru. Dokažite da se težišta trokuta ABC i PQR podudaraju.
1.10 Neka su K, L, M , N redom polovišta stranica AB, BC, CD i DE pete-rokuta ABCDE i neka su P i Q polovišta dužina KM i LN . Dokažite da
su pravci AE i PQ paralelni i da je ∣PQ∣ =1
4∣AE∣.
5
![Page 6: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/6.jpg)
6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE
1.11 Neka su i⃗ i j⃗ dva nekolinearna vektora i a⃗ = 2⃗i − 3j⃗, b⃗ = i⃗ + 2j⃗, c⃗ = i⃗ − j⃗.Pokažite da su oni komplanarni.
1.12 Odredite t ∈ R tako da vektori a⃗ = t⃗i + j⃗ + 4k⃗, b⃗ = i⃗ − 2tj⃗, c⃗ = 3t⃗i − 3j⃗ + 4k⃗budu komplanarni za bilo koje nekomplanarne vektore i⃗, j⃗, k⃗.
1.13 Dan je paralelepiped određen nekomplanarnim vektorimaÐ→OA,
Ð→OB i
Ð→OC
(kao na skici danoj na vježbama). Dokažite da polovišta P , Q, R, U , V ,W bridova leže u istoj ravnini (v. skicu s vježbi).
1.14 Dan je paralelogram ABCD i točka T na stranici AB takva da jeÐ→AT =
1
n
Ð→AB. Neka je P presjek dijagonale AC i dužine TD. U kojem omjeru
točka P dijeli dijagonalu AC?
1.15 Sportski zrakoplov leti svojom vlastitom brzinom 150 km/h od sjeveraprema jugu. Tada počne puhati vjetar sjeverozapadnog smjera brzinom30 km/h. Nacrtajte vektor brzine zrakoplova i izračunajte njegov modul.
1.16 Četiri naboja raspoređena su u vrhovima kvadrata stranice duljine 2.5 cm.:+3 ⋅10−6 C, −3 ⋅10−6 C, +3 ⋅10−6 C i −3 ⋅10−6 C. Odredite vektor sile i njeziniznos (modul) u svakom od vrhova. (Napomena: sila je Coulombova, aiznos joj se računa po formulu F1,2 = k
q1q2r2
; + strelice prema van, − streliceprema unutra).
1.17 Tri jednaka naboja po 10 µC postavljena su u vrhove jednakostraničnogatrokuta. Gdje i koliki naboj treba postaviti da bi sve sile koje djeluju bileu ravnoteži?
1.18 Dani su vektori a⃗ = 3m⃗ − n⃗, b⃗ = m⃗ − 2n⃗, c⃗ = −m⃗ + 7n⃗, p⃗ = a⃗ + b⃗ + c⃗. Ako sum⃗ i n⃗ linearno nezavisni, odredite linearnu nezavisnost vektora a⃗, b⃗ i p⃗.
1.19 Neka je ABCDA′B′C ′D′ paralelepiped. Dokažite da pravac AC ′ siječetrokut BDA′ u njegovom težištu.
1.20 U trapezu ABCD polovišta osnovica i sjecište krakova leže na istompravcu. Dokažite!
1.21 Neka je ABCD paralelogram M i N polovišta od AB i CD, P sjecište odBN i CM te T sjecište od AP i BC. Odredite u kojem omjeru točka Tdijeli BC.
1.22 Neka je ABC trokut i vektorÐ→AP određen linearnom kombinacijom
Ð→AP = x
Ð→AB + y
Ð→AC.
Uz koji uvjet na skalare x i y točka P leži na pravcu BC?
1.2 Koordinatizacija
1.23 Neka je ABCD trapez s osnovicama AB i CD takvima da je ∣CD∣ =2
5∣AB∣.
Zapišite vektorÐ→CB u bazi {
Ð→AB,
Ð→AD}.
![Page 7: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/7.jpg)
1.2. KOORDINATIZACIJA 7
1.24 Neka je T težište trokuta ABC. Odredite koordinate vektoraÐ→AB,
Ð→BC,
Ð→AC i
Ð→AT u bazi {
Ð→TB,
Ð→TC}.
1.25 Dan je tetraedar OABC. U bazi {Ð→OA,
Ð→OB,
Ð→OC} odredite koordinate vek-
toraÐÐ→DE i
Ð→OT pri čemu su D i E redom polovišta bridova OA i BC, a T
težište trokuta ABC.
1.26 Za koje vrijednosti parametra m vektori a⃗ = (1,1,1), b⃗ = (1,4,m) i c⃗ =(2,m + 2,6) čine bazu prostora V 3?
1.27 (a) Jesu li a⃗ = (2,3,1) i b⃗ = (−1,−3
2,−
1
2) kolinearni?
(b) Jesu li a⃗ i b⃗ komplanarni? Obrazložite svoj odgovor.
(c) Jesu li f⃗ = (1,1,0), g⃗ = (1,−1,0) i h⃗ = (0,2,0) komplanarni?
1.28 Dani su vektori p⃗ = (t,1,4), q⃗ = (1,−2t,0) i r⃗ = (3t,−3,4). Odredite t ∈ Rtako da r⃗ bude linearna kombinacija vektora p⃗ i q⃗.
1.29 Prikažite vektor (3,1
2,3
2) kao linearnu kombinaciju vektora (1,1,1) i (−2,3,1).
1.30 Odredite a ∈R tako da vektor (−1,−1,7) bude moguće prikazati kao line-arnu kombinaciju vektora (1,−1,1) i (a,1,2).
1.31 Jesu li vektori
(a) (2,−3), (−4,6)
(b) (2,3), (−4,6)
(c) (2,0), (0,1)
(d) (2,−3,1), (4,6,−2)
(e) (2,−3,0), (4,0,2)
(f) (−2,−3,1), (4,6,−2)
(g) (1,1,1), (1,0,0) i (1,1,0)
kolinearni? A linearno nezavisni?
1.32 Prethodni zadatak riješite pomoću determinanti.
1.33 U ovisnosti o parametrima m,n ∈R ispitajte linearnu nezavisnost vektora
(a) (1,m,1), (m,1,−1), (1,−1,1)
(b) (m,m,2), (1,1,1), (2,2,1)
(c) (1,m,1), (n,1,1), (1,1,1)
![Page 8: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/8.jpg)
8 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE
1.3 Skalarni produkt
1.34 Izračunajte (⃗i − j⃗ + k⃗) ⋅ (2⃗i − 3j⃗ − k⃗) ako je {⃗i, j⃗, k⃗} ortonormirana baza.
1.35 Odredite skalarni produkt vektora a⃗ = 2m⃗ − n⃗ i b⃗ = m⃗ − 2n⃗ gdje je ∣m⃗∣ = 2,∣n⃗∣ = 4 i ∡(m⃗, n⃗) =
π
3.
1.36 Koliki je modul vektora a⃗ = p⃗ − 2q⃗ ako je ∣p⃗∣ = 2, ∣q⃗∣ =√
3 i ∡(p⃗, q⃗) =π
6.
1.37 Dani su vrhovi A(−3,−2,0), B(3,−3,1), C(5,0,2) i D(d1, d2, d3). Odre-dite kut među dijagonalama paralelograma.
1.38 Pomoću vektora dokažite jednakost
(a) cos(α − β) = cosα cosβ + sinα sinβ
(b) cos(α + β) = cosα cosβ − sinα sinβ
1.39 Dani su vektori u⃗ = (6,1,1), v⃗ = (0,3,−1) i w⃗ = (−2,3,5). Odredite λ ∈ Rtako da vektori u⃗ + λv⃗ i w⃗ budu okomiti.
1.40 Ako za točke A, B, C i D vrijedi
Ð→AB2
+ÐÐ→CD2
=Ð→AC2
+ÐÐ→BD2,
onda suÐ→BC i
Ð→AD ortogonalni za B ≠ C i A ≠ B. Dokažite!
1.41 U pravokutnom trokutu duljine stranica a, b i c odnose se kao 1 ∶√
2 ∶√
3.Dokažite da su dvije težišnice toga trokuta okomite.
1.42 Koji kut zatvaraju vektori a⃗ i b⃗ ako je a⃗ + b⃗�2a⃗ + b⃗ i a⃗ − 2b⃗�a⃗ + 3b⃗?
1.43 Dani su vrhovi trokuta A(1,1,1), B(2,4,3) i C(1,0,4). Koliko je dugačkavisina na AB?
1.44 Neka su a⃗, b⃗ i c⃗ ortogonalni nenul-vektori u V 3. POkažite da su onilinearno nezavisni.
1.45 Dokažite da se visine trokuta sijeku u jednoj točki.
1.46 Dan je trokut OAB takav da jeÐ→OA = (1,2,1) i
Ð→OB = (−6,3,−3). Odredite
duljinu OC simetrale kuta pri vrhu O pri čemu je C točka na AB.
1.47 Neka je a⃗ = (−2,1,1), b⃗ = (1,5,0) i c⃗ = (4,4,−2). Odredite ortogonalnuprojekciju vektora 3a⃗ − 2b⃗ na vektor c⃗.
1.48 Neka je a⃗ = (1,−3,4), b⃗ = (3,−4,2) i c⃗ = (−1,1,4). Odredite ortogonalnuprojekciju vektora b⃗ + c⃗ na vektor a⃗.
1.49 Dan je trokut ABC i proizvoljan pravac p koji prolazi težištem trokuta.Ako su A′, B′ i C ′ ortogonalne projekcije vrhova trokuta na pravac p,dokažite da je
ÐÐ→AA′ +
ÐÐ→BB′ +
ÐÐ→CC ′ =
Ð→0 .
1.50 Za vektor a⃗ = (x, y, z) projekcije na koordinatne osi su vektori xi⃗, yj⃗ i zk⃗.Kolike kuteve vektor a⃗ zatvara s koordinatnim osima tj. vektorima i⃗, j⃗ ik⃗?
![Page 9: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/9.jpg)
1.4. VEKTORSKI PRODUKT 9
1.51 Odredite sve vektore koji s koordinatnim osima x i y zatvara redom kuteve
mjereπ
3i
2π
3, a modul mu je 2. Koliki kut taj vektor zatvara s k⃗?
1.52 Ravnina je razapeta vektorima a⃗ = (1,2,1) i b⃗ = (1,1,0). Odredite projek-ciju vektora x⃗ = (8,4,3) na tu ravninu.
1.53 Dani su vrhovi A(1,2,3), B(3,2,1) i C(1,4,1) trokuta ABC. Pokažite daje taj trokut jednakostraničan tako da pokažete da:
(a) ima sve tri stranice jednake duljine,
(b) ima dvije stranice jednake duljine i kut među njima je mjere 60○,
(c) ima dva kuta mjere 60○.
1.54 Dan je trokut OAB takav da jeÐ→OA = (1,2,1) i
Ð→OB = (−6,3,−3). Odredite
duljinu težišnice iz vrha O.
1.4 Vektorski produkt
1.55 Za a⃗ = (1,1,0) i b⃗ = (−1,2,0), izračunajte a⃗ × b⃗, b⃗ × a⃗ i 2a⃗ × 3b⃗.
1.56 Neka je (⃗i, j⃗, k⃗) standardna ortonormirana baza. Pojednostavnite sljedećeizraze
(a) i⃗ × (j⃗ + k⃗) − j⃗ × (⃗i + k⃗) + k⃗ × (⃗i + j⃗ + k⃗),
(b) 2⃗i ⋅ (j⃗ × k⃗) + 3j⃗ ⋅ (⃗i × k⃗) + 4k⃗ ⋅ (⃗i × j⃗).
1.57 Za vektore a⃗ i b⃗ vrijedi ∣a⃗∣ = 1, ∣⃗b∣ = 2 i ∡(a⃗, b⃗) =2π
3. Odredite ∣a⃗ × b⃗∣ i
∣(2a⃗ + b⃗) × (a⃗ + 2b⃗)∣.
1.58 Ako su a⃗ i b⃗ linearno nezavisni, koristeći vektorski produkt odredite za kojuće vrijednost parametra k vektori p⃗ = ka⃗ + 5b⃗ i q⃗ = 3a⃗ − b⃗ biti kolinearni?
1.59 Izračunajte površinu paralelograma kojemu su točke A(1,1,0), B(4,1,0),C(5,2,0) i D(2,2,0) vrhovi.
1.60 Izračunajte površinu trokuta razapetog težišnicama danog trokuta (odre-dite omjer površina novog i danog trokuta).
1.61 Odredite ortogonalnu projekciju vektora a⃗ = (3,−12,4) na vektor b⃗ =
(1,0,2) × (1,3,−4).
1.62 Neka je S točka unutar trokuta ABC i neka su P1, P2 i P3 površine trokutaSBC, SCA i SAB redom. Dokažite da je tada
P1Ð→SA + P2
Ð→SB + P3
Ð→SC =
Ð→0 .
![Page 10: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/10.jpg)
10 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE
1.5 Mješoviti produkt1.63 Dokažite da plošne dijagonale koje izlaze iz jednog vrha paralelepipeda
volumena V razapinju novi paralelepiped volumena 2V .
1.64 Odredite volumen pravilnog tetraedra duljine brida a.
1.65 Dokažite da je
(a) (a⃗ × b⃗) × (c⃗ × d⃗) = [(d⃗ × a⃗) ⋅ b⃗] ⋅ c⃗ − [(a⃗ × b⃗) ⋅ c⃗] ⋅ d⃗,
(b) (a⃗ × b) × (b⃗ × c⃗) = [(a⃗ × b⃗) ⋅ c⃗] ⋅ b⃗.
![Page 11: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/11.jpg)
Poglavlje 2
Analitička geometrija ravninei prostora
2.1 Odredite udaljenost točaka
(a) A(1,0) i B(3,7)
(b) A(1,−1,2) i B(0,1,3).
2.2 Odredite točku koja dijeli dužinu AB u omjeru1
3ako je A(1,7,−3) i
B(−2,−2,−2).
2.3 Odredite u kojem omjeru točka T dijeli dužinu AB ako je A(3,−5) iB(−9,1) te
(a) T (−1,−3),
(b) T (9,−8),
(c) T (−7,−1).
2.4 Napišite jednadžbu pravca kroz točke
(a) A(1,2,1) i B(4,5,2),
(b) A(1,1,1) i B(1,0,−1).
2.5 Napišite jednadžbu ravnine kroz točke A(1,0,0), B(1,1,1) i C(0,0,−1).
2.6 Ravnina je zadana parametarski
x = 1 + t + sy = t − sz = 2 − t + 2s
.
Napišite joj implicitnu jednadžbu.
2.7 Odredite sjecište pravcax − 1
2=y − 0
1=z + 2
2i ravnine x − y + 4z − 5 = 0.
2.8 Odredite sjecište pravacax + 1
1=y
1=z − 1
2ix
1=y + 1
3=z − 2
4.
11
![Page 12: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/12.jpg)
12 POGLAVLJE 2. POGLAVLJE
2.9 Odredite D ∈R tako da pravac
{x − y + z + 1 = 02x − 3y − z +D = 0
siječe os z.
2.10 Odredite λ ∈R tako da se ravnine π1 . . . x−y+z = 0, π2 . . .3x−y−z+2 = 0i π3 . . .4x − y − 2z + λ = 0 sijeku po istom pravcu.
2.11 Na pravcux + 2
−1=y + 3
−1=z − 3
1odredite sve točke koje s točkamaA(−2,1,1)
i B(0,−7,4) čine pravokutan trokut.
2.12 Odredite jednadžbu pravca koji prolazi ishodištem i siječe pravce
x − 72
5=y
3=z − 5
2
1i
x + 3
1=y − 12
1=z + 9
1.
2.13 Napiši kanonski oblik jednadžbe pravca koji je paralelan s ravninom x +2y + 3z = 8, leži u ravnini 2x − y + z = 3 i prolazi točkom (1,2,3).
2.14 Odredite pravac p koji je paralelan s ravninama π1 . . .3x+12y−3z +5 = 0,π2 . . .3x − 4y + 9z + 7 = 0 i siječe pravce
q1 . . .x + 5
2=y − 3
−4=z + 1
3, q2 . . .
x − 3
−2=y + 1
3=z − 2
4.
2.15 Odredite točke jednako udaljene od ravnina π1 . . .16x − 12y + 15z − 9 = 0 iπ2 . . .12x + 9y − 20z − 19 = 0.
2.16 Odredite jednadžbu ravnine paralelne s vektorom s⃗ = (2,1,−1) koja os xsiječe u točki x = 3, a os y u točki y = −2.
2.17 Odredite najkraću udaljenost točke T (2,3,1) od pravca
x + 2
1=y + 1
2=z − 4
−2.
2.18 Odredite udaljenost dva paralelna pravca
p1 . . .x − 1
2=y + 1
2=z − 3
−1i p2 . . .
x
−2=y − 1
−2=z + 4
1.
2.19 Odredite udaljenost između pravaca
p1 . . .x + 5
2=y − 3
−4=z + 1
3, p2
x − 3
−2=y + 1
3=z − 2
4.
2.20 Odredite zajedničku normalu dvaju pravaca
x
1=y
1=z
0,
x − 1
0=y − 2
1=z − 3
0.
2.21 Dan je pravac p . . .3x − 2y + 5 = 0 i dvije točke A(1,4) i B(5,2). Odrediteudaljenost točke B od pravca p, kut koji zatvaraju pravci AB i p te sjecištetih dvaju pravaca.
![Page 13: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/13.jpg)
13
2.22 Odredite ortogonalnu projekciju točke T (2,3,1) na ravninu π . . . x+y−z−7 = 0. Odredite i točku simetričnu točku T obzirom na ravninu π.
2.23 Nađite ortogonalnu projekciju točke T (2,3,1) na pravac
p . . .
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
x = t − 2y = 2t − 1z = −2t + 4
.
2.24 Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži os x i koja s ravninom y = x za-tvara kut od 60○.
2.25 Odredite jednadžbe simetrala kutova koje zatvaraju pravci
p . . .x + 5
−3=y − 14
6=z + 3
2,
x − 3
2=y + 1
−3=z + 1
6.
2.26 Dana je ravnina π . . . x + y − z + 1 = 0 i pravac p . . .x − 1
0=y
2=z + 1
1.
(a) Odredite njihovo sjecište i kut ∡(π, p).
(b) Odredite jednadžbu ravnine koja sadrži pravac p, a okomita je naravninu π.
(c) Odredite jednadžbu projekcije pravca p na ravninu π.
2.27 Odredite ortogonalnu projekciju pravca
p . . .{x − y + z = 1x + y + z = 3
na ravninu π . . .2x + 2y + z = 5.
![Page 14: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/14.jpg)
14 POGLAVLJE 2. POGLAVLJE
![Page 15: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/15.jpg)
Poglavlje 3
Krivulje drugog reda
3.1 Kružnica
3.1 Izvedite uvjet dodira pravca y = kx + l i kružnice K(O, r).
3.2 Odredite jednadžbe tangenata povučenih na kružnicu (x − 5)2 + y2 = 9 izishodišta.
3.3 Kut između dviju kružnica je kut kojeg zatvaraju tangente kroz sjecištetih kružnica. Pod kojim se kutem sijeku kružnice x2 + y2 − 4x − 60 = 0 ix2 + y2 − 20x + 36 = 0?
3.4 Napišite jednadžbu kružnice koja sadrži ishodište i točke A(2,1), B(−1,2).
3.5 Odredite jednadžbu kružnice sa središtem u S(1,−3) koja prolazi krozM(3,5).
3.6 Odredite nužne i dovoljne uvjete da kružnica x2 + y2 + ax + by + c = 0
(a) dodiruje os x
(b) dodiruje os y
(c) dodiruje obje koordinatne osi
3.7 Odredite jednadžbe svih kružnica kojima je središte na osi x, a dodirujuos y.
3.8 Odredite jednadžbu kružnice koja dodiruje pravce y = −2x + 1, y = 2x + 2i sadrži ishodište.
3.9 Odredite geometrijsko mjesto središta svih kružnica polumjera R koje si-jeku kružnicu k s jednadžbom (x − p)2 + (y − q)2 = r2 pod pravim kutem.
3.10 Zadana je kružnica x2 + y2 = 4. Iz točke A(−2,0) povučena je tetiva ABi produžena do točke M tako da je
ÐÐ→BM =
Ð→AB. Odredite geometrijsko
mjesto točaka M koje se dobiju kada se B giba po danoj kružnici.
3.11 Dokažite da polare točaka pravca x−y = 0 s obzirom na kružnicu x2 +y2 −6x + 4y + 4 = 0 prolaze istom točkom. Koja je to točka?
15
![Page 16: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/16.jpg)
16 POGLAVLJE 3. POGLAVLJE
3.12 Odredite geometrijsko mjesto točaka iz kojih se mogu povući tangentejednakih duljina (tj. jednakih udaljenosti od te točke do dirališta) nakružnice x2 + y2 = 20 i (x + 5)2 + y2 = 5.
3.2 Elipsa
3.13 Napišite centralnu jednadžbu elipse koja prolazi točkamaA(6,−1) iB(−2,3).
3.14 Skicirajte skup točaka u ravnini koje zadovoljavaju uvjete
9x2 + 25y2 − 225 < 0
3x + 5y − 15 < 0
y + 2 > 0
3.15 U kojem su odnosu pravac 2x − y − 3 = 0 i elipsax2
16+y2
9= 1?
3.16 Za koji k ∈R pravac y = −x + k dodiruje elipsu x2 + 4y2 = 20?
3.17 Odredite točku na elipsi x2 + 4y2 = 20 najbližu pravcu x + y = 7.
3.18 Odredite međusobnu udaljenost dvaju pravaca paralelnih s pravcem 4x −
2y + 13 = 0 koji dodiruju elipsux2
30+y2
24= 1.
3.19 Odredite sve točke elipse 9x2 + 25y2 = 225 koje su 4 puta više udaljene odlijevog nego od desnog fokusa.
3.20 Gdje se nalaze točke ravnine iz kojih se elipsa b2x2 + a2y2 = a2b2 vidi podpravim kutem?
3.21 Odredite sve zajedničke tangente elipse x2+4y2 = 4 i kružnice (x−1)2+y2 =1.
3.22 Odredite jednadžbu kružnice koja u točki (2,3) dodiruje elipsu 2x2 + y2 =17 i dodiruje pravac y = 11.
3.23 Neka su F1 i F2 fokusi, A i B glavna tjemena elipse takva da je F1 bližiA te P točka na elipsi (≠ A,B). Nadalje, neka kružnica upisana trokutuF1F2P dodiruje AB u točki Q. Dokažite da je ∣AQ∣ = ∣F1P ∣, ∣BQ∣ = ∣F2P ∣.
3.24 Dana je elipsa b2x2 +a2y2 = a2b2. Odredite produkt udaljenosti fokusa odtangente i pokažite da je isti za sve tangente.
3.25 Neka je D točka na elipsix2
25+y2
9= 1. Tangenta elipse s diralištem u točki
D siječe os y u točki T , a normala kroz točku D siječe os y u točki N .Pokažite da kružnica kroz točke T , D i N prolazi i fokusima elipse.
![Page 17: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/17.jpg)
3.3. HIPERBOLA 17
3.3 Hiperbola
3.26 Odredite fokuse, asimptote, numerički i linearni ekscentricitet hiperbolex2 − 4y2 = 9.
3.27 Odredite kanonski oblike jednadžbe hiperbole koja prolazi kroz (6,3) akonjene asimptote zatvaraju kut od 60○.
3.28 Za koje vrijednosti parametram pravac 5x−2y+2m = 0 siječe/dodiruje/nema
zajedničke točke s hiperbolomx2
9−y2
36= 1.
3.29 Napišite jednadžbu hiperbole kojoj je pravac x − y − 8 = 0 tangenta, apravac 3x − 5y = 0 asimptota.
3.30 Površina trokuta kojeg zatvaraju asimptote hiperbole i bilo koja njenatangenta je konstantna th. ne ovisi o odabranoj tangeni. Dokažite!
3.31 Odredite geometrijsko mjesto polovišta svih dužina AB ako su A i Btočke u kojima proizvoljan pravac kroz ishodište siječe pravce x+ y − 1 = 0i x − y + 1 = 0. Koja je to krivulja?
3.4 Parabola
3.32 Odredite duljinu tetive koju na paraboli y2 = 4x odsijeca pravac paralelans 2x − y + 7 = 0 koji prolazi točkom (5,−2).
3.33 Odredite tangentu parabole y2 = 8x koja siječe os x pod kutem od 45○.Koja je točka diralište?
3.34 Odredite točku na paraboli y2 =9
2x u kojoj je normala paralelna s pravcem
8x − 3y + 10 = 0.
3.35 Na paraboli y2 = 3x odredite točku najbližu pravcu 3x − 4y + 9 = 0.
3.36 Odredite jednadžbu kružnice koja u točkama A = (8,8) i B = (8,−8) siječeparabolu y2 = 8x pod pravim kutem.
3.37 Odredite kut pod kojim se iz točke (−6,2) vidi parabola y2 = 2x.
3.38 Neka je O tjeme parabole, a OA i OB dvije njene međusobno okomitetetive. Pokažite da sve tetive AB sijeku os x u istoj točki.
![Page 18: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/18.jpg)
18 POGLAVLJE 3. POGLAVLJE
![Page 19: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/19.jpg)
Poglavlje 4
Opći oblik krivulje drugogareda
4.1 Za koje vrijednosti od B je x2+2Bxy+y2 = 1 elipsa/hiperbola/unija dvajupravaca/kružnica?
4.2 Napišite jednadžbu hiperbole kojoj su fokusi u (1,1), (1,11), a tjemena(1,3) i (1,9).
4.3 Napišite jednadžbu elipse s fokusima (−2,7) i (−2,−1) i sporednim tjeme-nom na pravcu 3x − y = 0.
4.4 Elipsu x2 + 2y2 = 2 zarotirajte oko središta tako da joj glavna os bude na
pravcu y =4
3x. Odredite jednadžbu te elipse.
4.5 Elipsu 41x2−24xy+34y2 = 50 translatirajte tako da joj središte bude točka(−1,2).
19
![Page 20: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/20.jpg)
20 POGLAVLJE 4. OPĆI OBLIK KRIVULJE DRUGOGA REDA
![Page 21: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/21.jpg)
Poglavlje 5
Plohe
5.1 Što predstavljaju jednadžbe:
(a) x − 2y + z − 1 = 0,
(b) x = −3,
(c) x2 + y2 + z2 = 4,
(d) x2 + y2 + z2 − 2x + 4y = 0,
(e) 2x2 + y2 + 3z2 = 7,
(f) 2x2 + y2 + 3z2 = 0,
(g) x2 + 4z2 = 0,
(h) x(y + 2) = 0,
(i) x2 + y2 = 1,
(j) y2 = 2x.
5.2 Odredite jednadžbu sfere koja dodiruje pravacx − 1
3=y + 4
6=z − 6
4u
točki (1,−4,6), a pravacx − 4
2=y + 3
1=z − 2
−6u točki (4,−3,2).
5.3 Odredite točku na sferi (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 3)2 = 25 koja je najbližaravnini 3x − 4z + 59 = 0. Kolika je udaljenost?
5.4 Za koje a ∈ R sfera (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 75 dodiruje ravninux + 7y + 5z = a?
5.5 Odredite jednadžbu sfere upisane u tetraedar određen ravninama x = 0,y = 0, z = 0, 3x − 2y + 6z − 18 = 0.
5.6 Odredite polumjer i središte sfere
(a) x2 + y2 + z2 − 3x + 5y + 4z = 0
(b) x2 + y2 + z2 = 2ay
5.7 Odredite jednadžbu sfere koja prolazi točkama (0,0,0), (2,0,0), (0,5,0)i (0,0,3).
21
![Page 22: Analitička geometrija Zadaci · 2015. 6. 9. · SAES. 5. 6 POGLAVLJE 1. POGLAVLJE 1.11 Neka su Ñii Ñj dva nekolinearna vektora i Ña =2Ñi−3Ñj, Ñb=Ñi+2Ñj, Ñc=Ñi−Ñj](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022062610/610f42c3d90ead4a7260d77b/html5/thumbnails/22.jpg)
22 POGLAVLJE 5. PLOHE
5.8 Odredite jednadžbu sfere koja prolazi točkama (3,1,−3), (−2,4,1) i (−5,0,0),a središte joj leži u ravnini 2x + y − z + 3 = 0.
5.9 Opišite krivulju danu jednadžbama
(a) x − 5 = 0, z + 2 = 0,
(b) x2 + y2 + z2 = 49, y = 0,
(c) x2 + y2 + z2 = 20, z = 2.
5.10 Odredite središte i polumjer kružnice
{(x − 4)2 + (y − 7)2 + (z + 1)2 = 363x + y − z − 9 = 0
.
5.11 Pokažite da je
{x2 + y2 + z2 = 40x2 + y2 + z2 + 12x − 16z = 0
kružnica. Odredite joj središte i polumjer.