Analiza i prikazivanje podataka

prof.dr.sc. Sanja Varosanec

23.9.2012.

1

HNOS (iz 2006.)

Kljucni pojmovi: obiljezje skupa podataka, frekven-cija i relativna frekvencija, tablicni prikaz, stupcasti di-jagram, kruzni dijagram

Obrazovna postignuca: prepoznati obiljezje skupapodataka

odredivati vrijednosti tog obiljezja,prikazivati prikupljene podatke pomocu tablice frekven-

cije i relativne frekvencije,graficki pomocu stupcastog i kruznog dijagramaizracunavati aritmeticku sredinuinterpretirati rezultate.

2

NOK 1. ciklus

Ucenici ce:– prikupiti, razvrstati i organizirati podatke koji proi-

zlaze iz svakodnevnoga zivota te ih prikazati jednostavnimtablicama, piktogramima (slikovnim dijagramima) i stupcastimdijagramima

– procitati i protumaciti podatke prikazane jednos-tavnim tablicama, piktogramima i stupcastim dijagramima

3

NOK 2. ciklus

Ucenici ce:– prikupiti, razvrstati i organizirati podatke te ih na

prikladan nacin prikazati tablicom, tablicom frekvencija,piktogramom, stupcastim i kruznim dijagramom te sus-tavnom listom

– procitati i protumaciti podatke prikazane tablicama,slikama, listama te razlicitim grafovima i dijagramima

– odrediti i primijeniti aritmeticku sredinu, raspon imedijan niza numerickih podataka

4

NOK 3. ciklus

Ucenici ce:– prikupiti, klasificirati i organizirati podatke te ih na

prikladan nacin, pomocu racunala i bez njega, prikazatisustavnom listom, tablicom, tablicom frekvencija, lin-ijskim, stupcastim i kruznim dijagramom, grafikonom,brkatom kutijom (box and whiskers dijagram) i grafom

– procitati, tumaciti i analizirati podatke prikazanena razlicite nacine

– odrediti i primijeniti frekvenciju i relativnu frekven-ciju za dane podatke te aritmeticku sredinu, medijan,kvartile, mod, raspon i interkvartilni raspon niza nu-merickih podataka

5

Ucenicka postignuca na kraju cetvrtogodgojno-obrazovnog ciklusa

(srednjoskolsko strukovno obrazovanje)

Ucenici ce:J1. prikupiti, klasificirati i organizirati podatke, te

ih na prikladan nacin, pomocu racunala i bez njega,prikazati za potrebe statisticke analize,

J2. procitati, tumaciti i analizirati podatke prikazanena razlicite nacine,

J3. odrediti i primijeniti srednje vrijednosti (arit-meticka sredina, medijan, mod) i rasprsenost (raspon,interkvartilni raspon) niza numerickih podataka,

J4. rabiti jednostavne racunalne programe za statistickuobradu podataka.

6

Ucenicka postignuca na kraju cetvrtogodgojno-obrazovnog ciklusa

(srednjoskolsko gimnazijsko obrazovanje)

Ucenici ce:J1. sustavno prikupiti, klasificirati i organizirati po-

datke, te ih prikazati i analizirati pomocu srednjih vrijed-nosti (aritmeticka sredina, medijan, mod) i rasprsenosti(raspon, interkvartilni raspon, standardna devijacija),

J2. procijeniti parametar srednje vrijednosti uz zadanipouzdani interval

J3. prepoznati pribliznu linearnu vezu dviju vari-jabli, odrediti njezine koeficijente, te ju rabiti pri mod-eliranju,

J4. interpretirati slozene dogadaje pomocu skupovnihoperacija te izracunati njihovu vjerojatnost,

J5. primijeniti normalnu razdiobu.

7

Medicinske skole - novi program od 2012.2013.1. razred Ucenici ce:- prikupiti podatke iz primarnih izvora pomocu up-

itnika i eksperimenta, biljezeci opazanja, mjerenja i/ilirezultate, te raspraviti je li metoda prikupljanja podatakavaljana

- prikupiti podatke iz sekundarnih izvora (tzv. sekun-darni podatci)

- razvstati i organizirati diskretne (npr. krvna grupa,spol, boja ociju) i kontinuirane (npr. visina, tjelesnamasa, temperatura) primarne i sekundarne podatke

- prikazati podatke na primjeran nacin pomocu tablicei kruznog dijagrama te stupcastog dijagrama i histogramas pravilno oznacenim osima, nazivima, skalama te razred-ima jednake sirine

- procitati, protumaciti i donijeti zakljucke o pri-marnim i sekundarnim podatcima prikazanima tablicom,dijagramom (ukljucujuci stupcasti dijagram, visestrukistupcasti dijagram, kruzni dijagram) i drugim grafickimprikazima

- odrediti i primijeniti srednje vrijednosti (aritmetickasredina, medijan, mod) niza numerickih podataka

- prikupiti, organizirati, prikazati i protumaciti po-datke iz svakodnevnog zivota, drugih nastavnih pred-meta i zdravstvene struke

- rabiti dzepno racunalo i primjenski program za izraduproracunskih tablica za organizaciju i prikazivanje po-dataka.

8

2. razred Ucenici ce:- radeci timski, isplanirati, organizirati i provesti statisticko

istrazivanje- prikazati podatke pomocu tablice, kruznog i stupcastog

dijagrama, histograma i linijskog dijagrama (razloml-jenog - diskretni podatci na x-osi, a kontinuirani na y-osi;kontinuirani podatci na obje osi)

-procitati, protumaciti i donijeti zakljucke o primarnimi sekundarnim podatcima prikazanim tablicom, dijagramom(ukljucujuci stupcasti dijagram, dvostruki stupcasti di-jagram, kruzni dijagram, linijski dijagram, percentilnukrivulju) i drugim grafickim prikazima

- odrediti, usporediti i protumaciti srednje vrijednosti(aritmeticka sredina, medijan, mod, kvartili, percentili)i mjere rasprsenosti (raspon, interkvartilni raspon) nizanumerickih podataka

9

- protumaciti utjecaj dodavanja ili uklanjanja jednogili vise podataka na srednje vrijednosti niza numerickihpodataka

- usporediti slicnosti i razlike izmedu dva srodna skupapodataka rabeci razne strategije (npr. prikazivanjem po-dataka pomocu tablica crtica ili visestrukog stupcastogdijagrama; usporedbom srednjih vrijednosti i mjera rasprsenosti;opisujuci oblik grafickog prikaza podataka)

- prepoznati grafove u kojima se manipulira podatcima(npr. grafove koji prenaglasuju promjenu pocinjuci navertikalnoj osi od tocke pridruzene broju vecem od nule)

- razlikovati reprezentativni uzorak, slucajni uzoraki populaciju

- protumaciti trendove u podatcima- rabiti dzepno racunalo i primjenski program za izradu

proracunskih tablica za organizaciju i prikazivanje po-dataka.

10

Statisticki skup ili populacija je skup istovrsnihelemenata.

Primjeri: skup svih ucenika jednog razrednog odjela,skup svih zaposlenih stanovnika RH na dan 1.10.2011.

Statisticko obiljezje je ono svojstvo elemenatapopulacije po kojem se ti elementi razlikuju i nalikuju.

Primjeri: spol, strucna sprema, mjesto rodenja, nacinstudiranja, ocjena na ispitu, povrsina stana

Vrijednosti obiljezja - stanja koja to obiljezje mozeimati

11

Vrste podataka: primarni i sekundarni

Klasifikacija obiljezja:

- kategorijalna obiljezja - nominalna i redoslijedna(ordinalna, rangirana)

- numericka - diskretna i kontinuirana

12

Faze statisticke djelatnosti

- statisticko promatranje (mjerenje, brojenje, ocjen-jivanje, opazanje, evidencija, anketiranje)

- klasificiranje (grupiranje)- analiza

13

Vrste podataka

Primjer 1.1. (kategorijsko nominalno obiljezje)Prosli tjedan u Zavodu za transfuziju 50 je osoba dobro-voljno dalo krv. Svakom je davatelju odredena krvnagrupa i dobiven je ovaj niz podataka

A A B 0 B AB 0 0 0 00 0 B AB AB 0 0 B A AA 0 0 0 B 0 0 A A AB B 0 A 0 A 0 0 0 00 0 0 A B 0 0 0 B 0

tip krvne grupe broja osoba kojeimaju taj tip grupe (frekvencija)

0 27A 11B 9

AB 3

14

Primjer 1.2. (kategorijsko rangirano (redosli-jedno) obiljezje) Na ispitu znanja iz matematike ucenici1.b razreda postigli su sljedece rezultate: ocjenu odlicandobilo je 3 ucenika, ocjenu vrlo dobar 9 ucenika, ocjenudobar 9 ucenika, ocjenu dovoljan 5 ucenika, a ocjenu ne-dovoljan 4 ucenika.

Prikazimo te podatke u tablici i odredimo frekvencijupojedine ocjene.

Sto je obiljezje, a sto vrijednost obiljezja?

ocjena broj ucenika

odlican 3vrlo dobar 9

dobar 9dovoljan 5

nedovoljan 4

15

Primjer 1.3. (numericko diskretno obiljezje)Bolnicki je administrator pregledavajuci kartone paci-jenata primljenih na bolnicko lijecenje u rujnu dobiosljedeci niz podataka koji sadrzi broj dana provedenihna bolnickom lijecenju:

6 3 2 4 4 6 6 6 2 1 1 3 3 8 53 4 4 5 6 1 2 9 7 3 2 2 6 6 6

broj dana broj pacijenata koji subolnickog lijecenja proveli u bolnici taj broj dana

1 32 53 54 45 26 87 18 19 1

16

Primjer 1.4. (numericko kontinuirano obiljezje)Ucenicima 1.a razreda izmjerena je visina i dobiveni suovi podatci (iskazani u centimetrima):

182 153 164 173 184 175 180 155201 177 180 183 186 188 182 178169 168 173 159 152 162 163 185

17

Razredi

Grupiranje u 6 razreda jednake sirine.Vrijednosti ima 201 − 152 + 1 = 50.

50 : 6 = 8.3,

broj 8.3 zaokruzimo na 9. Sirina razreda je 9.

visina x ucenika (u cm) frekvencija

152 ≤ x ≤ 160 4161 ≤ x ≤ 169 5

170 ≤ x ≤ 178 5179 ≤ x ≤ 187 8188 ≤ x ≤ 196 1197 ≤ x ≤ 205 1

18

precizne granice razreda

visina ucenika (u cm) precizne granice frekvencijarazreda

152 − 160 151.5 − 160.5 4161 − 169 160.5 − 169.5 5170 − 178 169.5 − 178.5 5179 − 187 178.5 − 187.5 8188 − 196 187.5 − 196.5 1197 − 205 196.5 − 205.5 1

19

peteljka-list dijagram (”stem-leaf” dijagram ili STdijagram)

15 235916 2348917 3357818 0022345681920 1

Legenda: 15|2=152 cm

20

Graficki prikaz pomocu piktograma:Primjer 1.1.

tip krvne grupe broja osoba kojeimaju taj tip grupe (frekvencija)

0 27A 11B 9

AB 3

SLIKA

21

Primjer 2.1. Ucenici 1a razreda anketirani su onajomiljenijoj vrsti voca. Njihovi odgovori i frekvencijesvakog od voca dani su u ovoj tablici:

najomiljenija broj ucenika kojimavrsta voca je to voce najomiljenije

jabuke 6kruske 2narance 4banane 9sljive 4

Prikazimo ove podatke graficki.

22

Stupci mogu biti polegnuti i vodoravno.

23

najomiljenija broj ucenika relativna relativnavrsta voca kojima je to voce frekvencija frekvencija

(frekvencija) najomiljenije u %

jabuke 6 0.24 24%kruske 2 0.08 8%narance 4 0.16 16%banane 9 0.36 36%sljive 4 0.16 16%

Stupcasti dijagram relativnih frekvencija

Korelacija: proporcionalnost, postotci

24

Primjer 2.2. Podatke o dobrovoljnim davateljimakrvi iznesenima u Primjeru 1.1 pomocu kruznog dija-grama.

tip krvne grupe frekvencija

0 27A 11B 9

AB 3zbroj: 50

27 : 50 = α : 360◦

α =27 · 360◦

50α = 194.4◦

25

Korelacija: proporcionalnost, krug, kut

26

Histogram - spojeni stupci cija je povrsina pro-porcionalna frekvencijama, odnosno relativnim frekven-cijama.

Primjer 2.3. Ispitujuci kolicinu lijekova koje dnevnouzimaju pacijenti, doslo se do sljedecih podataka o brojulijekova u obliku tableta koje svaki dan uzimaju pacijentibolnickog odjela:

broj tableta broj pacijenatakoje se uzimaju svakodnevno koji uzimaju taj broj lijekova

1 242 433 124 25 1

a) Izracunajmo relativne frekvencije danih podataka.b) Prikazimo ih graficki.

27

broj tableta broj pacijenata (fi) relativne frekvencije

1 24 2482

= 29.3%

2 43 4382

= 52.4%

3 12 2482

= 14.6%

4 2 2482

= 2.4%

5 1 2482

= 1.2%

28

broj precizne granice sredina frekvencijetableta razreda razreda

1 0.5 – 1.5 1 242 1.5 – 2.5 2 433 2.5 – 3.5 3 124 3.5 – 4.5 4 25 4.5 – 5.5 5 1

29

30

31

Primjer 2.4. Prikazimo stupcastim i linijskim dija-gramom, te histogramom podatke dane u primjeru 1.4.

visina precizne granice frekvencija sredinaucenika razreda razreda

152 − 160 151.5 − 160.5 4 156

161 − 169 160.5 − 169.5 5 165170 − 178 169.5 − 178.5 5 174179 − 187 178.5 − 187.5 8 183188 − 196 187.5 − 196.5 1 192197 − 205 196.5 − 205.5 1 201

32

Za histogram su potrebne i korigirane relativne frekven-cije (gustoca). To je kvocijent relativne frekvencije isirine razreda. Dodamo jos dva stupca.

visina precizne granice frek. sredina rel. korig.ucenika razreda razreda frek. rel. frekv.

152 − 160 151.5 − 160.5 4 156 424

4216

161 − 169 160.5 − 169.5 5 165 524

5216

170 − 178 169.5 − 178.5 5 174 524

5216

179 − 187 178.5 − 187.5 8 183 824

8216

188 − 196 187.5 − 196.5 1 192 124

1216

197 − 205 196.5 − 205.5 1 201 124

1216

33

34

Visestruki stupcasti dijagrami

35

Aritmeticka sredina, medijan i modAritmeticka sredina

x =x1 + x2 + . . . + xn

n.

Tezinska (vagana, ponderirana) aritmeticka sredina

x =f1x1 + f2x2 + . . . + fkxk

n.

Zaokruzuje se na jedno decimalno mjesto vise od onogakako su dani podaci.

Primjer 3.4. Mjereno je vrijeme (u satima) tra-janja baterija tipa AA. Dobiveni su podatci grupirani u7 razreda i dani su u tablici frekvencija. Izracunajmoprosjecno vrijeme trajanja baterija.

vrijeme trajanja u satima Broj baterijaprecizne granice razreda (frekvencija)

25.5 – 85.5 2585.5 – 145.5 128145.5 – 205.5 423205.5 – 265.5 398265.5 – 325.5 154325.5 – 385.5 73

36

precizne granice broj baterija sredina razreda xifi

razreda (frekvencija) fi xi

25.5 – 85.5 25 55.5 1387.5

85.5 – 145.5 128 115.5 14784145.5 – 205.5 423 175.5 74236.5205.5 – 265.5 398 235.5 93729265.5 – 325.5 154 295.5 45507325.5 – 385.5 73 355.5 25951.5

Ukupno: 1201 255595.5

x =x1f1 + . . . + xnfn

n=

255595.5

1201≈ 212.81890

x = 212.8

37

Medijan je broj koji se u nizu podataka poredanihpo velicini nalazi u sredini.

Primjer 3.5. Odredimo medijan nizovaa) 35, 38, 47, 49, 52, 56, 60;b) 35, 38, 47, 49, 52, 56.Rjesenje. a) Niz ima 7 brojeva. Sredina niza je

cetvrti broj. M = 49.b) Niz ima 6 clanova i sredina se nalazi izmedu treceg

i cetvrtog clana.

M =47 + 49

2= 48.

38

Kada imamo neparan broj podataka, tj. kad ih ima2k − 1, tada je medijan jednak k-tom podatku, tj.

M = xk.

Kada imamo paran broj podataka, tj. kad ih ima2k, tada je medijan jednak aritmetickoj sredini k-tog i(k + 1)-ovog podatka, tj.

M =xk + xk+1

2.

39

Mod je jednak podatku koji se javlja najveci brojputa (ali vise od jedanput).

Primjer 3.6. Odredite mod niza podataka danihpeteljka-list dijagramom:

2 0012393 0044557774 011122223755 1235788

Legenda: 2|0 = 20.

Broj 42 se u dijagramu pojavljuje 4 puta, a svi ostalibrojevi se pojavljuju manje puta. Mo = 42.

unimodalna, bimodalna, visemodalna razdioba

40

Primjer 3.8. Ucenici 1.a razreda su na pitanje ko-liko imaju brace i sestara dali ove odgovore

broj brace i sestara broj ucenika koji imajutoliki broj brace i sestara (fi)

0 121 82 23 14 2

x =0.12 + 1.8 + 2.2 + 3.1 + 4.2

25= 0.9.

Mo = 0, tj. u 1.a razredu najvise ucenika nema nibrata ni sestru.

41

Mjere varijabilnosti ili rasprsenja - raspon, va-rijanca i standardna devijacija

σ2 =(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + . . . (xn − x)2

n.

σ =

√(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + . . . (xn − x)2

n.

Unutar dvije standardne devijacije oko aritmetickesredine nalazi se 75% podataka. Barem 88.89% podatakase nalazi unutra 3 standardne devijacije oko aritmetickesredine.

42

Standardna vrijednost ili z-vrijednost podatka xi jebroj z1 definiran kao

zi =xi − x

σ

Taj nam broj kazuje za koliko standardnih devijacija jepodatak xi udaljen od aritmeticke sredine niza.

43

Primjer 4.1 Ucenici 1a razreda pisali su test iz hrvatskogjezika i iz matematike. Test iz hrvatskog jezika imao jearitmeticku sredinu 40 i standardnu devijaciju 10, dok jetest iz matematike imao aritmeticku sredinu 25 i stan-dardnu devijaciju 5. Marko je na testu iz hrvatskog os-vojio 50 bodova, dok je na testu iz matematike osvojio35 bodova. Na kojem je testu postigao bolji uspjeh?

Rjesenje.

zH =xi − x

σ=

50 − 40

10= 1,

Markov se rezultat iz testa iz hrvatskog nalazi 1 stan-dardnu devijaciju od aritmeticke sredine.

zM =xi − x

σ=

35 − 25

5= 2,

Markov se rezultat iz matematike nalazi 2 standardnedevijacije od aritmeticke sredine.

44

Kvartili i percentiliDonji kvartil (u oznaci Q1) je ona vrijednost nu-

merickog obiljezja koja sve podatke dijeli na jednu cetvrtinupodataka i oni su jednaki ili manji od donjeg kvartila, ina tri cetvrtine podataka, koji su jednaki ili veci od don-jeg kvartila.

Gornji kvartil (u oznaci Q3) je ona vrijednost nu-merickog obiljezja koja sve podatke dijeli na tri cetvrtinepodataka i oni su jednaki ili manji od gornjeg kvartila, ina cetvrtinu podataka, koji su jednaki ili veci od gornjegkvartila.

Interkvartilni raspon ili krace interkvartil (u oz-naci IQR) je razlika izmedu gornjeg i donjeg kvartila.

45

Primjer 5.1. Odredimo medijan, kvartile i interk-vartilni raspon nizova podataka:

a) 51, 62, 78, 94, 96, 99, 105b) 4, 6, 12, 13, 15, 17, 22, 45.a) n = 7, M = 94.

Donji je kvartil medijan niza 51, 62, 78. Medijan togpodniza je 62, tj. Q1 = 62.

Gornji kvartil je medijan niza onih brojeva koji suveci od medijana, tj. Q3 = 99.

Interkvartilni je raspon jednak IQR = 99 − 62 = 37.b) n = 8, M = 13+15

2= 14.

Donji kvartil je medijan niza 4,6,12,13, Q1 = 6+122

=9.

Gornji kvartil je medijan niza 15,17,22,45, a to jeQ3 = 17+22

2= 19.5.

Interkvartilni je raspon jednak IQR = 19.5 − 9 =10.5.

46

Q1 =

xk+1 ako n4

nije cijeli i k je cijeli dio broja n4

xk + xk+1

2ako je n

4cijeli i k = n

4

Q3 =

xk+1 ako 3n4

nije cijeli i k je cijeli dio broja 3n4

xk + xk+1

2ako je 3n

4cijeli i k = 3n

4

47

Dijagram pravokutnika (eng. box-plot diagram,eng. box and whisker diagram, brkata kutija).

51, 62, 78, 94, 96, 99, 105

Q1 = 62, M = 94, Q3 = 99, IQR = Q3 − Q1 = 37.

32IQR = 37·3

2= 55.6,

Q1 − 32IQR = 62 − 55.5 = 6.5

Q3 + 32IQR = 99 + 55.5 = 154.5

Granice (6.5, 154.5) - brkovi.

48

4,6,12,13,15,17,22,45,

Q1 = 9, M = 14, Q3 = 19.5, IQR = Q3 − Q1 = 10.5.

Granice brkova su Q1 − 32IQR = 9 − 15.75 = −6.75

i Q3 + 32IQR = 35.25.

45 > 35.25 outlier.

49

Percentili

Pp =

xk+1 ako pn100

nije cijeli i k je cijeli dio broja pn100

xk + xk+1

2ako je pn

100cijeli i k = pn

100

Q1 = P25, M = P50, Q3 = P75

Primjer 5.2. Odredimo 40. percentil ovog niza po-dataka

51, 62, 78, 94, 96, 99, 105.

Podataka ima 7.Broj pn

100= 40·7

100= 2.8 nije cijeli broj.

Njegov cijeli dio je 2, a uvecamo li ga za 1 dobivamo3.

P40 = 78.

50

Primjer 5.4. Promotrimo podatke dane u Primjeru3.4. i odredimo medijan, kvartile i 15. percentil tihpodataka.

vrijeme trajanja u satima Broj baterijaprecizne granice razreda (frekvencija)

25.5 – 85.5 25

85.5 – 145.5 128145.5 – 205.5 423205.5 – 265.5 398265.5 – 325.5 154325.5 – 385.5 73

51

precizne granice razreda broj baterija kumulativne

(frekvencija) relativne frekvencije

25.5 – 85.5 25 251201

= 2.08%

85.5 – 145.5 128 1531201

= 12.74%

145.5 – 205.5 423 5761201

= 47.96

205.5 – 265.5 398 9741201

= 81.1%

265.5 – 325.5 154 11281201

= 93.92%

325.5 – 385.5 73 1 = 100%

52

Kumulativne relativne frekvencije -

Baterije

0 2.08

12.74

47.96

81.1

93.92100

0

20

40

60

80

100

120

25

.5

85

.5

14

5.5

20

5.5

26

5.5

32

5.5

38

5.5

trajanje baterija u satima

ku

m.re

l.fr

ek

v.u

%

53

T1(205.5, 47.96) i T2(265.5, 81.1).

y − y1 =y2 − y1

x2 − x1

(x − x1)

y − 47.96 =81.1 − 47.96

265.5 − 205.5(x − 205.5)

y − 41.96 =33.14

60(x − 205.5)

y = 0.5523x − 65.54

Za y = 50 x = 209.2 = MZa y = 75 x = 254.5, tj. Q3 = 254.5.

54