analiza izgub v masivnem in pramenastem vodniku · analiza je bila izvedena s programom opera, ki...

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO,

RAČUNALNIŠTVO IN INFORMATIKO

Miha Krajnc

ANALIZA IZGUB V MASIVNEM IN PRAMENASTEM

VODNIKU

Magistrsko delo

Maribor, avgust 2017

i

ANALIZA IZGUB V MASIVNEM IN PRAMENASTEM VODNIKU

Magistrsko delo

Študent: Miha Krajnc

Študijski program: magisterij, 2. stopnja

Elektrotehnika

Smer: Močnostna elektrotehnika

Mentor: red. prof. dr. Anton Hamler, univ. dipl. inž. el.

Maribor, avgust 2017

iii

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju dr. Antonu Hamlerju

za vodenje in pomoč pri izdelavi magistrskega

dela. Iskreno se zahvaljujem tudi vsem

domačim, ki so me podpirali pri študiju.

iv

ANALIZA IZGUB V MASIVNEM IN PRAMENASTEM

VODNIKU

Ključne besede: Električne izgube, masivni vodnik, pramenasti vodnik, analiza izgub

UDK: 621.315.34(043.2)

Povzetek

Magistrsko delo obravnava izračunavanje električnih izgub v pramenastem in masivnem

vodniku na podlagi harmoničnega izračuna elektromagnetnega polja pri frekvenci toka 1kHz,

in pramenov vodnika dolžine 500 mm ter njihove vzporedne ali ovite gradnje. Računalniška

analiza je bila izvedena s programom Opera, ki temelji na metodi končnih elementov. S

teoretično obravnavo električnega polja v električno prevodnih materialih so bili določeni

modeli vodnika. Vodniki so bili fizično izdelani. Pomerjene so jim bile električne izgube.

v

ANALYSIS OF LOSSES IN MASSIVE AND LITZ WIRE

Key words: Electrical losses, massive wire, litz wire, analysis of losses

UDK: 621.315.34(043.2)

Abstract

In those thesis are presented the calculation of electrical losses in massive and litz conductor

depending on the harmonic electrical field at frequency 1kHz of electrical current as well as

with conductor size of 500mm and parallel or twisted construction. Computer processing was

performed with the program Opera, used to calculate the electrical losses with the finite

element method. With the theoretical study of the electric field in electrically conductive

material, we defined wire models. Conductors were also handmade and measured for

electrical losses.

vi

KAZALO

1 UVOD ........................................................................................................................... 1

2 ELEKTROMAGNETNO POLJE V ELEKTRIČNO PREVODNIH MATERIALIH .................... 3

2.1 Izriv toka (SKIN EFEKT) .............................................................................3

2.2 Gostota električnega toka ........................................................................5

2.3 Fazni zamik ..............................................................................................9

2.4 Joulske izgube ....................................................................................... 12

2.5 Vrednost RMS ........................................................................................ 14

2.6 Izračun vrednosti RMS ........................................................................... 15

2.7 Grafična metoda za izračun RMS ............................................................ 15

2.8 Analitična metoda za izračun RMS .......................................................... 16

2.9 Enačba napetosti RMS ............................................................................ 17

2.10 Opredelitev vodnikov ........................................................................... 18

3 PROGRAM OPERA ZA IZVAJANJE ANALIZ ELRKTROMAGNETNIH POLJ ................... 21

3.1 Program OPERA ..................................................................................... 21

3.2 Geometrijsko modeliranje vodnika ......................................................... 23

3.3 Fizična izdelava vodnikov ....................................................................... 28

4 MERITVE IN ANALIZA ................................................................................................. 32

4.1 Masivni vodnik ...................................................................................... 32

4.1.1 Joulske izgube masivnega vodnika .......................................................................... 32

4.1.2 Električni tok masivnega vodnika ............................................................................ 34

4.1.3 Tokovna gostota masivnega vodnika ....................................................................... 35

4.2 Pramenasti ravni vodnik ......................................................................... 37

4.2.1 Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika ...................................................... 37

4.2.2 Električni tok pramenastega ravnega vodnika ......................................................... 39

vii

4.2.3 Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika ................................................... 40

4.3 Pramenasti zaviti vodnik ........................................................................ 42

4.3.1 Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika ...................................................... 42

4.3.2 Električni tok pramenastega zavitega vodnika ........................................................ 44

4.3.3 Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika .................................................. 44

4.3.4 Meritve tokov in napetosti pramenastega ravnega in zavitega vodnika ................ 46

4.4 Primerjava rezultatov meritev ................................................................ 49

5 ZAKLJUČEK ................................................................................................................. 52

VIRI ................................................................................................................................ 53

PRILOGA A .................................................................................................................... 55

PRILOGA B .................................................................................................................... 57

PRILOGA C .................................................................................................................... 58

viii

KAZALO SLIK

Slika 2.1: Prikaz vrtinčnih tokov (Iw). .......................................................................................... 4

Slika 2.2: Prikaz poteka toka skozi ploskev. ............................................................................... 5

Slika 2.3: Premik skupine nabojev. ............................................................................................. 6

Slika 2.4: Grafični prikaz pretočnih cevk. ................................................................................... 8

Slika 2.5: Shema pretočnih cevk gostote toka. .......................................................................... 9

Slika 2.6: Fazni zamik. ............................................................................................................... 10

Slika 2.7: Kazalčni diagram. ...................................................................................................... 10

Slika 2.8: Fazni kot. ................................................................................................................... 12

Slika 2.9: Poytingov vektor v cilindričnem koordinatnem sistemu. ......................................... 14

Slika 2.10: Grafična metoda za izračun vrednosti RMS. ........................................................... 16

Slika 3.1: Modeliranje masivne oblike vodnika. ....................................................................... 24

Slika 3.2: Določitev elektromagnetnih lastnosti vodnika za primer stacionarnega izračuna

elektromagnetnega polja. ........................................................................................................ 24

Slika 3.3: Določitev robnih pogojev. ......................................................................................... 25

Slika 3.4: Masivni vodnik brez okolice. ..................................................................................... 26

Slika 3.5: Masivni vodnik z okolico. .......................................................................................... 26

Slika 3.6: Pramenasti ravni vodnik brez okolice. ...................................................................... 26

Slika 3.7: Pramenasti ravni vodnik z okolico. ........................................................................... 27

Slika 3.8: Pramenasti zaviti vodnik brez okolice. ...................................................................... 27

Slika 3.9: Pramenasti zaviti vodnik z okolico. ........................................................................... 27

Slika 3.10: Prerez vodnika z dimenzijami v milimetrih. ............................................................ 28

Slika 3.11: Prikaz pramenastega vodnika. ................................................................................ 29

Slika 3.12: Pramenasti zaviti vodnik dolžine 500 mm. ............................................................. 30

Slika 3.13: Postavitev tokovnih klešč. ....................................................................................... 30

Slika 3.14: Priključitev tokovnih klešč na osciloskop. ............................................................... 31

Slika 4.1: Joulske izgube masivnega vodnika. .......................................................................... 32

Slika 4.2: Povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika. .......................................... 33

Slika 4.3: Maksimalna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika. ........................................ 33

Slika 4.4: Integralni izračuni joulskih izgub masivnega vodnika. .............................................. 33

ix

Slika 4.5: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika (10-3 W). .......... 34

Slika 4.6: Tok v masivnem vodniku. ......................................................................................... 34

Slika 4.7: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 0° in 180°. ............................ 35

Slika 4.8: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 30°. ...................................... 36

Slika 4.9: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 60°. ...................................... 36

Slika 4.10: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 90°. .................................... 37

Slika 4.11: Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika. .................................................... 37

Slika 4.12: Povprečna vrednosti joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika. ................... 38

Slika 4.13: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika. .................. 38

Slika 4.14: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika. ......................... 38

Slika 4.15: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika znaša

237 W (pomnoženo z 10-3 W)................................................................................................... 39

Slika 4.16: Tok v masivnem vodniku. ....................................................................................... 39

Slika 4.17: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°. ....... 40

Slika 4.18: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 30°. ................ 40



Slika 4.21: Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika. .................................................... 42

Slika 4.22: Povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika. .................... 42

Slika 4.23: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika. ................. 42

Slika 4.24: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika. ........................ 43

Slika 4.25: Povprečna vrednost joulskih izgub (pomnoženo z 10-3 W). ................................... 43

Slika 4.26: Tok v pramenastem zavitem vodniku. .................................................................... 44

Slika 4.27: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°........ 44

Slika 4.28: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 30°. ................ 45



Slika 4.31: Napetosti in tokovi pramenastega ravnega vodnika. ............................................. 47

Slika 4.32: Napetosti in tokovi 2-krat zavitega pramenastega vodnika. .................................. 47

Slika 4.33: Napetosti in tokovi 5-krat zavitega pramenastega vodnika. .................................. 48

x

UPORABLJENI SIMBOLI

e – električni naboj (+ ali - ) (As),

E – električna poljska jakost (Vm-1),

F – električna sila (N),

H – magnetna poljska jakost (A/m),

I – električni tok (A),

Im – kazalec električnega toka (A),

J – gostota električnega toka (A/m2),

k – RMS konstanta,

l – dolžina (m),

R – električna upornost (Ω),

Q – električni naboj (As),

S – presek vodnika (m2),

t – čas (s),

U – električna napetost (V),

Um – kazalec električne napetosti (V),

v – hitrost (m/s),

W– proizvedena toplota (W),

𝛼0𝑢 – začetni kot vektorja električne napetosti (°),

𝛼0𝑖 – začetni kot vektorja električnega toka (°),

𝜑 – fazni kot (°),

𝜌 – prostorninska gostota naboja (As/m3).

1

1 UVOD

V proizvodnji, prenosu in distribuciji električne energije velja, da električna energija nikoli

ne pride do cilja v isti vrednosti ali količini, kot je proizvedena. Glavni razlog so električne

izgube, ki so prisotne v vseh obstoječih elektroenergetskih sistemih in tudi v manjših

električnih in elektronskih sistemih. Njihov delež v distribuciji elektroenergetskega sistema

ni velik, komaj nekaj odstotkov (v Sloveniji nekaj čez 3 % [1]). Zaradi več vrst električnih

izgub imamo več dejavnikov ter kombinacij dejavnikov, pri katerih moramo biti pozorni na

to, da se izgube ne povečajo nad dovoljeno mejo, ki jo določa vsak sistem po svoje. Na

velikosti in vrste električnih izgub vplivajo materiali, načini izdelave električnih vodnikov ter

preseki vodnikov in veličine, ki definirajo ostale dejavnike, kot so električna napetost,

frekvenca, tok in dolžina vodnika. Kadar rešujemo probleme električnih izgub v neodvisnih

sistemih, ki so grajeni po potrebi posameznikov in okoljih, v katerih so pogoji nestandardno

določeni, pa je pomemben vsak dejavnik, ki pomaga omejiti ali celo zmanjšati električne

izgube. Znano je, da večji preseki vodnikov, ki so dimenzionirani po zahtevanih pogojih,

zmanjšajo določene izgube. Z obliko vodnika lahko zmanjšamo tudi ostale električne

izgube. S tem se izognemo visokim cenam neustreznih električnih vodnikov in dražjim

storitvam vzdrževanja in obnove vodnikov.

Izgube v električnih vodnikih so nezaželene, ker se pretvarjajo v toplotno energijo. Ta

negativno vpliva na izolacijo vodnikov s toplotno obremenitvijo in s pospeševanjem procesa

staranja izolacije. S prisotnostjo električnih izgub se manjša tudi izkoristek prenosa

električne energije, zato je naš cilj izbrati primerne materiale za prenos električne energije

v izmeničnih tokokrogih ter jih ustrezno oblikovati in s tem zmanjšati električne izgube.

S programskimi simulacijami ter izračuni lahko dimenzioniranje električnih vodnikov

poenostavimo. Na tak način ustvarimo vodnik, ki je ustrezen za določene pogoje in ima

majhne električne izgube.

V magistrskem delu smo analizirali električne izgube masivnih, pramenastih ravnih ter

pramenastih zavitih vodnikov. Rezultate smo na koncu primerjali in zapisali ugotovitve za

posamezni vodnik.

2

V drugem poglavju magistrskega dela smo opisali elektromagnetno polje v električno

prevodnih materialih. Razložili smo pojme, kot so izriv toka, gostota električnega toka, fazni

zamik, joulske izgube, vrednost RMS (kvadratni koren povprečne vrednosti kvadratne

trenutne vrednosti), metode izračuna RMS in predstavili opredelitev vodnikov glede na

njihove lastnosti.

Tretje poglavje opisuje programsko okolje Opera. Njegove lastnosti so opisane pri

geometrijskem modeliranju vodnikov. Opisana je tudi izdelava vodnikov, ki smo jih

uporabili pri raziskovanju.

V četrtem poglavju so zajete meritve ter njihove analize, ki se navezujejo na masivne,

pramenaste ravne ter pramenaste zavite vodnike. Opisane so električne izgube ter lastnosti

merjenih vodnikov.

3

2 ELEKTROMAGNETNO POLJE V ELEKTRIČNO PREVODNIH

MATERIALIH

Električno polje je področje ali prostor, kjer na električni naboj vpliva električna sila, ki se

definira kot zmnožek jakosti električnega polja in naboja, kar vidimo v naslednjem izrazu

(2.1):

EeF (2.1)

Tu je:

F – električna sila (N),

e – električni naboj (+ ali - ) (As),

E – jakost električnega polja (Vm-1).

Glavni pogoj za nastanek električnega toka je prevodni material, po katerem se gibljejo

prosti elektroni e-, obravnavani kot količina naboja, v določeno smer v določenem

časovnem intervalu, skozi dani presek prevodnega materiala. Na podlagi tega gibanja

ločimo dve vrsti toka:

- enosmerni tok,

- izmenični tok.

Zraven električnega toka vedno nastane elektromagnetno polje, če deluje sila (t. i.

Lorentzova sila [2]) na naelektren delec v prostoru, ki se premika ali miruje.

2.1 Izriv toka (SKIN EFEKT)

V vseh vrstah vodnikov je prisoten fizikalni pojav, ki je lastnost spreminjajočega se ali

izmeničnega toka. V električnem vodniku teče izmenični električni tok tako, da je gostota

električnega toka večja blizu površine vodnika in manjša v njegovem jedru ali sredini.

4

Gostota enosmernega toka je enakomerno porazdeljena po preseku vodnika in je

konstantna.

Pri izmeničnem toku I (slika 2.1) se v vodniku inducira napetost, ki požene vrtinčni tok Iw

(slika 2.1).

Slika 2.1: Prikaz vrtinčnih tokov (Iw).

Lenzovo pravilo pravi, da ima magnetno polje induciranega toka nasprotno smer kot

prvotno magnetno polje. Z naraščanjem električnega toka narašča magnetno polje. V

sredini vodnika ima električno polje nasprotno smer električnemu toku. Ravno obratno je

na robu vodnika, kjer ima električno polje enako smer kot električni tok. Zaradi izrinjenja

toka iz sredine proti površini vodnika je tokovna gostota na površini mnogo večja kot v

sredini. Zgodi se lahko, da tok v sredini vodnika teče v nasprotni smeri kot skupni tok. Višja

kot je frekvenca, večji je učinek izriva toka proti površju vodnika [8].

Problem skin efekta je pri nižjih frekvencah zanemarljiv (elektroenergetika). Pri visokih

frekvencah (elektronika) pa rešujemo ta problem z večjim številom tankih med seboj

izoliranih pramenov. Pri najvišjih frekvencah uporabljamo votle vodnike, ki imajo površino

vodnika, obdano s srebrom [9].

Iw

B

I

5

2.2 Gostota električnega toka

Gostoto električnega toka velikokrat označimo kot gostoto toka. Ta veličina je določena kot

kvocient med električnim tokom in presekom vodnika, skozi katerega teče tok (2.2):

𝐽 =𝐼

𝑆 (2.2)

Tu je:


I – električni tok (A),

S – presek vodnika (m2).

Če tok prestopa ploskev prereza ravnega vodnika pravokotno in enakomerno po ploskvi,

določa gostoto električnega toka J na tej ploskvi kar kvocient absolutne vrednosti toka i

skozi ploskev in površine ploskve S (2.3).

𝐽 =|𝑖|

𝑆 (2.3)

Slika 2.2: Prikaz poteka toka skozi ploskev.

6

Primeren presek vodnika izbiramo na podlagi:

- pričakovanega toka v vodniku,

- sprejemljive gostote toka v vodniku.

V primeru bakrenega vodnika spadajo v sprejemljive vrednosti gostote toka vse tiste

vrednosti, ki so pod 4 A/mm2 ali 4 MA/m2. Če je gostota toka prevelika, povzroči čezmerno

segrevanje vodnika in s tem posledično poškoduje vodnik. V tem primeru je treba vodnik

hladiti z zrakom ali tekočino, da ne pride do temperaturne preobremenitve.

Velik vpliv na gostoto toka ima hitrost naboja. Vzdolž vodnika s presekom S se prosti

elektroni premikajo s hitrostjo v. Spodnja slika prikazuje premik skupine nabojev za pot ∆𝑙

v času od 𝑡 do 𝑡 + ∆𝑡.

Slika 2.3: Premik skupine nabojev.

S tem dobimo ustreznejšo enačbo (2.4) za gostoto električnega toka, saj je po definicij tok

i v vodniku v desno smer enak kvocientu ∆𝑄

∆𝑡 (2.4).

7

𝐽 =|𝑖|

𝑆=

|∆𝑄|

𝑆∆𝑡=

|∆𝑄|

𝑆∆𝑡∙∆𝑙

∆𝑙=

|∆𝑄|

𝑆∆𝑙∙∆𝑙

∆𝑡= |𝜌|𝑣 (2.4)

Tu je:


i – električni tok (A),

S – presek vodnika (m2),

Q – množina naboja (C),

𝜌 – prostorninska gostota skupine nabojev (C/m3),

v – hitrost skupine nabojev (m/s),

t – čas (s),

l – dolžina vodnika (m).

Izračun (2.4) je natančnejši, ker gostota toka ni vezana le na enakomeren prehod naboja

skozi ploskev, ampak je določena kot produkt, ki ima v različnih točkah na ploskvi različne

vrednosti. Iz enačbe je razvidno tudi, da je gostota električnega toka sorazmerna hitrosti.

Vzroki za nastanek različnih vrednosti tokovne gostote na ploskvi:

- vodnik poljubne oblike,

- ponikalni tok,

- skin efekt ali kožni pojav v vodniku,

- vrtinčni tokovi v vodniku itd.

Če se naboj s prostorninsko gostoto 𝜌 giba vzdolž osi x s hitrostjo vx, potem imamo na voljo

enačbi (2.5):

𝐽𝑥 = ±𝜌𝑣𝑥 (2.5)

8

V skladu z dogovorom, da smer gibanja pozitivnega naboja določa usmeritev toka,

izberemo enačbo (2.6):

𝐽𝑥 = 𝜌𝑣𝑥 (2.6)

Enak postopek velja tudi za komponente gostote toka vzdolž osi Y in Z. Če združimo vse

komponente, dobimo naslednji vektorski izraz (2.7):

𝐽𝑥 = 𝜌𝑣𝑥 , 𝐽𝑦 = 𝜌𝑣𝑦, 𝐽𝑧 = 𝜌𝑣𝑧 → (𝐽𝑥 , 𝐽𝑦, 𝐽𝑧) = 𝜌(𝑣𝑥 , 𝑣𝑦, 𝑣𝑧) → 𝐉 = 𝜌𝐯 (2.7)

Absolutna vrednost vektorja gostote električnega toka J nam poda začetni izraz (2.8).

𝐽 = |𝐽| = √𝐽𝑥2 + 𝐽𝑦2 + 𝐽𝑧2 = √𝜌2𝑣𝑥2 + 𝜌2𝑣𝑦

2 + 𝜌2𝑣𝑧2 = |𝜌||𝑣| = |𝜌|𝑣 (2.8)

Pri opisu gostote toka uporabljamo tudi grafični način, ki temelji na shemi pretočnih cevk

(slika 2.4). Te cevke ponazarja vodnik, grajen iz več majhnih vodnikov, po katerih se tok

porazdeli. Vsota tokov teh cevk je enaka toku celega vodnika.

Slika 2.4: Grafični prikaz pretočnih cevk.

Pri predstavitvi gostote električnega toka z grafičnim načinom, shemo pretočnih cevk

opremimo z vektorji (slika 2.5). Absolutna vrednost vektorja gostote toka J je večja tam,

9

kjer je cevka ozka. V predelih, kjer je cevka širša, je absolutna vrednost vektorja gostote

toka J manjša.

Slika 2.5: Shema pretočnih cevk gostote toka.

Produkt površine ∆S cevke in absolutne vrednosti gostote toka J na tistem mestu izraža tok

∆i skozi tisto cevko [12].

2.3 Fazni zamik

Fazni zamik (slika 2.6) drugače označujemo tudi kot fazni kot, saj ga izrazimo v enotah za

merjenje kota (stopinje ali radiani) ali pa ga preračunamo v časovni zamik ter ga izrazimo v

nihajnih časih. Fazni zamik je pri nihanju razlika med nihanjem dveh faz z enako frekvenco,

pri valovanju pa razlika med fazama dveh valovanj z enako frekvenco v določeni točki

prostora. Izrazi se lahko s preračunano razliko poti v valovnih dolžinah [14].

Na področju elektroenergetike se najpogosteje srečujemo s faznim premikom med tokom

in napetostjo. Ima poseben pomen, saj so od njega odvisne naslednje količine:

- električno delo izmeničnega toka,

- električna moč izmeničnega toka,

- električne izgube energije v električnih napravah in omrežjih.

10

Slika 2.6: Fazni zamik.

Izmenični količini enakih frekvenc sta v fazi, če imata v vsakem trenutku enako smer. Kadar

pa spremenita smer na podlagi določene časovne razlike ∆𝑡, med njima nastane fazni

premik. V primeru, da prva izmenična količina spremeni smer prej kot druga, pravimo, da

prehiteva drugo količino in obratno. Zaradi zapletenosti in zamudnega risanja časovnih

diagramov za prikaz faznih zamikov uporabljamo kazalčne diagrame (slika 2.7).

Slika 2.7: Kazalčni diagram.

11

Kot že povedano, izmenična količina z večjim začetnim kotom prehiteva drugo, ki ima

manjši začetni kot z razliko začetnih kotov.

Izraza sinusne napetosti (2.9) in toka (2.10):

𝑢 = 𝑈𝑚 ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝛼0𝑢) (2.9)

Tu je:

u – električna napetost (V),

Um – temenska vrednost kazalca električne napetosti (V),

𝛼0u – začetni kot kazalca električne napetosti (°).

𝑖 = 𝐼𝑚 ∙ sin(𝜔𝑡 + 𝛼0𝑖) (2.10)

Tu je:

i – električni tok (A),

Im – temenska vrednost kazalca električnega toka (A),

𝛼0𝑖 – začetni kot kazalca električnega toka (°).

Fazni kot določimo z razliko začetnih kotov napetosti in toka z izrazom (2.11):

𝜑 = 𝛼0u − 𝛼0i (2.11)

Tu je:

𝜑 – fazni kot (°),

𝛼0𝑢 – začetni kot kazalca električne napetosti (°),

𝛼0𝑖 – začetni kot kazalca električnega toka (°).

12

Slika 2.8: Fazni kot.

Iz slike 2.8 je razvidno, da se kazalci vseh količin z enako frekvenco v kazalčnem diagramu

vrtijo v isti smeri z enako krožno frekvenco 𝜔. Fazni premiki med kazalci se med vrtenjem

kazalcev ohranjajo, in kadar sta kazalca v fazi, se prekrivata [13].

2.4 Joulske izgube

Joulske izgube nastanejo, kadar skozi vodnik teče električni tok in so glavni razlog za

pregrevanje vodnika. Izračunamo jih na podlagi tokovne gostote. Kadar je tok enosmeren,

je v dolgem ravnem vodniku tokovna gostota porazdeljena enakomerno. Takrat lahko

joulske izgube izračunamo na enostaven način iz ohmske upornosti in električnega toka. Pri

izmeničnem toku in določeni frekvenci je porazdelitev tokovne gostote v osamljenem

vodniku odvisna od posledic kožnega pojava in je razporejena neenakomerno in simetrično.

V vodnikih lahko joulske izgube izračunamo na več načinov. Eden izmed njih je izračun na

13

podlagi Poytingovega vektorja Pp. Poytingov vektor je vektorska spremenljivka, ki opisuje

velikost pretoka energije elektromagnetnega polja in njegovo smer. Izračun joulskih izgub

izvedemo z integracijo Poytingovega vektorja po zaključeni ploskvi, v kateri želimo določiti

joulske izgube PCu.

𝑃Cu = ∯(𝐄 × 𝐇)𝑑𝐒 (2.12)

Tu je:

E – električna poljska jakost (V

m),

H – magnetna poljska jakost (A

m),

S – ploskev (mm2).

V enačbi (2.12) so podane ustrezne komponente vektorjev električne poljske jakosti E in

magnetne poljske jakosti H določenih vrednosti E = (0, 0, Ez) in H = (0, Hϕ, 0).

Vektorski produkt E in H predstavlja Poytingov vektor Pp, ki je predstavljen z izrazom (2.13):

Pp = 𝐄 × 𝐇 = −1 rEz𝐻ϕ = −1 rPp (2.13)

Tu je:

Ez – komponenta električne poljske jakosti v z smeri (𝑉

𝑚),

𝐻𝜙– komponenta magnetne poljske jakosti v y smeri (𝑉

𝑚).

Element ploskve dS je predstavljen z izrazom (2.14).

𝑑𝐒 = 1𝑟 𝑅0𝑑𝜙𝑑𝑧 (2.14)

Tu je:

𝑅0 – polmer okroglega vodnika (m).

14

Joulske izgube v vodniku, ki so posledica kožnega pojava, lahko izračunamo na podlagi

združitve prejšnjih izrazov (2.12), (2.13) in (2.14). Združene izraze predstavimo v

naslednjem izrazu (2.15):

P = ∯(𝐄 × 𝐇)𝑑𝐒 = −∫ ∫ 𝐸𝑧0

1

2

−1

2

2𝜋

0𝐻𝜙

0𝑅0𝑑𝜙𝑑𝑧 (2.15)

Tu je:

P – joulske izgube (W).

Na sliki 2.9 je prikazan Poytingov vektor −1𝑟 𝑃p v cilindričnem koordinatnem sistemu za

primer vodnika okroglega prereza [10].

Slika 2.9: Poytingov vektor v cilindričnem koordinatnem sistemu.

2.5 Vrednost RMS

Izraz vrednost RMS (Root-Mean-Squared) je definirana kot vrednost izmenične električne

energije, ki proizvede enako količino toplotne energije kot enosmerna električna energija

(slika 2.10). Vrednost RMS je podana kot kvadratni koren povprečne vrednosti kvadratne

trenutne vrednosti. Simbola, s katerima označujemo vrednost RMS napetosti in toka, sta

URMS in IRMS.

15

Izraz vrednost RMS se nanaša samo na časovno spremenljive sinusoidne napetosti, tokove

ali kompleksna valovanja, kjer se magnituda valovanja časovno spreminja in ni komponenta

analiz enosmerne električne energije, pri kateri je magnituda vedno konstantna. Kadar se

vrednost RMS uporablja za primerjavo z izmenično napetostno vrednost RMS sinusne

oblike, ki napaja breme ekvivalentno enosmernemu tokokrogu, se vrednost RMS imenuje

»efektivna vrednost« in je splošno predstavljena kot Ueff ali Ieff.

Z drugimi besedami, efektivna vrednost je enakovredna enosmerni vrednosti. Pove nam,

koliko voltov ali amperov izmenične električne energije imamo na razpolago za proizvodnjo

enake moči kot pri enosmerni električni energiji. Če izpostavimo primer, da je dobava

električne energije v domače omrežje v Sloveniji 230 V, se predpostavlja, da je efektivna

vrednost (RMS) enaka 230 V.

2.6 Izračun vrednosti RMS

Izračun RMS izmenične napetosti je določen z dvema osnovnima metodama:

- grafična metoda (določanje vrednosti RMS z risanjem razdelkov v koordinatnem

sistemu);

- analitična metoda (matematični proces, s katerim izračunamo efektivno vrednost

RMS katerekoli periodične napetosti ali toka [11]).

2.7 Grafična metoda za izračun RMS

Čeprav ta metoda velja za celotno periodo, se bomo omejili samo na pozitivni del. Efektivno

vrednost RMS lahko dovolj natančno določimo z razdelitvijo površine sinusne funkcije v

koordinatnem sistemu na med seboj enako oddaljene ordinate po periodi (v našem

16

primeru imamo polovico periode zaradi obravnave pozitivnega dela koordinatnega

sistema). Bolj kot na fino razdelimo periodo, bolj natančni so rezultati (slika 2.11).

Slika 2.10: Grafična metoda za izračun vrednosti RMS.

Vsaka vmesna ordinatna vrednost v pozitivni polovici periode je množena s seboj

(kvadrirana) in prišteta k vsoti prejšnjih. Ta metoda nam da kvadrirani del vrednosti RMS

napetosti. Kvadrirano vrednost delimo s številom vseh ordinat in dobimo povprečno

vrednost kvadratov. S kvadratnim korenom prejšnjih rezultatov dobimo vrednost URMS.

Tako dobimo definicijo URMS, kot je prikazana v izrazu (2.18): [11]

𝑈RMS = √𝑣𝑠𝑜𝑡𝑎 𝑣𝑚𝑒𝑠𝑛𝑖ℎ 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 (𝑛𝑎𝑝𝑒𝑡𝑜𝑠𝑡𝑖)2

š𝑡𝑒𝑣𝑖𝑙𝑜 𝑣𝑚𝑒𝑠𝑛𝑖ℎ 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑡 (2.18)

2.8 Analitična metoda za izračun RMS

Grafična metoda je uspešna pri iskanju efektivne ali RMS napetosti (ali toka) pri

nesimetrični ali sinusoidni obliki valovanja, ki je nenavadna. Z drugimi besedami, oblika vala

spominja na kompleksne valovne oblike. S pomočjo analitičnega ali matematičnega

postopka si lahko izračunavanje vrednosti RMS zelo poenostavimo.

17

Periodična sinusna napetost je konstantna in je lahko definirana kot U(t)=Umcos(ωt) s

periodo T. Tako lahko izračunamo vrednost RMS sinusne napetosti (U(t)) z naslednjim

izrazom (2.16):

𝑈𝑅𝑀𝑆 = √1

𝑇∫ 𝑈𝑚

2𝑇

0cos2(ω𝑡)d𝑡 (2.16)

Integriranje z limitami od 0 do 360° ali T nam poda vrednost izraza (2.17): [11]

𝑈𝑅𝑀𝑆 = √𝑈𝑚

2

2𝑇[𝑡 +

1

2ωsin(2ω𝑡)]

0

𝑇

(2.17)

2.9 Enačba napetosti RMS

Napetost RMS sinusne oblike je določena z zmnožkom maksimalne vrednosti napetosti

(Um) in konstante 0,7071. Dobimo jo z izrazom (2.18):

𝑘 =1

√2 (2.18)

Napetost RMS, ki je ekvivalentna efektivni vrednosti, ni odvisna od frekvence sinusnega

vala ali faznega kota, ampak samo od magnitude sinusnega vala. Celoten izraz za izračun

napetosti RMS podamo z izrazom (2.19):

𝑈RMS = 𝑈m × 𝑘 = 𝑈m ×1

√2= 𝑈m × 0,7071 (2.19)

Množenje maksimalne vrednosti napetosti s konstanto velja samo pri sinusnih veličinah. Za

nesinusne oblike moramo uporabiti grafično metodo.

18

Kadar imamo opravka z izmeničnimi napetostmi ali tokovi, se soočamo s vprašanjem, kako

predstaviti njihove magnitude. Eden izmed enostavnih načinov je uporaba vrha napetosti

v sinusnem valu. Druga podobna metoda je uporaba efektivne vrednosti, ki je tudi znana

kot vrednost RMS. Vrednost RMS se razlikuje od povprečne vrednosti izmeničnih veličin.

Razmerje RMS in maksimalne vrednosti napetosti je enako kot razmerje med tokom RMS

in maksimalnim tokom. Večino merilnih instrumentov, kot sta voltmeter in ampermeter,

izračunavajo RMS vrednost na podlagi predvidevanja, da ima merjena veličina čisto sinusno

obliko. Za meritve RMS pri nesinusoidnih signalih potrebujemo merilni instrument za

izvajanje meritev prave RMS vrednosti.

Če povzamemo, RMS vrednost sinusnega toka proizvede enako količino toplotne energije

kot enaka vrednost enosmernega toka. Če enosmerni tok potuje skozi upor R, je poraba

električne energije skozi upor enaka izrazu (2.20) in jo označimo kot proizvedeno moč:

𝑃 = 𝐼2 × 𝑅 (2.20)

Če skozi isti upor steče izmenični tok (𝑖 = 𝐼m × sin θ), je pretvorjena električna energija v

moč enaka izrazu (2.21):

𝑃 = 𝐼RMS2 × 𝑅 (2.21)

Kadar se ukvarjamo z izmeničnimi napetostmi ali tokovi, jih je treba vedno obravnavati kot

vrednosti RMS, razen če je navedeno drugače. Zato bo imel izmenični tok, npr. 10 (A), enak

učinek kot enosmerni tok 10 A [11].

2.10 Opredelitev vodnikov

Vodnike, ki jih uporabljamo na področju elektrotehnike, delimo glede na:

- zgradbo vodnika,

- materiale, iz katerih so narejeni,

19

- vrsto izolacije,

- konstrukcijo,

- presek itd. [6].

Zgradbo vodnika določamo po njegovih oblikah:

- masivni (enožilni),

- večžilni,

- ravni,

- zaviti vodnik,

- okrogli,

- sektorski,

- fino žični itd. [6].

Materiali, iz katerih so narejeni električni vodniki, so različni, saj moramo upoštevati, da

imajo njihove zlitine in primesi različne električne in mehanske lastnosti, ki so pomembne

za obstojnost vodnika pri različnih ekstremnih pogojih. Vodniki nizkonapetostnih omrežij

so izdelani predvsem iz zlitin aluminija (Al), magnezija (Mg) in silicija (Si), ki so odporne na

večje obremenitve pri nadzemnih vodih zaradi večje mehanske trdnosti, ali pa samo iz

aluminija, če dimenzioniramo podzemne vode [5]. Električni vodniki, ki jih uporabljamo v

različnih napeljavah in sistemih, pa zahtevajo večje tokovne obremenitve ter maksimalno

električno prevodnost in so izdelani predvsem iz bakra (Cu). Vrednost specifične električne

prevodnosti bakra je 56 [Ω-1m-1], aluminija pa 34 [Ω-1m-1 ] [6].

Izolacija električnih vodnikov je pomembna predvsem za zaščito vodnika proti mehanskim

poškodbam, vremenskim pojavom in medsebojnim vplivom drugih vodnikov. Z barvo

izolacije si poenostavimo tudi prepoznavanje vodnikov. Materiali izolacij so določeni glede

na namen in stopnjo zaščite vodnika. Sestavljeni so iz mnogih elementov, kot so na primer:

- PVC,

- silikonska guma,

- mineralna vlakna,

- naravna in sintetična guma,

20

- tekstilni elementi itd. [6].

Konstrukcija določa vodnikom dodatne lastnosti, ki jih potrebujejo za kljubovanje

mehanskim obremenitvam in izpolnjevanje določenih zahtev za dimenzioniranje vodnika:

- vodnik z dodatnimi elementi za nošenje,

- vodnik s centralnim elementom, ki ni za nošenje,

- komunikacijski vodnik v energetskem kablu,

- ploščat vodnik,

- deljiv vodnik,

- nedeljiv vodnik,

- več izolacijskih omotov,

- spiralni vodnik itd. [6].

Presek vodnika ima velik vpliv na električno energijo, ki se pretaka po vodniku. Z njim

določamo varnostne meje tokovne preobremenitve vodnika, ki nastanejo zaradi

premajhnih presekov vodnika. Z zadostno velikim presekom lahko znižamo padce napetosti

in s tem preprečimo motnje delovanja naprav. To se bolj izrazi pri nizkih napetostih, kot so

0–10 V, 12 V in 24 V. Vodniki so izdelani v standardiziranih presekih:

- 0,5 mm2,

- 0,75 mm2,

- 1,0 mm2,

- 1,5 mm2,

- 2,5 mm2,

- 4 mm2,

- 6 mm2,

- 10 mm2,

- 16 mm2,

- 25 mm2,

- 35 mm2,

- 50 mm2,

- 70 mm2,

21

- 95 mm2,

- 120 mm2,

- 150 mm2,

- 185 mm2,

- 240 mm2,

- 300 mm2,

- 400 mm2,

- 500 mm2 [6].

3 PROGRAM OPERA ZA IZVAJANJE ANALIZ

ELRKTROMAGNETNIH POLJ

3.1 Program OPERA

OPERA je program za izvajanje analiz statičnega in časovno spremenljivega

elektromagnetnega polja. Ta programska oprema je na trgu že več kot 20 let in zajema več

kot 100 let razvoja elektromagnetike. Zaradi izjemno natančne simulacije zagotavlja

učinkovito izvedbo, kar omogoča hitre rešitve kompleksnih problemov na namiznem

računalniku ali prenosniku [3].

Program je sestavljen iz treh glavnih delov:

- 2D ali 3D sestavljalnika modelov,

- matematičnega reševalnika elektromagnetnih in multifizikalnih simulacij in

- post procesorja.

22

Sestavljalnik modelov (modeller) je namenjen sestavljanju geometrijskih modelov

različnih oblik, na katerih opravljamo analize. Izbiramo lahko med vnaprej pripravljenimi

telesi:

- valj,

- krogla,

- stožec,

- piramida in

- kvader.

Po oblikovanju modela nam Opera omogoča še:

- definiranje materialov,

- definiranje robnih pogojev in

- izdelavo diskretizacije modela.

Ko je izdelava modela zaključena, je pripravljen na analizo [4].

Matematični reševalnik je namenjen izračunavanju stanj v izdelanem modelu na podlagi

različnih tipov izračunov, kar omogočajo različni moduli z ustreznimi metodami.

Post procesor obdela izračunane rezultate polja in pridobiva informacije na podlagi

simulacij obravnavanega modela. Omogoča nam različne prikaze:

- prikaz izgub,

- porazdelitve polja,

- temperature itd.

Ker je program Opera odlično orodje za prikazovanje in izračun lastnosti

elektromagnetnega polja, ga lahko uporabimo za različne namene in načrtovanja:

- elektromotorjev,

- generatorjev,

- aktuatorjev,

- senzorjev,

- izračun električnih izgub in interferenc,

23

- izolacije in ozemljitev,

- ostalih elementov, odvisnih od elektromagnetnega polja.

3.2 Geometrijsko modeliranje vodnika

V laboratorijskem delu magistrske naloge smo modelirali in dimenzionirali tri vodnike, ki

smo jih obravnavali posamezno in jih med seboj primerjali. Vsi vodniki, na katerih smo

izvajali analizo električnih izgub, so bili bakreni in naslednjih izvedb:

- masivni vodnik,

- pramenasti ravni vodnik,

- pramenasti zaviti vodnik.

V vseh treh primerih je skupni presek vodnika enak in znaša 3.14 mm2.

Pri modeliranju masivnega vodnika smo določili (slika 3.1):

- premer (1 mm),

- dolžino (500 mm),

- položaj začetka vodnika v koordinatnem sistemu (x = 0, y = 0).

24

Slika 3.1: Modeliranje masivne oblike vodnika.

Slika 3.2: Določitev elektromagnetnih lastnosti vodnika za primer stacionarnega izračuna

elektromagnetnega polja.

Pri določanju elektromagnetnih lastnosti materiala vodnika, postavljenega v harmonično

(stacionarno) elektromagnetno polje, smo upoštevali (slika 3.2):

- material vodnika (baker),

25

- izotropno specifično električno prevodnost bakra 5,7∙107 S/m-1,

- konstantno relativno permeabilnost 1 in

- zamik faznega kota, ki je enak 0.

Slika 3.3: Določitev robnih pogojev.

Določanje robnih pogojev vodnika zahteva razdelitev vodnika na ploskve, ki imajo različne

elektromagnetne lastnosti (slika 3.3). Vodnik smo razdelili na štiri glavne ploskve in jim

določili tip elektromagnetnih robnih pogojev (Normal electric + voltage) ter vrednost

konstantne električne napetosti ploskve 0,5 V.

Modeliranje vodnika smo izvedli dvostopenjsko. V prvi stopnji smo definirali vodnik brez

okolice, v drugi stopnji pa vodnik z okolico. S tem smo upoštevali vplive okolice na vodnik.

26

Masivni vodnik brez okolice (slika 3.4) in z okolico (slika 3.5):

Slika 3.4: Masivni vodnik brez okolice.

Slika 3.5: Masivni vodnik z okolico.

Pramenasti ravni vodnik brez okolice (slika 3.6) in z okolico (slika 3.7):

Slika 3.6: Pramenasti ravni vodnik brez okolice.

27

Slika 3.7: Pramenasti ravni vodnik z okolico.

Pramenasti zaviti vodnik brez okolice (slika 3.8) in z okolico (slika 3.9):

Slika 3.8: Pramenasti zaviti vodnik brez okolice.

Slika 3.9: Pramenasti zaviti vodnik z okolico.

28

Za lažjo predstavo dimenzioniranja smo v programu AUTOCAD izrisali model pramenastega

vodnika z dimenzijami žic ter razmikov med njimi (slika 3.10). Na podlagi tega izrisanega

modela smo fizično izdelali vodnik in ga tudi računalniško modelirali v programskem okolju

Opera.

Slika 3.10: Prerez vodnika z dimenzijami v milimetrih.

3.3 Fizična izdelava vodnikov

V laboratoriju smo za namen primerjave rezultatov meritev in rezultatov analiz vodnik tudi

fizično izdelali.

Osnovni podatki vodnika:

- premer: 1 mm2,

- material: baker,

- izolacija: izolacijski lak,

- število vseh žic: 7.

29

Merilni instrumenti in ostali uporabljeni materiali:

- osciloskop,

- tokovne klešče,

- leseni distančniki za priključitev žic,

- lesena podlaga za pritrditev pramenastega vodnika,

- žica 0,25 mm2 s funkcijo zaščitnega opleta,

- dovodni vodnik NMY-J 3x1,5 mm2,

- lestenčne sponke,

- termo skrčke.

Sedem žic s premerom 1 mm2 smo narezali na dolžino 500 mm. Razporedili smo jih tako,

da so bile ena na sredini, ostalih šest pa enakomerno oddaljenih od sredinske in enako

oddaljene med seboj. Za to razporeditev smo uporabili lesen distančnik, ki smo mu navrtali

luknje. Te so bile enakomerno oddaljene druga od druge (slika 3.11). Za pritrditev

izdelanega vodnika smo uporabili enako žico kot za izdelavo vodnika. Da so žice v vodniku

obdržale obliko, smo uporabili termo skrčke, ki imajo funkcijo izolacije in fiksiranja.

Slika 3.11: Prikaz pramenastega vodnika.

30

Za pritrditev napajalnega vodnika na žice s premerom 1 mm2 so bile uporabljene lestenčne

sponke (slika 3.12).

Slika 3.12: Pramenasti zaviti vodnik dolžine 500 mm.

Slika 3.13: Postavitev tokovnih klešč.

31

Ob središču vodnika sta bili speljani dve tanki žički. Na eni strani vodnika smo prispajkali

tanko žico s premerom 0,1 mm2. Speljali smo jo na drugo stran vodnika po njegovi

notranjosti, kjer smo jo prepletli z drugo prispajkano žico, da bi se izognili dodatni inducirani

napetosti, ki jo povzroča magnetno polje okrog vodnika. Žice so bile obdane s tokovnimi

kleščami, ki smo jih priključili na osciloskop (slika 3.13 in slika 3.14). Na ta način smo merili

tok v vodniku, ki je bil v centru in enem izmed stranskih vodnikov.

Slika 3.14: Priključitev tokovnih klešč na osciloskop.

32

4 MERITVE IN ANALIZA

Meritve in analiza električnih izgub vseh treh vodnikov (masivni, pramenasti ravni in

pramenasti zaviti vodnik) so potekale pri napetosti U = 0,5 V in frekvenci 1 kHz. Rezultati so

prikazani v odvisnosti od faznega kota t v območju od 0° do 180°.

4.1 Masivni vodnik

4.1.1 Joulske izgube masivnega vodnika

V prvem primeru meritev smo se osredotočili na joulske izgube (W) pri frekvenci 1 kHz in

vrednosti podali v Excelovi tabeli, kjer smo oblikovali grafikon za lažjo predstavo (slika 4.1).

Slika 4.1: Joulske izgube masivnega vodnika.

Opazovali smo vrednosti joulskih izgub pri različnih faznih kotih, ki smo jih izbirali po koraku

10° v območju od 0° do 180°. Ugotovili smo, da so joulske izgube največje pri faznem kotu

30° in najmanjše pri 120°.

331

392433 449 438

402

344

272

194

120

5918 2 13

49

107

179

257

331

050

100150200250300350400450500

Jou

lske

izgu

be

(W

)

Fazni kot (°)

Joulske izgube v Watt-ih (W) pri U=0,5V v odvisnosti faznega kota (°)

33

Analiza rezultatov nam je podala še naslednje vrednosti:

- povprečna vrednost (znaša približno 225 W na sliki 4.2),

Slika 4.2: Povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika.

- maksimalna vrednost (znaša približno 449 W na sliki 4.3).

Slika 4.3: Maksimalna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika.

Joulske izgube smo določili tudi z računalniškim integriranjem produkta tokovne gostote J

in električne poljske jakosti E po volumnu vodnika (slika 4.4).

Slika 4.4: Integralni izračuni joulskih izgub masivnega vodnika.

330,541

391,777432,906448,966438,021

401,39

343,493

271,311

193,552

119,594

58,35817,2291,16912,114

48,744

106,642

178,824

256,583

330,541

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Jou

lske

izgu

be

(W

)

Fazni kot (°)

Integralni izračuni joulskih izgub veličin J in E

34

Metode, po katerih smo računalniško izračunavali joulske izgube, lahko označimo za

ustrezne, saj so bila odstopanja med načini izračunov zelo majhna.

Povprečna vrednost izračunov znaša približno enako kot pri meritvah (slika 4.5).

Slika 4.5: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub masivnega vodnika (10-3 W).

4.1.2 Električni tok masivnega vodnika

Zraven joulskih izgub smo spremljali tudi električni tok (A) v vodniku pri enakih faznih kotih

od 0° do 180° kot v prejšnjem primeru (slika 4.6).

Slika 4.6: Tok v masivnem vodniku.

V primerjavi z joulskimi izgubami ima krivulja toka obliko sinusoide.

442,2459,9483,6492,7486,8466431,2383,2323,6

254,2177

94,623,8

-76,8-160,1

-238,6-309,8

-371,7-442,2

-600

-400

-200

0

200

400

600

Tok

(A)

Fazni kot v (°)

Tok (A) na začetku vodnika v odvisnosti od faznega kota (°)

35

4.1.3 Tokovna gostota masivnega vodnika

Modele, ki smo jih zasnovali na podlagi omenjenih podatkov, smo označili s porazdelitvijo

tokovne gostote J in jo grafično predstavili z barvno lestvico po celotnem vodniku. Ti primeri

nam nazorno pokažejo, kaj točno se dogaja s tokovno gostoto v vodniku pri določenem

faznem kotu (slika 4.7, 4.8, 4.9 in 4.10). Predstavljajo nam tudi skin efekt.

Slika 4.7: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 0° in 180°.

36

Slika 4.8: Tokovna gostota masivnega vodnika pri faznem kotu 30°.


37


Za masivni vodnik je tokovna gostota pri prikazanih faznih kotih, kot sta 30° in 60° enaka

kot pri 120° in 150°, zato je nismo posebej poudarjali.

4.2 Pramenasti ravni vodnik

4.2.1 Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika

Na sliki 4.11 so prikazane joulske izgube pramenastega ravnega vodnika.

Slika 4.11: Joulske izgube pramenastega ravnega vodnika.

377

434467 472

449401

333

252

171

98

418 3

2674

143

222

304

377

050

100150200250300350400450500

jou

lske

izgu

be

(W

)

Fazni kot (°)


38

Analiza rezultatov nam je podala še naslednje vrednosti:

- povprečna vrednost joulskih izgub (znaša približno 238 W na sliki 4.12),

Slika 4.12: Povprečna vrednosti joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika.

- maksimalna vrednost joulskih izgub (znaša približno 474 W na sliki 4.13).

Slika 4.13: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika.

Integralni izračun joulskih izgub smo opravili na enak način kot pri masivnem vodniku. Kakor

vidimo, so tudi tukaj odstopanja zelo majhna, kar pomeni, da so rezultati te metode odlični

približki analiz (slika 4.14).

Slika 4.14: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika.

378

434467 472

449

401

332

253

171

97

418 3

26

74

143

222

304

378

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Jou

lske

izgu

be

(W

)

Fazni kot (°)


39

Povprečna vrednost izračunov znaša približno enako kot pri analizi (slika 4.15).

Slika 4.15: Izračunana povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega ravnega vodnika znaša 237 W (pomnoženo z 10-3 W).

4.2.2 Električni tok pramenastega ravnega vodnika

Merjenje električnega toka (A) v vodniku smo opravili tudi za pramenasti ravni vodnik, pri

enakih faznih kotih od 0° do 180° kot v prejšnjih primeru (slika 4.16).

Slika 4.16: Tok v masivnem vodniku.

469,3532,5552,5555,7542511,9466,2

406,3334,1

251,8161,8

67-34,3

-126,2-218,4

-304-380,3

-445,1-496,3-600

-400

-200

0

200

400

600

800

Tok

(A)

Fazni kot (°)


40

4.2.3 Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika

Slika 4.17: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°.

Slika 4.18: Tokovna gostota pramenastega ravnega vodnika pri faznem kotu 30°.

41



Kot pri masivnem vodniku tudi tukaj nimamo prikaza tokovne gostote faznih kotov 120° in

150°, ker sta enaka 30° in 60° faznim kotom, zato smo prikazali samo rezultate pri faznih

kotih 0° (slika 4.17), 30° (slika 4.18), 60° (slika 4.19), 90° (slika 4.20) in 180° (slika 4.17).

42

4.3 Pramenasti zaviti vodnik

4.3.1 Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika

Slika 4.21: Joulske izgube pramenastega zavitega vodnika.

Zraven joulskih izgub (slika 4.21) smo opravili analizo ostalih vrednosti (slika 4.22):

- povprečna vrednost (znaša približno 224 W),

Slika 4.22: Povprečna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika.

- maksimalna vrednost (znaša približno 447 W na sliki 4.23).

Slika 4.23: Maksimalna vrednost joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika.

366416

443 443417

368

302

226

149

8232

5 430

79

146

222

299

366

050

100150200250300350400450500

Jou

lske

izgu

be

(W

)

Fazni kot (°)


43

Slika 4.24: Integralni izračun joulskih izgub pramenastega zavitega vodnika.

Prikazali smo tudi povprečno vrednost joulskih izgub metode integralskih izračunov (slika

4.24). Približna povprečna vrednost integralnih izračunov je 223 W (slika 4.25).

Slika 4.25: Povprečna vrednost joulskih izgub (pomnoženo z 10-3 W).

365

415442 442

416

367

301

225

149

81

315 4

30

79

146

222

298

365

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

Jou

lske

izgu

be

(W

)

Fazni kot (°)


44

4.3.2 Električni tok pramenastega zavitega vodnika

Slika 4.26: Tok v pramenastem zavitem vodniku.

Potek toka v pramenastem zavitem vodniku je predstavljen na sliki 4.26.

4.3.3 Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika

Slika 4.27: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznih kotih 0° in 180°.

460,2491,1506,9507,5492,5462,6418,7362

294,4217,8

134,647,7

-41,7-129,1

-212,6-289,7

-358-415,4-460,2

-600

-400

-200

0

200

400

600To

k (A

)

Fazni kot (°)


45

Slika 4.28: Tokovna gostota pramenastega zavitega vodnika pri faznem kotu 30°.


46


Kot pri ostalih vodnikih tudi tukaj nimamo prikaza tokovne gostote faznih kotov 120° in

150°, ker je enaka 30° in 60° faznim kotom. Prav zato smo prikazali samo rezultate pri faznih

kotih 0° (slika 4.27), 30° (slika 4.28), 60° (slika 4.29), 90° (slika 4.30) in 180° (slika 4.27).

4.3.4 Meritve tokov in napetosti pramenastega ravnega in zavitega vodnika

Pramenastemu zavitemu vodniku, ki smo ga izdelali v laboratoriju, smo merili vrednosti

naslednjih tokov:

- ic (tok v vodniku v centru),

- is (tok v enem izmed šestih stranskih vodnikov),

- isk (skupni tok vodnika),

ter naslednjih napetosti:

- uc (napetost na vodniku v centru),

- us (napetost na enem izmed šestih stranskih vodnikov).

Meritve smo izvedli na štirih različnih izvedbah zavitosti vodnika na dolžini 1 metra pri

frekvenci 1 kHz:

47

- ravni vodnik (slika 4.31),

- 2-krat zaviti vodnik (slika 4.32),

- 5-krat zaviti vodnik (slika 4.33),

- 10-krat zaviti vodnik (slika 4.34).

Slika 4.31: Napetosti in tokovi pramenastega ravnega vodnika.

Slika 4.32: Napetosti in tokovi 2-krat zavitega pramenastega vodnika.

48



Pri primerjavi grafov ravnega pramenastega vodnika in 10-krat zavitega pramenastega

vodnika opazimo, da so vrednosti tokov in napetosti zelo podobne. V primerjavi ravnega in

2-krat zavitega vodnika vidimo razliko v skupnem toku 𝑖sk ter toku šestih stranskih vodnikov

𝑖c + 6 ∙ 𝑖s. Ta sta v ravnem vodniku skoraj enaka, v 2-krat zavitem pa je 𝑖c + 6 ∙ 𝑖s manjši

kot 𝑖sk. V 5-krat zavitem vodniku se omenjena tokova približujeta drug drugemu. V 10-krat

49

zavitem vodniku se skoraj izenačita. Napetosti z večanjem zavitosti vedno bolj zamujajo za

tokovi.

4.4 Primerjava rezultatov meritev

Za lažjo obravnavo rezultatov meritev smo zbrali meritve vseh faznih kotov skupaj in jih

primerjali med seboj.

Masivni vodnik:

- maksimalna vrednost joulskih izgub: 449 W,

- povprečna vrednost joulskih izgub: 225 W,

- maksimalen tok v vodniku pri faznem kotu 30°: 492,7 A,

- minimalen tok v vodniku pri faznem kotu 120°: 23,8 A.

Največjo tokovno gostoto J v vodniku imamo na površini vodnika zaradi skin efekta. Njena

vrednost se giblje od 7,5 v notranjosti do skoraj 9 A/mm2 na obrobju vodnika pri faznem

kotu 0° in 180°. Pri faznem kotu 30° se vrednost tokovne gostote na površini vodnika

ponekod povzpne čez 9,9 A/mm2 in ima največjo vrednost. Pri faznem kotu 60° se tokovna

gostota na površini vodnika zmanjša in doseže vrednost pod 8 A/mm2. V notranjosti

vodnika se tokovna gostota poveča na skoraj 9 A/mm2, kar nam pove, da je v notranjosti

vodnika gostota toka večja kot na površini. Pri faznem kotu 90° se vrednost tokovne gostote

na površini vodnika spusti do 4 A/mm2, v notranjosti pa na 6,5 A/mm2. Vrednosti tokovne

gostote pri 60° in 90° (kar velja tudi za 120° in 150° fazna kota) faznih kotov nam povedo,

da v tem primeru skin efekt ni prisoten, saj je gostota toka v notranjosti vodnika večja kot

na površini.

50

Pramenasti ravni vodnik:




- minimalen tok v vodniku pri faznem kotu 120°: -34,3 A.

Pramenasti ravni vodnik ima pri faznem kotu 0° in 180° najmanjšo tokovno gostoto v

sredinskem vodniku, ki ima vrednost 8,5 A/mm2. Na zunanjih vodnikih, ki obdajajo

notranjega, se na površinah, ki so najbližje okolici, tokovna gostota poveča na 9,4 A/mm2.

V nekaterih točkah na površinah zunanjih vodnikov doseže tudi 9,6 A/mm2. Pri faznih kotih

30° in 120° se tokovna gostota porazdeli po sredinah okolijskih vodnikov, kjer doseže 10,13

A/mm2. V sredinskem vodniku je njena vrednost malo manjša, okoli 10,11 A/mm2. Največjo

vrednost 10,15 A/mm2 ima na tistih površinah okolijskih vodnikov, ki so najbližje

sredinskemu vodniku. Tokovna gostota se bistveno zmanjša pri faznih kotih, kot sta 60° in

150°. Takrat pade vrednost gostote toka na 7,9 A/mm2, na površinah okolijskih vodnikov,

ki so najbližje okolici. V notranjosti snopa se tokovna gostota porazdeli po sredinskem

vodniku ter delih okolijskih vodnikov, ki so blizu sredinskemu vodniku v vrednosti 9 A/mm2.

Pri 90° faznemu kotu je proces porazdelitve tokovne gostote enak, vendar v manjših

vrednostih od 7 A/mm2 do 3,7 A/mm2.

Pramenasti zaviti vodnik:




- minimalen tok v vodniku pri faznem kotu 120°: -41,7 A.

V pramenastem zavitem vodniku je gostota toka bolj enakomerno porazdeljena po

vodnikih kot v prejšnjih dveh primerih. Pri faznih kotih 0° in 180° se vrednost tokovne

gostote po celotnem snopu giblje okoli 10 A/mm2. Pri faznih kotih 30° se gostota toka

51

poveča na 12 A/mm2, ampak je še vedno porazdeljena po celotnem snopu. Simulacija je

pokazala, da se tokovna gostota pri faznih kotih 60° in 120° veča v notranjosti snopa v

vrednosti 10 A/mm2, na robu snopa pa v vrednosti 6 A/mm2. Enak proces je potekal pri

faznih kotih 90° in 150° v vrednostih 8 A/mm2 v notranjosti snopa ter 3 A/mm2 na robu

snopa.

52

5 ZAKLJUČEK

V magistrskem delu smo analizirali izgube masivnega, pramenastega ravnega,

pramenastega zavitega vodnika in njihove tokovne lastnosti. Izsledki so nam pokazali, da

ima pramenasti zaviti vodnik najmanjše izgube. Masivni vodnik ima električne izgube večje

kot pramenasti zaviti vodnik, ampak še vedno manjše kot pramenasti ravni vodnik. Iz tega

sledi, da ima največ izgub pramenasti ravni vodnik, saj je sestavljen iz več manjših masivnih

vodnikov, kjer se električne izgube večajo zaradi medsebojnega vpliva. Pramenasti zaviti

vodnik ima najboljše tokovne lastnosti, saj se zaradi njegove strukture tok enakomerno

porazdeli po vsem snopu, kar pomeni, da oblika izvedbe vodnika bistveno zmanjša izriv

toka. Zaradi tega so vse električne izgube manjše v pramenastem zavitem vodniku.

Pri dimenzioniranju vodnikov moramo predvidevati vse možne položaje, v katerih se lahko

vodnik znajde. Vedeti moramo, za kaj se bo vodnik uporabljal, poznati obratovalno

napetost in vse prisotne tokove, ki nam lahko ob nepravilnem dimenzioniranju uničijo

vodnik. Vodnike lahko danes dimenzioniramo zanesljivo, kar nam omogočajo že znani

izračuni in novodobni materiali, ki so iz dneva v dan boljši in trpežnejši.

53

VIRI

[1] Stanonik, M. Izgube energije v omrežju. Ljubljana: Fakulteta za elektrotehniko, 2016.

Dostopno na: http://lrf.fe.uni-lj.si/e_rio/Seminarji1516/IzgubeVOmrezju.pdf

[2. 5. 2017].

[2] Trelp, M. Teorija elektromagnetnega polja. Maribor: Fakulteta za elektrotehniko,

računalništvo in informatiko, 2011.

[3] Opera – Software for Electomagnetic Design. Velika Britanija: Cobham, 2010.Dostopno

na: https://www.cobham.com/media/637229/cts_vectorfields_opera_240610.pdf [15.

5. 2017].

[4] Jug, M. Analiza magnetnih razmer elektromagneta s kratkostičnim obročem. Maribor:

Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 2016. Dostopno na:

https://dk.um.si/Dokument.php?id=98113 [22. 5. 2017].

[5] Jakše, R. Dimenzioniranje električnih vodov nizko napetostnega zunanjega priključka.

Krško: Fakulteta za energetiko UM, 2014. Dostopno na:

https://dk.um.si/Dokument.php?id=68246 [24. 5. 2017].

[6] Voršič, J. Razdeljevanje električne energije. Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo

in informatiko, 2012. Dostopno na:

http://www.powerlab.um.si/novo2012/Download/REE/Predavanja/Elektricne_napelja

ve_c.pdf [30. 5. 2017].

[7] Kristan, S. Analiza merilnega sistema za merjenje električne energije. Velenje: Fakulteta

za energetiko UM, 2012. Dostopno na: https://dk.um.si/Dokument.php?id=51956

[31. 5. 2017].

http://lrf.fe.uni-lj.si/e_rio/Seminarji1516/IzgubeVOmrezju.pdf%20%5b2

http://lrf.fe.uni-lj.si/e_rio/Seminarji1516/IzgubeVOmrezju.pdf%20%5b2

https://www.cobham.com/media/637229/cts_vectorfields_opera_240610.pdf

https://dk.um.si/Dokument.php?id=98113


http://www.powerlab.um.si/novo2012/Download/REE/Predavanja/Elektricne_napeljave_c.pdf

http://www.powerlab.um.si/novo2012/Download/REE/Predavanja/Elektricne_napeljave_c.pdf


54

[8] Wikipedija. Kožni pojav, 2013. Dostopno na:

https://sl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%BEni_pojav [1. 6. 2017].

[9] Ministrstvo za šolstvo in šport, Projekt eOET-1, Osnove elektrotehnike 1, Kožni pojav.

Dostopno na: http://eoet1.tsckr.si/plus/eOet1_06_01_06-2.html [3. 6. 2017]

[10] Popović Cukovic, J. Načrtovanje navitij transformatorjev za uporovno točkasto

varjenje. Maribor: Fakulteta za elektrotehniko, računalništvo in informatiko, 2013.

Dostopno na: https://dk.um.si/Dokument.php?id=54814 [3. 6. 2017].

[11] Aspencore. Electronic tutorials, RMS voltage. Dostopno na: http://www.electronics-

tutorials.ws/accircuits/rms-voltage.html [6. 6. 2017].

[12] Ministrstvo za šolstvo in šport, Projekt eOET-1, Osnove elektrotehnike 1, Gostota

električnega toka. Dostopno na: http://eoet1.tsckr.si/plus/nivo3S/02/eOet1_3S_02-

15.html [7. 6. 2017].

[13] Ministrstvo za šolstvo in šport. E-elektrotehnika plus, Fazni premik in fazni kot, 2010.

Dostopno na: http://eele.fe.uni-lj.si/wiki/index.php/Fazni_premik_in_fazni_kot

[13. 6. 2017].

[14] Wikipedija. Fazna razlika, 2013. Dostopno na:

https://sl.wikipedia.org/wiki/Fazna_razlika [17. 6. 2017].

https://sl.wikipedia.org/wiki/Ko%C5%BEni_pojav

http://eoet1.tsckr.si/plus/eOet1_06_01_06-2.html


http://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/rms-voltage.html

http://www.electronics-tutorials.ws/accircuits/rms-voltage.html

http://eoet1.tsckr.si/plus/nivo3S/02/eOet1_3S_02-15.html

http://eoet1.tsckr.si/plus/nivo3S/02/eOet1_3S_02-15.html

http://eele.fe.uni-lj.si/wiki/index.php/Fazni_premik_in_fazni_kot

https://sl.wikipedia.org/wiki/Fazna_razlika

55

PRILOGA A

57

PRILOGA B

58

PRILOGA C

analiza izgub v masivnem in pramenastem vodniku · analiza je bila izvedena s programom opera, ki...

Documents