analiza matematica

MI_1_AM_1 MATEMATICA INFORMATICA Analiza matematica 1

ALEGEŢI RÃSPUNSUL CORECT

1) Se consideră şirul de numere reale ( )n nx ∗∈

cu termenul general 1

1 ,!

n

nk

x nk

∗

=

= ∈∑ .

Şirul ( )n n

x ∗∈ are următoarele proprietăţi:

1. este strict crescător, mărginit superior, divergent 2. este strict crescător, mărginit superior, convergent 3. este strict descrescător, mărginit superior, convergent 4. este strict descrescător, mărginit inferior, convergent 5. este strict crescător, mărginit inferior, convergent.

1 1. 2 5. 3 3. 4 2. 5 4.


cu termenul general ( ) 11 1

,n

nx nn

+∗+ −

= ∈ .

Şirul ( )n nx ∗∈

are următoarele proprietăţi: 1. este monoton, este mărginit, este divergent 2. este monoton, este mărginit, este convergent 3. nu este monoton, nu este mărginit, este convergent 4. nu este monoton, este mărginit, este convergent 5. nu este monoton, este mărginit, este divergent.

1 1. 2 3. 3 4. 4 2. 5 5.


cu termenul general

2 2 2 2

sin1 sin 2 sin 3 sin... ,1 2 3n

nx nn

∗= + + + + ∈.


are următoarele proprietăţi: 1. este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir divergent 2. nu este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir convergent 3. este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir convergent 4. nu este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir convergent 5. nu este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir divergent.

1 2. 2 3. 3 1. 4 4. 5 5.


cu termenul general

1 1 11 ... ,2 3nx n

n∗= + + + + ∈ .


are următoarele proprietăţi: 1. este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir divergent 2. nu este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir convergent 3. este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir convergent 4. nu este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir convergent 5. nu este un şir Cauchy (şir fundamental), este un şir divergent.

1 2. 2 3. 3 1. 4 4. 5 5.


cu termenul general 2cos ,n

nx nn

∗= ∈.


are următoarele proprietăţi:

1. este un şir convergent, lim 0nnx

→∞=

2. este un şir divergent 3. este un şir divergent, nu există lim nn

x→∞

4. este un şir divergent, există lim nnx

→∞= +∞


→∞= .

1 1. 2 3. 3 2. 4 4. 5 5.


cu termenul general

2 2 2

1 1 1... ,1 2

nx nn n n n

∗= + + + ∈+ + +

.

Aplicând criteriul „cleştelui”, rezultă că şirul ( )n nx ∗∈


→∞=


x→∞


→∞= +∞


→∞= .

1 1. 2 3. 3 2.

4 4. 5 5.


cu termenul general

( )1 cos ,1n

nx n nn

π= + ⋅ ∈+

.



→∞=


x→∞


→∞= +∞


→∞= .

1 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5.


cu termenul general 2

31

,n

nk

k kx nn k

∗

=

+= ∈

+∑.

Aplicând criteriul „cleştelui”, rezultă că şirul ( )n nx ∗∈


→∞=

2. este un şir convergent, 1lim3nn

x→∞

=

3. este un şir divergent, nu există lim nnx

→∞


→∞= +∞


→∞= .

1 1. 2 5. 3 3. 4 2. 5 4.


cu termenul general

, 11 2 ...

n

nx n

nn

= ≥+ + + .

Aplicând Teorema Stoltz-Césarov, rezultă că şirul ( )n nx ∗∈

are limita 1 -1 2 0 3 1 4 2

5 +∞


cu termenul general

( )( )

333 !, 2

3 !

n

nn

nx n

n⋅

= ≥.

Aplicând consecinţa teoremei Stoltz-Césarov, rezultă că şirul ( )n nx ∗∈

are limita 1 1 2 0 3 -1 4 2 5 +∞


cu termenul general

, 12

k

n nnx n= ≥

, unde k ∗∈ .

Aplicând teorema Stoltz-Césarov, rezultă că şirul ( )n nx ∗∈

are limita 1 1 2 0 3 -1 4 2 5 +∞

12) Fie a ∈ . Seria 0

n

na

≥∑ este absolut convergentă dacă şi numai dacă

1 1a < 2 1a ≤ 3 1a ≥ 4 1a > 5 a ∈∅

13) Care dintre următoarele afirmaţii este corectă? 1 Orice serie convergentă este absolut convergentă 2 Orice serie semiconvergentă este convergentă 3 Orice serie absolut convergentă este convergentă 4 Orice serie semiconvergentă este absolut convergentă 5 Orice serie convergentă este semiconvergentă

14) Fie ,nx n∈ ∈ . Care dintre următoarele afirmaţii este corectă? 1

Dacă seriile 0n nx

≥∑ şi

0n nx

≥∑ sunt divergente, atunci seria

0n nx

≥∑ este o serie

semiconvergentă 2

Dacă seria 0n nx

≥∑ este o serie convergentă, atunci seria

0n nx

≥∑ este o serie

semiconvergentă

3 Dacă seria

0n nx

≥∑ este o serie convergentă, atunci seria

0n nx

≥∑ este o serie

semiconvergentă 4

Dacă seriile 0n nx

≥∑ şi

0n nx

≥∑ sunt serii convergente, atunci seria

0n nx

≥∑ este o serie

semiconvergentă 5

Dacă seria 0n nx

≥∑ este convergentă şi seria

0n nx

≥∑ este divergentă, atunci seria

0n nx

≥∑ este o serie semiconvergentă

15) Criteriul lui Abel: Dacă seria de numere reale 0n nx

≥∑ se poate scrie sub forma

0n

n nyα

≥

⋅∑, unde

( ) 0n nα≥ este un şir monoton şi mărginit, iar

0n ny

≥∑ este o__________________, atunci seria

0n nx

≥∑ este convergentă.

Spaţiul lăsat liber în criteriul lui Abel trebuie completat cu: 1 serie semiconvergentă 2 serie de numere pozitive 3 serie convergentă 4 serie alternantă 5 serie divergentă

16) Criteriul lui Dirichlet. Dacă seria de numere 0n nx

≥∑

se poate scrie sub forma 0

nn n

yα≥

⋅∑ , unde

• şirul ( )n nα

∈ este monoton şi lim 0nn

α→∞

∃ =

• şirul ( )

0

, ,n

n nnk

S S nky∈

=

= ∈∑ este ____________________,

atunci seria 0n nx

≥∑ este convergentă.

Spaţiul lăsat liber în criteriul lui Dirichlet rebuie completat cu: 1 monoton 2 şir de numere pozitive 3 strict crescător 4 mărginit 5 strict descrescător

17) Seria de numere reale 2

1

sin sinn

n nn≥

⋅∑ este o serie

1 divergentă 2 convergentă

3 semiconvergentă 4 absolut convergentă 5 alternantă

18) Suma dintre o serie convergentă şi o serie divergentă este o serie _____________________ .

1 divergentă 2 convergentă 3 semiconvergentă 4 absolut convergentă 5 alternantă

19) Se consideră seria de numere reale ( )0

1n

n na∞

=

+ ⋅∑ , unde a ∈ , 1a < .

Folosind teorema lui Cauchy, obţinem că seria dată este 1 divergentă 2 convergentă 3 semiconvergentă 4 absolut convergentă 5 alternantă

20) Teorema lui Cauchy:

Dacă seriile 0 0

,n nn n

x y≥ ≥

∑ ∑ sunt absolut convergente, atunci seria produs

0 0, ,

n

n n k n kn k

z z x y n−≥ =

= ⋅ ∈∑ ∑

este __________________ . Spaţiul lăsat liber în Teorema lui Cauchy trebuie completat cu: 1 divergentă 2 absolut convergentă 3 semiconvergentă 4 convergentă 5 alternantă

21) Criteriul de condensare al lui Cauchy:

Fie 0

nn

x≥

∑ o serie astfel încât ( ) 0n nx

≥ este un şir descrescător de numere reale strict pozitive.

Seriile 0

nn

x≥

∑ şi 2³0

2 nn

nx∑ ______________________

1 sunt convergente 2 sunt divergente 3 sunt absolut convergente 4 au aceeaşi natură 5 nu se poate stabili natura seriilor; ipoteză incompletă

22) Seria Riemann (armonică) generalizată 1

1 ,an

an≥

∈∑ , este convergentă dacă şi numai dacă

1 1a > 2 1a ≤ 3 1a ≥ 4 1a < 5 1a >

23) Criteriul lui D’Alembert (Criteriul raportului):

Se consideră seria 0

, 0, 0n n n

nx x≥

≠ ∀ ≥∑ .

Dacă 1 ________lim n

n

xx

+ , atunci seria este absolut convergentă.

Spaţiul lăsat liber în Criteriul lui D’Alembert (Criteriul raportului) trebuie completat cu: 1 1≤ 2 1≥ 3 1= 4 1> 5 1<

24) Criteriul lui D’Alembert (Criteriul raportului):


, 0, 0n n n

nx x≥

≠ ∀ ≥∑ .

Dacă 10 0: 1,n

n

xn n nx

+∃ ∈ ≥ ∀ ≥ , atunci seria este__________________.

Spaţiul lăsat liber în Criteriul lui D’Alembert (Criteriul raportului) trebuie completat cu: 1 absolut convergentă 2 divergentă 3 semiconvergentă 4 criteriul nu conduce la nici o concluzie 5 convergentă

25) Criteriul lui Cauchy (Criteriul rădăcinii):


, , 0n n n

nx x≥

∈ ∀ ≥∑, pentru care există lim n

nnx

→∞ .

Dacă lim __________nnn

x→∞

, atunci seria este absolut convergentă.

Spaţiul lăsat liber în criteriul rădăcinii trebuie completat cu: 1 1≥ 2 1≤

3 1< 4 1> 5 1=

26) Criteriul lui Cauchy (Criteriul rădăcinii):


, , 0n n n

nx x≥

∈ ∀ ≥∑, pentru care există lim n

nnx

→∞ .

Dacă lim 1nnn

x→∞

> , atunci seria este __________________.

Spaţiul lăsat liber în criteriul rădăcinii trebuie completat cu: 1 absolut convergentă 2 convergentă 3 divergentă 4 criteriul nu conduce la nici o concluzie 5 semiconvergentă

27) Seria de numere reale 20 ,( !)

nn

n

n a an≥

∈∑ , este absolut convergentă pentru

1 orice 0a ≥ 2 orice a ∈ 3 orice 0a ≤ 4 a ∈∅ 5 0a >

28) Criteriul Raabe – Duhamel:


, , 0n n n

nx x ∗

≥

∈ ∀ ≥∑, pentru care există 1 1lim n

nn

xnx

+

→∞

−

.

Dacă 1 1 __________lim nn

n

xnx

+

→∞

−

, atunci seria este convergentă absolut.

Spaţiul lăsat liber în criteriul rădăcinii trebuie completat cu: 1 1≥ 2 1≤ 3 1= 4 1> 5 1<

29) Criteriul Raabe – Duhamel:


, , 0n n n

nx x ∗

≥

∈ ∀ ≥∑, pentru care există 1 1lim n

nn

xnx

+

→∞

−

.

Dacă 1 1 1lim nn

n

xnx

+

→∞

− >

, atunci seria este_________________________.

Spaţiul lăsat liber în criteriul rădăcinii trebuie completat cu: 1 absolut convergentă 2 divergentă 3 semiconvergentă 4 criteriul nu conduce la nici o concluzie 5 convergentă

30) Seria de numere reale 0 ,

!

nn

n

n a an≥

∈∑ , este absolut convergentă pentru:

1 1ae

<

2 a ∈ 3 1a

e>

4 a ∈∅ 5 0a >

31) Folosind definiţia convergenţei unei serii de numere reale, obţinem că seria

( )

2

1

2 4 12 2 1n

n nn n≥

− −

⋅ −∑

1 este divergentă 2 este convergentă 3 este convergentă şi are suma egală cu 2 4 este convergentă şi are suma egală cu 2 5 este convergentă şi are suma egală cu 2 -1

32) Folosind definiţia convergenţei unei serii de numere reale, obţinem că seria

( )( )2

2ln 11 2n n n≥

+ − +

∑

1 este divergentă 2 este convergentă 3

este convergentă şi are suma egală cu 13

4 este convergentă şi are suma egală cu ln 3− 5 este convergentă şi are suma egală cu ln 3

33) Se consideră următoarele serii de numere reale

( )11

12 1 2 1n

Sn n≥ + − −

∑ , ( )21n

S arctgn≥

∑ , ( )31

sinn

S n≥

∑ .

Care dintre următoarele afirmaţii sunt adevărate? 1 ( )1S şi ( )2S sunt serii divergente 2 ( )1S şi ( )3S sunt serii divergente 3 ( )2S şi ( )3S sunt serii divergente 4 ( )1S , ( )2S , şi ( )3S sunt serii 5 ( )1S , ( )2S , şi ( )3S sunt serii convergente

34) Utilizând criteriul lui Cauchy (criteriul rădăcinii), obţinem că seria 2

1

11 2

n

nn

nn≥

⋅ + ∑ este

1 absolut convergentă 2 divergentă 3 semiconvergentă 4 criteriul nu conduce la nici o concluzie 5 convergentă

35) Utilizând criteriul lui Cauchy (criteriul rădăcinii), obţinem că seria 1

3 1lnn

n

nn≥

+

∑ este


36) Utilizând criteriul lui Cauchy (criteriul rădăcinii), obţinem că seria [ ]1

n

narctgn −

≥∑ este


37) Utilizând criteriul lui D’Alembert (criteriul raportului), obţinem că seria 3

1

sin3n

nn π

≥

⋅∑ este

1 convergentă 2 divergentă 3 semiconvergentă 4 absolut convergentă 5 criteriul nu conduce la nici o concluzie

38) Utilizând criteriul lui D’Alembert (criteriul raportului), obţinem că seria ( )( )1

2 5 8 ... 3 11 5 9 ... 4 3n

nn≥

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −∑

1 convergentă 2 absolut convergentă 3 semiconvergentă 4 divergentă 5 criteriul nu conduce la nici o concluzie

39) Utilizând criteriul lui D’Alembert (criteriul raportului), obţinem că seria

1

! n

n pn

n an +

≥

⋅∑ , unde ,a p∈ ∈

este o serie absolut convergentă dacă : 1 a e< 2 a ∈ 3 a e> 4 a ∈∅ 5 0a >

40) Utilizând criteriul lui D’Alembert (criteriul raportului), obţinem că seria

1

sinpn

nn

aπ

≥

⋅∑ , unde ,a p∗∈ ∈

este o serie absolut convergentă dacă: 1 1a < 2 a ∈ 3 0a > 4 a ∈∅ 5 1a >

41) Utilizând criteriile raportului şi Raabe-Duhamel, obţinem că seria

( ) ( ) ( )1 1 2 1 ... 1

n

n

na a na≥ + ⋅ + ⋅ ⋅ +∑ , unde a +∈

este o serie absolut convergentă dacă 1 a e< 2 a +∈ 3 a e≥ 4 a ∈∅ 5 a e>

42) Se consideră funcţiile , : ,nf f I n⊆ → ∈ .

Şirul ( )n nf

∈ este simplu convergent pe I către funcţia f dacă şi numai dacă

1

,0, , xx I nεε∃ > ∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ),, ,x nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − <

2 ,0, , xx I nεε∀ > ∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ),, ,x nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − ≥

3 ,0, , xx I nεε∃ > ∃ ∈ ∀ ∈ astfel încât ( ) ( ),, ,x nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − <

4 ,0, , xx I nεε∀ > ∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ),, ,x nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − <

5 0, ,x I nεε∃ > ∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − <

43) Se consideră funcţiile , : ,nf f I n⊆ → ∈ .

Şirul ( )n nf

∈ este uniform convergent pe I către funcţia f dacă şi numai dacă

1 0, nεε∀ > ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , ,nn n n f x f x x Iε ε∀ ∈ ≥ − ≥ ∀ ∈

2 ,0, , xx I nεε∀ > ∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − <

3 ,0, , xx I nεε∃ > ∃ ∈ ∀ ∈ astfel încât ( ) ( ),, ,x nn n n f x f xε ε∀ ∈ ≥ − <

4 ,0, xnεε∃ > ∀ ∈ astfel încât ( ) ( ), , ,nn n n f x f x x Iε ε∀ ∈ ≥ − < ∀ ∈

5 0, nεε∀ > ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , ,nn n n f x f x x Iε ε∀ ∈ ≥ − < ∀ ∈

44) Criteriul lui Cauchy. Se consideră funcţiile : ,nf I n⊆ → ∈ .

Şirul ( )n nf

∈ este uniform convergent pe I către o funcţie :f I ⊆ → dacă şi numai dacă

1 0, nεε∀ > ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , , , ,nn m n m n f x f x x Iε ε∀ ∈ ≥ − < ∀ ∈

2 0, nεε∃ > ∀ ∈ astfel încât ( ) ( ), , , , ,nn m n m n f x f x x Iε ε∃ ∈ ≥ − < ∀ ∈

3 0, nεε∃ > ∀ ∈ astfel încât ( ) ( ), , , , ,nn m n m n f x f x x Iε ε∀ ∈ ≥ − < ∀ ∈

4 0, nεε∀ > ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , , , , nx I n m n m n f x f xε ε∃ ∈ ∀ ∈ ≥ − <

5 0, nεε∃ > ∃ ∈ astfel încât ( ) ( ), , , , ,nn m n m n f x f x x Iε ε∀ ∈ ≥ − < ∀ ∈

45) Teorema Cauchy-Hadamard:

Fie ( )n na

∈ un şir de numere reale nenule pentru care există lim

notatien

nna ω

→∞=

Raza de convergenţă R a seriei de puteri 0

nn

na x

≥

⋅∑ este

1 0,

, 0, 0

dacaR daca

daca

ωω

ω ω

= +∞= +∞ = ≠

2 0,

, 01 , 0

dacaR daca

daca

ωω

ωω

= +∞

= +∞ = ≠

3 0, 0

, 1 , 0

dacaR daca

daca

ωω

ωω

=

= +∞ = +∞ ≠

4 0, 0,

, 0

dacaR daca

daca

ωω

ω ω

== +∞ = +∞ ≠

5

2

0, , 0

1 , 0

dacaR daca

daca

ωω

ωω

= +∞

= +∞ = ≠

46) Se consideră şirul de funcţii ( )n nf

∈, ( ) ( )1

sin: , , ,1

n

n nk

kxf f x x nk k=

→ = ∈ ∈⋅ +∑ .

Şirul ( )n nf

∈

1 este uniform convergent, iar limita sa nu este o funcţie continuă 2 este simplu convergent, iar limita sa este o funcţie continuă 3 nu este uniform convergent 4 nu este simplu convergent 5 este uniform convergent, iar limita sa este o funcţie continuă

47) Se consideră şirul de funcţii

( )n nf

∈, ( ) ( ) ( ) ( )2 2: 1, , 1 sin , 1,n nf f x n nx nx x n

nπ

+∞ → = + ⋅ + − ∈ +∞ ∈ .

Şirul ( )n nf

∈

1 este uniform convergent, iar limita sa nu este o funcţie continuă 2 este simplu convergent, iar limita sa este o funcţie continuă 3 este uniform convergent, iar limita sa este o funcţie continuă 4 nu este simplu convergent 5 nu este uniform convergent


( )n nf

∈, [ ) ( ) [ )

2

2 2: 1, , , 1, ,n nxf f x x n

n x+∞ → = ∈ +∞ ∈

+.

Şirul ( )n nf

∈

1 este uniform convergent, iar limita sa este o funcţie continuă 2 nu este uniform convergent 3 este simplu convergent, iar limita sa este o funcţie continuă 4 nu este simplu convergent 5 este uniform convergent, iar limita sa nu este o funcţie continuă


( )n nf

∈, ( ) ( ) ( ): 0, , , 0, ,n n

xf f x x nn x

+∞ → = ∈ +∞ ∈+

.

Şirul ( )n nf

∈

1 este uniform şi simplu convergent 2 nu este uniform convergent 3 este simplu convergent, dar nu este uniform convergent 4 este uniform convergent, dar nu este simplu convergent 5 nu este simplu convergent

50) Mulţimea de convergenţă CM a seriei de funcţii 1

1 sinna

nx

n≥

⋅∑ , unde a ∈ , este

1 ,CM a= ∀ ∈ 2 ,CM a= ∅ ∀ ∈ 3 , 1CM daca a= > 4 , 1CM daca a= ∅ ≤ 5 , 1

, 1C

daca aM

daca a∅ ≤

= >

51) Mulţimea de convergenţă CM a seriei de funcţii ( )5 2

1

3 2 , 01 n

n

n xn x≥

+≠

+ ⋅∑ , este

1

CM = 2

CM = ∅ 3 ( ], 1CM = −∞ − 4 ( ] [ ), 1 1,CM = −∞ − ∪ +∞ 5 [ )1,CM = +∞

52) Mulţimea de convergenţă CM a seriei de funcţii 1

1 , 0! n

nx

n x≥

≠∑ , este

1

CM = 2

CM = ∅ 3 ( ], 1CM = −∞ − 4 ( ] [ ), 1 1,CM = −∞ − ∪ +∞ 5 [ )1,CM = +∞

53) Raza de convergenţă R a seriei de puteri 2

1

112 1

nn

nx

n≥

+ ⋅ + ∑ este

1 0R = 2 R = +∞ 3 2R = 4 R e=

5 12

R =

54) Raza de convergenţă R a seriei de puteri ( )2

1 !

nn

n

n xn≥

⋅∑ este

1 0R = 2 R = +∞ 3 2R = 4 R e= 5 1

2R =

55) Mulţimea de convergenţă CM a seriei de puteri ( )1

3 2 1 n n

nx

≥

+ ⋅ − ⋅ ∑ este

1

CM = 2 1 1, ,

5 5CM = −∞ − ∪ +∞

3 1,5CM = −∞ −

4 1 1, ,5 5CM = −∞ − ∪ +∞

5 1 ,5CM = +∞

56) Seria de puteri 1

! nn

n

n xn≥

⋅∑ , este uniform convergentă pentru orice [ ],x r r∈ − , unde

1 ( )0,r e∈ 2 ( ) ( ), 0 ,r e∈ −∞ ∪ +∞ 3 ( ], 2r ∈ −∞ 4 ( ) ( )0, ,r e e∈ ∪ +∞ 5 ( ),r e∈ +∞

57) Mulţimea de convergenţă CM a seriei de puteri ( ) ( )

2

1

2 13 1 2

nn

n

n xn≥

⋅ ++ ⋅∑ este

1

CM = 2 3 1, ,

2 2CM = −∞ − ∪ +∞

3 3,2CM = −∞ −

4 3 1,2 2CM = −

5 1 ,2CM = +∞

58) Mulţimea de convergenţă CM a seriei de puteri ( )1

! 3 nn

n

n xn≥

⋅ +∑ este

1 ( )3, 3CM e e= − − − 2 [ ]3, 3CM e e= − − − 3 ( ]3, 3CM e e= − − − 4

CM = 5 [ )3, 3CM e e= − − −

59) Mulţimea de convergenţă CM şi suma seriei f de puteri( )

1

1 nn

nx

n≥

−⋅∑ sunt

1 ( ) ( ) ( ) ( )1,1 , ln 1 , 1,1CM f x x x= − = + ∈ − 2 [ ] ( ) ( ) [ ]1,1 , ln 1 , 1,1CM f x x x= − = + ∈ − 3 ( ] ( ) ( ) ( ]1,1 , ln 1 , 1,1CM f x x x= − = + ∈ − 4 ( ) ( ) ( ], ln 1 , 1,1CM f x x x= = + ∈ − 5 [ ) ( ) ( ) ( )1,1 , ln 1 , 1,1CM f x x x= − = + ∈ −

60) Dezvoltarea în serie Mac Laurin a funcţiei [ ] ( ): 1,1 , sin ,f f x x x→ − = ∈ este

1 ( )( )

2

0

1sin ,

2 1 !

nn

nx x x

n

+∞

=

−= ⋅ ∈

+∑

2 ( )( )

2 1

0

1sin ,

2 1 !

nn

nx x x

n

+∞+

=

−= ⋅ ∈

+∑

3

( )2

0

1sin ,2 !

n

nx x x

n

+∞

=

= ⋅ ∈∑

4

( )2 1

0

1sin ,2 !

n

nx x x

n

+∞+

=

= ⋅ ∈∑

5 ( )( )

2

0

1sin ,

2 !

nn

nx x x

n

+∞

=

−= ⋅ ∈∑

61) Dezvoltarea în serie Mac Laurin a funcţiei [ ] ( ): 1,1 , cos ,f f x x x→ − = ∈ este

1 ( )

( )2

0

1cos ,

2 1 !

nn

nx x x

n

+∞

=

−= ⋅ ∈

+∑

2 ( )( )

2 1

0

1cos ,

2 1 !

nn

nx x x

n

+∞+

=

−= ⋅ ∈

+∑

3

( )2

0

1sin ,2 !

n

nx x x

n

+∞

=

= ⋅ ∈∑

4

( )2 1

0

1cos ,2 !

n

nx x x

n

+∞+

=

= ⋅ ∈∑

5 ( )( )

2

0

1cos ,

2 !

nn

nx x x

n

+∞

=

−= ⋅ ∈∑

62) Dezvoltarea în serie Mac Laurin a funcţiei ( )1 1 1: \ , , \2 2 1 2

f f x xx

→ = ∈ + este

1

( ) ( ) 2

0

1 11 2 , ,2 2

n n n

nf x x x

+∞

=

= − ⋅ ⋅ ∈ − ∑

2 ( ) ( ) 2

0

1 11 2 , ,2 2

n n n

nf x x x

+∞

=

= − ⋅ ⋅ ∈ −

∑

3 ( ) 2

0

1 12 , ,2 2

n n

nf x x x

+∞

=

= ⋅ ∈ −

∑

4 ( ) ( ) 2

0

1 11 2 , ,2 2

n n n

nf x x x

+∞

=

= − ⋅ ⋅ ∈ − ∑

5 ( ) 2

0

1 12 , ,2 2

n n

nf x x x

+∞

=

= ⋅ ∈ − ∑

63) Dezvoltarea în serie Mac Laurin a funcţiei

{ } ( ) { }2

3 5: \ 1,3 , , \ 1, 34 3

xf f x xx x

−→ = ∈

− + este

1

( ) ( ]10

21 , 1,13

nn

nf x x x

+∞

+=

= − + ⋅ ∈ −

∑

2 ( ) ( ]1

0

21 , 1,13

nn

nf x x x

+∞

+=

= − + ⋅ ∈ −

∑

3 ( ) ( )1

0

21 , 1,13

nn

nf x x x

+∞

+=

= − + ⋅ ∈ −

∑

4 ( ) ( ]2

10

21 , 1,13

nn

nf x x x

+∞

+=

= − + ⋅ ∈ −

∑

5 ( ) [ ]2

10

21 , 1,13

nn

nf x x x

+∞

+=

= − + ⋅ ∈ −

∑

64) Dezvoltarea în serie Mac Laurin a funcţiei { } ( ) { }3 3: \ 1 , 1 , \ 1f f x x x− → = + ∈ − este

1

( ) ( ) ( ) ( ]3

0

1 2 5 ... 3 41 1 , 1,1

3 !n n

nn

nf x x x

n

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + − ⋅ ⋅ ∈ −

⋅∑

2 ( ) ( ) ( ) [ ]3

0

1 2 5 ... 3 41 1 , 1,1

3 !n n

nn

nf x x x

n

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + − ⋅ ⋅ ∈ −

⋅∑

3 ( ) ( ) ( ) [ )

0

1 2 5 ... 3 41 1 , 1,1

3 !n n

nn

nf x x x

n

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + − ⋅ ⋅ ∈ −

⋅∑

4 ( ) ( ) ( ) ( )3

0

1 2 5 ... 3 41 1 , 1,1

3 !n n

nn

nf x x x

n

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + − ⋅ ⋅ ∈ −

⋅∑

5 ( ) ( ) ( ) ( ]

0

1 2 5 ... 3 41 1 , 1,1

3 !n n

nn

nf x x x

n

+∞

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= + − ⋅ ⋅ ∈ −

⋅∑

65) Dezvoltarea în serie Taylor a funcţiei ( ) ( )2 2: , , ln 3 2 , ,3 3

f f x x x +∞ → = − ∈ +∞

în

jurul punctului 1a = este

1 ( ) ( ) ( )1

0

3 2 41 1 , ,3 3

nn n

nf x x x

n

+∞−

=

= − ⋅ ⋅ − ∈

∑

2 ( ) ( ) ( )1

0

3 2 41 1 , ,3 3

nn n

nf x x x

n

+∞−

=

= − ⋅ ⋅ − ∈ ∑

3 ( ) ( ) ( )1 2

0

3 2 41 1 , ,3 3

nn n

nf x x x

n

+∞−

=

= − ⋅ ⋅ − ∈

∑

4 ( ) ( ) ( )

11 1

0

3 2 41 1 , ,3 3

nn n

nf x x x

n

++∞− +

=

= − ⋅ ⋅ − ∈

∑

5 ( ) ( ) ( )

11

0

3 2 41 1 , ,3 3

nn n

nf x x x

n

−+∞−

=

= − ⋅ ⋅ − ∈

∑

66) Dezvoltarea în serie Mac Laurin a funcţiei

( ) 24 1 4: \ , , \3 3 4 3

xf f x e xx

− − → = + ∈ − +

este 1

( ) ( ) 3

0

3 2 41 , \4 ! 3

n nn n

nf x e x x

n

+∞

=

= − ⋅ + ⋅ ⋅ ∈ −

∑

2 ( ) ( ) 3

0

3 2 4 41 , ,4 ! 3 3

n nn n

nf x e x x

n

+∞

=

= − ⋅ + ⋅ ⋅ ∈ − ∑

3 ( ) ( ) 3

0

3 2 4 41 , ,4 ! 3 3

n nn n

nf x e x x

n

+∞

=

= − ⋅ + ⋅ ⋅ ∈ −

∑

4 ( ) 3

0

3 2 4 4, ,4 ! 3 3

n nn

nf x e x x

n

+∞

=

= + ⋅ ⋅ ∈ −

∑

5 ( ) 3

0

3 2 4 4, ,4 ! 3 3

n nn

nf x e x x

n

+∞

=

= + ⋅ ⋅ ∈ − ∑

67) ( ) ( )

( ), 1,2lim 4 3

x yxy

→+

1 există şi este egală cu 1 2 există şi este egală cu 10 3 există şi este egală cu 0 4 există şi este egală cu 11 5 nu există

68) ( ) ( )

3

2 2, 0,0lim

x y

xyx y→ +

1 nu există 2 există şi este egală cu -1 3 există şi este egală cu 0 4 există şi este egală cu 2 5 există şi este egală cu 1

69) ( ) ( ), 0,1

1lim sinx y

yx→

⋅


70) ( ) ( ), 0,0

1 1lim sin cosx y

x yy x→

⋅ + ⋅

1 nu există 2 există şi este egală cu -1 3 există şi este egală cu 2 4 există şi este egală cu 5 există şi este egală cu 1

71) ( ) ( ) 2 2, 0,0

sin 2lim4x y

y xx y→

⋅+


72) Fie RRf →2: , ( ) ( )

==

≠+=

00

0,0,),( 22

yxdacă

yxdacăyx

xyyxf .

1 Funcţia f este continuă pe ( ){ }2 \ 0, 0 , admite derivate parţiale discontinue

pe ( ){ }2 \ 0, 0 , nu este derivabilă în ( )0, 0 2 Funcţia f este continuă pe 2 , admite derivate parţiale discontinue în ( )0, 0 , nu este

derivabilă în ( )0, 0 3 Funcţia f este continuă în ( )0, 0 4 Funcţia f este continuă pe ( ){ }2 \ 0, 0 , admite derivate parţiale discontinue în ( )0, 0 , nu

este derivabilă în ( )0, 0 5 Funcţia f este continuă pe 2 , admite derivate parţiale discontinue pe ( ){ }2 \ 0, 0 , nu

este derivabilă în ( )0, 0

73) Fie RRf →2: o funcţie derivabilă şi RRF →2: , ( )2( , ) 3 ,F x y f x y x y= + .

1

( ) ( ) ( )2 2, 3 , 2 3 ,F f fx y x y x y xy x y x yx u v

∂ ∂ ∂= + + ⋅ +

∂ ∂ ∂

2 ( ) ( ) ( )2 2, 3 3 , 3 ,F f fx y x y x y x y x y

y u v∂ ∂ ∂

= ⋅ + + +∂ ∂ ∂

3 ( ) ( ) ( )2 2, 3 , 3 ,F f fx y x y x y x y x y

y u v∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂

4 ( ) ( ) ( )2 2, 3 , 3 ,F f fx y x y x y x y x y

x u v∂ ∂ ∂

= + + +∂ ∂ ∂

5 ( ) ( ) ( )2 2, 3 , 2 3 ,F f fx y x y x y xy x y x y

x u v∂ ∂ ∂

= + + ⋅ +∂ ∂ ∂

74) 75.Diferenţiala funcţiei :F R R→ , ( ) ( )( )( ) , ,F x f u x v x x= ∈ ,

unde ( ) ( )sin2 , cos ,u x x v x x x= = ∈ este 1

( ) ( ) ( )cos sin 2 , cos sin 2 ,cosf fdF x x x x x x dxu v

∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂

2 ( ) ( ) ( )2cos sin 2 , cos sin sin 2 , cosf fdF x x x x x x x dx

u v∂ ∂ = ⋅ − ⋅ ⋅ ∂ ∂

3 ( ) ( ) ( )2 sin 2 , cos sin 2 , cosf fdF x x x x x dx

u v∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂

4 ( ) ( ) ( )2cos sin 2 , cos sin sin 2 , cosf fdF x x x x x x x dx

u v∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ⋅ ∂ ∂

5 ( ) ( ) ( )2sin sin 2 , cos cos sin 2 , cosf fdF x x x x x x x dx

u v∂ ∂ = ⋅ + ⋅ ⋅ ∂ ∂

75) Punctele de extrem local ale funcţiei RRf →2: , 3 2( , ) 3 15 12f x y x xy x y= + − − sunt

1 (2,1) este punct de maxim local, (-2,-1) este punct de minim local 2 (2,1) este punct de minim local, (-2,-1) este punct de maxim local 3 (-2,1) este punct de maxim local, (2,-1) este punct de minim local 4 (2,-1) este punct de maxim local, (-2,1) este punct de minim local 5 (-2,1) este punct de minim local, (2,-1) este punct de maxim local

76) Fie funcţia RRf →2: , 2 4 2( , ) , ( , )f x y x y x y= + ∈ . Punctul de coordonate (0,0) este

1 punct de maxim local 2 punct de minim local 3 punct de maxim global 4 punct de minim global 5 punct şa.

77) Fie funcţia ( ){ }2: \ 0,0f R R→ , ( ) ( ){ }2 2 2( , ) ln , ( , ) \ 0, 0f x y xy x y x y= + + ∈ .

Punctele de coordonate 1 1 1 1, , ,

2 2 2 2e e e e − −

sunt

1 puncte de maxim local 2 puncte de minim local 3 puncte de maxim global 4 puncte de minim global 5 puncte şa.

78) Fie funcţia 2:f R R→ , 2 2 2( , ) , ( , )f x y x y x y= + ∈ şi restricţia 1 0x y+ − = . Punctul de minim condiţionat pentru funcţia f este punctul de coordonate 1 (0,0) 2 1 1,

2 2

3 1 1,2 2

−

4 1 1,2 2

−

5 1 1,2 2

− −

79) Fie funcţia 2:f R R→ , 2 2 2( , ) 1, ( , )f x y x y xy x y x y= + + + − + ∈ şi restricţia 2 2 1 0x y+ − = .

Punctele de maxim condiţionat pentru funcţia f este punctul de coordonate 1 (1,0) şi (2,1) 2 (-1,0) şi (2,1)

3 (1,0) şi (-2,1) 4 (1,0) şi (-2,-1) 5 (-1,0) şi (2,-1)

80) Fie funcţia 3:f R R→ , 2( , ) , ( , )f x y xyz x y= ∈ şi restricţiile 5 0, 8 0x y z xy yz zx+ + − = + + − = .

Pentru funcţia f, punctul de coordonate 7 4 4, ,3 3 3

este

1 este punct de maxim condiţionat 2 este punct de minim condiţionat 3 este punct critic 4 este punct de extrem condiţionat 5 punct critic, dar nu este punct de extrem condiţionat

81) Folosind definiţia convergenţei unei integrale improprii, obţinem că integrala 20

11

dxx x

∞⋅

+∫

1 este convergentă şi egală cu 0 2 este convergentă şi egală cu -1 3 este divergentă 4 este convergentă şi egală cu 1 2− 5 este convergentă şi egală cu 1 2+

82) Folosind definiţia convergenţei unei integrale improprii, obţinem că integrala 20 1arctgx dx

x∞

⋅+∫

1 este convergentă şi egală cu 0 2

este convergentă şi egală cu 12

3 este divergentă 4


8π

5 este convergentă şi egală cu

2

4π

83) Folosind definiţia convergenţei unei integrale improprii, obţinem că integrala 12

20

1ln

dxx x

⋅∫

1 este convergentă şi egală cu ln2 2


3 este divergentă 4 este convergentă şi egală cu 1 5 este convergentă şi egală cu -1

84) Valoarea integralei 1 4

0lnx x dx⋅∫ este

1 18046

−

2 14086

−

3 18046

4 18064

−

5 18064

85) Valoarea integralei ( )4

20 1x dxx

∞⋅

+∫ este

1 2

2π

−

2 22

π

3 24

π−

4 24

π

5 2π

86) Lungimea curbei ( ) ( ) ( ) [ ]{ }2, sin , 1 cos , 0,2x y x a t t y a t t πΓ = ∈ = − = − ∈ este egală cu

1 2a 2 4a 3 8a 4 16a 5 a

87) Lungimea curbei ( ) [ ]3

2 24, cos 2 , sin 2 , , 0,13

x y x t t y t t z t t Γ = ∈ = = = ⋅ ∈

este egală cu

1 1 2 4 3 8 4 1 5 6

88) Valoarea integralei curbilinii de speţa a doua 23xydx y dy

Γ−∫ , unde ( ) [ ]{ }2 2, 2 , 0, 2x y y x xΓ = ∈ = ∈

este

1 1103

−

2 4403

3 1103

4 4403

−

5 0

89) Valoarea integralei curbilinii de speţa a doua 2 2

2 2 2 2

y xdx dyx y x yΓ

−+ +∫ , unde ( )

2 22

2 2, 1, 0x yx y ya b

Γ = ∈ + = ≥

, unde a b>

este 1 2 2 2

2 2 2 2

2 a a bb arctga b ba b

−− − − −

2 2 2 2

2 2

a a bb arctgba b−

− −−

3 2 2 2

2 2 2 2


−+ − −

4 2 2 2

2 2

a a bb arctgba b−

− +−

5 2 2 2

2 2 2 2


−− + − −

90) Valoarea integralei curbilinii de speţa a doua

( )2 23 6 14 20x y dx yzdy xz dzΓ

+ − +∫ , unde

( ) [ ]{ }3 2 3, , , , , 0,1x y z x t y t z t tΓ = ∈ = = = ∈ ,

este 1 15 2 10 3 5 4 0 5 -5

91) Aria domeniului plan ( ){ }2 2,D x y x y x= ∈ ≤ ≤ este egală cu

1 -3 2 3

3 13

4 13

−

5 16

92) Aria domeniului plan ( ){ }2 2 2, 1 9, 3D x y x y x y x= ∈ ≤ + ≤ ≤ ≤ este egală cu

1 4

9π

2

9π

3

3π

4

3π

−

5 43π

93) Valoarea integralei duble 2D

x dxdyy∫∫ , unde ( ) 2 1, ,1 2D x y y x x

x

= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤

este egală

cu

1 94

2 94

−

3 49

4 49

−

5 0

94) Valoarea integralei duble 2 2

4 2 2 4D

x ydxdy

x x y y+

+ +∫∫ , unde ( ){ }2 2 2, 1 4D x y x y= ∈ ≤ + ≤

este egală cu

1 2π 2 2 2π 3 4 2π 4 π 5 2π

95) Volumul domeniului ( ){ }3 2 2, , 9, 4, 0D x y z x y x z z= ∈ + ≤ + ≤ ≥ este egal cu

1 36 2 16 3 26 4 6 5 46

96) Valoarea integralei triple ( )2 2 2

D

x y z dxdydz+ +∫∫∫ , unde

( ){ }3 2 2 2 2, ,D x y z x y z a= ∈ + + ≤ este egală cu

1 54

9aπ

2 545

aπ

3 525

aπ

4 5

9aπ

5 5aπ

97) Valoarea integralei triple ( )∫∫∫ ++G

dxdydzzyx 222 unde

( )2 2 2

2 2 2

1 4,, ,

, , 0, 0, 0x y z

G x y zy x z x y x y z

≤ + + ≤ = ≥ ≥ + ≥ ≥ ≥

este egală cu 1 ( )2 2

40

π −

2 ( )31 2 2

10

π −

3 ( )31 2 2

40

π −

4 31 240π

5 ( )31 2 2

4

π −

98) Folosind formula lui Green, obţinem că valoarea integralei 2 2x y dx xydy

Γ

+∫ ,

unde Γ este frontiera domeniului determinat de ( ) 11 22 =++ yx , 422 =+ yx , x<0, y>0 este egală cu

1 1

3

2 13

−

3 23

4 23

−

5 0

99) Valoarea integralei triple ∫∫∫G

ydxdydz ,unde G este domeniul mărginit de 22 yxy += , y=a,

(a>0) este egală cu

1

4π

2 4aπ 3 4

2aπ

4 4

8aπ

5 4

4aπ

analiza matematica

Documents