analiza omrezijˇ - vladimir batageljvlado.fmf.uni-lj.si/vlado/podstat/ao/anom03.pdf · dejanska...

'

&

$

%

Univerza v Ljubljanipodiplomski studij statistike

Analiza omrezijZgradba omrezij:podomrezja inpovezanosti

Vladimir BatageljAnuska Ferligoj

Univerza v Ljubljani

Ljubljana, 10. in 17. november 2003

izpisano: 7. januar 2005 ob 03 : 34

V. Batagelj, A. Ferligoj: Analiza omrezij, Zgradba omrezij – podomrezja in povezanosti 1'

&

$

%

Kazalo1 Pristopi k velikim omrezjem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Stopnje grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Pajek in R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Slucajni grafi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Porazdelitve stopenj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

6 Povezanosti med grafi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7 Skupine, razvrstitve, razbitja, razslojitve. . . . . . . . . . . . . 7

8 Skrcitev skupine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

10 Podgraf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

12 Prerezi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

13 Sprehodi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

14 Najkrajse poti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Univerza v Ljubljani, Podiplomskistudij statistike ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖


&

$

%

16 Enakovrednosti in razbitja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

18 Povezanosti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

19 Posebni grafi – dvodelni, drevo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

20 Skrcitev grafa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

21 Dvopovezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

22 k-povezanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

23 Trikotniska povezanost – neusmerjeni grafi. . . . . . . . . . . 23

26 Trikotniska povezanost – usmerjeni grafi. . . . . . . . . . . . . 26



&

$

%

Pristopi k velikim omre zjemPri velikih omrezjih (vec tisoc

ali milijonov tock, omrezje je

mogoce shraniti v pomnilniku)

se moramo odpovedati celoviti

sliki, uporabni so le redki

postopki.

Za analizo velikih omrezij

lahko uporabimo statistiko ali

pa izpeljana mala in srednja

(pod)omrezja.



&

$

%

Stopnje grafa

stopnja tocke v, deg(v) = je stevilo

povezav, ki imajo tockov za krajisce;

vhodna stopnjatocke v, indeg(v) =je stevilo povezav, ki imajo tocko v za

konec (krajisce neusmerjene povezave

je hkrati njen zacetek in konec);

izhodna stopnjatockev, outdeg(v) =je stevilo povezav, ki imajo tocko v za

zacetek.

n = 12, m = 23, indeg(e) = 3, outdeg(e) = 5, deg(e) = 6∑v∈V

indeg(v) =∑v∈V

outdeg(v) = |A|+ 2|E|,∑v∈V

deg(v) = 2|L| − |E0|



&

$

%

Pajek in RPajek 0.89 (in kasnejsi) omogoca uporabo statisticnega programa R in

tudi drugih programov kot orodij (izbiraTools ).

V programuPajek dolocimo stopnje tock in jih ’podtaknemo’ R-ju

info/network/generalNet/Partitions/Degree/AllPartition/Make VectorTools/Program R/Send to R/Current Vector

Tu dolocimo porazdelitev stopenj in jo narisemo

summary(v2)t <- tabulate(v2)c <- t[t>0]i <- (1:length(t))[t>0]plot(i,c,log=’xy’,main=’degree distribution’,

xlab=’deg’,ylab=’freq’)

Pozor!Ce obstajajo tocke stopnje 0, jihtabulate ne uposteva.



&

$

%

Slucajni grafiErdos in Renyi sta definiralaslucajni

graf takole: vsako mogoco povezavo

vkljucimo v slucajni graf z dano verjet-

nostjop.

V programuPajek (Net / Random

Network / Erdos-Renyi )

uporabljamo namesto verjetnostip

povprecno stopnjo

deg =1n

∑v∈V

deg(v)

Velja p = mmmax

in, za enostavne grafe,sedeg = 2mn .

Na sliki je prikazan slucajni graf na 100 tockah s povprecno stopnjo 3.



&

$

%

Porazdelitve stopenj

● ● ● ● ● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

● ●●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

10 20 30 40 50

020

0040

0060

00

Random graph degree distribution, n=100000, degav=30

deg

freq

●

●●

● ● ● ● ● ●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●

●●●●●●●●●●●●●●●●●●

●

●●●●●●●

●

●●●●●●●●●

●●●●●

●

●

●●●●●●

●●

●●

●

●●●

●●

●●●

●

●

●

●●●●●

●

●●●●

●

●

●

●

●●

●

●●●

●●●●●●●

●●●

●

●

●

●

●●●●●

●

●

●

●●●

●

●●

●●

●●●

●

●

●

●

●

●

●

●●●

●●

●

●

●●

●

●

●●

●●

●

●●

●

●

●

●

●●

●

●●

●

●●

●

●

●

●

●

●

●●

●

●

●

●

●●●

●

●

●

●●●●●

●

●●●●●●●

●●

●

●

●●

●

●

●

●●

●

●

●

●●●●●

●

●●●●●●●●●●●

●●●

●

●

●●●●

●

●●●

●

●●● ●●

●●

●●●●●●

●

●

●

●●●●●●●●●●

1 5 10 50 100 500 1000

1 e

+00

1 e

+02

1 e

+04

1 e

+06

US Patents degree distribution

degfr

eq

Dejanska omrezja so vse prej kot slucajna. Analiza porazdelitev je dala

nov pogled na zgradbo dejanskih omrezij – Watts (Small worlds), Barabasi

(nd/networks, Linked).


http://smallworld.columbia.edu/

http://www.nd.edu/~networks/

http://www.amazon.com/exec/obidos/ASIN/0452284392/qid%3D1052459508/sr%3D2-1/ref%3Dsr%5F2%5F1/104-8353649-1953524


&

$

%

Povezanosti med grafiPreslikavi(ϕ,ψ), ϕ:V → V ′ in ψ:L → L′ dolocatasibki homomorfizem

grafaG = (V,L) v grafH = (V ′, L′) ntk velja:

∀u, v ∈ V ∀p ∈ L : (p(u : v) ⇒ ψ(p)(ϕ(u) : ϕ(v)))

in doloca(krepki) homomorfizemgrafaG v grafH ntk velja:

∀u, v ∈ V ∀p ∈ L : (p(u, v) ⇒ ψ(p)(ϕ(u), ϕ(v)))

Ko staϕ in ψ bijekciji in ustrezni pogoj velja v

obe smeri, govorimo oizomorfizmugrafovG in

H. Da sta grafasibko izomorfna zapisemoG ∼H; da sta (krepko) izomorfna paG ≈ H. Velja

≈⊂∼.

Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako

grafu prirejenostevilo, ki je enako za vse med

seboj izomorfne grafe. .

EulerGT


http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/dela/Euler/


&

$

%

Skupine, razvrstitve, razbitja, razslojitveNeprazno podmnozicoC ⊆ V imenujemoskupina. Neprazna mnozica

skupinC = {Ci} je razvrstitev.

RazvrstitevC = {Ci} je razbitjentk

∪C =⋃i

Ci = V in i 6= j ⇒ Ci ∩ Cj = ∅

RazvrstitevC = {Ci} je razslojitevali hierarhija ntk

Ci ∩ Cj ∈ {∅, Ci, Cj}

RazslojitevC = {Ci} je polna, ce je∪C = V ; in je osnovna, ce je za vsak

v ∈ ∪C tudi {v} ∈ C.



&

$

%

Skrcitev skupineSkrcitev skupineC imenujemo grafG/C, ki ga dobimo tako da vse tocke

skupineC zamenjamo z eno tocko, recimoc. NatancnejeG/C = (V ′, L′),kjer jeV ′ = (V \ C) ∪ {c} in L′ sestavljajo povezave izL, ki imajo obe

krajisci v V \ C. Poleg teh pase ’zvezda’ z vrhomc in krakom(v, c), ce

∃p ∈ L, u ∈ C : p(v, u), oziroma krakom(c, v), ce∃p ∈ L, u ∈ C :p(u, v). V tocki c je zanka(c, c), ce∃p ∈ L, u, v ∈ C : p(u, v).

V omrezju nad grafomG moramo povedatise, kako so dolocene

vrednosti/utezi v skrcenem delu. Obicajno kar kot vsota ali maksi-

mum/minimum izvornih vrednosti.



&

$

%

Skrcitev skupin – trgovanje med drzavamiPajek - shadow [0.00,1.00]

usacancubhaidomjamtrimexguahonelsniccospancolvenecuperbrabolparchiarguruukiirenetbelluxfraswispaporwgeegepolaushunczeitamatalbyuggrecypbulrumusrfinswenordenicemlisendahnaunirivoguiupvlibsieghatogcamniggabcarchdconzaiugakenburrwasomethsafmaamoralgtunliysudegyirnturirqsyrlebjorisrsauyemkuwafgchamontaikodkorjapindpakbrmsrinepthakmrlaovndvnrmlaphiinsautnze

usa

can

cub

hai

dom

jam

tri

mex

gua

hon

els

nic

cos

pan

col

ven

ecu

per

bra

bol

par

chi

arg

uru

uki

ire net

bel

lux

fra

swi

spa

por

wge

ege

pol

aus

hun

cze

ita mat

alb

yug

gre

cyp

bul

rum

usr

fin swe

nor

den

ice

mli

sen

dah

nau

nir

ivo

gui

upv

lib sie

gha

tog

cam

nig

gab

car

chd

con

zai

uga

ken

bur

rwa

som

eth

saf

maa

mor

alg

tun

liy sud

egy

irn tur

irq syr

leb

jor

isr

sau

yem

kuw

afg

cha

mon

tai

kod

kor

jap

ind

pak

brm

sri

nep

tha

kmr

lao

vnd

vnr

mla

phi

ins

aut

nze

Se.Amerika

Sr.Amerika

Ju.Amerika

EvropaAfrika

Azija

Avstralija

Snyder in Kickovi podatki o trgovanju med drzavami. Matricni prikaz gostih omrezij.

w(Ci, Cj) =n(Ci, Cj)

n(Ci) · n(Cj)


http://vlado.fmf.uni-lj.si/pub/networks/data/mix/SKtrade.zip


&

$

%

Podgraf

Podgraf H = (V ′, L′) danega grafaG = (V, L) je graf, katerega povezaveL′ so

vsebovane v povezavah grafaG, L′ ⊆ L, tockeV ′ pa v tockah grafaG, V ′ ⊆ V , in

vsebujejo tudi vsa krajisca povezavL′.

Podgraf je lahkoporojenz dano podmnozico tock ali povezav. Podgraf jevpet, ce je

V ′ = V .



&

$

%

Izrez: Snyder in Kick – Afrika

mli

sen

dah

nau

nir

ivo

gui

upv

lib

sie

gha

tog

cam

nig

gab

car

chd

con

zai

uga

ken

bur

rwa

som

eth

saf

maa

mor

alg

tun

liy

sud

egy



&

$

%

PrereziPovezavni prerezomrezja N = (V,L,w), w : L → IR na ravni t jedoloceno z mnozico povezav

L′ = {e ∈ L : w(e) ≥ t}

To je podomrezje N(t) = (V (L′), L′, w), kjer je V (L′) mnozica vsehkrajisc povezav izL′.

Tockovni prerezomrezja N = (V,L, p), p : V → IR na ravni t jepodomrezjeN(t) = (V ′, L(V ′), p), doloceno z mnozico tock

V ′ = {v ∈ V : p(v) ≥ t}

kjer jeL(V ′) mnozica vseh povezav izL, ki imajo obe krajisci v V ′.

Vrednosti ravnit dolocimo na osnovi porazdelitve vrednosti funkcijwoziromap. Obicajno nas zanimajo komponente prereza, ki niso nitiprevelike, niti premajhne.



&

$

%

Sprehodidolzina |s| sprehoda s je stevilo

povezav, ki ga sestavljajo.

s = (j, h, l, g, e, f, h, l, e, c, b, a)|s| = 11Sprehod jesklenjenali obhodntk. nje-

gov zacetek in konec sovpadata.

Ce ne upostevamo smeri povezav v

’sprehodu’, dobimo polsprehod ali

verigo.

sled– sprehod z razlicnimi povezavami

pot – sprehod z razlicnimi tockami

cikel – sklenjen sprehod z razlicnimi

notranjimi tockami.

Graf jeaciklicen, ntk. ne vsebuje nobenega cikla.



&

$

%

Najkraj se potiDolzino najkrajse poti iz u v v

oznacimo zd(u, v).Ce ne obstaja sprehod izu v v

postavimod(u, v) = ∞.

d(j, a) = |(j, h, d, c, b, a)| = 5d(a, j) = ∞d(u, v) = max(d(u, v), d(v, u))je razdalja:

d(v, v) = 0, d(u, v) = d(v, u),d(u, v) ≤ d(u, t) + d(t, v).

Premergrafa je enak razdalji med, glede nad(u, v), najoddaljenejsima

tockama:D = maxu,v∈V d(u, v).



&

$

%

Najkraj se potiblack

backlack clackblank

rack wackbalk bank basklick lanklace clickclankblink

rick race wickwalk bilkbale bane bastlinklice lanelate clink chick

rice rate winkwale bilehale wanebine wastbaitline chinkcline chic

rite winewilewhale wait chine chit

write whinewhile whit

white

DICT28.


http://vlado.fmf.uni-lj.si/pub/networks/data/dic/dic28.zip


&

$

%

Enakovrednosti in razbitjaRelacijaR naV je enakovrednostntk. je

refleksivna∀v ∈ V : vRv, simetricna∀u, v ∈ V : (uRv ⇒ vRu) in

tranzitivna∀u, v, z ∈ V : uRz ∧ zRv ⇒ uRv.

Vsaka enakovrednostR doloca neko razbitje vrazrede[v] = {u : vRu}.

Vsako razbitjeC doloca neko enakovrednost

uRv ⇔ ∃C ∈ C : u ∈ C ∧ v ∈ C.

k-soseditockev je mnozica tock, ki so zak oddaljene odv,

Nk(v) = {u ∈ v : d(v, u) = k}.

Mnozica vseh mnozic k-sosedov,k = 0, 1, ... of v je razbitje mnoziceV .

k-sosescina tockev,N (k)(v) = {u ∈ v : d(v, u) ≤ k}.



&

$

%

Sosescina Motorole

####

AOL

MSFT

Yahoo!

Sun

IBM

Cisco

iPlanet

3COM

Motorola

AvantGo

BaltimoreTechnologies

Unisys

ComputerAssociates

Nextel

MapInfo

GM

MasterCard

Fujitsu

55

1

365

40

46

1

33

19

23

422

2

1

4

6

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

####

AOL

MSFT

Yahoo!

Sun

IBM

Cisco

iPlanet

3COM

Motorola

AvantGo

BaltimoreTechnologies

Unisys

ComputerAssociates

Nextel

MapInfo

GM

MasterCard

Fujitsu

Debelina povezav je koren iz vrednosti.



&

$

%

Povezanosti

Tocka u je dosegljiva iz tocke v ntk.

obstaja sprehod z zacetkomv in kon-

cemu.

Tocka v je sibko povezanas tocko u

ntk. obstaja veriga s krajiscemav in u.

Tocka v je krepko povezanas tocko u

ntk. sta vzajemno dosegljivi.

Sibka in krepka povezanost sta

enakovrednosti.

Razredi porajajosibke/krepkekomponenteali kosegrafa.

Vecino problemov lahko loceno resujemo na (sibkih) komponentah in nato

dobljene resitve zdruzimo.



&

$

%

Posebni grafi – dvodelni, drevo

GrafG = (V,L) je dvodelenntk. lahko mnozico tock V razbijemo na

podmnozici V1 in V2, tako da ima vsaka povezava izL eno krajisce vV1

drugo pa vV2.

Sibko povezan grafG je drevontk. ne vsebuje (zank in) polciklov dolzine

vsaj 3.



&

$

%

Skrcitev grafa

Ce v danem grafu skrcimo vsako krepko komponento v ustrezno tocko,

odstranimo zanke in zdruzimo vzporedne povezave, je tako dobljeniskrceni

graf aciklicen. Za vsak aciklicni graf obstajaurejenost/ ostevilcenje

i : V → IN, tako da velja(u, v) ∈ A⇒ i(u) < i(v).



&

$

%

DvopovezanostTocki u in v stadvopovezanintk. sta povezani (v obe smeri) s po dvema

neodvisnima (brez skupnih notranjih tock) potema.

Dvopovezanost doloca razbitje mnozice povezav.

Tocka jesticnatocka alisticiscentk. njena odstranitev povecastevilosibkih

komponent grafa.

Povezava jemostntk. njena odstranitev poveca stevilo sibkih komponent

grafa.



&

$

%

k-povezanostTockovna povezanostκ grafaG je enaka najmanjsemustevilu tock, ki jih

je potrebno odvzeti iz grafa, tako da je graf porojen s prestalimi tockami

nepovezan ali trivialen (enakK1).

Povezavna povezanostλ grafaG je enaka najmanjsemustevilu povezav,

ki jih je potrebno odvzeti iz grafa, tako da je graf porojen s prestalimi

povezavami nepovezan ali trivialen.

Velja Whitneyeva neenakost:κ(G) ≤ λ(G) ≤ δ(G) .

GrafG je (po tockah)k−povezan, ce jeκ(G) ≥ k in je po povezavah

k−povezan, ce jeλ(G) ≥ k.

Velja Whitneyeva razlicica Mengerjevega izreka: GrafG je po tockah/pove-

zavahk−povezan ntk. vsak par tock povezuje vsajk po tockah/povezavah

locenih sprehodov.



&

$

%

Trikotni ska povezanost – neusmerjeni grafiV neusmerjenem grafu imenujemotrikotnik podgraf izomorfenK3.

Zaporedje trikotnikov(T1, T2, . . . , Ts) grafaG (tockovno) trikotnisko

povezujetocki u, v ∈ V ntk. u ∈ T1 in v ∈ Ts ali u ∈ Ts in v ∈ T1 ter

V (Ti−1) ∩ V (Ti) 6= ∅, i = 2, . . . s; in povezavno trikotnisko povezujetocki

u, v ∈ V ntk zadoscase strozji razlicici zadnjega pogojaE(Ti−1)∩E(Ti) 6=∅, i = 2, . . . s.

Tockovna trikotniska povezanost je enakovrednost na tockah; povezavna pa

na povezavah.Clanek.


http://vlado.fmf.uni-lj.si/pub/networks/doc/preprint/shortcy.pdf


&

$

%

Trikotni sko omrezje

Naj bo G = (V,E) enostaven neusmerjen graf.

Prirejenotrikotnisko omrezje NT (G) = (V,ET , w)doloceno zG je podgrafGT = (V,ET ) grafaG,

kjer je ET mnozica tistih povezav izE, ki leze na

vsaj enem trikotniku. Utezw(e) povezavee ∈ ET je

enakastevilu razlicnih trikotnikov, ki jim povezavae

pripada.

Trikotniska omrezja omogocajo ucinkovito razkrivanje gostih delov

omrezja. Ce povezavae pripadak-kliki – podgrafu izomorfnemuKk –

v G, jew(e) ≥ k − 2.



&

$

%

Povezavni prerez na ravni 16 trikotniskega omrezjaErdos-ovega grafa sodelovanj

AJTAI, MIKLOS

ALAVI, YOUSEF

ALON, NOGA

ARONOV, BORIS

BABAI, LASZLO

BOLLOBAS, BELA

CHARTRAND, GARY

CHEN, GUANTAO

CHUNG, FAN RONG K.

COLBOURN, CHARLES J.FAUDREE, RALPH J.

FRANKL, PETER

FUREDI, ZOLTANGODDARD, WAYNE D.

GRAHAM, RONALD L.

GYARFAS, ANDRAS

HARARY, FRANK

HEDETNIEMI, STEPHEN T.

HENNING, MICHAEL A.

JACOBSON, MICHAEL S.

KLEITMAN, DANIEL J.

KOMLOS, JANOS

KUBICKI, GRZEGORZ

LASKAR, RENU C.

LEHEL, JENO

LINIAL, NATHAN

LOVASZ, LASZLO

MAGIDOR, MENACHEMMCKAY, BRENDAN D.

MULLIN, RONALD C.

NESETRIL, JAROSLAV

OELLERMANN, ORTRUD R.

PACH, JANOS

PHELPS, KEVIN T.

POLLACK, RICHARD M.

RODL, VOJTECHROSA, ALEXANDER

SAKS, MICHAEL E.

SCHELP, RICHARD H.

SCHWENK, ALLEN JOHN

SHELAH, SAHARON

SPENCER, JOEL H.

STINSON, DOUGLAS ROBERT

SZEMEREDI, ENDRE

TUZA, ZSOLT

WORMALD, NICHOLAS C.

brez Erdosa,

n = 6926,

m = 11343



&

$

%

Trikotni ska povezanost – usmerjeni grafiCe je grafG mesan, zamenjamo neusmerjene povezave s pari nasprotnousmerjenih. Naj boG = (V,A) enostaven usmerjen graf brez zank. Zaizbrano usmerjano povezavo(u, v) ∈ A obstajajostiri vrsteusmerjenih

trikotnikov: cyclic, transitive,input inoutput.

cyc tra in out

Za vsako vrsto trikotnikov lahko vpeljemo ustrezno trikotnisko omrezje:Ncyc, Ntra, Nin in Nout.

Pojem trikotniske povezanosti lahko posplosimo napovezanost s kratkimi

(pol)cikli in ustrezna omrezja.



&

$

%

Povezavni prerez na ravni 11 tranzitivnega trikotniskegaomrezja slovarja ODLIS

abstract

American Library Association /ALA/

American Library Directory

bibliographic record

bibliography

binding

blanket order

book

book size

Books in Print /BIP/

call number

catalog

charge

collation

colophon

condition

copyright

cover

dummy

dust jacket

edition

editor

endpaper

entry

fiction

fixed location

folio

frequency

front matter

half-title

homepage

imprint

index

International Standard Book Number /ISBN/

invoice

issue

journal layout

librarian

library

library binding

Library Literature

new book

Oak Knoll

page

parts of a book

periodical

plate

printing

publication

published price

publisher

publishing

review

round table

serial

series

suggestion box

table of contents /TOC/text

title

title page

transaction log

vendor

work

Pajek


analiza omrezijˇ - vladimir batageljvlado.fmf.uni-lj.si/vlado/podstat/ao/anom03.pdf · dejanska...

Documents