Sveučilište u Splitu

Građevinsko-arhitektonski fakultet

Predavanja na poslijediplomskom studiju iz predmeta

TEORIJA PROMETNOG TOKA

Sastavio: Doc.dr.sc. Dražen Cvitanić

Suradnici: Dr.sc. Ivan Lovrić

Mr.sc. Deana Breški

SADRŽAJ:

1. Teorija prometnog toka - osnovni koncept…………………………………..................... 3 1.1 Uvod……………………………………………………………………........................... 4 1.2 Modeliranje prometnog toka…………………………………………….……………… 5

1.2.1 Osnovni parametri………………………………………………...……............ 6 1.3. Makroskopski modeli prometnog toka…………………………………......................... 8 1.4 Mikroskopski modeli prometnogtoka…………………………………….…………….. 11 1.5. Primjena modela na elemente cestovne mreže s

neprekinutim i prekinutim tokom ……………………………………………………… 16

2. Analiza prometnog toka na semaforiziranim raskrižjima……….................................... 19 2.1 Općenito……………………………………………………………...……………….... 20 2.2. Definiranje vremena slijeda, zasićenog toka i kapaciteta……………….……...……… 20 2.3. Koncept kritičnog traka i raspodjele vremena…………………………..…………….. 25 2.4. Utjecaj lijevih skretača……………………………………………………….……….... 29 2.5. Mjere efikasnosti semaforiziranih raskrižja………………………………….………… 30

2.5.1 Analitički modeli zakašnjenja……………………………………………....… 31 2.5.1.1 Osnovne postavke i izvedene relacije iz teorije repova……................. 33

3. Analiza prometnog toka na nesemaforiziranim raskrižjima…………….…………..…. 50 3.1. Uvod………………………………………………………………....………………….. 52 3.2. Postojeće metodologije…………...…………………………………………………...… 52

3.2.1 Osnove teorije prihvaćanja vremenskih praznina…………………………..…. 53 3.2.2 Metode procjene kritične praznine i vremena slijeda………………................. 56

3.3. Modeli kapaciteta zasnovani na teoriji prihvaćanja vremenskih praznina……...........… 59 3.3. 1 Matematička interpretacija kapaciteta sporednog toka………………….......... 64

3.3.1.1 Osnovni modeli s jednim prometnim trakom u prioritetnom toku……. 64 3.3.1.2 Interakcija više tokova različitog ranga prioriteta…………………..... 66

3.4. Razina usluge…………………………...……………………………….….................... 70 3.4.1 Vremenski ovisni modeli zakašnjenja………………………….................. 72

4. Analiza odvijanja prometa na dionicama dvotračnih cesta…………………………..… 73 4.1 Uvod……………………………..………………………………………………………. 77 4.2 Opis postojećih modela…………………………………………………..….. …………. 77

4.2.1 Osnovni dijagram prometnog toka…………………………………….……. 82 4.3 Modeli q-v u metodologijama analize propusne moći…………………………….……. 83

4.3.1 HCM 2000……………………………………………………..……..……... 84 4.3.2 HBS 2001……………………………………………………………….…… 86

1

5. Simulacijski modeli prometnog toka…………………………............................................ 95 5.1 Uvod……………………………………………………………………….…………..… 96

5.2. Klasifikacija simulacijskih modela……………………………………….…................. 975.3. Razvoj stohastičkog simulacijskog modela prometnog toka………………………....… 99

5.4. Generiranje i primjena slučajnih brojeva………………………………….………..….. 101 5.4.1 Pseudoslučajni brojevi s jednolikom raspodjelom………………………....… 102 5.4.2. Pseudoslučajni brojevi s proizvoljnom raspodjelom…………….…………… 102

5.5. Izbor odgovarajućeg simulacijskog modela……………………………….……….…… 105

2

1. Teorija prometnog toka - osnovni koncept

3

1.1 Uvod

Teorija prometnog toka je znanost koja proučava zakonitosti kretanja motornih vozila u

prometnom toku. Kretanja vozila ovise o brojnim faktorima zbog čega i opisivanje zakonitosti

predstavlja vrlo složen proces. Najznačajniji faktori koji utječu na način kretanja vozila u

prometnom toku su: veličina prometnog toka, karakteristike toka, voznodinamičke

karakteristike vozila, psihofizičke osobine i motiviranost vozača, karakteristike sistema za

upravljanje i kontrolu prometa te uvjeti okoline (vidljivost, stanje kolnika, klima i dr.).

Istovremeno djelovanje više navedenih faktora utječe na složenost opisivanja zakonitosti

kretanja vozila u prometnom toku, a dodatno je potencirano i činjenicom da su osnovni

utjecajni faktori promjenljivi u prostoru i vremenu.

Zbog navedenih razloga, rješenja za opisivanje kretanja vozila u prometnom toku nađena

su u modeliranju.

Pri tom su se tijekom vremena, zbog različitog načina opisivanja, razvili modeli za dvije

osnovne podjele vrste toka:

1. Neprekinuti tok – tok kod kojeg ne postoje vanjski utjecaji koji mogu prouzročiti

prekide toka, prekidi toka su isključivo uvjetovani interakcijom vozila (kao npr.

na autocesti, duže dionice dvosmjernih cesta između raskrižja… )

2. Prekinuti tok – tok kod kojeg dolazi do povremenih zaustavljanja toka uslijed

načina kontrole prometa (semaforski uređaji na semaforiziranIm raskrižjima, stop

znak na nesemaforiziranim raskrižjima i sl.)

S obzirom na različite uvjete odvijanja toka na pojedinim elementima cestovne mreže,

danas se teorija prometnog toka bavi opisivanjem odvijanja prometa na otvorenim dionicama

autoceste, zatim na potezima silazno-ulaznih rampi na autocestama, potezima vangradskih i

gradskih dvosmjernih cesta, semaforiziranim i nesemaforiziranim raskrižjima….

U ovom kolegiju će se detaljno obraditi postojeće metodologije analize odvijanja

prometnog toka na dvosmjernim dvotračnim cestama, nesemaforiziranim i semaforiziranim

raskrižjima iz razloga što od ukupne duljine vangradske cestovne mreže preko 90% otpada na

dvotračne dvosmjerne ceste, a u gradskoj uličnoj mreži na kvalitetu odvijanja prometnih

tokova najveći utjecaj imaju raskrižja

4

1.2 Modeliranje prometnog toka

Pod modeliranjem prometnog toka podrazumijeva se definiranje odnosa između

osnovnih parametara toka, a to su: brzina v, gustoća k i intenzitet toka q. Konkretnije, opis

prometnog toka tj. razvoj njegovog modela obično zahtijeva definiranje slijedećih relacija:

♦ opće jednadžbe prometnog toka gdje je prometni tok jednak umnošku brzine i gustoće

(q = v x k)

♦ jednadžbe očuvanja vozila gdje razlika između broja vozila koja su ušla na promatranu

dionicu i onih koja su izašla u nekom vremenskom intervalu mora odgovarati promjeni

broja vozila duž promatrane dionice (odljevu i priljevu s poprečnih veza) i

♦ utvrđivanje odnosa (veze) između brzine i gustoće ili gradijenta odnosa toka i gustoće

Zbog složenosti prometnog toka na čije odvijanje utječe više faktora, do danas ne postoji

jedinstvena teorija temeljem koje se tok modelira već je većina predloženih modela dobivena

na temelju empirijskih podataka.

Počeci istraživanja na ovom polju datiraju negdje oko 1930. godine i bili su usmjereni na

definiranje odnosa i matematičkih relacija između brzine i gustoće te brzine i prometnog toka

na temelju terenskih mjerenja. Važnost principa očuvanja vozila u prometnom toku nije bila

toliko naglašena do vremena kada su se razvila brza računala koja su potakla i omogućila

korištenje simulacija za modeliranje prometnog toka.

Ovisno na kojoj se razini promatraju karakteristike prometnog toka, modeli prometnog

toka mogu se podijeliti u dvije osnovne kategorije:

♦ makroskopski modeli i

♦ mikroskopski modeli

Makroskopski modeli opisuju ponašanje ukupnog prometnog toka koristeći prosječne

vrijednosti brzine, gustoće i intenziteta toka promatrajući ga kao kontinuiranu cjelinu, dok

mikroskopski pristup polazi od promatranja zakonitosti kretanja pojedinih elemenata toka tj.

pojedinih vozila i njihove interakcije te se ovi modeli još nazivaju i modeli slijeda vozila.

Zbog drugačije razine promatranja kod ove dvije kategorije, razlikuju se i osnovni

parametri koji se koriste za opisivanje prometnog toka. Tako su makroskopske karakteristike

brzina, gustoća i intenzitet toka , dok mikroskopski modeli kao parametre koriste individualnu

brzinu pojedinog vozila, udaljenost vozila i vrijeme slijeda.

Prije sažetog prikaza osnovnih makroskopskih i mikroskopskih modela prometnog toka

dat će se kratki prikaz navedenih deskriptivnih parametara.

5

1.2.1 Osnovni parametri

Brzina

Brzina se uobičajeno definira kao prijeđeni put u jedinici vremena. Međutim, za

definiranje prosječne brzine prometnog toka moguća su dva pristupa. U prvom slučaju

prosječna brzina putovanja na nekoj dionici može se dobiti mjerenjem potrebnih vremena

putovanja pojedinih vozila duž dionice te izračunavanjem njihove prosječne vrijednosti. Na

ovaj način definira se srednja prostorna brzina i izražava kao:

vs = S = NS (1.1)N N

∑ ti ∑t

i

i=1 N i=1

gdje je:

vs = srednja prostorna brzina (km/h)

S = duljina dionice (km)

ti = vrijeme putovanja i-tog vozila (h)

N = broj promatranih vozilaU drugom slučaju prosječna brzina toka može se dobiti kao srednja vrijednost izmjerenih

brzina svih vozila koja su prošla određenim presjekom prometnice u promatranom

vremenskom intervalu. Ovako definirana brzina naziva se srednja vremenska brzina i izražava

se slijedećim izrazom:N

vt =∑v

i

(1.2)i=1

Ngdje je vt srednja vremenska brzina, vi brzina i-tog vozila i N je broj promatranih vozila. U

modelima prometnog toka s teoretskog gledišta radije se koristi srednja prostorna brzina tako

da se u daljnjem tekstu pod pojmom brzine kao makroskopske karakteristike podrazumijeva

ova brzina.

Volumen i intenzitet toka

Za definiranje količine prometnog toka koji prođe određenim presjekom prometnice u

nekom vremenskom periodu mogu se koristiti dvije veličine - volumen i intenzitet toka.

Volumen toka je ukupni broj vozila izbrojen u nekom vremenskom intervalu na određenom

referentnom presjeku, dok intenzitet toka predstavlja istu količinu vozila ali izraženu u jedinici

vremena, najčešće jednom satu. Za bolju ilustraciju navest će se jedan primjer: ako je na jednom

promatranom presjeku izbrojeno 100 vozila u 10 minutnom periodu tada je volumen prometa 100

voz/10 min, a intenzitet prometnog toka je 600 voz/h. Intenzitet prometnog toka ne znači da

6

će tim presjekom stvarno proći 600 vozila, ali izražava prosječnu mjeru dolaska vozila na

temelju 10 minutnog mjerenja.

Važno je razlikovati ove dvije mjere prometnog toka jer se kod modeliranja koristi

veličina intenziteta prometnog toka (u literaturi često nazvan samo prometni tok) s oznakom q

(voz/h). Za volumen prometa uobičajena oznaka je V.

Gustoća prometnog toka

Gustoća prometnog toka k predstavlja broj vozila na jediničnoj duljini traka ili čitavog

kolnika. Direktno mjerenje gustoće može se dobiti iz aero snimka ili pak primjenom osnovne

jednadžbe toka ako su poznati prosječna brzina i intenzitet toka tako da je

k = q / v (1.3)

gdje je:

k = gustoća prometnog toka (voz/km)

q = intenzitet prometnog toka (voz/h)

v = prosječna brzina toka (km/h)

Vrijeme slijeda i vremenska praznina

Vrijeme slijeda definirano je kao vrijeme između prolaska dva uzastopna vozila kroz

referentni presjek na način da se mjeri vrijeme između prolaska prednjeg branika prvog i prednjeg

branika vozila koje slijedi. Uobičajena oznaka je h i mjeri se u sekundama. Iako je vrijeme slijeda

mikroskopski deskriptivni parametar može se dovesti u vezu s pojmom intenziteta toka. Naime, za

poznati intenzitet toka koji je definiran za vrijeme od jednog sata može se dobiti prosječno vrijeme

slijeda h prema izrazu:

= 3600 (sek/voz) (1.4)hq

jer u jednom satu ima 3600 sekunda koje se mogu "raspodijeliti" na q vozila. Iz navedenogizraza vidljivo je također da se iz izmjerenog prosječnog vremena slijeda može definirati

intenzitet toka na promatranoj lokaciji.

Za razliku od vremena slijeda, vremenska praznina označava vremenski interval između

prolaska zadnjeg branika prvog vozila i prednjeg branika vozila koje slijedi.

Veličina vremenske praznine u prometnom toku važna je kod modeliranja toka na

raskrižjima jer o veličini vremenske praznine u glavnom toku ovisi mogućnost odvijanja

lijevog skretanja na semaforiziranim raskrižjima kao i uključivanje vozila iz sporednog toka na

nesemaforiziranim raskrižjima.

7

Udaljenost i razmak

Analogno vremenu slijeda i vremenskoj praznini koje predstavljaju vremenske parametre,

udaljenost i razmak definiraju prostorni odnos dva susjedna vozila. Udaljenost u predstavlja

vrijednost u metrima ili kilometrima između prednjih branika promatranih vozila dok se razmak

∆x mjeri od zadnjeg branika prvog vozila do prednjeg branika onog koje ga slijedi.

Također se i ovdje može uspostaviti veza s makroskopskim veličinama jer se udaljenost

matematički može izraziti kao inverzna vrijednost gustoće toka tj.

u = 1k (km/voz) (1.5)

Na slici 1.1. dan je ilustrativni prikaz navedenih mikroskopskih parametara.

n + 1 n

p = vremenska praznina (sek/voz) ∆ x = razmak (km/voz)

h = vrijeme slijeda (sek/voz)

u = udaljenost (km/voz)

n = vodeće vozilon + 1 = vozilo koje slijedi vodeće

Slika 1.1. Prikaz mikroskopskih deskriptivnih parametara

1.3. Makroskopski modeli prometnog toka

Početak razvoja modela prometnog toka veže se za tridesete godine prošlog stoljeća kada

započinju nastojanja utvrđivanja matematičke veze između osnovnih makroskopskih

parametara. Prvi radovi bili su usmjereni na utvrđivanje funkcionalne zavisnosti između brzine

i gustoće i to kao jednorežimskih modela u uvjetima nezasićenog toka kada je tok manji od

kapaciteta i u uvjetima zasićenog toka kada tok nadilazi kapacitet te dolazi do zagušenja

promatranog elementa prometnog sustava.

8

Rezultati primjene jednorežimskih modela potakli su stručnjake da odnos brzina-gustoća

prikažu kombinacijom dvaju (ili više) modela, posebno za domenu malih gustoća i domenu

velikih gustoća, što je dovelo do razvoja višerežimskih modela.

Prvi model prometnog toka razvio je Greenshields 1934. godine koji je na temelju

izmjerenih podataka i aero snimaka te primjenom regresijske analize utvrdio da se brzina može

izraziti kao linearna funkcija gustoće. Definirao je izraz:

v = v ffs −v

ffs k (1.6)k

j

gdje je:

v = prosječna brzina toka (km/h)

vffs = brzina slobodnog toka tj. brzina kada se tok približava nuli odnosno nema utjecaja

drugih vozila (km/h)

kj = gustoća pri maksimalnoj koncentraciji vozila tj. gustoća pri zagušenju (jam density)

koja se javlja kad je tok potpuno zaustavljen (voz/km)

k = prosječna gustoća toka (voz/km)Na slici 1.2. grafički je prikazan odnos brzine i gustoće i odgovarajući odnosi brzina-tok

i tok-gustoća koji se mogu izvesti iz Greenshields-ovog izraza i predstavljaju najjednostavniju

vezu ova tri osnovna parametra prometnog toka.

vffs

(km

/h)

vc

brzi

na

qc

0 kc kjgustoća (voz/km/traku)

vffs

(km

/h)

vckc

brzi

na

kj

0 qctok (voz/h/traku)

tok

(voz

/h/tr

aku)

vc qc

vffs

0 kc kj gustoća (voz/km/traku)

Slika 1.2. Osnovni dijagrami odnosa brzine, gustoće i toka (Greenshields)

9

Kasnije je Greenberg 1959. god., s pretpostavkom da se prometni tok može promatrati

kao jednodimenzionalni fluid te kombinirajući jednadžbe kretanja i kontinuiteta, predložio

logaritamsku vezu brzine i gustoće i dobio da je:k

j (1.7)v = vc ln

k

gdje je vc = brzina kada je tok jednak kapacitetu prometnice, kj = gustoća pri zagušenju.

Underwood 1961.god. u svom modelu predlaže eksponencijalnu vezu brzine i gustoće,

May predlaže zvonoliki oblik krivulje, dok Drew 1968. god. u relaciju uvodi parametar z

pomoću kojeg razvija opći izraz (1.8) za familiju modela prometnog toka:

z+ 1

k 2v

=

v

ffs 1 − (1.8)

k j

Ovdje je interesantno uočiti da za vrijednost z =1 model postaje linearan (Greenshields-ov

model), za z = 2 paraboličan , za z = 3 eksponencijalan.

Kako je već navedeno, osim jednorežimskih razvijeni su i višerežimski modeli kod kojih

za jednu domenu vrijednosti gustoće odgovara jedan režim dok za slijedeću domenu vrijedi

drugi režim odnosa brzine i gustoće. Na slici 1.3. prikazani su navedeni jednorežimski i

višerežimski modeli odnosa brzine i gustoće prometnog toka.v Greenshields v 2 - režimski linearni

vffs v = vffs(1 - k/k j )

vffs

kkj

kkj

v 3 - režimski linearni v Greenberg

vffs

vffs v = vc ln(kj /k)

vc

k 1 k2

kk c k j

kkj

v Underwood v Edie

vffs v = vffs e -k/kj

vffs v = vffs e -k/kj

v = vc ln(kj /k)

kc

kk c k j

kk j

v zvonolika krivulja vprimjer snimljenih podataka

v = vffs e -0.5(k/k j )2 50vffs 40

302010

k 020 40 60 80 100 120

kk j

Slika 1.3. Neki od predloženih modela odnosa brzine i gustoće prometnog toka

10

Navedeni modeli nisu i jedini modeli koji su razvijeni tijekom vremena i ne postoji

jedinstveni izraz koji najbolje odgovara za sve uvjete prometa, prometnice i okoline. U slučaju

kada postoje izmjereni podaci o brzini i gustoći ili toku za određenu lokaciju, na temelju

testiranja prilagodbe ovih podataka pojedinom modelu, može se utvrditi koji od modela

najbolje opisuje prometni tok na promatranoj lokaciji.

1.4. Mikroskopski modeli prometnog toka

Za razliku od makroskopskih modela čiji parametri opisuju tok kao cjelinu, mikroskopski

modeli opisuju ponašanje jednog para vozila unutar prometnog toka, uz pretpostavku da se

takvo "ponašanje" može zatim primijeniti na sva ostala vozila u toku. Stoga se kod ovih

modela koriste parametri koji opisuju kretanje na razini pojedinog vozila, a to su: individualna

brzina, vrijeme slijeda i razmak vozila čije su definicije dane u uvodnom dijelu.

Ovi modeli koji opisuju način kretanja pojedinog vozila u prometnom toku tj. način na

koji vozilo slijedi vozilo ispred sebe nazivaju se još i modeli slijeda vozila (car-following

models) i na njima se temelji logika simulacijskih modela. Razvili su se početkom 50-ih i 60-ih

godina prošlog stoljeća. Prve radove koji opisuju teoriju slijeda vozila objavili su Reuschel i

Pipes. Daljnji doprinos razvoju modela slijeda vozila dali su Kometani i Sasaki, Forbes te

grupa istraživača unutar General Motors-a koji su također proučavali interakciju vozila unutar

prometnog toka. Naročito važan doprinos dali su istraživači General Motors-a koji su utvrdili

matematičku vezu između mikroskopskih i makroskopskih modela prometnog toka.

Na slici 1.4. prikazan je uobičajeni način označavanja parametara koji se koriste u ovim

modelima, a vezani su uz kretanje dva susjedna vozila tj. vodećeg vozila i onog kojeg ga

slijedi. U daljnjem tekstu vodeće vozilo definira se kao prvo vozilo s oznakom n, a drugo

vozilo, s oznakom n+1, označava ono koje ga slijedi.

xn+1 (t+∆t)

xn+1 (t) xn (t)

n+1 n

Ln+1 Ln

xn+1 (t)

xn (t)

xn (t) - xn+1 (t)

11

n = vodeće vozilo

n+1 = vozilo koje slijedi vodeće

L n = duljina vodećeg vozila (m)

L n+1 = duljina vozila koje slijedi vodeće (m)

x n = položaj vodećeg vozila (m)

x n+1 = položaj vozila koje slijedi vodeće (m)&

= brzina vodećeg vozila (m/s)x n&

+1 = brzina vozila koje slijedi vodeće (m/s)x n

&&

+1 = ubrzanje ili usporenje vozila koje slijedi vodeće (m/s2

)x nt = u trenutku t

t+∆t = u trenutku ∆t nakon t

Slika 1.4. Oznake koje se koriste u teoriji slijeda vozila

Pipes-ov model

Pipes-ov model slijeda vozila temelji se na pravilu da sigurnosni razmak između

promatranog vozila i onog ispred njega iznosi najmanje jednu duljinu vozila za svakih 10 milja

na sat (16 km/h) brzine vožnje promatranog vozila. Ovo općeprihvaćeno pravilo ne temelji se

na znanstveno utvrđenim činjenicama već na empirijskim podacima i na osnovu njega Pipes je

definirao izraz za minimalnu udaljenost sigurne vožnje:

& (t )x n+1

umin

= [x n (t )

− x

n+1 (t )]min =

L

n + Ln (1.9)(1.47)(10 )gdje umin predstavlja udaljenost između prednjih branika prvog i drugog vozila dok je vrijednost 1.47 uvedena zbog pretvaranja mjernih jedinica (mi/h u ft/sec).

Iz izraza (1.9) može se uočiti da prema Pipes-ovoj teoriji najmanja udaljenost sigurne

vožnje linearno raste s povećanjem brzine. Rezultati dobiveni korištenjem gornjeg modela

pokazali su se vrlo bliski podacima dobivenim mjerenjem na terenu.

Forbes-ov model

Forbes je, za razliku od Pipes-a, kao polaznu veličinu proučavao vrijeme reakcije vozača

∆tr tj. vrijeme od trenutka uočavanja potrebe za smanjenjem brzine do početka kočenja. Na

temelju pretpostavke da je vremenska praznina između vozila uvijek jednaka ili veća od vremena

reakcije vozača definirao je minimalnu duljinu vremena slijeda:

hmin = ∆tr +L n (1.10)&

xn (t )

12

Prema ovom modelu minimalno vrijeme slijeda jednako je sumi vremena reakcije ∆tr i vremena potrebnog vodećem vozilu da prijeđe put ekvivalentan njegovoj duljini. Iz gornjeg izraza može se lako izvesti izraz za minimalnu udaljenost sigurne vožnje pa je tako:

= ∆tr [x& n (t )]+ Ln (1.11)

iz čega se uočava da je Forbes-ov model vrlo sličan Pipes-ovom jer i ovdje minimalna

udaljenost sigurne vožnje linearno raste s povećanjem brzine.

Forbes je proveo mnoga mjerenja na terenu koja su pokazala da se rezultati njegovog

modela dobro slažu s izmjerenim podacima, naročito u području srednjih brzina iako su

izmjerene minimalne vremenske praznine varirale od 1 do 3 sekunde.

Modeli General Motors-a

Zajednički rad istraživača okupljenih u General Motorsu, uz određeni broj vanjskih

suradnika, rezultirao je razvojem pet modela slijeda vozila i utvrđivanjem matematičke veze

između mikroskopskih i makroskopskih modela prometnog toka što predstavlja vrlo značajno

dostignuće. Uz to, provedena su vrlo opsežna i složena terenska istraživanja koja su i

omogućila razvoj od prvog, jednostavnog, do petog, generalnog modela načina slijeda vozila te

njihovo testiranje i vrednovanje.

Svi modeli imaju slijedeći temeljni oblik:

reakcija = osjetljivost x podražaj (1.12)U svim modelima reakcija je ubrzanje ili usporenje vozila kao odgovor na podražaj. Podražaj

predstavlja relativnu brzinu vožnje vodećeg vozila u odnosu na promatrano vozilo koje ga

slijedi, dok osjetljivost predstavlja sposobnost vozača da uoči podražaj i odgovarajuće reagira

na njega. Osjetljivost je uvjetovana i mehaničkim mogućnostima vozila. Upravo način

definiranja i matematička interpretacija osjetljivosti su rezultirali razvojem serije od pet

modela General Motors-a.

U prvom modelu osjetljivost je pretpostavljena kao konstantna veličina pa izraz (1.12) poprima slijedeći oblik:

&& & &(t)] (1.13)x

n+1 (t + ∆tr ) = α[ x n (t )− xn+1gdje α označava osjetljivost. Izraz za podražaj, odnosno relativna brzina prvog i drugog vozila,

može biti pozitivan, negativan ili jednak 0 što rezultira ubrzanjem, usporenjem ili pak održavanjem

konstantne brzine drugog vozila. Istraživači General Motorsa proveli su opsežno mjerenje veličine

vremena reakcije ∆tr i parametra osjetljivosti α. Dobiveni interval vrijednosti od 0,17 do 0,74 sek-1

za parametar osjetljivosti, ponukao je istraživače da u parametar osjetljivosti uvedu i utjecaj

razmaka među vozilima. Ovaj zaključak je doveo do razvoja drugog

13

umin

modela u kojem parametar osjetljivosti može imati dva stanja tj. veliku vrijednost α1 kada su

vozila vrlo blizu i malu vrijednost α2 kada je razmak između vozila velik. Matematički se može prikazati slijedećim izrazom:

(t + ∆tr ) =α1

(t )] (1.14)&& & &xn+1 ili [x n (t ) − xn+1

α2Vrlo brzo istraživači su uočili poteškoće kod izbora vrijednosti α1 i α2 što je dovelo do

daljnjih terenskih istraživanja kako bi se na bolji način u parametar osjetljivosti uveo utjecaj

razmaka vozila. Provedena istraživanja rezultirala su trećim modelom slijeda vozila gdje je

osjetljivost izražena kao inverzna funkcija udaljenosti što implicira veću vrijednost osjetljivosti

za manje udaljena vozila. Prema navedenom, treći model General Motors-a tj. jednadžba

slijeda vozila ima oblik:

&& α 0 & &

(t )](t + ∆tr )= xn (t ) − xn+1

xn+1 (t )[

x n (t ) − xn+1 (1.15)gdje je α0 konstanta osjetljivosti. Ovdje je važno uočiti da je dimenzija konstante osjetljivosti

izražena u jedinicama za brzinu dok je u izrazu (1.13) dimenzija konstante osjetljivosti sek -1. Dimenzija brzine kod konstante osjetljivosti bila je ključ kod kasnijeg uspostavljanja matematičke veze između mikroskopskih i makroskopskih modela prometnog toka.

Daljnja nastojanja u poboljšanju parametra osjetljivosti na način da se u izraz uvede i

brzina drugog vozila rezultirala su razvojem četvrtog modela. Osnovna misao je bila da će pri

generalnom povećanju brzine prometnog toka vozač drugog vozila biti osjetljiviji prema razlici

brzine njegovog vozila i brzine vozila koje je ispred. Ova pretpostavka dovela je do slijedećeg

izraza:

′ & (t + ∆t r )]&&

(t + ∆tr )=

α [x n +1 & &

(t )]xn (t ) − xn+1 (t )x

n+1 [x n (t ) − xn+1 (1.16)Može se uočiti da u izrazu (1.16) parametar osjetljivosti ima tri komponente: konstantu α',

brzinu drugog vozila [ x&n+1 (t + ∆tr )] i udaljenost vozila [ xn (t) − xn+1 (t )]. Ovdje je konstanta

osjetljivosti α' bez dimenzija.

Nastavljena istraživanja vezana uz poboljšanje i generaliziranje parametra osjetljivosti

rezultirala su uvođenjem općih eksponenata m i l u izraz (1.16) te se dobiva

& m&&

(t + ∆tr )=

αm,l [x n +1 (t + ∆t r )] & &

(t )]xn (t ) − xn+1 (t )lx

n+1 [x n (t ) − xn+1 (1.17)Ovaj izraz predstavlja konačni peti model i svi prethodni modeli General Motors-a su

specijalni slučajevi ovog općeg modela ovisno o primijenjenim vrijednostima za m i l. Tako se

14

za vrijednosti m= 0 i l = 0 dobiju prvi i drugi model, za m=0 i l = 1 treći, a za m =1 i l =1 četvrti

model General Motors-a.

Dodatno važno dostignuće istraživača General Motors-a je utvrđivanje postojanja

matematičke veze između njihovog trećeg modela (1.15) i Greenberg-ovog makroskopskog

modela prometnog toka definiranog izrazom (1.7). Polazeći od trećeg modela General Motors-

a i primjenom osnovnih matematičkih postupaka integracije, supstitucije i diferencijacije

dolazi se do Greenberg-ovog modela.

Polazeći od hipoteze: ako se Greenbergov model može povezati s trećim modelom slijeda

vozila, tada se i ostali makroskopski modeli mogu dovesti u vezu s nekim od mikroskopskih

modela. Gazis te May i Keller su to uspjeli i dokazati za skoro sve postojeće modele. Tako su npr.

utvrdili da je peti model General Motors-a ekvivalentan modelu Greenshields-a za vrijednosti m = 0

i l = 2, ili pak da za vrijednosti m = 0 i l = 3/2 odgovara modelu Drew-a, itd.

Važnost uspostavljanja ove veze leži u činjenici da se makroskopski parametri toka mogu

jednostavno dobiti korištenjem standardnih detektorskih petlji ili brojača koji u biti mjere

mikroskopske parametre - vrijeme slijeda, razmak, individualnu brzinu, broj vozila.

Primjena modela slijeda vozila

Korištenjem jednadžbe slijeda vozila tj. jednog od prethodno prikazanih modela te uz

primjenu osnovne jednadžbe jednolikog ili jednoliko ubrzanog kretanja može se za svako

pojedino vozilo u prometnom toku odrediti njegov položaj, brzina i ubrzanje u svakom

vremenskom trenutku. Na taj način definira se trajektorija pojedinog vozila. Naravno da

trajektorija vodećeg vozila ovisi o prethodno definiranim graničnim vrijednostima pojedinih

parametara (brzine, ubrzanja i usporenja) i ona predstavlja temelj o kojoj ovise trajektorije svih

vozila koji ga slijede.

Teorija slijeda vozila, sažeto prikazana kroz navedene mikroskopske modele, bila je

osnovno polazište za razvoj simulacija jer se algoritmi mikroskopskih simulacijskih modela

temelje na proračunu položaja, brzine i ubrzanja svakog vozila u prometnom toku. Tako

izračunati podaci za svaki definirani vremenski korak ∆t omogućavaju simulaciju kretanja

vozila duž promatrane prometnice ili čitave mreže. Razvoj digitalnih računala koja u kratkom

vremenu obrađuju veliki broj podataka i omogućavaju grafičku vizualizaciju bila su dodatni

poticaj razvoju i primjeni simulacijskih modela.

15

1.5. Primjena modela na elemente cestovne mreže s neprekinutim i

prekinutim tokom

Generalno promatrajući, s obzirom na vrstu toka, prometni tok može se podijeliti u dvije

osnovne kategorije:

♦ neprekinuti tok, i

♦ isprekidani tok

Neprekinuti tok javlja se na dijelovima prometnog sustava gdje ne postoje vanjski utjecaji

koji bi mogli prouzročiti prekide u prometu. Ovakav tok prvenstveno se javlja na autocestama te

višetračnim ili dvotračnim vangradskim prometnicama gdje nema svjetlosne signalizacije ili

prometnih znakova koji bi mogli povremeno zaustavljati prometni tok. Neprekinutim tokom može

se smatrati i tok na dovoljno dugim dionicama između semaforiziranih raskrižja gdje nema križanja

sa sporednim cestama odnosno uplitanja dodatnih vozila ili isplitanja postojećih.

Uvjeti toka na ovakvim dijelovima prometnog sustava prvenstveno su rezultat interakcije

vozila u samom toku te utjecaja geometrijskih karakteristika prometnice i uvjeta okoline, tako

da i u slučaju pojave zagušenja prometa ono nije rezultat vanjskih faktora već određenih

poteškoća nastalih unutar samog toka.

Slika 1.2. prikazuje generalni odnos između intenziteta prometnog toka, brzine i gustoće i ovi odnosi predstavljaju temelj za kapacitativnu analizu i definiranje razine usluge onih dijelova prometne mreže na kojima vladaju uvjeti neprekinutog toka. Oblik pojedine krivulje može varirati ovisno o prevladavajućim uvjetima prometa i prometnice, ali uvijek imaju

nekoliko karakterističnih točaka. Prva je ona koja definira brzinu slobodnog toka vffs kada su tok i gustoća jednaki nuli što predstavlja teoretsku vrijednost, druga karakteristična veličina je

gustoća pri zagušenju kj kad je tok potpuno zaustavljen. Ove dvije vrijednosti predstavljaju

ekstremne slučajeve. U trenutku kada umnožak brzine i gustoće ima svoj maksimum qc

kapacitet je dostignut, što prema slici 1.2. odgovara uvjetima kada brzina ima vrijednost vc

(brzina pri kapacitetu) i gustoća toka ima vrijednost kc (gustoća pri kapacitetu).

Sve ostale vrijednosti intenziteta prometnog toka koje nisu jednake kapacitetu mogu biti ostvarene ili u uvjetima male gustoće i velikih brzina ili u uvjetima velike gustoće i malih brzina. Prema navedenom se dijagrami na slici 1.2. mogu podijeliti na dva dijela gdje prvi dio

predstavlja uvjete nesaturiranog toka gdje je k<kc i v>vc, a drugi dio uvjete saturiranog toka

gdje je k>kc i v<vc kada se javljaju repovi (kolone) vozila i postupno dolazi do potpunog

zagušenja i zastoja (k=kj i v=0).

16

Za razliku od neprekinutog, kod isprekidanog toka dolazi do povremenih prekida i

zaustavljanja toka zbog djelovanja vanjskih faktora. Ovakav tok javlja se na onim dijelovima

prometnog sustava gdje postoji svjetlosna signalizacija, prometni znakovi ili drugi uređaji za

kontrolu prometa koji utječu na progresiju toka. Prema tome, prekinuti tok javlja se

prvenstveno na raskrižjima (semaforiziranim i nesemaforiziranim) ili mjestima gdje postoji

intenzivni pješački tok.

Prekinuti tok je mnogo složeniji od neprekinutog jer uključuje i dimenziju vremena koju

treba uzeti u obzir kod optimalnog i sigurnog vođenja tokova kroz konfliktnu zonu raskrižja.

Važna specifičnost toka na raskrižjima je stvaranje kolone (repa) vozila zbog periodičnog

zaustavljanja toka te način i mogućnost pražnjenja stvorenog repa.

Kod nesemaforiziranih raskrižja osnovni parametri za modeliranje toka i određivanje

kapaciteta su kritična vremenska praznina koja se definira kao minimalni vremenski interval

koji omogućuje ulazak jednom vozilu iz sporednog prometnog toka u raskrižje i vrijeme slijeda

sporednog toka tj. prosječni vremenski interval između vozila u koloni koja ulaze u raskrižje

tijekom duljih vremenskih praznina u prioritetom toku.

Definiranjem ovih parametara određuje se i način pražnjenja stvorenog repa na

sporednom privozu koji predstavlja temelj za procjenu kapaciteta i razine usluge tj. mjera

efikasnosti raskrižja kao što su prosječno zakašnjenje i duljina kolone. Na temelju dostignuća

teorije prihvaćanja vremenskih praznina i teorije repova razvijeni su različiti modeli za

procjenu kapaciteta te modeli za procjenu zakašnjenja nesemaforiziranih raskrižja.

Na raskrižjima sa svjetlosnom signalizacijom važan utjecaj na funkcioniranje samog

raskrižja i odvijanje toka, a time i definiranje kapaciteta i mjera efikasnosti, ima način rada

semaforskih uređaja. Način i mogućnost pražnjenja stvorenih kolona, a time i efikasno

odvijanje prometa značajno ovisi o duljini ciklusa, točnije o broju i duljini trajanja pojedine

zelene faze i njihovoj progresiji.

17

Literatura:

1. [D.1] Drew, D.R. Traffic Flow Theory and Control, McGraw-Hill Book Company, New

York, 1968.

2. [F.1] Fambro, D. B. and Rouphail, N. M., Generalized Delay Model for Signalized

Intersections and Arterial Streets, Transportation Research Record 1572, TRB, National

Research Council, Washington, D. C., pp. 112-121, 1997.

3. [G.1] Gazis, D.C., Herman, R., Potts, R., Car-Following Theory of Steady-State Traffic

Flow, Operations Research, Vol. 7, 1959

4. [G.3] Greenberg, H., An Analysis of Traffic Flows, Operations Research, Vol.7, ORSA,

Washington, DC, 1959.

5. [G.4] Greenshields, B., A Study of Traffic Capacity, Proceedings of the Highway Research

Board, Vol. 14, Transportation Research Board, National Research Council, Washington,

DC, 1934.

6. [M.1] May, A.D., Traffic Flow Fundamentals, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New

Jersey, 1990.

7. [M.2] May, A.D., Keller, H. E. M., Non-integer Car-Following Models, Highway Research

Board, Record 199, Washington D.C., 1967.

8. [M.4] McShane, W.R., Roess, R.P., Prassas, E.S., Traffic Engineering, Prentice Hall,

Englewood Cliffs, New Jersey, 1990.

9. [P.1] Pipes, L.A., An Operational Analysis of Traffic Dynamics, Journal of Applied

Physics, Vol.24, No. 3, 1953.

10. [R.1] Reuschel, A., Vehicle Movements in Platoon, Oesterreichisches Ingeniuer-Archir,

Vol.4, 1950

11. [U.1] Underwood, R., Speed, Volume and Density Relatinships, Quality and Theory of

Traffic Flow, Yale Bureau of Highway Traffic, New Haven, CT, 1961.

12. [W.1] Webster, F., Traffic Signal Settings, Road Research Technical Paper No.39, Road

Research Laboratory, London, U.K., 1958.

18

2. Analiza prometnog toka na

semaforiziranim raskrižjima

19

2.1 Općenito

Na raskrižjima sa svjetlosnom signalizacijom važan utjecaj na funkcioniranje samog

raskrižja i odvijanje toka, a time i definiranje kapaciteta i mjera efikasnosti, ima način rada

semaforskih uređaja. Način i mogućnost pražnjenja stvorenih kolona, a time i efikasno

odvijanje prometa značajno ovisi o duljini ciklusa, točnije o broju i duljini trajanja pojedine

zelene faze i njihovoj progresiji.

Stoga se modeli za analizu i ocjenu funkcioniranja raskrižja sa svjetlosnom

signalizacijom temelje na četiri osnovna koncepta od kojih svaki opisuje pojedine specifičnosti

prometnog toka na ovim raskrižjima, a to su:

♦ definiranje vremena slijeda, zasićenog toka i kapaciteta

♦ koncept kritičnog traka i raspodjele vremena

♦ utjecaj lijevih skretača

♦ zakašnjenje i druge mjere efikasnosti.

U daljnjem tekstu prikazano je značenje i modeliranje navedenih karakteristika potrebnih

za razvoj bilo kojeg analitičkog modela semaforiziranih raskrižja.

2.2. Definiranje vremena slijeda, zasićenog toka i kapaciteta

Na semaforiziranim raskrižjima određeni dio prometnog toka se zaustavlja za vrijeme

crvenog svjetla i dolazi do akumuliranja vozila na stop crti. Stoga je osnovna karakteristika

koju je potrebno opisati kod modeliranja prometnog toka način odlaska vozila sa stop crte u

trenutku pojave zelenog svjetla na semaforskom uređaju. Da bi se definirao način odlaska

vozila tj. način pražnjenja stvorenog repa, razmotrit će se primjer s N vozila u koloni koji

čekaju zelenu fazu na jednom privozu raskrižja kao što je prikazano na slici 2.1.

1 2 3 4 N

Slika 2.1. Stvaranje kolone na privozu semaforiziranog raskrižja

20

Nakon aktiviranja zelene faze vozila se počinju kretati jedan za drugim i odlaze s

privoza. Uobičajeno je da se odlazak vozila smatra kada zadnja osovina prijeđe stop crtu. Ako

se mjere vremenski intervali između odlazaka pojedinih vozila s privoza tada se na temelju

tako izmjerenih podataka može nacrtati dijagram kao na slici 2.2. u kojem je apscisa referentno

vozilo u repu, a ordinata vrijednost vremena proteklog između odlaska uzastopnih vozila.

Vremenski interval između odlaska dva uzastopna vozila tj. međuvrijeme prelaska zadnje

osovine preko stop crte, definira se kao vrijeme slijeda (engl. headway). Na slici 2.3. prikazan

je opći oblik krivulje vremena slijeda u odnosu na položaj vozila u koloni.

vrije

me

slije

da (s

ekun

de)

4.54.03.53.0 2.5

2.0 1.5 1.0 0.5

0.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Vozilo

Slika 4. Primjer izmjerenih vremena slijeda

vrije

me

prel

aska

stop

cr

te

h = vrijeme slijeda zasićenog tokae(i) l1 = ∑e(i) = početno izgubljeno

h t(i)vrijeme

1 2 3 4 5 6 7vozila u repu

Slika 5. Opći oblik krivulje vremena slijeda

Na obje prethodne slike može se uočiti da je prvo vrijeme slijeda (koje se mjeri od

trenutka aktiviranja zelene faze) najdulje jer uključuje vrijeme reakcije prvog vozača na

stop crti kao i vrijeme potrebno za pokretanje i ubrzanje vozila. Slijedeće vrijeme slijeda je

nešto kraće jer drugi vozač svoje vrijeme reakcije i vrijeme ubrzanja može preklopiti s

vremenom prvog vozača. Svako slijedeće vrijeme slijeda nastavlja se smanjivati dok se

vrijednost ne stabilizira oko jedne određene vrijednosti h. Prema provedenim istraživanjima

utvrđeno je da ovo izravnanje vremena

21

slijeda počinje s četvrtim ili petim vozilom u repu te se vrijednost h definira kao zasićeno

vrijeme slijeda. Ono predstavlja vrijeme između uzastopnih odlazaka vozila kada postoji

kontinuirana stabilizirana kolona u kretanju kroz raskrižje.

Na temelju navedenih podataka, pri modeliranju prometnog toka na semaforiziranom

raskrižju prikladno je pretpostaviti da je svakom vozilu potrebno h sekunda zelenog vremena

za ulazak u raskrižje. Iz ovakve pretpostavke može se izvesti i pojam zasićenog toka gdje je

zasićeni tok s broj vozila u jednom satu koja bi mogla ući u raskrižje da je na signalnom

uređaju cijelo vrijeme zeleno svjetlo. Iz navedenog slijedi:

s = 3600 / h (2.1)

gdje je : s = zasićeni tok (voz/h zel)

h = zasićeno vrijeme slijeda (sek)3600 = sekunda / sat

Jedinica za definiranje zasićenog toka je "vozila na sat zelenog vremena po traku", a

množeći ga s brojem trakova dobije se "vozila na sat zelenog vremena" za određeni privoz

raskrižja.

Kada bi svjetlo na signalnom uređaju doista bilo stalno zeleno, zasićeni tok predstavljao

bi kapacitet promatranog traka ili privoza tj. maksimalni broj vozila koja mogu proći tim trakom ili

privozom u uvjetima (geometrijskim i prometnim) koji vladaju na promatranoj lokaciji. Međutim, s

obzirom da se zeleno i crveno svjetlo ciklički izmjenjuju tokom vremena, za definiranje i

modeliranje kapaciteta privoza i/ili raskrižja i procjenu mjera efikasnosti potrebno je uzeti u obzir

zaustavljanje i ponovno pokretanje vozila za vrijeme svakog pojedinog ciklusa.

Ako bi se promatrala prosječna vrijednost vremena slijeda h (kao što je slučaj kod

modeliranja neprekinutog toka) tada bi ona bila veća od h sekunda zbog većih vremena slijeda

prvih 3-4 vozila na stop crti. Stoga se, radi jednostavnijeg modeliranja načina pražnjenja repa,

umjesto prosječnog vremena slijeda koje ovisi o broju vozila u repu upotrebljava konstantna

vrijednost zasićenog vremena slijeda od h sek/voz, a dodatno potrebno vrijeme koje koristi

prvih nekoliko vozila promatra se kao zasebna vrijednost kroz pojam početnog izgubljenog

vremena. Ako se razlika između zasićenog vremena slijeda h i pojedinog vremena slijeda prva

tri do četiri vozila na stop crti označi s e(i) kako je prikazano na slici 2.3. tada se pojam

početnog izgubljenog vremena definira kao:

l1 = ∑e(i ) (2.2)i

gdje je: l1 = početno izgubljeno vrijeme u sekundama

e(i) = razlika vremena slijeda za vozilo i i zasićenog vremena slijeda h

i = 1 do n gdje je n posljednje vozilo s vremenom slijeda većim od h

22

Računanjem početnog izgubljenog vremena l1 kao zasebne vrijednosti, koja predstavlja

vrijeme potrebno za reakciju vozača i ubrzanje prvih vozila, pojednostavljuje se način opisivanja kretanja vozila na raskrižju i s tim u vezi definiranje ostalih potrebnih parametara. Tako se, s ovim pojednostavljenjem, trajanje zelene faze potrebne za uslugu N vozila u jednom ciklusu može jednostavno odrediti na slijedeći način:

Z = l1 + h N (2.3)

gdje je:

Z = vrijeme potrebno za prolaz N vozila po traku (sek)

l1 = početno izgubljeno vrijeme (sek)

h = zasićeno vrijeme slijeda (sek)uz uvjet da su poznati podaci o početnom izgubljenom vremenu i zasićenom vremenu slijeda.

Sofisticiraniji pristup u definiranju zelene faze, a time i određivanju kapaciteta traka ili

privoza je proračun tzv. efektivnog zelenog vremena gi. Efektivno zeleno vrijeme predstavlja

vrijeme koje se stvarno može koristiti za prolaz vozila kroz raskrižje i definira se izrazom:gi = Gi + Yi - tL (2.4)

gdje je: gi = efektivno zeleno vrijeme za smjer i

Gi = aktualno zeleno vrijeme za smjer i (vrijeme zelenog svjetla na semaforu)

Yi = suma žutog za smjer i i vremena kad je svima crveno (Yi najčešće iznosi 3–5 sek)

tL = ukupno izgubljeno vrijeme po fazi, (tL = l1 + l2)

Ovdje je uveden pojam ukupnog izgubljenog vremena tL = l1 + l2 kojeg sačinjavaju

početno izgubljeno vrijeme l1 i vrijeme pražnjenja raskrižja (clearance time) l2 kada nijedno

vozilo ne ulazi u raskrižje. Vrijeme pražnjenja l2 je vrijeme proteklo od ulaska zadnjeg vozila u raskrižje s privoza kojem je dozvoljeno kretanje do početka slijedeće zelene faze u kojoj je dozvoljeno kretanje vozilima nekog drugog privoza.

Odnos efektivnog zelenog svjetla i duljine ciklusa (gi/C) naziva se odnos zelenog svjetla

za smjer i i predstavlja učešće stvarno raspoloživog vremena za ovaj manevar kretanja u

jednom ciklusu. Kako je zasićeni tok si broj vozila za smjer i koji u jednom satu mogu ući u

raskrižje uz uvjet da je na semaforu stalno zeleno svjetlo, tako se sada uz definirani odnos zelenog svjetla, kapacitet traka ili grupe trakova za smjer i može definirati slijedećim izrazom:

c = si

gi

(2.5)C

gdje je: ci = kapacitet za smjer i (voz/h ili voz /h/ traku)

si = zasićeni tok za smjer i (voz/h ili voz /h/ traku)gi = efektivno zeleno vrijeme za smjer i (sek)

C = duljina ciklusa (sek)

23

Određivanje zasićenog vremena slijeda, zasićenog toka, izgubljenog vremena i

efektivnog zelenog vremena presudno je kod modeliranja i proračuna kapaciteta koji

predstavlja osnovni ulazni podatak za daljnju analizu i vrednovanje funkcioniranja

semaforiziranih raskrižja i određivanje mjera efikasnosti. Iz izraza (2.5) vidljivo je da se

osnovni problem definiranja kapaciteta svodi na određivanje vrijednosti zasićenog toka. Za to

postoje dvije mogućnosti: direktno određivanje zasićenog toka na promatranoj lokaciji što

iziskuje angažman određenog broja ljudi i potrebnog vremena za prikupljanje i analizu

terenskih podataka ili procjena stvarnog zasićenog toka pomoću nekog od razvijenih modela.

U svim analitičkim modelima za analizu funkcioniranja semaforiziranih raskrižja

procjena stvarnog zasićenog toka temelji se na idealnom zasićenom toku pod kojim se

podrazumijeva neprekinuti tok samo putničkih vozila koja idu pravo u jednom smjeru. Pri

tome su i uvjeti idealni tj. uzdužni nagib je 0%, širina traka je 3,60 m, nema bočnih smetnji,

nema pješaka ni manevara parkiranja te je stanje ceste i klimatskih prilika također idealno. To

znači da u idealnim uvjetima zakonitosti kretanja vozila ovise samo o njihovoj međusobnoj

interakciji. Međutim, poznato je da u realnom toku postoji niz specifičnih čimbenika koji

utječu na odvijanje prometnog toka, a obuhvaćeni su kroz pojam prevladavajućih uvjeta

Prevladavajući uvjeti generalno se mogu podijeliti na uvjete prometa, uvjete prometnice i

uvjete rada svjetlosne signalizacije.

Uvjeti prometa uključuju intenzitet prometnog opterećenja, raspodjelu manevara kretanja

vozila (lijevo, pravo, desno), strukturu toka unutar svake grupe manevara, pješačke i biciklističke

tokove, manevre parkiranja, i sl.

Uvjeti prometnice uključuju osnovnu geometriju raskrižja odnosno broj i širinu trakova,

uzdužne nagibe privoza, način korištenja trakova uključujući i trakove za parkiranje u zoni

raskrižja i sl.

Uvjeti signalizacije uključuju potpuno definiranje ukupne duljine ciklusa, broja i trajanja

pojedinih faza, tipa kontrole te načina izmjene faza signala.

Utjecaj svih ovih faktora na određenoj lokaciji uvode se u proračun procjene veličine

zasićenog toka na način da se idealni zasićeni tok, definiran za idealne uvjete, množi

korekcijskim faktorima koji odražavaju prevladavajuće uvjete tj.:

s = s0 × N × fi i =1,..., n (2.6)

gdje je:

s = procjena stvarnog zasićenog toka

s0 = idealni zasićeni tok

24

N = broj trakova u grupifi = korekcijski faktori koji idealne uvjete prevode u prevladavajuće uvjete.

Svaki od postojećih analitičkih modela za proračun kapaciteta kao što su npr. američki

Highway Capacity Manual (HCM), kanadski Canadian Capacity Guide (CCG), njemački RAS,

australska SIDRA i drugi, precizno definira idealan tok te prevladavajuće uvjete i način

proračuna korekcijskih faktora.

2.3. Koncept kritičnog traka i raspodjele vremena

Pojam kritičnog traka i način raspodjele vremena usko su povezani kod opisivanja i

analize funkcioniranja semaforiziranih raskrižja.

Pod raspodjelom vremena podrazumijeva se dodjeljivanje dijela raspoloživog vremena

pojedinim tokovima vozila i pješaka tako da im se omogući što sigurnije i efikasnije kretanje i

prolaz kroz raskrižje. Raspoloživo vrijeme za dodjeljivanje uvijek je isto: 3600 sekunda u

jednom satu i težnja je iskoristiti ga optimalno. Koncept kritičnog traka sadrži princip

raspodjele tog vremena.

Za vrijeme svake faze obično je dozvoljeno kretanje vozilima iz nekoliko trakova, no samo

jedan od njih ima najintenzivniji promet i po definiciji on predstavlja kritičan trak za tu fazu. Stoga

se može pretpostaviti da dodjeljivanje dovoljnog efektivnog zelenog vremena kritičnom traku

podrazumijeva kvalitetnu uslugu i vozilima na ostalim trakovima koji koriste istu fazu.

Na slici 2.4 prikazan je primjer četverokrakog raskrižja ulica s dvofaznim signalnim

sustavom i naznačenim kritičnim trakovima na temelju kojih se zatim vrši raspodjela

raspoloživog vremena tj. određivanje duljine ciklusa te broja i trajanja pojedinih faza.

Slika 7. Koncept kritičnog traka

25

U okviru svake faze postoji početno izgubljeno vrijeme i vrijeme pražnjenja raskrižja koji

čine ukupno izgubljeno vrijeme tL definirano u izrazu (2.4) kada se raskrižje praktički ne koristi.

Ako ciklus ima N faza tada ukupno izgubljeno vrijeme u jednom ciklusu iznosi:

TL = N tL (2.7)Ako je duljina ciklusa C sekunda, tada je ukupan broj ciklusa u jednom satu 3600/C.

Sada se, nakon definiranja broja ciklusa, može odrediti i ukupno izgubljeno vrijeme u jednom

satu koje iznosi:

T = T 3600 = Nt 3600 (2.8)LH L C L C

Budući su kroz ukupno izgubljeno vrijeme obuhvaćeni vremenski intervali kada seraskrižje ne koristi tj. obuhvaćeno je izgubljeno vrijeme na početku svake zelene faze potrebno za reakciju vozača i ubrzanje vozila kao i vrijeme na kraju zelene faze kada se prazni

konfliktna zona raskrižja tada slijedi da se preostalo vrijeme u satu TG, koje se može

raspodijeliti kao efektivno zeleno vrijeme za pojedine faze, može izračunati prema izrazu:

T = 3600 −T = 3600 − Nt 3600 (2.9)CG LH L

Stavljanjem u odnos raspoloživog efektivnog zelenog vremena u jednom satu i zasićenog

vremena slijeda definira se maksimalni broj vozila koji može proći raskrižjem u toku jednog sata.

Ovaj odnos u stvari predstavlja maksimalno moguću sumu prometnih opterećenja kritičnih trakova

na promatranom semaforiziranom raskrižju. Matematički se izražava relacijom:

V =T

G =1 3600 − Nt 3600 (2.10)Lc

h h Cgdje je Vc maksimalna suma prometnih opterećenja kritičnih trakova.

Ovako definiran kritični prometni tok je još jedan način definiranja kapaciteta ako je

poznato zasićeno vrijeme slijeda i ukupno izgubljeno vrijeme po fazi.

Korištenjem izraza (2.10) može se utvrditi međusoban odnos kapaciteta, duljine ciklusa i

broja faza po ciklusu. Naime, za poznato zasićeno vrijeme slijeda i ukupno izgubljeno vrijeme može se izračunati kapacitet Vc za različite duljine ciklusa i različiti broj faza. Ako se prema

dobivenim podacima izradi dijagram odnosa kapaciteta i duljine ciklusa dobit će se krivulje

oblika kao na slici 2.5. gdje je za h uzeta vrijednost od 2,15 sek, a tL = 3 sek/fazi.

26

1700

1600

1500

/sat

)

1400 N= 2

(voz N= 3

1300 N= 4Vc

1200

1100

1000

40 90 140 190 240

duljina ciklusa (sek)

Slika 2.5. Prikaz kapaciteta u odnosu na duljinu ciklusa i broj faza

Na temelju dobivenih krivulja može se zaključiti da će kapacitet rasti s porastom duljine

ciklusa. Razlog je što se izgubljeno vrijeme definira kao konstanta za svaku fazu pa manji broj

ciklusa tijekom jednog sata povlači manji broj faza, a time i manje izgubljenog vremena. Na

dijagramu se može uočiti da iako je kapacitet stalno u porastu, u domeni većih vrijednosti

duljine ciklusa dolazi do smanjenja osjetljivosti kapaciteta u odnosu na duljinu ciklusa kada

duži ciklus ne pridonosi značajnijem povećanju kapaciteta.

Nadalje, iz daljnje analize međusobnih odnosa može se zaključiti da se kapacitet

povećava što je manji broj faza u jednom ciklusu, što je ponovno povezano s činjenicom da se

izgubljeno vrijeme pripisuje svakoj fazi.

To objašnjava nastojanja da se na semaforiziranom raskrižju primjeni dvofazni sustav.

No takovo rješenje može biti i neefikasno u određenim prometnim uvjetima i smanjivati

kapacitet što prvenstveno ovisi o mogućnosti lijevih skretača da koriste vremenske praznine u

konfliktnom toku.

Osim za određivanje kritičnog prometnog toka koje može proći raskrižjem, relacija (2.10) se može upotrijebiti i za definiranje potrebnog broja trakova na privozu ili se pak može koristiti za određivanje minimalne duljine ciklusa. Broj potrebnih trakova može se utvrditi tako da se postojeći ili planirani prometni tok raspodijeli na trakove po pojedinim privozima na

način da suma broja vozila na kritičnim trakovima ne prelazi utvrđeni Vc.

S druge stane ako je geometrija raskrižja (broj trakova) limitirana prostornim uvjetima tada se za mogući broj trakova i definirani postojeći ili planirani prometni tok može utvrditi

maksimalna suma volumena kritičnih trakova Vc te iz relacije (2.10) odrediti minimalno potrebnu duljinu ciklusa koja će propustiti to prometno opterećenje. Tada je minimalna duljina

ciklusa za poznato vrijeme slijeda h i izgubljeno vrijeme tL definirana izrazom:

27

Cmin

= 3600NtL

(2.11)3600 −Vc h

Relacija (2.28) češće se koristi napisana u ovom obliku:

Cmin

= NtL(2.12)

1−Vc

3600 / hMeđutim, ovakav proračun temelji se na ukupnom broju vozila u satu ne uzimajući u obzir

fluktuaciju toka unutar samog vršnog sata, a osim toga predstavlja apsolutno minimalnu duljinu

ciklusa u kojoj se koristi svaka sekunda efektivnog zelenog vremena što znači da je tok jednak

kapacitetu (q/c = 1) tokom cijelog sata što uzrokuje velika zakašnjenja i lošu razinu usluge.

Uvođenjem faktora vršnog sata (FVS) u izraz (2.12), čime se uzima u obzir fluktuacija

toka, i uvođenjem odnosa q/c kojim se definira željeni odnos prometnog toka i kapaciteta na

određenoj lokaciji, relacija (2.12) se prevodi u izraz (2.13) za proračun tzv. poželjne duljine

ciklusa:C

poz = NtL (2.13)V

c

1 − FVS(q / c)(3600 / h)

Faktor vršnog sata karakterizira varijaciju prometnog toka unutar vršnog sata i važan je u

kapacitativnoj analizi jer da bi bilo koji segment prometne mreže funkcionirao na

zadovoljavajući način potrebno ga je dimenzionirati tako da svojim kapacitetom zadovoljava i

u uvjetima najintenzivnijeg toka koji se obično javlja u kraćim vremenskim intervalima. FVS

se računa kao odnos stvarnog broja vozila (volumena) u jednom satu i najvećeg volumena

prometa u kraćem vremenskom intervalu, a izvedenog na vrijednost jednog sata. Za raskrižja je

uobičajeno da se uzima najintenzivnijih 15 min u toku vršnog sata pa se faktor vršnog sata

računa kao:

FVS =V

60 (2.14)4×V15

gdje je:V60 = volumen prometa u vršnom satu

V15 = volumen prometa u najopterećenijih 15 minuta vršnog sata

Manja vrijednost faktora vršnog sata odražava veću varijabilnost toka, dok veće

vrijednosti ukazuju na manje promjene intenziteta ali i veći ukupni satni volumen.

28

2.4. Utjecaj lijevih skretača

Kod modeliranja prometnog toka na semaforiziranim raskrižjima najsloženije je

matematički interpretirati tok lijevih skretača jer na izvršenje manevra lijevog skretanja utječe

mnogo faktora.

U prvom redu treba razlikovati geometrijske karakteristike privoza odnosno da li lijevi

skretači koriste isti trak kao i vozila koja idu pravo kroz raskrižje ili postoji poseban, dodatni

trak za lijeve skretače. Nadalje, ovisno o primijenjenom programu rada svjetlosnih signala,

lijevi skretači mogu koristiti istu fazu kao i vozila koja idu pravo, zatim mogu imati posebnu

fazu tj. zaštićeno zeleno vrijeme ili pak kombinaciju ova dva slučaja. Kod kombinirane zelene

faze zaštićeno vrijeme može biti ili prije ili poslije zelenog vremena kojeg koriste vozila koja

idu pravo.

Međutim, bez obzira na način regulacije, lijevim skretačima uvijek je potrebno više efektivnog zelenog vremena za prolaz kroz raskrižje nego vozilima koja idu pravo zbog same prirode takvog kretanja. U praksi, ovo veće potrebno vrijeme u svim modelima uzima se u

obzir korištenjem faktora ekvivalencije ELT kojim se definira broj vozila koja bi mogla proći

pravo kroz raskrižje za isti vremenski period potreban za prolaz jednog vozila koje skreće lijevo. Drugim riječima, efektivno zeleno vrijeme potrebno za prolaz jednog lijevog skretača kroz raskrižje jednako je prosječnom potrebnom vremenu jednog vozila koje ide pravo

pomnoženom s faktorom ekvivalencije ELT.

Za slučaj kada nemaju zaštićenu fazu, lijevi skretači moraju čekati na prihvatljivu

vremensku prazninu u suprotnom toku. Ako pri čekanju koriste zajednički prometni trak tada

blokiraju ostala vozila na traku koja su prisiljena čekati ili, ako je moguće, mijenjaju prometni

trak, a sve to znatno utječe na kapacitet privoza.

Modeliranje prihvaćanja vremenske praznine u suprotnom toku ovisi o veličini najmanje

(kritične) vremenske praznine koju će prihvatiti lijevi skretači te o raznim parametrima koji

opisuju nasuprotni tok kao što su intenzitet toka, način dolaska vozila, broj trakova, duljina

zasićenog i nezasićenog dijela zelenog vremena, tako da modeli za procjenu zasićenog toka, a

time i kapaciteta moraju uzeti u obzir utjecaj svih ovih veličina i kroz određene parametre

ukomponirati ih u proračun korekcijskog faktora utjecaja lijevih skretača.

29

2.5. Mjere efikasnosti semaforiziranih raskrižja

Za dijelove prometnog sustava s neprekinutim prometnim tokom, dakle za dionice

autocesta i drugih vangradskih cesta, mjere učinkovitosti pretežno su vezane uz pojmove

prosječne ili maksimalne brzine i gustoće koje se mogu ostvariti na promatranim segmentima

mreže. Budući su raskrižja u osnovi samo točke unutar prometnog sustava cesta i ulica to je

definiranje mjera efikasnosti za opis kvalitete funkcioniranja raskrižja nešto složenije nego kod

slobodnih dionica s neprekinutim tokom.

Osnovni prometni pokazatelji koji se koriste u analizi funkcioniranja raskrižja, a kojima

se kvantificiraju određeni aspekti prolaska vozila kroz raskrižje i na taj način "mjeri"

učinkovitost samog raskrižja su:

• zakašnjenje

• duljina repa i

• broj zaustavljanja

Zakašnjenje se definira kao razlika između vremena putovanja koje vozilo ostvari uz

utjecaj rada semafora i vremena putovanja koje bi vozilo ostvarilo na istom putu da nema

kontrole semaforom. Koristi se za određivanje razine usluge semaforiziranih raskrižja i u

optimalizaciji načina rada semaforskih uređaja, a detaljnije je opisano u slijedećem poglavlju.

Treba još naglasiti da se zakašnjenje može promatrati kao ukupno zakašnjenje ili pak kao

prosječno zakašnjenje po vozilu. Pod ukupnim zakašnjenjem podrazumijeva se zakašnjenje

svih vozila koja su prošla kroz raskrižje u nekom vremenskom periodu i izražava se u vozila-

sati ili vozila-sekundi dok se prosječno zakašnjenje po vozilu izražava u sekundama po vozilu

(sek/voz ili min/voz ili h/voz) za određeni vremenski interval i predstavlja individualno

zakašnjenje vozila.

Osim zakašnjenja koje se najčešće koristi kao mjera učinkovitosti i prema kojem se

definira razina usluge raskrižja, vrlo korisni prometni pokazatelji su duljina repa i broj

zaustavljanja. Prosječna duljina repa tj. broj akumuliranih vozila koristi se za definiranje

potrebne duljine dodatnih trakova na privozu dok je broj zaustavljanja važan ulazni podatak za

određivanje količine ispušnih plinova tj. zagađenosti zraka i potrošnje goriva.

U daljnjem tekstu prikazat će se razvoj modela zakašnjenja kao najvažnijeg pokazatelja

kvalitete funkcioniranja semaforiziranog raskrižja, a dat će se i kratki prikaz modeliranja

duljine repa.

30

2.5.1 Analitički modeli zakašnjenja

Važnost potrebe modeliranja zakašnjenja na privozima raskrižja proizlazi iz činjenice da

se ovaj parametar koristi kako u postupku dimenzioniranja pojedinih elemenata raskrižja tako i

kod analize i vrednovanja učinkovitosti postojećih rješenja. Na primjer, minimizacija

zakašnjenja često se koristi kao osnovni kriterij za optimizaciju rada semaforskih uređaja tj. za

određivanje najpovoljnije duljine ciklusa i pojedinih faza što je dalje vezano i uz definiranje

geometrije raskrižja. Kao evaluacijski kriterij koristi se u HCM-u gdje se na temelju veličine

prosječnog zakašnjenja po vozilu utvrđuje razina usluge. Prihvaćanje zakašnjenja kao

optimizacijskog i evaluacijskog kriterija jest u činjenici da je ono direktno vezano za iskustvo

koje ostvare vozači pri prolazu kroz raskrižje.

Na semaforiziranim raskrižjima zakašnjenje se definira kao razlika vremena putovanja

stvarno ostvarenog pri prolazu kroz raskrižje i vremena koje bi vozilo ostvarilo da nema

kontrole semaforskim uređajem.

Točnu vrijednost zakašnjenja teško je utvrditi jer ono uključuje zakašnjenje povezano s

usporenjem vozila do zaustavljanja, zatim zakašnjenje zbog stajanja u koloni čekajući zelenu

fazu kao i vrijeme potrebno za ubrzanje vozila nakon zaustavljanja do postizanja brzine

slobodnog toka. Zorniji prikaz navedenih komponenti zakašnjenja dan je na slici 2.6 gdje je na

dijagramu put-vrijeme ucrtana trajektorija jednog vozila koje je na svom putu zaustavljeno

zbog crvenog svjetla na raskrižju.

Put

Zakašnjenjeusporenja

Ukupno zakašnjenje

Zakašnjenje stajanja

Zakašnjenjeubrzanja

Putanja vozila bez stajanja

Putanja vozila sa stajanjem i postupnim usporenjem i ubrzanjemPutanja vozila sa stajanjem i trenutnim usporenjem i ubrzanjem

Vrijeme

Slika 2.6. Prikaz komponenti zakašnjenja na privozu raskrižja

31

Kako je prikazano na slici 2.6 ukupno zakašnjenje sastoji se od zakašnjenja usporenja,

zakašnjenja stajanja i zakašnjenja ubrzanja. Zakašnjenje stajanja u principu se definira kao

vrijeme potpunog mirovanja vozila iako kod većine modela ovo zakašnjenje uključuje i

vrijeme kada se vozilo kreće ekstremno malom brzinom pa tako npr. ova granična vrijednost u

HCM-u, CORSIM-u i nekim drugim modelima iznosi 1,2 m/sek što odgovara prosječnoj brzini

pješaka i sva kretanja vozila brzinom manjom od ove uključena su u zakašnjenje stajanja.

Iako je veliki dio zakašnjenja prouzročen radom svjetlosnih signala, postoji dio zakašnjenja

koji ovisi o vremenu reakcije vozača na promjenu signala i o tehničkim mogućnostima vozila da

krenu iz stanja mirovanja te je ovo zakašnjenje uzeto u obzir kroz definiciju početnog izgubljenog

vremena. Pridodajući i potrebno vrijeme pražnjenja konfliktne zone raskrižja i time definiranja

ukupnog izgubljenog vremena, ciklus se može promatrati kroz efektivne intervale (efektivno zeleno

vrijeme i efektivno crveno vrijeme) umjesto aktualnog zelenog, žutog i crvenog vremena kako je i

prikazano na slici 2.7. Na ovaj način se proračun zakašnjenja kod analitičkih modela svodi na

efektivni period kada je tok zaustavljen i efektivni period kada je tok u potpunom kretanju gdje se

za svaki od njih način pražnjenja raskrižja može smatrati konstantnim tj. za vrijeme efektivnog

crvenog vremena prometni tok na promatranom privozu jednak je nuli dok je za vrijeme efektivnog

zelenog vremena jednak veličini zasićenog toka.

Slika 2.7. Prikaz osnovnih atributa toka na semaforiziranim raskrižjima

32

Budući je osnovna posljedica primjene crvenog signala i prekidanja tokova na

semaforiziranim raskrižjima stvaranje kolona na privozu koje čekaju da budu uslužene tj. da

im se omogući prolaz raskrižjem to se svi primjenjivi modeli za procjenu zakašnjenja i duljine

repa na semaforiziranim raskrižjima temelje na dostignućima teorije repova.

Teorija repova ima široku primjenu jer se temelji na analizi općeg (apstraktnog) sistema

u kojem se vrši neka vrsta usluge elementima koji ulaze u sistem pa se njena teoretska

dostignuća mogu primijeniti za razne vrste problema koji se mogu interpretirati kao takvi

procesi. Kao primjer mogu se navesti procesi u telekomunikacijama, šalterske usluge,

satelitske komunikacije i dr., a u samom transportnom sustavu dostignuća teorije repova mogu

se koristiti kod modeliranja toka na raskrižjima, naplatnim kućicama, parkirališnim

površinama, kod incidentnih situacija i sl.

2.5.1.1 Osnovne postavke i izvedene relacije teorije repova

Teorija repova razvila se s ciljem opisivanja ponašanja nekog sistema kojem je glavni

zadatak da pruži odgovarajuću "uslugu" ili "servis" za slučajno nailazeće zahtjeve. Temeljna

postavka teorije repova je da se stvaranje zastoja interpretira kroz vrijeme čekanja tj.

zakašnjenje uzrokovano prekidima u toku.

Na slici 2.8 dan je shematski prikaz jednog općeg sistema kojeg analizira teorija repova gdje

u nekom vremenskom intervalu određeni broj elemenata dolazi u sistem, čeka na uslugu i odlazi iz

sistema. Element koji dolazi u sistem bit će odmah uslužen ako je sistem prazan ili će se priključiti

repu i čekati na izvršenje usluge. Osnovni parametri za opisivanje ovakvog sistema su broj

dolazaka u sistem u jedinici vremena i vrijeme usluge po elementu gdje oba ova parametra mogu

varirati u vremenu što uzrokuje i promjene u duljini repa i vremenu čekanja.

λ = mjera µ = mjeradolaska usluge

rep uslužnikanal

Slika 2.8. Shematski prikaz jednolinijskog repa

Kod opisivanja i analize odvijanja prometnih tokova jedan takav sistem gdje se stvaraju

repovi može predstavljati privoz raskrižja bilo nesemaforiziranog ili semaforiziranog, zatim

ulazna rampa, ulaz na parkiralište, pješaci na pješačkim prijelazima, dionica vangradske ceste s

33

incidentnom situacijom, itd. Ovdje se za broj elemenata koji ulaze u sistem podrazumijeva broj

vozila odnosno veličina prometnog toka tj. λ=q, a uslugu µ predstavlja kapacitet promatranog

privoza, dionice ili ulaza ovisno koji dio prometnog sustava se analizira.

Rep predstavlja broj vozila koji čekaju na uslugu, ne uključujući ono kojem se usluga

upravo vrši, a stvara se ili zbog fluktuacije prometnog toka ili zbog promjene kapaciteta u

nekom vremenskom periodu.

Za potpuni opis sistema u kojem dolazi do stvaranja repa potrebno je poznavati slijedeće

elemente:

♦ prosječnu vrijednost dolaska u sistem

♦ razdiobu dolazaka

♦ prosječnu vrijednost trajanja usluge

♦ razdiobu vremena usluge

♦ način usluživanja repa

♦ broj uslužnih kanala

Prosječna vrijednost dolazaka definirana je intenzitetom prometnog toka odnosno brojem

vozila na sat ili vremenom slijeda izraženog u sekundama po vozilu dok razdioba dolazaka

može biti deterministička (uniformna) kada vozila dolaze u jednakim vremenskim razmacima

ili probabilistička kada se dolasci ravnaju prema određenoj teoretskoj razdiobi vjerojatnosti.

Na isti način prosječno vrijeme usluge definirano je kapacitetom ili vremenom slijeda

izraženog u sekundama po vozilu, te i njegova razdioba može biti deterministička ili

probabilistička.

Najčešći način usluživanja repa, a koji se koristi i kod opisa prometnih problema, je

"first in, first out" (FIFO) gdje se elementi uslužuju prema redoslijedu ulaska u rep. Drugi

načini usluge koji se još koriste u teoriji repova mogu biti: "last in, first out" (LIFO), npr. kod

dizala, zatim repovi s otkazom gdje neki elementi neće čekati u repu ako je rep velik, repovi s

prioritetom i dr.

Još jedan ulazni parametar je broj uslužnih kanala kojih može biti jedan ili više i ako ih je

više od jednog da li su u seriji ili paralelni.

Ako je broj dolazaka u sistem u jedinici vremena (tok q) manji od vremena trajanja

usluge po vozilu c (kapacitet) onda postoji stabilnost sistema i konačno vremenski nezavisna

vjerojatnost da rep bude u bilo kojem stanju u nekom trenutku. Takav sistem se naziva

nezasićeni (nesaturirani) ili stacionarni sistem. U slučaju da je mjera dolaska q veća od mjere

trajanja pružanja usluge onda rep raste i ne može se više govoriti o vremenskoj nezavisnosti

sistema odnosno govori se o zasićenom (saturiranom) sistemu i vremenski ovisni modelima.

34

Osnovna pitanja koja se javljaju kod analize jednog sistema s fenomenom stvaranja

repova su:

♦ razdioba duljine repa

♦ razdioba vremena čekanja u repu

♦ postotak vremena kada je sistem prazan

Odgovori na ova pitanja direktno ovise o vrsti razdiobe dolazaka u sistem i razdiobe

vremena usluge. Postoje mnoge razdiobe koje se mogu koristiti za modeliranje dolaska vozila

u sistem i procesa pražnjenja, a najčešće se koriste uniformna (deterministička), slučajna

(Poisson-ova) i Erlangova. U tablici 2.1 prikazana je klasifikacijska shema razdioba koje se

koriste u teoriji repova i način označavanja. Oznaka D koristi se za uniformnu razdiobu, dok

M, E i G redom označavaju slučajnu (Poisson-ovu), Erlang-ovu i proizvoljnu (generalnu)

razdiobu. Tako npr. oznaka M/D predstavlja sistem gdje su dolasci u sistem slučajni, a vrijeme

usluge konstantno. Nadalje, ako nije drugačije naznačeno ova oznaka podrazumijeva sistem s

jednom linijom usluge i FIFO načinom usluge.

Tablica 2.1: Klasifikacija razdioba vjerojatnosti koje se koriste u stohastičkoj analizi repova

Razdioba Razdiob

dolazakaKonstantna

a uslugeErlang-ova Opća

Slučajna

Konstantn DeterministiD/M D/E D/G

a čki pristup

Slučajna M/D M/M M/E M/G

Erlang-ova E/D E/M E/E E/G

Opća G/D G/M G/E G/G

Koje će se razdiobe primijeniti ovisi o konkretnom sistemu koji se analizira

(nesemaforizirano raskrižje, semaforizirano raskrižje, ulazna rampa, parking itd.) i određuju se

na temelju izvršenih mjerenja ili već ranije provedenih istraživanja.

Rezultati dobiveni u teoriji repova mogu se koristiti za određivanje zakašnjenja i duljine

repa na privozima raskrižja pa je izraz (2.15) relacija koja se često koristi u tom smislu, a

naziva se Pollaczek-Khintchine formula. Ova formula izvedena je za sistem sa slučajnom

razdiobom dolazaka i proizvoljnom razdiobom vremena usluge (M/G/1) i glasi:

E(n )= ρ + q2Var (u) + ρ2(2.15)

2(1 − ρ)gdje je:

35

E(n) = očekivana duljina repa

q = intenzitet prometnog toka

ρ = stupanj zasićenosti (saturiranosti) sistema izražen kao odnos mjere dolaska i mjere

usluge (ρ = λ/µ) što kod promatranja prometnog toka odgovara odnosu prometnog toka

q i kapaciteta c

Var(u) = varijanca razdiobe vremena usluge

Budući se kod analize semaforiziranih raskrižja promatra zasićeno vrijeme slijeda kao

konstantno vrijeme usluge tada je Var(u) = 0 pa je prema izrazu (2.15) osim očekivane duljine

repa lako odrediti i očekivano vrijeme čekanja te očekivano vrijeme ukupnog zakašnjenja što

je prikazano u tablici 2.2.

Tablica 2.2. Očekivane vrijednosti prema teoriji repova

O^ EKIVANA O^ EKIVANO O^ EKIVANOVRIJEME ^ EKANJA VRIJEME UKUPNOG

DULJINA REPAU REPU ZAKA[ NJENJA

SLU^ AJNOρ/(1-ρ) (1/c) (ρ/(1-ρ)) (1/q) (ρ/(1-ρ))

VRIJEME USLUGEKONSTANTNO

(2ρ-ρ2)/(2(1-ρ)) ρ/(2c(1-ρ)) (2-ρ)/(2c(1-ρ))VRIJEME USLUGE

Pollaczek-Khintchine formula (2.15) koristi se i u modelima zakašnjenja za nesemaforizirana raskrižja gdje je vrijeme usluge slučajna varijabla tj. odlazak vozila sa stop crte sporednog privoza

može se opisati negativno eksponencijalnom razdiobom pa je Var(u) = 1/c2.

Kako je ranije već spomenuto sistem može biti u nezasićenom i zasićenom stanju za što

se još koriste pojmovi stacionarni i nestacionarni uvjeti. U kojim uvjetima se sistem nalazi

ovisi o odnosu mjere dolaska i odlaska iz sistema. Kod analize funkcioniranja privoza

semaforiziranih raskrižja mjera dolaska je prometni tok u jedinici vremena, a mjera odlaska tj.

vrijeme usluge predstavlja zasićeno vrijeme slijeda h kojim je definirana i veličina zasićenog

toka s (s = 3600/h).

Na slici 2.9 prikazane su funkcije dolaska na raskrižje A(t) i odlaska s raskrižja D(t)

tijekom više uzastopnih ciklusa na jednom privozu semaforiziranog raskrižja u različitim

uvjetima funkcioniranja.

36

ozila

V

A(t)

D(t)

Vrijeme (sek)

Slika 2.9.a Stacionarni uvjeti

ozila

V

A(t)

D(t)

Vrijeme (sek)

Slika 2.9.b Povremeni nestacionarni uvjeti

ozila

V

A(t)

D(t)

Vrijeme (sek)

Slika 2.9.c Nestacionarni uvjeti

Slika 2.9. Prikaz mogućih uvjeta odvijanja prometnih tokova tijekom više faza

37

Slika 2.9a prikazuje slučaj stacionarnih (nezasićenih) uvjeta kada ni jedno vozilo

pristiglo na raskrižje ne čeka više od jedne zelene faze za odlazak s privoza tj. sva akumulirana

vozila prođu raskrižjem prije pojave novog crvenog signala. U ovom slučaju funkcija odlaska

D(t) sustiže i dijelom koincidira s funkcijom dolaska A(t) za vrijeme svakog ciklusa.

Slika 2.9b prikazuje povremene nestacionarne uvjete tj. slučaj kada se u seriji određenog

broja ciklusa pojavi manji broj zasićenih faza u kojima funkcija odlaska ne sustiže funkciju

dolaska što znači da neka vozila moraju čekati više od jednog ciklusa za prolaz raskrižjem.

Ovdje je karakteristično da se ipak, nakon manjeg broja takvih zasićenih ciklusa, sistem

stabilizira i ponovno funkcionira u stacionarnim uvjetima.

Nestacionarni uvjeti prikazani su na slici 2.9c i predstavljaju situaciju pojavljivanja većeg

broja zasićenih ciklusa u dužem vremenskom periodu. U ovom slučaju stvaranje repova postaje

ozbiljniji problem jer se svaki novi rep vozila priključuje zaostalom repu iz prethodnog ciklusa te

njegova veličina, a time i veličina zakašnjenja postaje ovisna o vremenu trajanja zasićenih faza.

Budući veličina zakašnjenja ovisi o uvjetima odvijanja prometnog toka to će se u

daljnjem tekstu za sve navedene uvjete dati kratki prikaz načina modeliranja te razvijenih

modela zakašnjenja.

Stacionarni uvjeti

Kako je već prethodno navedeno pod stacionarnim uvjetima odvijanja prometnog toka na

semaforiziranim raskrižjima podrazumijeva se slučaj prikazan na slici 2.9a kada svaki ciklus

odnosno njegova zelena faza omogućava disipaciju cijele kolone akumulirane za vrijeme

crvenog svjetla. To znači da nijedno vozilo ne čeka više od jednog ciklusa za prolaz raskrižjem

što je realan slučaj za mala opterećenja i dobro odabrane faze ili semafore s detektorskim

petljama.

Kod stacionarnih uvjeta funkcija odlazaka u svakom ciklusu sustiže funkciju dolazaka što

odgovara uvjetima da je tok manji od kapaciteta u svakom trenutku i nema zaostalih vozila na

kraju bilo koje zelene faze. U ovom slučaju ukupno zakašnjenje u nekom periodu predstavlja

sumu svih formiranih površina trokuta između funkcija dolaska i odlaska. Ovo zakašnjenje

uobičajeno se naziva uniformno zakašnjenje i označava s UD.

Radi preglednijeg i jednostavnijeg prikaza izvoda relacije za proračun uniformnog

zakašnjenja, na slici 2.10 prikazane su funkcije dolaska i odlaska za vrijeme jednog ciklusa.

38

vozi

la

(i)pr

ikaz

u ulat

ivniK

m

Uniformno zaka{njenje

Nagib = q

Dolazeća vozila L(t)

D(i) Odlazeća vozila

Nagib = s

r = C(1-g/C)t

c

Zeleno Crveno Zeleno Vrijeme (sek)

Slika 2.10. Prikaz uniformne komponente zakašnjenja

Model za proračun uniformnog zakašnjenja pretpostavlja uniformni dolazak vozila na

raskrižje tj. vozila pristižu u jednakim vremenskim razmacima što je na slici 2.10. predstavljeno

linijom konstantnog nagiba gdje veličina nagiba odgovara intenzitetu prometnog toka q.

Na početku crvene faze tok je zaustavljen i počinje se stvarati kolona vozila. Ponovnim

aktiviranjem zelene faze vozila u koloni odlaze s mjerom odlaska zasićenog toka s (voz/sek).

Odlazak intenzitetom zasićenog toka s odvija se u vremenu tc što predstavlja vrijeme odlaska

svih akumuliranih vozila i točku kada funkcija odlaska sustiže funkciju dolaska. Od ove točke

linija dolaska i odlaska dalje koincidiraju što znači da sva ostala vozila pristigla za vrijeme

zelenog svjetla prolaze kroz raskrižje bez zakašnjenja do trenutka ponovnog aktiviranja crvene

faze.

Ovakav scenarij predstavlja idealni slučaj koji pretpostavlja da su sva vozila u koloni ispražnjena za vrijeme trajanja zelene faze. U ovakvom jednostavnom modelu ukupno

zakašnjenje (Di) i-tog vozila predstavljeno je horizontalnom razlikom između linije dolazećih i

odlazećih vozila. Vertikalna razlika između linija dolazaka i odlazaka, s oznakom L(t), predstavlja ukupni broj vozila u koloni tj. duljinu repa u trenutku t.

Ukupno zakašnjenje svih vozila izraženo u vozila-sekundi predstavljeno je površinom

između linija dolazaka i odlazaka što implicira da je uniformno zakašnjenje za vrijeme jednog

ciklusa jednako površini trokuta na slici 2.10. Površina je jednostavno 1/2 umnoška osnovice r i

visine H gdje je r efektivno crveno vrijeme. Budući se u analizi semaforiziranih raskrižja rijetko

39

koristi termin crvenog vremena to se ono može izraziti kao dio ciklusa koji nije efektivno zeleno

pa je

gr = C 1 − (2.16)

C

gdje je C duljina ciklusa, a g efektivno zeleno vrijeme izraženo u sekundama.

Visina trokuta H dobije se ako se izjednači broj vozila koja dođu u vremenu r + tc s brojem

vozila koja su otišla u vremenu tc što daje:

H = q(r + tc )= stc (2.17)

gdje je: tc = vrijeme pražnjenja repa (sek)

s = veličina zasićenog toka (voz/sek)

Uvrštavajući izraz (2.16) u gornju relaciju te rješavajući postupno, prvo po tc ,a zatim po

H, dobije se izraz za visinu:g qs

H = C 1 − (2.18)C s − q

Sada se proračunom površine trokuta dobije izraz za ukupno uniformno zakašnjenje svih

vozila koja su došla i otišla za vrijeme trajanja jednog ciklusa kao

UDu1 C 2 g 2 qs (2.19)= 1 −

2 C s − q

gdje je UDu = ukupno uniformno zakašnjenje (vozila-sekunda),Da bi se dobilo prosječno zakašnjenje po vozilu gornji izraz se mora podijeliti brojem

vozila usluženih za vrijeme trajanja ciklusa što je jednako qC. Navedeno uključuje i vozila

koja dolaze za vrijeme trajanja zelene faze i ne ostvaruju zakašnjenje pri prolazu raskrižjem.

Dijeleći izraz (2.19) s qC uz provedena pojednostavljenja dolazi se do klasičnog oblika tzv.

Webster-ovog izraza za uniformno zakašnjenje:

UD =

C [1 − ( g / C)]2

(2.20)2 [1 − (q / s)]gdje je UD = prosječno uniformno zakašnjenje po vozilu (sek/voz).

Izraz (2.20) razvio je Webster 1958. godine i on predstavlja temelj i ishodište razvoja

svih analitičkih modela zakašnjenja.

Iako je razvijen za jedan ciklus, pretpostavka uniformnih dolazaka, izraz (2.20) čini

primjenljivim za sva razdoblja u kojima je mjera dolaska konstantna. Ovaj izraz jednak je

determinističkom modelu u teoriji repova tj. za rep tipa D/D/1 klasificiranog prema tablici 2.1

jer je primijenjena konstantna mjera dolaska i konstantno vrijeme usluge definirano kroz

veličinu zasićenog toka.

40

Povremeni nestacionarni uvjeti

Osnovna pretpostavka kod razvoja modela za uniformno zakašnjenje bila je da vozila

uniformno dolaze na raskrižje što je za posljedicu imalo da se čitava kolona vozila na jednom

privozu raskrižja u nesaturiranim uvjetima toka uvijek može isprazniti prije pojave novog

crvenog svjetla na semaforu. No u realnosti rijetki su slučajevi uniformnog dolaska već je

prihvatljivija pretpostavka slučajnih dolazaka vozila koji se tada ravnaju po Poisson-ovoj

razdiobi.

Komponenta slučajnosti dolazaka može prouzročiti pojavu pojedinih zasićenih ciklusa

kada neka vozila ostaju u repu na kraju zelenog intervala i moraju čekati slijedeću zelenu fazu

iako je ukupni prosječni tok manji od kapaciteta u promatranom razdoblju. Ta činjenica da je u

ukupno promatranom razdoblju prosječni tok manji od kapaciteta dovodi do toga da se nakon

nekoliko zasićenih faza sistem stabilizira i ponovno dolazi u ravnotežu. Ovakvi povremeni

nestacionarni uvjeti prikazani su na slici 2.9b kroz odnos funkcije dolaska i odlaska.

Crtkana linija na toj slici definirana je maksimalno mogućim brojem odlazaka za vrijeme

ciklusa pa njezin nagib (konstantni) predstavlja kapacitet c promatranog privoza. Uočljivo je

da linija odlaska ne sustiže liniju dolaska vozila u svakom ciklusu što je posljedica stohastičke

prirode dolazaka. U ovakvom slučaju ukupno zakašnjenje se sastoji od uniformnog zakašnjenja

UD i tzv. slučajne komponente. Uniformno zakašnjenje je predstavljeno površinom između

linije kapaciteta i linije odlazaka vozila. Slučajno zakašnjenje je tada površina između linije

dolazaka i linije kapaciteta.

Jedan od temeljnih i najčešće navođenih modela u literaturi za povremene nestacionarne

uvjete je Webster-ov model koji je nastao korištenjem teorijskog pristupa i rezultata simulacije

i glasi:

C (1 − g / C) 2 ρ 2 C13 2+( g / C )

d = + − 0.65 ρ (2.21)2[1 − (g / C)ρ] 2q(1− ρ)

2

qgdje je:

d = prosječno zakašnjenje po vozilu (sek/voz);

C = dužina ciklusa (sek);

g = efektivno zeleno vrijeme (sek);

ρ = stupanj zasićenosti;

q = dolazeći prometni tok (voz/sek).

Prvi član u jednadžbi predstavlja uniformnu komponentu zakašnjenja (jednoliko

zakašnjenje) i odgovara izrazu (2.20). Drugi član je posljedica prirode slučajnih dolazaka na

41

raskrižje i predstavlja dodatno tzv. slučajno zakašnjenje koje pretpostavlja Poisson-ovu

razdiobu dolazaka i konstantnu mjeru odlaska koja odgovara kapacitetu privoza. Ovaj član

identičan je izrazu iz teorije repova prikazanom u tablici 2.1 za očekivano vrijeme zakašnjenja

repa tipa M/D/1. Treći član je korekcijski faktor dobijen i kalibriran na osnovu simulacijskih

istraživanja s ciljem konzistentnosti procijenjenih i simuliranih vrijednosti.

Na temelju Webster-ovog rada razvijeni su i drugi stohastički modeli za procjenu zakašnjenja

uz različite pretpostavke razdioba dolazaka i odlazaka vozila. Kao zaključak može se navesti da svi

stohastički modeli imaju iste opće pretpostavke. Prvo, da se dolasci vozila ravnaju prema

određenoj statističkoj razdiobi koja se ne mijenja tokom vremena. To implicira da ovi modeli nisu

primjenjivi za procjenu zakašnjenja na koordiniranim raskrižjima gdje vozila dolaze u grupama kao

posljedica načina rada semafora "uzvodnog" raskrižja. Drugo, svi modeli pretpostavljaju da su

vremena odlazaka međusobno identična ili se ravnaju prema poznatoj razdiobi s konstantnom

srednjom vrijednosti. Treće, iako se mogu pojaviti povremena prezasićenja zbog stohastičke

prirode dolazaka, pretpostavlja se da je sistem generalno nezasićen za vrijeme analiziranog perioda

tj. vraća se u ravnotežno stanje pa su modeli vremenski nezavisni. I na kraju, svi imaju

pretpostavku da vozila trenutačno ubrzavaju i usporavaju.

U svijetu provedena istraživanja usporedbe različitih stohastičkih modela pokazuju da

oni daju dobre i slične rezultate u uvjetima dok je optrećenje manje od kapaciteta, naročito za

odnos toka i kapaciteta (q/c) do vrijednosti 0.80 - 0.85. U uvjetima kada se prometna potražnja

približava kapacitetu (q/c = 1) ovi modeli teže u beskonačnost jer se izraz (1-q/c) nalazi u

nazivniku slučajne komponente zakašnjenja što implicira da nisu primjenjivi u nestacionarnim

uvjetima toka.

Nestacionarni uvjeti - deterministički pristup

Prethodno je prikazano da se stohastički modeli ne mogu primijeniti u slučajevima kada

se zasićenje javlja u značajnijem vremenskom periodu tj. kada je potreban duži vremenski

period da bi se sistem vratio u ravnotežu. U tom slučaju, koji je prikazan na slici 2.9c, slučajno

zakašnjenje postoji praktički u svakom ciklusu analiziranog razdoblja i sistem je prezasićen.

Kod prezasićenosti sistema potražnja premašuje kapacitet u duljem vremenskom

razdoblju pa se kolona vozila iz ciklusa u ciklus stalno povećava jer se čitavi rep ne uspijeva

isprazniti za vrijeme zelene faze. Samim tim povećava se i zakašnjenje jer se nova kolona

vozila u ciklusu pridodaje ostatku kolone iz prethodnog ciklusa. Zbog kumulativnog

povećavanja kolone zakašnjenje može postati ekstremno veliko.

42

Ovakva stanja, kada je u duljem vremenskom periodu prometni tok veći od kapaciteta

(q/c > 1), stohastički modeli teorije repova ne opisuju dobro jer sistem nije u ravnoteži,

odnosno prevladavaju nestacionarni uvjeti. No uz pretpostavku konstantne potražnje i

konstantne usluge, dakle determinističkim pristupom, može se procijeniti veličina zakašnjenja

uslijed trajanja zasićenja. Takav deterministički model prikazan je na slici 2.11.

V oz ila Prezasi}eno zakašnjenje

Uniformno zaka{njenje

q

c

qT

cT s

Z C Z C Z C ZVrijeme (sek)

Slika 2.11 Deterministički model zakašnjenja u nestacionarnim uvjetima

Prometni tok, odnosno dolazak vozila na raskrižje, prikazan je linijom konstantnog

nagiba q koja u svakom trenutku premašuje kapacitet privoza. Kapacitet privoza c predstavljen

je linijom konstantnog nagiba koja je definirana krajnjim točkama linija odlazaka za svaki

ciklus, što znači da predstavlja mjeru maksimalnog prosječnog odlaska u jedinici vremena. Za

vrijeme crvene faze funkcija odlazaka je konstantna jer je tok=0, dok je za vrijeme zelene faze

jednaka vrijednosti zasićenog toka s.

U ovom slučaju, kada potražnja kontinuirano nadilazi kapacitet, zakašnjenje uslijed

zasićenosti sistema raste s vremenom što implicira da vremensko trajanje prezasićenja direktno

utječe na ovu komponentu zakašnjenja.

Uniformna komponenta zakašnjenja predstavljena je površinom između linije kapaciteta

i linije odlazaka i jednaka je zakašnjenju koje bi se pojavilo u slučaju da linije kapaciteta i

dolazaka koincidiraju. Zakašnjenje uzrokovano zasićenjem sistema može se predstaviti

površinom između linije dolazaka i linije kapaciteta.

Veličina uniformne komponente može se dobiti prema izrazu (2.20) uvrštavajući (q/s)=

(g/C)(q/c) i (q/c) = 1 čime se dobiva:

43

UD = C[1 − ( g / C)] (2.22)

o

2gdje je UDo uniformna komponenta prosječnog zakašnjenja kada postoji prezasićenje na

promatranom privozu.

Ukupno zakašnjenje svih vozila zbog zasićenja sistema do trenutka t=T odgovara površini

trokuta kojeg tvore linija dolazaka i linija kapaciteta te razlika njihovih ordinata u trenutku t=T

(slika 2.11) iz čega proizlazi:

OD = 1 T (qT − cT ) = T 2 (q − c) (2.23)u 2 2

gdje je ODu ukupno zakašnjenje svih vozila zbog prezasićenja (overflow delay).Budući je u vremenu T raskrižje napustilo cT vozila, prosječno zakašnjenje po vozilu zbog

prezasićenosti dobije se dijeljenjem gornjeg izraza s brojem otišlih vozila cT :

OD = T [(q / c)−1] (2.24)2

Može se primijetiti da je ovaj izraz vremenski zavisan što implicira da ovo zakašnjenje

raste s porastom trajanja zasićenosti kao posljedice kumulativnog povećanja kolone.

Važno je uočiti da ovaj izraz predstavlja prosječno zakašnjenje od trenutka zasićenja do

trenutka T što znači da ne uključuje zakašnjenja nakon vremena T koja su mnogo veća. Prema

tome, zakašnjenja onih vozila koja su došla u vremenu T, a napustila raskrižje nakon trenutka T

nisu uključena u izraz (2.24).

Iz svih prethodno opisanih modela zakašnjenja može se zaključiti da procjena

zakašnjenja značajno ovisi o uvjetima odvijanja prometnog toka i vremenskoj komponenti

trajanja tih uvjeta. Zbog složenosti opisivanja procesa koji su stohastičke prirode, a

istovremeno su i vremenski ovisni, kao što je slučaj sa zakašnjenjem na semaforiziranim

raskrižjima, ne postoji jedinstvena teorija za razvoj egzaktnog analitičkog modela koji bi

odgovarao za sve vrijednosti odnosa toka i kapaciteta (q/c). Stoga su razna istraživanja bila

usmjerena na razvoj približnih vremenski ovisnih modela.

Vremenski ovisni modeli

Na slici 2.12 prikazana je analitička veza između odnosa toka i kapaciteta (q/c) i veličine

zakašnjenja za stohastički stacionarni model na temelju teorije repova te deterministički model

za nezasićene i zasićene uvjete.

44

Pros

ječn

o za

kašn

jenj

e (s

ek/v

oz)

0.1 0.2 0.3

Hibridni vremenski ovisan model zakašnjenja

Stacionarno zakašnjenje po teoriji repova

Determinističkimodel u

zasićenim uvjetima

Deterministički model zakašnjenja

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3Odnos opterećenje/kapacitet

Slika 2.12 Prikaz modela zakašnjenja

Odmah je uočljiva inkonzistencija ova dva modela

naročito u području oko granice kapaciteta (q/c = 1). Budući

da izraz za slučajno zakašnjenje kod stohastičkog modela

sadrži u nazivniku (1-q/c) to vrijednost zakašnjenja teži u

beskonačnost kada se odnos q/c približava jedinici.

U stvarnosti zakašnjenje ima konačnu vrijednost i pri

odnosu q/c=1 i pri odnosu većem od 1 zbog toga što

zakašnjenje u zasićenim uvjetima nije posljedica nekog

beskonačnog izvora, već iza velikih prometnih opterećenja,

nakon određenog vremenskog razdoblja, slijedi manje

opterećenje koje omogućuje rasipanje kolone.

S druge strane, komponenta zakašnjenja za zasićene

uvjete prema determinističkom modelu počinje od točke

q/c=1 te se linearno povećava s povećanjem odnosa q/c.

Mnoga provedena istraživanja su utvrdila da

stacionarni stohastički modeli dobro procjenjuju zakašnjenja

do stupnja zasićenosti od 0.80-0.85, a deterministički model

relativno dobro modelira stvarna zakašnjenja za odnose q/c

preko 1.2 za kraća vremenska razdoblja.

Međutim, većina semaforiziranih raskrižja u vršnim

periodima funkcionira u uvjetima zasićenosti od 0.8 - 1.2 pa

su sva novija istraživanja modeliranja zakašnjenja bila

usmjerena na premošćivanje ovog područja gdje navedeni

modeli ne daju kvalitetne rezultate.

Na slici 2.12. prikazano je kako bi se teoretski trebao

ponašati model procjene zakašnjenja za različite odnose toka i

kapaciteta. Za vrlo niske vrijednosti odnosa q/c procjena

zakašnjenja trebala bi odgovarati uniformnoj komponenti koja

pretpostavlja konstantnu mjeru dolazaka. Kako se povećava

prometni tok, veći dio zakašnjenja uzrokovan je slučajnim

dolascima vozila i posljedica je nemogućnosti pražnjenja

čitavog repa tijekom nekih ciklusa za što su primjenjivi

stohastički modeli razvijeni na temelju teorije repova. U

području gdje se odnos q/c približava

45

vrijednosti 1.0 te u području zasićenih uvjeta model bi se trebao asimptotski približavati

determinističkom modelu zakašnjenja za zasićene uvjete.

Osnovni koncept za razvoj ovakvog hibridnog modela koji je vremenski ovisan prvobitno

je zamislio Robertson 1979. god., a zatim su ga unaprijedili Kimber i Hollis koji su predložili

metodu transformacije koordinata.

Kimber i Hollis razvili su model za proračun očekivane duljine repa, a time i zakašnjenja

za sistem sa slučajnim dolascima, proizvoljnom razdiobom vremena usluge i jednom linijom

usluživanja (M/G/1) koristeći modificiranu Pollaczek-Knitchine formulu i gore spomenutu

metodu transformacije koordinata. Suština predložene metode transformacije koordinata sastoji

se u tome da horizontalna udaljenost između predložene krivulje zakašnjenja i

determinističkog modela za prezasićene uvjete bude jednaka udaljenosti između stohastičkog

(stacionarnog) modela i vertikalne linije za q/c =1 što je prikazano na slici 2.13.

vozi

lu Transformirana

po krivuljaa

zaka

šnje

nje a

Stacionarni modelzakašnjenja

Pros

ječn

o

Deterministički modelu zasićenim uvjetima

Deterministički stacionarni model

ρs 1ρ

tρ

dStupanj zasićenosti ρ

Slika 2.13 Metoda transformacije koordinata

Iako ovakav pristup nema čvrste teoretske temelje empirijski je utvrđeno da ovakvi

modeli daju dobre rezultate. To objašnjava činjenicu zašto se na metodi transformacije

koordinata temelje svi do danas razvijeni vremenski ovisni modeli zakašnjenja.

Akcelik je 1980. god. koristeći metodu transformacije koordinata i aproksimaciju

Millerovog izraza za stacionarnu duljinu repa dobio vremenski zavisne formule za procjenu

duljine repa i zakašnjenja koje su za signalizirana raskrižja primjenjivije od Kimber-Hollisovog

modela.

Brilon i Wu su, koristeći numeričke rezultate dobivene primjenom svojstava teorije

Markovog procesa u kojem ishod svakog događaja zavisi o ishodu prethodnog, razvili

analitički aprokisimativni izraz u formi sličnoj Akcelik-ovoj gdje su uključili utjecaj oblika

krivulje dolaska, naročito vršnog intenziteta na veličinu zakašnjenja.

46

Daljnjim istraživanjima utvrđeno je da na veličinu zakašnjenja na semaforiziranim

raskrižjima značajan utjecaj može imati način funkcioniranja susjednih "uzvodnih" raskrižja

koja mogu utjecati na način i broj dolazaka na promatrani privoz, naročito u koordiniranim

sistemima. Ovdje se prvenstveno misli na dolazak vozila u grupama i njihov trenutak dolaska

(da li za vrijeme zelene ili crvene faze) i na tzv. efekt ograničenja kada kapacitet uzvodnog

raskrižja ograničava broj dolazaka na promatrani privoz. Ovo za posljedicu ima da se dolasci

ne ravnaju po Poisson-ovoj razdiobi kao što je slučaj kod izoliranih raskrižja. Uzimajući u

obzir prethodno navedene utjecaje te modificiranjem postojećih izraza razvijeni su modeli

zakašnjenja koji su kasnije ukomponirani u postojeće metodologije za proračun kapaciteta i

ocjenu funkcioniranja raskrižja. Tako se u metodologiji HCM razvijenoj u SAD procjena

zakašnjenja temelji na Fambro i Rouphail-ovom modelu, u australskoj metodologiji na

Akcelik-Chung-ovom modelu, u kanadskoj na Teply-evom modelu.

Svi ovi modeli su slični i imaju zajedničku opću formu koja se može izraziti na slijedeći

način:

d = d1 ⋅ f PF + d2 + d3 ⋅ fr (2.25)

gdje je:

d1 =

C [1 − ( g / C)]2

(2.26)2 [1 − ( g / C) ⋅ min(1, ρ)]i predstavlja uniformno zakašnjenje identično ranije definiranom Webster-ovom izrazu (2.20) za jednolike dolaske.

Faktor fPF je faktor progresije:(1 − P)f

f PF = − ( PA) (2.27) 1 g / C

gdje je: fPA = korekcijski faktor (0,9 -1,2) i P = udio vozila koji pristiže za vrijeme zelene faze. Faktorom progresije izražava se utjecaj načina dolaska vozila koji mogu biti slučajni ili uvjetovani načinom funkcioniranja susjednih raskrižja. Dobra koordinacija rezultirat će time da će veći udio vozila pristizati za vrijeme zelene faze, a time i manjim zakašnjenjem. Istraživanja su pokazala da način progresije prvenstveno utječe na uniformnu komponentu i

zbog toga se primjenjuje uz izraz za d1.

Komponenta d2 definirana je izrazom:

2 mkI (ρ − ρ0)

d2 = 900T ( ρ −1) + ( ρ −1) + (2.28)cT

i predstavlja dodatno zakašnjenje zbog utjecaja nejednolikih dolazaka, povremenih

nestacionarnih uvjeta kao i možebitnog zakašnjenja uzrokovanog funkcioniranjem u

47

prezasićenim uvjetima. Može se uočiti da ova komponenta ovisi o veličini stupnja zasićenosti

ρ, trajanju analiziranog razdoblja T, kapacitetu privoza c i veličini parametara m, k i I. Izabrane

vrijednosti za ova tri posljednja parametra predstavljaju i osnovnu različitost prethodno

navedenih modela zakašnjenja razvijenih u različitim državama.

Parametar k ovisi o podešenosti semaforskog uređaja (preprogramiran, poluautomatski ili automatski), parametar I uključuje efekt ograničenja, dok parametar m reflektira način dolazaka vozila na raskrižje.

Izraz za d3 predstavlja zakašnjenje zbog postojanja kolone na početku perioda analize i

uveden je u novije razvijenim modelima radi čega je u općoj formuli (2.25) fr = 1 ili 0 ovisno o

tome da li model uzima u obzir ovo zakašnjenje ili ne. Budući su se u ovom radu analizirali vremenski periodi gdje na početku analize nema zaostalih repova ova komponenta je praktički jednaka 0.

Ovdje još treba napomenuti da se u uvjetima visokog stupnja zasićenosti pražnjenje repa

stvorenog u analiziranom razdoblju može dogoditi znatno nakon tog perioda, stoga je važno

održati konzistentnost između mjerenja zakašnjenja i primijenjene metode procjene.

2.6 Određivanje mjera efikasnosti po HCM 2000

Highway Capacity Manualu 2000 (HCM 2000) je u svijetu najprihvaćenija metodologija

za analizu kapaciteta i mjera učinkovitosti ne samo semaforiziranih raskrižja već i

nesemaforiziranih raskrižja, zatim dionica vangradskih cesta i autocesta, pristupnih rampi, zona

preplitanja, gradskih arterija, pješačkih i biciklističkih površina te javnog prijevoza.

Prvo izdanje HCM-a publicirano je 1950. godine kada se HCM primarno koristio kao

smjernice za projektiranje u cilju što konzistentnijih prometnih rješenja. Slijedeće izdanje bilo

je 1965. godine kada je prvi put uveden i koncept razine usluge promatranog prometnog

podsistema kao ocjene učinkovitosti. HCM 1985 predstavlja treće izdanje temeljeno na

opsežnim istraživanjima koja su dala značajan napredak ove metodologije u analizi kvalitete

funkcioniranja, odnosno analizi kapaciteta i razine usluge pojedinih dijelova prometnog

sustava. Godine 1994. i 1997. publicirane su nadogradnje trećeg izdanja u kojima su pojedini

modeli revidirani, a dodani su i neki potpuno novi dijelovi. HCM 2000 predstavlja posljednje

četvrto izdanje ove metodologije.

HCM definira šest razina usluga s obzirom na veličinu prosječnog zakašnjenja pojedinog vozila na privozu što je prikazano u tablici 2.1.

48

RAZINA USLUGE PROSJEČNO RAZINA USLUGE PROSJEČNO

SEMAFORIZIRANIH ZAKAŠNJENJE NESEMAFORIZIRANIH ZAKAŠNJENJE

RASKRIŽJA (sek/voz) RASKRIŽJA (sek/voz)

A <=10 A 0-10

B >10-20 B >10-15

C >20-35 C >15-25

D >35-55 D >25-35

E >55-80 E >35-50

F >80 F >50

Tablica 2.1: Razina usluge raskrižja

Nakon publiciranja HCM 1994 provedena su brojna istraživanja u svrhu ispitivanja

učinka uvedenih promjena u modelu za analizu funkcioniranja semaforiziranih raskrižja u

odnosu na model iz 1985. Tako se proučavo utjecaj načina dolaska vozila koji se ne ravnaju po

Poisson-ovoj razdiobi na procjenu slučajne komponente zakašnjenja te su kalibrirali parametre

k i I modela uzimajući u obzir utjecaj neslučajnosti dolazaka, tipa semaforskog uređaja

(preprogramiran ili automatski) i kvalitete progresije prometnog toka između susjednih

raskrižja. U svom istraživačkom projektu Akcelik je 1996. godine ispitivao utjecaj duljine

repa, vremena i načina pražnjenja repa te učešća zaustavljenih vozila na veličinu faktora

progesije u modelu HCM 1994. Slijedeće godine Fambro i Rouphail predložili su opći izraz za

procjenu zakašnjenja kojim su korigirani neki uočeni problemi u modelu HCM 1994 i on

predstavlja model zakašnjenja sadržan u metodologiji HCM 2000.

Korekcije u odnosu na model iz 1994. prvenstveno se odnose na poimanje samog

zakašnjenja jer nije više riječ o zakašnjenju samo zbog zaustavljanja (stopped delay) već i

zbog utjecaja načina kontrole prometa koje uzrokuje usporenje i naknadno ubrzanje i čini

ukupno zakašnjenje, tzv. control delay. Osim toga uvedena je varijabla vremena koja inženjeru

omogućuje proizvoljan izbor perioda analize, a uveden je i izraz za dodatno zakašnjenje u

slučaju zaostale kolone vozila na početku analiziranog perioda. Kao novina u model HCM

2000 uveden je i izraz za procjenu duljine repa kojeg je razvio Akcelik koristeći metodu

transformacije koordinata.

Za procjenu prosječnog zakašnjenja po vozilu za grupu trakova na privozu

semaforiziranog raskrižja, HCM koristi vremenski ovisan model definiran slijedećim izrazima:

d = d1 ⋅ PF + d2 + d3 (2.29)

d1 =

C [1 − ( g / C)]2

(2.30)2 [1 − ( g / C) ⋅ min(1, ρ)]

49

( ρ −1) 2+

8kIρ(2.31)d2 = 900T ( ρ −1) +

cT

PF =(1 − P )f PA

(2.32)1 − ( g / C )gdje je:

d = prosječno zakašnjenje po vozilu (sek/voz)d1 = uniformno zakašnjenje (sek/voz)d2 = slučajno zakašnjenje (sek/voz)d3 = dodatno zakašnjenje zbog zaostalog repa vozila na početku perioda analize (sek/voz)

(izrazi za proračun d3 mogu se naći u [T.3], a u ovom radu je =0 jer nema repa napočetku analiziranog perioda)

PF = faktor utjecaja kvalitete progresijeC = duljina ciklusa (sek)g = efektivno zeleno vrijeme (sek)ρ = odnos prometnog toka i kapaciteta (q/c)c = kapacitet grupe trakova (voz/h)k = faktor utjecaja tipa semaforskog uređaja (preprogramiran ili automatski)I = faktor utjecaja pražnjenja uzvodnog raskrižjaT = period analize (h)P = udio vozila koji dolaze za vrijeme zelene fazefPA = dodatni faktor utjecaja dolaska vozila u grupama

Iz gornjih izraza vidljivo je da je kapacitet traka ili grupe trakova jedna od ključnih varijabli

koja utječe na veličinu prosječnog zakašnjenja, a u proračun je uključen kroz vrijednost

ρ odnosa toka i kapaciteta.

S obzirom da se kapacitet definira kao umnožak zasićenog toka i raspoloživog efektivnog

zelenog vremena u jednom satu to se proračun kapaciteta svodi na definiranje ove dvije veličine.

Efektivno zeleno vrijeme dobije se primjenom koncepta ukupnog izgubljenog vremena po fazi kako je opisano u poglavlju te se sada problem proračuna kapaciteta semaforiziranih raskrižja svodi na određivanje stvarnog zasićenog toka za određenu lokaciju.

Proračun zasićenog toka svodi se na definiranje idealnog zasićenog toka s0 koji odgovara

idealnim uvjetima i izražava se u jedinicama putničkih automobila na sat zelenog vremena po traku

(pa/hzel/tr). Idealni zasićeni tok se zatim pomoću korekcijskih faktora "prevodi" u zasićeni tok za

prevladavajuće uvjete prometa, prometnice i okoline. Prema modelu HCM 2000 idealni zasićeni

tok na privozu semaforiziranog raskrižja iznosi 1900 (pa/hzel/tr) iako neki drugi modeli definiraju

drugačije vrijednosti, kao npr. SIDRA i Synchro gdje je s0 =1950 ili HCM 1985 gdje je s0 = 1800

(pa/hzel/tr). Nadalje, HCM 2000 koristi jedanaest utjecajnih faktora kojima se korigira

idealni tok pa se zasićeni tok za određenu lokaciju računa prema izrazu:

s = s0 N fw f HV f g f p fbb fa fLU f RT f LT f Rpb f Lpb (2.33)

50

gdje je N = broj promatranih trakova dok su u tablici 2.1. prikazane osnovne definicije i

formule za određivanje svih korekcijskih faktora primijenjenih u izrazu (2.33). Detaljnija

objašnjenja mogu se naći u odgovarajućim priručnicima Highway Capacity Manual 2000.

Tablica 2.1. Prikaz korekcijskih faktora po metodologiji HCM 2000

Korekcijski

faktor - Izraz Definicije varijabli Primjedbe

utjecaj

širine trakovafw =1 + W − 3.6

W = širina traka (m) W ≥ 2.4, ako jefw W > 4.8 ⇒ 2 traka

9

teških vozila

f HV =

100 %HV = % teških vozila u grupi ET = 2.0 PA/HV

fHV trakova100 + %HV (ET −1)

uzdužnog

f g =1 −%G

%G = % uzdužnog nagiba -6 ≤ %G ≤ +10

nagiba fg privoza negativno = pad200manevara

N − 0.1−18Nm N = broj trakova u grupi 0 ≤ Nm ≤ 180

parkiranja Nm = broj manevara parkiranja fp ≥ 0.05 i

f p =3600

u zoni raskrižja po satu fp = 1.0 ako nemaN

fp parkiranja

zaustavljenih

N −14.4N B N = broj trakova u grupi 0 ≤ NB ≤ 250

autobusa fbb fbb =

3600 NB= broj zaustavljenih fB ≥ 0.05

N autobusa po satu

tipa područja fa = 0.9 u CBD

fa fa = 1.0 u ostalim

područjima

uporabe f LU = Vg

Vg = ne korigirano prometno Vg1 = netrakova fLU opterećenje korigirano

Vg1

N(samo N = broj trakova u grupi prometno optereć.HCM2000) u

najopterećenijem

traku u grupi.

desnih dodatni trak fRT = 0.85 PRT = udio desnih skretanja u fRT ≥ 0.05

51

skretanja fRT zajednički trak grupi trakova

fRT =1.0 - 0.15PRT

jednotračni privoz

fRT =1.0 - 0.135PRT

lijevih vidi HCM

skretanja fLT

pješaka i fRpb = 1.0-PRT(1-ApbT) x PRT = udio desnih skretanja u ApbT = korekcija

bicikla na (1-PRTA) grupi trak. nezaštićene faze

desna skretanja PRTA = udio zaštićenih desnihfRpb skretanja

pješaka i fLpb = 1.0-PLT(1-ApbT) x PLT = udio lijevih skretanja u ApbT = korekcija

bicikla na (1-PLTA) grupi trak. nezaštićene faze

lijeva skretanja PLTA = udio zaštićenih lijevihfLpb skretanja

U metodologiji HCM-a proračun zasićenog toka može se definirati za pojedini trak ili pak za

grupu trakova ovisno o načinu kanaliziranja pojedinih manevara kretanja na promatranom privozu.

Nakon definiranja zasićenog toka za prevladavajuće uvjete te odnosa efektivnog zelenog vremena i

duljine ciklusa, a time i definiranja kapaciteta, može se proračunati prosječno zakašnjenje. Dobra

procjena kapaciteta je od suštinske važnosti za procjenu zakašnjenja jer je veličina zakašnjenja vrlo

osjetljiva u području gdje se tok približava kapacitetu.

Osim kapaciteta značajan utjecaj na veličinu prosječnog zakašnjenja u ovom modelu ima

način pristizanja vozila na raskrižje izražen kroz faktor prograsije PF. Poznato je da su modeli

zakašnjenja razvijeni na temelju pretpostavke slučajnih dolazaka što je karakteristika izoliranih

raskrižja ili raskrižja kod kojih je utjecaj koordinacije minimalan. Kod neizoliranih raskrižja

(udaljenost raskrižja manja od 1600 m) način dolaska uvjetovan je kvalitetom koordinacije

rada signala što rezultira pristizanjem veće ili manje kolone vozila za vrijeme zelene odnosno

crvene faze. Naravno da će dolazak većine vozila na početku crvene faze rezultirati većim

prosječnim zakašnjenjem.

Kvaliteta progresije primarno utječe na uniformno zakašnjenje te se primjenjuje uz izraz za

ovu komponentu zakašnjenja. HCM definira šest tipova dolazaka na raskrižje, označenih brojevima

od 1 do 6, kojima se definira način pristizanja vozila i njihov opis može se naći u lit. Iako nema

kvantitativnog parametra kojim bi se precizno okarakterizirao način dolazaka vozila,

u određivanju tipa dolaska koristi se tzv. "platoon ratio":

Rp = P (2.34)g / C

gdje je:Rp = "platoon ratio"P = udio vozila koja dolazi za vrijeme zelenog svjetla

52

C = duljina ciklusag = efektivno zeleno vrijeme

Na temelju vrijednosti Rp i tablice 2.2 definira se način dolaska, a time i odgovarajući

progresivni faktor PF. Ovdje je osnovni utjecajni čimbenik udio vozila koji pristižu za vrijeme

zelene faze koji se može ili procijeniti ili dobiti izravnim mjerenjem na terenu što je uvijek

bolja varijanta.

Tablica 2.2. Tablica odnosa tipa dolaska i vrijednosti Rp prema HCM-u

Tip dolaska Platoon ratio (Rp) Default vrijednost za Rp Kvaliteta progresije1 < 0.50 0.333 vrlo loša2 > 0.50 - 0.85 0.667 nepovoljna3 > 0.85 - 1.15 1.000 slučajni dolasci4 > 1.15 - 1.50 1.333 povoljna5 > 1.50 - 2.00 1.667 vrlo povoljna6 > 2.00 2.000 izvanredna

Osim navedena osnovna dva algoritma (procjena prevladavajućeg zasićenog toka i

procjena prosječnog zakašnjenja) koji se koriste u metodologiji HCM-a za analizu

semaforiziranog raskrižja, značajna novina uvedena u model HCM 2000 je dodatni algoritam

kojim se procjenjuje duljina repa, a razvio ga je Akcelik. Pojam na kojem se temelji proračun

je maksimalni produženi rep, a u HCM terminologiji naziva se "back of queue". Model

procjenjuje prosječnu vrijednost maksimalnog produženog repa, a uz primjenu pripadajućeg

percentilnog faktora na ovu vrijednost, može se dobiti procjena maksimalnog produženog repa

za 70-ti, 85-ti, 90-ti, 95-ti i 98-i percentil. Proračun se vrši za svaki trak posebno.

Izraz za procjenu prosječnog maksimalnog produženog repa za analizirani vremenski

period T, sastoji se od dvije komponente Q1 i Q2 i ima opći oblik:

Q = Q1 + Q2 (2.35)Prva komponeneta Q1 je prosječni produženi rep definiran prema teoriji repova za uniformnu

razdiobu dolazaka koji se zatim, zbog utjecaja kvalitete progresije, množi faktorom progresije PF2.

Prema navedenom te supstitucijom r = C[1 − (g / C )] za efektivno crveno vrijeme

i s = c /( g / C) za zasićeni tok dobiva se slijedeće:

qLC g

1 −3600

Q1 = PF2

C(2.36)1 − min(1.0, ρL ) g

Cgdje je faktor progresije dan izrazom:

53

Rpg q

L

1 − 1−CPF2 = s

L (2.37)g qL− Rp1 − 1

Cs

L

Druga komponenta Q2 predstavlja dodatno povećanje repa zbog utjecaja slučajnosti dolazaka i mogućih povremenih zasićenih ciklusa kada se pojavljuje ostatak repa koji nije mogao iskoristiti zelenu fazu i definirana je izrazom:

( ρ −1) + ( ρ −1) 2 8kBρ

L16k Q

Q = 0.25c T + + B bL (2.38)

cLT2 L L L (c L T )2

Ova relacija predstavlja vremenski zavisnu komponentu procjene duljine repa jer ovisi o trajanju analiziranog perioda T. Period T je vrijeme u kojem se pojavljuje definirani intenzitet toka q i kako je već navedeno za model zakašnjenja "default" vrijednost u HCM-u je 15 min.

U izrazu (3.10) QbL predstavlja eventualni rep na početku analiziranog perioda (initial

queue) dok je kB definiran izrazom:

sLg 0.7

kB = 0.12I za preprogramirane uređaje (2.39)3600

k B = 0.10I sL

g 0.6 za automatske uređaje (2.40) 3600

i predstavlja parametar repa ovisan o načinu rada semaforskog uređaja. Indeks L označava da

se vrijednosti odnose za jedan trak. Na slici 2.14. prikazan je razvoj repa za vrijeme jednog

nesaturiranog ciklusa dok je na slici 2.15. prikazan jedan saturirani ciklus gdje se uslijed

slučajnih dolazaka formira ostatak repa (overflow queue) na kraju zelene faze. vrijeme (sek)

C

r g

stop crta

posljednje vozilo u repu koje prelazi stop crtu

dolasci vozila

maksimalni produženi rep ("back of queue")

rep na kraju crvene faze vozilo koje nije bilo u repu

Slika 2.14 Maksimalni produženi rep u nezasićenim uvjetima odvijanja toka

54

vrijeme

C

r g

stop crta

ostatak repa

dolasci vozila posljednje vozilo iz repakoje je prešlo stop crtu

maksimalno produženi rep("back of queue")

rep na kraju crvene faze

Slika 2.15. Maksimalni produženi rep u zasićenim uvjetima odvijanja toka

Za razliku od analogne slučajne komponente zakašnjenja koja ima značajan udio u

veličini zakašnjenja u području gdje se tok približava kapacitetu, doprinos slučajne

komponente duljine repa raste proporcionalno s porastom odnosa q/c.

Izraz (2.38) za procjenu druge komponente maksimalnog produženog repa razlikuje se od

Akcelik-ovog izvornog vremenski ovisnog modela gdje je:

8kB

XL

16k QQ = 0.25c T z + z 2 + + B bL (2.41)

cLT2 L (c L T )2

u tome što se umjesto Akcelik-ovog parametra z = (ρL −1)+ QbL /(cLT ) koristi izraz (ρL-1).

Akcelik je svoju vremenski zavisnu relaciju dobio primjenom metode transformacije koordinata na

aproksimativni izraz Miller-ovog modela za prosječni ostatak repa u stacionarnim uvjetima.

Miller-ov model [M.7] za preprogramirane semaforske uređaje i dolaske koji se ravnaju

po Poisson-ovoj razdiobi u stacionarnim (nezasićenim) uvjetima glasi:

Q = exp[−1.33( s L g / 3600)0.5 (1 − ρL )/ ρL ] (2.42)2(1 − ρL )os

Koristeći osnovnu strukturu Miller-ovog izraza prema kojem je ostatak repa neznatan u uvjetima manjeg stupnja saturiranosti, Akcelik je razvio opći oblik izraza za prosječni ostatak

repa u nezasićenim uvjetima:

Qos =ko ( ρ L −ρo ) za ρL > ρo (2.43)

1 − ρL

= 0 za ostale slučajeve

55

gdje je k0 parametar repa, ρL stupanj zasićenosti, i ρo stupanj zasićenosti ispod kojeg ne postoji

ostatak repa. Zbog aproksimacije Miller-ovog izraza (3.14) korištene su slijedeće vrijednosti

parametara ko i ρo :

ko = 1.5 i ρo = 0.67 + sL g / 3600 (2.44)600

Kao polazni izraz za prosječni ostatak repa u zasićenim uvjetima Akcelik je koristio izraz iz determinističke analize teorije repova koji glasi:

Qod = 0.5TcL ( ρ L −1) (2.45) Primjenom metode transformacije koordinata Akcelik je

dobio vremenski zavisnu funkciju koja daje konačne vrijednosti duljine repa u području

kapaciteta i asimptotski se približava determinističkom izrazu u području gdje je tok veći od

kapaciteta, analogno vremenski zavisnom modelu zakašnjenja. Kako je već rečeno ovaj

Akcelik-ov izraz je temelj modela duljine repa koji se koristi u modelu HCM 2000.

Literatura:

2. [A.1] Akcelik, R., Time – Dependent Expressions for Delay, Stop Rate and Queue Length at Traffic Signals, Australian Road Research Bord, Internal Report, AIR 367-1 , 1980

3. [A.2] Akcelik, R., Traffic Signals: Capacity and Timing Analysis, Research Report 123, Australian Road Research Board, Melbourne, Australia, 1981.

4. [A.3] Akcelik, R., Chung, E., Traffic Performance Models for Unsignalized Intersections and Fixed-Time Signals, Proceedings, Second International Symposium on Highway Capacity, Sydney, Australia, ARRB, Volume I, pp. 21-50, 1994.

5. [A.4] Akcelik, R., Chung, E., Calibration of Performance Models for Traditional Vehicle-Actuated and Fixed-Time Signals, Working Paper WD TO 95/103, ARRB Transport Research Ltd., Vermont South, Australia, 1995.

6. [B.1] Brilon, W., Wu, N., Delay at Fixed-time Traffic Signals under time Dependent Traffic Conditions, Traffic Engineering and Control, 31(12), pp. 623-63, 1990.

7. [D.1] Drew, D.R. Traffic Flow Theory and Control, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968.

8. [D.2] Duke, J., Schofer, J. and May, A., A Statistical Analysis of Speed-Densuty Hypotheses, Highway Research Record 154, Transportation Research Board, National Research Council, Washington, DC, 1967.

9. [F.1] Fambro, D. B. and Rouphail, N. M., Generalized Delay Model for Signalized Intersections and Arterial Streets, Transportation Research Record 1572, TRB, National Research Council, Washington, D. C., pp. 112-121, 1997.

10. [F.2] Forbes, T. W., Human Factor Considerations in Traffic Flow Theory, Highway Research Board, Record 15, HRB Washington D.C., 1963.

56

11. [F.3] Forbes, T. W., Simpson M. E., Driver and Vehicle Response in Freeway Deceleraction Waves, Transportation Science, Vol. 2, No.1, 1968.

12. [G.1] Gazis, D.C., Herman, R., Potts, R., Car-Following Theory of Steady-State Traffic Flow, Operations Research, Vol. 7, 1959

13. [G.2] Gazis, D.C., Herman, R., Rothery, R.W., Nonlinear Follow-the-Leader Models of Traffic Flow, Operations Research, Vol. 9, 1961

14. [G.3] Greenberg, H., An Analysis of Traffic Flows, Operations Research, Vol.7, ORSA, Washington, DC, 1959.

15. [G.4] Greenshields, B., A Study of Traffic Capacity, Proceedings of the Highway Research Board, Vol. 14, Transportation Research Board, National Research Council, Washington, DC, 1934.

16. [K.1] Kimber, R.M., Hollis, E.M., Traffic Queues and Delays at Road Junctions, Laboratory Report 909, Transport and Road Research Laboratory, Crowthorne, UK, 1979

17. [K.2] Kometani, E., Sasaki, T., A Safety Index for Traffic with Linear Spacing, Operations Research, Vol. 7, No.6, 1959.

18. [K.3] Kometani, E., Sasaki, T., Car-Following Theory and Stability Limit of Traffic Volume, Operations Research Society of Japan , Vol. 3, No. 4, 1961.

19. [M.1] May, A.D., Traffic Flow Fundamentals, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1990.

20. [M.2] May, A.D., Keller, H. E. M., Non-integer Car-Following Models, Highway Research Board, Record 199, Washington D.C., 1967.

21. [M.3] May, A.D., Keller, H. E. M., Evaluation of Single and Two-Regime Traffic Flow Models, Fourth International Symposium on the Theory of Traffic Flow Proceedings, Karlsruhe, West Germany, 1968.

22. [M.4] McShane, W.R., Roess, R.P., Prassas, E.S., Traffic Engineering, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1990.

23. [P.1] Pipes, L.A., An Operational Analysis of Traffic Dynamics, Journal of Applied Physics, Vol.24, No. 3, 1953.

24. [R.1] Reuschel, A., Vehicle Movements in Platoon, Oesterreichisches Ingeniuer-Archir, Vol.4, 1950

25. [T.1] Teply, S., Allingham, D. I., Richardson, D. B. i Stephenson, B. W., Canadian Capacity Guide for Signalized Intersection, Institute of Transportation Engineers, District 7, 2nd Edition, Canada, 1995.

26. [U.1] Underwood, R., Speed, Volume and Density Relatinships, Quality and Theory of Traffic Flow, Yale Bureau of Highway Traffic, New Haven, CT, 1961.

27. [W.1] Webster, F., Traffic Signal Settings, Road Research Technical Paper No.39, Road Research Laboratory, London, U.K., 1958.

57

58

3. Analiza prometnog toka na

nesemaforiziranim raskrižjima

3.1. Uvod

Nesemaforizirana raskrižja predstavljaju najučestaliji element cjelokupnog cestovnog

sustava, te njihovo funkcioniranje značajno utječe na kvalitet odvijanja prometa na vangradskom

sustavu cestovne mreže, naročito kod spoja lokalnih i županijskih, te županijskih i državnih cesta.

Njihovo neadekvatno građevinsko i prometno oblikovanje također može značajno utjecati

59

na kvalitet odvijanja prometa u integriranom semaforiziranom sustavu gradskih cestovnih

prometnica.

Kapacitet i razina usluge nesemaforiziranih raskrižja može se odrediti empirijskim ili

teoretskim modelima. Teoretski modeli opisuju ponašanje sustava na individualnom nivou, a

temelje se na teoriji repova i teoriji prihvaćanja vremenskih praznina. Za razliku od

mikroskoposkog pristupa teoretskih modela, empirijski modeli problem analiziraju na

makroskopskom nivou.

Teorija prihvaćanja vremenskih praznina se koristi za opisivanje prihvaćanja

vremenskih praznina između prolazaka vozila u prioritetnoj cesti od strane vozila iz sporednog

privoza, iz čega se izvodi kapacitet nesemaforiziranih raskrižja.

Teorija repova se koristi za opisivanje općenitog sistema u koji ulaze elementi koji

čekaju u repu dok ne stignu na prvu poziciju repa, te tada čekaju na uslugu. Ovakav koncept je

primijenjiv i za opisivanje prometnih događaja na raskrižju, pri čemu su elementi vozila, rep je

kolona vozila na sporednom privozu, a prva pozicija repa predstavlja stop crtu raskrižja.

Ukupno prosječno zakašnjenje vozila se tada sastoji od čekanja u koloni i čekanja na stop crti

raskrižja. Pri tome mjera dolaska u sistem predstavlja veličinu prometnog toka, a mjera odlaska

iz sistema predstavlja kapacitet sporednog privoza.

3.2. Postojeće metodologije

Analiza kapaciteta nesemaforiziranih raskrižja s prvenstvom prolaza počiva na jasnom

opisu i razumijevanju interakcije vozila iz sporednog prometnog toka s vozilima iz glavnog,

odnosno prioritetnog prometnog toka. Do danas su razvijene dvije osnovne vrste modela koji

se upotrebljavaju za opis interakcije vozila i određivanje mjera efikasnosti raskrižja:

1. teoretski modeli i

2. empirijski modeli.

Obje vrste modela su zasnovane na ponašanju vozača na privozima raskrižja. U prvoj vrsti

modela interakcija vozila se opisuje na nivou pojedinih vozila (mikroskopski modeli), dok se u

drugoj vrsti interakcija opisuje na skupnom nivou (makroskopski modeli).

Mikroskopski modeli koji se koriste za opisivanje funkcioranja nesemaforiziranih raskrižja

spadaju u dvije klase:

1. Teorija prihvaćanja vremenskih praznina, kojom se opisuje proces odlaska vozača sa

stop crte sporednog privoza, a na temelju kojeg se izvode različiti modeli za procjenu

kapaciteta.

60

2. Teorija repova u kojoj se opisuje čekanje u koloni, te na stop crti sporednog privoza.

Dostignuća ove teorije omogućila su razvoj raznih modela razine usluge, odnosno metode

određivanja mjera efikasnosti raskrižja kao što su prosječno zakašnjenje i duljina kolone. Stoga se

modeli za određivanje kapaciteta te ostalih mjera efikasnosti raskrižja sastoje od dva podmodela:

modela kapaciteta koji se zasnivaju na teoriji prihvaćanja vremenskih praznina i modela

zakašnjenja koji se temelje na teoriji repova. Važno je naglasiti kako primijenjeni modeli kapaciteta

i razine usluge moraju počivati na istim pretpostavkama o ponašanju vozača i razdiobi vremenskih

praznina te se osnovne postavke teorije prihvaćanja vremenskih praznina i teorije repova moraju

komplementarno koristiti u izgradnji modela za određivanje mjera efikasnosti

raskrižja.

Makroskopski modeli se najčešće nazivaju i regresijskim, empirijskim ili linearnim

modelima, premda nijedan od ovih opisa nije dovoljno precizan. Ovi nazivi proističu stoga što

se u makroskopskim modelima najčešće koristi tehnika regresijske analize. Ovi modeli se

zasnivaju na mjerenju stvarnog kapaciteta raskrižja u uvjetima saturiranih prometnih tokova.

3.2.1 Osnove teorije prihvaćanja vremenskih praznina

Osnovni koncept modela kapaciteta zasnovanih na teoriji prihvaćanja vremenskih

praznina se ukratko može opisati na slijedeći način: vozilo iz sporedne ceste će se uključiti u

glavnu cestu ako je vremenska praznina t između prolaska dva vozila iz prioritetnog toka

presjekom raskrižja veća od određene kritične vrijednosti tc - kritična vremenska praznina.

Veličina kritične vremenske praznine može se promatrati kao kompromis između težnje za

sigurnim ulaskom u raskrižje i što manjim čekanjem na privozu raskrižja. Stoga se može reći

kako teorija prihvaćanja vremenskih praznina (gap accceptance theory) počiva na

individualnom ponašanju vozača. Osnovni koncept je prikazan na slici 3.1.

t

61

Slika 3.1 Osnovni koncept modela prihvaćanja vremenskih prazninaKritična vremenska praznina tc zajedno s vremenom slijeda vozila tf predstavlja dva

najvažnija parametra modela prihvaćanja vremenskih praznina.

Kritična vremenska praznina tc se definira kao minimalni vremenski interval koji omogućuje ulazak jednom vozilu iz sporednog prometnog toka u raskrižje.

Vrijeme slijeda tf je prosječni vremenski interval između odlaska dva uzastopna vozila

iz sporednog privoza u konfliktni presjek prioritetnog toka u uvjetima kontinuirane kolone u

sporednom privozu, odnosno vrijeme slijeda je prosječni vremenski interval između vozila u

koloni koja ulaze u raskrižje tijekom duljih vremenskih praznina u prioritetnom toku.

Stoga se može reći kako vrijeme slijeda definira saturirani tok, tj. kapacitet sporednog toka

u slučaju kada nema konfliktnih prometnih tokova koji imaju prioritet prolaska raskrižjem. Još se

jedan parametar često koristi kod mjerenja vremena slijeda i procjene stvarnog kapaciteta

određenog raskrižja, a to je vrijeme napredovanja tmvup.. Vrijeme napredovanja se definira kao

vremenski interval između odlaska jednog vozila iz sporednog privoza i dolaska slijedećeg vozila

na stop crtu, odnosno prvo mjesto privoza u uvjetima kontinuirane kolone. Vrijeme napredovanja

tmvup stoga predstavlja samo dio vremena slijeda tf .

Kritična vremenska praznina nije konstantna vrijednost. Ona je varijabla koja poprima

različite vrijednosti za različite vozače i različite vrijednosti za pojedine vozače u različitom

vremenu i okolnostima (zavisno o protoku vremena i interakciji vozila). U stvari, u

matematičkom smislu, kritična vremenska praznina koju vozač iz sporednog smjera koristi u

procesu donošenja odluke o ulasku u raskrižje je slučajna varijabla koja je karakterizirana

slijedećim faktorima:

• minimalnom vrijednosti većom od 0;

• očekivanjem kritične vremenske praznine koje se često naziva samo “kritična praznina”;

• standardnom devijacijom i

• koeficijentom asimetričnosti koji je pozitivan što podrazumijeva izduženiju desnu

stranu razdiobe.

To znači kako se kritična vremenska praznina može opisati nekom proizvoljnom funkcijom

prihvaćanja vremenskih praznina koja pretpostavlja da se prihvaćene praznine ravnaju po

nekoj razdiobi vjerojatnosti. Uobičajeno se koriste normalna ili lognormalna razdioba.

Lognormalna razdioba realnije opisuje prihvaćene praznine jer prima samo pozitivne

vrijednosti te je pozitivno asimetrična.

Na slici 3.2 je prikazana jedna takva funkcija razdiobe vjerojatnosti G(t) koja predstavlja

vjerojatnost da će slučajni vozač prihvatiti vremensku prazninu veličine t.

62

Uobičajeno je da se za vrijednost kritične vremenske praznine uzme očekivanje od G(t). Iako

su vozači inkonzinstentni i nehomogeni, kritična vremenska praznina se modelira kao da je

ponašanje vozača konzinstentno i homogeno. Takav model rezultira stepenastom funkcijom

prikazanom na slici 3.2 i izrazom

S(t ) =Θ(t −tc ) (3.1)

gdje je

Θ= 0 za t<tc i Θ(t)=1 za t tc)

tc = očekivanje od G(t).

Vje

roja

tnos

t prih

vaca

njað

Ð

1

0,5

01 2 3 4 5 6 7 80

Vremenske praznine (sek)

Slika 3.2 Funkcija razdiobe vjerojatnosti prihvaćanja vremenskih praznina

Zbog različitih situacija u kojima se donose odluke, G(t) će se razlikovati u tome da li

predstavlja vremensku prazninu ili samo dio vremenske praznine do prolaska vozila iz

prioritetnog toka. Najčešće se modeli pojednostavljuju pretpostavkom da je vrijednost kritične

praznine jednaka za oba slučaja.

Također se definira i t(n) kao vremenska praznina između dva uzastopna vozila u

prioritetnom toku dovoljno velika da n i samo n vozila koja čekaju u koloni na sporednom privozu mogu iskoristiti tu prazninu i ući u raskrižje.

Broj vozila koji će prihvatiti ovu vremensku prazninu zavisi o veličini kritične vremenske praznine i vremenu slijeda. Modeli se najčešće pojednostavljuju na način da se pretpostavi kako

vrijeme slijeda sporednih vozila prilikom ulaska u istu vremensku prazninu konstantno i iznosi tf.

Slijedi da je veličina vremenske praznine u koju može ući točno n vozila jednaka

t( n ) = tc +( n −1)t f (3.2)Iz (3.2) se može izraziti broj vozila N(t) koji mogu ući u raskrižje za vrijeme trajanja vremenske praznine t

N (t ) = [1 + (t −tc ) / t f ] (3.3)

63

Ako je poznata razdioba vremenskih praznina tada se stvarni kapacitet u analiziranom

razdoblju može izračunati, odnosno procijeniti iz (3.3).

3.2.2 Metode procjene kritične praznine i vremena slijeda

Kod izučavanja odnosa vremenskih praznina potrebno je izvršiti procjenu kritične

vremenske praznine tc i vremena slijeda tf koji su dva najvažnija parametra svih razvijenih

teoretskih modela kapaciteta. Veličina kritične vremenske praznine i vremena slijeda ovisi o

geometriji raskrižja, strukturi i veličini prometnog toka. Njihova vrijednost značajno utječe na

preciznost procjene kapaciteta i prosječnog vremena zakašnjenja, te ih je stoga potrebno što

kvalitetnije procijeniti na temelju zabilježenih podataka o prihvaćanju praznina, a u zavisnosti

od geometrije raskrižja (širine traka, radijusa skretanja, uzdužnih nagiba...) i prevladavajućih

prometnih (struktura toka, prometno opterećenje, brzina toka...), te ostalih uvjeta na raskrižju

(npr. preglednost).

Problem predstavlja to što se razdioba kritičnih praznina i njeni parametri ne mogu

direktno procijeniti jer se kritična praznina ne može eksplicitno mjeriti. Stoga, primijenjena

metoda mora što kvalitetnije procijeniti parametre razdiobe na temelju zabilježenih podataka o

prihvaćenim i odbačenim vremenskim prazninama.

Ako se kritične praznine vozača iz sporednog smjera za zadanu kompoziciju prometnih

tokova ravnaju po određenoj razdiobi vjerojatnosti tada se metoda za procjenu kritične

praznine mora kvalitetno prilagoditi stvarnoj empirijskoj razdiobi prihvaćenih i odbačenih

vremenskih praznina.

Takva metoda treba procijeniti očekivanu kritičnu prazninu pouzdano, te procjena ne

smije zavisiti o drugim činiocima kao što su:

• prometno opterećenje glavnog i sporednog toka, • vrijeme čekanja vozila u sporednom privozu, • drugi vanjski utjecaji. To znači kako primijenjena metoda procjene mora rezultirati konzinstentnim procjeniteljem

u smislu nezavisnosti kritične praznine i ostalih navedenih faktora.

Do sada su razvijene i testirane mnoge metode za procjenu parametara razdiobe kritičnih

praznina.

Najčešće korištene metode su slijedeće:

• metoda maksimalne vjerojatnosti –Troutbeck • Siegloch-ova metoda • Ashworth-ova metoda • Hewit-ova metoda

64

Među navedenim metodama postoje dvije vrste različitih tehnika procjene nepoznatih parametara.Prva vrsta se temelji na uspostavljanju regresijske zavisnosti broja vozača koji prihvaćaju vremensku prazninu u odnosu na njenu veličinu. Ova vrsta

metoda istovremeno procjenjuje kritičnu prazninu tc i vrijeme slijeda tf.

Druga vrsta metoda procjenjuje razdiobu kritičnih vremenskih praznina i vremena

slijeda nezavisno.

Siegloch-ova metoda pripada prvoj vrsti tehnika. Prilično je jednostavna te pouzdana

u uvjetima saturiranog toka, odnosno za slučajeve kada postoji kontinuirani rep na

sporednom privozu.

Osnovni koncept ove metode prikazan je na slici 3.3, a može se ukratko opisati na

slijedeći način:

• Opaža se proces prihvaćanja praznina tijekom vremenskih intervala u kojima je bez

prekida barem jedno vozilo u repu na sporednom privozu,

• zabilježi se veličina svake vremenske praznine t (sek) u glavnom toku i broj vozila n

koji uđe za vrijeme te vremenske praznine,

• za svaku vremensku prazninu koja je prihvaćena od n vozača izračuna se prosječna

veličina prihvaćene vremenske praznine,

• utvrđivanjem linearne regresije prosječne vremenske praznine nasuprot broja vozila n

koji ulaze u tu vremensku prazninu dobije se graf njihove linearne regresijske zavisnosti kod koje porast pravca regresije po osi vremenskih praznina od i do i+1

predstavlja tf, a odsječak je t0 pa je

tc=t0 +tf/2, odnosno

t0=tc -tf/2 (3.4)gdje je

t0 = prosječni vremenski interval u kojem nijedno vozilo nije ušlo u raskrižje.

65

Ova metoda je jednostavna za upotrebu i pouzdana jer je kompaktibilna s izvodom

odgovarajućeg Siegloch-ovog izraza za kapacitet. Nedostatak ove metode je u tome što

je primjenjiva samo u uvjetima kontinuiranog repa u sporednom privozu.

7

6Br

oj v

ozila

n 5

4

3

2

1t

f

0 t0 5 10 15 20 25 30Veli~ina vremenske praznine t (sek)

prosje~ne vrijednosti pravac regresije t=f(n)

Slika 3.3 Siegloch-ova metoda procjene kritične praznine i vremena slijeda

7

6

Broj

vozil

a

5

4

3

2

1t

f

0 t0 5tc 10 15 20 25 30

Veli~ina vremenske praznine t (sek)Slika 3.4 Tipovi regresijskih krivulja metoda procjene kritične praznine

Regresijski pravac je vrlo sličan stepenastoj liniji na slici 3.4 koja je posljedica

diskretizacije broja vozila, a koristili su je u svojim radovima Tanner, Harders i Troutbeck.

66

3.3. Modeli kapaciteta zasnovani na teoriji prihvaćanja vremenskih praznina

Na nesemaforiziranom raskrižju ne postoji nikakva indikacija vozaču na sporednoj cesti

kada će se uključiti u prioritetni tok. Svaki vozač mora sam izabrati trenutak kad se sigurno

može uključiti, odnosno vozač na privozu sporedne ceste čeka na dovoljno dugu vremensku

prazninu za vrijeme koje se može sigurno uključiti u glavni tok. Ovakve probleme proučava

teorija prihvaćanja vremenskih praznina koja proces odlaska vozača sa stop crte sporednog

privoza opisuje kritičnom prazninom i vremenom slijeda. Pri tome moraju biti definirana

svojstva razdioba vremenskih praznina u prioritetnom i sporednom toku.

Dakle, teorija koja se koristi za potrebe modeliranja kapaciteta raskrižja proučava dva

osnovna događaja:

1. Način na koji vozač nalazi, odnosno bira odgovarajuće vremenske praznine potrebne za

uključenje u prioritetni tok, te

2. učešće odgovarajućih vremenskih praznina koje se pojavljuju vozaču na sporednom

privozu, odnosno razdiobu vremena između prolazaka vozila iz glavnog prometnog

toka kroz promatrani presjek raskrižja.

Kod modela koji opisuju funkcioniranje nesemaforiziranog raskrižja postoji i treći bitni

element o kojem se mora voditi računa, a to je interakcija između vozila iz različitih privoza,

odnosno hijerarhija prioriteta prometnih tokova. Neki tokovi imaju apsolutni prioritet, a ostali

moraju poštovati prednost prolaska vozila iz više rangiranih tokova. Na većini

nesemaforiziranih raskrižja postoje više od dva prometna toka. Kružni tok i neke uljevne

rampe (npr. klizni ulijev) su jedini primjeri nesemaforiziranih raskrižja sa samo dva toka,

jednim prioritetnim i jednim sporednim.

1211

10

654

123

PRIORITETI - RANG 1: 2,3,5,6 7 89

- RANG 2: 1,4,9,12- RANG 3: 8,11- RANG 4: 7,10

Slika 3.5 Prikaz hijerarhije prometnih tokova

67

Na uobičajenim tipovima nesemaforiziranih raskrižja tokovi se dijele na 4 ranga prioriteta,

kako je prikazano na slici 3.6. Pri tome tok ranga 1 ima apsolutni prioritet, a ostali moraju

poštovat prednost svih više rangiranih tokova.

Ipak, razumijevanje funkcioniranja raskrižja sa samo dva prometna toka (prioritetni ili glavni,

te sporedni tok), kako je prikazano na slici 3.6, predstavlja temelj za izradu osnovnih modela

kapaciteta iz kojih se mogu izvesti različiti složeniji modeli sa više konfliktnih prometnih

tokova različitih prioriteta. Tako se gotovo sve metode analize odvijanja prometnih tokova na

raskrižju izvode iz osnovnog modela, u kojem se razmatra odnos prioritetnog prometnog toka

prometnog opterećenja qp (voz/sat) i sporednog toka qn (voz/sat).

Konfliktno podru~je

qp

qn

Slika 3.6 Prikaz osnovnog modela

Vozila iz glavnog toka mogu proći konfliktnim područjem bez ikakvog čekanja, odnosno zakašnjenja. Vozila iz sporednog toka mogu ući u konfliktno područje jedino u slučaju ako slijedeće nadolazeće vozilo iz glavnog prometnog toka neće proći područjem još

najmanje tc sekundi (tc je kritična vremenska praznina), u svakom drugom slučaju vozila iz

sporednog toka moraju čekati na stop crti. Uz navedeno, pretpostavka modela je da u dovoljno velikim vremenskim prazninama u glavnom prometnom toku vozila iz sporednog smjera mogu

ući u raskrižje tf (vrijeme slijeda) sekundi nakon odlaska prethodnog vozila.

Iz navedenog je jasno da je ključni element svakog teoretskog modela kapaciteta, uz

procjenu kritične praznine i vremena slijeda, postizanje što realnijeg opisa pojave vremenskih

praznina u glavnom toku. Pojave vremenskih praznina u glavnom toku za analizirano razdoblje

se opisuju funkcijama razdiobe vjerojatnosti.

Prilikom izbora određene razdiobe vjerojatnosti najvažnije je da ona dobro opisuje

učešće duljih praznina, koje će biti prihvaćene. Kako se kratke praznine ionako neće prihvatiti,

nije ih potrebno detaljno modelirati. U većini prometnih tokova nalazi se dvije vrste vozila,

vozila u koloni koja slijede vozila ispred sebe, te vozila koja se kreću slobodno bez interakcije

s drugim vozilima.

68

Najkorištenija vjerojatnosna razdioba koja se koristi za opisivanje razdiobe vremenskih

praznina između prolazaka vozila je eksponencijalna razdioba, oznake M1. Ova razdioba

pretpostavlja da vozila slučajno prolaze jedno za drugim, bez ikakve zavisnosti kada je

prethodno vozilo prošlo. Ona pretpostavlja konstantnu vjerojatnost prolaska vozila u

vremenskom intervalu (t, ∆t), a može se izvesti iz Poisson-ove razdiobe vjerojatnosti prolaska

n vozila u vremenu t

P(n ) = (qt )n e −qt

(3.5)n!

gdje je

q = tok (voz/sek) ili prometno opterećenje (voz/sat) za slučaj analiziranog razdoblja od 1

sata

t = vrijeme (sek. ili

sat) n = broj vozila

Za n = 0 dobije se vjerojatnost da u vremenu t nijedno vozilo neće proći promtranim presjekom što je ekvivalentno vjerojatnosti kako je vremenska praznina h veća od vrijednosti t

(3.6)

Funkcija razdiobe vjerojatnosti pojave vremenskih praznina određene veličine je stoga

eksponencijalna

F( h ) = P( h ≤ t ) =1− e−qt , t ≥ 0F( h ) = 0, za t < 0

Funkcija gustoće vjerojatnosti eksponencijalne razdiobe je

f ( h ) = d [ P( h ≤ t ) ] = qe−qt dt

(3.7)

(3.8)

Parametar q je prosječno prometno opterećenje glavnog toka (voz/sat) u promatranom

razdoblju ili inverzna vrijednost prosječne vremenske praznine, što predstavlja veličinu

glavnog toka (voz/sek).

Očekivana vrijednost ove razdiobe je 1/q, a varijanca je 1/q2.Ova razdioba se dobro prilagođava stvarnim opažanjima kada je prometno opterećenje

manje od kapaciteta prioritetnog toka.

69

P(h > t ) = e −qt

Usporedba prilagodbe razdioba empirijskoj razdiobi

1

0.9

vjer

ojat

nost

i 0.8

0.7

0.6

razd

iobe 0.5

0.4

Funk

cija

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

vremenske praznine t (sec)q=676 voz/sat

n=766

eksponenc. razdioba pomaknuta eksponenc. EMPIRIJSKA RAZDIOBA

Slika 3.7 Prikaz prilagodbe funkcija razdioba vjerojatnosti empirijskoj razdiobi praznina

u uvjetima srednjeg intenziteta prometnog toka

Kada je prometno opterećenje glavnog toka blizu vrijednosti kapaciteta ova razdioba se

nešto slabije prilagođava stvarnim opažanjima. Domena joj je od 0 do ∞, pa ona pretpostavlja

minimalnu vremensku prazninu između prolazaka vozila od 0 sekundi te predviđa velik broj

malih vremenskih praznina do 1 sekunde, što nije realno. Pored toga ova razdioba nema

mogućnost opisivanja stvaranja kolona u glavnom toku. Ipak, ova razdioba daje prihvatljive

rezultate i često se koristi za modeliranje vremenskih praznina u raznim metodologijama

proračuna kapaciteta nesemaforiziranih raskrižja, npr. u Švedskoj (Swedish capacity manual),

Americi HCM (Highway Capacity Manual-Transportation Research Board) i Njemačkoj

(German Guidelines).

Mnogi autori su pokušali definirati različite razdiobe kojima bi postigli realnije opisivanje

vremenskih praznina između vozila, uz pretpostavku da u jednom prometnom toku postoji

određeni broj vozila koja voze u koloni, a ostala voze slobodno bez interakcije s drugim

vozilima.

Modeli koji polaze od ovakvih pretpostavki opisuju učešće slobodnih vozila u glavnom

toku uz pretpostavku da je vremenska praznina između njihovih prolazaka veća od

minimalnog vremenskog razmaka tm. Ova vozila se nazivaju slobodnim vozilima, a njihovo

učešće se označava s α . Zatim se modelira vjerojatnosna razdioba koja opisuje učešće

vremenskih praznina između slobodnih vozila. Ostala vozila se kreću u kolonama i utvrđuje se

pripadajuća vjerojatnosna razdioba vremenskih praznina za takva vozila.

Pošto se može pretpostaviti da nisu svi razmaci između vozila u koloni jednaki mogu se

kombinirati dvije razdiobe praznina sa različitim parametrima.

70

Od ovakvih tipova razdioba uglavnom se koristi Cowan-ova M3 razdioba koja učešće

slobodnih vozila α modelira pomaknutom eksponencijalnom razdiobom vremenskih praznina,

a ostatak 1-α ima isti vremenski razmak tm. Ova razdioba praktički ne modelira vremenske

praznine između vozila u koloni jer se ona ionako ne prihvaćaju od vozača iz sporednog toka

pa stoga ona opisuje samo veće praznine u toku.

Ovakav model ima funkciju razdiobe vjerojatnosti

F( h ) = P( h ≤ t ) =1−αe−λ( t −tm ) za t >tm i (3.9)

F (h ) = P(h ≤t ) = 0 za ostale t

gdje je λ parametar zadan izrazom λ = αq (3.10)(1−t mq )

Ovaj model je općenit. Ako se stavi α = 0 dobije se pomaknuta negativna

eksponencijalna razdioba, ako se još uzme tm=0 dobija se negativna eksponencijalna razdioba.

Na slici 3.8 je prikazana usporedba Cowan-ove i eksponencijalnih razdioba.

Usporedba prilagodbe razdioba empirijskoj razdiobi1

0.9

0.8

vjer

ojat

nost

i

0.7

0.6

razd

iobe 0.5

0.4

Funk

cija

0.3

0.2

0.1

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

vremenske praznine t (sec)q=676 voz/ sat

n=766

eksponenc. razdioba pomaknuta eksponenc.

EMPIRIJSKA RAZDIOBA M3 Cow an

Slika 3.8 Prilagođavanje razdioba vremenskih praznina u uvjetima srednjeg intenziteta

prometa

Ova razdioba ima mnoga dobra svojstva. Nedavno provedena istraživanja pokazala su

kako se ova razdioba dobro prilagođava mjerenim vremenskim prazninama, te se prilagođava

veličini i svojstvima prometnog toka preko parametara α i tm. Ova razdioba dobro opisuje

vremenske praznine naročito na vangradskim cestama gdje prosječna veličina kolone raste s

povećanjem prometnog opterećenja.

71

3.3. 1 Matematička interpretacija kapaciteta sporednog toka

3.3.1.1 Osnovni modeli s jednim prometnim trakom u prioritetnom toku

Neka je g(t) broj “sporednih” vozila koja mogu ući u vremensku prazninu trajanja t

sekundi. Tada je očekivani broj vremenskih praznina trajanja t sekundi u jednom satu jednak

3600 qp f(t),

gdje je

f(t) = funkcija gustoće vjerojatnosti pojave vremenskih praznina u prioritetnom prometnom toku,

qp = prioritetni prometni tok (voz/sek).

Slijedi da je ukupni kapacitet (voz/sat) sporedne ceste koji je omogućen brojem vremenskih praznina trajanja t u jednom satu jednak

3600 qp f(t) g(t) (3.11)

Za proračun ukupnog kapaciteta izraženog u voz/sek gornji izraz se mora integrirati

preko cijelog područja trajanja vremenskih praznina u prioritetnom prometnom toku∞

(3.12)q m =q p ∫f (t )g (t )dt0

gdje jeqm - maksimalni broj vozila koji može krenuti sa stop crte u sporednom toku, odnosno

kapacitet sporednog toka (voz/sek).

Sada se za osnovni model interakcije sa samo dva prometna toka može izvesti jednadžba kapaciteta uz slijedeće pretpostavke:

a) vozači su homogeni i konzinstentni tj. tc i tf su konstante vrijednosti,

b) vremenske praznine u glavnom prometnom toku se ravnaju po eksponencijalnoj razdiobi,

c) veličine toka u glavnom i sporednom smjeru su konstantne u vremenu.

Za pretpostavku pod a) mogu se izvesti dvije različite formulacije za broj vozila iz

sporednog smjera koja mogu ući u konfliktno područje za vrijeme trajanja dulje vremenske

praznine u glavnom prometnom toku, a u ovisnosti o primijenjenom obliku funkcije g(t)

prikazane na slici 3.4.

Ovisno o izboru funkcije g(t) dobiju se dvije različite familije jednadžbi za kapacitet

sporednog toka.

Prva familija jednadžbi kapaciteta pretpostavlja stepenastu funkciju za g(t), (slika 3.4), koja

rezultira slijedećim cijelobrojnim vrijednostima∞

g (t ) = ∑np n (t ) (3.13)n =0

72

gdje jepn(t) =vjerojatnost da n vozila može ući u konfliktno područje za vrijeme vremenske praznine t

pn ( t ) = {1 za tc +( n −1)t f ≤ t ≤ tc + nt f / 0 za sve ostaleslucaje (3.14)

Druga familija jednadžbi pretpostavlja kontinuiranu linearnu funkciju prikazanu na slici

3.3. Ovakav pristup rezultira necjelobrojnim vrijednostima za g(t), a koristili su ga u svojim

radovima Siegloch i McDonald

0 za t < t0g(t) = ,

t −t 0 za t ≥ t 0tf

gdje je

t 0 =tc − t2

f

(3.15)

(3.16)

Ovdje je važno napomenuti da se obje familije jednadžbi za kapacitet izvode pod

pretpostavkom a), tj. da su tc i tf konstantni za sve vozače.

Koristeći izraze (3.15) i ( 3..16), te eksponencijalnu razdiobu vremenskih praznina u

glavnom toku dobije se jednadžba kapaciteta koji su nezavisno izveli Drew, Buckley i Harders

na različite načine

e −q p ⋅tcq m =q p (3.17)

1−e −q

p ⋅t

f

ili

q m =q pe −

q p

⋅ ( t c −

t f

)

e −qp

⋅tf −1

Siegloch je korištenjem kontinuirane linearne funkcije za g(t) iz

kapacitet sporednog toka

q m = t1

f e −q p ⋅t 0

(3.18)

izveo slijedeći izraz za

(3.19)

Oba dva pristupa daju zadovoljavajuće rezultate, a razlika u njihovoj upotrebi je toliko

mala da se može praktično zanemariti, što se vidi na slici 3.9 na kojem je dan prikaz rezultata

izraza (3.17) i (3.18) za različite veličine prometnog opterećenja glavnog toka.

73

toka 1400

1200

spor

edno

g

1000

sat)

800

kapa

cite

t(v

oz/ 600

400

Osn

ovni

200

00 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

Konfliktno prometno optere} enje glavnog toka (voz/ sat)

Harder (2.35) Siegloch (2.37)

Slika 3.9 Odnos prometnog opterećenja glavnog toka i kapaciteta qm sporednog toka za

osnovni model s dva prometna toka (tc=6 sek., tf=3 sek.)

Idealizirane pretpostavke a), b) i c) nisu realistične, pa su mnogi znanstvenici pokušavali na

različite načine isključiti bar jednu od navedenih idealnih pretpostavki. Tako se npr. općenitiji

izrazi za kapacitet mogu dobiti korištenjem realističnije M3 Cowan-ove razdiobe vremenskih

praznina i upotrebom stepenaste cjelobrojne funkcije. Na taj način se dobije općenitiji izraz za

kapacitet slijedećeg oblika

q m =αq p e −λ(tc −t m)

(3.20)1− e −λt f

gdje je

λ =

αq p

(3.21)(1−t mq p )

Ovaj izraz je prikazan na slici 3.11, a sličan je izrazima Tanner-a, Gipss-a, Troutbeck-a,

te Cowan-a. Izvod navedenog općeg izraza za kapacitet je prikazan u slijedećem odjeljku.

Svi navedeni izrazi u ovom odjeljku opisuju jednostavan model sa samo dva konfliktna toka u

dva prometna traka.

3.3.1.2 Interakcija više tokova različitog ranga prioriteta

Na svim tipovima nesamofiriziranih raskrižja, osim na kružnim tokovima i nekim

uljevima, postoji interakcija više od dva prometna toka različitog ranga prioriteta. Neki tokovi

imaju apsolutni prioritet (rang 1), dok ostali moraju dati prednost tokovima višeg ranga.

Tokovi višeg ranga su definirani prometnim propisima. Hijerarhija prioriteta tokova prikazana

je na slici 3.10. Npr., lijevi skretači iz sporedne ceste moraju dati prednost svim vozilima iz

ostalih prometnih tokova, ali također i vozilima u repu toka ranga 2.

74

1211

10

654

1 22 33

7 89 7 9

PRIORITETI - RANG 1: 2,3,5,6 PRIORITETI - RANG 1: 2,3,5- RANG 2: 1,4,9,12 - RANG 2: 4,9- RANG 3: 8,11 - RANG 3: 7- RANG 4: 7,10

5

4

Slika 3.10 Hijerarhija prometnih tokova

Kapacitet tokova ranga 3 i 4

Do danas nije poznato analitičko riješenje kapaciteta toka ranga 3, kao što je npr. lijevo skretanje iz sporedne ceste na T raskrižju (manevar 7 na slici 3.10). Za opisivanje ovakvih slučajeva teorija prihvaćanja vremenskih praznina se koristi

faktorima impedancije , p0, iz teorije repova.

Faktori impedancije predstavljaju vjerojatnosti da nijedno vozilo ne čeka u repu prioritetnog privoza. Ova vjerojatnost se dobije primjenom dostignuća teorije repova, te iznosi

p0=1-ρ (3.22)

gdje je

ρ=qp/Qp (stupanj saturiranosti, odnosno intenzitet prometnog toka) (3.23)qp = prometno opterećenje prioritetnog

toka (voz/sat) Qp = kapacitet prioritetnog toka (voz/sat)Npr. vozilo iz toka ranga 3 može ući u raskrižje samo za vrijeme dok nema

nijednog konfliktnog vozila u repu toka ranga 2, tj. samo u dijelu p0,rang2 od ukupnog analiziranog razdoblja.

Stoga kapacitet kretanja vozila iz toka ranga 3, odnosno osnovnu vrijednost qm

potencijalnog kapaciteta dobivenog za slučaj interakcije samo dva konfliktna toka

treba umanjiti na p0qm, da bi se dobio stvarni potencijalni kapacitet qe

qe,rang3

= p

0,rang2 ⋅q

m,rang3

(3.24)

Za T raskrižje slijedi

75

qe,7=

p

0,4 ⋅q

m,7 (3.25)Za četverokrako raskrižjeq

e,8=

p

x ⋅

q

m,8(3.26)q

e,11=

p

x ⋅

q

m,11

gdje je

px =

p

0,1 ⋅

p

0,4 (3.27)Vrijednosti p0,8 i p0,11 se također računaju po (3.22).Za kretanja vozila ranga 4 (lijevo skretanje iz sporednog smjera na četverokrakom

raskrižju- manevri 7 i 10) zavisnost faktora impedancije vozila iz toka prioriteta ranga 2 i ranga

3 se ne može odrediti analitički. Brillon i Grossman, su na temelju provedenih simulacija

utvrdili empirijsku statističku zavisnost kolona u tokovima ranga 2 i ranga 3, kako je prikazano

na slici 3.11.

Sada se za proračun kapaciteta toka ranga 4 uvode novi pomoćni faktori statističke

zavisnosti pz,8 i pz,11

pz,i = 0.65p yi−

p y ,i

+ 0.6 py ,i (3.28)p y ,i + 3

za koje se umanjuje stvarni potencijalni kapacitet qe na slijedeći načinza i= 8 ili 11

p y ,i

= p

x ⋅

p

0,i (3.29)

Produkt py,i tada predstavlja ulazni podatak na horizontalnoj osi na slici 3.15.

Maksimalni potencijalni kapacitet lijevih skretača iz sporednog toka za četverokrako

raskrižje se tada dobije kaoq

e,7=

(

p

z,11 ⋅

p

0,12 )q

m,7(3.30)q

e,10=

(

p

z,8 ⋅

p

0,9 )q

m,10

pz,i

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0.30

.1

0.40

.20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

py,i

Slika 3.11 Redukcijski faktor statističke zavisnosti tokova ranga 2 i 3

76

Konfliktni prometni tokovi

Za svaki prometni tok maksimalni potencijalni kapacitet se računa po navedenim

metodama uvrštavajući u izraze sumu svih konfliktnih prometnih opterećenja višeg ranga od

ranga analiziranog toka.

U različitim metodologijama se za određivanje konfliktnih prometnih opterećenja

koriste težinski faktori. Oni predstavljaju faktore redukcije stvarnih konfliktnih opterećenja.

Njihova vrijednost predstavlja optimalnu vrijednost dodijeljene težine određenom prometnom

toku. Uspoređivanjem stvarnog kapaciteta, utvrđenog na terenu, i rezultata modela kapaciteta,

dobijenih korištenjem različitih težinskih faktora, utvrđuje se optimalna vrijednost težinskih

faktora.

Njemačka metodologija, kao i HCM 1994, koriste vrijednost, prikazane u tablici 3.2 za

određivanje konfliktnih prometnih opterećenja i pridruženih težinskih faktora.

Slične vrijednosti težinskih faktora konfliktnih tokova se koriste i u drugim metodologijama

koje se zasnivaju na teoriji prihvaćanja vremenskih praznina.

PREDMETNO oznaka Konfliktno prometno opterećenje qp

KRETANJE manevra

Lijevo skretanje s glavne 1 q5 + q63

ceste 4 q2 + q33

Desno skretanje sa 9 q22 + 0.5q3

1

sporedne ceste 12 q52 + 0.5q6

1

Pravo kretanje sa 8 q2 + 0.5 q31) + q5 + q6

3)+ q1+q4

sporedne ceste 11 q2 + q33) + q5 + 0.5 q6

1)+ q1+ q4

Lijevo skretanje s 7 q2+0.5q31)+q5+q1+q4+q12

4)5)6)+q115)

asporedne ceste 10 q5+0.5 q61)+q2+q1+q4+q9

4)5)6)+q85)

Tablica 2.2 Konfliktna prometna opterećenja prema HCM 1994Napomene uz tablicu:1) Ako postoji trak za desno skretanje q3 i q6 se ne uzimaju u proračun

2) Ako postoji više od jednog traka na glavnoj cesti q2 i q5 se uzimaju kao opterećenje desnog vanjskog traka

3) Ako je desno skretanje s glavne ceste odvojeno trokutastim prometnim otokom i ima znak sporedne ceste ili znak obaveznog

zaustavljanja q3 i q6 se ne uzimaju u proračun.

4) Ako je skretanje desno iz sporedne ceste odvojeno prometnim otokom s znakom obaveznog zaustavljanja q9 i q12 se ne uzimaju u proračun.

5) Ako su manevri kretanja 11 i 12 kontrolirana znakovima obaveznog zaustavljanja za q11 i q12 se uzima pola vrijednosti

opterećenja. Ako su kretanja 8 i 9 kontrolirana znakovima obaveznog zaustavljanja za q8 i q9 se uzima pola vrijednosti opterećenja

6) Ako je privoz sporedne ceste širok q9 i q12 se mogu ili prepoloviti ili izbaciti iz proračuna.

Težine pridjeljene konfliktnim opterećenjima imaju implikacije na način opisivanja

mogućnosti iskorištavanja vremenskih praznina: Konfliktni tokovi težine 0 ili 1 se ili skroz

77

uključuju ili isključuju u izvođenju parametara kritične vremenske praznine za predmetno

kretanje. Težina od 0.5 se može interpretirati kao očekivanje da se oko polovice prioritetnih

vozila smatraju konfliktnim za sporedne vozače, tj. onemogućavaju da se prihvati

odgovarajuća vremenska praznina.

3.4 Razina usluge

Općenito se kvalitet odvijanja prometnih radnji na raskrižju može predstaviti slijedećim

mjerama efikasnosti koje definiraju određenu razinu usluge odvijanja prometnih tokova:

a) prosječno zakašnjenje (vrijeme čekanja vozila na privozu sporedne ceste od trenutka

dolaska u kolonu do trenutka odlaska sa stop crte),

b) prosječna duljina kolone.

Navedene mjere efikasnosti raskrižja su funkcije veličine tokova u glavnoj i sporednoj

cesti, qp i qn, učešća slobodnih vozila, razdiobe duljine kolone u kretanju u prioritetnom, te

razdiobe dujine kolone u sporednom toku. Proučavanjem ovakvih problema se bavi teorija repova iz koje su razvijeni modeli zakašnjenja. Kao i kod semaforiziranih raskrižja i kod nesemaforiziranih raskrižja se koriste vremenji ovisni modeli.

U teoriji repova, zakašnjenja vozila se modeliraju na principu načina dolaska i odlaska

vozila iz sistema, uz pretpostavku da su ubrzanja i usporenja trenutačna. Preostali dio

zakašnjenja opisuje se geometrijskim zakašnjenjem. Ukupno zakašnjenje po vozilu se tada

definira kao suma geometrijskog zakašnjenja, zakašnjenja zbog čekanja u koloni, te čekanja na

prvom mjestu privoza, odnosno na stop crti.

Geometrijsko zakašnjenje je ono koje nastaje zbog geometrije raskižja (uzdužni nagibi, radijusi skretanja, preglednost...), a podrazumijeva zakašnjenje prvog vozila na privozu sporednog toka u uvjetima niskog intenziteta toka u prioritetnoj cesti. Ovo zakašnjenje se

naziva minimalnim zakašnjenjem, a označava s Dmin.

Ako vozač mora provjeriti prisutnost vozila u glavnom toku tada je njegova brzina ulaska u

raskrižje smanjena. Stoga se u analizama geometrijskog zakašnjenja uključuju tri njegove

komponente:

• čisto geometrijsko zakašnjenje,

• dodatno zakašnjenje povezano s prisutnosti drugih vozila,

• zakašnjenje zbog usporavanja ili zaustavljanja.

Određene komponente geometrijskog zakašnjenju su već uključene u proračun zakašnjenja

po teoriji repova kroz razdiobu vremena čekanja i vremena usluge.

Na slici 3.12 su prikazani faktori povezani s geometrijskim zakašnjenjem.

78

Idealna trajektorija Stvarna trajektorijapu

t

decell

acelld

neg

vozila glavnog prometnog toka

t1

Ψ tc vrijeme

Geometrijsko zaka{njenje vozila koje idealno koristi kriti~nu prazninu tc

Slika 3.12 Geometrijsko zakašnjenje vozila koje idealno koristi kritičnu prazninu tcAko se zamisli vremenska praznina jednakog trajanja kao kritična vremenska praznina

tc, tada po pretpostavkama teorije prihvaćanja vremenskih praznina samo jedno vozilo može ući u tu vremensku prazninu, i to u točno određenom trenutku vremena. Pretpostavka je da je

taj trenutak t1 poslije prolaska vozila iz glavnog toka i tc-t1 prije slijedećeg vozila iz glavnog toka. Ako nema nikoga u repu na sporednom privozu, tada pod usvojenom pretpostavkom

kretanja nesmanjenom prilaznom brzinom, vozilo koje dođe u trenutku t1 na stop crtu neće imati nikakvo zakašnjenje. U slučaju da vozilo dođe na stop crtu malo prije ili kasnije od

trenutka t1, ono će imati zakašnjenje.

Na slici 3.12 je, za usvojene pretpostavke teorije prihvaćanja vremenskih praznina, prikazana idealna trajektorija vozila koje nema zakašnjenja.Realističnija je pretpostavka da će vozač usporiti do brzine kojom se uključuje u glavni tok i da će imati zakašnjenje koje se sastoji od zakašnjenja

zbog usporenja od brzine prilaza raskrižju do brzine kojom se uključuje u glavni tok ddecell,

zakašnjenja zbog putovanja konfliktnim područjem brzinom spajanja s glavnim tokom dneg, te

zakašnjenja zbog ubrzanja od brzine spajanja do brzine glavnog toka daccel.

Vozilo će za takav opis preći stop crtu Ψ sekundi nakon prolaska vozila iz glavnog toka i

tada će imati geometrijsko zakašnjenje koje se sastoji od sume triju navedenih komponenti:

(3.31)

79

d geom

=ddeccel

+d neg

+d accel

Brzina spajanja zavisi o tipu manevra, a može biti zavisna i o kritičnoj vremenskoj

praznini. Ona predstavlja minimalnu brzinu kojom će se vozilo početi kretati kroz raskrižje za

vrijeme duljih vremenskih praznina u prioritetnom toku. Na raskrižjima sa znakom obaveznog

zaustavljanja brzina spajanja je uvijek jednaka 0.

3.4.1 Vremenski ovisni modeli zakašnjenja

Modeli zakašnjenja razvijeni na konvencionalnoj teoriji repova vrijede pod

pretpostavkom stacionarnog stanja. To znači da je pretpostavljena vremenska nepromjenjivost

prometnih tokova nakon beskonačno dugog intervala, pa su stoga navedene metode

primjenjive samo za slučajeve kada je stupanj saturiranosti ρ manji od 1.

Matematičko riješenje za vremenski ovisan problem je razvio Newel. Ovaj model je

prekompliciran za praktičnu upotrebu pa se ne koristi ni u jednoj metodologiji.

Kimber-Hollis model predstavlja kvalitetnu aproksimaciju analitičkog rješenja, ali ipak

zahtijeva previše podataka koji se uobičajeno ne mjere na raskrižjima, kao što su početna

duljina repa i promjena veličine toka u vršnom razdoblju.

Jednostavnije riješenje dobije se korištenjem aproksimativnog izraza umjesto Pollaczek-

Knitchine formule za zakašnjenje u stacionarnim uvjetima.

Ova metoda je kao i Kimber-Hollis-ova kombinacija izraza za vremenski nezavisni model

koji je zadovoljavajući za slabije opterećena raskrižja i determinističke vremenski zavisne

formulacije koja se primjenjuje na raskrižjima s velikim stupnjem saturiranosti (većim od 3).

Rješenje za vremenski nezavisan slučaj se tada može prikazati na slijedeći načinγ + ερ

+ s (3.32)Ds =

D

min 1

1− ρsDeterministički pristup za zakašnjenje je s druge strane jednak

Dd = Dmin + 2L0

+ (ρd

−1)qmT za ρd >1 i (3.33) 2qm

Dd=0 u svakom drugom slučaju.

gdje jeL0= početna duljina repa

T = vrijeme promatranja funkcioniranja sustava u

sekundama qm = ulazni kapacitet.

Navedene jednadžbe su ilustrirane dijagramima na slici 3.13.

80

Za zadano prosječno zakašnjenje metoda transformacije koordinatnog sustava, prema slici

3.13, daje novu vrijednost stupnja saturiranosti ρt, koji je funkcija vremenski nezavisnog

stupnja saturiranosti ρs i determinističkog stupnja saturiranosti ρd, na način da je

ρd − ρt =1 − ρs =a (3.34)

vozil

u

1Transformirana krivulja

zaka

{njen

jep

o Stacionarni uvjeti a a

Deterministicki pristup

Pros

je~n

o

Dmin

0 ρs 1 ρt ρd 2Stupanj saturiranosti ρ

Slika 3.13 Metoda transformacije koordinatnog sustavaPreuređujući izraze (3.32) i (3.33) dobiju se izrazi za ρs i ρd kao funkcije zakašnjenja Dd i

Ds

ρs =

Ds −

D

min −γD

miniD

s −

D

min +εD

min (3.35)ρd = 2( Dd − Dmin ) − 2L0 / qm +1

T

Iz (3.34) dobije se sada za ρt.

ρt = 2(Dd −D min ) −2L0 / q m −(1−D

s −D

min −γD

min ) (3.36)Ds −D

min +εD

minTSređujući, stavljajući D=Ds=Dd, ρ=ρs, dobije se

Dt =1

{ A2 + B − A}2

(3.37)

gdje su

A = T( 1 − ρ ) −L0 − Dmin( 2 −ε ) i

2 qm (3.38)1+γ ) Tρ( ε +γ ) LT( 1 − ρ )(

B = 4Dmin + −(1 −ε ) 0

+ Dmin2 2 q

mIzraz (3.34) osigurava da metoda transformacije asimptotski teži determinističkoj

jednadžbi, te daje familiju relacija za različite stupnjeve saturacije i promatrana razdoblja

funkcioniranja sustava, što se vidi na slici 3.13.

81

Još jednostavniji izraz su predložili Akcelik i Troutbeck. Oni su izrazili a pomoću (3.34), te

izjednačavanjem vrijednosti koeficijenata saturiranosti i sređivanjem dobili aproksimativni izraz za

procjenu zakašnjenja po vozilu koji vrijedi i u nestacionarnim uvjetima slijedećeg oblika

D −D min = 1 L0 (ρ −1)T +L

0 + (ρ −1)T2

(3.39)+ TD

min (γ

+

ερ

s)

2 qm 4 2qm 4 2

Izraz za M/M/1 sistem dobije se ako se u (2.187) stavi ε=1,γ=0 i Dmin = 1/qm

D = 1 + T 2+ 8ρ (3.40)q

m 4

( ρ −1) + ( ρ −1)

q m

T

Prosječno zakašnjenje dobijeno iz (3.39) je zavisno od početne duljine repa, vremena

trajanja operacije sustava, stupnja saturiranosti i koeficijenata stacionarnog stanja. Izraz (3.40)

je jednostavniji jer se koristi za procjenu prosječnog zakašnjenja u uvjetima presaturiranosti za

različite duljine početnog repa. Ovaj izraz se koristi u HCM te predstavlja kvalitetnu i

praktičnu aproksimaciju teoretskih modela.

LITERATURA1. Akcelik, R. and G.F. Chung (1994.) : Calibration of the Bunched Exponential

Distribution of Arrival Headways. Road and Transport Research, 3(1). 2. Ashworth, R. (1969.) : The Capacity of Priority-Type Intersections with a Non-

Uniform Distribution of Critical Acceptance Gaps. Transportation Research, Vol. 3. 3. Ashworth, R. (1970.) : The Analysis and Interpretation of Gap Acceptance Data.

Transportation Research. No. 4, pp. 270-280. 4. Brilon, W. and M. Grossmann (1991.): Actualized Calculation Procedure for

Intersections Without Traffic Signals. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 596, Bonn.

5. Brilon, W. and M. Grossmann (1991.): The New German Guideline for Capacity of Unsignalized Intersections. In:Intersections without Traffic Signals II (Ed.: W. Brilon).Springer Publications, Berlin.

6. Brilon, W, N. Wu, and K. Lemke (1996.): Capacity at Unsignalized Two-Stage Priority Intersections. Paper 961280. Presented at the 75th TRB Annual Meeting, Washington D.C.

7. Catchpole, E. A. and A. W. Plank (1986.): The Capacity of a Priority Intersection. Transportation Research Board, 20B (6), pp. 441-456

8. Cowan, R. J. (1975.): Useful Headway Models.Transportation Research, 9(6), pp. 371-375.

9. Drew, D. R. (1968.): Traffic Flow Theory and Control.McGraw-Hill Book Company, New York.

10. Fisk, C. S. (1989.): Priority Intersection Capacity - A Generalization of Tanner's Formula. Transportation Research, Vol. 23 B, pp. 281-286.

11. Haight, F.A., (1963.): Mathematical theories of traffic flow, Academic Press, London.

82

12. Harders, J. (1976.) : Critical Gaps and Move-Up Times as the Basis of Capacity Calculations for Rural Roads. Schriftenreihe Strassenbau Strassenverkehrstechnik, Vol. 216.

13. Highway Capacity Manual (HCM 1994), Transportation Research Board, Washington DC.

14. Kimber, R. M., M. Marlow, and E. W. Hollis (1977.): Flow/Delay Relationships for Major/Minor Priority Junctions. Traffic Engineering & Control, 18(11), pp. 516-519.

15. Kimber, R. M. and E. M. Hollis (1979.): Traffic Queues and Delays at Road Junctions. TRRL Laboratory Report, LR909.

16. Kittelson, W.K. and Vandehey, M.A. (1991.): Delay effect on driver gap acceptance characteristics at two-way stop-controlled intersections. Transportation Research Record 1320. Transportation Research Board, Washington DC.

17. Kyte et al. (1991.): Capacity and Delay Characteristics of the two-way stop-controlled intersections. TRB 1320. Transportation research Board. Washington D.C.

18. Kyte, M. Tian, Mir, Hameedmansoor, Kittelson, Vandehey, Robinson, Brilon, Bondzio, Wu, Troutbeck(1996.):Capacity and Level of Service at Unsignalized Intersections, Final Report, Volume 1 - Two way Stop-Controlled Intersections; . Final Report for National Cooperative Highway Research Program Project 3-46.

19. Miller, A. J. (1972.): Nine Estimators of Gap Acceptance Parameters. In: Traffic Flow and Transportation (Ed. Newell). Proceedings International Symposium on the Theory of Traffic Flow and Transportation, American Elsevier Publishing Co.

20. Newell, G. F. (1982.): Applications of Queueing Theory. 2nd Ed. Chapman and Hall Ltd., London.

21. Plank, A. W. and E. A. Catchpole (1984.): A General Capacity Formula for an Uncontrolled Intersection. Traffic Engineering Control. 25(6), pp. 327-329.

22. Siegloch, W. (1974.): Capacity Calculations for Unsignalized Intersections. Schriftenreihe Strassenbau und Strassenverkehrstechnik, Vol. 1.

23. Sullivan, D. Troutbeck, R.J.: Relationship Between the Proportion of Free Vehicles and Flow Rate on Arterial Roads, Psysical Infrastructure Centre Report, 92-21, Queensland University of Technology, Brisbane, 1993.

24. Tanner, J. C. (1967.): The Capacity of an Uncontrolled Intersection. Biometrica, 54(3 and 4), pp. 657-658.

25. Troutbeck, R. J. (1992.): Estimating the Critical Acceptance Gap from Traffic Movements. Research Report, 92-5.

26. Troutbeck R. J. and Sullivan, D. (1993.): Relationship Between the Proportion of Free Vehicles and Flow Rate on Arterial Roads. Physical Infrastructure Centre Report, 92- 21, Queensland University of Technology, Brisbane.

27. Troutbeck, R.J.: A Rewiew on the process to estimate the Cowan M3 headway distribution parameteres, Traffic Engineering&Control, Vol. 38. No. 11, november 1997.

83

4. ANALIZA ODVIJANJA PROMETA NA

DIONICAMA DVOTRAČNIH CESTA

84

4.1 Uvod

Dionica izvangradske dvotračne ceste je jedan od najznačajnijih funkcionalnih

elemenata cestovnog sustava. Gotovo u svim zemljama više od osamdeset posto ukupnog

cestovnog sustava čine dvotračne ceste.

Kod određivanja uvjeta pod kojima se odvijaju prometni tokovi početne analize polaze od

definiranja osnovnih parametara prometnog toka i njihove međusobne ovisnosti. Najčešći predmet

istraživanja je funkcionalna ovisnost brzine i veličine toka s obzirom da je gustoću toka teško

mjeriti na terenu. Počeci ovih istraživanja u literaturi se vežu uz Greenshieldsa i tridesete godine

prošlog stoljeća. U Americi se pedesetih godina provode značajna istraživanja na temelju kojih su

razvijene metode matematičkog modeliranja zakonitosti u prometnom toku. Kasnije, a posebice

osamdesetih i devedesetih godina javlja se novi snažniji impuls u istraživanjima širom svijeta koja

nude niz novih pristupa i modela koji su dijelom predmet ovog rada.

Značajno je naglasiti da su u literaturi i inženjerskoj praksi rezultati istraživanja uglavnom

koncentrirani na autoceste, višetračne izvangradske ceste, glavne gradske ulice, arterije i njima

pripadajuće funkcionalne elemente. Zadnja dva desetljeća se ponovno intenziviraju istraživanja na

dvotračnim cestama. Problemi se javljaju u inženjerskoj primjeni teorijskih postavki i razvijenih

modela uz činjenicu da kod nas ne postoje pravilnici i standardi iz ovog područja. Tradicionalno

najviše se koristi metodologija Highway Capacity Manual (HCM). Ova je metodologija utemeljena

na istraživanjima provedenim u prevladavajućim uvjetima ceste

i prometa u SAD-u.

4.2 Opis postojećih modela

Prometni tok definira se pomoću tri osnovna parametra. Kako se tok mijenja u vremenu i prostoru tako i određivanje osnovnih parametara predstavlja statističku procjenu njihovih vrijednosti. Osnovni parametri prometnog toka su: veličina prometnog toka q (voz/h),

prosječna brzina toka odnosno srednja prostorna brzina vs (km/h) i gustoća k (voz/km).

Ravnotežno stanje uspostavlja se osnovnom relacijom prometnog toka

q = v s ⋅ k (4.1)

čiji se grafički prikaz naziva osnovnim dijagramom prometnog toka. U ovakvim uvjetima stanje

prometnog toka je definirano ako je poznata funkcionalna ovisnost dvaju osnovnih parametara.

Dionice dvotračnih izvangradskih cesta spadaju u grupu funkcionalnih elemenata na kojima

vladaju neprekinuti tokovi. Za opisivanje uvjeta odvijanja prometnih tokova na njima, kao mjere

efikasnosti koriste se ovi parametri. U nastavku će se opisati navedeni parametri, s detaljnijim

85

osvrtom na brzinu prometnog toka za koju se i u literaturi može naći veći broj različitih

pristupa i definicija.

Veličina prometnog toka

Veličina toka q određuje se izravno iz mjerenja u točki (presjeku ceste), a po definiciji

zahtijeva mjerenje u toku vremena. Ne može se odrediti iz jednog trenutnog snimka na dionici

ceste. Veličina toka q određuje se brojem opaženih vozila N podijeljenih s duljinom vremena

opažanja T.

q = N

(4.2)T

Ukupno vrijeme opažanja predstavlja zbroj vremena slijeda h za svako voziloN

T = ∑hi (4.3)i =1

Vrijeme slijeda h je vrijeme koje protekne između prolaska dvaju uzastopnih vozila zadanim

presjekom ceste mjereno na istim točkama na vozilu (npr. prednji branik-prednji branik) što

znači da uključuje duljinu jednog vozila i razmak. Ako se (4.3) uvrsti u jednadžbu (4.2) vidi se

da veličina toka i prosječno vrijeme slijeda imaju međusobno recipročan odnos:N N 1 1

(4.4)q = = = =T ∑hi 1 ∑h

ih

iN i

Veličina toka izražava se u voz/h. Kako variranja intenziteta toka unutar sata mogu biti velika

to se u pravilu iz manjih intervala (u HCM 15-minutni) izvodi ekvivalentno satno opterećenje

na osnovi maksimalno izmjerenog unutar manjeg intervala od jednog sata.

Brzina prometnog toka

Mjerenje brzine pojedinačnih vozila zahtijeva opažanja i u vremenu i u prostoru. U

ovisnosti od geometrije ceste i uvjeta okoline brzina određenog vozila se mijenja, odnosno ono

usporava ili ubrzava. Isto tako, različita vozila i vozači kreću se različitim brzinama u istim

uvjetima geometrije ceste i okoline. Trenutačna brzina pojedinačnog vozila definira se kao

v i = dx = lim x 2 − x1 (4.5)dt t 2 − t1(t 2 − t1 ) →0

Oprema na principu radarske tehnike omogućuje mjerenja brzina koja su sukladna ovoj

definiciji. Također mjerenje brzina na dva bliska presjeka, što praktično predstavljaju

induktivne petlje automatskih brojila, predstavljaju dobru aproksimacija prethodno navedene

definicije brzine (izuzev u slučajevima naglih usporenja i ubrzanja).

86

Osnovna relacija prometnog toka podrazumijeva brzinu prometnog toka, za razliku

od brzine kretanja pojedinačnog vozila. Dakle pod pojmom brzine toka uvijek se misli na

srednju (prosječnu) vrijednost brzina svih vozila koja sudjeluju u promatranom toku.

Nadalje u teoriji prometnog toka, ovisno o načinu promatranja u odnosu na prostor i

vrijeme, definirana su dva pojma brzine prometnog toka:

- Srednja vremenska brzina toka je ona koja se prostorno odnosi na jedan niz vozila koji

prolazi kroz presjek ceste (mjerenje u točki ), a vremenski se odnosi na interval

promatranja T.

- Srednja prostorna brzina toka je ona koja je prostorno odnosi na jedan niz vozila na

dionici ceste duljine L, a vremenski se odnosi na trenutak.

U literaturi se također pravi razlika između različitih načina računanja prosječne brzine

određenog broja pojedinačnih vozila u prometnom toku. Prvi način računanja brzine

predstavlja aritmetičku sredinu opažanja (mjerenja) i naziva se srednja vremenska brzina zato

što je to prosjek opažanja u određenom vremenu

1N

t = ∑v

i (4.6)v

N i =1

Drugi način proračuna odnosi se na srednju prostornu brzinu, ali na žalost postoje

različite definicije koje nisu u potpunosti ekvivalentne. Dva su glavna tipa definiranja srednje

prostorne brzine. Prvi tip definicije srednje prostorne brzine počinje od Lighthill i Whitham

(1955.) koju su povezali s Wardropovom definicijom koji brzinu definira kao prosječno

vrijeme potrebno za prelazak određene udaljenosti (prostor) L,

=L

(4.7)vs 1 ∑t

i

N i

gdje je ti vrijeme potrebno i-tom vozilu za prelazak udaljenosti L, odnosno ti = L

. vi

Slične definicije se mogu naći u priručnicima Institute of Transportation Engineers

(ITE 1976.; ITE 1992.;), May (1990.) i HCM 1985 . U ovom slučaju se postavlja pitanje što je

stvarno ukalkulirano u jednadžbi (4.7). Trebao bi to biti zbroj svih vozila koji su prešli cijelu

duljinu L. Postoje određena vozila koja nisu prešla cijelu duljinu. Nadalje, mnogi autori

počevši od Wardropa (1952.) pokazuju da je bit jednadžbe (4.7) u korištenju harmonijske

sredine pojedinačnih brzina vozila:

s = L = L = 1 (4.8)v1 1 L 1 1∑t

i ∑ ∑N N

v i N

vii i i

87

Poteškoća definiranja srednje prostorne brzine kao harmonijske sredine brzine vozila je

ta da mjerenja na dionici duljine L više nisu eksplicitno izražena jer jednadžba (4.8) pokazuje

da se srednja prostorna brzina može izračunavati kao harmonijska vrijednost brzina mjerenih u

točki kroz određeno vrijeme. Wardrop (1952.), Lighthill i Whitham (1955.) i Edie (1974.)

između ostalih prihvatili su ovo korištenje brzine u točki za proračun srednje prostorne brzine.

Za slučaj gdje se brzina ne mijenja s promjenom lokacije korištenje mjerenja u točki može biti

prihvatljivo, ali ako brzina varira unutar dionice ceste onda će postojati razlika između

harmonijske sredine brzina u jednoj točki dionice i brzine temeljene na prosječnom vremenu

putovanja potrebnom za prelazak određene dionice duljine L.

Drugi tip definicije srednje prostorne brzine uzima u obzir prosječnu vrijednost brzina

svih vozila na određenoj dionici ceste duljine L u jednom trenutku (vremena). Ovo je najlakše

shvatiti iz primjera danog od Haighta (1963.) u koji pokazuje jedan avionski snimak dionice

gdje sva vozila na svom krovu imaju brzinomjer. Na ovaj skup i gotovo uvijek nedostižan

način mogla se odrediti stvarna prosječna vrijednost srednje prostorne brzine.

Svi se autori slažu da je kod teorijskih analiza koje uzimaju srednju brzinu bitno da se iz

mjerenja odredi srednja prostorna brzina. Kod neprekinutih tokova i nezagušenih uvjeta razlike

nisu značajne, za razliku od isprekidanih tokova i zagušenih uvjeta.

Wardrop je razliku između ovih srednjih brzina definirao na sljedeći način:

σ2

(4.9)v t = v s +s

vs

gdje su:

vt - srednja vremenska brzina toka,

vs - srednja prostorna brzina toka,

σ2s - varijanca oko srednje prostorne brzine.

Jednadžbom (4.9) određuje se srednja vremenska brzina iz prostorne. Većina današnjih

tehnologija mjerenja brzine, pa tako i stacionarna automatska brojila koja koriste induktivne

petlje mjere srednju vremensku brzinu. U osnovnoj relaciji prometnog toka koristi se srednja

prostorna brzina. Dakle potreba je suprotna od onog što daje jednadžba (4.9).

U literaturi se mogu naći mnoge regresijske jednadžbe o odnosima brzina v s i vt kao rezultati

istraživanja na autocestama i višetračnim cestama.

U ovisnosti o uvjetima kretanja vozila u toku brzine se definiraju na sljedeći način:- Brzina slobodnog toka v0 predstavlja prosječnu brzinu vozila na zadanoj dionici,

mjerenu pri uvjetima male veličine toka kada vozači uspijevaju voziti željenom

brzinom. Ne postoji međusobno djelovanje između vozila.

88

- Brzina normalnog toka predstavlja prosječnu brzinu vozila na zadanoj dionici u uvjetima

kada na kretanje vozila u manjoj ili većoj mjeri djeluje interakcija među vozilima u toku.

Uvjeti toka mogu biti u rasponu od stabilnih do nestabilnih. U grupu ovako definiranih

brzina spadaju prema HCM-u prosječna brzina putovanja i prosječna brzina vožnje.

Prosječna brzina putovanja (ATS-average travel speed) predstavlja odnos duljine

promatrane dionice i prosječnog vremena putovanja vozila koji prelaze tu dionicu

uključujući sve gubitke vremena (zakašnjenja). Po definiciji se vidi da je to srednja

vremenska brzina. Prosječna brzina vožnje predstavlja odnos duljine dionice i prosječnog

vremena vožnje vozila koji prelaze tu dionicu. Vrijeme vožnje uključuje samo ono vrijeme

kada je vozilo u gibanju. Za funkcionalne elemente cesta na kojima vladaju neprekinuti

tokovi, i u uvjetima koji nisu razine usluge F, prosječna brzina putovanja jednaka je

prosječnoj brzini vožnje. To je slučaj i kod dvotračnih izvangradskih cesta.

- Brzina zasićenog toka odnosno brzina pri kapacitetu vc predstavlja prosječnu brzinu

vozila u uvjetima kada je veličina toka maksimalna odnosno jednaka kapacitetu i sva se

vozila kreću uz njihovo potpuno međudjelovanje. To znači da se praktično sva vozila

kreću istom brzinom.

- Brzina forsiranog toka predstavlja prosječnu brzinu vozila u uvjetima kada brzina naglo

opada i oscilira između vc i 0.

Gustoća prometnog toka

Gustoća prometnog toka definira se kao broj vozila koji se nalazi na zadanoj duljini

ceste (dionici) u određenom trenutku. Izražava se u broju vozila po jedinici dužine (voz/km).

Kada se govori o osnovnoj relaciji prometnog toka gustoća predstavlja također prosječnu

vrijednost trenutnih gustoća u određenom vremenu. Za razliku od veličine toka i brzine

mjerenje gustoće toka na terenu je teško. Zbog toga se gustoća može izračunati ako su poznati

veličina toka i srednja prostorna brzina

k = q (4.10)sv

gdje su značenja opisana ranije.

Gustoća je parametar kojim se posebice kod funkcionalnih elemenata ceste na kojima

vladaju neprekinuti tokovi opisuje kvaliteta odvijanja prometnih tokova, odnosno koristi se kao

mjera efikasnosti za određivanje razine usluge. Praktično opisuje blizinu vozila i odražava

slobodu kretanja i manevriranja unutar prometnog toka.

89

4.2.1 Osnovni dijagram prometnog toka

Grafički prikaz osnovne jednadžbe prometnog toka (4.1) naziva se osnovnim

dijagramom. Opći oblik osnovnog dijagrama prikazan je na slici 4.1 i temelj je za analizu

propusne moći funkcionalnih elemenata na kojima vladaju uvjeti neprekinutih tokova. Stvarni

oblik krivulja odnosno funkcionalna ovisnost među parametrima ovisi o prevladavajućim

uvjetima ceste i prometa. Također¨, istraživanja pokazuju da u realnim uvjetima krivulje

poprimaju diskontinuitet, odnosno postoje područja u kojima se funkcionalna ovisnost ne može

uspostaviti. Ova tri parametra su definirani kao vrijednosti u ravnotežnom stanju osnovne

jednadžbe. Osnovni dijagram je jasno definiran, ako je definirana funkcionalna veza između

dva od tri parametra.

Iz slike se vidi da je u osnovnom dijagramu prikazano niz karakterističnih vrijednosti osnovnih parametara. Veličina toka jednaka je nuli kod dvaju različitih uvjeta. Jedan je kada nema vozila na cesti, gustoća i veličina toka su jednaki nuli. Teorijski u ovakvim uvjetima brzina može biti jednaka brzini prvog vozila koji naiđe (pretpostavka je najvećom željenom

brzinom) i na dijagramu predstavlja brzinu slobodnog toka v0. Drugi uvjet je kada je gustoća

toka toliko porasla da sva vozila moraju stati. Brzina je jednaka nuli i veličina toka isto tako jer nema kretanja vozila i vozilo ne može proći zadanim presjekom ceste. Gustoća pri kojoj sva

vozila moraju stati naziva se gustoća zagušenja kmax.

Slika 4.1 Opći oblik povezanosti između brzine, gustoće i veličine toka za

funkcionalne elemente s neprekinutim tokovima

90

Između ovih graničnih stanja dobivaju se maksimalni učinci odvijanja prometnog toka. Kada veličina toka počinje rasti od nule, gustoća također raste, dok brzina toka opada zbog međusobnog djelovanja između vozila. Kapacitet je dostignut kada produkt gustoće i brzine

daje maksimalnu veličinu toka c = qmax. Ovi uvjeti se u literaturi definiraju kao optimalni,

kritični ili uvjeti toka pri kapacitetu, pa tako i druga dva parametra se definiraju vopt = vcr = vc,

kopt = kcr = kc. Puna crta na dijagramima pokazuje uvjete stabilnog toka, dok isprekidana pokazuje nestabilan odnosno forsirani tok. Za teorijske analize kvalitete odvijanja prometnih tokova koristi se funkcionalna ovisnost k-v jer je ta funkcija uvijek monotona, što znači da dok brzina toka v stalno opada, gustoća k raste.

4.3 Modeli q-v u metodologijama analize propusne moći

Najstarija i najraširenija metodologija analize propusne moći je Highway Capacity Manual s

posljednjim izdanjem iz 2000. godine. U međuvremenu razne države vrše istraživanja kako

bi empirijskim potvrdili ranije teorijske postavke odnosno ponudili alternativni pristup.

Jedan takav je HBS 2001, nazvan njemački HCM utemeljen na vrlo opsežnim

višegodišnjim istraživanjima. Također su na našim prostorima vršena određena istraživanja

čiji je jedan od rezultata novoklasični postupak prof. Kuzovića. Ovdje je važno istaknuti da

navedene metodologije imaju značajno različite pristupe i da daju različite rezultate.

Najzanimljiviji primjer karakterističan za ovo područje istraživanja je činjenica da u

Njemačkoj parametar postotak izgubljenog vremena u koloni (PTSF) nikad nije prihvaćen,

a u HCM 2000 mu je dana još veća uloga u određivanju razine usluge dionica dvotračnih

izvangradskih cesta u odnosu na ranije verzije.

4.3.1 HCM 2000

Prosječna brzina putovanja i postotak izgubljenog vremena u koloni su mjere efikasnosti

kojima se u metodologiji HCM 2000 određuje razina usluge. S obzirom da se radi o najviše

korištenoj metodologiji u svijetu u nastavku će se kratko opisati samo dio koji se odnosi na

određivanje prosječne brzine putovanja. Metodologija podrazumijeva da su geometrija ceste i

projektna brzina uključeni kroz određivanje brzine slobodnog toka FFS. Ključni korak je

određivanje brzine slobodnog toka. Može se odrediti na dva načina. Prvi je mjerenje brzina,

odnosno vremena putovanja pojedinačnih vozila pod uvjetima male veličine toka (< 200

91

OV/h=osobnih vozila/h u oba smjera). Brzina slobodnog toka određuje se kao prosječna

vrijednost pojedinačnih brzina. Drugi način je procjena brzine slobodnog toka koristeći

sljedeću jednadžbu

FFS = BFFS − fLS − fA (4.11)

gdje su:

FFS – procijenjena brzina slobodnog toka (km/h), BFFS – bazna FFS (km/h),

fLS – korekcijski faktor za širinu traka i bankine,

fA – korekcijski faktor za broj priključaka po kilometru.

S obzirom na širok raspon brzina slobodnog toka kod dvotračnih izvangradskih cesta

problem se javlja kod određivanja bazne brzine slobodnog toka BFFS-a. Metodologija ne nudi

jasan način, samo sugerira da podaci o projektnoj brzini, o ograničenjima brzine i lokalnih

poznavanja o uvjetima odvijanja na sličnim dionicama mogu pomoći u određivanju vrijednosti

BFFS-a.

Prosječna brzina putovanja određuje se

ATS = FFS − 0.0125v p − fnp (4.12)

gdje su:vp – 15-minutna veličina toka izražena kao ekvivalent osobnih vozila (OV/h),

fnp – utjecaj postotka duljina dionice sa zabranom pretjecanja na smanjenje ATS (km/h).

Prosječna brzina putovanja je funkcija brzine slobodnog toka, veličine toka u oba smjera i postotka duljina sa zabranom pretjecanja. Na slici 4.2 je prikazana prosječna brzina putovanja u funkciji veličine toka oba smjera, a na slici 4.3 utjecaj postotka duljina dionice sa zabranom

pretjecanja odnosno vrijednosti fnp za sve slučajeve.

Slika 4.2: Veza brzina-tok dionica dvotračnih cesta pri baznim uvjetima

92

8

7

6

(km

/h) 5

4fn

p

3

2

1

00 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200

veličina toka u oba smjera (OV/h)

0% PNPZ 20% PNPZ 40% PNPZ

60% PNPZ 80% PNPZ 100% PNPZ

Slika 4.3: Veličina utjecaja postotka duljina dionice sa zabranom pretjecanja na ATS

Slika 4.3 pokazuje da utjecaj postotka duljina dionice sa zabranom pretjecanja PNPZ na

prosječnu brzinu putovanja (ATS) raste do veličine toka od 400 OV/h u oba smjera, a zatim

opada i relativno je mali kod jako velikih opterećenja. Maksimalna vrijednost smanjenja

prosječne brzine putovanja je 7.3 km/h.

Na slici 4.4 prikazan je združeni utjecaj veličine toka i postotka duljina dionice sa

zabranom pretjecanja za slučaj 60 % PNPZ i brzinu slobodnog toka od 70 km/h. Dakle i u

metodologiji HCM 2000 dobiva se nelinearni konkavni oblik ovisnosti brzine o veličini

prometnog toka, ali bez jasno definiranog utjecaja postotnog učešća teških vozila u prometnom

toku.

93

Dijagram prosječne brzine putovanja ATS, slučaj FFS=70 km/h i 60 % PNPZ

80

70

60

(km

/h)

50

40

ATS 30

20

10

00 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200

veličina toka u oba smjera (OV/h)

Slika 4.4: q-v dijagram za slučaj v0 =70 km/h i 60 % PNPZ

4.3.2 HBS 2001

U Njemačkoj su u posljednje vrijeme izvršena značajna istraživanja s konačnim ciljem

uspostave smjernica za analizu propusne moći funkcionalnih elemenata cestovne mreže.

Rezultat je priručnik HBS2001 [F1]. Ovdje će se ukratko opisati metodologija istraživanja i

rezultati vezani za dionice dvotračnih cesta koristeći se objavljenim radom Brilona i Weisera

[B4]. U nastavku je prikazan niz dijagrama rasipanja podataka koji su rezultat mjerenja i

simulacija izvršenih u Njemačkoj, na temelju kojih su napravljene smjernice. Zbog važnosti

ovakvih podataka ovdje su prikazani gotovo svi dijagrami rasipanja iz navedenog članka.

Za izvođenje pouzdanih odnosa brzina-tok temeljna su bila mjerenja u realnim uvjetima

odvijanja prometa na dvotračnim cestama. Pojavljuje se uobičajen problem neophodnosti

obuhvaćanja svih veličina prometnog toka i sve raznolikosti elemenata geometrije ceste

istovremeno. Kako praktično nije moguće pokriti sve navedene uvjete i područja samo

istraživanjima na terenu korišten je i mikroskopski simulacijski model Lasi. Na temelju realnih

mjerenja (na 14 dionica) izvedeni su temeljni odnosi parametara i zaključci koji su poslužili za

kalibraciji simulacijskog modela koji je omogućio općenitije zaključke i pokrivanje cijelog

područja u smislu uvjeta geometrije ceste i uvjeta prometa.

Na slici 4.5 prikazani su svi rezultati mjerenja brzine putovanja temeljeni na pet minutnim

intervalima. Vidljivo je da se u skupini dionica s boljim elementima geometrije ceste,

94

gdje su izmjerena opterećenja i do 2500 voz/h u oba smjera, brzine putovanja kreću od 100

km/h do 60 km/h pri maksimalnim veličinama toka. Nasuprot toga se vidi da grupa dionica s

lošijim elementima (npr. ceste u planinskim terenima) imaju značajno niže brzine putovanja

kao i izmjerene vrijednosti veličine toka.

Slika 4.5: Dijagram brzina-tok kao kombinacija mjerenja brzine putovanja na svim

dionicama, 5-minutni intervali, veličina toka uključuje oba smjera

Također je na deset dionica istovremeno izvršeno lokalno mjerenje brzine i određivanje

brzine putovanja na dionicama duljina između 1.9 do 4.2 km. Zadovoljavajuća sukladnost rezultata

se logično očekuje na dionicama s homogenom geometrijom. Zbog uvjeta homogenosti dionice

tumačenje lokalno procijenjenih rezultata kao mjerodavnih na duljoj dionici neophodno je

provoditi vrlo pažljivo. Na slici 4.6 prikazani su rezultati (autori navode da su odabrali dionice na

kojima su slaganja podataka najbolja) lokalnog mjerenja (u jednom presjeku dionice) i brzina

putovanja izračunatih na temelju izmjerenog vremena putovanja. Kao što se i očekivalo, uz

navedene pretpostavke, dijagrami rasipanja brzina-tok dobro odgovaraju jedan drugom.

95

Slika 4.6: Dijagrami brzina-tok - usporedba između lokalnih mjerenja i brzine putovanja

(sive točke: lokalna mjerenja; crne točke: brzine putovanja)

Isto tako, na nekim dionicama su korišteni podaci dobiveni iz sustava kontinuiranog

brojenja (slika 4.7). Na slici 4.8 su na dijagramu uspoređeni podaci sve tri vrste mjerenja:

lokalnog mjerenja, mjerenja brzine putovanja i brzina s opreme kontinuiranog brojenja. Ovaj

primjer potvrđuje dosta dobru podudarnost podataka koja važi za slučajeve kada lokalno

mjerenje može stvarno predstavljati dionicu, odnosno ako se lokalno mjerenje nalazi unutar

homogene dionice.

96

Slika 4.7: Dijagrami brzina-tok za nekoliko dionica dobivenih iz opreme kontinuiranog

brojenja, jednosatni interval za 4 različite dionice

Slika 4.8: Usporedba podataka s kontinuiranog brojenja ( interval 1h), lokalnog mjerenja

(5min) i brzine putovanja (5min) na dionici ceste (B 27 blizina Tuebingena)

Ovi su rezultati omogućili kalibraciju simulacijskog modela Lasi. Na taj način bilo je

moguće dobro predstaviti izvorne empirijske podatke. Na slici 4.9 prikazana je usporedba

97

rezultata mjerenih brzina i onih dobivenih simulacijskim modelom na osam dionica. Vidljivo je da

se kako na dionicama s dobrom vertikalnom i horizontalnom geometrijom, tako i na strmim i

vijugavim dionicama rezultati mjerenja i rezultati simulacija zadovoljavajuće slažu. I mjerenja i

simulacije pokazuju da je oblik dijagrama brzina-tok za dvotračne ceste različit od dijagrama za

autoceste odnosno višetračne ceste. U ovom slučaju q-v krivulja poprima konkavan oblik. Kod

manjih opterećenja strmija, a zatim dobiva manji nagib. Ranija Brilonova istraživanja su razlog za

konkavnost krivulje objašnjavala prisutnošću sporijih (teških) vozila u prometnom toku.

Za analitičko predstavljanje ovih rezultata i konkavnog svojstva krivulje odabran je

model jednostavne kvadratne funkcionalne ovisnosti brzina–tok za koju se utvrdilo da najbolje

odgovara podacima mjerenja

v T(OV ) = a + b ⋅ q (4.13)

gdje su:vT(OV) - prosječna brzina putovanja osobnog vozila

(km/h) q - veličina prometnog toka u oba smjera (voz/h)

a, b - parametri modela

Geometrijske karakteristike dionica dvotračnih cesta su određene na sljedeći način:

Prva karakteristika je klasa nagiba (COG – class of gradient). Definirana je maksimalnom

brzinom koju fiktivno teško vozilo može postići na promatranoj dionici zbog veličine i duljine

uspona. Sve dionice su podijeljene u pet klasa (tablica 4.1). Za ocjenu horizontalne geometrije

uvedena je karakteristika zakrivljenosti KU koja sadrži kombinaciju utjecaja krivinske

karakteristike i postotka duljina dionice sa zabranom pretjecanja. Ako je promatrana dionica

nehomogena u smislu horizontalne geometrije, zakrivljenost KU je potrebno definirati

odvojeno za homogene pod-dionice. Prema kriteriju zakrivljenosti KU dionice su podijeljene u

četiri klase. Ovdje je važno naglasiti da ova metodologija podrazumijeva samo određenu grupu

poprečnih presjeka (širina prometnih trakova u rasponu od 3.0 do 3.5 m i njima slični presjeci)

i da oni nemaju utjecaja na brzinu prometnog toka odnosno na funkcionalni odnos brzina-tok.

98

Slika 4.9: Dijagrami brzina-tok: usporedba između podataka simulacija (sive točke) i

mjerenja (crne točke)

99

Slika 4.10: Dijagrami brzina-tok za nekoliko kombinacija utjecajnih veličina geometrije ceste,

krivulje važe za % teških vozila od 0% (gornja krivulja) s korakom 5 do 25%

Pored geometrijskih karakteristika, struktura prometnog toka je uvedena kao utjecajni

faktor. Postotak teških vozila je variran između 0 i 25% gdje se svako vozilo s dopuštenom

maksimalnom masom većom od 3500 kg smatra "teškim vozilom". Za svaku kombinaciju

navedenih karakteristika ceste i prometa koristeći se mikrosimulacijskim i analitičkim

modelom određen je jedan dijagram brzina-tok. Na slici 4.10 prikazani su rezultati za

kombinacije parametara osjenčene u tablici 4.1. Dijagrami q-v za sve slučajeve kombinacija

mogu se naći u priručniku HBS 2001.

100

Tablica 4.1: Kombinacija utjecajnih veličina geometrije ceste za evaluaciju q-v dijagramaKlasa uzdužnih 1 2 3 4 5

nagiba (COG)

VHV (km/h) >70 >55 >40 >30 <30Zakrivljenost

KU* (°/km]0 – 67 Horizontalno, X X X X

pravac

67 – 135 X X X X X

135 – 202 X X X X X

>202 X X X X planinski

* Neočekivane granice klasa su posljedica njemačkog korištenja mjera za kuteve u gradima, 100 grad = 90°.

Ovdje se ukazuje na neočekivan nelinearan utjecaj elemenata geometrije na dijagrame

brzina-tok. Na ravničarskom terenu (COG=1) sa srednjom ili visokom zakrivljenosti KU teška

vozila ne smanjuju značajno brzine osobnih automobila (slika 4.14 lijevo u sredini).

Objašnjava se situacijom da se u ovom slučaju zbog prisutnosti krivina osobna i teška vozila

kreću sličnim brzinama tako da teška vozila ne usporavaju automobile. Na strmim nagibima

utjecaj teških vozila nije linearan.

Navedena su sljedeća kritična razmatranja i zaključci. Najveća zabilježena opterećenja

su bila 2500 voz/h. Simulacije su također otkrile da tokovi za preko 2500 voz/h (zbroj u oba

smjera) nisu izgledali mogući na duljim dionicama normalnih dvotračnih cesta. Zbog toga su

najveće izmjerene veličine toka od 2500 voz/h smatrane kao najveće moguće na ravnim i

vodoravnim cestama. I pod ovim se opterećenjima još uvijek dešavaju praznine unutar toka.

Međutim, one se ne mogu popuniti zbog razlika u brzinama i ograničenih mogućnosti

pretjecanja. Viša opterećenja na dužim dionicama ceste su moguća samo u uvjetima s

homogenijim ponašanjem brzine (osobito bez razlika u brzini između automobila i kamiona)

nego što je to slučaj u Njemačkoj.

Za smjernice se kao mjera efikasnosti za određivanje razine usluge nije mogla koristiti

prosječna brzina putovanja, kao što se u početku namjeravalo. Umjesto toga je uvedena

gustoća prometa kao zamjenska mjera efikasnosti. Ovdje se gustoća od 40 voz/km pokazala da

je ona tipičan kritični prag gdje se slobodan tok remeti u zagušenje. Dijagrami brzina-tok

imaju nekoliko neočekivanih svojstava. Najočitije je konkavan oblik koji je prvo nastao iz

simulacija. Međutim, također je bio potvrđen i mjerenjima i teoretskim modelima. Glavni

razlog za ovaj efekt je razlika u razinama brzina između osobnih vozila i kamiona. Pokazao se

također nelinearni utjecaj zakrivljenosti i prosječnog uzdužnog nagiba.

101

Tradicionalni princip da se oba smjera dionica izvangradskih dvotračnih cesta tretiraju

kao jedna cjelina, u pogledu prometne opterećenosti kao i prosječnih brzina putovanja, se

pokazao dosljednim pristupom. Za analizu u jednom smjeru se navodi da se može koristiti za

iznimne slučajeve.

Literatura3. [A1] AKCELIK, R., Speed-Flow Models for Uninterrupted Traffic Facilities, Akcelik

& Associates Pty Ltd, 2003. 4. [A2] AKCELIK, R., Relating flow, density, speed and travel time models for

uninterrupted and interrupted traffic, Traffic Engineering and Control, 1996. 5. [B4] BRILON, W., WEISER, F., Two-Lane Rural Highways – the German

Experience, TRB 2006 Annual Meeting, 2006. 6. [B5] BRILON, W., WU, N., Forschung Strassenbau und Strassenverkehrstechnic – heft

669 – Kapitel 7, Ruhr-Universitat Bochum, Bundesministerium fur Verkehr Abteilung Strassenbau, Bnn_Bad Godesberg, 1994.

7. [B6] BRILON, W., WEISER, F., New Speed-Flow Diagrams for Rural Two-lane Highways, Research, Ruhr-Universitat Bochum, www.ruhr-uni-bochum.de/verkehrswesen/vk/, 1997.

8. [D3] DREW, D. R., Traffic Flow Theory and Control, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968.

9. [E2] ERLANDER, S., A mathematical model for traffic on a two-lane road, Proceedings of the 3rd International Symposium on the Theory of Traffic Flow, 1965.

10. [F1] FGSV, Handbuch fuer die Bemessung von Strassen (German Highway CapacityManual) HBS2001, Forschungsgesellschaft fuer Strassen – Verkehrswesen, Cologne

(www.fgsv-verlag.de), 2002.11. [H1] HAIGHT, F. A., Mathematical Theories of Traffic Flow, Academic Press, New

York, 1963.12. [L1] LIGHTHILL, M. J., WHITHAM, G. B., On Kinematic Waves: A Theory of

Traffic Flow on Long Crowded Roads, Proceedings of the Royal Society of London, 229, pp. 317-345, 1955.

13. [L6] LUTTINEN, R. T., Level of service on Finnish Two-Lane Highways, TL Consulting Engineers, Ltd., Finland, http://onlinepubs.trb.org./onlinepubs/circulars/,

14. [M1] McSHANE, W. R., ROESS, R. P., PRASSAS, E. S., Traffic Engineering, Second Edition, Prentice Hall, Upper Sadle River, New Jersey 07458, 1998.

15. [M5] MAY, A. D., Traffic Flow Fundamentals, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, pp. 338-375, 1990.

16. [T2] TRB, Highway Capacity Manual, HCM2000, Transportation Research Bord – special report 209, edition 2000.

17. [T3] TRB, Traffic Flow Theory, a State-of-Art-Report, ITS, Turner Fairbank Highway Research Center, www.tfhrc.gov/its/tft, 1997.

18. [W2] WU, N., New Approach for Modeling of Fundamental Diagrams, Transportation Research A 36, pp. 867-884, 2002.

102

5. Simulacijski modeli prometnog toka

103

5.1. Uvod

U širem smislu poimanja, simulacija predstavlja imitaciju odvijanja određenog stvarnog

procesa. Ovisno na koji način se realizira oponašanje promatranog sistema, simulacijski modeli

se generalno mogu podijeliti na fizičke, trodimenzionalne modele stvarnih procesa i

simboličke modele koji putem matematičkih i/ili logičkih relacija uz pomoć računala opisuju

ponašanje promatranog sistema. Ovdje se u daljnjem tekstu pod simulacijom odnosno

simulacijskim modelom smatra ovaj potonji, simbolički model, kojim se pomoću računala

modelira i pretpostavlja odvijanje prometnog toka tijekom određenog vremenskog perioda.

Digitalna računala su, zahvaljujući njihovoj velikoj moći obrade podataka i brzini rada, dala

značajan poticaj razvoju modeliranja i simuliranja na svim inženjerskim područjima pa tako i u

području projektiranja i analize transportnih sustava.

Kronološki gledano primjena kompjuterske simulacije na ovom području započela je

pedesetih godina prošlog stoljeća. Od tada su se simulacijski modeli razvijali i postali koristan

alat u transportnom inženjerstvu s različitim mogućnostima primjene. Danas se simulacije

mogu koristiti u postupku planiranja, projektiranja, vrednovanja varijantnih rješenja, validaciji

i kalibraciji novih analitičkih modela, raznim znanstvenim istraživanjima, a čine i sastavnu

komponentu većine aplikacija Inteligentnog transportnog sustava (ITS). Upotreba

simulacijskih modela na istraživačkom i stručnom području otvara mogućnosti provjeravanja i

vrednovanja novih načina u vođenju prometa te usporedbu varijantnih projektnih rješenja prije

nego što se nedostaci novih rješenja odraze na terenu. Grafička sučelja koja omogućavaju

animaciju simuliranog odvijanja prometa u prostoru i vremenu daju mogućnost boljeg uvida u

način odvijanja prometnog toka te vizualizacijom stanja na mreži utvrđivanje uzroka

eventualnih zastoja u prometu.

Za što realniju simulaciju cestovnog prometnog sustava potrebno je adekvatno modelirati sve

njegove elemente: prometnice i čvorišta s pripadajućim geometrijskim karakteristikama, način

kontrole prometa, vrste i mogućnosti vozila, osobine vozača kao i interakciju ovih elemenata koja

rezultira određenom prometnom situacijom. Ovisno o načinu modeliranja i svojstvima

primijenjenih varijabli za definiranje pojedinih elemenata, postoji nekoliko načina klasifikacije

simulacijskih modela koji su opisani u narednom poglavlju. U daljnjem tekstu dan je kratki prikaz

osnovnog koncepta modeliranja i procesne logike mikroskopskog stohastičkog simulacijskog

modela koji se temelji na metodi Monte Carlo i relacijama iz teorije slijeda vozila.

104

5.2. Klasifikacija simulacijskih modela

Za razliku od analitičkih i empirijskih modela, simulacijski modeli dinamički

proračunavaju i determiniraju stanje promatranog dijela prometnog sustava. Ovo

podrazumijeva da se stanje sistema i njegovih pojedinih elemenata (brzina vozila, položaj

vozila, svjetlo na semaforu, itd.) mijenja tijekom analiziranog vremenskog perioda pa vrijeme

predstavlja osnovnu nezavisnu varijablu. Ovisno o tome da li je vrijeme u kojem se promatra

razvoj stanja sistema kontinuirana ili diskretna varijabla, jedna od podjela simulacijskih

modela je na kontinuirane i diskretne [T.4].

Kontinuirani simulacijski modeli definiraju promjene u sistemu kontinuirano kroz

vrijeme kao odgovor stalnim podražajima, dok diskretni modeli proračunavaju stanje sistema

kroz određene vremenske presjeke. S obzirom na to da li su ovi vremenski presjeci vezani uz

određeni vremenski inkrement ili pak uz određeni događaj, diskretni modeli mogu se nadalje

podijeliti u dvije osnovne kategorije:

♦ modeli diskretnog vremena i

♦ modeli diskretnog događaja

Kod modela diskretnog vremena promjene stanja sistema proračunavaju se za svaki

vremenski inkrement ∆t čija veličina je eksplicitno definirana u modelima ovakvog tipa.

Najčešće korištena veličina vremenskog koraka je jedna sekunda ili jedna desetinka sekunde,

iako može biti i bilo koja druga vrijednost. To znači da se sve veličine vezane uz

funkcioniranje sistema kao i odgovarajući statistički podaci računaju za sukcesivne vremenske

korake. Za razliku od ovakvog vremenskog "skeniranja" stanja sistema, u modelima diskretnog

događaja, prometna situacija tj. nova vrijednost varijabli u sistemu, proračunava se nakon

ostvarivanja određenog događaja koji utječe na odvijanje prometnog toka (npr. promjena

svjetla na semaforskom uređaju).

Kod sistema gdje većina entiteta ostvaruje stalne promjene stanja, kao što je slučaj kod

modeliranja prometnog toka, kao i za sisteme gdje se traže detaljniji podaci o ponašanju

čitavog sistema ili njegovih dijelova, diskretni modeli vremena predstavljaju bolji izbor od

modela diskretnog događaja.

Drugi način klasifikacije simulacijskih modela može biti i prema mogućnostima primjene u

odnosu na promatrani dio prometnog sustava. Gibson [G.3] je tako podijelio simulacijske modele

na one koji se mogu koristiti za analizu raskrižja, zatim na modele za analizu glavnih gradskih

ulica, mreže gradskih ulica, autocesta i vangradskih cesta ili njihovih dionica. Potreba za

zajedničkom strategijom kontrole i analize navedenih podsistema cestovnog prometnog

105

sustava rezultirala je razvojem i simulacijskih modela koji simuliraju odvijanje prometnih

tokova na integriranoj mreži gradskih i vangradskih prometnica.

Možda najčešće spominjana podjela simulacija je na mikroskopske, makroskopske i

mezoskopske modele, ovisno o razini na kojoj se opisuje promatrani prometni tok.

Mikroskopski modeli opisuju stanje sistema na temelju karakteristika i ponašanja svakog

individualnog vozila i njegove interakcije s ostalim vozilima u prometnom toku. Kod ovih

modela za modeliranje toka koriste se relacije iz teorije slijeda vozila prikazane u poglavlju

2.1.3. i relacije iz teorije prihvaćanja vremenskih praznina kojima se definira ponašanje svakog

vozila u određenoj prometnoj situaciji. Ovo ponašanje obuhvaća moguće ubrzanje, usporenje,

promjenu traka, pretjecanje, skretanje, zaustavljanje i kriterij prihvaćanja vremenskih praznina.

Kod ovih modela može se pratiti kretanje pojedinog vozila te dobiti individualna trajektorija

put-vrijeme. Mikroskopskim modelima moguće je sve prometne situacije prilično detaljno

simulirati što obično zahtijeva više ulaznih podataka i veće potrebno vrijeme za provođenje

simulacije od makroskopskih.

Makroskopski modeli ne proučavaju detaljno ponašanje svakog vozila već prometni tok

promatraju kao kontinuum i shodno tome koriste i agregirane parametre kao što su intenzitet

prometnog toka te prosječna brzina i gustoća toka. Kod ovih modela često se koriste jednadžbe

analogne onima koje se koriste kod opisa ponašanja toka fluida i fenomena udara valova.

Prometni tok na nekoj dionici definira se ovisno o toku na prethodnoj i slijedećoj dionici kroz

jednadžbe očuvanja količine toka i druge relacije kojima se zadovoljavaju granični uvjeti

definirani na spojevima pojedinih dionica. Individualni manevri kretanja kao što je na primjer

promjena prometnog traka obično nisu eksplicitno modelirani.

Određeni broj simulacija pripada kategoriji mezoskopskih modela koji spadaju negdje

između prethodno navedenih modela jer kod proračuna stanja sistema koriste mikro i makro

pristup. Kod ovih modela uglavnom se većina entiteta opisuje individualnim karakteristikama

dakle mikro pristupom, dok se njihovo kretanje i međudjelovanje modelira na agregiranim

podacima. Na primjer, "odluka" pojedinog vozila da promjeni trak ne ovisi o interakciji s

vozilima u susjednom traku tj. veličini vremenske i prostorne praznine koju bi promatrano

vozilo moglo iskoristiti već o relativnoj gustoći prometa tog traka.

Još jedan način podjele simulacijskih modela temelji se na svojstvima primijenjenih

varijabli za definiranje pojedinih procesa i elemenata u modelu pa tako postoje:

♦ deterministički modeli i

♦ stohastički modeli

Deterministički modeli nemaju slučajnih varijabli, sve interakcije entiteta definirane su

točno utvrđenim (determiniranim) matematičkim, statističkim ili logičkim relacijama gdje isti

106

ulazni podaci daju uvijek isti izlazni rezultat. Ovakav deterministički pristup obično se koristi

kod makroskopskih modela.

Za razliku od njih, stohastički modeli sadrže procese koji uključuju komponentu

slučajnosti odnosno ovi modeli koriste jednu ili više slučajnih varijabli za proračun stanja

sistema. Slučajne varijable mogu determinirati veličinu određenog parametra (npr. vrijeme

slijeda vozila ovisno o tipu vozila i vozača) i/ili izvršenje neke radnje kao odgovor na danu

prometnu situaciju (npr. prihvaćanje vremenske praznine kod skretanja).

Postupci u stohastičkim modelima temelje se na Monte Carlo metodi što implicira da su

slučajne varijable definirane određenom statističkom razdiobom i njenom funkcijom

vjerojatnosti koja najbolje opisuje promatrani parametar, a uzorak (skup konkretnih

vrijednosti) dobiva se pomoću slučajnih brojeva. Način generiranja slučajnih brojeva i njihova

primjena u procesnoj logici simulacijskih modela prikazani su u poglavlju 2.5.4. Korištenje

uvijek drugačijeg niza slučajnih brojeva u pojedinoj simulaciji kao za posljedicu ima

varijabilnost izlaznih rezultata što znači da za što realniju vrijednost i ocjenu točnosti procjene

ponašanja sistema treba izvršiti veći broj simulacija i analizirati dobivene rezultate primjenom

klasičnih statističkih metoda.

Stohastičke metode uglavnom se koriste kod mikroskopskih simulacijskih modela koji

opisuju prometni tok na razini pojedinog vozila. Budući većina faktora koji definiraju način

odvijanja prometnog toka imaju karakter slučajnih varijabli (npr. koji tip vozila će se pojaviti

na privozu, koliki je postotak skretača po pojedinom ciklusu, stupanj agresivnosti vozača, itd.),

stohastički simulacijski modeli u svojoj suštini imaju dobre preduvjete da ostvare prihvatljiv i

realan opis stvarnih prometnih situacija te na taj način omoguće izbor optimalnog rješenja u

građevinskom i prometnom smislu. Stoga je u daljnjem tekstu dan kraći generalni prikaz

koncepta razvoja jednog stohastičkog simulacijskog modela i osnovni algoritmi njegovih

komponenti.

5.3. Razvoj stohastičkog simulacijskog modela prometnog toka

Razvoj simulacijskog modela prometnog toka generalno se ne razlikuje od bilo kojeg

općeg postupka pri izradi nekog modela što uključuje slijedeće korake:

1. Definiranje problema i cilj modeliranja

Prvi korak je identifikacija problema odnosno utvrđivanje svrhe zašto se razvija model i što

se od modela očekuje kao izlazni rezultat.

2. Definiranje sistema koji će se modelirati

107

Sistem se dezagregira da bi se utvrdile njegove sastavne komponente i njihova međusobna

interakcija. Nadalje, utvrđuju se potrebni ulazni podaci i njihova svojstva (konstante ili

slučajne varijable) te postavljaju granice područja primjenjivosti modela.

3. Formulacija modela

Ovaj korak predstavlja najkompleksniji i najkreativniji dio razvoja modela. Nakon

definiranja ulaznih i željenih izlaznih podataka te sastavnih komponenata modela potrebno

je definirati tok podataka unutar modela i algoritme (matematičke-statističke-logičke)

kojima se opisuju pojedine komponente i njihova interakcija te kreirati logičku strukturu

kojom se ove komponente integriraju u jedinstveni model. Programski jezici koji se koriste

kod razvoja simulacija mogu se klasificirati u specijalizirane simulacijske kao što su

SIMSCRIPT i GPSS ili opće korištene programske jezike kao što su FORTRAN,

PASCAL, C++ , JAVA i dr.

4. Verifikacija modela

Cilj verifikacije je utvrditi da li razvijeni software odnosno logika modela točno provodi

postupke kako je zamišljeno dijagramom toka ne ulazeći u pitanje točnosti konačnog

rezultata već samo korektno provedenog procesa simulacije.

5. Validacija i kalibracija modela

Validacijom se utvrđuje konzistentnost podataka procjenjenih modelom i stvarno izmjerenih

veličina na temelju definiranog validacijskog kriterija i provedenih statističkih testova te se

po potrebi izvrši kalibracija parametara u modelu.

Osnovna karakteristika stohastičkih modela su slučajne varijable kojima se opisuju pojedine

komponente u modelu primjenom Monte Carlo metode. To znači da ovi modeli moraju

sadržavati postupak generiranja slučajnih brojeva na temelju kojih se simuliraju slučajni

događaji u sistemu kao što su npr. način dolaska vozila na raskrižje, tip pristiglog vozila,

karakteristike vozača i dr.

Kako se slučajni brojevi često upotrebljavaju u različitim područjima istraživanja, za njihovo

generiranje razvijeno je više metoda. Budući se danas za generaciju slučajnih brojeva koriste

računala, odnosno nekakav determinirani program, ovako dobiveni brojevi nazivaju se

pseudoslučajni brojevi tj. proizvode se na deterministički način, ali zadovoljavaju sve testove

slučajnosti odnosno ponašaju se kao da su zaista slučajni. Dobra karakteristika pseudoslučajnih

brojeva je što se određena ispitivanja mogu ponoviti s istim nizom pseudoslučajnih brojeva koji će

rezultirati istim karakteristikama prometnog toka te na taj način omogućavaju bolju usporedbu

varijantnih rješenja bilo u građevinskom ili prometno-regulacijskom smislu. Kao primjer može se

navesti slijedeće: ako se prilikom analize odvijanja prometa na nekom semaforiziranom raskrižju

žele usporediti varijantna rješenja načina kontrole prometa tada je poželjno da se

108

minimalizira utjecaj strukture prometnog toka i/ili karakteristika vozača već da se samo

usporede promjene mjera efektivnosti (zakašnjenja, duljine repa, vremena putovanja i dr.)

nastale zbog utjecaja načina kontrole. U ovom slučaju, za svako od varijantnih rješenja koristio

bi se isti niz pseudoslučajnih brojeva koji definira strukturu prometnog toka i/ili karakteristike

vozača, a varirao bi se način i vrijeme dolaska vozila na raskrižje i na taj način usporedba

dobivenih mjera učinkovitosti dala bi odgovor koji od predloženih načina kontrole predstavlja

najkvalitetnije rješenje.

5.4. Generiranje i primjena slučajnih brojeva

5.4.1. Pseudoslučajni brojevi s jednolikom raspodjelom

Jedna od najčešće upotrebljavanih metoda za generiranje pseudoslučajnih brojeva je tzv. linearna kongruentna metoda koja za proizvodnju niza slučajnih brojeva koristi slijedeću

rekurzivnu formulu za generiranje cjelobrojnih vrijednosti Si:

Si = (α ⋅Si−1 + β)modγ (5.1)

gdje je:

γ = modul takav da je γ>0

α = konstanta takva da je 0<α<γ

β = inkrement takav da je 0<β<γ iS0 = početni slučajni broj (seed) takav da je 0<S0< γ

Da bi se ova metoda koristila za generiranje slučajnih brojeva SBi s uniformnom raspodjelom

na intervalu (0,1) potrebno je primijeniti i dodatnu relaciju prema kojoj je:

SB =S

i (5.2)γi

Osim ove tzv. mješovite kongruentne metode često se upotrebljava multiplikativna

kongruentna metoda kod koje je inkrement β = 0. Multiplikativnu kongruentnu metodu za

generiranje slučajnih brojeva kojima se simuliraju slučajni elementi prometnog toka

upotrebljava i simulacijski program CORSIM koji se koristio u ovom radu.

109

5.4.2. Pseudoslučajni brojevi s proizvoljnom raspodjelom

Iako postoji više načina za generiranje slučajnih brojeva s uniformnom razdiobom, ne

postoji neki opći način kako bi se generirali slučajni brojevi s proizvoljnom razdiobom

definiranom matematičkim izrazom ili nekom eksperimentalno dobivenom krivuljom. Zbog

toga se kod stohastičkih simulacijskih modela za one slučajne varijable koje se ravnaju prema

razdiobi drugačijoj od uniformne koristi Monte Carlo metoda. Ovom metodom se slučajni

brojevi s uniformnom razdiobom transformiraju u slučajne brojeve neke druge razdiobe s

poznatom funkcijom raspodjele vjerojatnosti. Suština Monte Carlo metode prikazana je na slici

5.1.F(x)

1.0

kumulativna funkcija raspodjele

ulazni broj u podru čju od 0 - 1 s jednolikom raspodjelom

x

izlazna veli čina: broj s raspodjelom određenom kumulativnom funkcijom raspodjele

Slika 5.1. Monte Carlo metoda za transformaciju slučajnih brojeva s jednolikom raspodjelom u

slučajne brojeve s definiranom raspodjelom

Prema ovoj metodi slučajni brojevi generirani uniformno na intervalu (0,1) predstavljaju

ulazni podatak pomoću kojeg se generira stohastička varijabla s bilo kojom drugom poznatom

raspodjelom opisanom kumulativnom funkcijom vjerojatnosti F(x). Na ovaj način slučajni

brojevi s jednolikom raspodjelom generiraju slučajne vrijednosti X koje se ravnaju prema bilo

kojoj drugoj (zadanoj) razdiobi f(x). Drugim riječima, od vrijednosti vjerojatnosti prema

poznatoj ili pretpostavljenoj kumulativnoj funkciji F(x) dolazi se do pojedinačnih događaja, što

predstavlja obrnuti postupak od skupljanja statistike i određivanja raspodjele po kojoj se ravna

promatrani događaj.

Kao primjer primjene slučajnih brojeva i Monte Carlo metode u simulaciji prometnog toka u

narednom tekstu prikazat će se način generiranja vozila i karakteristika vozača koji se primjenjuje

u modelu CORSIM, a ista ili slična je primjena i u ostalim simulacijskim modelima.

110

Generacija vozila

Na početku simulacije promatrani sistem je "prazan" tj. nema vozila. Vozila se generiraju

na definiranim ulaznim točkama, obično na rubu analizirane mreže prometnica, na način da je

njihov broj definiran prema utvrđenom intenzitetu prometa, a vremena slijeda tj. vremena

između pojave vozila na mreži ravnaju se prema određenoj razdiobi. U CORSIM-u se razdioba

vremena slijeda može birati između uniformne, normalne ili Erlang-ove razdiobe s parametrom

slučajnosti od 1.0 do 4.0. Erlang-ova razdioba s koeficijentom slučajnosti jednakim 1.0

predstavlja u biti negativnu eksponencijalnu razdiobu. Ova razdioba vremena slijeda odgovara

slučajnim dolascima vozila na mrežu koji se tada ravnaju prema Poisson-ovoj razdiobi.

Koristeći kumulativni izraz za negativnu eksponencijalnu razdiobu P(h > hmin )= e−qh

i metodu transformacije Monte Carlo, vrijeme h između dolazaka vozila proračunava se

prema izrazu:

h = 1 [− ln(1 − SB )] (5.3)i q i

gdje je q definirani intenzitet prometa, SBi slučajni broj s jednolikom razdiobom na intervalu

(0,1) i izraz (1-SBi) predstavlja vjerojatnost P(h>hmin) dok je hmin minimalno mogući interval između vozila uvjetovan duljinom vozila i obično iznosi 1,2 sek. Na ovaj način svakom

generiranom slučajnom broju SBi pridruženo je određeno vrijeme slijeda na temelju kojeg se u definiranim ulaznim točkama na mreži generiraju vozila.

Generacija atributa vozila i vozača

Vozilo i vozača kao sastavne elemente svakog prometnog sistema potrebno je definirati

vlastitim atributima. Zbog različitih tipova i tehničkih mogućnosti vozila kao i različitih

karakteristika pojedinih vozača postoji mnogo kombinacija vozilo-vozač koje se mogu pojaviti

u prometnom toku.

Relevantni atributi koji definiraju pojedino vozilo su njegova duljina, širina, vrsta (osobno,

teretno, ...), granična vrijednost ubrzanja i usporenja, maksimalna brzina i dr. Za opisivanje vozača

definira se njegova agresivnost koja uvjetuje veličinu prihvatljive vremenske praznine, željenu

brzinu slobodnog toka, način reakcije na neki podražaj i dr. Svaki od ovih atributa koji se

primjenjuje u modelu kalibriran je na temelju određenih terenskih podataka u fazi razvoja modela i

predstavljen je ili skalarnom veličinom, ili teoretskom probabilističkom razdiobom, ili nekom

općom funkcionalnom zavisnosti između pojedinih atributa.

Na slici 5.2. prikazano je kako se generirani slučajni brojevi s uniformnom razdiobom na

intervalu (0,1) koriste za definiranje agresivnosti vozača kao slučajnog događaja. U CORSIM-u su

vozači s obzirom na agresivnost podijeljeni na deset tipova, označenih indeksom od 1 do 10,

111

gdje tip 1 predstavlja najmanje agresivnog vozača, a 10 najagresivnijeg. Svaki od ovih tipova

vozača ima istu vjerojatnost pojavljivanja na mreži.

Na istoj slici prikazan je i primjer funkcionalne zavisnosti između indeksa agresivnosti

vozača i željene brzine slobodnog toka odnosno prihvatljivog usporenja kod promjene

prometnog traka. Iz ovih primjera vidljivo je na koji način se pomoću jednog atributa vozača

(u ovom slučaju agresivnosti) generira slijedeći atribut (željena brzina slobodnog toka odnosno

prihvatljivo usporenje prilikom promjene traka).

1.0

0.9

0.8 generirana vrijednost

X) 0.7 slučajnog broja, SB

<

0.6

P(x

0.5

0.4 indeks agresivnosti vozača0.3 koji se pripisuje vozilu0.20.1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10indeks agresivnosti vozača

diskretna jednolika razdiobapomoću koje se na temelju generiranog slučajnog broja SB definira indeks agresivnosti vozača

inde

ks a

gres

ivno

sti v

ozač

ain

deks

agr

esiv

nost

i voz

a ča

10

9

8

76

5

4

3

2

1

10

9

8

7

65

4

3

2

1

indeks agresivnosti vozača promatranog vozila

dodijeljena vrijednost brzine slobodnog toka

120110100 90 80 70 60 brzina slobodnog toka (km/h)

-5 -4 -3 -2 prihvatljivo usporenje kod promjene prometnog traka (m/s2)

primjer diskretne razdiobe kojom se na temelju indeksa agresivnosti vozača definira željena brzina slobodnog toka

primjer diskretne razdiobe kojom se na temelju indeksa agresivnosti vozača definira prihvatljivo usporenje kod promjene prometnog traka (agresivniji vozači prihvaćajuveći rizikodnosno veću vrijednost naglog usporenja)

Slika 5.2. Primjer načina generiranja pojedinih atributa u simulacijskom modelu

112

5.5. Izbor odgovarajućeg simulacijskog modela

Svaka kombinacija vozilo-vozač formira jednu komponentu modela čiji je način ponašanja

uvjetovan njihovim pripadajućim atributima (npr. vozačeva želja za ubrzanjem ograničena je

tehničkim mogućnostima vozila). Uz to, ova komponenta vozilo-vozač je u interakciji i s ostalim

komponentama modela kojima se definira prometno okruženje koje se analizira, a čine ih:

geometrija prometnica i način kanaliziranja prometa, konfiguracija raskrižja, uređaji za kontrolu

prometa, okolni vozilo-vozač entiteti te intenzitet konfliktnih kretanja vozila i pješaka.

Način modeliranja pojedinih komponenti i njihovog međudjelovanja kao i način

proračuna te razina prikaza izlaznih rezultata doveli su do razvoja različitih simulacijskih

modela koji danas postoje na tržištu. U skladu s ranije iznesenom klasifikacijom simulacijskih

modela postoje modeli koji su primjenjivi samo za određene dijelove prometnog sustava, koji

opet mogu biti makro, mikro ili mezoskopski po svojim karakteristikama ovisno o razini

promatranja prometnog toka.

Mikroskopski modeli koji mogu analizirati integriranu prometnu mrežu, tj. vangradske i

gradske prometnice modelirati u istom modelu, s mogućnošću simuliranja različitih prometnih

uvjeta i s grafičkom animacijom uz jednu ili više zamišljenih kamera, predstavljaju

najsofisticiranija dostignuća na ovom području. Tu spadaju slijedeći simulacijski modeli:

♦ AIMSUM (razvijen u Španjolskoj)

♦ CORSIM (SAD)

♦ INTEGRATION (Kanada)

♦ PARAMICS (Velika Britanija)

♦ SIMTRAFFIC (SAD)

♦ VISSIM (Njemačka)

♦ WATSIM (SAD)

I među ovim modelima postoje razlike u njihovim mogućnostima. Razlike se očituju u

veličini mreže koja se može analizirati, mogućnosti stvaranja matrica putovanja i dinamičkog

pripisivanja prometnog toka na mrežu, vizualizaciji u 2D ili 3D obliku s različitom kvalitetom

animacije i drugim specifičnim uvjetima koji mogu ili ne mogu biti modelirani (optimalizacija

rada semafora, prijelaz preko željezničke pruge, naplatne kućice i dr.). Podrobniji opis svakog

od navedenih modela kao i ostalih prisutnih na tržištu može se naći u [E.2] ili na internet

stranicama njihovih proizvođača.

113

Svaki simulacijski model ima svoje prednosti i manjkavosti. Stoga je kod provođenja

analize i rješavanja određenog problema važno utvrditi da izabrani simulacijski model ima

odgovarajuće mogućnosti za dobivanje kvalitetnih odgovora na postavljene ciljeve projekta.

Kod izbora simulacijskog modela koji će se primijeniti u analizi i rješavanju konkretnog

problema trebalo bi razmotriti slijedeće kriterije [E.2]:

♦ mogućnosti modela (veličina mreže, tip prometnica, struktura prometa, prometne

radnje, način kontrole prometa, način prezentiranja izlaznih rezultata)

♦ potrebni i dostupni podaci (ulazni podaci, podaci za kalibraciju i validaciju, dostupnost

izvora potrebnih podataka)

♦ prilagodljivost korisniku (kvaliteta i jednostavnost predprocesora, postprocesora,

animacije i on-line pomoći)

♦ ostale karakteristike (cijena, tehnička podrška, stručnost korisnika u primjeni izabranog

modela i iskustvo s prethodnih projekata s istim izabranim modelom)

Ovdje je kao primjer simulacijskog modela za testiranje i validaciju izabran model

CORSIM koji je razvijen u Sjedinjenim Američkim Državama. On je jedan od najčešće

korištenih modela u SAD-u iako ne sadrži sva dostignuća simulacije, kao npr. 3D modeliranje

ili dinamičko pripisivanje na mrežu, koje imaju neki sofisticiraniji modeli. No ipak, zbog

širokog spektra načina simuliranja prometnog toka i geometrijskih rješenja, korisniku pruža

mogućnost primjene u istraživačkom i stručnom radu.

S obzirom da je razvijen i kalibriran na podacima prikupljenim u SAD-u, u ovom radu

provedeno je istraživanje o njegovoj primjenjivosti u ovdašnjim prevladavajućim uvjetima. Da

bi se dobiveni rezultati mogli korektno interpretirati nužno je razumijevanje temeljnih

pretpostavki i logike modela kao i način proračuna izlaznih podataka o zakašnjenju, duljini

repa i drugih mjera učinkovitosti. Kao podloga za usporedbu dobivenih rezultata korišteni su

podaci prikupljeni na terenu na konkretnim raskrižjima te rezultati dobiveni primjenom

analitičkog modela HCM čija metodologija je najprihvaćenija u svijetu pa tako i u Hrvatskoj.

U daljnjem tekstu dan je kratki prikaz relacija za zakašnjenje i duljinu repa koje se koriste u

modelu HCM 2000 koji predstavlja posljednje izdanje ove metodologije, te osnovnih relacija

koje se primjenjuju za simulaciju toka u modelu CORSIM i to njegovoj najnovijoj verziji 6.0.

114

Literatura:

1. Aycin, M.F., Benekohal, R.F., Comparision of Car-Following Models for Simulation, Transportation Research Record, No.1678, TRB, National Research Council, Washington, D. C., 1999.

a. Crowther, B.C., A Comparision of CORSIM and INTEGRATION for the Modeling of Stationary Bottlenecks, Master Thesis, Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University, Blackburg, Virginia, 2001.

2. Drew, D.R. Traffic Flow Theory and Control, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968.

3. Edie, L., Car-Following and Steady-State Theory for Non-Congested Traffic, Operations Research, Vol.9, ORSA, Washington, DC, 1961.

4. Elefteriadou, L., Leonard, J. D. II, List, G., Lieu, H., Thomas, M., Giguere, R., Johnson, G. and Brewish, R., Beyond the Highway Capacity Manual, Framework for Selecting Simulation Models in Traffic Operation Analyses, Transportation Research Record 1678, TRB, National Research Council, Washington, D. C., 1999.

5. FHWA Office of Operations Research, Development and Technology, Federal Highway Administration, Turner-Fairbank Highway Research Center, TSIS-Traffic Software Integrated System, Version 5.1, ITT Industries, Inc., Systems Division, Colorado Springs, 2003.

a. Gazis, D.C., Herman, R., Potts, R., Car-Following Theory of Steady-State Traffic Flow, Operations Research, Vol. 7, 1959

6. Gibson, D., Available Computer Models for Traffic Operations Analysis, Transportation Research Board, Special Report 194, 1981, pp.12-22

7. Halati A., Lieu H., and Walker S. “CORSIM" - Corridor Traffic Simulation Model, Proceedings ASCE Conference on Traffic Congestion and Safety in the 21st Century, Chicago, 1997.

8. May, A.D., Keller, H. E. M., Non-integer Car-Following Models, Highway Research Board, Record 199, Washington D.C., 1967.

9. May, A.D., Keller, H. E. M., Evaluation of Single and Two-Regime Traffic Flow Models, Fourth International Symposium on the Theory of Traffic Flow Proceedings, Karlsruhe, West Germany, 1968.

10. Pipes, L.A., An Operational Analysis of Traffic Dynamics, Journal of Applied Physics, Vol.24, No. 3, 1953.

11. Smiljanić, G., Modeling and Simulation, Fakultet elektrotehnike i računarstva Sveučilišta u Zagrebu, 1995, oldwww.rasip.fer.hr/nastava/mis/smiljanic/modeliranje.html,

12. Wong, S., TRAF-NETSIM: How it works, What it does, ITE Journal, Vol.60, No.4, 1990.

115