analiza vremenskih serija - university of...

Profesor Zorica Mladenović 5/10/2018

Ekonomski fakultet, Beograd, 2018. 1

1

Analiza vremenskih serija

Zorica Mladenović

2

Struktura

Uvodne napomene Vremenska serija i slučajan proces Stacionarnost i osnovni modeli Uzroci nestacionarnosti. Jedinični koren Relevantnost prisustva jediničnog korena i

regresiona analiza nestacionarnih vremenskih serija

Test jediničnog korena Kointegracija Test kointegracije



3

Vrste podataka

Podaci vremenskih serija • Godišnji, kvartalni mesečni, dnevni, kako se

obavi transakcija.

Podaci preseka (strukture)• Vrednosti različitih promenljivih koje definišu

strukturu u datom trenutku vremena.

Podaci panela• Kombinacija podataka vremenskih serija i

podataka preseka.

4

Osnovno svojstvo vremenske serije: autokorelacija

Vremenska serija je niz podataka koji je uređen u odnosu na vreme

To uređenje se obično ostvaruje u jednakim vremenskim intervalima: godina, mesec, dan, čas,...

Primer: podatak o indeksu cena u maju 2018. dolazi nakon podatka o datom indeksu u prethodnom mesecu, aprilu 2018.

Uključivanjem novih podataka proširuje se dati niz, dok se postojeći redosled u nizu ne menja.



5

Osnovno svojstvo vremenske serije: autokorelacija(II)

Uobičajena notacija: Xt, t=1,2,…,T t – linearni trend: indeks koji uzima vrednosti od 1 to T i T je

ukupan broj podataka (obim uzorka) Skraćenica za skup opservacija: X1, X2,…, XT.

Vrlo je verovatno da Xt-1 (bar delimično) određuje nivo Xt: ima smisla analizirati Xt-1 pre nego što se pristupi analizi Xt. Podaci tokom vremena su korelisani. Korelisanost tokom vremena se uobičajeno naziva

autokorelacija.

Osnovni svrha analize vremenskih serija: otkriti tip autokorelacije u datoj vremenskoj seriji.

6

Osnovna razlika između ekonometrijskog i pristupa analize vremenskih serija

Standardni ekonometrijski pristup:

Y=f(X1, X2,…), gde su X1, X2,… promenljive koje sugeriše ekonomska teorija.

Pristup analize vremenskih serija:

Yt=f(Yt-1, Yt-2,…)

Ignorišu se objašnjavajuće promenljive koje sugeriše teorija Ono što se dešavalo sa Yt u prošlosti je dovoljno za modeliranje. Uobičajeni termin za t-1, t-2, itd., je docnja prvog reda, docnja

drugog reda i sl.



7

Ključna svojstva ekonomskih vremenskih serija

Postojanje trenda

Postojanje sezonskih varijacija

Postojanje nestandardnih opservacija –strukturni lom

Nestabilna varijansa

8

Trend

Označava dugoročnu komponentu u kretanju. Podaci najvećeg broja makroekonomskih vremenskih

serija sistematski rastu ili padaju tokom vremena. Ova tendencija rasta (pada) može biti stohastička ili

deterministička. Stohastički trend: u trenutku t-1 ne možemo znati nivo

promenljive u trenutku t. Deterministički trend: funkcija oblika a+bt (a,b=const)

određuje kretanje vremenske serije u svakom trenutku vremena.



9

Primer stohastičkog trenda u privredi Srbije: javni dug kvartalni podaci (2008:4 – 2015:4)

20

30

40

50

60

70

80

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Javni dug Srbije (udeo u BDP, %)

10

Primer stohastičkog trenda u privredi Srbije: ukupna devizna štednja stanovništva u bankama, mesečni podaci (2004:1 – 2016:12)

0

200,000

400,000

600,000

800,000

1,000,000

1,200,000

04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

Ukupna devizna štednja stanovništva

(u milionima dinara na kraju perioda)



11

Primer determinističkog trenda: konsolidovani javni prihodi u Srbiji (2010:1 – 2017:11)

80,000

100,000

120,000

140,000

160,000

180,000

200,000

2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Konsolidovani javni prihodi (u milionima dinara)

12

Postojanje sezonskih varijacija

Vremenske serije ispoljavaju pravilnosti u kretanju u toku jedne kalendarske godine.

Kvartalni ili mesečni podaci

Veća korelisanost između podataka istih kvartala (meseci) različitih godina nego između susednih kvartala (meseci) iste godine.

Sezonske varijacije mogu biti stohastičke ili determinističke



13

Postojanje sezonskih varijacija u mesečnim podacima privrede Srbije

Indeks industrijske proizvodnje (2009:1-2018:2)

70

75

80

85

90

95

100

105

110

2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017

Indeks industrijske proizvodnje (2017=100)

Postojanje sezonskih varijacija u mesečnim podacima privrede Srbije II

Indeks proizvodnje električne energije (2005:1-2013:12)

60

70

80

90

100

110

120

130

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013

Indeks snabdevanja elektricnom energijom, gasom i parom (2016=100)



15

Postojanje strukturnog loma

Egzogeni događaji mogu uticati na promenu u kretanju vremenske serije (tzv. intervencija)

Primeri egzogenih događaja: promena režima ekonomske politike (devalvacija valute i promena

politike dev. kursa, liberalizacija spoljno-trgovinskog poslovanja) globalna recesija promena cene sirove nafte na svetskom tržištu politički događaji promena obračuna ekonomske veličine, itd.

Rezultat: pojava strukturnog loma (engl. outliers) Strukturni lom: jedna ili više opservacija koje nisu saglasne sa

prethodnim skupom podataka

16

Vrste strukturnog loma (II)

Jednokratna promena

Trajna promena determinističke komponente trenda

• Odsečka funkcije trenda

• Nagiba funkcije trenda

• Odsečka i nagiba funkcije trenda



17

Primer jednokratnog strukturnog loma: indeks snabdevanja el. energijom, gasom i parom u Srbiji (2005:1-2017:1)

50

60

70

80

90

100

110

120

130

05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

Indeks snabdevanja elektricnom energijom, gasom i parom (2016=100)

Poplave

18

Trajna promena odsečka i nagiba funkcije trenda: nominalni devizni kurs u Srbiji

(2002:1 - 2016:12)

50

60

70

80

90

100

110

120

130

02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

Nominalni devizni kurs dinara prema evru (kraj perioda)



19

Trajna promena odsečka i nagiba funkcije trenda: indeks prometa u trgovini na malou Srbiji (2003:1 - 2018:2)

40

60

80

100

120

140

160

03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17

20

Nestabilna (vremenski promenljiva) varijansa

Svojstvo vremenskih serija na finansijskim tržištima (cenafinansijskih instrumenata).

Učesnici na berzi reaguju na svaku novu informaciju tako štoprodaju postojeće ili kupuju nove akcije. To dovodi do promenecene.

Detaljnije sagledavanje nove informacije može uticati nasmirivanje berze, odnosno na pad obima transakcija.

Dolazak nove vesti utiče na rast varijabiliteta, koji se potomsmanjuje, a ponovni rast varijabiliteta se može očekivati sapojavom nove informacije.

Termin: uslovna varijansa (standardna devijacija) – volatilnost.



21

Dnevna cena nafte (dolar/barel) i stopa rasta (%) Londonska berza, tip ’brent’4. januar, 2005 – 22. januar, 2018.

0

40

80

120

160

06 08 10 12 14 16

Dnevna cena nafte (dolar/barel)

‐20

‐10

0

10

20

06 08 10 12 14 16

Dnevna stopa rasta cene nafte (%)

0

2

4

6

8

06 08 10 12 14 16

Ocenjena uslovna standardna devijacija ‐ volatilnost

stope rasta cene nafte

22

Slučajan proces i vremenska serija

Slučajan proces: niz slučajnih promenljivih koje su uređene u odnosu na vreme

Uobičajena oznaka:

Vremenska serija:

I koncept: jedna realizacija slučajnog procesa

II koncept: ne postoji razlika između vremenske serije i slučajnog procesa

Termine koristimo kao sinonime: vremenski niz slučajnih promenljivih.

,...2,1t,X

,...X,X

t

21



23

Stacionarnost I

Stacionarnost vremenske serije: vremenska serija se kreće po prepoznatljivoj putanji tokom vremena

Dva koncepta: stroga i slaba stacionarnost

Definicija slabe stacionarnosti:

,...,,..., k,t),k(f)X)(X(EX,Xcov.

,...,t,const)X(EXv.

,...,t,const)X(E.

t-ktktt

tt

t

21213

212

2112

24

Stacionarnost II

Očekivana vrednost i varijansa slabo stacionarne vremenske serije su invarijantne u odnosu na vreme. Transliranjem u vremenu ove dve veličine se ne menjaju.

Kovarijansa između članova vremenske serije zavisi samo od rastojanja (docnje), a ne od vremenskog trenutka. To znači da je za datu docnju k kovarijansa ista:

1,2,... tik dato za cov ,constX,X ktt



25

Najjednostavniji primer stacionarne vremenske serije: beli šum (engl. white noise)

1,2,...k 1,2,...,t

1,2,...t

,)(E,cov

,const)ε(Eεv

,...,t,)ε(E

kttktt

tt

t

0

21022

Niz nekorelisanih slučajnih promenljivih nulte srednje vrednosti i stabilne varijanse

26

Gausov beli šum

, ,...,t,:

,)(E,cov

,const)(Ev

,...,t,)(E

t

kttktt

tt

t

210Ν

0

210

2

22

1,2,...k 1,2,...,t

epromenljiv sl. nezavisne su serije vremenske Članovi

1,2,...t

Niz nezavisnih slučajnih promenljivih koje su normalno raspodeljene sa nultom srednjom vrednošću i stabilnom varijansom



27

Gausov beli šum: grafički prikaz

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

-2 -1 0 1 2 3

Ser ies: etSample 1 200Observations 200

Mean 0.088759Maximum 2.758193Minimum -2.604917Std. Dev. 0.951387

-3 . 0

-2 . 5

-2 . 0

-1 . 5

-1 . 0

-0 . 5

0 . 0

0 . 5

1 . 0

1 . 5

2 . 0

2 . 5

3 . 0

2 5 5 0 7 5 1 0 0 1 2 5 1 5 0 1 7 5 2 0 0

G e n e r is a n i G a u s o v be l i s u m ( e t )

28

Beli šum - dodatno

Bela svetlost – disperzijom kroz kristalnu prizmu dobijaju se osnovne boje spektra koje se javljaju sa jednakim ponderom

Spektar bele svetlosti: komponente na nižim i višim frekvencijama imaju identičan udeo.



29

Osnovni modeli stacionarnih vremenskih serija

Autoregresioni modeli (AR)

Modeli pokretnih sredina (PS, engl. MA)

Autoregresioni modeli pokretnih sredina (ARPS, engl. ARMA)

30

Opšte forme modela stacionarnih vremenskih serija

AR(p) model

PS(q) model

ARPS(p,q) model

Parametri modela su:

qtqttt

ptpttt

...

X...XXX

2211

22110

tptpttt X...XXX 22110

qtqtttt ...X 2211

qp ,...,,,,...,,, 21210



31

Jednostavni modeli:

AR(1):

AR(2):

PS(1):

PS(2):

ARPS(1,1):

ARPS(2,1):

11110 tttt XX

ttt XX 110

tttt XXX 22110

2211 ttttX

11 tttX

1122110 ttttt XXX

32

Značaj modela

Nisu opterećeni postavkama ekonomske teorije

Jednostavni su za ocenjivanje, jer obično ne sadrže veliki broj parametara

Pouzdani za prognoziranje budućeg kretanja vremenske serije za horizont predviđanja do godine dana



33

Primer AR(1) modela

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

5

5 0 1 00 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

X t= 0 .7 * X t- 1 + e t

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

X t= - 0 .7 * X t- 1 + e t

34

Primer PS(1) modela

- 5

- 4

- 3

- 2

- 1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300 350 400

X t= et+ 0 . 8et-1

- 4.0

- 3.5

- 3.0

- 2.5

- 2.0

- 1.5

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

50 100 150 200 250 300 350 400

X t= et-0 .8et-1



35

Uslov stacionarnosti kod AR(1) modela:autoregresioni parametar je po modulu strogo manji od jedan,

.σ

...σ) v(X

. Tada je:i je da vaz neophodnoa konacna,ijansa bilvarDa bi

...σ...v) v(X

X...

...

X

X

X X

t

tttttt

alninicija

tttttt

tttt-

ttt-

tt-t

21

2

1

1

61

41

21

2

1

61

41

21

21

113

312

2111

0111

13312

2111

112312

1

1211

11

11

1

1

21

11

36

Šta se dešava za ?

!!rna!nestaciona je serija Vremenska

).t(ftσ...v) v(X

XX... X

X...X

X X

ttttt

t

jjttttt

ttttttt

tt-t

2

1321

1001321

0111

13312

2111

1

11



37

Najjednostavnija nestacionarna v. serija: slučajan hod (klasičan)

Prva diferenca serije je stacionarna.

1 01

20

1

2

E( ) , v( )

E( ) 0, v( ) v( )

t

t t t t jj

t t

t t t

t t

t t t

X X X X

X X X t

X X

X

X X

38

Klasičan slučajan hod: grafički prikaz

-8

-4

0

4

8

12

50 100 150 200 250 300

Xt=Xt-1+et

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300

Xt-Xt-1= et



39

Alternativni termini za slučajan hod

Vremenska serija sa stohastičkim trendom

Integrisano-stacionarna vremenska serija

Vremenska serija sa jediničnim korenom

40

Alternativni termini:Vremenska serija sa stohastičkim trendom

Na osnovu informacije o prethodnom kretanju vremenske serije ne možemo predvideti njeno kretanje u budućnosti. U suprotnom, kada bi trend bio deterministički, tada bi i prognoza bila pouzdana.



41

Alternativni termini II:Integrisano-stacionarna vremenska serija

Vremenska serija dobija se na osnovu zbira članova belog šuma.

Operaciji sabiranja u diskretnom prostoru odgovara postupak integraljenja neprekidnih veličina.

Reč je o integrisanom procesu prvog reda, gde red 1 pokazuje koliko puta treba diferencirati seriju da bi se dobila njena stacionarna reprezentacija.

Ako je prva diferenca stacionarna, tada je vremenska serija integrisana reda 1. Oznaka: Xt~I(1).

Za stacionarnu vremensku seriju kažemo da je integrisana reda 0.

• Beli šum: t~I(0).

• Prva diferenca serije Xt~I(1): Xt~I(0).

42

Alternativni termini III:Vremenska serija sa jediničnim korenom

AR(1) model:

Pridružuje se jednačina čije je rešenje (koren) g:

Otuda potiče naziv jedinični koren.

Broj jediničnih korena odgovara nivou integrisanosti vremenske serije, odnosno broju postupaka diferenciranja potrebnih za stacionarnu reprezentaciju vremenske serije.

1 1

1 1

t t t

t t t

X X

X X

1 1

1

- 0

Za 1, koren je jedan.

g g



43

Rezime uvedenih termina

Ako vremenska serija ima d jediničnih korena, onda je ona integrisana reda d, i treba je diferencirati d puta da bi se obezbedila njena stacionarna reprezentacija.

)0(I~X)d(I~X

korena jedinicnih d ima erijaS

td

t

44

Digresija o diferenci vremenske serije

Prva diferenca primenjena jednom:

Prva diferenca primenjena dva puta, druga diferenca:

1ttt XXX

1 1 2

21 1 22

t t t t

t t t t t t t

X X X X

X X X X X X X



45

Kako izgleda vremenska serija sa dva jedinična korena?

0

100

200

300

400

500

25 50 75 100

Xt~I(2)

-2

0

2

4

6

8

10

25 50 75 100

Prva diferenca Xt ~ I(1)

-3

-2

-1

0

1

2

3

25 50 75 100

Druga diferenca Xt ~ I(0)

Dva tipa slučajnog hoda

Naziv Forma E(Xt)

Slučajan hodklasični

Xt = Xt-1 + t0

Slučajan hod

sa konstantnim prirastom

Xt = Xt-1+ β+t β

46



47

Slučajan hod sa konstantnim prirastom

.)()X,)X,X

,XX,t

,XX,t

...tXX

X...t...XX

XX

,

,),),),XX

ttttt

ttt

tttttt

t

X

tt

kttttttt

tt

2

1202

101

110

01121

1

21

22

1

2

0

000

12

vv( E(

:rnostnestaciona se eliminise diference prve operatora Primenom

vrednost za uvecava se serije vremenske clana

narednog svakog komponenta tickaDeterminis

itd.

prirast konstantni

.k E( v( E(

t

48

Slučajan hod sa konstantnim prirastom: grafički prikaz generisanih podataka

0

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300

Xt=0.7+Xt-1+et

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300

X-Xt-1=0.7+et



49

Zašto je važno utvrditi prisustvo jediničnog korena?

Postoje dva osnovna razloga koji čine relevantnom podelu na stacionarne i nestacionarne veličine

Statistički

Ekonomski

50

Statistički razlozi

Primena standardne statističke procedure i metoda ONK nepouzdana je u regresionoj analizi vremenskih serija sa jediničnim korenom. Ocene parametara su pristrasne i nekonzistentne. Ocene parametara nemaju normalnu raspodelu. To

znači da statističko zaključivanje zasnovano na t-odnosu i F-testu značajnosti koeficijenta determinacije nije tačno.

Moguća je pojava besmislene regresije. Ovim pojmom označava se regresija sa visokim vrednostima koeficijenta determinacije i t-odnosa (po modulu) između vremenskih serija sa jediničnim korenom, ali koje su potpuno nezavisne.



51

Značajna istraživanja

Yule (1926) Empirijska analiza; Udeo broja brakova sklopljenih u

Engleskoj crkvi u odnosu na ukupan broj i mortalitet na 1000 osoba prema godišnjim podacima Engleske i Velsa u periodu: 1866-1911. (R2=0.91)

Granger and Newbold (1974) Simulaciona analiza

Hendry (1980) Empirijska analiza; Inflacija i kumulisana količina padavina

u V. Britaniji prema kvartalnim podacima u periodu: 1964-1975. (R2=0.99)

Phillips (1986) TEORIJSKI DOKAZI

52

Ekonomski razlozi

Razlika između vremenske serija sa i bez jediničnog korena ima jasnu ekonomsku implikaciju: Uticaj slučajnih šokova na nivo stacionarne vremenske serije

slabi tokom vremena Efekat šoka na nivo vremenske serije sa jediničnim korenom

ima trajno dejstvo za neodređeni period vremena. Ova razlika posebno dolazi do izražaja u teoriji poslovnih

ciklusa: ako vremenska serija BDP sadrži jedinični koren, tada njeno odstupanje od dugoročnog trenda neće biti povremeno, kako naglašava tradicionalna teorija, već permanentno za neodređeni period vremena.

Prisustvo jediničnog korena sugeriše da negativni šokovi iz faze recesije mogu trajno redukovati nivo BDP.



53

Ekonomski razlozi: pionirski rad

Nelson and Plosser(1982), Journal of Monetary Economics Jedan od prvih radova provere postojanja

jediničnih korena u makroekonomskim veličinama

Realni i nominalni BDP privrede SAD poseduju jedinični koren

Ukupno je posmatrano 14 vremenskih serija i u većini je detektovano prisustvo jediničnog korena

Godišnji podaci u periodu: 1860.(1909.) – 1970.

54

Slučajan hod u ekonomskim analizama: analiza efikasnosti finansijskog tržišta

Koncept (slabe) efikasnosti finansijskog tržišta: prethodno kretanje stopa prinosa finansijskih instrumenata ne utiče na njihovo buduće kretanje.

Na efikasnom finansijskom tržištu cene u svakom trenutku inkorporiraju sve faktore na strani ponude i potražnje, pa se menjaju samo sa pojavom nove vesti.

Koncept efikasnog tržišta čini model slučajnog hoda relevantnim za opisivanje kretanja logaritma cena finansijskih instrumenata:

Ukoliko logaritam cena prati putanju slučajnog hoda, tada je odgovarajuća stopa prinosa (prva diferenca logaritma datih cena) jednaka procesu beli šum. To znači da do promene cena dolazi slučajno, i to isključivo kao rezultat nove informacije. Tada možemo smatrati da je finansijsko tržište efikasno.

ttttttt PlnPlnPlnPlnPln 11



55

Slučajan hod u ekonomskim analizama: analiza dostignutog stepena konvergencije

Teorija privrednog rasta: nivoi BDP per capita u dve zemlje međusobno konvergiraju ako je njihov količnik (razlika) stacionarna vremenska serija sa nultom srednjom vrednošću. U suprotnom, prisustvo j. korena sugeriše odsustvo tendencije ka konvergenciji.

Monetarna ekonomija: za zemlje EMU (sa jedinstvenom valutom) konvergencija stopa inflacija značajna je kako bi jedinstvena monetarna politika ECB bila delotvorna na različitim tržištima. Prisustvo jediničnog korena u razlici parova stopa inflacije sugeriše da efikasnost monetarne politike nije obezbeđena.

Kako prevazići problem primene regresione analize kod serija sa jediničnim korenom?

Transformišemo vremenske serije u stacionarne i ocenjujemo zavisnosti prvih diferenci.

Problem: gde su nam ocene dugoročnih ravnotežnih veza?

Dugoročne ravnotežne veze odražavaju sistemske odnose u ekonomiji. Njihovaanaliza je bitna.



Rešenje problema: kointegracija(engl. co-integration)

Rezultat vredan Nobelove nagrade za ekonomiju koja je dodeljena Grejndžeru (engl. Granger) 2003. godine.

Fundamentalni okvir modeliranja međuzavisnosti ekonomskih veličina

analiza vremenskih serija - university of...

Documents