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Chapitre 5(≈ 4heures)
Analyse dimensionnelleet similitude
22
Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5
� Introduction et définitions� Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équationsde continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4. Exemples d’application.
33
Critères de similitudeCritères de similitude
D
L
Maquette (M)Prototype
DM
LM
� Similitude géométrique: (similitude des formes)
GMM
LL
DD κ== (1)
Constante de proportionnalitégéométrique
44
� Similitudes cinématique et dynamique:
La similarité cinématique et dynamique sont les deux autres conditions à respecter avant de considérer que les deux écoulements soient similaires. Les paramètres cinématiques et dynamiques doivent avoir une certaine relation.
Comme dans le cas de la similitude géométrique (rapports de longueurs), on devra avoir une relation pour la force (F), la masse (m) et le temps (t).
tt
mm
FF
tM
mM
FM
κ=κ=
κ=(2)
- Force:
- Masse:
- Temps:
κF, κm et κt sont respectivement les constantes de proportionnalité des forces, des masses et des temps.
55
(3)
pp
aa
VV
2G
FM
3G
mM
2t
GM
t
GM
κκ=
ρκκ=ρ
κκ=
κκ=- Vitesse:
- Accélération:
- Masse volumique:
- Pression:
À partir de ces expressions, on pourra obtenir tous les rapports d’échelle maquette/prototype pour n’importe quel paramètre cinématique ou dynamique et les propriétés des fluides:
66
( ) ���
����
�
κκκ=κ amF 2
t
GmF
La loi de Newton s’applique, qu’on travaille sur le prototype ou sur la maquette:
maF = MMM amF =et (4)
En remplaçant FM, mM et aM, des équations 2 et 3, on obtient:
On divise ensuite par F le membre de gauche et par (ma) le membre de droite (puisque F = ma) :
(5)
(6)2t
GmF κ
κκ=κF
2t
Gm1κκκκ=ou�
77
Réarrangement de l’équation (6):
F3G
2t
4Gm1κκκ
κκ=Multiplions et divisons l’équation (6) par κG3:�
��
���
�
κκ
���
����
�
κκ
���
����
�
κκ=
F
2G
2t
2G
3G
m1Séparation des termes: �
( )( )( )FF
LLVV1
M
22M
22MM ρρ=
κF
κG2
prototype22
Maquette22 LV
FLV
Fρ
=ρ (7)�
88
L’équation (7) donne la condition pour avoir une similaritédynamique entre le modèle et la maquette. Le paramètre adimensionnel (F/ρV2L2) doit être le même à des positions sur le prototype et sur la maquette géométriquement similaires.
a) Cas où les forces de gravité sont importantes:La force de gravité F = mg est proportionnelle à ρL3g. Si on remplace dans l’équation (7), on aura:
prototype22
3
Maquette22
3
LVgL
LVgL
ρρ=
ρρ
prototype
2
Maquette
2
gLV
gLV = Nombre de Froude (Fr) (8)
En inversant et après simplification, on obtient:
99
b) Cas où les forces de pression sont importantes:La force de pression est F = ∆pL2. Si on remplace dans l’équation (7) on aura:
prototype22
2
Maquette22
2
LVpL
LVpL
ρ∆=
ρ∆
Donc, pour des problèmes où les forces de gravité sont importantes, le nombre de Froude doit être le même à des positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquettes.
prototype2
21
Maquette2
21 V
pVp
ρ∆=
ρ∆
Nombre d’Euler (Eu) (9)
En inversant et après simplification, on obtient:
1010
Donc, pour des problèmes où les forces de pression sont importantes, le nombre d’Euler doit être le même à des positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquette.
1111
c) Cas où les forces de viscosité sont importantes:
Pour des fluides Newtoniens: τ = -µ(dV/dy).
La force de cisaillement est donnée par l’expression suivante:
222 LyV
LdydV
LF∆∆µ−=µ−=τ=
Donc F est proportionnelle à µVL.
En remplaçant F par µVL dans l’équation (7), on aura:
prototype22
Maquette22 LV
VLLV
VLρµ=
ρµ
1212
En inversant et après simplification on obtient:
prototypeMaquette
VLVLµ
ρ=µ
ρ
Nombre de Reynolds (Re)
(10)
Donc, pour des problèmes où les forces visqueuses sont importantes, le nombre de Reynolds doit être le même àdes positions géométriquement similaires sur le prototype et sur la maquette.
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Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5
1. Introduction et définitions2. Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équationsde continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4. Exemples d’application.
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Notion de dimensionNotion de dimension� Les grandeurs physiques pour les systèmes
isothermes sont exprimées en fonction destrois grandeurs fondamentales:
- La longueur: L- Le temps : t (système: M, L, t )- La masse : M
� On peut aussi choisir la force, F, à la placede la masse,M, comme grandeur fondamentale
- La longueur: L- Le temps : t (système: F, L, t )- La force : F
1515
1616
Selon le théorème de Buckingham (ou théorème π), dans un problème comprenant n grandeurs physiques où il y a m dimensions fondamentales, on peut réécrire ces grandeurs physiques en (n-m) paramètres adimensionnelsindépendants.
Théorème de Buckingham (Théorème ππππ)
Théorème de Buckingham (Théorème ππππ)
mni −=n: Nombre de grandeurs
physiques
m: Nombre de dimensionsfondamentales
i: Nombre de groupes adimensionnels nécessaires
1717
Soient Α1, Α2, Α3,..., Αn les différentes grandeurs physiques: comme la vitesse, la pression, la viscosité, etc. Entre toutes ces quantités, il y a une relation de la forme:
Si Π1, Π2, Π3, ..., représentent les quantités adimensionnelles parmi les quantités physiques Α1, Α2, Α3,..., Αn, on peut alors écrire une équation de la forme:
ou
0)A,...,A,A( n21 =φ
0),...,,,(f mn321 =ππππ −
Théorème de Buckingham (suite)Théorème de Buckingham (suite)
0),...,,(f mn321 =πππ=π −
1818
Les étapes de l’analyse dimensionnelleLes étapes de l’analyse dimensionnellePour effectuer une analyse dimensionnelle, on doit considérer les neufétapes suivantes:1. Dresser la liste de toutes les quantités physiques Ai et leur
dimension correspondante. Omettre toute quantité physique qui est une fonction directe d’une ou d’autres quantités physiques.Exemple: Si on a un écoulement dans un cylindre et qu’on a les paramètres Q, D et <V>, on doit omettre le débit volumique, Q, ou la vitesse moyenne, <V>, car Q = π<V>D2/4
2. Écrire la fonction
3. Choisir les variables répétitives. Ces variables doivent contenir toutes les m dimensions du problème. Souvent, on retient une variable parce qu’elle déterminne l’échelle, une autre, parce qu’elle détermine les conditions cinématiques; il faut une variable liée avec la masse ou les forces du système.Exemple: on peut retenir D, V et ρ comme variables fondamentales.
0)A,...,A,A( n21 =φ
1919
Les étapes de l’analyse dimensionnelleLes étapes de l’analyse dimensionnelle
4. Écrire les paramètres π en fonction des exposants inconnus:
S’assurer que toutes les quantités Ai sont incluses dans lesgroupes πi.
5. Écrire les équations des paramètres π pour les exposants; on doit obtenir une somme algébrique nulle pour chaque dimension.
6. Résoudre les équations simultanément.
7. Remplacer les exposants trouvés (x1, y1, z1,...) dans les expressions de π (étape 4) pour obtenir les paramètres π sans dimension.
( ) ( ) ( ) 00011z3yx1zyx1 tLMtMLMLLLtDV 111111 ==µρ=π −−−−
2020
Les étapes de l’analyse dimensionnelleLes étapes de l’analyse dimensionnelle
8. Déterminer la fonction:
ou résoudre une valeur explicite de:
S’assurer que tous les paramètres πi sont indépendants les uns desautres.
9. Mettre les résultats sous la forme de nombres sans dimension connus (Re, Fr, Eu, etc.).
0),...,,,(f mn321 =ππππ −
),...,,(f mn321 −πππ=π
2121
Plan du chapitre 5Plan du chapitre 5
1. Introduction et définitions2. Analyse dimensionnelle des équations de bilan:
- Forme adimensionnelle des équationsde continuité et de Navier-Stokes .
- Critères de similitude.
3. Théorème de Buckingham (Théorème de Π).
4. Exemples d’application.
2222
Écoulement dans une conduite cylindrique rugueuse
Écoulement dans une conduite cylindrique rugueuse
Grandeurs:
Géométriques : D, e, L
Physiques : ρ, µ
Cinématiques et dynamiques: V, ∆p
D
L1 1p gzρ+
2 2p gzρ+
ρ , µe (rugosité)
2323
L’expérience montre que pour l’écoulement dans une conduite:
où:( )e,,,Vou,Q,DfLP µρ�=∆
�P/L: Perte de charge par unité de longueurD : Diamètre de la conduite<V> : Vitesse moyenne (ou Q: Débit volumique)ρ et µ : Masse volumique et viscosité dynamique.e : Rugosité moyenne de la conduite
Question:En utilisant le théorème π, on vous demande de proposer une forme pour présenter les résultats expérimentaux en fonction de paramètres adimensionnels.
2424
Inventaire des variables:Inventaire des variables:
LeRugosité
ML-1t-1µViscosité
Masse volumique
Longueur
Diamètre
Vitesse
Perte de charge
Variable
ML-3ρ
LL
LD
Lt-1<V>
ML-1t-2∆P
Dimensions(MLt)
Symbole
2525
On a 7 quantités avec trois dimensions (MLt). On trouve donc (7 – 3 = 4) paramètres π, soient:
Si on prend <V>, D et ρ comme variables qui se répètent (car les trois contiennent les dimensions fondamentales MLt).
Π1, Π2, Π3 et Π4
Les nombres Π qu’on peut former sont les suivants:
�
�
=µρ>=<π
=ρ>=<π
=ρ>=<π
=∆ρ>=<π
000zyx4
000zyx3
000zyx2
000zyx1
tLMDV
tLMeDV
tLMLDV
tLMPDV
444
333
222
111
2626
Les nombres Π qu’on peut former sont les suivants:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
�
�
==π
==π
==π
==π
−−−−
−−
−−
−−−−
00011z3yx14
000z3yx13
000z3yx12
00021z3yx11
tLMtMLMLLLt
tLMLMLLLt
tLMLMLLLt
tLMtMLMLLLt
444
333
222
111
2727
( ) ( ) ( ) 0002x1z3yx1z1 tLMtLM 11111 ==π −−−−++
�.
( ) ( ) ( ) 000x1z3yxz2 tLMtLM 22222 ==π −+−+
�.
�
�
=−−=−−+=+
02x
01z3yx
01z
1
111
1
�
�
−==−=
2x
0y
1z
1
1
1
21 vp�ρ
∆=π� �
�
�
=−=+−+=
0x
01z3yx
0z
2
222
2
�
�
=−=
=
0x
1y
0z
2
2
2
DL
2 =π� �
2828
( ) ( ) ( ) 000x1z3yxz3 tLMtLM 33333 ==π −+−+
�.
�.
�
�
=−=+−+=
0x
01z3yx
0z
3
333
3
�
�
=−=
=
0x
1y
0z
3
3
3
De
3 =π��
( ) ( ) ( ) 0001x1z3yx1z4 tLMtLM 44444 ==π −−−−++
� ��
�
=−−=−−+=+
01x
01z3yx
01z
4
444
4
�
�
−=−=−=
1x
1y
1z
4
4
4
Re1
DV4 =�ρ
µ=π
2929
Relation finale:Relation finale: ( )4321 ,,f πππ=π
���
���=
�ρ∆
Re1
,De
,DL
fVP
2�
3030
Vidange d’un réservoir via une conduite cylindrique verticaleVidange d’un réservoir via une conduite cylindrique verticale
Q
d
LH
ρ, µ
Le liquide s’écoule d’un réservoir àun débit volumique Q. Ce débit dépend du niveau du liquide, h, du diamètre, d, et de la longueur, L, de la conduite, ainsi que de l’accélération gravitationnelle, g.On vous demande de trouver une relation entre le débit Q et les autres paramètres adimensionnels.
(Résolution en classe)
3131
Inventaire des variables:Inventaire des variables:
gAccélération_pesanteur
µViscosité
Masse volumique
Longueur_conduite
Diamètre_conduite
Niveau du liquide
Débit volumique
Variable
ρ
L
d
H
Q
Dimensions(MLt)
Symbole
3232
Écoulement à travers un filtreÉcoulement à travers un filtre
Soit un écoulement laminaire visqueux d’un liquide à travers un filtre dont chaque maille a la forme d’un triangle équilatéral de côtés s (voir figure). On vous demande de déterminer, par une analyse dimensionnelle, la forme de l’équation du débit volumique d’un liquide de viscosité dynamique µ qui passe par ce filtre contenant n mailles par unité de surface. On considère qu’il y a une chute de pression par unité de longueur du filtre égale à ∆p/L.
D
s
(Résolution en classe)