Analyse DiscriminanteAnalyse Discriminante

Agrocampus

HémochromatoseHémochromatose

Hémochromatose : pathologie se traduisant par une absorption anormale du fer au niveau digestif entraînant à terme l’apparition d’une cirrhose.

L’objectifL’objectif

Le problème consiste ici à détecter la présence de cirrhose chez les patients atteints d’hémochromatose sans recourir à un examen pénible et risqué pour le sujet (biopsie du foie).

Les donnéesLes données

La population étudiée comporte 136 sujets, tous atteints d’hémochromatose. Certains (37) présentent une cirrhose (groupe 1), les autres (99) en sont indemnes (groupe 2).

Les variablesLes variablesSEXE : sexe du patient

AGEDIAG : âge du patient au diagnostic

HM : Hépatomégalie

IHC : insuffisance hépato cellulaire

AST : enzymes de la cellule hépatique

ALT : idem

GGT : gamma GT

FER : teneur en fer dans le sang (quantité de fer par unité de volume)

FRT : ferritine (quantité de la protéine vecteur du fer)

CS : coefficient de saturation

CHFAGE : concentration hépatique divisée par l’âge

BMI : index de biomasse (poids en kg divisé par le carré de la taille)

OH : présence d’alcoolisme

2 - Choix des variables2 - Choix des variables

Seules les variables continues peuvent être traitées directement, soit :

AGEDIAG, AST, ALT, GGT, FER, CS, FRT, CHFAGE et BMI

3 - Choix 3 - Choix a prioria priori

1 - Estimation des densités (*)

2 - Probabilités a priori

3 - Echantillon test

4 - Coûts d’erreur de classement

4 - Fonction de densité normale4 - Fonction de densité normale

Sous l’hypothèse d’identité des matrices de variance-covariance intra (Wk = W), la règle de classement obtenue est linéaire :

Fonction discriminante de FISHER

5 - La règle de classement5 - La règle de classement

N° Variable Coef 1 Coef 2 C

123456789

AGEDIAGASTALTGGTFERCSFRTCHFAGEBMIConstante

0.478796.36683

-4.336571.358350.556980.47833

-0.000771.550182.37150

-79.50164

0.430673.30994

-3.140251.064140.612640.43528

-0.002881.554212.37441

-69.40452

0.048123.05689

-1.196320.29421

-0.055660.043050.00211

-0.00403-0.00291-10.09712

Le classementLe classement

obs appartenance affectation statut

21

27

31

37

1

1

2

2

2

1

1

2

mal classé

bien classé

mal classé

bien classé

Les résultatsLes résultats

Groupe

1

d’affectation

2

Total

Groupe 1 29 8 37

d’appartenance 2 2 97 99

Ensemble 31 105 136

La validation croiséeLa validation croisée

Groupe

1

d’affectation

2

Total

Groupe 1 28(75.68)

9(24.32)

37

d’appartenance 2 2(2.02)

97(97.98)

99

Ensemble 31 105 136

6 - La qualité du classement6 - La qualité du classement

Obs appartenance affectation pr(G1/x) pr(G2/x)

27

28

31

42

1

1

2

2

1

1

1

1

0.9276

0.5722

0.9930

0.5996

0.0724

0.4278

0.0070

0.4004

L’introduction d’un seuilL’introduction d’un seuil

Groupe

1

d’affectation

2

Non classés

Groupe

d’appartenance

1

2

20

1

3

85

14

13

Total 21 88 17

Avec un seuil il faut Avec un seuil il faut examiner :examiner :

le pourcentage de bien classés

le taux d’erreur majeure de classement

le pourcentage de non classés

Taux d’erreur et seuilTaux d’erreur et seuil

Seuil % de nonclassés

% de bienclassés

%d’erreurssévères

0.90

0.80

0.70

0.60

37.8

21.6

16.2

5.4

87.0

82.8

83.9

77.1

13.0

17.2

16.1

22.9

7 - La sélection des variables7 - La sélection des variables

Le modèle après sélection (STEPDISC) :

FRT - AST - AGEDIAG

Optique prédictiveOptique prédictive

Les critères de la procédure STEPDISC sont adaptés à l’optique descriptive

Dans une optique prédictive il vaudrait mieux utiliser le % de bien classés, global ou sur le groupe d’intérêt

Sélection du meilleur modèleSélection du meilleur modèle

88.0

89.0

90.0

91.0

92.0

93.0

94.0

95.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nombre de prédicteurs

% d

e b

ien

cla

ssés

(va

lid

atio

n c

rois

ée)

Complet

Stepdisc

Quelques points à considérerQuelques points à considérerIl vaut mieux retenir pour un même % de bien classés, le modèle comportant le moins de paramètres

Le choix entre plusieurs modèles peut s’opérer sur l’intérêt des variables

Une variable non significative sur le plan statistique peut être jugée importante sur le plan médical

8 - Qualité de la règle de 8 - Qualité de la règle de classementclassement

Maximum chance criterion :

Tous les individus sont classés dans le groupe le plus nombreux : 137 patients classés dans le groupe 2, donc 99 bien classés, soit un % global de bien classés de 72.8 %

Problème : 0 bien classés dans le groupe d’intérêt

Remarque : attention au % global de bien classés

Autre critèreAutre critère

Proportional chance criterion

Allocation au hasard des patients dans l’un des deux groupes

Probabilité de placer un patient dans le groupe k :

nk / n

Nombre de bien classés dans le groupe k : nk2 / n

% global de bien classés : (n12 + n2

2) / n2

Application :

82.1 patients bien classés (60.4 %)

n

nk

ComparaisonsComparaisons

MCC : 99 bien classés (72.8%)

PCC : 82.1 bien classés (60.4 %)

FDL : 127 bien classés (93.4 %)

Règle empirique : faire au moins 25 % de mieux

Test : comparer le nombre de bien classés de la FD

avec celui obtenu au hasard (PCC)

Remarques terminalesRemarques terminales

Le choix des probabilités a priori :

Des probabilités a priori proportionnelles aux effectifs dans l’échantillon favorisent le classement dans le groupe le plus nombreux

% de bien classés Groupe 1 Groupe 2

Pk égales

Pk prop.

81.1

70.3

97.9

99.0

Suite ...Suite ...Les coûts d’erreur de classement

Objectif : minimiser le coût moyen a posteriori

Affectation au groupe 1 si :

pr2 f2(x) c1/2 < pr1 f1(x) c2/1

prk : probabilité a priori du groupe k

fk(x) : densité dans le groupe k

cj/k : coût d’erreur de classement dans le groupe j d’un élément du groupe k

......Les résultats (Bootstrap - SPAD.N)

C1/2 % bienclassés

G1

% bienclassés

G2

% bienclassés

Global

50

40

30

20

10

5

82.22

82.76

84.86

90.65

93.03

98.70

98.93

96.91

95.78

92.44

83.54

73.01

94.38

93.06

92.81

91.96

86.12

80.00

Les variables qualitativesLes variables qualitatives

La méthode DISQUAL :

Analyse Discriminante sur les facteurs d’une ACM

Sélection des variablesSélection des variables

Problème :

un facteur est combinaison de toutes les variables de base

Solutions :

- Examiner les résultats de l’ACM dans laquelle la variable d’intérêt est placée en supplémentaire

- Réaliser un test du khi-2 entre la variable d’intérêt et chaque variable de base (codée)

AXE 2

--------------------------------------------------------------------------------------------------ihc1

| | |

2.4 + | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

1.6 + | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

sex2 | |

| | |

.8 + | |

| | |

| age2 |

| | |

| fer1 | hm1 |

cs1chf1 | bmi2 ast2 cir1 |

| | ggt2 |

| | fib2 |

| | |

| oh2 | alt2 |

.0 frt1alt1cir2--------ihc2----------------------------------------frt2---------------------------------|

| hm2 | oh1 |

ast1ggt1 | cs2 |

| bmi1 | |

| | fer2sex1 |

| | |

| | chf2 |

---+------fib1-----+--age1---------+---------------+---------------+---------------+---------------+

-.4 .0 .4 .8 1.2 1.6 2.0

AXE 1

Sélection des variablesSélection des variablesN° Variable ACM Khi-2 Khi-2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

SEXE

AGE

HM

IHC

AST

ALT

GGT

FER

CS

FRT

CHFAGE

BMI

OH

oui

oui

oui

oui

oui

oui

1.76

1.34

62.79

7.57

45.86

15.49

20.10

0.18

8.06

72.05

15.23

0.02

32.87

oui

oui

oui

oui

oui

oui

oui

oui

Les résultatsLes résultatsGroupe

1

d’affectation

2

Total

Groupe

d’appartenance

1

2

3594.59

99.09

25.41

9090.91

37

99

Total 44 88 136

VarianteVarianteAnalyse directe sur les modalités :

Modalité Score

hm1

ast1

alt1

ggt1

cs1

frt1

chf1

oh1

constante

6.2495

-4.4700

1.4815

-0.0955

-0.3692

-6.6783

0.0750

2.3721

1.3979

Résultats variante 1Résultats variante 1

% de mal classés (validation croisée) :

Groupe 1 : 5.4 %

Groupe 2 : 9.0 %

Variante avec sélectionVariante avec sélectionVariables retenues : FRT - HM - AST - OH - ALT

Modalité Score

hm1

ast1

alt1

frt1

oh1

constante

6.3216

-4.4494

1.4092

-6.6962

2.3938

1.2723

ClassementClassement

% de mal classés (validation croisée) :

Groupe 1 : 5.41 %

Groupe 2 : 7.07 %

Global : 6.6 % (9 patients sur 136)

ComparaisonComparaisonPeu de variation des coefficients

Modalité Score avant Score après Variation (%)

hm1

ast1

alt1

frt1

oh1

constante

6.2495

- 4.4700

1.4815

- 6.6783

2.3721

1.3979

6.3216

- 4.4494

1.4092

- 6.6962

2.3938

1.2723

+ 1.15

+ 0.46

- 4.88

- 0.27

+ 0.91

- 8.98

Autre méthode :Autre méthode :

La régression LOGISTIQUE