L'analyse en ondelettes

Table des matières

De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes.....................................................................21.1. Transformée de Fourier (FT)..........................................................................................................21.2. Transformée de Fourier à court terme (STFT)...............................................................................31.3. Transformée en ondelettes continue (CWT)...................................................................................6

1. Exemple d'analyse en ondelettes............................................................................................................82. Propriétés Principales des ondelettes...................................................................................................10

2.1. Condition d'amissibilité................................................................................................................102.2. Les moments nuls d'une ondelette................................................................................................102.3. Condition de régularité.................................................................................................................11

3. Décomposition en série d'ondelettes....................................................................................................124. Frames..................................................................................................................................................135. Codage en sous bandes........................................................................................................................14

5.1. Bancs de filtres de constante Q.....................................................................................................145.2. Le filtre d'échelle (the scaling fonction).......................................................................................15

6. Transformée en ondelettes discrètes (DWT).......................................................................................157. Transformée en paquets d'ondelettes...................................................................................................168. Autres propriétés des ondelettes..........................................................................................................16

8.1. Ondelettes à support compact.......................................................................................................168.2. Propriété d'orthogonalité...............................................................................................................168.3. Propriété de symétrie....................................................................................................................168.4. Propriété de reconstruction exacte................................................................................................16

9. Différents types d'ondelettes................................................................................................................1610. Références..........................................................................................................................................16

1. De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes

1.1. Transformée de Fourier (FT)

En 1822, Fourier a montré qu'une fonction périodique pouvait être décomposée en une somme infinie de fonctions exponentielles périodiques complexes.

Par généralisation, la transformée de Fourier décompose un signal en fonctions exponentielles complexes de différentes fréquences. Les coefficients de la décomposition sont les coefficients de la transformée de Fourier X(f).

Pour calculer la valeur d'un coefficient de Fourier à la fréquence f, on multiplie le signal x(t) par une exponentiel de fréquence f et on intègre sur tout le temps.

Comme l'information fournie par l'intégrale correspond à toutes les instances de temps, la transformée de Fourier permet de dire en quelles quantités les fréquences existent mais elle ne dit pas à quels instants ces fréquences sont présentes.

Cette analyse convient pour les signaux stationnaires où chaque composante de fréquence existe à tout instant, mais ne convient pas aux signaux non stationnaires.

Exemple 1:

Soit le signal A=cos(2*pi*7*t)+cos(2*pi*15*t)+cos(2*pi*2*t) constitué de la somme de trois sinusoïdes, et le signal B=[3*cos(2*pi*7*t1) 3*cos(2*pi*15*t2) 3*cos(2*pi*2*t3)], constitué de la suite de ces trois sinusoïdes (cf Figure 1).

On constate que A, stationnaire, possède la même transformée de Fourier que le signal B non stationnaire bien que leurs allures temporelles soient totalement différentes. De plus, en regardant uniquement le spectre de B, on ne peut dire dans quel l'ordre ont été placées les trois sinusoïdes.

Figure 1: La tr de Fourier du signal A stationnaire est identique à la tr de Fourier du signal B non stationnaire

Dès lors, si l'on veut une localisation temporelle des composantes spectrales, on a besoin d'une autre transformation qui permette de donner une représentation temps - fréquences du signal. C'est le cas de la transformée de Fourier à court terme (STFT: Short Time Fourier Transform).

1.2. Transformée de Fourier à court terme (STFT)

L'idée est d'analyser le signal segment par segment (ou fenêtre par fenêtre).

La longueur de ce segment est constante et doit être telle que la portion de signal fenêtré soit stationnaire. Alors, la TF de chaque portion de signal fenêtré est calculée comme suit (le centre de la fenêtre étant placée au temps τ):

t

ftjwx dtetwtxfSTFT 2* )()(),(

où w(t) est la fenêtre de largeur T et centrée en τ qui permet d'extraire une portion de signal w* dénote le complexe conjugué de w

Le résultat obtenu correspond donc à une représentation temps-fréquence du signal.

Exemple 2:

Soient deux signaux A et B constitués de sinusoïdes se succédant dans un ordre différent (Figure 2). Leurs TF sont identiques mais leur STFT (calculées sur des fenêtres de 0.50 sec) permettent de les distinguer puisqu'elles mettent en évidence les fréquences dominantes relatives à chaque période de tps.

Figure 2: Comparaison des STFT de signaux constitués des mêmes sinusoïdes mais qui se suivent dans un ordre différent

Problème:

En fenêtrant le signal, on multiplie en fait le signal par une fenêtre rectangulaire (ou de hamming, etc.). Ceci correspond dans le domaine fréquentiel à effectuer un produit de convolution de leur transformée de Fourrier. Ainsi, pour une sinusoïde, nous obtenons:

Figure 3: conséquence d'un fenêtrage sur la TF d'une sinusoïde

On constate dès lors bien, la perte de résolution dans le domaine fréquentiel puisque "le pic s'est élargit". De ce fait, nous ne savons plus exactement quelles composantes de fréquence existe dans le signal, mais plutôt quelles sont les bandes de fréquence qui existent.

Si nous comparons la STFT à la TF, nous pouvons dire que cette perte de résolution est due au fait que les fonction ejwt ne sont plus multipliées et intégrées de – ∞ à + ∞ mais de –T/2 à T/2.

Pour obtenir une résolution fréquentielle parfaite, il nous faudrait une fenêtre de longueur infinie, mais alors, nous aurions le même problème qu'au départ au sujet de la stationnarité du signal.

Ce problème est en fait lié au principe d'incertitude d'Heisenberg exprimant que les résolutions en temps et en fréquence ne peuvent être arbitrairement petites en même temps car:

4

1 ft avec

dffW

dffWff

dttw

dttwtt

2

22

2

2

22

2

)(

)(

)(

)(

Donc, La fenêtre ne doit pas être trop grande pour que le signal fenêtré soit stationnaire et que la

résolution temporelle soit correcte Mais elle ne doit pas être trop petite non plus pour que les lobes correspondant à la TF de la

fenêtre ne soient pas trop larges et pour que la résolution fréquentielle soit correcte.

Exemple 3:

Pour un signal A constitué de 4 sinusoïdes

A=[sin(2*pi*70*t1) sin(2*pi*50*t2) sin(2*pi*30*t3) sin(2*pi*10*t4)]

On obtient:

Figure 4: Illustration du problème de résolution de la STFT

Il y a là un réel problème car chaque personne désirant utiliser la STFT doit choisir une et une seule fenêtre qui sera utilisée tout au long de l'analyse.

1.3. Transformée en ondelettes continue (CWT)

La transformée en ondelettes continue apporte quelque part une solution à ce problème. Elle est définie comme suit:

Où τ est le coefficient de translation. Il s'agit d'un nombre réel. s est le coefficient d'échelle, également appelé facteur de dilatation de ψ. Il s'agit d'un nombre réel.ψ(t) est l'ondelette mère. Nous en verrons quelques exemples au paragraphe 7Ψ* dénote le complexe conjugué de ψ Les sont les coefficients d'ondelettes

Comme pour la STFT, il s'agit de multiplier le signal x(t) par une fonction de base limitée dans le temps avant d'intégré sur tout le temps; mais cette fois, la largeur de la fenêtre d'analyse est variable.

En effet, plus le facteur d'échelle s est important, plus la fonction de base sts /)(*/1 * s'élargit

et devient moins haute (ceci afin de garder la même énergie).

Le facteur d'échelle s est quant à lui inversement proportionnel à fréquence. En réalité, il correspond à une période locale qui dépend elle-même du type de l'ondelette mère. Si l'ondelette mère a une fréquence centrale fc, la fréquence d'analyse correspondant à une échelle si vaut fa=(T.fc)/si, où T est la période d'échantillonnage (cf. [Abr97])

Le principe d'incertitude d'Heisenberg doit toujours être respecté. Dès lors, la CWT est conçue pour donner une bonne résolution temporelle avec une pauvre résolution fréquentielle dans les hautes fréquences (s petit - fenêtre étroite) et une bonne résolution fréquentielle avec une pauvre résolution temporelle dans les basses fréquences (s grand - fenêtre large).

Cette approche prend tout son sens lorsque le signal à analyser est composé de basses fréquences pendant un long moment (quasi stationnaire) accompagné de hautes fréquences ne durant qu'un court instant. Heureusement, la plupart des signaux que nous rencontrons en pratique sont de ce type. Un exemple de l'un d'entre eux est illustré à la Figure 5.

Figure 5: Exemple de fonction avec des principalement des basses fréquences accompagnée de hautes fréquences ne durant qu'un court instant.

Ainsi, si nous comparons la STFT et la transformée en ondelettes, nous obtenons:

STFT CWT

ou

Avec

ou

dtttxsCWTt

sx )()(),( *,

Avec

Fonction de base=

f1 f2> f1 f3> f2

Fonction de base=

s1 s2< s1 s3< s2

Taille de la fenêtre constanteRésolution temporelle et fréquentielle constante

Δt = cste & Δf =1/(4 Δt) = cste

Analyse avec une largeur de bande Δf constante

Taille de la fenêtre inversement proportionnelle à la fréquence Résolution temporelle

proportionnelle à la fréquence Δt diminue avec la fréquence

Δt== cste/f & Δf=1/(4 Δt)=cste*f

Analyse avec une largeur de bande relative Δf /f constante

Représentation de la résolution temps-fréquence:chaque rectangle correspondre à une valeur de la

STFT dans le plan temps-fréquence.

Fre

qu

en

ce

Temps

Pour la STFT, ces rectangles sont égaux. La valeur de leur aire dépend de la fenêtre utilisée,

mais sera toujours 1/(4) ( en raison du principe d'Heisenberg)

Représentation de la résolution temps-fréquence:chaque rectangle correspondre à une valeur de la

CWT dans le plan temps-fréquence.

Fre

qu

ence

Temps

Notez que si la largeur et la hauteur des rectangles changent, leur air elle, reste constante. La valeur de cette air dépend de l'ondelette mère mais sera

toujours 1/(4)

2. Exemple d'analyse en ondelettesExemple 4:

Soit un signal A constitué de 4 sinusoïdes:

A=[sin(2*pi*70*t1) sin(2*pi*50*t2) sin(2*pi*30*t3) sin(2*pi*10*t4)];

L'ondelette mère utilisée pour l'analyse en ondelettes est celle de Daubechies d'ordre 4 (nous la verrons plus en détails au chapitre10). Les résultats sont les suivants:

Figure 6: Analyse en ondelettes d'un signal composé de 4 sinusoïdes successives

On constate bien que plus la fréquence est importante (petit scale - début du signal), plus la résolution temporelle est élevée (bonne localisation) et plus la résolution fréquentielle est faible (càd une résolution en échelle élevée).

Exemple 5:

Si l'on reprend le signal de la figure 5 et qu'on l'analyse avec une ondelette mère de type Mexican Hat, on obtient:

Figure 7: Analyse en ondelettes d'un signal A

3. Propriétés Principales des ondelettes

3.1. Condition d'amissibilité

Pour qu'une ondelette soit réversible, c'est-à-dire pour que l'on puisse reconstruire le signal sans perdre d'information, on peut montrer (cf. [She96]) qu'il faut que

d2

)(Ψ

Où )(Ψ est la transformée de Fourier de )(t .

C'est la condition d'admissibilité. Celle-ci implique que Ψ soit nulle pour 0 et donc que l'ondelette doit avoir le spectre d'un filtre passe bande. Elle implique également que

0)(

dtt

Or est une fonction à largeur temporelle finie (fenêtre temporelle). Dès lors, il faut obligatoirement que soit une fonction oscillante, d'où le nom d'ondelette.

Alors, la transformée en ondelettes inverse s'exprime comme suit:

dsds

t

ssCWTctx

s

2

1),()(

avec

d

c

2

)(

1

Ψ

, une constante ne dépendant que de )(t

.

3.2. Les moments nuls d'une ondelette

On dit qu'une ondelette possède p moments nuls lorsque

Alors, la transformée de Fourier vaut zéro en =0 .

Or

où est la transformée de fourier de

Donc, la dérivée kème de la transformée de Fourier de vaut zéro en =0 . Ceci revient à dire que la transformée de Fourier de a un zéro d'ordre p en =0.

Dès lors, plus le nombre p de moments nuls que possède l'ondelette est important, plus celle-ci possèdera un zéro d'ordre élevé en =0, et donc, plus sont spectre sera sélectif en fréquence.

Remarque: il est à noter que toute ondelette se doit d’avoir au moins un moment nul puisque la condition d'admissibilité impose que

0)(

dtt

3.3. Condition de régularité

Un signal (une fonction) x(t) est d'autant plus régulier qu'il n'est de fois continuent dérivable.

Remarque: On peut mesurer la régularité d'une fonction en utilisant les coefficients de Lipschitz (cf. [Mal99]). Soit n un entier positif et n ≤ ≤ n + 1. Une fonction f(x) est dite de Lipschitz en x0 si et seulement si, il existe deux constantes A et h0, strictement positives et un polynôme d'ordre n, Pn(x), tel que pour tout h < h0, on ait :

Il existe un lien entre la régularité d'un signal x(t) et les moments nuls d'une ondelettes. En effet, supposons que soit réelle.

Considérons le développement en séries de Taylor de la fonction x(t) autour de t=0 et calculons alors sa transformée en ondelette. Par facilité, nous allons poser τ=0. On a:

où désigne les termes d'ordre supérieur à p.

On constate ici que si x(t) est une fonction suffisamment régulière (càd suffisamment de fois dérivable) et que l'ondelette possède p moments nuls, alors les coefficients d'ondelettes vont décroître comme (pour s décroissant).

Ainsi, les régularités locales du signal seront caractérisées par la décroissance de l'amplitude des coefficients d'ondelettes avec l'échelle. A contrario, les singularités du signal correspondront à une décroissance mois rapide de ces coefficients et pourront donc être repérée par les maxima locaux de la transformée en ondelettes dans les petites échelles (hautes fréquences). Cette propriété serra d'autant plus marquée que l'ondelette aura de moment nuls. On peut donc dire que le nombre de moments nuls d'une ondelette caractérise la facilité avec laquelle cette dernière peut localiser les singularités du signal. Cette propriété est très importante pour la détection de microévènements tels que les fuseaux présents dans les EEG d'un patient endormi.

D'autre part, plus l'ondelette possède de moments nuls, plus la décroissances des coefficients est rapide avec l'échelle (quand il n'y a pas de singularités). Cette propriété est très intéressant pour les applications de compression où l'on désire justement annuler tous les coefficients proche de zéro correspondant aux détails du signal c'est-à-dire aux hautes fréquence et donc aux petites échelles.

4. Décomposition en série d'ondelettes

La transformée en ondelettes continue fait correspondre à un signal unidimensionnel une représentation bidimensionnelle (plan temps-échelle). Elle est donc clairement redondante puisque l'on n'aura toujours plus de coefficients d'ondelette que nécessaire pour décrire le signal de manière exhaustive.

Pour solutionner ce problème de redondance, on peut discrétiser la transformée en ondelette en ne prenant simplement que des valeurs discrètes de s et de τ (x(t) pouvant toujours être un signal continu).

Dans ce cas, échantillonner le plan temps-fréquence de manière uniforme est la première chose qui nous vient à l'esprit. Pourtant en ce qui concerne la transformée en ondelette, l'organisation du plan temps-échelle (comme illustré dans le tableau comparatif entre la CWT et la STFT) nous conforte à utilisé une discrétisation exponentielle des échelles et du temps. La base d'ondelettes utilisées pour calculer les coefficients d'ondelettes ne sera donc plus:

Mais bien:

avec

Dans cette expression, s0 >1 est un pas de dilatation fixé et le pas de translation= est dépendant du pas de dilatation.

Le résultat de cette discrétisation correspond à une série de coefficients d'ondelettes, c'est pourquoi on parlera de décomposition en séries d'ondelettes.

En pratique, on utilise souvent les paramètres et . On parle alors de transformée en ondelettes dyadique. Ce choix est très naturel compte tenu de l'oreille humaine, de la musique et des ordinateurs que l'on utilise actuellement. La grille d'échantillonnage dyadique est illustrée à la Figure 8.

Figure 8 Grille d'échantillonnage dyadique

5. Frames

Lorsque l'on discrétise la transformée en ondelette, une question importante se pose en ce qui concerne la reconstruction du signal. Est-il possible de reconstruire parfaitement le signal x(t)à partir de sa décomposition en séries d'ondelettes?

Et bien, il a été montré dans [Dau92] que la condition nécessaire et suffisante pour que la reconstruction du signal soit stable est que l'énergie des coefficients d'ondelettes soit bornées de deux nombre positifs finis indépendant de x(t):

avec l'energie de x(t). Si cette condition est respectée, alors la famille des fonctions de base est appelée "frame" dont les borne sont A et B.

6. Codage en sous bandes

6.1. Bancs de filtres de constante Q

Bien que la décomposition en série d'ondelettes permette de réduire la redondance de la transformée en ondelette continue, elle correspond toujours analytiquement à un nombre infini d'échelles discrètes et de translations.

En pratique évidemment, le nombre de translation est limité par la durée du signal à analyser ce qui confère une borne supérieure au nombre d'ondelettes nécessaire à l'analyse du signal. Mais cette borne est importante en pratique et l'on voudrait encore limiter la quantité d'ondelettes utiles à l'analyse du signal. Pour cela, il nous faut limiter le nombre d'échelles utilisées. Mais se pose alors la question de la qualité de la transformée. Existe-t-il un nombre minimal d'échelles qui nous permette d'obtenir un résultat qui soit tout de même correct?

Pour répondre à cette question, considérons la transformée en ondelette d'un signal x(t) pour une valeur fixée de l'échelle si. Celle-ci peut être réécrite comme une équation de convolution:

avec

Ainsi, pour une valeur fixée l'échelle si, la fonction peut être considérée comme le passage

du signal x(t) au travers d'un filtre qui est simplement une version mise à l'échelle et retournée de l'ondelette mère .

Or, une propriété bien connue de la transformée de Fourier est la suivante:

De sorte que la réponse en fréquence du filtre est égale à

où est la transformée de Fourier de et où * désigne le complexe conjugué.

Or, nous avons vu que la condition d'admissibilité imposait que l'ondelette mère ait un spectre de type passe bande. Donc, le filtre sera également un filtre passé bande. Sa largeur de bande sera égale à (1/si) fois la largeur de bande correspondant à l'ondelette mère.

Ainsi si l'on évalue les fonctions pour un ensemble discret d'échelles comme les valeurs dyadique s=2j, on obtient un ensemble de filtres passes bandes dont les largeurs de bande diminue d'un facteur 2 à chaque fois et dont les positions dépendent de l'échelle.

Par exemple,

Pour j=0 S=1 fréq d'analyse = fa largeur de bande couverte= celle de l'ondelette mère= LBc

Pour j=1 S=2 fréq d'analyse =fa / 2 largeur de bande couverte= LBc / 2Pour j=2 S=4 fréq d'analyse =fa / 4 largeur de bande couverte= LBc / 4…

Ceci est illustré à la Figure 9.

Figure 9 Banc de filtre de constante Q

Si nous regardons le rapport entre la fréquence centrale du spectre de l'ondelette et sa largeur de bande, nous constatons que ce celui-ci est égal à une constante Q. C'est la raison pour laquelle l'ensemble de ces filtres obtenus est appelé banc de filtre de constante Q.

Pour obtenir une bonne couverture fréquentielle, les spectres doivent se toucher. Ceci est possible pour un choix convenable d'ondelette. Le bancs de filtre obtenus pour un nombre limité d'échelles (j<J) peut alors être vu comme un filtre passe bande.

Dès lors, si nous vouons que la transformée en ondelettes reste de qualité avec un nombre limité d'échelles (j<J), il faut que ce banc de filtre recouvre le spectre fini de notre signal à analyser. Or, il est impossible d'atteindre la fréquence =0 avec un nombre fini d'échelles. C'est pourquoi on a introduit la notion de filtre d'échelle.

6.2. Le filtre d'échelle (the scaling fonction)

La suite de ce document sera réalisée la semaine du 11 octobre.Pour en savoir plus voir [val04]

7. Transformée en ondelettes discrètes (DWT)

Calcul de la tr en ondelette d'un signal discretAvec filtreMultiplier par fct de base

Correspond à filtrer signal

Quadrature miror filter

8. Transformée en paquets d'ondelettes

9. Autres propriétés des ondelettes

9.1. Ondelettes à support compact

9.2. Propriété d'orthogonalité

9.3. Propriété de symétrie

9.4. Propriété de reconstruction exacte

10. Différents types d'ondelettes

Il existe plusieurs types d'ondelettes. Avec propriétés (cf aide matlab)

11. RéférencesPapiers et Livres:

[Abr97] Abry, P. (1997), Ondelettes et turbulence. Multirésolutions, algorithmes de décomposition, invariance d'échelles, Diderot Editeur, Paris.

[Mal99] S. Mallat. A wavelet tour of signal processing. 2nd ed., Academic Press, 1999

[Dau92] I. Daubechies. Ten lectures on wavelets. 2nd ed., Philadelphia: SIAM, 1992.

[She96] Y. Sheng. The transforms and applications handbook. P°747-827, A D Poularikas, CRC Press, 1996.

Sites Internet:

[Pol03] The wavelet tutorial by Robi Polikar, Robi Polikar, http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

[Val04] A Really Friendly Guide to Wavelets, C.Valens,http://perso.wanadoo.fr/polyvalens/clemens/wavelets/wavelets.html

[HAW98] Exemple d'analyse en ondelettes, Bruce Hawkins,http://www.science.smith.edu/departments/Physics/fstaff/bhawkins/wavlets/mexhat.htm