Exercices de Licence - Analyse numeriqueM. Bergounioux

Feuille no 1 : Generalites

1 Normes matricielles

1. Pour p ! 1 , on definit sur Rn la norme de Holder ( ou p-norme ) par :

"x"p = (|x1|p + · · · + |xn|p)1/p .

Montrer l’inegalite de Minkowski :!

n"

i=1

|xi + yi|p#1/p

#!

n"

i=1

|xi|p#1/p

+

!n"

i=1

|yi|p#1/p

,

et l’inegalite de Holdern"

i=1

|xi yi| # "x"p"y"q ,

ou1p

+1q

= 1. En deduire que x$ "x"p est bien une norme.

2. On definit aussi sur l’ensemble des matrices m% n a coe!cients dans R la norme induite :

"A"p = sup!x!p=1

"Ax"p .

Montrer que si D = diag ( µ1, · · · , µk) est une matrice m % n diagonale a coe!cients dans R(avec k = min (m,n)) alors :

"D"p = maxi

|µi| .

3. Montrer que "A"1 = maxj

n"

i=1

|aij | , quand A est une matrice carree d’ordre n.

4. On definit, pour une matrice A de format m% n sur R ( ou C) le nombre :

"A"sc =$ m"

i=1

n"

j=1

|aij |2% 1

2 ( Norme de Schur) .

(a) Verifier que " "sc est une norme et que "A"2sc = tr (AtA) (ou tr(A"A))

(b) Si A et B sont deux matrices de format respectifs m% n et n% p alors :

"A B"sc # "A"sc "B"sc

1

(c) Montrer que "A"sc est invariante par transformation orthogonale (ou unitaire)

(d) Montrer que si A est une matrice carree de format n on a :

|A"2 # "A"sc #&

n"A"2 .

(e) " "sc est-elle une norme matricielle induite ?

5. Soit "A"# la norme matricielle induite par la norme vectorielle "x"# = maxi

|xi|.

Etablir alors que : "A"# = maxi

"

j

|aij |.

6. Soient u et v deux vecteurs , u ' Rm et v ' Rn . Montrer que si A = uvt alors :

"A"2 = "A"sc = "u"2 "v"2 et "A"# = "u"# "v"1 .

7. A toute norme matricielle , telle que "A B" # "A" "B" on peut toujours associer une normevectorielle qui lui soit compatible .

Montrer qu’on a alors : "A" ! !(A) ( rayon spectral )

8. Soit H une matrice hermitienne definie positive . Montrer que l’application qui a x associe"x"H = (Hx, x)1/2 definit bien une norme vectorielle.

Soit " "H la norme matricielle associee. Calculer "A"H et retrouver le resultat classique"A"22 = !(A" A) avec H = Identite.

9. Montrer que :

(a) limk$+#

Ak = 0( !(A) < 1

(b) Pour toute norme matricielle :

limk$+#

"Ak"1/k = !(A)

2 Suites de matrices

1. Soit B une matrice carree telle que "B" < 1 . On definit Cn par :

Cn = I + B + B2 + · · · + Bn .

Montrer que limn$+#

Cn = (I )B)%1

2. Soit A une matrice carree et Bn definie par :

Bn =n"

k=1

Ak

k!.

(a) Montrer que la serie&

Bn converge vers une limite qu’on notera exp (A).

(b) Montrer que det (exp (A)) = exp (tr (A))

(c) Montrer que exp(A + B) = exp(A) exp(B) si et seulement si AB = BA.

2

3 Methode de Gauss

1. Rappeler la methode de Gauss et evaluer le nombre d’operations necessaires pour resoudre unsysteme lineaire.

2. Soit A une matrice reelle d’ordre n.

(a) Construire la matrice elementaire de Gauss L1 = I +"(1)et1 ou "(1) ' Rn et "(1)1 = 0, "(1)2=0

de facon que A1 = L%11 AL1 ait la structure suivante :

A1 =

'

((((((((()

# | # . . . #

# | # . . . #

) | ) ) )0 |... | #

0 |

*

+++++++++,

, ou # designe des termes non nuls .

(b) En deduire qu’il faut n) 1 matrices elementaires de Gauss pour construire une matrice H

de la forme Hessenberg semblable a A ou H = L%1AL et L = L1L2 . . . Ln%1.

(c) Montrer que le cout de cette transformation est de56n3 additions et multiplications.

3

Feuille d’exercices no 2 : Methodes iteratives pour les systemes lineaires

M(n, n) designe toujours l’ensemble des matrices carrees d’ordre n.

1. Montrer que si la matrice A = M )N est singuliere alors on ne peut pas avoir !(M%1N) < 1meme si M est reguliere.

2. Soit A une matrice hermitienne inversible mise sous la forme A = M )N ou M est inversible .On appelle B = I ) (M%1A) la matrice de l’iteration associee au systeme Ax = b. On supposeque M + M" )Aest definie positive .

Montrer que si x est un vecteur quelconque et y = Bx alors :

(x | Ax)) (y | Ay) = (x) y | (M + M " )A)(x) y)) .

En deduire que !(B) < 1 si et seulement si A est definie positive .

3. Soit a ' R ; la matrice A est definie de la maniere suivante :

A =

'

()1 a a

a 1 a

a a 1

*

+, .

(a) Pour quelles valeurs de a la matrice A est-elle definie positive ? Peut-on en deduire lesvaleurs de a pour lesquelles la methode de Gauss-Seidel est convergente ?

(b) Ecrire la matrice J de l’iteration de Jacobi . Pour quelles valeurs de a la matrice de Jacobiconverge-t-elle ?

(c) Ecrire la matrice L1 de l’iteration de Gauss-Seidel . Calculer !(L1) .

Determiner les valeurs de a pour lesquelles la methode de gauss-Seidel converge et cellespour lesquelles elle converge plus vite que la methode de jacobi.

4. On donne deux matrices reelles regulieres A, B d’ordre n et a, b deux vecteurs de Rn .

(a) On construit les deux iterations suivantes :

xo , yo ' Rn

(1)

-xk+1 = Byk + a

yk+1 = Axk + b .pour k = 0, 1, . . .

Donner une condition necessaire et su!sante de convergence des deux suites xk et yk

(b) On pose zk =

!xk

yk

#ou zk ' R2n . Expliciter les matrices C et c telles que :

zk+1 = Czk + c et comparer ! (C) et ! (AB) .

On considere maintenant les deux iterations suivantes :

(2)

-xk+1 = Byk + a

yk+1 = Axk+1 + b .

4

(c) Donner une condition necessaire et su!sante de convergence de (2).

(d) Mettre comme precedemment (2) sous la forme zk+1 = Dzk + d . Expliciter D et d etcomparer ! (D) et ! (AB) .

(e) Comparer les taux de convergence des algorithmes (1) et (2) .

5. A est une matrice hermitienne reguliere et A = M ) N est une decomposition de A telle queM" + N soit definie positive. On associe a la matrice A la methode iterative :

M x(k+1) = N x(k) + b (1)

pour la resolution de A x = b.

(a) On suppose que A est definie positive et on definit le produit scalaire < x, y >A par< x, y >A = (Ax,y) (ou ( , ) designe le produit hermitien habituel ).On note " "A la norme associee a ce produit scalaire : "x"2

A = (Ax, x) .Montrer que "(I )M%1A)x"A < "x"A . En deduire que (1) est convergente.

(b) On suppose desormais que la methode (1) est convergente et on pose B = I ) M%1A.

Montrer que :

• C = A(M")%1(M + M" )A)M%1A est hermitienne definie positive.

• A = C + B"AB.

En deduire que A = C ++#"

k=1

(B")k C Bk.

• Conclure que A est definie positive.

Est-ce que le resultat precedent s’applique a la methode de Gauss-Seidel ? Peut-on retrouver unresultat classique de convergence?

6. Methode de Richardson.- Pour resoudre l’equation Ax = b, on propose la methode suivante:

xn+1 = xn + $n(b)Axn)

ou $n sera calcule dans la suite de l’exercice .

(a) Montrer que en = A%1b) xn verifie la relation :

en+1 = (I ) $nA)en

En deduire que en = Pn(A)eo ou Pn est un polynome de degre au plus n et verifiantPn(0) = 1.

(b) Montrer que si la matrice est symetrique , alors :

"Pn(A)"2 = maxi

|Pn(%i)|

5

ou les %i sont les valeurs propres de A. En deduire que le meilleur choix des $i pour quemax

!N&t&!1

|Pn(t)| soit le plus petit possible est :

1$i

=%1 + %N

2+

%1 ) %N

2cos(

2i) 1n

.&

2)

(c) Montrer que "Pn(A)"2 # 2(.

K(A)) 1.K(A) + 1

)n ou K(A) est le nombre de conditionnement de

A.

On suppose que la matrice A est symetrique, definie positive.On note (%1, . . . ,%n) les valeurs propres de la matrice A rangees par ordre croissant : 0 < %1 #%2 # . . . # %n.

(a) Montrer que la methode iterative proposee est convergente si et seulement si 0 < $ <2%n

.

(b) Montrer qu’il existe 0 < $" <2%n

tel que

!(I ) $"A) = min{!(I ) $A) ; 0 < $ <2%n

} .

Calculer $" et exprimer !(I ) $"A) a l’aide du conditionnement '2(A) de la matrice A

relatif a la norme euclidienne.

6

Feuille d’exercices no 3 : Methodes iteratives pour les systemes lineaires

M(n, n) designe toujours l’ensemble des matrices carrees reelles d’ordre n.

1 Methode de relaxation

Soit A = (aij ' M(n, n) une matrice symetrique inversible dont les coe!cients diagonaux sont nonnuls. On introduit la matrice diagonale D = diag(aii)1&i&n.Soit b ' Rn. Pour resoudre le systeme Ax = b, on se donne ( > 0 et on considere la methode iterativedite de relaxation.

1. Montrer que si les matrices A et2(

D )A sont definies positives, alors la methode iterativeconverge.

2. Dans cette question, on suppose que aii > 0 pour tout i et que la methode iterative converge.On notera D1/2 la matrice d’elements diagonaux (

&aii) et D%1/2 son inverse.

(a) Soit S = D%1/2AD%1/2. Comparer les valeurs propres des matrices D%1A et S. Commentleurs vecteurs propres se correspondent-ils ?

(b) Montrer que le spectre de B" = I ) (D%1A est inclus dans l’intervalle ] ) 1, 1 [.

(c) En deduire que l’on a xtAx > 0 et xt 2(

D )Ax > 0 pour tout vecteur propre x de B".

(d) En conclure que les matrices A et2(

D )A sont definies positives.

3. Soient µ1 # . . . # µn les valeurs propres de la matrice J = I ) D%1A. On suppose qu’ellesappartiennent toutes a ] ) 1, 1 [.

(a) On note f(() le rayon spectral de B". Montrer qu’il est minimal pour une valeur particuliere(o. Preciser (o et f((o.

(b) Montrer que si la matrice A est tridiagonale, le spectre de J est symetrique par rapport a0. Est-il pertinent dans ce cas la de relaxer la methode de Jacobi.

2 Algorithme du Gradient a pas constant

On veut resoudre le systeme Ax = b, x ' Rn (avec A symetrique, definie, positive) par une methodede gradient a parametre constant. Soit x la solution de ce systeme. On propose l’algorithme suivant :

/01

02

• xo, ro = b)Axo

• xk+1 = xk + $rk

ou rk = b)Axk

$ est un reel constant .

7

1. Soit ek = xk ) x ( pour k ! 0) ; montrer que ek = (I ) $A)keo, ( pour k ! 0).

2. Soient 0 < %n # %n%1 # · · · # %1 les valeurs propres de A. Montrer que l’algorithme converge si

et seulement si 0 < $ <2%1

.

3. Montrer que le meilleur choix de $ est : $opt =2

%1 + %net qu’alors :

!(I ) $opt) =%1 ) %n

%1 + %n

3 Gradient conjugue

1. On note (x, y) le produit scalaire euclidien de Rn, xty sous forme matricielle, ui le vecteur propreassocie a une valeur propre %i et Wk le sous-espace engendre par les k vecteurs propres (ui)1&i&k.

On appelle Quotient de Rayleigh de la matrice A l’application de Rn) {0} vers R definie par:

RA(x) =(Ax, x)(x, x)

Montrer que :

• %k = RA(uk).

• %k = minx'Wk

RA(x).

• %k = maxx'W!

k"1

RA(x).

Pour x *= 0 et % scalaire quelconque, on definit ) = Ax) %x.

Montrer que

mini'{1,···,n}

|%) %i| #")"2"x"2

et que ) est minimum au sens de la norme euclidienne pour % = RA(x) .

2. Soit A une matrice carree d’ordre N symetrique , definie positive .

Deux vecteurs u *= 0 et v *= 0 sont dits A-conjugues si (Av|u) = 0.

(a) Montrer que si les vecteurs vo, v1, · · · , vN%1 sont A-conjugues, ils forment une base de RN .

(b) On definit les deux suites de matrices suivantes :

Ck =k%1"

i=0

vivti

(Avi|vi)

Dk = I ) CkA .

Montrer que pour 0 # j # k ) 1 :

/01

02

CkAvj = vj

Dkvj = 0Dt

kAvj = 0.

Que valent alors DN et CN ?

8

(c) Supposons que vo, v1, · · · , vk%1 soient connus .

Si Dk = 0 , que peut-on conclure ?

Sinon , soit v ' Rn tel que Dkv *= 0 . Montrer que vk = Dkv est A-conjugue par rapport avo, v1, · · · , vk%1.

(d) Ecrire un algorithme qui a partir de vo ' Rn){0}, donne, construit la suite v1, v2, · · · , vN%1.

Pour cela on pourra considerer, tant que le Dk *= 0, un vecteur de la forme Dkei ou ei estle ieme vecteur de la base canonique.

En deduire un algorithme pour calculer A%1 .

9

Feuille d’exercices no 4

Soit N un entier superieur a 1 et h = &/(N + 1). On considere le probleme discretise de Laplace-Dirichlet : etant donne (fi)1&i&N trouver (ui)1&i&N tel que

)(ui+1 + ui%1 ) 2ui)/h2 = fi, uo = uN+1 = 0. (2)

Le but du probleme est de trouver une methode iterative de resolution de (6).1. Calcul preliminaire

1. Monter que (6) est equivalent a la resolution de

Au = f (3)

ou on explicitera la matrice A = (aij)1&i,j&N et ou u et f sont les vecteurs de composantes(ui)1&i&N et (fi)1&i&N .

2. Montrer que tous les vecteurs propres vk et toutes les valeurs propres %k de A sont donnes parles formules

(vk)i = sin(i kh), %k =4h2

sin2

3k h

2

4.

3. Calculez la plus petite et la plus grande valeur propre de A et leur rapport. Comment secomporte-t-il pour N $ ++ ?Qu’en deduisez-vous ?

2. Methode iterative de resolution de (7)On definit les matrices D et E par

dij = aij*ij , eij = )aij si i *= j, 0 sinon.

Pour resoudre (6)-(7), on construit la suite de vecteurs u(n) definis par

D u(n+1) = f + E u(n) .

1. Comment s’appelle cette methode ? montrer qu’elle definit e"ectivement la suite u(n).

2. Soit J = I )D%1A; montrer que

u(n+1) = D%1f + J u(n) .

3. Calculer les vecteurs propres et valeurs propres µk de J .

4. Calculez le rayon spectral !(J).Les calculs des questions 3 et 4 de cette section servent dans la suite.

3. Convergence de la methode

10

1. Soit u la solution de (7) et e(n) = u) u(n). Montrez que

e(n) = Jne(o).

2. Montrer que"e(n)"/"e(o)" # "Jn"

ou " · " designe la norme euclidienne (et la norme matricielle induite).

3. Montrer que"Jn" # (cos h)n = sn .

En deduire que la methode converge.

4. On pose n = k (N + 1)2. Montrer que pour k fixe,

sn $ exp()k&2

2) pour N $ ++. (4)

5. Calculez approximativement k de facon a reduire l’erreur sur u(n) de 10%8 lorsque N est tresgrand. Justifiez que l’on peut utiliser (8).

6. Quel est le cout de la methode pour realiser un calcul a 10%8 pres en partant d’une donnee u(o)

telle que "u(o)" = 1.

7. Comparez ceci aux autres methodes que vous connaissez.

11

Feuille d’exercices no 5

Probleme 1.: une methode iterative du type directions alternees.

Soient A 'Mn(R) symetrique, definie positive et b ' Rn.On decompose la matrice A sous la forme

A = r I + H + V ,

ou r ' R, r > 0, H et V sont des matrices de Mn(R) symetriques telles que r I + H et r I + V soientinversibles.On considere la methode iterative pour la resolution du systeme Ax = b definie par

/01

02

xo ' Rn donne, et pour tout k ' N(r I + H)xk+1/2 = )V xk + b ,

(r I + V )xk+1 = )Hxk+1/2 + b .

(5)

On rappelle que le rayon spectral d’une matrice M est note !(M).

1. Montrer que la methode iterative (5) converge si et seulement si

!5(r I + V )%1H(r I + H)%1V

6< 1 .

2. Soient B =1rH et C =

1rV .

(a) Montrer que les matrices B (I + B)%1 et C (I + C)%1 sont symetriques.

(b) montrer que

!5(r I + V )%1H(r I + H)%1V

6# !

5B (I + B)%1

6!

5C (I + C)%1

6.

(c) Montrer que !5B (I + B)%1

6< 1 si et seulement si

12I + B est definie positive.

(d) En deduire que , si les matricesr

2I + H et

r

2I + V sont definies positives, la methode

iterative (5) converge.

Probleme 2.

Soient A = (aij) ' Mn(R) une matrice telle que aii *= 0 pour tout 1 # i # n et b ' Rn (n ! 2).

Pour tout x = (x1, . . . , xn)t ' Rn, on note "x"2 la norme euclidienne sur Rn, "x"1 =n"

i=1

|x|i et

"x"# = max{|x|i, i = 1, . . . , n}.Pour x(o) ' Rn donne, on construit une suite de vecteurs (x(k))k'N par recurrence : on pose r(k) =b ) Ax(k), on choisit i = i(k) ' { 1, . . . , n } tel que |r(k)

i | = "r(k)"# et on definit x(k+1) composantepar composante : /

01

02x(k+1)

i = x(k)i +

r(k)i

aii,

x(k+1)j = x(k)

j , j *= i, 1 # j # n .

12

1. On designe par Ai ' Rn la i-eme colonne de la matrice A. Montrer que pour tout k ' N

r(k+1) = r(k) ) r(k)i

aiiAi .

Quelle est la valeur de r(k+1)i ?

2. Dans cette question, on suppose de plus que

n"

j=1,j (=#

|aj#||a##|

< 1 ,

pour tout 1 # " # n. (On dit que A est a diagonale strictement dominante sur les colonnes).

(a) Etablir que , pour tout k ' N, on a :

"r(k+1)"1 #

'

)1) 1n

7

81)n"

j=1,j (=i

|aji||aii|

9

:

*

, "r(k)"1 ou i = i(k) .

(b) Justifier que le systeme lineaire Ax = b admet une solution unique que l’on notera x", puismontrer que la suite (x(k))k'N converge vers x".

3. Dans cette question, on suppose que A est symetrique, definie positive.

(a) Etablir, que pour tout k ' N, on a

;A%1r(k+1), r(k+1)

<=

;A%1r(k), r(k)

<) "r

(k)"2#ai(k)i(k)

,

ou (·, ·) designe le produit scalaire euclidien sur Rn.

(b) Verifier que, pour tout e ' Rn tel que "e"2 = 1, on a

(Ae, e)5A%1e, e

6! 1 .

En deduire qued(A) "A%1"2 ! 1 ,

ou d(A) = max{ajj , 1 # j # n }.

(c) Pour tout x ' Rn, on note "x"A"1 =5A%1x, x

61/2. Montrer que

"r(k+1)"A"1 #3

1) 1n d(A) "A%1"2

41/2

"r(k)"A"1 ,

pour tout k ' N.En deduire que la suite (x(k))k'N converge vers la solution x" du systeme lineaire Ax = b.

13

Examen - Decembre 2000

Les documents ne sont pas autorises. Les deux problemes sont independants.Exercice 1

Soient u et v deux vecteurs non nuls de Rn.

1. Ecrire les coe!cients de la matrice A = u vt

2. Quelle est le noyau de A ? Quelle est l’image de A ?

3. On suppose que v est colineaire a u ;

(a) Quelles sont les valeurs et vecteurs propres de A ?

(b) Calculer le rayon spectral de A + $ I , $ ' R, (I represente la matrice Identite).

4. On suppose que v n’est pas colineaire a u .

(a) Quels sont les valeurs propres de A ?

(b) Quels sont ses vecteurs propres ?

(c) Ecrire la matrice A dans une base du type (u, v,w1, · · · , wn%2) ou vt wi = 0.

(d) Rappeler la methode de Gauss-Seidel . Pour cette methode, calculer la matrice des iterationsappliquee a A$ = A + $ I (pour resoudre un systeme lineaire de la forme A$ x = b).

(e) Pour quelles valeurs de $ cette methode converge -t’elle ?

(f) Dans la base (u+v, u)v) pour n = 2, pour quelles valeurs de $ la methode de Gauss-Seidelconverge-t’elle ?

Exercice 2

On considere des methodes iteratives de resolution du type

Ax = b

sous la forme :xk+1 = Bxk + c

Soit la matrice : !2 )1)1 2

#

1. Calculer la matrice BJ de la methode de Jacobi et la matrice BG de la methode de Gauss-Seidel

2. Calculer les valeurs propres de BJ et de BG

3. Les methodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent-elles pour cette matrice ?

14

4. Calculer les taux de convergence asymptotiques des deux methodes et comparer leurs vitessesde convergence .

On considere maintenant la methode SOR ou B vaut :

BS = (D ) (E)%1[(1) ()D + (F ]

avec A =

7

=8)F

D

)E

9

>:

5. Calculer BS dans le cas particulier precedent .

6. Calculer le determinant de BS . Que se passe-t’il pour ( = 2 ? Est-ce particulier a cette matriceA ?

7. Calculer la trace de BS et donner les deux valeurs propres de BS lorsqu’elles existent.

8. Pour 1 # ( # 4) 2&

2, indiquer pour quelle valeur de ( ces deux valeurs propres sont egales.

9. Calculer alors le rayon spectral de BS et comparer les taux de convergence de SOR et Gauss-Seidel .

On rappelle que le taux de convergence d’une methode est le rayon spectral de la matrice associee.

15

Examen - Juin 2001

Les documents ne sont pas autorises.Soit N un entier superieur a 1 et h = &/(N + 1). On considere le probleme discretise de Laplace-Dirichlet : etant donne (fi)1&i&N trouver (ui)1&i&N tel que

)(ui+1 + ui%1 ) 2ui)/h2 = fi, uo = uN+1 = 0. (6)

Le but du probleme est de trouver une methode iterative de resolution de (6).1. Calcul preliminaire

1. Monter que (6) est equivalent a la resolution de

Au = f (7)

ou on explicitera la matrice A = (aij)1&i,j&N et ou u et f sont les vecteurs de composantes(ui)1&i&N et (fi)1&i&N .

2. Montrer que tous les vecteurs propres vk et toutes les valeurs propres %k de A sont donnes parles formules

(vk)i = sin(i kh), %k =4h2

sin2

3k h

2

4.

3. Calculez la plus petite et la plus grande valeur propre de A et leur rapport. Comment secomporte-t-il pour N $ ++ ?Qu’en deduisez-vous ?

2. Methode iterative de resolution de (7)On definit les matrices D et E par

dij = aij*ij , eij = )aij si i *= j, 0 sinon.

Pour resoudre (6)-(7), on construit la suite de vecteurs u(n) definis par

D u(n+1) = f + E u(n) .

1. Comment s’appelle cette methode ? montrer qu’elle definit e"ectivement la suite u(n).

2. Soit J = I )D%1A; montrer que

u(n+1) = D%1f + J u(n) .

3. Calculer les vecteurs propres et valeurs propres µk de J .

4. Calculez le rayon spectral !(J).Les calculs des questions 3 et 4 de cette section servent dans la suite.

16

3. Convergence de la methode

1. Soit u la solution de (7) et e(n) = u) u(n). Montrez que

e(n) = Jne(o).

2. Montrer que"e(n)"/"e(o)" # "Jn"

ou " · " designe la norme euclidienne (et la norme matricielle induite).

3. Montrer que"Jn" # (cos h)n = sn .

En deduire que la methode converge.

4. On pose n = k (N + 1)2. Montrer que pour k fixe,

sn $ exp()k&2

2) pour N $ ++. (8)

5. Calculez approximativement k de facon a reduire l’erreur sur u(n) de 10%8 lorsque N est tresgrand. Justifiez que l’on peut utiliser (8).

6. Quel est le cout de la methode pour realiser un calcul a 10%8 pres en partant d’une donnee u(o)

telle que "u(o)" = 1.

7. Comparez ceci aux autres methodes que vous connaissez.

17

1

Universite d’Orleans Licence de Mathematiques

Unite MA6.07 2001/2002

Feuille de revision

1. Soit ! une racine double de la fonction f , c’est-a-dire f(!) = f !(!) = 0.

(a) En tenant compte du fait qu’on peut ecrire la fonction f comme

f(x) = (x! !)2 h(x), ou h(x) "= 0 ,

verifier que la methode de Newton pour l’approximation de la racine ! est

seulement d’ordre 1.

(b) On considere la methode de Nexton modifiee

xn+1 = xn ! 2f(xn)f !(xn)

.

Verifier que cette methode est d’ordre 2 si on veut approcher !.

2. On cherche les zeros de la fonction

f(x) =12

sin!" x

2

"+ 1! x .

(a) Verifier qu’il y a au moins un zero x" dans l’intervalle [0, 2].

(b) Verifier que x" est un zero de multiplicite 1.

(c) Ecrire la methode de Newton pour trouver le zero x" de la fonction f et calculer

la premiere iteration a partir de la valeur initiale xo = 1.

(d) Verifier que cette methode est d’ordre 2.

3. On se donne la fonction

f(x) = x3 ! 2 x! 5

sur l’intervalle [1, 3]

(a) Montrer qu’il y a au moins un zero dans l’intervalle [1, 3].

(b) Montrer que ce zero x" est unique.

(c) Ecrire la methode de Newton pour trouver le zero x" de la fonction f .

(d) En interpretant cette methode comme une methode de point fixe, montrer

qu’elle est d’ordre 2.

2

4. Polynomes Orthogonaux d’Hermite

Soit la famille de polynomes definie de la facon suivante :

Hn(x) = (!1)nex2 dn

dxn[e#x2

].

On note Pn l’ensemble des fonctions polynomiales de degre n de R dans R. On

designe par E l’ensemble des fonctions de R dans R telles que#

Rf(t)2e#t2 dt < +# ,

muni du produit scalaire

(f, g) =#

Rf(t) g(t)e#t2 dt .

(a) Montrer que Hn $ Pn ; calculer Ho et H1.

(b) Pour tout n % 2 et x $ R, donner l’expression de Hn(x) en fonction de

Hn#1(x), Hn#2(x) et n.

(c) En deduire le terme de plus haut degre de Hn ainsi que H2n(0).

(d) Pour tous (n, m) $ N & N tels que m ' n calculer (Hn, xm). En deduire

(Hn,Hm) pour tous (n, m) $ N& N .

1

Universite d’Orleans Licence de MathematiquesUnite MA6.07 2002/2003

Examen - 30 avril 2003 - Session 1- 2hLes documents ne sont pas autorises. La calculatrice est recommandee.

Les exercices sont independants.

1. Calculer! 1

0x e!x dx par la methode de Gauss-Legendre a 2 points et par la formule de

Simpson qui demande 3 evaluations fonctionnelles. Laquelle est la plus precise?

2. Soit a resoudre ln(x) + x = 0.

(a) Montrez que cette equation a une solution unique sur [0,1].(b) Par dichotomie, donnez la racine avec deux decimales significatives. Combien d’iterations

sont-elles necessaires? Pouvait-on le prevoir?(c) Par la methode de Newton (en partant de 1), donnez la racine avec deux decimales

significatives. Combien d’iterations sont-elles necessaires ? Comparez avec le resultatprecedent.

3. Soit f de R dans R de classe C" dont la derivee et la derivee seconde ne s’annulent pas auvoisinage de a verifiant f(a) = 0. On considere les suites xn et yn definies par la donnee dexo et les relations :

yn = xn !f(xn)f #(xn)

,

xn+1 = yn !f(yn)f #(xn)

.

On suppose que ces suites convergent vers a et que "n # N, xn $= a et yn $= a.

(a) Donner une interpretation geometrique de ces suites.(b) E!ectuer un developpement limite a l’ordre 2 de f(a)! f(xn) puis demontrer que

limn$+"

yn ! a

(xn ! a)2=

f”(a)2f #(a)

.

(c) E!ectuer un developpement limite a l’ordre 2 de f(a)! f(yn) puis demontrer que

limn$+"

xn+1 ! a

(xn ! a)(yn ! a)=

f”(a)f #(a)

.

(d) Demontrer que les suites xn et yn sont d’ordre au moins 3.

Correction de l’examen du 30 avril 2003

Exercice 2

Exercice 3