analysis 3 - blu7 homepage

Institut fur MathematikUniversitat Hannover

Prof. Dr. W. Ebeling, Dr. H. Koditz

Hannover, den 20. Oktober 2003

1. Ubungsblatt zur Analysis 3

Abgabe am 27./28. Oktober 2003 vor den Stundenubungen

Aufgabe 1 (je 5 Punkte)

Man zeige:a) Die Funktion f : N× N → N, f(m,n) := 1

2 (m + n)(m + n + 1) + m, ist bijektiv.

b) Sind A,B abzahlbare Mengen, so ist auch das kartesiche Produkt

A×B := (a, b) : a ∈ A, b ∈ B abzahlbar.

Aufgabe 2 (5 Punkte)

Man zeige, dass die Menge P(N) aller Teilmengen von N (die Potenzmenge von N) nichtabzahlbar ist.Hinweis:Zu einer evt. Surjektion f : N → P(N) betrachte man die Menge A := n ∈ N : n 6∈ f(n) .


Sei f : R → R, f(x) := 1√x, fur 0 < x ≤ 1 und f(x) := 0 sonst, gegeben. Durch Angabe

einer punktweise gegen f konvergierenden und monoton steigenden Folge von Treppen-funktionen mit beschrankter Integralfolge beweise man die Integrierbarkeit der Funktion f .

Aufgabe 4 (10 Punkte) Knacki

Wir betrachten die Menge N aller reeller Zahlen im Intervall [0, 1] die eine Dezimalbruch-entwicklung ohne die Ziffer 0 besitzen, also

N :=

∞∑n=1

an10−n : an ∈ 1, 2, · · · , 9

.

Man zeige, dass N eine uberabzahlbare und kompakte Nullmenge ist.

http://www-ifm.math.uni-hannover.de/∼koeditz/Analysis3/Ana3 03.htm



Hannover, den 27. Oktober 2003


Abgabe am 3./4. November 2003 vor den Stundenubungen


Man beweise Lemma 3.1 der Vorlesung:Sei Q ⊂ Rn ein Quader. Dann gibt es zu jedem ε > 0 einen offenen Quader Q∗ mit Q ⊂ Q∗ undv(Q∗)− v(Q) < ε.


Sei I ⊂ Rp ein kompakter Quader und (In) , In ⊂ I, eine Folge paarweise disjunkter offener Quader

mit∞∑

n=1

v(In) = v(I). Man zeige: R := I \∞⋃

n=1

In ist eine Nullmenge.


Es sei R := [0, 1]× [0, 1] ⊂ R2. Die Funktion f : R → R sei definiert durch

f(x, y) :=

2 fur y ≥ 1− x1 fur y < 1− x

Durch Angabe einer monoton steigenden Folge von Treppenfunktionen mit beschrankter Integral-foge, die fast uberall gegen f konvergiert, zeige man f ∈ L+(R) und berechne

∫R f d(x, y).


Seien s1, s2, · · · , sn ∈ R \ 0, f ∈ L1(Rn) und f∗(x1, · · · , xn) := f(

x1s1

, · · · , xnsn

). Man zeige:

f∗ ∈ L1(Rn) und∫

Rn

f∗ dx = |s1 · · · sn|∫

Rn

f dx .



Hannover, den 3. November 2003




Man zeige: Zu jedem f ∈ L1(Rn) gibt es eine Folge (tk) von Treppenfunktionen die fast uberall gegen f

konvergiert und fur die∫

Rn

|f − tk| → 0 fur k →∞ gilt.

Aufgabe 10 (10,3 und 2 Punkte)

a) Man zeige: Ist (fk) eine Folge in L1(Rn) mit konvergenter Reihe∞∑

k=0

∫Rn

|fk| dx, so konvergiert die Reihe

∞∑k=0

fk fast uberall gegen eine Funktion f ∈ L1(Rn) und es gilt

∫Rn

f(x) dx = limj→∞

j∑k=0

∫Rn

fk(x) dx .

b) Man zeige: Die Funktion f ∈ L1(Rn) ist genau dann fast uberall gleich 0 wenn∫

Rn

|f(x)| dx = 0 ist.

c) Sei f ∈ L1(Q) (Q Quader) und N ⊂ Q sei eine Nullmenge. f sei auf Q \N beschrankt, etwa

m ≤ f(x) ≤ M dort. Man beweise den Mittelwertsatz:

m v(Q) ≤∫

Q

f(x) dx ≤ M v(Q) .

Aufgabe 11 (10 Punkte) p-dimensionale Cantormenge - Knacki

Fur p ∈ N∗ sei C0 := [0, 1]p. Durch

Wn :=(

1 + 3j13n

,2 + 3j1

3n

)× · · · ×

(1 + 3jp

3n,2 + 3jp

3n

): j1, · · · , jp = 0, 1, 2, . . . , 3n−1 − 1

wird eine Menge von Teilintervallen W von C0 definiert. Sei Cn := C0 \n⋃

j=1

⋃W∈Wj

W und 1Cndie charakte-

ristische Funktion von Cn, sowie

fn : C0 → R , fn :=n∑

j=1

2−j 1Cj .

Man zeige, dass die Folge (fn) auf C0 gegen eine integrierbare Funktion f konvergiert und berechne∫

C0

f(x) dx.







a) Man ermittle Folgen integrierbarer Funktionen fn : [0, 1] → R, gn : R → R die fast uberall

gegen integrierbare Funktionen f, g konvergieren und fur die limn→∞

∫[0,1]

fn und limn→∞

∫R

gn nicht

existieren.

b) Man ermittle Folgen integrierbarer Funktionen fn : [0, 1] → R, gn : R → R die fast uberall

gegen integrierbare Funktionen f, g konvergieren, fur die limn→∞

∫[0,1]

fn und limn→∞

∫R

gn existieren

aber limn→∞

∫[0,1]

fn 6=∫

[0,1]f und lim

n→∞

∫R

gn 6=∫

Rg gilt.


Sei Q ⊂ Rn ein Quader und f ∈ L1(Q) eine nichtnegative integrierbare Funktion. Zu c > 0 seiAc := x ∈ Q : f(x) ≥ c . Man zeige:

v(Ac) :=∫

Q1Ac(x) dx ≤ 1

c·∫

Qf(x) dx .

Hinweis: Man muss naturlich die Integrierbarkeit von 1Ac zeigen. Hierzu betrachte man ϕ(x) :=1c min(c, f(x)) und untersuche die Folge (ϕk).


Man zeige: Fur t ∈ R gilt

F (t) :=∫ ∞

−∞e−x2

cos xt dx =√

π e−t2/4 .

Hinweis: F lost das Anfangswertproblem y′(t) = − 12 ty(t), y(0) =

√π.

Man benutze o.B.∫∞−∞ e−x2

dx =√

π.


Sei f ∈ L1(A), A ⊂ Rn. Man zeige: Zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0 derart, dass∫E|f(x)| dx < ε

fur alle E ⊂ A mit v(E) :=∫

E1E(x) dx < δ gilt.

Hinweis: Man betrachte die Folge (ϕn), ϕn(x) := min(n, |f(x)|). Fur∫A(|f | − ϕn)dx < ε/2 wahle

man nun δ := ε/2n.







a) Sei F : R := [a, b]× [c, d] ⊂ R2 → R eine zwei mal partiell stetig differenzierbare Funktion und

f(x, y) :=∂2F (x, y)

∂x∂y. Man zeige:

∫R

f(x, y) d(x, y) = F (b, d)− F (b, c)− F (a, d) + F (a, c) .

b) Man zeige, daß die Funktion f : (0, 1)2 ⊂ R2 → R, f(x, y) := 1x+y interierbar ist, und berechne

das Integral.


Man berechne∫ 1

0

(∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dx

)dy und

∫ 1

0

(∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dy

)dx .

Was sagt Fubini dazu ?

Aufgabe 18 (3,4 und 3 Punkte)

Man bestimme jeweils das Volumen folgender Korper.a) R(h, r) := (x, y, z) ∈ R3 : ‖(x, y, z)‖ ≤ r, x2 + y2 ≥ r2 − h2, 0 ≤ h ≤ r , (Ring der Hohe h).

b) T (r, R) := (x, y, z) ∈ R3 : (√

x2 + y2 −R)2 + z2 ≤ r2 , 0 < r ≤ R , (Torus) .

c) Ellipsoide die durch Rotation der Ellipsex2

a2+

y2

b2= 1 um die x bzw. y-Achse entstehen.

Aufgabe 19 (10 Punkte) Knacki - Satz von Tonelli

Sei f : Q := [a, b] × [c, d] → R eine messbare Funktion. Es existiere mindestens eines der beiden

”iterierten Integrale“∫ b

a

(∫ d

c|f(x, y)| dy

)dx ,

∫ d

c

(∫ b

a|f(x, y)| dx

)dy .

Man zeige die Existenz und Gleichheit der iterierten Integrale∫ b

a

(∫ d

cf(x, y) dy

)dx ,

∫ d

c

(∫ b

af(x, y) dx

)dy .





Abgabe am 1./2. Dezember 2003 vor den Stundenubungen


Zu a0, · · · , an ∈ Rn sei das Simplex

S = S(a0, · · · , an) :=

x =

n∑k=1

tk(ak − a0) : tk ≥ 0, t1 + · · ·+ tn ≤ 1

betrachtet. Man zeige vn(S) =1n!|det(a1 − a0, · · · , an − a0)|.


Man berechne das Maß folgender Korper

a) K ∩ Z mit K := x ∈ R3 : ‖x‖ ≤ r , r > 0 , und Z := x ∈ R3 : (x1 − r2)2 + x2

2 ≤ r2

4 .

b) Z1∩Z2 mit Z1 := (x, y, z) ∈ R3 : x2+y2 ≤ r2 und Z2 := (x, y, z) ∈ R3 : x2+z2 ≤ r2 , r > 0.

Hinweis: Zylinderkoordinaten


Sei A ⊂ Rn eine beschrankte messbare (und damit integrierbare) Menge. Der (geometrische)Schwerpunkt sA ist definiert durch

sA :=1

v(A)

(∫A

x1 dx, · · · ,∫

Axn dx

), x = (x1, · · · , xn) .

Man berechne die Schwerpunkte der Mengen A1 := (x, y) : 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sinx undA2 := (x, y, z) : z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1 .

Aufgabe 23 (10 Punkte)1 Knacki

Sei ρ : [R1, R2] ⊂ [0,∞) → R eine beschrankte integrierbare Funktion und u : R3 → R

u(p) :=∫

R1≤‖x‖≤R2

ρ(‖x‖)‖x− p‖

dx .

Hierbei sei ‖x‖ die euklidische Norm. Man zeige:

In BR1(0) ist u konstant und fur p 6∈ BR2(0) gilt u(p) =4π

‖p‖

∫ R2

R1

ρ(r)r2 dr .

Hinweis: Fur p = (0, 0, a) ist ‖x− p‖ =√

a2 + r2 − 2ar cos ϑ in Kugelkoordinaten.

1Newton-Potential einer Kugelschale im R3 bei einer rotationsymmetrischen Dichteverteilung



Hannover, den 1. Dezember 2003




Man berechne I :=∫

R2>0

e−(x+y)2 d(x, y).


Sei K ⊂ R3 eine kompakte Menge und A ⊂ R3 eine Gerade. Ferner sei ρ : K → R eine integrierbare positiveFunktion (Massendichte). Das Tragheitsmoment von K bezgl. A ist ΘA(K) :=

∫K

ρ(x)r2A(x) dx. Hierbei ist

rA(x) der Abstand des Punktes x ∈ K von der Achse A.a) Man beweise den Steinerschen Satz: Ist M :=

∫K

ρ(x) dx die Masse von K, A eine Gerade durch denSchwerpunkt s =

∫K

xρ(x) dx/M von K und A′ eine zu A parallele Gerade im Abstand a, so giltΘA′(K) = ΘA(K) + Ma2.

b) Man verifiziere den Satz von Steiner fur den Korper K := (x1, x2, x3) : 0 ≤ x1 ≤ L, x23 + x2

2 ≤R2 , (L,R > 0), mit ρ ≡ 1 und A = (L/2, 0, x3) : x3 ∈ R , A′ = (0, 0, x3) : x3 ∈ R .

Aufgabe 26 (7 und 3 Punkte)

Fur p ≥ 1 sei lp := (xn)n∈N :∑∞

n=0 |xn|p < ∞ und ‖(xn)‖ := (∑∞

n=0 |xn|p)1/p. Ferner sei l0 die Menge der

abbrechenden Folgen in R. Man zeigea) lp ist ein Banachraum.

b) l0 ist als Teilraum von lp ein normierter aber nicht vollstandiger Raum. l0 ist jedoch dicht in lp, d.h. zujedem x ∈ lp und jedem ε > 0 gibt es ein x0 ∈ l0 mit ‖x− x0‖ < ε.


Man zeige: Das Ellipsoid E :=

x ∈ R3 :

(x1

a1

)2

+(

x2

a2

)2

+(

x3

a3

)2

≤ 1

, aj > 0, hat bei konstanter

Dichte ρ bezuglich der Ursprungsgeraden mit Richtung v, ‖v‖ = 1, das Tragheitsmoment

Θv(E) =4π

3ρ a1a2a3

15

3∑n=1

a2n(1− v2

n) .

Fur welche v wird Θv(E) extremal?Hinweis: Man verwende verallgemeinerte Kugelkoordinaten x = a1r cos ϕ sinϑ, y = a2r sinϕ sinϑ, z =a3r cos ϑ und benutze

∫ π

0sin3 ϑ dϑ = 4

3 .







Man berechne die Fourierreihe von

a) f(x) :=

1 , fur 0 ≤ x ≤ π−2 , fur π < x < 2π

(2π-periodisch fortgesetzt); b) f(x) := | sinx|.


Fur α /∈ Z sei f(x) := π cos αx fur 0 < x < 2π und f(0) := π2 (cos 2πα + 1) als 2π-periodische Funktion auf

ganz R fortgesetzt. Diese Funktion wird durch ihre Fourierreihe dargestellt (ohne Beweis). Man berechne dieFourierreihe von f und zeige durch Betrachtung bei x = 0 und x = π die Gultigkeit folgender Formeln:

πα cot πα = 1 + 2α2∞∑

n=1

1α2 − n2

undπα

sinπα= 1 + 2α2

∞∑n=1

(−1)n

α2 − n2.

Aufgabe 30 (je 5 Punkte) Riemann-Lemma

a) Sei f : [a, b] → R eine stetig differenzierbare Funktion. Man zeige: limt→∞

∫ b

a

f(x) sin xt dx = 0 .

b) Sei nun f ∈ L1([a, b]). Man zeige, dass auch hier limt→∞

∫ b

a

f(x) sin xt dx = 0 richtig ist.

Aufgabe 31 (4,2,2 und 2 Punkte) (*)

Seien f, g ∈ L1(R) und F : R2 → R, F (x, y) := f(x)g(y − x). Fur alle y, fur die das Integral existiert sei

(f ∗ g)(y) :=∫

Rf(x)g(y − x) dx . (Faltung)

Man zeige:a) Fur fast alle y ∈ R ist F (x, y) (als Funktion von x) uber R integrierbar. (Beachte HA19)

b)∫

R|(f ∗ g)(y)| dy ≤

∫R|f(y)| dy ·

∫R|g(y)| dy .

c) f ∗ g = g ∗ f .

d) Sei f die charakteristische Funktion von [0, 1] und g die von [1, 3]. Man berechne und skizziere f ∗ g.

Institut fur Mathematik

Universitat Hannover




Abgabe am 5./6. Januar 2004 vor den Stundenubungen


Die Funktion f(x) := x(π − x) fur 0 ≤ x ≤ π werde als gerade Funktion auf R als 2π-periodische Funktionfortgesetzt. Man zeige, dass die Fourierreihe von f

f(x) =π2

6−

∞∑

k=1

cos 2kx

k2

lautet und gleichmaßig auf ganz R gegen f konvergiert. Welches beruhmte Ergebnis erhalt man fur x = 0?


Sei f : R → R eine zwei mal stetig differenzierbare und 2π-periodische Funktion. Man zeige, dass dieFourierreihe von f auf ganz R gleichmaßig gegen f konvergiert.Hinweis: Riemann-Lemma (HA30) beachten.


Zu α ∈ [0, 2π) sei Sα := t(cosα, sin α) : t ≥ 0 ⊂ R2 der von 0 ausgehende Halbstrahl mit dem Winkel α

gegen die positive x-Achse. Dann ist die (Polarkoordinaten-)Winkelfunktion

ϕα : R2 \ Sα → (α − 2π, α)

als differenzierbare Funktion wohldefiniert.a) Man berechne ωα := dϕα ∈ Ω1(R2 \ Sα) und zeige so, dass ωα von α unabhangig ist und deshalb eine

Differentialform ω auf ganz R2 \ 0 definiert.

b) Man zeige, dass es keine auf ganz R2 \ 0 definierte differenzierbare Funktion f mit ω = df gibt.

Aufgabe 35 (10 Punkte) Weierstraßscher Approximationssatz Knacki

Man zeige:Jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion ist gleichmaßig durch Polynome approximierbar.

D_n(x), n=2,5,10

–1

0

1

2

3

4

view

–3 –2 –1 1 2 3

x

D_n(x), n=2,5,10

0

1

2

3

4

5

6

view

–3 –2 –1 1 2 3

x

Frohe Weihnachten und ein erfolgreiches neues Jahr !!

1



Hannover, den 5. Januar 2004




Im R3 sei ω die Differentialform

ω = 2xz dy ∧ dz + dz ∧ dx− (z2 + ex) dx ∧ dy .

Man zeige dω = 0 und bestimme eine 1-Form η mit ω = dη.


Im R2 seien die 2-Form ω := dx∧dy und die Funktion h : R2 → R2, h(u, v) = (x, y)t := ((u+1)2−v2, 2(u + 1)v)t gegeben. Ferner sei U := B1(0). Man berechne h∗ω und

∫h(U)

ω und interpretiere

das Ergebnis!


Fur R > 0 sei h : U := (0, 2π) × (0, π) ⊂ R2 → R3, h(u, v) := R (cos u sin v, sinu sin v, cos v)t.Gegeben sei ferner im R3 \ 0 die 2-Form

ω :=−x√

x2 + y2 + z2dy ∧ dz +

−y√x2 + y2 + z2

dz ∧ dx +−z√

x2 + y2 + z2dx ∧ dy .

Man berechne∫

h(U)ω =

∫U

h∗ω. Was haben wir berechnet?


Sei η ∈ Ω2(R3) eine geschlossene Differentialform, d.h es gelte dη = 0. Man zeige, dass es einω ∈ Ω1(R3) mit η = dω gibt und folgere, dass jedes divergenzfreie Vektorfeld Rotaton eines weite-ren Vektorfeldes ist.

Hinweis: Fur η = a1dydz + a2dzdx + a3dxdy suche man ein ω = b1dx + b2dy.







Man berechne folgende Kurvenintegrale direkt (mit Definition nach Skript S 79) und mit Hilfe desSatzes von Stokes:

I1 :=∫

∂G2y dx + 6x dy , G = [0, 1]2 ; I2 :=

∫∂H

ex sin y dx + ex cos y dy , H = B3(0, 0) .

Bemerkung: Orientierung der Rander beachten.


Man berechne I :=∫

G(xy + xz + yz) d(x, y, z) fur G := (x, y, z) : x, y, z ≥ 0, x2 + y2 + z2 ≤ 1

direkt und mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes.


Sei ω ∈ Ω1(R3), ω := (x2 + y2 − 1) dz, und Ka := (x, 0, z) : (x− a)2 + z2 ≤ 14 mit |a| ≤ 1

2 . Man

berechne∫

Ka

dω und∫

∂Ka

ω und verifiziere so den Satz von Stokes.


Sei u : G ⊂ R2 → R (G offen) eine harmonische Funktion, d.h. u ist zwei mal stetig dıfferenzierbarmit uxx + uyy ≡ 0 auf G. Man zeige: Fur jedes (x0, y0) ∈ G und r > 0 mit Br(x0, y0) ⊂ G gilt

u(x0, y0) =12π

∫ 2π

0u(x0 + r cos t, y0 + r sin t) dt .

Hinweis: Aus∫∂Br(x0,y0)−uy dx+ux dy = 0 folgere man die Unabhangigkeit obigen Integrals von r.

Klausur am Samstag 24. Januar 2004, 8.15 - 10.45 im F 303!Vorsicht: Zeitliche Verschiebung ist moglich!







Ein Heißluftballon H habe die Form einer Spharenkappe vom Radius R und Offnungsdurchmesserd < 2R, d.h. H = (x, y, z) : x2 + y2 + z2 = R,−a ≤ z ≤ R mit a > 0 und d = 2

√R2 − a2.

Das heisse Gas dringt durch die porose Oberflache mit der Geschwindigkeit v =rotF, F (x, y, z) =

(−y, x, 0)t. Man berechne den Fluss∫

Hv d~S durch die Ballonoberflache direkt und mit dem Satz

von Stokes.


Sei A := (x, y, z) : x2 + y2 = 1, y2 + z2 = 1 . Man zeige, dass M := A \ (0,−1, 0), (0, 1, 0) eine1-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R3 ist.


Sei D := R4 \ (x1, x2, x3, x4) : x1x2x3x4 = 0 und f : D → R3 definiert durch f(x1, x2, x3, x4) :=(x1x3 − x2

2, x2x4 − x23, x1x4 − x2x3). Man zeige, dass M := x ∈ D : f(x) = 0 eine p-dimensionale

Untermannigfaltigkeit des R4 ist und gebe p an.

Aufgabe 47 (10 Punkte) Stereographische Projektion (*)

Die stereographische Projektion sei gegeben durch

p : S2\(0, 0, 1) → R2, S2 = (x1, x2, x3) : x21+x2

2+x23 = 1 , p(x1, x2, x3) :=

(x1

1− x3,

x2

1− x3

).

Man ermittle p−1 und zeige, dass Kreise auf S2 durch den Nordpol (0, 0, 1) auf Geraden und alleanderen Kreise auf S2 auf Kreise abgebildet werden.


Prof. Dr. W. Ebeling und Mitarbeiter


Klausur zur Analysis 3

Bearbeitungszeit: 10.45 – 13.15

Bitte jedes Blatt mit: Name, VName und Matr.Nr. beschriften!


Fur R > 0 sei f : [0, R] → [0,∞) eine stetige Funktion undB := (x, y, z) ∈ R3 : 0 ≤ x2 + y2 ≤ R2, 0 ≤ z ≤ f(

√x2 + y2) . Man zeige:

v3(B) = 2π

∫ R

0rf(r) dr .


Man beweise die Existenz des Grenzwerts

g := limn→∞

∫ n

0

(1 +

x

n

)ne−2x dx

und berechne g.


Sei K ⊂ Rn eine kompakte Menge und f ∈ Lp(K) fur ein p ≥ 1. Man zeige f ∈ L1(K) und∫K|f(x)| dx ≤ vn(K)1−

1p ‖f‖p .


Die Funktion f(x) :=

x(π − x) fur 0 ≤ x ≤ π ,x(π + x) fur −π ≤ x ≤ 0

werde 2π-periodisch auf ganz R fortgesetzt.

Man zeige, dass die Fourierreihe von f

f(x) =8π

∞∑k=0

sin(2k + 1)x(2k + 1)3

ist und auf ganz R gleichmaßig gegen f konvergiert.


a) Seien α, β Differentialformen im Rn. Man zeige: Ist α exakt und β geschlossen, so ist α ∧ βexakt.

b) Im R3 seien die beiden Differentialformen

α = zeyzdy + yeyzdz, β = zy cos xydx + xz cos xydy + sinxydz

gegeben. Man zeige, dass α und β exakt sind und bestimme eine 1-Form η mit dη = α ∧ β.


Es sei F = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1 und ω = yzdx + xdy − xydz.a) Man gebe eine Parameterdarstellung φ : R → F (R ein geeignetes Rechteck im R2) von F als

singulares Rechteck an.

b) Man berechne∫φ(R) dω und

∫∂φ(R) ω.

Viel Erfolg !!!!!!!!!

analysis 3 - blu7 homepage

Documents