Analízis I. VizsgatételsorProgramtervező Informatikus szak

2008-2009. 2. félév

Készítette: Szabó Zoltán

SZZNACI.ELTE

zotyo@bolyaimk.hu

v1.0.6 RC 1004

Forrás:

Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-1/2

1

1. A Bernoulli-egyenlőtlenség.

Def.: Ha ≥ 1 és ℎ ≥ −1, akkor (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ. Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül,ha = 1 vagy ℎ = 0.

Bizonyítás: Teljes indukcióval.= 1: 1 + ℎ = 1 + ℎ

Tfh.: (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎBizonyítsuk + 1-re:(1 + ℎ) ≥ 1 + ( + 1)ℎMivel ℎ ≥ −1 ⇒ 1 + ℎ ≥ 0:(1 + ℎ) (1 + ℎ) ≥ (1 + ℎ)(1 + ℎ) = 1 + ℎ + ℎ + ℎ

= 1 + (1 + )ℎ + ℎ ≥ 1 + ( + 1)ℎ

Egyenlőség: ha = 1 vagy ℎ = 0, akkor 1 + ℎ ≥ 1 + ℎ illetve 1 ≥ 1 + 0.Az ellenkező irány bizonyításához tegyük fel, hogy (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ valamely

∈ ℕ és ℎ ∈ [−1, +∞) esetén. Tegyük fel még azt is, hogy ≥ 2. Azt kelligazolnunk, hogy ekkor h csak 0-val lehet egyenlő. Mivel(1 + ℎ) = 1 + ℎ ⟺ ℎ((1 + ℎ) + (1 + ℎ) + ⋯ + 1) = ℎezért ℎ > 0 nem lehet, mert ekkor (1 + ℎ) + (1 + ℎ) + ⋯ + 1 > .Viszont ℎ < 0 sem lehet, mert ebben az esetben 0 ≤ (1 + ℎ) ++(1 + ℎ) + ⋯ + 1 < .Ezzel az egyenlőtlenséget bizonyítottuk.

2. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség.

Def.: Minden ∈ ℕ+-ra és a1…an≥ 0 valós számokra:

a ∙∙∙ a ≤+ +. . . +

Egyenlőség akkor és csak akkor teljesül, ha a1 = a2 =….= an.

Bizonyítás: Teljes indukcióval.= 1 esetén egyenlőség.

Tfh.: √a a ∙∙∙ a ≤ ... ∶=

Bizonyítás + 1-re:

=+ ⋯ + +

+ 1=

++ 1

=

=( + 1) + −

+ 1= +

−+ 1

=

= 1 +−

( + 1)

Ha = 0 ⇒ 0 = = ⋯ = egyébként ≠ 0 ekkor:

ℎ ∶=−

( + 1)≥ −1

2

ugyanis − ≥ −( + 1) ⇒ ≥ −

Erre a h-ra alkalmazzuk a Bernoulli egyenlőtlenséget

1 +−

( + 1) ≥ 1 + ( + 1)−

( + 1) =

∙+ −

= (az indukciós feltevés miatt) =

= ∙ ≥ ∙ … ∙ ∙

Ha = ⋯ = , akkor egyenlőség van.Ha egyenlőség van az ( + 1)-dikben, akkor h=0, azaz

−( + 1) = 0 ⟹ =

Feltehető, hogy ≥ max { , … , } ≥ , ekkor:= max{ , … , } = = ⋯ = ⟹ = ∎

3. A valós számok Dedekind-féle axiómarendszere (testaxiómák, rendezési axiómák,tel-jességi (vagy Dedekind-féle) axióma). A természetes számok halmaza (ℕ).A teljes indukció elve

3.1. Testaxiómák:1. Összeadás ℝ-en:

- kommutatív + = + ∀ , ∈ ℝ, - asszociatív ( + ) + = + ( + ) ∀ , , ∈ ℝ, - létezik null elem, azaz ∃0 ∈ ℝ: + 0 = , ∀ ∈ ℝ,

- létezik ellentett, azaz ∀ ∈ ℝ-re: ∃(− ) ∈ ℝ: + (− ) = 0.2. Szorzás ℝ-en: - kommutatív = ∀ , ∈ ℝ, - asszociatív ( ) = ( ) ∀ , , ∈ ℝ, - létezik egység elem, azaz ∃1 ∈ ℝ (1 ≠ 0): ∙ 1 = , ∀ ∈ ℝ,

- létezik reciprok, azaz ∀ ∈ ℝ-re ( ≠ 0): ∃ ∈ ℝ: = 1.3. Disztributivitás: - ( + ) = + ∀ , , ∈ ℝ,

3.2. Rendezési axiómák:1. Létezik ≤ lineáris rendezés (∀ , ∈ ℝ ≤ vagy ≥ ):

≤≤ é ≤ , akkor =≤ é ≤ , akkor ≤

Ha ezek teljesülnek akkor ℝ test

2. Műveletek és rendezés közötti összefüggés:≤ ⇒ + ≤ + , , , ∈ ℝ, ≥ 0≤ ⇒ ≤ , , , ∈ ℝ, ≥ 0 Ha ezek teljesülnek akkor ℝ rendezett test

3.3. Teljességi (Dedekind-féle) axióma:Ha , ⊂ ℝ, ≠ 0, ≠ 0 és ∀ ∈ , ∀ ∈ : ≤ , ekkor:∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ , ∀ ∈ -re ≤ ≤ .

3

3.4. Természetes számok:ℝ összes induktív halmazainak metszetét természetes számok halmazának nevezzük.Jelölése: ℕ és ℕ ∶= { ∈ ℕ: > 0}.

3.5. Teljes indukció elve:Def.: Tegyük fel, hogy ( )∀ ∈ ℕ-re egy állítás úgy , hogy:

1. (0) igaz,2. ha ( ) igaz ⟹ ( + 1) is igaz.

Ekkor ( ) igaz ∀ ∈ ℕ.

Bizonyítás: Jelölje ∶= {∀ ∈ ℕ: ( ) igaz}Így ≠ ∅, mivel 0 ∈ , és ha ∈ ⟹ ( + 1) ∈ . Tehát S induktív halmaz. Mivelinduktív halmazok metszete is induktív ezért ⊂ ℕ, de ℕ ⊂ , mivel ℕ a legszűkebbinduktív halmaz. Tehát = ℕ.

4. A szuprémum elv: számhalmaz maximuma, minimuma, korlátossága, a szuprémumelv, a szuprémum definíciója, ekvivalens átfogalmazás, a teljességi axiómaekvivalens a szuprémum elvvel, infimum.

4.1 Maximum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaznak maximuma van, ha létezik ∈ , minden ∈ -ra ≤ .

4.2 Minimum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaznak minimuma van, ha létezik ∈ , minden ∈ -ra ≥ .

4.3 Szuprémum elv:Def.: Ha ∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz felülről korlátos, ekkor ∃ min{ ∈ ℝ: felsőkorlátja −nak}.

Bizonyítás: Legyen ∶= { ∈ ℝ: felsőkorlátja − nak}, ekkor:∀ ∈ , ∀ ∈ : ≤A teljességi axióma miatt: ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ , ∀ ∈ -re ≤ ≤ . Tehátfelső korlátja A-nak, így ∈ , de ≤ , (∀ ∈ ). Azaz = min .

4.4 Szuprémum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz felülről korlátos halmaz. A legkisebb felső korlátot a halmazszuprémumának nevezzük.Jelölés: sup ∶= min{ ∈ ℝ: felső korlátja − nak}.

4.5 Ekvivalens átfogalmazás: ∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz felülről korlátos halmaz, ekkor:1. = ⟺ ∀ ∈ , ≤ és ha felső korlát ⇒ ≥2. = ⟺ ∀ ∈ , ≤ és ha < ⇒ ∃ ∈ : > .

4.6 A teljességi axióma ekvivalens a szuprémum elvvel:Bizonyítás: A szuprémum elv következik a teljességi axiómából, hiszen így bizonyítottuk

azt be. Így elegendő a visszafele irányt belátni.Legyen , ⊂ ℝ, ≠ ∅, ≠ ∅, hogy ∀ ∈ , ∀ ∈ : ≤ .Tehát felülről korlátos (és -ben felső korlátok vannak).Azaz: ∃ = sup ⇒ ∀ ∈ : ≤ .De a szuprémum elv miatt a legkisebb felső korlát.Azaz: ∀ ∈ : ≤ .

4

4.7 Infimum:∅ ≠ ⊂ ℝ halmaz alulról korlátos halmaz. A legnagyobb alsó korlátot a halmazinfimumának nevezzük.Jelölés: inf ∶= max{ ∈ ℝ: alsó korlátja − nak}.

5. Az archimédeszi tulajdonság és a Cantor tulajdonság.

5.1. Archimédeszi tulajdonság:Def.: ∀ , ∈ ℝ : ∃ ∈ ℕ: <

Bizonyítás: IndirektTfh.: ∃ , ∈ ℝ : ∀ ∈ ℕ: ≥ .Legyen ∶= { : ∈ ℕ}.Ekkor felülről korlátos, és egy felső korlát. Tehát:

∃ = supÍgy:

≥ (∀ ∈ ℕ)De legkisebb felső korlát, tehát ( − ) már nem felső korlát.Tehát

∃ ∈ ℕ: > −azaz

∃ ∈ ℕ: ( + 1) >ami ellentmond az indukciós feltevésnek.

5.2. Cantor tulajdonság:Def.: Tfh.: ∀ ∈ ℕ: [ , ] egy zárt intervallum ( ≤ ) úgy, hogy [ , ] ⊂[ , ]. Ekkor ezen intervallumok metszete nem üres azaz:

[ , ] ≠ 0∞

Bizonyítás: ∶= { : ∈ ℕ} és ∶= { : ∈ ℕ}.Ekkor

∀ , ∈ ℕ: ≤Ugyanis

ha ≤ ⟹ ≤ ≤ha > ⟹ ≤ ≤

A teljességi axióma miatt:∃ ∈ ℝ: ≤ ≤ (∀ , ∈ ℕ) ⇒

⇒ ≤ ≤ (∀ ∈ ℕ) ⇒

⇒ ∃ ∈ [ , ](∀ ∈ ℕ) ⇒

⇒ ∈ [ , ]∞

6. Halmazok, relációk és függvények.

5

7. Valós sorozat fogalma. Elemi tulajdonságok. Konvergens és divergens sorozatok.Sorozat határértéke. A határérték definíciójának egyszerű következményei.

7.1 Számsorozat:Az : → ℝ függvényt valós sorozatnak nevezzük. Az sorozat ( ) helyettesítésiértéke a sorozat n-edik tagja ( ∈ ℕ), n az sorozat indexe.

7.2 Korlátosság:: → ℝ sorozat, ekkor:

1. ha ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ ℕ: ≤ , akkor felülről korlátos2. ha ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ ℕ: ≥ , akkor alulról korlátos3. ha ∃ ∈ ℝ: ∀ ∈ ℕ: | | ≤ , akkor korlátos

7.3 Monotonitás: → ℝ sorozat, ekkor:

1. ha < : ≤ akkor monoton nő2. ha < : ≥ akkor monoton fogy3. ha < : < akkor szigorúan monoton nő4. ha < : > akkor szigorúan monoton fogy

7.4 Környezet:( ) = { ∈ ℝ: | − | ≤

7.5 Konvergencia definíciója: → ℝ sorozat konvergens, ha létezik ∈ ℝ, hogy -nak bármely környezetén kívül

a sorozatnak legfeljebb véges tagja van.Azaz ∃ ∈ ℝ: ∀ > 0: { : ∉ ( )} legfeljebb véges.

7.6 Divergens sorozatHa az ( ): ℕ → ℝ sorozat nem konvergens, akkor divergens.Azaz ∀ ∈ ℝ, ∃ > 0, ∀ ∈ ℕ, ∃ ≥ : | − | ≥ .

7.7 A határérték definíciójának egyszerű következményei.

8. A rendezés és a limesz kapcsolata. Monoton sorozat határértéke.

8.1. A rendezés és limesz kapcsolata:Tegyük fel, hogy ( ) és ( ) konvergens és lim = lim = . Ha ∀ ∈ ℕ: ≤

≤ akkor ( ) is konvergens és lim = (rendőr elv)

Biz.:A feltétel alapján tudjuk, hogy 0 ≤ − ≤ − ∀ ∈ ℕNyilvánvaló, hogy ( − ) nullsorozat.Ekkor a nullsorozatok tulajdonságaiból adódik, hogy ( − ) is nullsorozat. Végül anullsorozatokra vonatkozó műveleti tételek alapján kapjuk, hogy a ( ) sorozat, amelyaz ( ) konvergens és ( − ) nullsorozat összege, maga is konvergens és

lim = lim( ) + 0 = lim( ).

8.2. Monoton sorozat határértéke

6

8.2.1. Tétel.Tegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton növekedő és felülről korlátos, ekkorkonvergens, és lim = sup { | ∈ ℕ} ∈ ℝ

Biz.:∀ ∈ ℕ: ≤ sup( ) és ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: > sup( ) −( ) monoton nő, ekkor

≥ ha ≥ ⟹⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : sup( ) − < ≤ ≤ sup( ) ⟹

⟹ ∀ ≥ : | − sup( )| < ⟹ lim = sup( )

8.2.2. TételTegyük fel, hogy az ( ) sorozat monoton csökkenő és alulról korlátos, ekkorkonvergens, és lim = inf { | ∈ ℕ} ∈ ℝ

Biz.:∀ ∈ ℕ: ≥ inf ( ) és ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: > inf ( ) +( ) monoton csökken, ekkor

≤ ha ≥ ⟹⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : inf( ) + ≥ ≥ ≥ inf( ) ⟹

⟹ ∀ ≥ : | − inf( )| < ⟹ lim = inf( )

9. Nullsorozatok. Műveletek nullsorozatokkal. Műveletek konvergens sorozatokkal.

9.1. NullsorozatAz ( ): ℕ → ℝ sorozat nullsorozat, ha ( ) konvergens és lim = 0. Azaz:

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | − 0| <

9.2. Műveletek nullsorozatokkal(1.) Ha ( ) és ( ) is nullsorozat, akkor ( + ) is nullsorozat.(2.) Ha ( ) nullsorozat és ( ) korlátos sorozat, akkor ( ∙ ) is nullsorozat

Biz.:Lemma:Ha ( ) nullsorozat, akkor (| |) is nullsorozat.Biz.:A bizonyításhoz írjuk fel a nullsorozat definícióját:

lim| | = 0 ⟺ ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : || | − 0| = | | <ami azt jelenti, hogy lim = 0.

(1.):Tegyük fel, hogy lim = 0. Ekkor:

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | | <2

és legyen lim = 0, ekkor:

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | | <2

Legyen = max{ , }, ekkor a háromszög-egyenlőtlenség miatt

∀ > : | + | ≤ | | + | | <2

+2

=

Tehát ( + ) sorozat konvergens.

7

(2.):A bizonyításhoz tegyük fel, hogy ( ) sorozat nullsorozat. Ekkor:

∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ ≥ : | | <Tegyük fel, hogy ( ) korlátos. Ekkor ∃ > 0: ∀ ∈ ℕ: | | < .Ezért ∀ ∈ ℕ: | | ∙ | | ≤ ∙ | | < ∙ . Tehát ( ∙ ) nullsorozat.

9.3. Műveletek konvergens sorozatokkalHa ( ) és ( ) sorozatok konvergensek és lim ∶= ∈ ℝ, lim ∶= ∈ ℝ, akkor:(1.) ( + ) sorozat is konvergens és lim ( + ) = +(2.) ( ∙ ) sorozat is konvergens és lim( ∙ ) = ∙(3.) ( ∙ ) sorozat is konvergens és lim ( ∙ ) = ∙(4.) ha ( ) ≠ 0 ( ∈ ℕ) és ≠ 0 is teljesül, akkor az sorozat is konvergens és

lim = .

Biz.:(1.):A bizonyításához elegendő azt belátnunk, hogy ( + − − ) nullsorozat.Ekkor:

( + − − ) = ( − ) + ( − )de ( − ) nullsorozat, hiszen lim = , ugyanígy ( − ) is nullsorozat, hiszen lim ∶= . A 9.2.1.-es tétel miatt lim + = + . Ezzel beláttuk 9.3.1.-et.

(2.):A bizonyításhoz azt kell belátnunk, hogy ( − ) is nullsorozat.Ekkor ( − ) = ( − ) nullsorozat mivel egy konstans és lim = ezért( − ) nullsorozat.Ebből követezik, hogy lim = . Ezzel a 9.3.2.-t beláttuk.

(3.):A bizonyításához elegendő azt igazolni, hogy ( − ) nullsorozat. Ekkor

( − ) = ( − + − ) = ( − ) + ( − )mivel ( ) konvergens, ezért korlátos is és ( − ) nullsorozat. Mivel lim =ebből következik, hogy ( − ) nullsorozat.Az ( − ) szintén nullsorozat mivel ( − ) nullsorozat és 9.3.2. miatt ( − )szintén nullsorozat.Tehát ( − ) nullsorozat, ezértlim ( ) = .

(4.):

Mielőtt a belátnánk, bizonyítsuk be, hogy lim = , ≠ 0, akkor korlátos.

Bizonyítás: legyen = | | ekkor ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | − | <

| | = | − + | = | − ( − )| ≥ | | − | − | > | | −| |2

=| |2

Ha ≥ , akkor:

∀ ∈ ℕ: ≥ :1

<2

⇒1

< max1

| |,

1| |

, ,2

| |⇒

1| |

korlátos.

8

(4.)-es bizonyításához, elég belátnunk, hogy − nullsorozat. Ekkor

− = − + − =1

( − ) +1

−1

=

=1

( − ) + ( − )

korlátos az előbb bizonyított tétel miatt és ( − ) nullsorozat, és

( − ) is nullsorozatok.

( − ) + ( − ) nullsorozat a 9.2-es tétel miatt. Ezért lim = .

10. Rendezés és műveletek az ℝ halmazon. A műveletek és a határérték kapcsolata.

10.1. MűveletekTegyük fel, hogy ( ) és ( ) sorozatok tágabb értelemben konvergensek és lim ∶= ∈ ℝ, lim ∶= ∈ ℝ, ekkor:(1.) ( + ) tágabb értelemben konvergens és lim ( + ) = + , ha +értelmes(2.) ( ∙ ) tágabb értelemben konvergens és lim ( ∙ ) = ∙ , ha ∙

értelmes

(3.) ha ( ) ≠ 0 ( ∈ ℕ) és ≠ 0 is teljesül, akkor az tágabb értelemben

konvergens és lim = ha értelmes.

Biz.:Ha , ∈ ℝ, akkor a műveletek konvergens sorozatokra vonatkozó tétel miatt igaz.(1.):A bizonyításhoz tegyük fel, hogy: = ∞ ⇒ ∈ ℝ vagy = 0Ha ∈ ℝ: ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | − | <Mivel − < + és ∶= −

∀ < : ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >Ha = ∞: ∀ ∈ ℝ: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >Mivel : = ∞: ∀ − > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : > −Összeadva az utolsó két egyenlőtlenséget, kapjuk:

∀ > 0: ∃ ∶= max{ , }: ∀ ≥ : + >Tehát lim ( + ) = ∞. Hasonlóan = −∞-re.

(2.):A bizonyításhoz szintén tegyük fel, hogy: = ∞ és > 0.A határérték értelmezéséből következik, hogy

∀ < : ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >továbbá

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >

Összeszorozva a két egyenlőtlenséget, kapjuk:∀ > 0: ∃ ∶= max{ , }: ∀ ≥ : >

Ez azt jelenti, hogy ( ∙ ) konvergens és l lim ( ∙ ) = ∞. A másik három állításthasonlóan lehet belátni.

9

(3.):Az állítás a szorzatra és a reciprokra vonatkozó tétel következménye. Éppen ezért elég

azt megmutatni, hogy ha ∈ {−∞, +∞}, akkor → 0.

=1

Tegyük fel, hogy = ∞:

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : >1

Ebből következik, hogy

∀ ≥ :1

<

Másrészről > 0, ha ≥ . Tehát

∀ > 0: ∃ ∶= max{ , }:1

<

Tehát lim = 0. Ezt akartuk megmutatni. A többi eset hasonlóan bizonyítható.

10.2. Műveletek és határérték kapcsolata

11. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bolzano-Weierstrass-félekiválasztási tétel.

11.1. RészsorozatHa : ℕ → ℝ sorozat és : ℕ → ℕ indexsorozat, akkor az ∘ : ℕ → ℝ sorozatot azrészsorozatának nevezzük.

11.2. Minden sorozatnak van monoton részsorozatMinden : ℕ → ℝ sorozatnak van monoton részsoroazata.

Biz.:A bizonyításhoz vezessük be a csúcs fogalmát.Csúcs: ∈ ℕ az ( ) sorozat csúcsa, ha ∀ > -ra < .1. eset: végtelen sok csúcsa van -nak:Legyen a csúcsok szigorúan monoton növekedő sorozata. Ekkor csúcs, hiszen

∀ > : > ⇒ >ugyanis > , tehát is csúcs. Így

∀ > : > ⇒ >ugyanis > . Ezt az eljárást folytatva:

> > …Tehát ∘ szigorúan monoton fogy.2. eset: véges sok csúcsa van -nak:Ekkor legyen a legnagyobb csúcs .Ha nem csúcs, akkor ∃ ≥ : ≤ .Legyen = + 1 = ez nem csúcs, tehát:

∀ > + 1 = : ≤ ≤Így nem csúcs, ekkor ∃ = : > és ≤ .Ezt az eljárást folytatva kapjuk : ℕ → ℕ indexsorozat, hogy:

10

≤ ≤ …Tehát ∘ monoton nő.

11.3. Monoton sorozatok konvergenciája11.3.1.:Tegyük fel, hogy ( ) monoton nő és felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens éslim = sup

Biz.:∀ ∈ ℕ: ≤ sup ( ) és ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: > sup( ) −

( ) monoton nő, ekkor:≥ ha ≥ ⟹

⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : sup( ) − < ≤ ≤ sup( ) ⟹⟹ ∀ ≥ : | − sup( )| < ⟹ lim = sup( )

11.3.2.:Tegyük fel, hogy ( ) monoton csökken és alulról korlátos, ekkor ( ) konvergens éslim = inf

Biz.:∀ ∈ ℕ: ≥ inf ( ) és ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ: > inf( ) −

( ) monoton csökken, ekkor:≤ ha ≥ ⟹

⟹ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : inf( ) + ≥ ≥ ≥ inf( ) ⟹⟹ ∀ ≥ : | − inf( )| < ⟹ lim = inf( )

11.4. A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel.Ha ( ) korlátos akkor ∃ indexsorozat, hogy ∘ konvergens.

Biz.:∃ indexsorozat, hogy ( ) ∘ monoton.De ( ) ∘ korlátos is (alulról és felülről), ezért a monoton sorozatok konvergenciájáravonatkozó tétel miatt ( ) ∘ is konvergens.

12. Cauchy-féle konvergencia kritériumCauchy-sorozat:Az ( ): → ℝ sorozat Cauchy-sorozat, ha ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ és ∀ , ≥ ∶ | − | <

.

Cauchy-féle konvergencia kritérium:Az ( ): → ℝ sorozat konvergens akkor és csak akkor ha Cauchy-sorozat.Biz.:

Ha ( ) konvergens és ∶= lim , akkor

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : | − | <2

ekkor ∀ , ≥ :| − | = | − + − | ≤ | − | + | − | <

2+

2Tehát

11

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ , > : | − | <Ezzel az "oda" irányt beláttuk. Nézzük a vissza irányt.Ehhez tegyük fel, hogy ( ) Cauchy sorozatIgazoljuk, hogy ( ) korlátos!A Cauchy sorozat definíciójából ∶= 1 választás mellett azt kapjuk, hogy

∃ ∈ ℕ: ∀ , > : | − | < 1Ekkor legyen = esetén:

| | = | − + | ≤ | − |+| | < | | + 1következik. Ekkor legyen

∶= max {| |, | |, … , , , + 1}Ekkor ∀ ∈ ℕ indexre | | < , tehát ( ) korlátos.A Bolzano-Weierstrass-féle kiválasztási tétel szerint ( )-nek van egy ∘ konvergensrészsorozata.Legyen ∶= lim ∘Igazoljuk, hogy lim = .A határérték értelmezése alapján:

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : − <2

Továbbá, mivel ( ) Cauchy-sorozat:

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : − <2

Ekkor a háromszög egyenlőtlenség miatt| − | = − + − ≤ | − | + | − |

Tehát ∶= { , }, ekkor

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ > : | − | <2

+2

=Más szóval az ( ) konvergens, és határértéke .

13.

14. A geometriai sorozat határértéke. Az e szám bevezetése az + ∈ ℕsorozattal.

14.1. Geometriai sorozat:

lim→

=

0, | | < 11, = 1∞, > 1

∄, ≤ −1Biz.:Először igazoljuk a | | < 1 esetet:

Nyílván| |

> 1, így

1| |

= 1 +1

| |− 1

Alkalmazzuk 0 < ℎ ∶=| |

− 1-re a Bernoulli-egyenlőtlenséget:

1| |

= (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ

Ekkor

0 ≤ | | ≤1

1 + ℎA rendőr elv alapján lim| | = 0 ⇒ lim = 0.Ha| | > 1, akkor

| | = 1 + (| | − 1)

12

Ismét alkalmazzuk a Bernoulli-egyenlőtlenséget ℎ ∶= | | − 1-re:| | = (1 + ℎ) ≥ 1 + ℎ

Ekkor lim| | = ∞.Ha > 1, akkor lim = ∞.Ha = −1, akkor a (−1) sorozatot kapjuk, ami divergens.Ha < −1, akkor a sorozat váltakozó előjelű, és nem korlátos sem alulról, sem felülről,tehát divergens.

14.2. Tétel: ∀ ∈ ℕ: ≥ 1, ekkor:

1 +1

< 1 +1+ 1

Biz.:Használjuk a számtani mértani közép közötti összefüggést a következő számokra

1 +1

, 1 +1

, … 1 +1

, 1

összesen db 1 + van.

Ekkor

1 +1

∙ 1 <1 + 1 + 1

+ 1

Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek.

1 +1

<+ 2+ 1

= 1 +1+ 1

14.3. Tétel: ∀ ∈ ℕ: ≥ 1, ekkor:

2 ≤ 1 +1

< 4

Biz.:

A Bernoulli-egyenlőtlenséget alkalmazzuk ℎ ∶= -re, így

1 +1

≥ 1 +1

= 2

Felső korlát bizonyításához alkalmazzuk a számtani és mértani közép közöttiösszefüggést a következő számokra:

1 +1

, … 1 +1

,12

,12

összesen db 1 + van. Ekkor

1 +1

∙12

∙12

<+ 1 + 1

2 + 12

+ 2=

+ 2+ 2

= 1

Egyenlőség nem lehet, mert a számok nem egyenlőek. Így szorozzuk be 4-gyel, ekkor

1 +1

< 4

kapjuk, ami a bizonyítandó állítás.

14.4. Az e szám bevezetése:Láttuk, hogy

1 +1

sorozat monoton nő és korlátos. Tehát a sorozat konvergens és létezik valóshatárértéke. Legyen ez a határérték az . Azaz:

13

∶= lim 1 +1

.

15. Az √ , ∈ ℕ , √ , ∈ ℕ , , ∈ ℕ , ( !⁄ , ∈ ℕ), ( ! ,⁄ ∈ ℕ)sorozat határértéke.

15.1. √ , ∈ ℕ határértéke √ =Biz.:Először lássuk be > 1-re:A számtani és mértani közép közti összefüggést felhasználva adódik, hogy:

1 ≤ √ = √ ∙ 1 … 1 ≤( − 1) +

= + 1 −1

A rendőr elv miatt lim √ = 1.Ha = 1, akkor triviális.

Ha < 1, akkor > 1. Erre alkalmazva az előzőleg bebizonyított állítást kapjuk, hogy

1→ 1 ⟹

1√

→ 1 ⟹ √ → 1. ∎

15.2. √ , ∈ ℕ határértéke √ =Biz.:Alkalmazzuk itt is a számtani és mértani közép közti összefüggést, így:

1 ≤ √ = √ ∙ √ ∙ 1 … 1 ≤√ + √ + ( − 2)

=2

√+ 1 −

2

a rendőrelv miatt itt is lim √ = 1.

15.3. , ∈ ℕ határértéke =Ha | | < 1, ∈ ℕ és , rögzítettek, akkor:

lim→

= 0

Biz.:

Legyen| |

= 1 + ℎ. Ekkor:

1| |

= (1 + ℎ) = 1 + 1 ℎ + 2 ℎ + ⋯ + ℎ ≥ + 1 ℎ

vegyük mindkét oldal reciprokát

| | ≤1

+ 1 ℎSzorozzuk be mindkét oldalt -nal:

0 ≤ | | ≤ !( + 1)! ( − + 1)! ℎ

=( + 1)!

ℎ∙

!( − ) − ( − 1) …

=( + 1)!

ℎ∙

1

1 − 1 − − 1 … 1 − 1

A nevezőben + 1 tényező van.A rendőrelv miatt lim = 0.

14

15.4. ( !⁄ , ∈ ℕ) határértéke ! =⁄∀ ∈ ℝ, lim

!= 0.

Biz.:

0 ≤| |

!=

| | ∙ | | … | | … | |1 ∙ 2 … …

≤| |1

∙| |2

…| |

…| |

ugyanis, ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | ≤ 1. Ilyen például a ( ∶= [| |] + 1).

Ekkor a rendőrelvet felhasználva, kapjuk, hogy lim | |!

= 0.

15.5. ( ! ,⁄ ∈ ℕ) határértéke ! =⁄

Biz.:!

=1

∙2

… ≤1

→ 0 ⟹

lim ! = 0.

16. Végtelen sor fogalma, konvergenciája, összege. Cauchy-féle konvergenciakritérium.A konvergencia egy szükséges feltétele.

16.1. Végtelen sorDef.: Az ( , ∈ ℕ) sorozat által meghatározott = + +. . . + sorozatot (az

által generált) végtelen sornak nevezzük. Jelölés: ∑ . a sorozat n-edikrészletösszege.

16.2. Végtelen sor konvergenciájaDef.: ∑ sor konvergens, ha az sorozat konvergens.

Ha -nek létezik határértéke, akkor a ∑ sor összege ez a határérték, azaz∑ = lim .

16.3. Végtelen sor összegeDef.: ∑ sor konvergens, ekkor a lim → (∑ ) ∈ℕ = lim számot a

végtelen sor összegének nevezzük.Jelölés: (∑ ) = lim

16.4. Cauchy-féle konvergenciakritériumDef.: ∑ akkor és csak akkor konvergens, ha ∀ > 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ , > :

|∑ | < .

Biz.:∑ konvergens, akkor és csak akkor, ha ( ) konvergens

⟺ ∀ > 0: ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ , > : | − | <De

| − | = < . ∎

16.5. A konvergencia egy szükséges feltételeDef.: Ha ∑ konvergens, akkor lim = 0.

15

Biz.:Tegyük fel, hogy ∑ konvergens, ekkor:

> 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ , > : <

Legyen ∶= + 1, így | | <Tehát

> 0, ∃ ∈ ℕ, ∀ , ≥ : | | <Ez az jelenti, hogy az sorozat a 0-hoz tat.

17. Nevezetes sorok: a geometriai sor, teleszkópikus sor, a ∑ sor, a harmonikus sor.

17.1. Geometriai sorDef.: ∈ ℝ, ekkor ∑∑ akkor és csak akkor konvergens, ha | | < 1 és ekkor az összege.

Biz.:

= = 1 + + ⋯ + =+ 1, ℎ = 1 (1. )

1 −1 −

, é é (2. )

(1.) eset: ekkor ∑ divergens(2.) eset: ekkor sorozat konvergens ⟹ | | < 1, ekkor lim = 0.Ekkor

= lim =1

1 −

17.2. Teleszkópikus sor

Def.: ∑( )

konvergens és ∑( )

= 1.

Biz.:

=1

1 ∙ 2+

12 ∙ 3

+ ⋯ +1

( + 1)

( ) felírható parciális törtként:

( )= −

Ekkor:

=11

−12

+12

−13

+13

−14

+ ⋯ +1

−1+ 1

= 1 −1+ 1

→ 1 ⟹

⟹1

( + 1)= 1

17.3. ∑ sor

Def.: ∑ konvergens és ∑ ≤ 2.

Biz.:

≤ ( ) , ekkor:

16

= 1 +1

2+

13

+ ⋯ +1

≤ 1 +1

1 ∙ 2+

12 ∙ 3

+ ⋯ +1

( − 1)= 1 + 1 −

1=

= 2 −1

⟶ 217.4. Harmonikus sor

Def.: ∑ sor divergens és ∑ = ∞

Biz.:-hez válasszuk meg -t úgy, hogy:

2 ≤ ≤ 2

= 1 +12

+13

+14

+15

+ ⋯ +18

+ ⋯ +1

2 + 1+ ⋯ +

12

∙

+1

2 + 1+ ⋯ +

1

Minden zárójeles rész ≥ 2 ⟹ ≥

→ ∞ ⟹ → ∞ ⟹2

→ ∞ ⟹ ( ) → ∞

18. Az -re vonatkozó = ∑! előállítás. Az irracionális szám , < < 2,8.

18.1. Def.:

∶= 1 +1

18.2. Tétel:

(1.) = ∑!

(2.) − ∑!

<∙ !

∀ ≥ 1(3.) ∉ ℚ

Biz.:(1.):A bizonyításhoz alkalmazzuk a binomiális tételt, ekkor

1 +1

=1

=!

( − )! !∙

1=

=1!

∙( − + 1)( − + 2) …

!=

=1!

1 −− 1

1 −− 2

… 1 −1

∙ 1 <1!

<1!

mivel a hányados kritérium miatt ∑! konvergens.

Ha ∑! akkor a definíció miatt

∶= 1 +1

≤1!

De rögzített ∈ ℕ-re ∀ ≥ :

1!

1 −− 1

1 −− 2

… 1 −1

∙ 1 ≥

17

≥1!

1 −− 1

1 −− 2

… 1 −1

∙ 1

Ekkor ∀ ∈ ℕ

= lim→

1 +1

≥1!

Az előző kettő miatt = ∑!

(2.):

A bizonyításhoz bontsuk ki: − ∑! ekkor:

−1!

=1!

−1!

=1!

=1

( + 1)!+

1( + 2)!

+1

( + 3)!+. . =

=1

( + 1)!1 +

1+ 2

+1

( + 2)(+3+ ⋯ <

<1

( + 1)!1 +

1+ 1

+1

( + 1) + ⋯ =1

( + 1)!1+ 1

=

=1

( + 1)!∙

1

1 − 1+ 1

=1

( + 1)!∙

+ 1=

1∙ !

Ezzel beláttok az állítást.

(3.):Indirekt bizonyítjuk: tegyük fel, hogy ∈ ℚ, ekkor ∈ , , , ∈ ℕ legyen =

∑!

0 < − <1∙ !

0 < − <1∙ !

0 < ∙ ! − ∙ ! <1

De

∙ ! = ( − 1)! ∈ ℕ ∙ ! = ! ∙1!

∈ ℕ

előző miatt

∙ ! − ∙ ! ∈ ℤ

0 < ∙ ! − ∙ ! <1

Viszont ez ellentmondás mivel < 1 (∀ ∈ ℕ ) azaz 0 és 1 között találtunk egész

számot, ami nem lehetséges.

18

19. Pozitív tagú sorok konvergenciája. Az összehasonlító kritérium.

19.1. Pozitív tagú sorok konvergenciájaDef.:A ∑ pozitív tagú sor konvergens, akkor és csak akkor,ha ∶= ∑sorozat konvergens

Biz.:≤ (∀ ∈ ℕ), hiszen = + és ≥ 0.

Ekkor∑ konvergens ⟺ ( ) konvergens ⟺ ( ) korlátos.

19.2. Összehasonlító kritériumDef.:Legyenek ∑ és ∑ nemnegatív tagú sorok és létezik ∈ ℕ, hogy 0 ≤ ≤minden ≥ -re. Ekkor:(1.) ha∑ konvergens, akkor ∑ is konvergens.(2.) ha ∑ divergens, akkor ∑ is divergens.

Biz.:Jelölje:

∶= ∶=

ekkor ≤ (∀ ≥ ).A (1.)-es bizonyításához tegyük fel, hogy ∑ konvergens, akkor ∑ iskonvergens. Ekkor ( ) korlátos. De ekkor ( ) is korlátos. Az előző tétel miatt a∑ konvergens. Mivel a sorozat nem függ az első "néhány" tagtól, ezért ∑is konvergens.A (2.)-es bizonyításához induljunk ki abból, hogy ∑ divergens. Ekkor ∑ isdivergens, azaz az ( ) nem korlátos. Ekkor azonban ( ) sem korlátos, így ∑divergens, tehát ∑ is divergens.

20. A gyök- és hányadoskritérium

20.1. GyökkritériumDef.:Tegyük fel, hogy létezik lim | |. Ekkor:

(1.) Ha lim | | < 1, akkor a ∑ sor abszolút konvergens.

(2.) Ha lim | | > 1, akkor a ∑ sor divergens.

Biz.:Legyen ∶= lim | |.(1.)-ben feltettük, hogy < 1. Ekkor ∃ ∈ ℝ: < < 1. Ekkor

∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | < ⟹ | | <De ∑ konvergens, ha < 1. Az összehasonlító kritérium miatt ∑| |konvergens, azaz ∑ abszolút konvergens.

A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > 1 ⟹ ∃ ∈ ℝ: 1 < < . Tehát∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | > ⟹ | | >

19

Ekkor ( ) divergens (hiszen 1 < ), így az összehasonlító kritérium miatt ∑divergens.

20.2. HányadoskritériumDef.:

Tegyük fel, hogy ≠ 0 ( ∈ ℕ) és létezik lim | || |

.

(1.) ha lim | || |

< 1, akkor a∑ sor abszolút konvergens.

(2.) ha lim | || |

> 1, akkor a ∑ sor divergens.

Biz.:

Legyen = lim | || |

(1.)-ben feltettük, hogy < 1. Ekkor ∃ ∈ ℝ: < < 1. Ekkor:

∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : | | < ⟹| |

| |<

azaz ha ∈ ℕ:| | ≤ | |

Ha a kapott első egyenlőtlenséget összeszorozzuk, akkor:

∙ … ≤ ∙ ∙ … | |egyszerűsítés után

| | ≤ | | ∙De ∑ konvergens, ha < 1. Az összehasonlító kritérium miatt ∑| |konvergens, azaz ∑ abszolút konvergens.

A (2.) bizonyítása hasonlóan történik. > 1 ⟹ ∃ ∈ ℝ: 1 < < . Tehát

∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ :| |

| |> > 1

Az előző részhez hasonlóan, most is szorozzuk össze az első egyenlőtlenséget,majd egyszerűsítés után kapjuk:

> | | ∙De ∑ divergens, így az összehasonlító kritérium miatt ∑ divergens.

21.

22. Abszolút konvergens sorok.

22.1. Def.:A ∑ abszolút konvergens, ha ∑ | | konvergens.

22.2. TételTegyük fel, hogy ∑ abszolút konvergens, ekkor ∑ konvergens is.

Biz.:∑ abszolút konvergens, alkalmazzuk a Cauchy-kritériumot, azaz:

20

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : > : | | <

De a háromszög-egyenlőtlenséget felhasználva kapjuk, hogy

≤ | |

Azaz

∀ > 0: ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : > : <

Tehát ∑ konvergens.

23. Tizedes törtek

23.1. Def.:: ℕ → {0,1,2, … ,9}, akkor a ∑ sor konvergens és ∑ ∈ [0,1]

Biz.:

10≤

910

⟹10

≤9

10

De9

10=

910

110

konvergens, mert geometriai sor. De ennek ki tudjuk számolni az összegét is

910

=9

101

10=

910

∙1

1 − 110

= 1

0 ≤10

≤ 1

23.2. TételDef.:Ha ∈ [0,1] akkor létezik ( ): ℕ → {0,1,2, … ,9}, hogy = ∑ .

Biz.:Osszuk fel [0,1]-et 10 egyenlő részre.Ekkor ∃ intervallum, hogy ∈ és

=10

,+ 1

10Majd 10 egyenlő részre osztjuk -et is. Ekkor

∃ ⊂ , ∈ : =10

+10

,10

++ 1

10Ezt az eljárást folytatva ∃ : ℕ ⟶ {0,1,2, … ,9}, hogy

=10

+10

+ ⋯ +10

≤ ≤10

+10

+ ⋯ ++ 1

10

21

Ekkor = , + és

∈ ⟹ | − | <1

10⟶ 0

Azaz

lim | − | = 0 ⟹ lim = 0 ⟹10

=

Jelölés: = 0, …

23.3. EgyértelműségAz előállítás nem egyértelmű, hiszen 0,1=0,09999… ugyanis:

0,09999 … =9

10=

910

110

=9

10∙

1

1 − 110

=1

10

23.4. Def.: A 0, … véges tizedes tört, ha ∃ ∈ ℕ: ∀ ≥ : = 0.

23.5. Állítás: Igazolható, hogy a véges tizedes törteknek nem egyértelmű a felbontása.A nem véges (végtelen) tizedes törtek egyértelműen írhatók fel.

23.6. Def.: A 0, … … … … tizedes törtet végtelen szakaszos tizedes törtneknevezzük.

23.7. Állítás: Igazolható, hogy ha ∈ [0,1] ∩ ℚ, akkor véges tizedes tört, vagy végtelenszakaszos tizedes tört.

24.25.26. Végtelen sorok szorzása

26.1. Def.:∑ és ∑ végtelen sorok. Akkor ezek:(1.) téglányszorzata:

× =

={ , }

(2.) Cauchy-szorzata:

× =

=

(3.) Sorösszeg-szorzata:

× =

22

=

(4.) Oszlopösszeg-szorzata:

× =

=

26.2. TételTegyük fel, hogy ∑ és ∑ konvergens és ∑ = és ∑ = . Ekkor ezek:(1.) téglányszorzata,(2.) sorösszeg-szorzata(3.) oszlopösszeg-szorzata is konvergensek és a sorösszeg AB.Biz.:(1.)Írjuk fel a téglányszorzat definícióját:

={ , }

Ekkor a szorzat részletösszege

=( , )

= →

tehát ∑ konvergens és

=

(2.) bizonyítása hasonlóan:

= = = ∙ →

tehát ∑ konvergens és

=

(3.) bizonyítása hasonlóan:

= = = ∙ →

tehát ∑ konvergens és

=

26.3. Def.:Ha ∑ és ∑ abszolút konvergens sorok és ∑ = , ∑ = , akkor ezekCauchy szorzata, téglányszorzata, sorösszeg szorzata és oszlopösszeg szorzata isabszolút konvergens és összegük AB.

23

Biz.:Legyen ∅ ≠ ⊂ ℕ ∶= ℕ × ℕ. Ha -ek diszjunktak, és ⋃ = ℕ .Tekintsük a

( , )∈sort. Legyen:

= | |( , )∈

Nyilván sorozat monoton nő.Igazoljuk, hogy ( ) felülről korlátos.Jelölje az -ben lévő legnagyobb indexet. Ekkor:

≤ | | ∙ | | ≤ | | ∙ | | ≤ ∞

Tehát az felülről korlátos, ekkor ( ) konvergens.De ekkor ∑ ∑ | |( , )∈ konvergens, azaz ∑ ∑( , )∈ abszolútkonvergens.DE: minden átrendezésnek ugyanaz az összege. Tudjuk viszont, hogy ∑ = azelőző tétel miatt. Tehát az összeg mindig AB. Azaz

( , )∈

=

Ebből következik, hogy mind a négy szorzatsor abszolút konvergens.

27.