anap document anapserge rochain. 2) la terre tourne autour du soleil ? non, pas vraiment, pourquoi ?
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INITIATION À LA MÉCANIQUE
CÉLESTE(PREMIÈRE PARTIE)
LE GÉNIE DE KEPLER
ANAP
Document ANAP Serge Rochain
1) Le ciel et tout ce qu’il contient tourne autour de la Terre ? NON!
2) La Terre tourne autour du Soleil ?
Non, pas vraiment,
pourquoi ?
Imaginons deux Soleils identiques en orbite l’un autour de l’autre
Analogie
L’égalité : P1.L1 = P2.L2
Calcul : distance Terre-Soleil = 150 millions de km
Rayon solaire 698 000 km et masse de 333000 fois la Terre
Question : A quelle distance sous la surface du Soleil se
trouve le centre de masse du système Terre-Soleil ?
Ce n’est pas la Terre qui tourne autour du Soleil, mais le couple Terre Lune et la trajectoire de son centre de masse est une sinusoïde Qui trace la
même sinusoïde avec le centre de masse Soleil-Terre-Lune près du centre du Soleil
(Points rouge)
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Passons au calcul
Kepler qui n’en a pas compris la raison a
constaté que pour un corps en orbite de masse négligeable en regard de la masse de celui autour
duquel il orbite, il existe le
rapport suivant R3/T2 = K
Toutes les planètes ont une masse négligeable
comparée à celle du Soleil
De même la Lune comme tous les satellites que nous envoyons en orbite ont une
masse négligeable en regard de celle de la Terre
R3/T2 = K signifie que ce rapport R3/T2 est une constante pour tous
les objets dans un système où ces objets orbitent autour d’une
masse importante
Mais combien vaut cette constante K ?
Et bien cela ne dépend que des unités choisies !
Nous pouvons choisir les unités pour que K soit toujours égal à 1
Donc décidons que R3/T2 = 1 Puisque cette constante est valable pour toutes les planètes elle l’est
donc pour la Terre. La période orbitale de la Terre est de 1 an
donc R3/12 = 1
R ne peut donc qu’être égal à 1Donc 13/12 = 1
Mais quelle est cette unité qui assigne la valeur 1 à R ?
C’est l’unité qui mesure la distance Terre-Soleil et qui
n’est donc ici ni le mètre ni le km ni n’importe quelle autre unité de mesure de distance
usuelle, c’est la distance Terre-Soleil elle-même que l’on appelle UA pour Unité
Astronomique Et si R3/T2 = 1 alors R3 = T2
Conséquences ?
Connaissant la distance au Soleil d’une planète on peut aussitôt en déduire la période orbitale
(sidérale) en extrayant la racine carré du cube de la distance
et réciproquement, connaissant la période sidérale d’une
planète on obtient aussitôt sa distance au Soleil en extrayant la racine cubique du carré de la
période
1) Observer deux passage consécutifs au méridien de la planète depuis le Soleil
2) Observer deux passage consécutifs au méridien d’une même étoile depuis la planète elle-même
3) Seule solution réaliste : Observer deux passages consécutifs au méridien de la planète depuis la Terre ce qui nous fournira notre commune période synodique et nous en déduirons la période sidérale de la planète
Mais comment savoir la période sidérale d’une
planète ?
Vous connaissez ce problème amusant ?
Sur une montre à aiguilles, à quelles heures les
aiguilles se recouvrent-elles exactement ?(à 10 secondes près)
Le temps écoulé entre deux superpositions d’aiguilles s’appelle la
période synodique
(1TdC/60) t – (1TdC/720)t = 1TdC(1TdC/60 – 1TdC/720) t = 1TdC et en divisant par (1TdC) t1/60 – 1/720 = 1/t = 0,0152781/0,015278 = 65,45 minutes
C’est donc à chaque heure entière majorée de 5,45 minutes que les deux aiguilles se recouvriront exactement0 h; 1h5,45 mn; 2h10,91mn; 3h16,3635mn; 4h21818; 5h27,2725mn; 6h32,727mn….
Choisissons l’unité de temps minute.
La grande aiguille fait 1 tour de cadran (1TdC) en 60 minutes, alors que la petite le parcourt en 12 heures, soit 720 minutes. La grande aiguille distance la petite dès le départ de la cours et la rattrape lorsqu’elle aura fait exactement un tour de cadran de plus en un temps t. Ceci se traduit par l’équation suivante :
Au bout de la grande aiguille mettez la Terre et au bout de la
petite mettez Mars
(2p/pT) t – (2p/pP)t = 2p
Divisons par 2p et t
Si planète extérieure 1/ pT - 1/pP = 1/t
Si planète intérieure 1/ pT + 1/pP = 1/t
Prenons le cas de Mars, planète supérieure (ou extérieure) et déterminons sa période
synodique «t» à partir de sa période sidérale de 1,8808 années terrestres
1/ pT - 1/pM = 1/t
pT = 1 donc 1/ pT = 1 et pM = 1,8808
Nous avons donc 1 – 1/1,8808 = 0,4683 = 1/t
et «t» = 1/0,4683 = 2,1353 = période synodique de Mars
Mais le problème à résoudre est inverse, car ce que nous observons est la période synodique et nous devons
en déduire la période sidérale
Les règles algébriques donnent tout de suite la
solution
si 1 - 1/pM = 1/t
t étant la période synodique que nous
connaissons par l’observation,
Alors 1- 1/t = 1/pM
1- 1/t = 1/pM
et pour Mars, nous avons donc
1-1/2,1353 = 0,5317 = 1/pM
pM = 1,8808 (années-terrestres) = période
sidérale
Déterminez la période sidérale à partir de la période synodique
pour quelques planètes
Planètepériode
synodique / Terre
Période sidérale
Mercure 0,3173Vénus 1,5987
Mars 2,1354 ?
Jupiter 1,0921Saturne 1,0352Uranus 1,0120
Neptune 1,0061
Périodes sidérales
Planètepériode
synodique / Terre
Période sidérale
Mercure 0,3173 0,2408
Vénus 1,5987 0,6152
Mars 2,1354 1,8808
Jupiter 1,0921 11,861
Saturne 1,0352 29,446
Uranus 1,0120 84,011
Neptune 1,0061 164,79
Maintenant en vertu de R3=T2
Déterminez la distance au Soleil
Planète
Période
sidérale
Distance au
Soleil
Mercure 0,2408
Vénus 0,6152
Mars 1,8808 ?
Jupiter 11,8608
Saturne 29,4463
Uranus 84,0114
Neptune 164,7930
Distance des planètes au Soleil
PlanètePériode sidéral
e
Distance au
Soleil Mercure 0,2408 0,38711Vénus 0,6152 0,72334Mars 1,8808 1,52367
Jupiter 11,8608 5,20088
Saturne 29,4463 9,53572
Uranus 84,0114 19,1819
Neptune 164,7930 30,0579
Maintenant un petit problèmePourquoi dit-on qu’un satellite géostationnaire doit orbiter à
36000 km au-dessus de la surface du sol ? Justifiez le .
Rappel : La Lune boucle son orbite à 384000 km du centre de la Terre en 27,3 jours, et le diamètre de la Terre est de 12700 km.
Réponse
3840003√27,32
−6350=36000𝑘𝑚
Document ANAP
Serge Rochain