anclajes en rocas con aplicacion a túneles (ok)

Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles 23

ante el movimiento de la cua, se debe encontrar la direccin del movimiento del bloque. La direccin del movimiento se obtiene a travs de operaciones vectoriales que representan la cinemtica del bloque, considerando los planos y las intersecciones respecto al eje gravitacional (vertical). La explicacin del vector del movimiento se encuentra ms adelante en el captulo de Diseo de Anclajes. Respecto a la direccin del movimiento los tipos de falla de la barra o cable de anclaje pueden ser [5]: Desprendimiento o Pullout, falla por traccin, falla de cabezal o Stripping y falla por corte. La Figura 1-8, presenta los tipos de fallas de la barra o cable de anclaje respecto a la direccin del movimiento.

Figura 1-8. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje segn la cua de roca

En la Figura 1-8 se observa la incidencia del bloque inestable en la falla del elemento de anclaje. Segn la ubicacin del anclaje respecto al movimiento de la cua, se puede presentar uno o ms mecanismos de falla en la barra o cable de anclaje. La Figura 1-9, identifica dos planos que delimitan el bloque inestable, uno sobre el cual se realiza el movimiento (plano deslizante) y otro en el cual se genera la separacin (plano de traccin).

R

Seccin de Excavacin

Falla por Corte

Falla por Traccin

Desprendimiento

Falla de Cabezal

Bloque Movilizado

Bloque Inicial

24 Anclajes en la mecnica de rocas con aplicacin a tneles

Figura 1-9. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje segn su ubicacin.

Fuente: Adaptado de Windsor, 1996 [6].

En la Figura 1-9 se observan seis mecanismos de falla posibles para una posible direccin de movimiento del bloque inestable. En los casos (a), (b) y (c) el anclaje se ubica sobre el plano de traccin, y se presenta un anclaje sometido principalmente a esfuerzos de traccin, donde adicionalmente para los casos (a) y (c) se esperara un componente de corte. En los casos (d), (e) y (f) el anclaje atraviesa el plano de corte, lo que representa un anclaje sometido principalmente a esfuerzos de corte, donde adicionalmente en el plano (d) se espera un componente de traccin y en el plano (f) un componente de compresin.

La forma en que se evala la resistencia del anclaje ante uno u otro mecanismo de falla, se hace mediante la utilizacin de factores de eficiencia. En el caso de cables la resistencia al corte y a la compresin es muy baja, lo cual le atribuye un coeficiente de eficiencia cercano a cero cuando el anclaje se ubica en los sectores sealados para los casos (d), (e) y (f), y cercano a uno en los casos restantes donde acta principalmente la resistencia a la traccin. Para el caso donde se considera una barra compuesta por fibra de vidrio, es similar a lo comentado para los cables, a diferencia que la fibra de vidrio presentara una resistencia mayor ante la compresin en el caso (f). La barra metlica de acero presenta mayor eficiencia al corte respecto a los cables y barra de fibra de vidrio, lo cual le representa un mayor coeficiente de eficiencia en los casos (d), (e) y (f). El coeficiente de eficiencia se debe adoptar en funcin de la

Discontinuidad de traccin

Discontinuidad de corte

Direccin del vector de

movimiento

a: Traccin + Corte b: Traccin pura c: Traccin + Corte d: Corte + Traccin e: Corte puro f: Corte + Compresin


inclinacin del anclaje respecto a la direccin del movimiento, donde se destaca que la mayor resistencia al corte respecto a un plano de falla se logra con pernos inclinados entre 15 y 30 grados [1], o a un ngulo igual a la resistencia friccional de la discontinuidad en la direccin del movimiento [5]. Otro factor que se debe revisar para determinar la eficiencia del perno adems de su inclinacin respecto al movimiento, es la ubicacin del anclaje respecto al centroide de la cua inestable, donde es usual que se desprecie la incidencia de momentos.

La resistencia a la traccin ha sido ampliamente investigada por diversos autores, entre los que se encuentran algunos ensayos desarrollados por Stillborg (1994) en Lule University en Suecia [3]. La Figura 1-10, presenta los resultados obtenidos por Stillborg en distintos tipos de anclajes ante esfuerzos de traccin. En la Figura 1-10 la fuerza de traccin en toneladas se ubica en la ordenada y la deformacin en milmetros medida en el cabezal de la barra de anclaje se encuentra en la abscisa.

Figura 1-10. Resultados obtenidos por Stillborg para diversos anclajes.

Fuente: Adaptado de Hoek [1].

En la Figura 1-10, se observa una mayor resistencia en el anclaje conformado por la fibra de vidrio, pero con una mayor deformacin. Esto sucede porque los elementos de fibra de vidrio presentan una mayor resistencia a la traccin, pero con menor mdulo de

Anclaje mediante resina y fibra de vidrio 22 mm

Anclaje mediante lechada y barra de acero 20 mm

Anclaje mediante resina y barra de acero 20 mm

Anclaje tipo Swellex

Anclaje mecnico 17,3 mm

a 150 mm

a 150 mm

Anclaje tipo Split Set SS39

Deformacin (mm)

Carg

a (to

nel

adas

)


deformacin respecto al elemento de acero. Se observa una resistencia similar en el sistema de anclaje mediante lechada respecto al sistema mediante resina, logrando una mayor deformacin creep el sistema compuesto por lechada. En la figura tambin se identifica el anclaje de expansin mecnica como el de menor resistencia a bajas deformaciones. El anclaje tipo Swellex se observa con mayor resistencia respecto al anclaje de tipo Split Set. En el diseo de sostenimiento mediante anclajes no slo importa la resistencia de rotura o fluencia, tambin importa la deformacin requerida para conseguir la carga de diseo. Al comparar los resultados obtenidos con fibra de vidrio y el elemento metlico, se observa que para una carga de 10 t el elemento metlico se deform un poco menos que un milmetro mientras la fibra de vidrio se deform un poco ms de cinco milmetros, lo que corresponde a una deformacin aproximadamente cinco veces mayor de la fibra de vidrio respecto a la barra metlica. Bajas deformaciones en rocas rgidas pueden generar la plastificacin de la roca, donde la consideracin de un sistema de anclajes altamente deformable puede que no evite un mecanismo de falla diferente a las cuas de roca. La fibra de vidrio presenta gran utilidad en el sostenimiento del frente de excavacin, donde se requiere de un material temporal de baja resistencia al corte para poder continuar con el avance de la excavacin. Por lo anterior, para evitar una deformacin inadecuada del macizo rocoso un sistema de anclaje como lo es cuando se considera fibra de vidrio, debe ser activo para lograr la carga especificada en el diseo.

Las deformaciones de los sistemas tambin pueden surgir como consecuencia de la deformacin de la placa, arandela y tuerca, que conforman el cabezal del sistema de anclaje. La Figura 1-11, presenta de forma general la curva esfuerzo deformacin que toman los sistemas de anclaje ante la aplicacin de cargas de traccin realizados por Stillborg.

De acuerdo a la Figura 1-11 y segn lo establecido por Stillborg, el pre-tensionamiento del sistema de anclaje requerido para evitar deformaciones excesivas se debe realizar hasta el punto P. El pre-tensionamiento se ve casi que obligatorio para los sistemas de anclaje mecnico, segn se observa en la figura Figura 1-10. En la prctica, para la verificacin de la capacidad de carga de los sistemas de anclaje se deben realizar ensayos in-situ de pull-Out o desprendimiento. Usualmente durante construccin se ensayan 5 anclajes por cada 50 instalados, 8 horas despus de la instalacin para los anclajes pasivos, y una hora luego de su instalacin para anclajes activos. La carga lograda durante el ensayo corresponde al 90% de la carga especificada en el diseo.


Figura 1-11. Curva general de fuerza deformacin, obtenida por Stillborg para anclajes mecnicos.

Fuente: Adaptado de Stillborg (1994) [4].

Se debe mencionar que los sistemas de anclaje mediante cables logran mayores longitudes, aunque en la actualidad son varios los fabricantes que presentan grandes longitudes mediante traslapos de barras metlicas eficientes. La longitud mnima de los anclajes en tneles segn el Cuerpo de Ingenieros de los Estados Unidos es de 2 m. Respecto al anlisis de cuas, al considerar una distribucin de anclajes se deben obtener las longitudes que atraviesan la cua inestable y las longitudes que atraviesan las cuas, para poder definir de forma acertada el sostenimiento inducido por un patrn o sistema de sostenimiento. Por otra parte, cuando el anclaje no atraviesa el centroide de la cua inestable, se debe considerar la incidencia de los momentos, los cuales podran reducir el factor de seguridad. El diseo del perno adems de su longitud y resistencia, debe considerar su localizacin y direccin, analizando el escenario del movimiento posible de la cua dadas unas cargas externas.

1.3.3 Falla del contacto roca lechada La falla en el contacto roca lechada sucede cuando se vence la resistencia friccional en la pared de la perforacin, donde se presenta el contacto entre el material de relleno y la roca. La Figura 1-12, identifica la zona donde acta la resistencia friccional en el contacto roca-lechada durante un proceso de pre-tensionamiento.

Deformacin (mm)

Carg

a (kN

) P


Figura 1-12. Esquema de resistencia friccional en el contacto roca lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.

El pre-tensionamiento del anclaje se realiza mediante la aplicacin de la carga F, generando la resistencia cortante T. La carga F acta como una accin y la carga T como una reaccin.

La resistencia T en el contacto de la lechada con la pared de la perforacin se debe al confinamiento que ejerce el relleno y a la adherencia del material de relleno con la roca. Debido a que la resistencia friccional se desarrolla en el permetro de la perforacin, la magnitud de la fuerza de friccin resistente depende del dimetro de la perforacin y de la longitud de empotramiento.

El esfuerzo de friccin en el contacto lechada roca se encuentra en funcin de la capacidad de la roca perforada para resistir la transferencia de esfuerzos, lo que corresponde a una propiedad intrnseca del macizo. El esfuerzo de friccin en el contacto roca lechada en macizos rocosos ms fracturados o de baja calidad geotcnica presentan un menor valor respecto a macizos menos fracturados y de mejores propiedades mecnicas. En macizos rocosos fracturados la re-inyeccin de lechada es una tcnica usada para incrementar el confinamiento del material de relleno.

En el caso particular de cuas de roca, la longitud del empotramiento se encuentra en funcin de la superficie de falla o discontinuidad que atraviesa el sistema de anclaje. La Figura 1-13, presenta la resistencia friccional en el contacto roca lechada cuando se presenta un mecanismo de falla en cua.

La Figura 1-13, presenta claramente la incidencia de la geometra de la cua de roca en la resistencia del sistema de anclaje, donde se aprecia la importancia de la longitud del anclaje. Por lo general, en taludes los anclajes se disean para que la resistencia friccional en el contacto roca lechada sea mayor a la resistencia a la traccin de la barra, lo que en tneles representa sistemas ineficientes de gran longitud. Esto se analiza en mayor profundidad ms adelante en el captulo de Diseo de Anclajes.

Lechada

T

Barra

F

Longitud de empotramiento


Figura 1-13. Esquema de resistencia friccional en el contacto roca lechada durante el mecanismo de falla en cua.

1.3.4 Falla del contacto barra lechada Al igual que en el contacto roca lechada, en el contacto barra lechada se presenta una resistencia friccional que impide que el anclaje se desprenda del relleno. La Figura 1-14, presenta el esquema de la resistencia friccional en el contacto barra lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.

Figura 1-14. Esquema de resistencia friccional en el contacto barra lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.

El esfuerzo de resistencia en el contacto barra lechada es denominado por varios autores como el esfuerzo de adherencia A. Para aumentar el esfuerzo de adherencia del sistema de anclaje se deben usar barras corrugadas que aumenten la friccin en el contacto con la lechada.

Investigaciones realizadas sobre esfuerzos de adherencia de los sistemas de anclaje han demostrado que el valor obtenido supera la resistencia friccional en el contacto lechada roca [2]. Considerando que el sistema de anclaje se disea para que falle la barra o cable antes que el contacto roca lechada, se asume que la falla en el contacto barra lechada no sucede cuando se realiza un correcto diseo del sistema.

Lechada

T

Barra

F

Longitud de empotramiento

Cua de roca

Lechada

A

Barra

F

Longitud de adherencia


2 Bloques de Roca Inestables

En el captulo anterior se presenta la importancia del bloque inestable en la definicin de la resistencia del sistema de anclaje. En este captulo se presenta la metodologa utilizada para definir la ubicacin, la forma, el volumen, las reas, los permetros y los vectores unitarios internos y externos del bloque de roca inestable, siendo lo fundamental debido a la incidencia que tienen en el diseo de un sistema de anclajes ante el mecanismo de falla en cua. La ubicacin y la forma del bloque inestable permiten calcular la longitud y la direccin del sistema de anclaje que lo atraviesa. El tamao del bloque representado por su volumen, los permetros y las reas, permiten estimar las acciones y reacciones del posible movimiento. La ubicacin y los vectores unitarios internos o externos a las reas del bloque, definen la direccin del posible movimiento.

Los bloques de roca se componen de material rocoso delimitados por discontinuidades, y son inestables cuando presentan una posibilidad cinemtica de ingresar a la seccin de excavacin de la obra subterrnea. Las discontinuidades definen el contacto entre el bloque de roca y la roca circundante, siendo la superficie de falla del mecanismo en cua.

Para determinar el bloque de roca potencialmente inestable se utilizan las expresiones matemticas que definen las orientaciones de las discontinuidades y de las intersecciones entre discontinuidades. La teora considerada para obtener la geometra del bloque de roca se basa en las expresiones matemticas que definen la orientacin de las lneas de interseccin entre las discontinuidades, y para obtener las expresiones matemticas de la lnea de interseccin se utilizan los vectores normales a los planos de discontinuidad. La Figura 2-1, presenta el vector de interseccin conformado entre dos planos de discontinuidad.

Figura 2-1. Vector de interseccin entre dos planos de discontinuidad.

Plano de discontinuidad 1

Plano de discontinuidad 2 Vector de Interseccin


Como se observa en la Figura 2-1, la lnea de interseccin se puede entender como un vector unitario, donde se requiere conocer su sentido y direccin. Matemticamente los planos de discontinuidad y las lneas de interseccin se definen mediante vectores unitarios, siendo en el caso de un plano de discontinuidad el vector normal. El sentido de los vectores se considera hacia el hemisferio inferior y la orientacin se define mediante los cosenos directores unitarios.

La

Figura 2-2, presenta como se define una lnea recta al proyectar el vector de interseccin e un plano, y al establecer un punto de origen o de referencia, por donde pasa la recta.

Figura 2-2. Proyeccin de un vector en un plano, al definir un punto de origen o de referencia.

En este captulo se demostrar como el anlisis de las intersecciones proyectadas permitirn identificar los bloques de roca inestables, de volumen mximo, al proyectar los vectores de interseccin en un plano perpendicular al eje de un tnel. Inicialmente se definen las expresiones matemticas de los vectores que definen los planos de discontinuidad y lneas de interseccin, seguido de la descripcin de la metodologa propuesta para la obtencin de las caractersticas fundamentales de los bloques de roca inestables. Finalmente se realiza una comparacin con los resultados obtenidos en un programa de cmputo desarrollado por Rocscience .

2.1 Vectores unitarios de las discontinuidades y lneas de interseccin

Los elementos que permiten orientar los planos de discontinuidad para su fcil interpretacin y posterior anlisis, son: Rumbo y Buzamiento. Los elementos considerados para orientar las intersecciones entre planos de discontinuidad son: Buzamiento y Azimut de Buzamiento. Para unificar la forma de presentar la orientacin del vector unitario de las discontinuidades y lneas de interseccin, se utiliza el azimut de buzamiento.

Vector de interseccin en el espacio

y

x

Recta de interseccin proyectada

Plano de Proyeccin x y

Punto de origen o de referencia


Para orientar los planos de discontinuidad y lneas de interseccin se adopta el sistema coordenado x () positivo al Norte, y () positivo al Este y z () positivo hacia el hemisferio inferior, garantizando que se cumple la regla de la mano derecha.

La interpretacin visual que ofrece la representacin estereogrfica equingulo, facilita el anlisis trigonomtrico requerido para obtener los cosenos directores de los vectores rumbo y buzamiento de las discontinuidades e intersecciones. El anlisis trigonomtrico de la representacin estereogrfica permite obtener los cosenos directores.

Los vectores de rumbo y la proyeccin del buzamiento en un plano definido por el azimut de buzamiento, son requeridos para la demostracin matemtica del vector de buzamiento. La Figura 2-3, presenta la orientacin de los vectores Rumbo, Buzamiento y Azimut de Buzamiento en el hemisferio inferior de la representacin estereogrfica.

Figura 2-3. Vector de rumbo, buzamiento y azimut de buzamiento, en hemisferio inferior de la representacin estereogrfica.

En la Figura 2-3 se observa el sistema coordenado N-S y E-W en el plano de proyeccin de la red estereogrfica, sobre el cual se encuentra el vector del Rumbo de la discontinuidad. En esta figura se observa el ngulo del azimut de buzamiento " " entre el Norte y el vector del azimut de buzamiento.

A continuacin se presenta el procedimiento matemtico que demuestra las expresiones de los cosenos directores para los vectores unitarios de rumbo y buzamiento.

2.1.1 Vector Unitario del Rumbo Como se observa en la Figura 2-3, si el vector unitario Rumbo se adopta a 90 del azimut de buzamiento y no registra componente en el coseno director del eje z, positivo


hacia el hemisferio inferior, significa que el vector unitario Rumbo se encuentra en funcin slo del ngulo " ". El azimut de buzamiento () se encuentra entre 0y 360. La Figura 2-4, presenta la ubicacin del vector rumbo en cada uno de los cuadrantes, en funcin del azimut de buzamiento, sobre el plano de proyeccin estereogrfica.

Figura 2-4. Representacin del vector rumbo, en los cuadrantes de la red estereogrfica.

En la Figura 2-4, se identifica el ngulo que se forma entre la lnea Este Oeste (E W) y el vector unitario del Rumbo. Este ngulo es de 360 en el primer cuadrante, es en el segundo cuadrante, es 180 para el tercer cuadrante y de 180 para el cuarto cuadrante. Estos ngulos cumplen las siguientes identidades trigonomtricas en la funcin seno y coseno respectivamente:

sen360 sen sen180 sen 180 cos360 cos cos180 cos 180

Las anteriores relaciones trigonomtricas permiten que para cualquier valor de " " la funcin sen representa el coseno director en x del vector unitario del rumbo, y la funcin cos representa el coseno director en y. De esta forma, el vector unitario del Rumbo en la discontinudiad , en funcin del azimut de buzamiento (), que cumple para todos los cuadrantes es:


!"# $ %&"' $ ()* (2-1) El vector de la expresin anterior se define como unitario por presentar una magnitud igual a 1, lo cual se comprueba con la siguiente expresin:

|r-| ./sen01 $ /cos012 1 2.1.2 Vector Unitario del Buzamiento La Figura 2-5, presenta el ngulo de Buzamiento "" en el corte generado por el vector del Azimut de Buzamiento. En esta figura, el vector de Buzamiento se encuentra en verdadera magnitud, dirigindose hacia el Este.

Figura 2-5. Vector de Buzamiento en verdadera magnitud, sobre el plano del Azimut de Buzamiento.

Para considerar que se trata de un vector unitario, se asume que la magnitud del vector es igual a uno. Segn la Figura 2-5, el vector que representa la inclinacin presenta las siguientes componentes:

0; cos; k sen La expresin anterior indica que el vector unitario del buzamiento proyectado sobre el plano N-S y E-W presenta una magnitud igual a 89:;. La Figura 2-6, presenta la ubicacin del vector unitario del Azimut de Buzamiento en cada uno de los cuadrantes del plano de proyeccin de la red estereogrfica. En esta figura se observa la magnitud proyectada del vector unitario de buzamiento, y el ngulo que forma el vector de azimut de buzamiento con la lnea E-W.


Figura 2-6. Representacin del vector unitario del Azimut de Buzamiento, en los cuadrantes de la red estereogrfica.

Ejecutando el mismo procedimiento realizado con el vector unitario del Rumbo, se obtiene que las componentes del vector unitario del Buzamiento son las siguientes:

sen90 = cos >sen90 = cos cos90 = sen? = cos cos = cos cos90 = cos >cos90 = cos $ sen90 = sen? = cos sen = cos k sen

De acuerdo a las expresiones anteriores, el vector unitario del Buzamiento es:

@A %& = %&BC* $ ! = %&BD* $ !B) (2-2) Las siguientes ecuaciones comprueban que se trata de un vector unitario:


EbE G>cos = cos?1 $ >sen = cos?1 $ >sen?12 EbE Gcos1 = >cos1 $ sen1? $ sen12 EbE 1

2.1.3 Vector Unitario de Interseccin El vector Unitario de la Interseccin entre dos planos de discontinuidad es igual al producto cruz entre los vectores normales a los planos de discontinuidad dividido entre su magnitud, de acuerdo a la siguiente expresin:

HI@ !H!@|!H!@| (2-3) Donde, !H: es el vector unitario normal al plano H, y !@: es el vector unitario normal al plano b. El vector unitario normal al plano a, es igual al producto cruz entre los vectores unitarios de Buzamiento y Rumbo, dividido en su magnitud de acuerdo a la siguiente expresin:

!H @HHK@HHK (2-4) El orden del producto cruz @H H de la ecuacin anterior, garantiza un vector normal hacia el hemisferio inferior, es decir, en direccin z positiva hacia abajo. Utilizando la ecuacin (3-4), se resuelve la determinante la siguiente matriz de 3x3, para obtener el vector normal a la discontinuidad H:

nL Det. P kcos = cos sen = cos sensen cos 0 P nL = >cos = sen? = >sen = sen?

$k = >sen = sen = cos $ cos = cos = cos? nL cos = sen sen = sen $ cos = >sen1 $ cos1?k

Finalmente se obtiene el vector normal unitario al plano H con la siguiente expresin: !H %&" = !BC* !" = !BD*$ %&B)R (2-5)


Al igual que los anteriores vectores unitarios, se comprueba que la expresin (3-5) corresponde a un vector unitario.

De acuerdo a la ecuacin (3-3), se debe resolver el producto cruz entre los dos vectores unitarios normales a los planos "a" y "b". El producto cruz entre estos dos vectores unitarios se obtiene de resolver el siguiente determinante:

nL nT Det. P kcosL = senL senL = senL cosLcosT = senT senT = senT cosTP Resolviendo el determinante de la expresin anterior, se tiene el siguiente resultado:

nL nT >senL = senL = cosT $ senT = senT = cosL? >cosL = senL = cosT $ cosT = senT = cosL? $ k>cosL = senL = senT = senT cosT = senT = senL = senL?

La anterior expresin se puede reducir de la siguiente forma:

nL nT = Dx $ = Dy $ k = Dz Dnde:

Dx senL = senL = cosT $ senL = senT = cosL XY !"@ = !B@ = %&BH !"H = !BH = %&B@ (2-6)

Dy >cosL = senL = cosT $ cosT = senT = cosL? XZ %&"H = !BH = %&B@ %&"@ = !B@ = %&BH (2-7)

Dz cosL = senL = senT = senT cosT = senT = senL = senL Dz senT = senL = >cosL = senT cosT = senL? X[ !B@ = !BH = > !"@ "H? (2-8)

La magnitud del producto cruz entre vectores unitarios es la siguiente:

|!H !@| GXY\ $ XZ\ $ X[\\ (2-9)


Finalmente, la expresin que representa el vector unitario de Interseccin es el siguiente:

HI@ XYC]XZD]X[)^GXY\]XZ\]X[\\ (2-10) Para obtener el buzamiento de esta lnea de interseccin, se igualan las ecuaciones (3-2) y (3-10), en su componente vertical "":

:en/_LIT0 DzGDx2 $ Dy2 $ Dz22 BaHI@ !Ib c X[GXY\]XZ\]X[\\ d (2-11)

Para obtener el azimut de buzamiento, se Igualan las ecuaciones (3-2) y (3-10), en sus componentes Norte y Este "","".

cos/_LIT0 = cos/_LIT0 DxGDx1 $ Dy1 $ Dz12 "aHI@ %&Ib e b%&/BaHf@0 = XY.XY\]XZ\]X[\\ g (2-12) sen/_LIT0 = cos/_LIT0 DyGDx1 $ Dy1 $ Dz12 "aHI@ !Ib c b%&/BaHf@0 = XZGXY\]XZ\]X[\\ d (2-13)

Es importante el orden en que se realiza el producto cruz entre los vectores unitarios normales a los planos de discontinuidad, segn la ecuacin (3-3), entre los planos denominados como h" y i". La forma de identificar que no se trata del orden correcto es porque un mal ordenamiento resulta en un valor del Buzamiento _LIT" negativo, al utilizar la expresin (3-11). Un Buzamiento negativo de la lnea de interseccin representa que el vector no se dirige hacia el hemisferio inferior de proyeccin.

Luego de identificar el orden correcto de los planos h" y i", se obtiene el azimut de buzamiento de la interseccin ""aHI@" mediante la expresin (3-12) y se realizan las siguientes revisiones: si el componente jk de la expresin (3-7) es positivo se utiliza el ngulo encontrado directamente de la expresin (3-12), de lo contrario el azimut es 360 menos el dato obtenido de la expresin (3-12).


2.2 Geometra del Mximo Tamao del Bloque Inestable

2.2.1 Definicin de Bloque Inestable y Bloque Crtico El Bloque Inestable en una excavacin subterrnea consiste en una pirmide de roca delimitada por los planos de discontinuidad con posibilidad cinemtica de ingresar a la seccin de excavacin, y es un Bloque Crtico cuando presenta el mximo tamao que puede tomar. El Bloque Crtico considera el mximo volumen de material rocoso delimitado por discontinuidades capaz de ingresar al tnel, y por cada seccin de excavacin existen varios Bloques Crticos. La Pirmide de Roca se refiere a la forma que toma el bloque inestable, delimitado por la interaccin de las discontinuidades presentes en un macizo rocoso.

El tamao del Bloque Crtico depende; del tamao y la forma de la seccin de excavacin del tnel, de la orientacin y pendiente del alineamiento del tnel, y del vector unitario de la Interseccin entre planos de discontinuidad o del vector unitario del Azimut de Buzamiento de las discontinuidades consideradas.

Una Pirmide de roca se forma si en el macizo rocoso se presentan al menos tres familias de discontinuidades, para que se generen tres lneas de interseccin. Para que el Bloque Inestable sea un Bloque Crtico al menos dos de las tres intersecciones entre planos de discontinuidad deben ser tangentes a la seccin de excavacin. El Bloque Crtico se obtiene al considerar tres sistemas de discontinuidades, debido a que si se incluye un cuarto sistema ste slo podra reducir su volumen.

La Figura 2-7, presenta dos vistas en perspectiva de un Bloque Crtico ubicado en la bveda de un tnel con seccin de excavacin circular, junto con los elementos que definen la forma del Bloque Crtico, es decir, la Pirmide de Roca.

En la Figura 2-7 se observa la ubicacin del pice, que se define como la punta del Bloque Inestable. Cuando el pice hace parte de uh Bloque Crtico, se denomina pice Crtico.

Son Vrtices los puntos de corte o contacto entre las intersecciones de los planos de discontinuidad que forman el Bloque Crtico y la seccin de excavacin. La Figura 2-7 presenta tres vrtices, uno por cada interseccin entre planos de discontinuidad.


(a) (b) Figura 2-7. Vista en perspectiva (a) y (b) de un Bloque Crtico ubicado en la bveda de un

tnel con seccin de excavacin circular.

Un Vrtice es Tangente cuando es producto del contacto entre la seccin de excavacin y una interseccin entre planos de discontinuidad que es tangente a la seccin. La Figura 2-7 presenta dos vrtices tangentes, uno en el contacto de la seccin con la interseccin entre los planos 1 y 3, y otro en el contacto de la seccin con la interseccin entre los planos 2 y 3. Se denomina Vrtice Secante cuando es producto del corte entre la seccin de excavacin y una interseccin que no es tangente a la seccin. La Figura 2-7 presenta un vrtice secante, en el contacto de la seccin con la interseccin entre los planos 1 y 2.

La Figura 2-8, presenta la vista frontal del mismo Bloque Crtico de la Figura 2-7, al considerar una seccin de excavacin circular. Esta figura adicionalmente seala las intersecciones entre los planos de discontinuidad que delimitan la Pirmide de Roca.

El plano yz que corresponde a una vista frontal de la seccin de excavacin presentada en la Figura 2-8, permite identificar claramente cules son las dos intersecciones tangentes y cul es la interseccin secante a la seccin de excavacin circular. El plano yz, corresponde a un corte perpendicular al eje del tnel, donde se aprecia en verdadera magnitud la seccin de excavacin.

Plano de Discontinuidad 1




Vrtice Tangente entre planos 1 y 3 (VT[1-3])


Vrtice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2])

pice pice


Figura 2-8. Vista frontal de un Bloque Crtico ubicado en la bveda de un tnel con seccin de excavacin circular.

En la Figura 2-8 se observa que el pice Crtico, correspondiente al Bloque Crtico, se obtiene directamente del cruce entre las dos intersecciones tangentes a la seccin de excavacin, la interseccin entre los planos 2 y 3, y la interseccin entre los planos 1 y 3. La otra interseccin puede ser o tangente o secante a la seccin de excavacin, para que se conforme la Pirmide de Roca. En el caso de la Figura 2-8, la interseccin entre los planos 1 y 2 es secante a la seccin de excavacin.

En la Figura 2-7 y Figura 2-8, se observa que existen otras intersecciones adicionales a las ocasionadas en el contacto entre planos de discontinuidad, y son las que se forman en el contacto entre los planos de discontinuidad y la seccin de excavacin o cara libre. A cada plano de discontinuidad le corresponde una interseccin con la seccin de excavacin.

La proyeccin de las lneas de interseccin en un plano perpendicular al eje del tnel, es la base de la metodologa adoptada para la identificacin de Bloques Crticos. A continuacin se presenta una descripcin del mtodo.

2.2.2 Tcnica alternativa para la obtencin de Bloques Crticos: Lneas principales y secundarias

El mtodo denominado como Lneas Principales y Secundarias, consiste en una tcnica alternativa a las teoras existentes para ubicar las coordenadas del pice y de los vrtices que le dan la forma el Bloque Crtico.

Interseccin entre planos 1 y 3





pice



Vrtice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2])


Esta tcnica consiste en proyectar las intersecciones entre planos de discontinuidad, tres para el volumen mximo, en un plano que corta perpendicular al eje del tnel. La Figura 2-8, muestra un ejemplo de corte perpendicular al eje del tnel, donde se ve en verdadera magnitud la geometra de la seccin de excavacin convencional en tneles prismticos, junto con los elementos que componen esta seccin: solera, hastiales y bveda. La bveda es la parte ms alta o clave de la seccin de excavacin, los hastiales son las paredes y la solera es el piso.

Figura 2-9. Rectas de una Interseccin proyectada, con dos puntos de referencia tangentes a la seccin de excavacin.

Sobre el plano de proyeccin propuesto, se observan las proyecciones de las aristas de la Pirmide de Roca conformadas por las intersecciones entre los planos de discontinuidad. Al considerar planos de discontinuidad que no son oblicuos, las proyecciones de las intersecciones se presentan en forma de rectas y sin verdadera magnitud.

Existen al menos dos posibilidades para que las proyecciones de las lneas de interseccin entre planos de discontinuidad sean tangentes a la seccin de excavacin, por la parte superior (recta principal) o inferior (recta secundaria) a la seccin de excavacin. La Figura 2-9, presenta las dos posibilidades de que la proyeccin de la interseccin sea tangente a la seccin de excavacin.

En la Figura 2-9, se observan dos rectas de igual pendiente, originadas luego de proyectar el vector de interseccin entre dos planos de discontinuidad en un plano perpendicular al eje del tnel. La recta proyectada es una Recta Principal cuando es tangente a la parte superior de la seccin de excavacin, y es una Recta Secundaria, cuando es tangente a la parte inferior de la seccin de excavacin. El calificativo de Principal y Secundario, slo se hace para distinguir las rectas proyectadas de igual pendiente e identificar de forma rpida y sencilla el sector donde se realiza la tangencia. En el caso de una proyeccin vertical, donde no se puede diferenciar entre la tangencia superior e inferior a la seccin de excavacin, es indiferente la asignacin del nombre.

Vector de interseccin en el espacio

y

Plano de Proyeccin y z

Vrtice tangente de la recta principal (VTP)

z

Recta Principal de interseccin proyectada

Rectas Secundaria de interseccin proyectada

Vrtice tangente de la recta secundaria (VTS)


Un Vrtice Tangente es Principal VTP cuando es producto de la tangencia de una Recta Principal, y es un Vrtice Tangente Secundario VTS cuando es producto de la tangencia de una Recta Secundaria.

A cada una de las rectas tangentes a la seccin de excavacin les corresponde una ecuacin, compuesta de una pendiente y de un dato de corte con el eje de la ordenada. La pendiente sale directamente de la proyeccin del vector unitario de Interseccin, mientras el corte con el eje ordenado depende de la ubicacin y la forma de la seccin de excavacin.

La tcnica alternativa para la obtencin de Bloques Crticos: Lneas Principales y Secundarias, plantea que:

Todo vrtice tangente principal (VTP) o secundario (VTS), hace parte de al menos dos Bloques Crticos.

Los pices Crticos que conforman un Bloque Crtico se encuentran en el cruce entre dos Rectas Principales o Secundarias. Lo que significa que todo cruce entre Rectas Principales o Secundarias hace parte de un Posible pice.

El procedimiento que se debe seguir para la obtencin de las Pirmides de Roca que conforman los Bloques Crticos es el siguiente:

I. Vector Unitario de las Intersecciones: Establecer un sistema de discontinuidades y obtener el vector unitario de la Interseccin entre los planos de discontinuidad.

II. Proyeccin del Vector Unitario de las Intersecciones en un plano perpendicular al eje del tnel: Debido a que el eje del tnel puede no presentar el mismo sistema coordenado con el que se obtienen los cosenos directores del vector unitario de la interseccin, se requiere de una matriz de transformacin.

III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas de los Vrtices Tangentes: Obtener la pendiente de la recta de interseccin proyectada. Analizar la seccin de excavacin y obtener el dato de corte con el eje ordenado de la recta proyectada para que sea tangente en la parte superior e inferior de la seccin de excavacin. En este paso se encuentran las ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias de cada una de las intersecciones proyectadas, y las coordenadas de todos los Vrtices Tangentes.


IV. Identificacin de Posibles pices: Al igualar las ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, se obtienen los posibles pices proyectados en un plano que corta perpendicularmente el eje del tnel.

V. Establecer los pices Crticos: Luego de identificar las coordenadas de los Posibles pices se completa una matriz de diferencias entre las coordenadas de los posibles pices y los vrtices tangentes. La matriz permite identificar dos pices Crticos por cada Vrtice Tangente.

VI. Completar la Pirmide de Roca: Asociados dos Vrtices Tangentes a un pice Crtico, se obtiene el Vrtice Secante que completa los elementos requeridos por la Pirmide de Roca.

Luego de completar los seis pasos anteriores, se calculan los permetros, reas y volmenes de los Bloques Crticos: Una vez se han establecido los tres vrtices y el pice para cada uno de los Bloques Crticos se calculan los permetros de las intersecciones entre planos de discontinuidad y entre planos de discontinuidad y seccin de excavacin, las reas de los planos de discontinuidad y pared de excavacin, y el volumen del Bloque Crtico.

A continuacin se presentan cada uno de los pasos establecidos para la obtencin del Bloque Crtico en una seccin de excavacin circular.

I. Vector Unitario de las Intersecciones Para la obtencin del vector unitario de las intersecciones se deben utilizar las ecuaciones presentadas en el numeral 2.1 - Vectores unitarios de las discontinuidades y lneas de interseccin.

II. Proyeccin del Vector Unitario de las Intersecciones en un plano perpendicular al eje del tnel

La Figura 2-10, presenta las rectas principales y secundarias que se obtienen de la combinacin de intersecciones entre tres sistemas de discontinuidades, y su contacto tangencial con la seccin de excavacin circular.

En la Figura 2-10, se observan las proyecciones de las lneas de interseccin Principales y Secundarias, por ejemplo, la interseccin entre los planos 1 y 2 forman la recta Secundaria S(1-2) y Primaria P(1-2) con pendiente m(1-2). Al ser tres los sistemas de discontinuidades considerados, son tres las intersecciones que se deben proyectar.


Figura 2-10. Representacin grfica de las lneas principales y secundarias.

Se observa que las coordenadas en el plano de proyeccin, perpendicular al eje del tnel, pueden no ser las mismas definidas como x al Norte, y al Este y z hacia abajo, establecidas para encontrar el vector unitario de interseccin. Para proyectar en un sistema coordenado diferente es necesario realizar una transformacin vectorial, desde el sistema coordenado N, E y Z al plano de proyeccin x, y y z. El nuevo sistema coordenado propuesto es: x en direccin del tnel, y en direccin ortogonal hacia el costado derecho del tnel, y z en direccin ortogonal hacia abajo del eje del tnel. En el plano de proyeccin perpendicular al eje del tnel se proyectan las intersecciones en sus coordenadas y y z, lo que plantea la necesidad de transformar los vectores de interseccin obtenidos en el paso anterior.

Para la transformacin del sistema coordenado se encuentra una matriz denominada como Matriz de Transformacin, que al ser multiplicada por el vector unitario de interseccin obtenido del paso anterior lo transforma a sus nuevas coordenadas x y z. La Figura 2-11, presenta el sistema coordenado transformado.


Figura 2-11. Sistema coordenado transformado x y z.

En la Figura 2-11 se observa la direccin del nuevo sistema coordenado, donde el eje x se encuentra en la direccin del tnel, el eje y en direccin perpendicular al eje x y sobre el plano xy, y el eje z cumpliendo la regla de la mano derecha respecto a los ejes x y. De la figura se observa que el plano perpendicular al eje del tnel corresponde al plano y z, El plano trasformado xyz puede ser igual al plano sin trasformar xyz, si el eje del tnel coincide con la lnea Norte-Sur. La Matriz de Transformacin est compuesta por los cosenos directores de la rotacin de cada uno de los ejes. Para obtener los cosenos directores entre los ejes anteriores y los ejes transformados se utiliza el producto vectorial punto. A continuacin se presentan las expresiones desarrolladas.

2.2.2.1 Matriz de Transformacin

De acuerdo a la Figura 2-11, lm es el azimut de buzamiento del tnel, el cual orienta el eje del tnel sobre el plano N-E o x-y, y nm el buzamiento o pendiente en grados del tnel. El vector que define la direccin del tnel en sus coordenadas es:

Y %&"p = %&Bp# $ !"p = %&Bp' $ !Bp)* (2-14) El vector sobre plano xy, y perpendicular al eje del tnel es:

Z !"p # $ %&"p' $ ()* (2-15) El vector perpendicular a los vectores qk, se obtiene del producto cruz entre los vectores q k, y se define como sigue:

N(X)

S(-X)E(Y)

W(-Y)

RUMBO DEL TNELT

ESTEREOGRFICA

PLANO PERPENDICULAR ALEJE DEL TNEL

T

PLANO VERTICAL QUECONTIENE EL EJE DEL TNEL

Z

T

Z'

Y'

X'

EJE DEL TNEL

T T

PLANO VERTICAL QUECONTIENE EL EJE DEL TNELEN HEMISFERIOR SUPERIOR


[ %&"p = !Bp# !"p = !Bp' $ %&Bp)* (2-16) La transformacin es la siguiente: la direccin del tnel se define como el eje x en reemplazo del eje x; la direccin del vector y, perpendicular al eje x, reemplaza el vector y; mientras el vector z reemplaza el vector z. Los vectores unitarios que representan los ejes cartesianos originales, sin transformar, son:

Y b# $ (' $ ()* (2-17) Z (# $ b' $ ()* (2-18) [ (# $ (' $ b)* (2-19)

Para encontrar los cosenos directores entre los ejes, se utiliza el producto punto de la siguiente forma:

Entre la direccin del tnel x (3-14) y el eje Norte x (3-17), cos st,s vcosw = cosw $ senw = cosw $ senwkx v1 $ 0 $ 0kx %& zYt,Y %&"p = %&Bp (2-20)

Entre la direccin del tnel x (3-14) y el eje Este y (3-18), cos st,{ vcosw = cosw $ senw = cosw $ senwkx v0 $ 1 $ 0kx %& zYt,Z !"p = %&Bp (2-21)

Entre la direccin del tnel x (3-14) y el eje vertical z (3-19), cos st,| vcosw = cosw $ senw = cosw $ senwkx v0 $ 0 $ 1kx %& zYt,[ !Bp (2-22)

Entre el vector y (3-15) y el eje Norte x (3-17), cos {t,s vsenw $ cosw $ 0kx v1 $ 0 $ 0kx %& zZt,Y !"p (2-23)

Entre el vector y (3-15) y el eje Este y (3-18), cos {t,{ vsenw $ cosw $ 0kx v0 $ 1 $ 0kx %& zZt,Z %&"p (2-24)


Entre el vector y (3-15) y el eje vertical z (3-19), cos {t,| vsenw $ cosw $ 0kx v0 $ 0 $ 1kx %& zZt,[ ( (2-25)

Entre el vector z (3-16) y el eje Norte x (3-17), cos |t,s vcosw = senw senw = senw $ coswkx v1 $ 0 $ 0kx %& z[t,Y %&"p = !Bp (2-26)

Entre el vector z (3-17) y el eje Este y (3-18), cos |t,{ vcosw = senw senw = senw $ coswkx v0 $ 1 $ 0kx %& z[t,Z !"p = !Bp (2-27)

Entre el vector z (3-17) y el eje vertical z (3-19), cos |t,| v cosw = senw senw = senw $ coswkx v0 $ 0 $ 1kx %& z[t,[ %&Bp (2-28)

Finalmente, se obtiene la matriz de transformacin vectorial:

}~ e%&"p = %&Bp !"p = %&Bp !Bp !"p %&"p ( %&"p = !Bp !"p = !Bp %&Bpg }

~ (2-29) La transformacin vectorial, permitir encontrar la pendiente de las intersecciones entre planos de discontinuidad proyectadas, mediante la siguiente ecuacin:

[Z (2-30) La transformacin del vector unitario de Interseccin, obtenido del paso anterior, al sistema coordenado xyz es:


xyz

cosw = cosw senw = cosw senw

senw cosw 0cosw = senw senw = senw cosw

DxKILITK

DyKILITKDzKILITK

En consecuencia las componentes del vector unitario transformado son las siguientes:

XY %&"p = %&Bp XYKaH@K$ !"p = %&Bp XZKaH@K$ !Bp X[KaH@K (2-31) XZ !"p XYKaH@K$ %&"p XZKaH@K (2-32) X[ %&"p = !Bp XYKaH@K !"p = !Bp XZKaH@K$ %&Bp X[KaH@K (2-33) III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas de los

Vrtices Tangentes: Segn la ecuacin (3-30), la pendiente de la interseccin proyectada en el plano y z es:

HI@ I%&/"aHf@0= !BaH@ XYKaH@KI !/"aHf@0= !BaH@ XZKaH@K]%&BaH@ X[KaH@KI !/"aHf@0 XYKaH@K]%&/"aHf@0 XZKaH@K (2-34) En la ecuacin (3-34), la pendiente toma un valor positivo si la recta proyectada presenta el buzamiento hacia el costado derecho de la seccin de excavacin, y negativo si buza hacia el costado izquierdo.

Luego de encontrar las pendientes, se identifican los puntos denominados como Vrtices Tangentes, dos por cada interseccin.

2.2.2.2 Vrtices Tangentes de Rectas Principales y Secundarias

Los vrtices tangentes se obtienen al comparar la ecuacin de las rectas proyectadas de las intersecciones con la ecuacin correspondiente a la seccin de excavacin. La ecuacin de la seccin de excavacin en el caso de anlisis corresponde al de una circunferencia.

Considerando una seccin de excavacin circular de dimetro DT, a una profundidad HT desde la superficie del terreno, se establece la formulacin.


La Figura 2-12, presenta los dos vrtices tangentes al considerar una lnea de interseccin entre dos planos de discontinuidad (i, j) y una seccin de excavacin circular. En esta figura se observan dos vrtices tangentes, uno en el sector superior de la seccin de excavacin, en el contacto con la recta principal denominado como Vrtice Tangente Principal de la interseccin i-j (VTP[i-j]), y el otro en la sector inferior denominado como Vrtice Tangente Secundario de la interseccin i-j (VTS[i-j]). De estas rectas se conoce el ngulo de buzamiento, denominado como Buzamiento de interseccin transformado, por tratarse de un ngulo proyectado.

Figura 2-12. Vrtices tangentes principales y secundarios dada una interseccin proyectada i-j.

De la ecuacin (3-34), se obtiene la pendiente proyectada, y de sta se obtiene el buzamiento de interseccin i-j transformado ;I mediante la siguiente expresin:

I tanImab Luego de encontrar el buzamiento proyectado y dada una proyeccin de la interseccin entre los planos i y j, las coordenadas y,z de los vrtices tangentes son:

En el contacto con la recta principal, vrtice tangente principal (), ZCID Xp/\ = ! BCD (2-35)


[CID p Xp/\ = %& BCD (2-36) En el contacto con la recta secundaria, vrtice tangente secundario (), ZCID Xp/\ = ! BCD (2-37) [CID p $ Xp/\ = %& BCD (2-38)

En las expresiones anteriores se observa que un valor de n positivo, presenta valores positivos en la coordenada y, y valores negativos en este parmetro presentan valores de igual signo en la coordenada y.

Para encontrar la constante Db que determina el corte de las rectas Principales o Secundarias (|) con el eje de la ordenada y, se utiliza la siguiente ecuacin:

X@|CID [|CID Z|CID = H!BCD (2-39) Reemplazando las expresiones (3-35) y (3-36) para obtener la constante Db de la recta principal, y las expresiones (3-37) y (3-38) para la recta secundaria, se completa la informacin de la ecuacin las rectas de interseccin proyectadas:

Z = H!/BC>CID?0 $ X@|CID (2-40) Existen casos especiales: ;I ( y ;I (. Para ;I ( se cumplen todas las ecuaciones anteriores, mientras para ;I ( no se halla la constante Db de la recta. En el caso de n (, no se utilizan las expresiones (2-39) y (2-40), las cuales son sustituidas por:

Z Z|CID (2-41) Otro caso especial, surge cuando la inclinacin del tnel es igual a la inclinacin de la interseccin, y la direccin del eje del tnel es similar al azimut de buzamiento de la interseccin, es decir, cuando nm ;I y lm :. En este caso, la interseccin forma parte de un denominado Bloque Infinito, que se visualiza como un punto en el plano y, z. De cumplirse la condicin mencionada, no se tiene en cuenta esta interseccin en el anlisis. La Figura 2-13, presenta un esquema de Bloque Infinito.


Figura 2-13. Esquema de Bloque Infinito.

En la Figura 2-13, se aprecia como en el plano perpendicular al eje del tnel yz la interseccin que induce el Bloque Infinito no proyecta una recta.

IV. Identificacin de Posibles pices Una vez se han encontrado las ecuaciones de las rectas principales y secundarias proyectadas en un plano perpendicular al eje del tnel, de cada una de las lneas de interseccin, se obtienen los puntos donde stas se intersecan entre s. Cada punto de corte entre rectas proyectadas se considera un posible pice, debido a que se trata de un punto ubicado en el espacio donde coinciden dos rectas tangentes a la seccin de excavacin. La cantidad de posibles pices se obtiene mediante la siguiente sumatoria:

4 I La funcin anterior establece que al considerar dos sistemas de discontinuidades son 4 los posibles pices, al considerar tres sistemas son doce, y al considerar cuatro sistemas de discontinuidad es 24 el nmero de Posibles pices. Para encontrar los puntos de corte entre las rectas se igualan cada una de sus correspondientes ecuaciones. A continuacin se presentan las expresiones para encontrar las coordenadas y, z, de los posibles pices entre dos intersecciones conformadas por los planos i, j, k con buzamientos proyectados distintos a(:

pice

Seccin deExcavacin

Z'

Y'

X'

Z'

Y'

Bloque Infinito


yL Db|I Db|Im|I m|I zL yL m|I $ Db|I

Cuando alguna de las intersecciones cuenta con un buzamiento transformado nI (, y asumiendo que esa discontinuidad es la conformada por los planos i-j, y que se iguala con la recta producto de la interseccin de los planos j-k con buzamiento transformado nI < 90, las coordenadas del posible pice son las siguientes:

yL y|I zL yL m|I $Db|I

De acuerdo a las expresiones anteriores, si se adoptan tres intersecciones, por ejemplo: , , , son 12 los puntos de corte posibles entre estas rectas. Los 12 posibles pices, se encuentran al igualar las rectas presentadas en la Tabla 2-1.

Tabla 2-1. Posibles pices entre las rectas proyectadas , y . ID Posible pice Cruce entre Rectas

A1 Principal Principal A2 Principal Secundaria A3 Secundaria Principal A4 Secundaria Secundaria A5 Principal Principal A6 Principal Secundaria A7 Secundaria Principal A8 Secundaria Secundaria A9 Principal Principal A10 Principal Secundaria A11 Secundaria Principal A12 Secundaria Secundaria

Segn la Tabla 2-1, los posibles pices surgen del cruce entre rectas Principales o Secundarias. De esta tabla se considera que el pice A1 corresponde a la Recta Principal y a la Recta Principal , de igual forma que el pice A2 corresponde a la Recta Principal y a la Recta Secundaria , y as sucesivamente. Al considerar tres sistemas de discontinuidades se concluye que a cada Recta Principal o Secundaria le corresponden 4 Posibles pices. La Figura 2-14, presenta la ubicacin de los 12 posibles pices al considerar una seccin de excavacin circular, numerados con el ID definido en la Tabla 2-1. En esta figura se


observa como a la Recta Principal le corresponden los Posibles pices A1, A5, A2 y A6.

V. Establecer los pices Crticos: Dado que el mtodo propone que dos pices Crticos se obtienen por cada Vrtice Tangente y que cada Vrtice Tangente se encuentra asociado a una Recta Principal o Secundaria, se concluye que dos de los cuatro Posibles pices que corresponden a las Rectas Principal o Secundaria son pices Crticos. Es decir, de los cuatro Posibles pices A1, A5, A2 y A6 que le corresponden a la Recta Principal , dos son pices Crticos.

Figura 2-14. Ubicacin de los posibles pices al considerar tres intersecciones entre planos de discontinuidad.

Para encontrar cules de los 12 pices se consideran pices Crticos, segn las opciones presentadas en la Tabla 2-1 y Figura 2-14, se encuentran las diferencias en las coordenadas x, y o z, entre los posibles pices y los puntos de tangencia correspondientes. Por cada lnea de interseccin principal o secundaria, se encuentran cuatro diferencias de coordenadas entre vrtices tangentes y posibles pices , dos con signo positivo y dos con signo negativo. La metodologa adoptada define como pices


crticos los dos puntos ms cercanos, el de menor magnitud negativa y menor magnitud positiva.

Las diferencias entre coordenadas , pueden ser en el sistema coordenado x, y o z, siempre y cuando los valores obtenidos sean no nulos.

Para facilitar las diferencias entre coordenadas que se deben calcular, se construye una matriz como lo muestra la Tabla 2-2. La matriz de la Tabla 2-2 ordena en las filas los 12 posibles pices encontrados, y en las columnas indica los puntos tangentes correspondientes a cada recta principal o secundaria. Esta matriz permite identificar que distancias se deben hallar.

Tabla 2-2. Matriz de identificacin de los pices que conforman el Bloque Crtico

ID Posible pice

Diferencias entre coordenadas , entre posibles pices y vrtice tangente de la recta

Principal i j (vtp>C D?)

Secundaria i j (vts>C D?)

Principal i k(vtp> ?)

Secundaria i k (vts> ?)

Principal j k (vtp> ?)

Secundaria j k (vts> ?)

A1 (A1-VTP)

(A1-VTP)

A2 (A2-VTP)

(A2-VTS)

A3

(A3-VTS) (A3-VTP)

A4

(A3-VTS)

(A4-VTS)

A5 (A5-VTP)

(A5-VTP)

A6 (A6-VTP)

(A6-VTS) A7

(A3-VTS)

(A7-VTP)

A8

(A3-VTS)

(A8-VTS) A9

(A9-VTP)

(A9-VTP)

A10

(A10-VTP)

(A10-VTS) A11

(A11-VTS) (A11-VTP)

A12

(A12-VTS)

(A12-VTS) (VTP): vrtice tangente principal; (VTS): vrtice tangente secundario. En la Tabla 2-2 se aprecia como a cada Recta Principal o Secundaria le corresponden cuatro Posibles pices. Encontradas las diferencias entre coordenadas para cada columna, se debe identificar el valor de menor magnitud positiva y menor magnitud negativa, lo que corresponde a los dos pices que ms se acercan a los puntos tangentes de cada recta, uno por cada costado.

A manera de ejemplo se presenta la Figura 2-15, donde se analiza el vrtice tangente de la recta principal en la interseccin . Las diferencias entre coordenadas que se deben encontrar son: (A1-VTP>C D?), (A2-VTP>C D?), (A5-VTP>C D?) y(A6-VTP>C D?). En


este caso al tratarse de una recta que no es vertical, se encuentran las diferencias de coordenadas verticales . Las diferencias se toman entre los posibles pices ubicados sobre la recta principal>C D? y el vrtice tangente encontrado mediante esta misma recta. De acuerdo a la Figura 2-15, los valores de son positivas en los pices A2 y A6, y negativas en los pice A1 y A5. Los dos valores de de menor magnitud, una por cada sentido sea negativo o positivo, determinan cual pice hace parte de un Bloque Crtico. En la Figura 2-15, se observa que los valores de en el eje z (verticales) son menores en los pices A2 y A5, consistentes con los menores valores positivo y negativo respectivamente en las distancias acotadas como: (A2-VTP> ?) y (A5-VTP> ?). El clculo de diferencias de coordenadas permite encontrar los pices ms cercanos al Vrtice Tangente, uno por cada costado sobre la Recta Principal: al considerar la recta P(i-j) y el clculo de diferencias en el sistema coordenado z se obtuvo que el pice A2 es el ms cercano en el costado inferior y el pice A5 es el ms cercano en el costado superior, lo que los identifica como pices Crticos de Bloques Crticos distintos. Se observa que la Figura 2-15 presenta el mismo ejemplo de la Figura 2-14. Este procedimiento se contina para cada una de las rectas tanto Principales como Secundarias, encontrando los pices que conforman los Bloque Crticos.

Figura 2-15. pices de Bloque Crtico, al analizar el Vrtice Tangente y la Recta Principal tangente de la interseccin i j.

Una vez se obtienen los pices Crticos, se encuentran los tres vrtices que conforman la Pirmide de Roca. Los vrtices del Bloque Crtico, son los puntos de contacto o tangencia entre las discontinuidades y la seccin de excavacin. Considerando tres intersecciones, son tres los vrtices correspondientes a cada Bloque Crtico.


VI. Completar la Pirmide de Roca: Por cada pice identificado se conocen dos de los vrtices en contacto tangencial con la seccin de excavacin, denominados como Vrtices Tangentes. A manera de ejemplo, el pice Crtico A2 de la Figura 2-15, cuenta con los vrtices VTP y VTS , debido a que corresponde a la Recta Principal y a la Recta Secundaria , mientras el pice A5 cuenta con los vrtices VTP y VTP debido a que corresponde a la Recta Principal y a la Recta Principal . De esta forma, dos de los vrtices que conforman los Bloques Crticos se obtienen directamente de las Rectas Principales o Secundarias que ubican el pice. Para hallar la coordenada q de los vrtices, se utilizan los cosenos directores de las ecuaciones (3-31), (3-32) y (3-33). Despus identificar las dos intersecciones tangentes que conforman el Bloque Crtico, la interseccin restante necesaria para formar la Pirmide de Roca permite encontrar el vrtice faltante, que puede ser Tangente o Secante. El tercer vrtice se obtiene al hacer coincidir la recta de la interseccin con el pice identificado, e igualar con la funcin de la seccin de excavacin. Para hacer coincidir la interseccin faltante con el pice identificado, se obtiene la constante Db del tercer vrtice mediante la siguiente expresin:

X@ [H ZH (2-42) Donde: es la constante Db: de la recta proyectada de la interseccin faltante (tercera interseccin de la Pirmide de Roca); : es la pendiente proyectada de la interseccin faltante; khh las coordenadas del pice identificado como crtico. La funcin de la seccin de excavacin circular de dimetro jm y profundidad m, es:

/[ p0\ $ Z\ Xp/\\ (2-43) Al igualar la ecuacin (3-42) con la ecuacin de la seccin de excavacin circular, queda la siguiente funcin de segundo orden:

\ $ bZ\ $ \@ pZ $ @ p\ Xp\ \ ( (2-44) Resolviendo la cuadrtica, se obtiene la coordenada en el eje y k del tercer vrtice que conforma el Bloque Crtico. Para escoger una de las dos soluciones como la indicada, se elige la ms cercana al pice. Para encontrar las coordenadas q del tercer vrtice, se utilizan los cosenos directores de la siguiente forma:

La magnitud del vector de interseccin entre los planos y se obtiene de: CID ZtXZt (2-45)


Y dado que k se obtiene de (3-44) y jk de (3-32), se encuentra la magnitud del vector de la interseccin que forma el tercer vrtice mediante (3-45). Asumiendo que el tercer vrtice se obtiene de la interseccin de los planos de discontinuidad y , las coordenadas q y del tercer vrtice son:

Y D) XY (2-46) [ D) X[ (2-47)

Se observa que la magnitud M encontrada por la ecuacin (3-45), puede ser negativa o positiva, y depende de los parmetros k y jk. 2.2.3 Volumen del Bloque Crtico Una vez se obtienen las coordenadas qk, de los tres vrtices y del pice en cada uno de los Bloques Crticos, se utiliza un algoritmo numrico para dividir la base del bloque en tringulos pequeos. La Figura 2-16, presenta la forma en que se consideran los elementos triangulares en la base del Bloque para el clculo de volumen considerando una pared de excavacin curva.

La base de la Pirmide se conforma por los tres vrtices: puntos P1, P2 y P3 en Figura 2-16 (a). Los tres vrtices en la base presentan un plano que no coincide con la seccin de excavacin cuando se considera una geometra curva en la seccin de excavacin. Para encontrar los puntos inferiores del Bloque Crtico en contacto con la seccin de excavacin se proyecta un vector desde el pice hacia cada uno de los puntos identificados en la base, donde se encuentra una ecuacin de una recta por cada punto, y posteriormente se iguala con la funcin de la seccin de excavacin. Las coordenadas de los tres puntos proyectados de la base por cada elemento triangular se denominan como: qbkbb, q\k\\, qk.


(a) (b) Figura 2-16. (a) Puntos y (b) elementos triangulares en la base del Bloque Crtico, para

determinar el volumen.

El volumen de un bloque conformado por el pice y como base cada elemento triangular, con sus lados rectos, se encuentra mediante la siguiente expresin:

bj PPb qh kh hb qb kb bb q\ k\ \b q k P

P (2-48)

El volumen del Bloque se encuentra de la suma de los volmenes individuales encontrados al unir el pice y los tres puntos que conforman cada uno de los elementos triangulares de la Figura 2-16 (b).

2.2.4 reas de las paredes que conforman el Bloque Crtico El rea de las paredes que conforman el bloque de anlisis se obtiene de la misma discretizacin realizada para el clculo del volumen, donde se utiliza el producto cruz entre los puntos. El rea de la pared de excavacin se obtiene de la suma de las reas de los elementos triangulares en los que se divide el bloque para el clculo del volumen (ver Figura 2-16 [b]), implementando la siguiente ecuacin:

b\ Kb\ bK (2-49) Dnde: b, \ y , son los tres vrtices que conforman la subdivisin de la base en el Bloque .

1234

56

7

89

1011

1213

14

1516

1718

1920

22

21

23

24

25

26

27

28

P1

P2

P3

1-1

1-21-3

1-4

2-4

2-3

2-2

2-13-14-1

5-1

5-24-2

3-2

3-3

4-33-4

4-45-3

5-4

Rectas

Particiones

ElementosTriangulares


El rea de los planos de discontinuidad que conforman el Bloque Crtico, se obtiene de considerar elementos triangulares entre los puntos perimetrales y el pice.

2.2.5 Permetro de las intersecciones conforman el Bloque Crtico

Las intersecciones que conforman el Bloque Crtico son: las que ocurren entre planos de discontinuidad y las que ocurren entre planos de discontinuidad y seccin de excavacin. Para determinar el permetro de las intersecciones se utilizan los puntos encontrados para los vrtices y sus respectivos pices. Para el permetro de la pared de excavacin, se usan los puntos de la subdivisin realizada para determinar el volumen del Bloque Crtico (vase Figura 2-16), al obtener la distancia entre los puntos mediante la siguiente ecuacin:

bI\ G\ b\ $ \ b\ $ \ b\\ (2-50) Donde, bI\: es el permetro entre los puntos 1 y 2; b1: las coordenadas en x de los puntos 1 y 2, respectivamente; bk\: las coordenadas en y de los puntos 1 y 2, respectivamente; bk\: las coordenadas en z de los puntos 1 y 2, respectivamente. 2.2.6 Vectores unitarios normales internos y externos Se requiere de los vectores normales a los planos de discontinuidad que conforman el Bloque Crtico para identificar finalmente la forma del elemento tridimensional. Un plano de discontinuidad presenta la posibilidad de obtener dos vectores normales; uno interno y el otro externo. Un vector normal a un plano de discontinuidad es interno cuando se dirige hacia el interior de la Pirmide de Roca, de lo contrario, cuando el vector se dirige hacia la parte externa se denomina externo. Un vector normal unitario interno presenta la misma direccin de un vector unitario normal externo, pero con sentidos diferentes, por lo tanto:

nsI nI Donde, I:es el vector unitario interno al plano "";I:es el vector unitario externo al plano "". Adoptando el vector normal contemplado en la ecuacin (3-5), se obtienen las siguientes expresiones:

! YIC >%&"C = !BCC !"C = !BCD $ %&BC)? (2-51) !C!IC >%&"C = !BCC $ !"C = !BCD %&BC)? (2-52) Donde, qI: es el vector unitario normal al plano "", dirigido hacia el exterior del Bloque; I: es el vector unitario normal al plano "", dirigido hacia el interior del Bloque.


Para encontrar el signo positivo o negativo que le corresponde a cada vector normal unitario, se analiza el Modo en que se presenta un Bloque. El Modo equivale a la Pirmide de Juntas que permite mediante decodificacin binaria identificar si la normal interna a un plano de discontinuidad se dirige hacia el hemisferio superior o inferior. El Modo es una adaptacin de lo considerado por la teora del Key Block, a travs de codificaciones mediante 0 y 1 para conocer la orientacin de la normal a cada plano de discontinuidad en la Pirmide de Juntas. Esta teora facilita la visualizacin de las codificaciones rpidamente al implementar la red estereogrfica, donde se comparan los centros y los puntos de interseccin con los crculos mayores. En este trabajo se adoptar un mtodo alternativo que utiliza la misma codificacin binaria propuesta por Goodman y Shi (1985). La codificacin mediante 0 y 1, permite identificar si el plano de discontinuidad se encuentra en el semi-espacio superior o inferior a la Pirmide de Roca. Por ejemplo, un plano de discontinuidad que le es asignado el cdigo 1 significa que la Pirmide de Roca se encuentra por debajo del plano, y le corresponde un vector unitario normal interno positivo I , y un vector unitario normal externo negativo qI A. Para un plano de discontinuidad que le es asignado el cdigo 0 significa que la pirmide de Roca se encuentra por arriba del plano, y le corresponde un vector unitario normal interno negativo I y un vector unitario normal externo positivo qI A. La Tabla 2-3, presenta el sentido que toma cada uno de los vectores normales unitarios internos y externos, en funcin de la codificacin de los planos.

Tabla 2-3. Sentido de los vectores unitarios internos y externos, en funcin de la asignacin de codificacin de planos.

Asignacin de cdigo Vector Unitario Interno I Vector Unitario Externo qI 1 positivo $ negativo 0 negativo positivo$

La asignacin de los cdigos a cada plano, depende de los Modos en cmo se presenta la Pirmide de Roca. Al analizar tres planos de discontinuidad, son ocho (8) los Modos posibles en que se pueda presentar una Pirmide de Roca: 1) Slo el plano 1 se encuentra por debajo de la Pirmide de Roca (011), 2) Slo el plano 2 se observa por debajo de la Pirmide de Roca (101), 3) Slo el plano 3 se observa por debajo de la Pirmide de Roca (110), 4) Los planos 1 y 2 se observan por debajo de la Pirmide de Roca (001), 5) Los planos 1 y 3 se observan por debajo de la Pirmide de Roca (010), 6) Los planos 2 y 3 se observan por debajo de la Pirmide de Roca (100), 7) Todos los planos se observan por debajo de la Pirmide de Roca (000), 8) Ningn plano se observa por debajo de la Pirmide de Roca (111).


La codificacin asigna el primer valor a la discontinuidad 1, el segundo valor a la discontinuidad 2, y el tercer valor a la discontinuidad 3. Por ejemplo, el cdigo 101, asigna un valor de 1 a la discontinuidad 1, un valor de 0 a la discontinuidad 2, y de 1 a la discontinuidad 3.

Para determinar en qu Modo se presenta la Pirmide del Bloque, se analizan los tringulos que conforman los vrtices y pice. Para encontrar si el pice se encuentra dentro del tringulo que forman los vrtices del tringulo base, se utiliza el algoritmo planteado por Kirkpatrick, donde se analizan las orientaciones de los tringulos.

En la Figura 2-17. Esquema del algoritmo de Kirkpatrick, se observa un tringulo conformado por los vrtices A, B y C , y los puntos de comparacin P y Q. En esta figura se observa que tiene un sentido en direccin de las manecillas del reloj, siendo esta la definicin de la direccin del tringulo.

Figura 2-17. Esquema del algoritmo de Kirkpatrick (1986)

Para comparar si el punto P se encuentra entre los vrtices ABC, se analiza la direccin de los tringulos: , y , donde se aprecia que la direccin de estos tringulos son iguales a las del tringulo base ; en direccin de las manecillas del reloj. Al comparar el tringulo base con el punto Q se analizan las direcciones de los tringulos: , y , donde se aprecia que la direccin del tringulo es diferente a la del tringulo base . Para determinar si el punto se encuentra dentro del tringulo base, se subdivide en tringulos y se comparan las direcciones obtenidas para cada uno de los elementos. Para que el punto de comparacin se encuentre dentro del tringulo base, la direccin de la totalidad de los elementos triangulares del anlisis debe ser igual a la direccin encontrada para el tringulo base. El algoritmo de Kirkpatrick presenta la siguiente formulacin para cada bloque:

BA

C

P

Q

ABP

BCPCAP

ABQ


Si,

b\ Yb Y Z\ Z Zb Z Y\ Y (2-53) b\ Yb YH Z\ ZH Zb ZH Y\ YH (2-54) \ Y\ YH Z ZH Z\ ZH Y YH (2-55) b Y YH Zb ZH Z ZH Yb YH (2-56)

Donde, , , : 99:8""; , , : 99:8 Si, 123 > 0,para que el pice se encuentre dentro del plano de excavacin proyectado se debe cumplir lo siguiente:

12A > 0 23A > 0 31A > 0

Si 123 < 0,para que el pice se encuentre dentro del plano de excavacin proyectado se debe cumplir lo siguiente:

12A < 0 23A < 0 31A < 0

Cuando se cumple algunas de las condiciones anteriores, se dice que se cumple el algoritmo de Kirkpatrick.

Se debe entender que el tringulo 123 es producto de la proyeccin de los vrtices definidos como 1, 2 y 3, en el sistema coordenado x,y, lo que representa el plano de excavacin. El tringulo 12, es la proyeccin conformada por los vrtices 1 y 2, y el pice, lo cual representa la proyeccin del plano 1. El tringulo 23, es la proyeccin conformada por los vrtices 2 y 3, y el pice, lo cual representa la proyeccin del plano 3. El Tringulo 31, es la proyeccin conformada por los vrtices 3 y 1, y el pice, lo cual representa la proyeccin del plano 2. La siguiente tabla resume la equivalencia de cada una de las proyecciones:

Tabla 2-4. Tringulos conformados por las proyecciones

Tringulo Puntos Plano 123 V1, V2, V3 Excavacin 12 V1, V2, A Discontinuidad 1 23 V2, V3, A Discontinuidad 3


31 V3, V1, A Discontinuidad 2

Al analizar la posicin del pice respecto al plano de excavacin, y el signo que presenta cada uno de los tringulos, se obtiene el Modo en que se presenta cada uno de los Bloques. La Figura 2-18, presenta la tres formas posibles en que se pueden presentar las proyecciones en el plano x,y.

La Figura 2-18 (a), presenta la proyeccin de un pice que se encuentra dentro del plano de excavacin o base de la pirmide de roca. Es por esto que los tringulos de anlisis (12, 23 y 31) se encuentran contenidos dentro del tringulo 123 y se confirma al evidenciar que el trazado de los tringulos presenta el mismo sentido. Para este caso existen dos posibilidades, 1) que los planos se vean desde arriba con codificacin 111 o desde abajo con codificacin 000. La codificacin definitiva depende de la ubicacin del pice respecto al plano de excavacin conformado por los vrtices 1, 2 y 3, si el pice queda por arriba del plano la codificacin es de 111, y para el caso contrario, cuando el pice se encuentra por abajo del plano, la codificacin es de 000. La Figura 2-18 (b), presenta la proyeccin de un pice que se encuentra fuera de la proyeccin del plano de excavacin, generando que el sentido o trazado del tringulo 23 sea diferente al del tringulo 123. Dado que el la proyeccin del tringulo 23 corresponde al plano de la discontinuidad 3, se determina que este se observa desde arriba 001 o desde abajo 110, dependiendo de la posicin del pice. Si el pice se encuentra debajo del plano de excavacin la codificacin es 001, y la codificacin es de 110 para el caso contrario.

La Figura 2-18 (c), presenta la proyeccin de un pice que se encuentra fuera de la proyeccin del plano de excavacin, generando que el sentido o trazado de los tringulos 12A y 23A sea diferente al del tringulo 123. Debido a que los planos correspondientes a la proyeccin de los tringulos 12A y 23A, son los planos de las discontinuidades 1 y 3 respectivamente, estos se pueden observar desde arriba 101 o desde abajo 010. La codificacin cuando el pice se encuentra abajo del plano de excavacin es de 101, y de 101 para el caso contrario.

Para encontrar si el pice se encuentra arriba o abajo del plano de excavacin, en primera medida se obtiene la ecuacin del plano de excavacin mediante los tres vrtices del Bloque con coordenadas conocidas.


(a)

(b)

(c) Figura 2-18. Esquemas del algoritmo de Kirkpatrick cuando el pice genera tres tringulos

(b\, \ y b):(a) todos con el mismo sentido, (b) uno con sentido diferente al tringulo (b\ y (c) dos con sentido diferente al tringulo (b\.


La ecuacin de un plano es la siguiente:

XY# $ XZ' $ X[)* X (2-57) Donde , y son los cosenos directores, definidos por las siguientes expresiones:

C* v/Z\ Zb0 [ [bx v[\ [b /Z Zb0x (2-58) ' >Y\ Yb [ [b? >[\ [b Y Yb? (2-59) ) vY\ Yb /Z Zb0x v/Z\ Zb0 Y Ybx (2-60)

Y j una constante definida por la siguiente ecuacin: X Yb XY $ Zb XZ $ [b X[ (2-61)

Luego, se procede a proyectar el pice sobre el plano de excavacin, para encontrar la coordenada en el eje z correspondiente. Para esto se utiliza la siguiente ecuacin:

H Y% XIXYYHIXZZHX[ (2-62) Donde, : es la coordenada en z de la proyeccin vertical del pice sobre el plano de excavacin; h:es la coordenada en x del pice;h: es la coordenada en y del pice.

El algoritmo de Kirkpatrick se utiliza para la identificacin de la codificacin del Modo en que se presenta el bloque de roca, se analiza cada uno de los tringulos proyectados de la siguiente forma:

2.2.6.1 Plano de discontinuidad 1 (12A) a) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de 12 es igual a 123,

y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de 1. b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de 12 es igual a 123,

y el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la codificacin es de 0. c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de 12 es diferente a 123, y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de

0. d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de 12 es diferente a 123, y el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la codificacin es

de 1.


2.2.6.2 Plano de discontinuidad 2 (31A) a) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de 31A es igual a 123,

y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de 1. b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de 31Aes igual a 123, y

el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la codificacin es de 0. c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de 31A es diferente a 123, y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de

0. d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de 31Aes diferente a 123, y el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la codificacin es

de 1.

2.2.6.3 Plano de discontinuidad 3 (23A) a) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de 23Aes igual a 123, y

el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de 1. b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de 23Aes igual a 123, y

el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la codificacin es de 0. c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de 23Aes diferente a 123, y el pice se encuentra arriba del plano de excavacin, la codificacin es de

0. d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de 23Aes diferente a 123, y el pice se encuentra debajo del plano de excavacin, la codificacin es

de 1. La Tabla 2-5, presenta de forma resumida la relacin que existe entre el algoritmo de Kirkpatrick, la posicin del pice y la codificacin de los planos que identifican su participacin en el Modo en que se presenta el Bloque Crtico.

Tabla 2-5. Relacin entre logaritmo de Kirkpatrick, posicin del pice y codificacin del plano en la participacin del Bloque Crtico.

Plano de Excavacin

Plano de Discontinuidad

Posicin del pice

Comparacin de signos Cdigo

123 1 12A 2 31A 3 23A 1 0 0 1


2.2.7 Ejemplo Asumiendo un tnel en seccin Circular, de dimetro =5 m con una cobertura mxima de 100 m, pendiente igual a 5 y orientacin de 10 respecto al norte, encontrar los bloques inestables con mximo volumen posible dados los siguientes sistemas de discontinuidades:

Discontinuidad Azimut de Buzamiento () Buzamiento () D1 200 70 D2 60 60 D3 280 35

Los cosenos directores de las intersecciones son los siguientes:

I1 0.4678 $ 0,6611 $ 0.5865 I1 125.28 ;I1 35.91 I 0.0755 0.8166 $ 0.5723 I 275.29 ;I 34.91 1I 0.8972 0.3050 $ 0.3194 1I 341.22 ;1I 18.63


La matriz de Transformacin vectorial es la siguiente:

>? 0,981 0,173 0,4680,174 0,985 0,0000,086 0,015 0,996 La matriz de transformacin se multiplica por cada uno de los vectores unitarios, para obtener los cosenos directores transformados:

I1 0,293 $ 0,732 $ 0,614 I1 0,84 ;I1 40,00

I 0,0170,817 $ 0.576 I 0,70 ;I 35.17

1I 0,855 0.456 $ 0,246 1I 0,54 ;1I 28,32 Puntos tangentes, rectas principales y secundarias:

Tabla 2-6. Ecuaciones de las rectas principales y secundarias, y coordenadas de vrtices tangentes.

Interseccin Pendiente Principal Secundaria Z Y B Z Y B 1 - 2 40,00 98,085 1,607 96,737 101,915 -1,607 103,263 1 - 3 35,17 97,956 -1,440 96,942 102,044 1,440 103,058 2 - 3 -28,32 97,799 -1,186 97,160 102,201 1,186 102,840

La Figura 2-19, presenta las proyecciones de cada una de las intersecciones, en un plano que atraviesa perpendicularmente el eje del tnel.


Figura 2-19. Esquema de rectas principales y secundarias en primer ejemplo.

La Tabla 2-7, presenta las coordenadas y,z de los posibles pices, y la distancia Z entre estos pices y los puntos tangentes correspondientes a cada recta:

Tabla 2-7. Ubicacin de los posibles pices, y su distancia vertical hasta los puntos tangentes.

Rectas Posibles pices Z entre posibles pices y puntos tangentes Za Ya VTP(1-2) VTS(1-2) VTP(1-3) VTS(1-3) VTP(2-3) VTS(2-3)

P(1-2) P(1-3) 96,848 0,1328 -1,237

-1,109

P(1-2) S(1-3) 100,173 4,0950 2,088

-1,871

S(1-2) P(1-3) 99,827 -4,0950

-2,088 1,871

S(1-2) S(1-3) 103,152 -0,1328

1,237

1,109

P(1-2) P(2-3) 96,994 0,3074 -1,090

-0,805

P(1-2) S(2-3) 100,453 4,4294 2,368

-1,748

S(1-2) P(2-3) 99,547 -4,4294

-2,368

1,748

S(1-2) S(2-3) 103,006 -0,3074

1,090

0,805

P(1-3) P(2-3) 97,870 -1,3177

-0,086

0,071

P(1-3) S(2-3) 122,002 -35,5599

24,045

19,801

S(1-3) P(2-3) 77,998 35,5599

-24,045 -19,801

S(1-3) S(2-3) 102,130 1,3177

0,086

-0,071

Y

Z


En la Tabla 2-7, se encuentran resaltados los desplazamientos ms cercanos a cero, positivo y negativo, al analizar cada columna. La siguiente tabla, presenta las coordenadas de los pices definitivos:

Tabla 2-8. Coordenadas de los pices que conforman el Bloque Crtico.

ID Posicin Xa Ya Za 1 Hastial Der. 0 4,0950 100,173

2 Hastial Izq. 0 -4,0950 99,827 3 Bveda 0 0,3074 96,994 4 Piso 0 -0,3074 103,006

5 Bveda 0 -1,3177 97,870 6 Piso 0 1,3177 102,130

La Tabla 2-9, presenta las coordenadas de los vrtices que conforman el Bloque Crtico:

Tabla 2-9. Coordenadas de los vrtices que conforman el Bloque Crtico.

ID X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 1 0,997 1,607 98,085 -0,056 1,440 102,044 3,562 2,195 101,196 2 -0,997 -1,607 101,915 0,056 -1,440 97,956 -3,562 -2,195 98,804 3 -0,521 1,607 98,085 -0,017 -0,474 97,545 2,800 -1,186 97,799 4 0,521 -1,607 101,915 0,017 0,474 102,455 -2,800 1,186 102,201 5 -0,001 -1,314 97,873 -0,003 -1,440 97,956 -0,247 -1,186 97,799 6 0,001 1,314 102,127 0,003 1,440 102,044 0,247 1,186 102,201

La Tabla 2-10, presenta la comparacin entre los volmenes obtenidos mediante la ecuacin (3-48). Tabla 2-10. Comparacin de los volmenes calculados con los reportados por Unwedge .

ID Posicin Volumen sin curva

Volumen (m3) calculado 4 particiones



Volumen (m3) Unwedge

1 Hastial Der. 5,976 2,702 2,479 2,468 2,48 2 Hastial Izq. 5,976 2,702 2,479 2,468 2,46 3 Bveda 0,722 0,260 0,237 0,236 0,24 4 Piso 0,722 0,260 0,237 0,236 0,24 5 Bveda 2,78x10-5 9,06x10-6 8,37x10-6 8,34x10-6 - 6 Piso 2,78x10-5 9,06x10-6 8,37x10-6 8,34x10-6 0,00

En la Tabla 2-10 se observa como a mayor nmero de particiones, se obtiene un volumen ms pequeo. Adems, se observa que tan solo con 20 particiones, el volumen tiende a ser similar al del programa Unwedge.


La Tabla 2-11, presenta las reas calculadas, para los planos de discontinuidad 1 (A1), 2 (A2) y 3 (A3), y el rea de la pared de excavacin (Ae), junto con los datos obtenidos del programa Unwedge .

Tabla 2-11. Comparacin de las reas calculadas con los reportados por Unwedge.

Datos calculados Unwedge ID Posicin A1 (m2) A2 (m2) A3 (m2) Ae. (m2) A1 (m2) A2 (m2) A3 (m2) Ae. (m2) 1 Hastial Der. 2,535 3,986 5,168 5,646 2,530 3,990 5,250 5,730 2 Hastial Izq. 2,535 3,986 5,168 5,646 2,520 3,990 5,120 5,620 3 Bveda 0,455 1,014 1,154 1,649 0,460 1,020 1,220 1,710 4 Piso 0,455 1,014 1,154 1,649 0,470 1,030 1,170 1,670 5 Bveda 0,000 0,000 0,006 0,006 - - - - 6 Piso 0,000 0,000 0,006 0,006 0,000 0,000 0,040 0,040

En la Tabla 2-11, se observa gran similitud entre los valores calculados y los reportados por el software comercial.

La Tabla 2-12, presenta la comparacin de los permetros calculados con los reportados por el software de comparacin.

Tabla 2-12. Comparacin de los permetros calculados con los reportados por Unwedge.

Datos calculados Unwedge

ID PA-1 (m) PA-2 (m)

PA-3 (m)

P1-2 (m)

P1-3 (m)

P2-3 (m)

Pe. (m)

PA-1 (m)

PA-2 (m)

PA-3 (m)

1 4,710 4,584 3,886 3,398 3,248 4,165 10,811 4,900 4,820 3,860 2 4,710 4,584 3,886 3,398 3,248 4,165 10,811 4,890 4,510 4,160 3 2,282 4,543 2,927 1,774 0,957 3,274 6,005 2,090 4,470 3,050 4 2,282 4,543 2,927 1,774 0,957 3,274 6,005 2,320 4,260 2,620 5 0,151 0,287 0,403 0,005 0,150 0,289 0,444 - - - 6 0,151 0,287 0,403 0,005 0,150 0,289 0,444 0,120 0,690 0,760

PA-1: Permetro entre el pice y el vrtice 1. PA-2: Permetro entre el pice y el vrtice 2. PA-3: Permetro entre el pice y el vrtice 3. P1-2: Permetro entre los vrtices 1 y 2. P1-3: Permetro entre los vrtices 1 y 3. P2-3: Permetro entre los vrtices 2 y 3.

En la Tabla 2-12, se observa la similitud entre los datos calculados y los reportados por el programa de comparacin.

La Tabla 2-13, presenta las codificaciones calculadas mediante el algoritmo de Kirkpatrick y la ubicacin de los pices respecto al plano de la pared de excavacin, y las reportadas por el software de comparacin.


Tabla 2-13. Codificacin de planos para el entendimiento del Modo en que se presenta el Bloque Crtico.

Datos calculados Unwedge ID Posicin D1 D2 D3 D1 D2 D3 1 Hastial Der. 1 1 0 1 1 0 2 Hastial Izq. 0 0 1 0 0 1 3 Bveda 1 1 1 1 1 1 4 Piso 0 0 0 0 0 0 5 Bveda 0 1 1 - - - 6 Piso 1 0 0 1 0 0

En la Tabla 2-13, se observa la similitud entre los datos calculados y los reportados en el Software de comparacin.

La Tabla 2-14, presenta los vectores normales unitarios internos, obtenidos al analizar la codificacin de los planos presentada en la Tabla 2-13.

Tabla 2-14. Vectores normales unitarios internos de los planos de discontinuidad.

ID Posicin Ib,q Ib,k Ib, I\,q I\,k I\, I,q I,k I, 1 Hastial Der. 0,883 0,321 0,342 -0,433 -0,750 0,500 0,100 -0,565 -0,819

2 Hastial Izq. -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 -0,100 0,565 0,819

3 Bveda 0,883 0,321 0,342 -0,433 -0,750 0,500 -0,100 0,565 0,819 4 Piso -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 0,100 -0,565 -0,819 5 Bveda -0,883 -0,321 -0,342 -0,433 -0,750 0,500 -0,100 0,565 0,819 6 Piso -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 0,100 -0,565 -0,819 I,:vector normal unitario interno del plano i en su componente en j.

3 Diseo de Anclajes Cuando al Bloque Crtico de roca se le consideran las acciones actuantes e inestabilizantes se denomina Cua Crtica. La Cua Crtica se refiere al Bloque Crtico (forma y tamao) ms las acciones que actan sobre el Bloque y las fuerzas de cuerpo. Las acciones que se presentan en la Cua Crtica, en el diseo de anclajes, representan las cargas de desprendimiento del Mecanismo de Falla en Cua.

Se consideran en el diseo las Acciones externas, las Reacciones aportadas por el sistema de soporte y las reacciones aportadas por las resistencias de los planos de discontinuidad.

Para identificar las Acciones y Reacciones que actan sobre una Cua de Roca, se agrupan en Fuerzas Activas y Fuerzas Pasivas. Las Fuerzas Activas son el conjunto de acciones y reacciones que actan todo el tiempo,

anclajes en rocas con aplicacion a túneles (ok)

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