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Análisis y Síntesis de Redes Largas 187

Anexo III. ANÁLISIS Y SÍNTESIS DE

REDES LARGAS

Por generalidad de todo lo anteriormente expuesto, se han desarrollado unas herramientas de simulación válidas para cualquier tipo de red. Ya se ha demostrado la utilidad de estas herramientas en redes cortas, en las que primaba el hecho de obtener resultados en cortos periodos de tiempo, y en redes con forma no sinusoidal, en las que podía observarse que en el resultado no influye el número de órdenes a tener en cuenta.

En este caso, se va a realizar una simulación de redes con una longitud similar a las que se suelen utilizar en la práctica, es decir, redes de 1cm. Basándose en el artículo de (Capmany, y otros, 2007), se ha decidido implementar las simulaciones ahí propuestas, para observar la generalidad de las herramientas implementadas. De esta forma, se podrán extrapolar los resultados que se obtuvieron en el Capítulo 3 a redes de cualquier longitud.

III.1. RED DE DIFRACCIÓN CON APODIZADO Y CHIRP

LINEAL

En primer lugar, se va a considerar una red de un centímetro de longitud, que usa como función de apodizado una tangente hiperbólica, e incluye un chirp lineal. La perturbación de partida contiene también un término de continua o DC. La expresión analítica que representa la perturbación del índice de refracción en este caso, para seguir con la notación utilizada en el artículo de referencia, es la siguiente: �(�) = �E + �� + �¡�(�)cos(ϕ(z))

(III.1)

Los parámetros de la red de partida se muestran en la siguiente tabla:

Estudio de Redes de Difracción de Bragg en Fibra Óptica

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Parámetro Valor Observaciones �� 1,55 �� 4·10-4 L 1 cm

�±�() ?�¡��¡� ×12 + tanh (�(1 − 2|2�/�|�))2tanh (�) Ø � � [−�/2, �/2] Función de apodizado

�(�) M 2π

Λ(z′) dz′¨

E Función de chirp

�() Λ(� = 0) + ∆Λ� � Variación lineal del periodo

�ü�� 11·10-4 B 1 �( = �) 502,25 nm

Periodo de la perturbación al comienzo de la red �� -5.1645 nm

Incremento de la red a lo largo de su longitud

fB 193,5 THz Frecuencia central de la

perturbación Tabla III.1: Valores de los parámetros para una red de difracción propuesta por Capmany y

compañeros

La siguiente figura muestra el perfil de índice de refracción que se obtiene con estos parámetros:

(a) (b)

Ilustración III.1: Forma del Índice de refracción de la perturbación con apodizado y chirp lineal: (a)

Perturbación completa, (b) Ampliación del fragmento inicial

La frecuencia central del filtro resultante se ha especificado en 193,5THz, por lo que el periodo de la perturbación al comienzo y al final de la red están relacionados con



las frecuencias 192,5THz y 194,5THz, mediante la relación (1.1). La red se muestrea cada 41nm, asegurando así que cada periodo contendrá más de 10 capas, de tal manera que se capten todas las variaciones que sufre el perfil de índice de refracción.

Este perfil se introduce en la herramienta de análisis, generando los siguientes resultados. En este caso, debido a la duración de la simulación y a las limitaciones de memoria del propio Matlab®, se ha obviado realizar la caracterización microscópica.

A. Análisis de la red

En la siguiente figura aparece la reflectividad y la transmitividad de la red de difracción propuesta. Se puede comprobar que ambas están centradas en 193,5THz, y efectivamente la banda de paso se alza entre de las frecuencias relacionadas con el periodo de la perturbación al comienzo y al final de la red.

(a)



(b)

Ilustración III.2: Reflectividad (a) y Transmitividad (b) de la red de difracción analizada

La reflectividad máxima alcanzada con estos parámetros es de 6 = 0,91 . A continuación, se representa la respuesta impulsiva del filtro, obtenido tras aplicar la transformada de Fourier inversa a la función de transferencia:

Ilustración III.3: Respuesta impulsiva de la red de difracción con apodizado y chip analizada en

reflexión



En la ilustración se aprecia que la forma de la respuesta impulsiva es muy similar a la del perfil del índice de refracción. Esta será la entrada a la herramienta de síntesis, ya que se utilizará el método de Feced. Se puede comprobar que aplicando el algoritmo de Poladian, los resultados son igualmente válidos, pero no se muestran aquí debido al elevado tiempo de cómputo que es necesario.

B. Síntesis mediante el algoritmo de Feced

Siguiendo la misma notación que se utilizó en el Capítulo 4 para la representación de las figuras, se muestran a continuación los resultados de la simulación. De esta manera, se tiene que la perturbación de partida se representa mediante una línea continua azul, y cada uno de los puntos que la forman es un círculo rojo. Por otro lado, los puntos obtenidos del perfil sintetizado se representan mediante círculos verdes. De esta misma forma se ilustra la respuesta impulsiva sintetizada en comparación con la real. En las siguientes imágenes se visualizan los resultados:

(a)



(b)

Ilustración III.4: Perfil de la perturbación sintetizado: (a) Perfil completo, (b) Ampliación del perfil

En esta imagen se aprecia cómo el perfil de 1cm se ha sintetizado correctamente. En la subfigura (b) se muestra una ampliación, en la que se puede ver con mayor claridad cómo efectivamente los puntos sintetizados se corresponden aproximadamente con los puntos de partida. La diferencia entre ellos estriba en el ya analizado problema de considerar el tiempo de ida y vuelta de la onda electromagnética como un valor constante y por tanto, variar la longitud de las capas.

En la siguiente ilustración, aparecen de la misma forma la respuesta impulsiva sintetizada en comparación con la real:

(a)



(b)

Ilustración III.5: Respuesta impulsiva de la red sintetizada: (a) Completa, (b) Ampliación de la

respuesta impulsiva

En este caso, los resultados son exactamente iguales a los de la respuesta impulsiva de partida, ya que en ningún caso se puede apreciar ningún círculo rojo.

Con esto queda comprobada la validez de las herramientas diseñadas, también para redes de una longitud más larga que las anteriormente estudiadas. Esto conlleva a una generalización de las redes estudiadas en el Capítulo 3, de tal forma que queda demostrada la capacidad de las herramientas para modelar y sintetizar redes cuyo índice efectivo no coincide con el índice de la perturbación sin perturbar, que tienen un apodizado y un chirp, y además, de cualquier longitud.

III.2. RED DE DIFRACCIÓN CON APODIZADO DE

CAUCHY

En segundo lugar, se va a probar la validez de las herramientas en una red de 1cm, formada por dos redes superpuestas con una función de apodizado Cauchy. Con este ejemplo, sumado al anterior, queda perfectamente establecida la eficacia de los algoritmos propuestos en capítulos anteriores.

La red de difracción que se va a estudiar en este caso también está propuesta en el artículo (Capmany, y otros, 2007), y parte de la ecuación (III.1). Se trata de una red de Moiré, formada por dos redes superpuestas centradas cada una en 192,5 y



194,5Thz. Ambas redes tienen la misma función de apodizado, �¡�(�) En este caso, los parámetros que se han empleado son los que aparecen en la siguiente tabla:

Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 0 L 1 cm

�±�() ?�¡��¡� × 1 − (2�/�)�)1 + (2��/�)�Ø � � [−�/2, �/2] Función de apodizado

Cauchy

�(�) M 2π

Λ(z′) dz′¨

E Función de chirp

�ü�� 5·10-4 B 4

fB1 192,5 THz Frecuencia central de la

primera red

fB2 194,5 THz Frecuencia central de la

segunda red TablaIII.2: Valores de los parámetros para una red de difracción propuesta por Capmany y compañeros

La siguiente figura muestra el perfil de índice de refracción que se obtiene con estos parámetros:

(a) (b)

Ilustración III.6: Forma del Índice de refracción de la perturbación de Moiré con apodizado Cauchy: (a)

Perturbación completa, (b) Ampliación de un fragmento de red

A comienzo y al final de la red se han representado algunos puntos de valor �E, para visualizar cual sería el índice de refracción de la fibra sin perturbar en relación al



índice de refracción efectivo de la red. Estos puntos ayudarán al correcto funcionamiento de la herramienta de síntesis. La ilustración III.6.(b) muestra la forma típica del perfil de perturbación cuando éste se compone de dos redes superpuestas, como ya se veía en el apartado 3.3.7.

A continuación, se procede al estudio de la red mediante las herramientas de simulación.

A. Análisis de la red

(a)

(b)

Ilustración III.7: Reflectividad (a) y Transmitividad (b) de la red de difracción analizada



En la figura III.7 aparecen la reflectividad y la transmitividad de la red de difracción de Moiré analizada. A continuación, se representa la respuesta impulsiva, que será de nuevo la que se utilice como entrada en la herramienta de síntesis.

Ilustración III.8: Respuesta impulsiva de la red de difracción analizada en reflexión

B. Síntesis mediante el algoritmo de Feced

Como se puede apreciar en las siguientes gráficas, los resultados obtenidos tras la síntesis vuelven a coincidir perfectamente con los datos de partida.



(a)

(b)

Ilustración III.9: Perfil de la perturbación tras la síntesis: (a) Perfil completo, (b) Ampliación de un

fragmento del perfil

En la Ilustración III.9.(b) aparece la pequeña variación entre los puntos del perfil original y los del perfil sintetizado. Sin embargo, el resultado obtenido sigue perfectamente la forma del original, tanto en la portadora como en los lóbulos generados por la superposición de redes.



(a)

(b)

Ilustración III.10: Respuesta impulsiva de la red de difracción tras la síntesis: (a) Respuesta impulsiva

completa, (b) Ampliación de un fragmento de la respuesta impulsiva

De nuevo la respuesta impulsiva sintetizada es exactamente la misma que la de partida, demostrando una vez más, que los algoritmos que se han implementado y se han venido utilizando a lo largo del proyecto son válidos para cualquier tipo de red y cualquier longitud de la misma.

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