Ángulos en la circunferencia-iii
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CIRCUNFERENCIA
EN ESTA UNIDAD APRENDERS A: Identificar ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia. Relacionar la medida del ngulo del centro con la del correspondiente ngulo inscrito. Relacionar las medidas de ngulos interiores y exteriores en una circunferencia con las medidas de los arcos que subtienden. Aplicar la nocin de semejanza en la demostracin de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.
CMO CONTENIDOS DE LA UNIDAD
APRENDIZAJES ESPERADOS
INDICADORES
Identificacin de ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia,
demostracin del teorema que
relaciona la medida del ngulo del centro con la del correspondiente ngulo inscrito.
Aplicacin de la nocin de semejanza a la demostracin de relaciones entre segmentos en cuerdas y secantes en
una circunferencia y a la homotecia de figuras planas.
Medicin de arcos. ngulos del centro y ngulos inscritos. ngulos semi inscritos. ngulos interiores y ngulos exteriores a una circunferencia. Proporcionalidad entre las cuerdas de una circunferencia.
Proporcionalidad entre las secantes de una circunferencia. Proporcionalidad entre las secantes y tangentes de una
circunferencia.
Identificar ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia.
Relacionar la medida del ngulo del
centro con la del Correspondiente ngulo inscrito. Aplicar la nocin de semejanza en la
demostracin de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.
Identifican ngulos del centro y ngulos inscritos en una circunferencia.
Relacionan la medida del ngulo del
centro con la del Correspondiente ngulo inscrito. Aplican la nocin de semejanza en la
demostracin de relaciones entre segmentos de cuerdas, secantes y tangentes en una circunferencia.
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EJE TEMTICO: GEOMETRA UNIDAD: NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es la ms sencilla y familiar de las curvas y constituye, desde tiempos remotos, un elemento de suma
importancia para el arte, el diseo y la arquitectura. Hace aproximadamente dos mil quinientos aos, en Grecia ya haba matemticos preocupados por estudiar los
elementos y relaciones que se dan en la circunferencia. Eratstenes es particularmente recordado por haber
establecido por primera vez la longitud de la circunferencia de la Tierra (252.000 estadios, equivalentes a 40.000 kilmetros) con un error de slo 90 kilmetros respecto a
las estimaciones actuales.
DEFINICION:
Una circunferencia, es el conjunto de todos los puntos del plano, tales que su distancia a un punto fijo llamado centro es la misma para todos los puntos del conjunto.
Esta distancia, es a la que llamamos radio, y el segmento que une dos puntos, pasando por el centro, se le denomina Dimetro, el cual equivaldra a dos veces el radio
NOTA: No se debe confundir con el crculo, el cual, es la superficie compuesta por los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ellos.
drAB
rBOAO
quededuceseanteriorloDe
dimetroABd
radioBOr
radioAOr
2
2
:
)(
)(
)(
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NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
ANGULO CENTRAL: Su vrtice se ubica en el Centro, y sus lados son dos radios
El ngulo del centro, tiene igual medida que el arco que subtiende, y viceversa. Nota: El arco es BA, y no AB, puesto que los arcos se miden en sentido antihorario
ANGULO INSCRITO: Su vrtice se ubica en la Circunferencia y sus lados son
cuerdas.
El ngulo Inscrito tiene por medida, la mitad del arco que subtiende.
Teorema. La medida de un ngulo inscrito es igual a la mitad de la medida del ngulo del centro, siempre que a ambos se les oponga el mismo arco o arcos
congruentes. Hiptesis. C(O, r) ACB es ngulo inscrito en la circunferencia
AOB es ngulo del centro de la circunferencia es arco que se opone a ambos ngulos
Tesis: 2
1
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Figura Caractersticas Medida
Vrtice en la circunferencia. Los lados son cuerdas de
ella.
ACB subtiende a el centro de la circunferencia
est en un lado del ngulo
m( ACB)=2
1m( AOB)
2
1
Vrtice en la circunferencia.
Los lados son cuerdas de ella. ACB subtiende a El centro de la circunferencia est en el
interior del ngulo
m( ACB)=2
1m( AOB)
2
1
Vrtice en la circunferencia.
Los lados son cuerdas de ella. ACB subtiende a El centro de la
circunferencia est en el exterior del ngulo
m( ACB)=2
1m( AOB)
2
1
Demostracin.
a. El centro de la circunferencia est en un lado del ngulo inscrito
ACO issceles de base AC ( OCyOA radios)
2 (ngulo exterior)
2
1
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b. El centro de la circunferencia est en el interior del ngulo inscrito.
AOC y BOC son issceles de bases BCyAC respectivamente
() 2121 En AOC 11 2 (ngulo exterior)
En BOC 22 2 (ngulo exterior)
2121 22 (por axioma de adicin)
)( 2121 2 Factorizando
Reemplazando 2
Por tanto 2
1
c. El centro de la circunferencia est en el exterior del ngulo inscrito
Trazamos el dimetroCD
OBC issceles, de base BC )( 2121 2 (ngulo exterior del tringulo)
22 11
Por el primer caso 11 2
Luego, 222 11
2 (por axioma de cancelacin)
Por lo tanto, 2
1
ANGULO INTERIOR: Es el ngulo formado por la intercepcin de dos cuerdas cualesquiera, su vrtice se ubica en el interior de la circunferencia.
La medida del ngulo interior, es igual, a la semisuma de los arcos que intersecta en la circunferencia
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ANGULO EXTERIOR: Es el ngulo formado por secantes y/o tangentes, cuyo vrtice se ubica fuera de la circunferencia.
La medida del ngulo exterior, es igual, a la semidiferencia de los arcos que
intersecta en la circunferencia ANGULO SEMINSCRITO: Su vrtice se ubica en la circunferencia, pero sus lados
son una tangente y una cuerda
La medida del ngulo semi-inscrito, es congruente, a la medida del ngulo inscrito
que subtiende el mismo arco, por tanto seria la mitad del arco que subtiende
Corolarios 1. Todos los ngulos Inscritos que subtiendan un mismo arco, son congruentes.
2
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2. Todo Angulo Inscrito en una semicircunferencia, es recto.
3. Los ngulos Opuestos en un cuadriltero cualquiera, inscrito en la
circunferencia, son suplementarios (suman 180)
4. La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia
5. El ngulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia es suplementario con el arco menor que determinan las rectas en la circunferencia
x + = 180
rT
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6. Dos lneas paralelas secantes a la circunferencia, la interceptan en dos arcos congruentes
DEMOSTRACIN DE TEOREMAS
Teorema. En una misma circunferencia (o en circunferencias congruentes), a arcos congruentes corresponden cuerdas congruentes.
Hiptesis.
CDyAB son cuerdas correspondientes
Tesis.
Demostracin. Consideremos OAB y OCD, en ellos se cumple que: =
Luego, OAB OCD (por postulado LAL) Por lo tanto.
ngulos semiinscritos en una circunferencia.
Son aquellos ngulos cuyo vrtice est en la circunferencia y cuyos lados corresponden a una cuerda y una tangente
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Teorema. La medida de un ngulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida del ngulo del centro, si ambos subtienden el mismo arco o arcos
congruentes. Hiptesis. ABC es ngulo semiinscrito talque m( ABC) =
AOB es ngulo del centro tal que m( AOB) = Ambos ngulos subtienden arco
Tesis. 2
1
Demostracin
ABO es issceles de base AB
TOB (Tangente) Tenemos:
180218022
180290
11
111
/
2
222 11
Por lo tanto 2
1
CUADRILTEROS INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA
Cuadrilteros inscritos en una circunferencia Un cuadriltero ABCD est inscrito en una circunferencia si sus vrtices son puntos de ella
En la figura se puede apreciar que ABCD es un cuadriltero inscrito en una circunferencia ya que A, B, C, D )r,O(C
Teorema.
Si un cuadriltero est inscrito en una circunferencia, entonces sus ngulos opuestos son suplementarios
Hiptesis C(O,r) ABCD es un cuadriltero inscrito
,,, son las medidas de sus ngulos interiores
Tesis:
180
180
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Teorema recproco. Si los ngulos opuestos de un cuadriltero son suplementarios, entonces este
cuadriltero es inscriptible en una circunferencia. Observacin. El cuadrado, el rectngulo y el trapecio issceles siempre pueden
inscribirse en una circunferencia Observacin. Todo tringulo se puede inscribir en una circunferencia
Observacin. Todo polgono regular es inscriptible en una circunferencia
Ejemplos.
1. Si 7598 y Calcule y
2. Si la medida del arco CBA es 200, calcule el ABC
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3. Si EBC = 76 y FCB = 110, cunto mide ?
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GUA EJERCICIOS: DESARROLLO
1. En la figura AB es dimetro de la circunferencia y el arco mide el doble del
arco . Cul es la medida del ngulo ABC?
2. En la figura, las cuerdas CDyAB son perpendiculares y el arco mide 35.
Cunto mide el arco ?
3. Cul es la medida del ngulo de acuerdo con los datos de la figura?
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4. El tringulo ABC issceles de base AB est inscrito en la circunferencia y el arco
mide 100. Cul es la medida del ngulo ?
5. Si se sabe que 4535 y , cul es la medida del ngulo x de la figura?
6. El arco de la figura mide 94 y el arco mide 108. Cul es la medida del
ngulo ACB?
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7. BPyAP son tangentes a la circunferencia en A y B, respectivamente, y ACB?
8. Cules son los valores de x e y de la figura?
9. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia, y las medidas de los arcos
estn en la razn 1: 2: 3, respectivamente. Cul es el valor de x?
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10. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia, y = 58. Cul es el valor
de x?
11. En la figura, AD es dimetro de la circunferencia, y los arcos
son congruentes. Cul es la medida del ngulo BAE?
12. Cul es la medida del ngulo PAC de la figura si la recta PQ es tangente a la
circunferencia en el punto A, el ngulo ACB mide 65 y el arco mide 30?
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13. La recta PQ es tangente a la circunferencia en el punto T. Los arcos
miden 135 y 55, respectivamente. Cul es la medida del ngulo TQR?
14. La rectaPC es tangente a la circunferencia de centro O en el punto C. El
ngulo AOB mide 126 y . Cul es la medida del ngulo ACP?
15. El ngulo APD de la figura mide 75 y el arco mide 95. Cul es la medida
del arco ?
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16. El ngulo ADC de la figura mide 64, y el ngulo APC mide 34. Cunto mide
el arco ?
17. El cuadriltero ABCD est inscrito en la circunferencia. Cunto mide el ngulo
ADC?
18. En la figura, el ngulo MPQ mide 27 y el arco mide 42. Determine la
medida del arco
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19. Segn los datos de la figura, Cul es el valor de ?
20. la cuerda CD es dimetro de la circunferencia. El arco mide 115 y el arco
mide 12. Determine la medida del arco y del BPD.
21. El arco mide 182, el ngulo APB mide 42 y AP es tangente a la
circunferencia en A. Cunto miden los arcos , respectivamente?
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22. En la figura, las cuerdas BCyAD se intersectan en el punto P; los arcos
miden 200 y 104, respectivamente. Cunto mide el ngulo APB?
23. En la figura, la recta PB es tangente a la circunferencia en el punto B, y el ngulo ACB mide 76. Cunto mide el ngulo PBC si el tringulo ABC es issceles
de base AB ?
24. En la figura, ABCDE es un pentgono regular inscrito en la circunferencia;
PByPD son tangentes en B y D, respectivamente. Cul es la medida del BPD?
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GUA DE EJERCICIOS
1. En la figura, DE es tangente a la circunferencia de centro O en el punto E y
BDBC . Si EAB = 10, cul es el complemento del ngulo ?
A) 20 B) 30
C) 40 D) 50 E) 60
2. En la figura, Arco AB = Arco CD y O es centro de la circunferencia. Entonces,
cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) x = y
II) x + y = 20
III) ACB = 2
x
A) Slo I B) Slo II C) Slo III
D) Slo I y II E) Slo I y III
3. En la circunferencia de centro O de la figura, OAD = 20. Entonces, el ACD mide
A) 40 B) 50
C) 60 D) 70 E) 80
4. En la circunferencia de centro O de la figura, el ngulo CAB mide 40. Cul es la medida del ngulo OCB?
A) 20 B) 30
C) 40 D) 50 E) 60
B
E C
A
D
O
x y 40
D C
B A
O
O O
D
C
B
A
O B
A
C
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5. En la figura, si AOB = 56, entonces + 3 - 2 =? A) 28 B) 36
C) 42 D) 56 E) 112
6. En la figura, se tiene un semicrculo de centro O y ABC = 40. El valor del x es:
A) 20 B) 25 C) 40
D) 50 E) 60
7. En el ABC de la figura se ha dibujado la circunferencia inscrita a l. E, F y D
son los puntos de tangencia, entonces x = A) 73
B) 58 C) 43 D) 21,5
E) 17
8. ABes dimetro de la circunferencia de centro O. Si BDOC y CAB = 40,
entonces ABD =
A) 10 B) 20 C) 22,5
D) 30 E) 40
A
C
x
F
E
D
B
52
94
O
B
D A C
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9. En la circunferencia de centro O, ODOC . Si COD = AOB + 38, Cunto
mide el AOD si AOB = BOC? A) 104 B) 142
C) 166 D) 176 E) 256
10. En la circunferencia de centro O, AB //CD y AB : AD = 1:2. AOC = A) 135
B) 120 C) 90 D) 60
E) 45
11. En la circunferencia de centro O, MNPO es un rombo. NPO = A) 30
B) 45 C) 60 D) 120
E) No se puede determinar
12. En la circunferencia de la figura, AC y AD son secantes, BD y CE son
cuerdas. Si arco CD = 100 y el ngulo DFC es el cudruplo del ngulo BAD,
entonces arco BE = A) 20
B) 30 C) 40 D) 60
E) 80
M
N
P
O
E
F A
D
B C
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13. En la circunferencia de centro O, AB // CD , COE = 30 y EOD = 70,
entonces la medida del DOB = A) 20
B) 40 C) 60 D) 70
E) 80
14. En la circunferencia de centro O de la figura, x = A) 4 90 B) 4 180 C) 90 - 4
D) 2 45 E) 2 90
15. El cuadriltero ABCD de la figura, est inscrito en la circunferencia de centro
O. Si PCB = 80 y ADC = 110, entonces x = A) 10 B) 20
C) 30 D) 40 E) No se puede determinar
16. En la figura, la circunferencia tiene centro 0 y dimetro AB . Entonces, cul es la medida del ngulo ?
A) 20 B) 30
C) 45 D) 60
E) 90
110
O
x
P A B
D
C
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17. En la circunferencia de centro O de la figura, TA es tangente en A, TC // AB y
ATC = 30. Si AC es dimetro, entonces ACB =
A) 60 B) 45
C) 35 D) 30 E) 20
18. En la circunferencia de la figura, si APB = 100, DQC = 120 y DB es
dimetro, entonces AMD = A) 20
B) 40 C) 50 D) 55
E) 60
19. En la circunferencia de centro O, si BAO = 50, entonces BCA= A) 25
B) 40 C) 50 D) 60
E) 80
20. En la circunferencia de centro O de la figura, si CM es cuerda y
ACM + CMB = 115, entonces APC = A) 35
B) 45 C) 65 D) 75
E) 85
T
A
B
C
O
Q
P
A B
C D
M
A
B C O
A B
C
P
O
M
-
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21. En la figura, AB es dimetro y CE es tangente en D a la circunferencia.
Si ACD = 32, entonces ADE=
A) 42 B) 44 C) 48
D) 52 E) 61
22. En la circunferencia de centro O de la figura, ODAB y ADO = 60.
Entonces ACB = A) 30
B) 60 C) 70 D) 80
E) 120
23. En la figura, si NMT = 30 y NQT = 20, entonces MNL = A) 10
B) 20 C) 30
D) 35 E) 40
24. En la figura, el arco AB es 10
1 de la circunferencia de centro O. Si AC es la
bisectriz del OAB, entonces AOC =
A) 72 B) 90 C) 108
D) 135 E) 144
C
A
B
D E
C
D
A B
O
N M
Q
L
T
O
A B
O
C
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25. En la figura, CG es tangente en F a la circunferencia. Si GCE = 130 y
Arco FA = 160, entonces AFC = A) 110
B) 100 C) 90 D) 80
E) 70
26. En la circunferencia de la figura, S es punto medio del arco QR.
Si PQR = 71 y PRQ = 51, entonces QRS = A) 61
B) 58 C) 29,5 D) 29
E) 28
27. En la circunferencia de centro O de la figura, las cuerdas BDyAC forman un
ngulo de 60. Si DOC = 80, entonces ADB =
A) 20 B) 30 C) 40
D) 60 E) 80
28. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia de centro O. Cul es la
medida del ngulo x, si ODOC ?
A) 15 B) 30 C) 45
D) 60 E) 75
E
C D A
F
G
D C
B A
80
60
O
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29. En la circunferencia de centro O, y son ngulos complementarios,
entonces x =
A) 60 B) 80
C) 120 D) 150 E) 300
30. En la figura, el rectngulo ABCD est inscrito en la circunferencia de
centro O. Si el arco AB = 1
4 arco BC y L es una recta tangente a la
circunferencia en A, entonces el EAD mide
A) 45 B) 90 C) 36
D) 72 E) 144
31. En la circunferencia de la figura, est inscrito un polgono regular de seis
lados. El valor del ngulo x es A) 30
B) 45 C) 60 D) 120
E) Falta informacin
32. En la circunferencia de centro O de la figura, si APD = 80 y CED = 50, entonces Arco BC =
A) 150 B) 110
C) 80 D) 60 E) 50
x
O
x
80
50
P
C
D
O
B
A
A
D
C
B
E
L O
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33. En la figura, ABCD es un cuadriltero inscrito en la circunferencia. Si
ABC = 134, ACB = 34 y arco DC = 122, entonces el valor del x es A) 95 B) 68
C) 61 D) 56 E) 27
34. En la circunferencia de centro O, de la figura se han trazado las cuerdas
BEyCD,AB de modo que CD//AB . Si la medida del ngulo obtuso AOE es
142, entonces la medida del ngulo x es
A) 71 B) 109 C) 142
D) 152 E) 161
35. En la circunferencia de centro O de la figura, el arco SPQ = 220. Si PR es
bisectriz del QPS, entonces SPR =
A) 140
B) 80 C) 70 D) 55
E) 35
36. En la circunferencia de centro O de la figura, AB es dimetro y AB//CD .
Entonces, la medida del AED es
A) 60 B) 75 C) 120
D) 135 E) 150
A B
D
C
E x
O A
C
E
D
B
x
O Q
R S
P
O
A
B
C
D 30
E
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37. En la figura, AB es dimetro y O centro de la circunferencia, cunto mide el
? A) 20
B) 25 C) 40 D) 100
E) 140
38. En la figura, DA es tangente en A a la circunferencia de centro O, AC es
dimetro y AB//DC . Si ADC = 30, entonces la medida de ACB es
A) 75 B) 60
C) 45 D) 35 E) 30
39. En la figura se tiene que AB y CE son dimetros. Si AEC = 37,5 y
el arco DE = 80, entonces ARC = A) 25 B) 30
C) 37,5 D) 50 E) 75
40. En la figura, Arco AB = Arco CD y O es centro de la circunferencia. Entonces, cul(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) x = y
II) x + y = 20
III) ACB = 2
1x
A) Slo I B) Slo II C) Slo III
D) Slo I y II E) Slo I y III
D
C
B A
80
O
B D
A
C
O
E
C
A
R
O
D B
x y 40
D C
B A
O
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41. En la circunferencia de centro O de la figura, OAD = 20. Entonces, el
ACD mide A) 40 B) 50
C) 60 D) 70 E) 80
42. En la circunferencia de centro O de la figura, el ngulo CAB mide 40. Cul es la medida del ngulo OCB?
A) 20
B) 30 C) 40 D) 50
E) 60
43. En la circunferencia de centro O de la figura, OBC = 80 y Arco BC = arco
AB 20. La medida del x es
A) 40 B) 50
C) 60 D) 80 E) no se puede determinar
44. Las circunferencias de centros O y O de la figura, son tangentes en B. Si
BCABAC , cul es la medida del ACD?
A) 20 B) 30 C) 45
D) 50 E) 70
O O
D
C
B
A
O B
A
C
x
80
O
B
C
A
O O A
B C
D
20
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45. En la circunferencia de la figura, arco AB = arco BC = 60. Entonces,
x + y = A) 120 B) 100
C) 90 D) 80 E) 60
46. En la figura, se puede determinar la medida del x inscrito en la circunferencia si:
(1) ABC = 70.
(2) AB es dimetro.
A) (1) por s sola
B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2)
E) Se requiere informacin adicional
47. En el cuadriltero ABCD inscrito en la circunferencia, se puede determinar el
ADB si:
(1) Arco AD = Arco BC
(2) AB es dimetro.
A) (1) por s sola
B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola,(1) (2)
E) Se requiere informacin adicional
48. En la circunferencia de centro O de la figura, ABC es un tringulo inscrito. Se puede determinar el OAB si: (1) ACB es equiltero.
(2) CAO = 30 A) (1) por s sola
B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional
A
B
C
x
D C
A
B
130
A
B
x
y
C
A B
O
C
-
LVARO M. SNCHEZ VSQUEZ PROF. MATEMTICA y FSICA Pgina 32
49. En la figura, AB es dimetro de la circunferencia de centro O. Se puede conocer la medida del ngulo OCB s:
(1) Se conoce la medida del ngulo CAO (2) Se conoce la medida del ngulo OBC
A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional
50. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede calcular la medida del
BDO s: (1) Arco DA Arco AB y Arco DA = 20
(2) DBC = 80 A) (1) por s sola
B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2)
E) Se requiere informacin adicional
-
LVARO M. SNCHEZ VSQUEZ PROF. MATEMTICA y FSICA Pgina 33
CIRCUNFERENCIA DE APOLONIO
Recordemos que las bisectrices de dos ngulos adyacentes suplementarios son perpendiculares.
En la figura 1 vemos que es lo que ocurre con las bisectrices interior y exterior
correspondientes al mismo vrtice de un tringulo.
Si observamos la figura 2, vemos que los puntos I, E y C pertenecen a una misma
circunferencia cuyo centro O es el punto medio del segmento IE , de modo que:
radioOEOIOC
Esta circunferencia recibe el nombre de circunferencia de Apolonio, y en
cualquier punto C de ella se cumple que: a
b
BC
AC
'
'
La circunferencia de Apolonio es el lugar geomtrico del tercer vrtice de los
tringulos que tienen la misma base y la razn constante entre los otros dos lados (a: b).
- Arco capaz (figura). Es el LG de los puntos que son vrtice de un ngulo cuyos lados pasan
por dos puntos A y B, extremos de un segmento. Es un arco de circunferencia.
- Construccin del arco capaz: Por el extremo del segmento se traza una lnea que forme el ngulo complementario al que se pide. Se traza
la mediatriz y la interseccin de ambas lneas es el centro de la circunferencia.
-
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La circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach de un tringulo es la que pasa por:
- Los puntos medios de los lados del tringulo. - Los pies de las tres alturas. - Los puntos medios de los segmentos que unen el Ortocentro con los vrtices.
El centro de esta circunferencia est en la recta de Euler - Es el punto medio del segmento que determinan el Ortocentro y el Circuncentro.