angulos y poligonos

Matem

ática

GUICEN001MT22-A11V1 1

Ángulos y polígonosGUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

Nº

Entren

amient

oProg

rama

Desafío

En la figura se muestra un triángulo equilátero MNP y un pentágono regular MNQRS. La medida del ángulo PSR es

R

P QS

M N

A) 42°B) 48°C) 54°D) 60°E) 66°

Mis observacionesResolución

Entren

amient

oProg

rama

2

Marco teóricoÁngulos:

Existen tres sistemas angulares: grados sexagesimales (°), radianes (rad) y grados centesimales (g). La relación entre ellos es

360° = 2π rad = 400g

El sistema utilizado en PSU es el de grados sexagesimales...

Un ángulo se llama... si su medida es...

agudo 0° < α < 90°recto α = 90°obtuso 90° < α < 180°convexo 0° < α < 180°extendido α = 180°cóncavo 180° < α < 360°completo α = 360°

Relaciones angulares:

Si la suma de dos ángulos es 90°, se dice que son ángulos complementarios. Entonces, el complemento de α es (90° – α).

Si la suma de dos ángulos es 180°, se dice que son ángulos suplementarios. Entonces, el suplemento de α es (180° – α).

α bw

L2

L1

L1 y L2 rectas

α y b son adyacentes ⇒ α + b = 180°α y w son opuestos por el vértice ⇒ α ≅ w

L1, L2 y L3 rectas

L1 // L2 ⇔ α ≅ b

α

b

L3

L1

L2

L1, L2, L3 y L4 rectas

L1 // L2 ⇔ w = α + b

α

w

b

L3 L4

L1

L2

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GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA

MAT

EMÁ

TIC

A

Polígonos:Un polígono es una figura plana, cerrada y formada por segmentos rectos llamados lados. Se llama polígono convexo cuando todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.

Si un polígono convexo tiene N lados...

...la suma de sus ángulos interiores es180° · (N – 2)

...la suma de sus ángulos exteriores es360°

...la cantidad total de diagonales que se pueden trazar en su interior es

N · (N – 3) 2

ángulo exterior

ángulo interior

αb

lado

diagonal

vértice

Polígonos regularesUn polígono regular tiene todos sus lados congruentes y todos sus ángulos interiores congruentes.

En un polígono regular, también se cumple que al trazar todas las diagonales que salen desde un vértice, el ángulo interior queda dividido en partes iguales.

Así, la medida de cada ángulo interior en un

...triángulo equilátero es 60°...cuadrado es 90°

...pentágono regular es 108°...hexágono regular es 120°

Si un polígono regular tiene N lados, entonces cada uno de sus ángulos interiores mide

180° · (N – 2) N

Por ejemplo, en un pentágono regular...

36° 36°36°

Entren

amient

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rama

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Ejercicios PSU

1. ¿A cuántos radianes equivalen 100º?

A) 29 π radianes. D) 10

9 π radianes.

B) 59 π radianes. E) Ninguna de las medidas anteriores.

C) 9

10 π radianes.

2. En la figura, L1 ⊥ L2, entonces x mide

xα

L1

L2

L3

A) αB) 45ºC) 45º – αD) 90º – αE) 180º – α

3. En la figura, L1 // L2 // L3, entonces α mide

110º

α

L1

L2

L312º

L4 L5L6

A) 82ºB) 90ºC) 122ºD) 168ºE) 238º

4. El ángulo menor que forman los punteros del reloj a las 13 horas 40 minutos es

A) 170º D) 130ºB) 155º E) 120ºC) 150º

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MAT

EMÁ

TIC

A5. Si α y b son complementarios y α : b = 4 : 5, entonces α mide

A) 30º D) 60ºB) 40º E) ninguna de las medidas anteriores.C) 50º

6. En la figura, L1 // L2 y L3 // L4, entonces ¿cuánto mide x?

ε

L1 L2

x

L3 L4A) ε B) 45º – εC) 90º – εD) 180º – εE) Faltan datos para determinarlo.

7. Al sumar el suplemento del complemento de 0º y el suplemento del complemento de 45º, el ángulo resultante es

A) 90º D) 225ºB) 125º E) 315ºC) 135º

8. En la figura, α : b : γ = 2 : 3 : 5, entonces el complemento del ángulo menor mide

bα γ

A) 0ºB) 36ºC) 54ºD) 144ºE) ninguna de las medidas anteriores.

9. En la figura, BF es bisectriz del ángulo EBA. Si (y + z) es igual al suplemento de 100º, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

yw

zx

A B C

F E DI) x + w = 100ºII) x – z = w – y III) x, y, z, w son adyacentes.

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo II y IIIE) I, II y III

Entren

amient

oProg

rama

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10. En la figura, L1 // L2 // L3. Si α + b = 26º, entonces la medida de b es

x–10ºα

L1

2x+3º

bL2

L3

A) 11ºB) 14ºC) 25ºD) 36ºE) ninguna de las medidas anteriores.

11. Según la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

b αε

δ

I) α y ε son adyacentes.II) δ y ε son opuestos por el vértice.III) b y δ son complementarios.

A) Solo I D) Solo II y IIIB) Solo III E) I, II y IIIC) Solo I y II

12. Si α y b son suplementarios y α : b = 2 : 7, entonces 3β corresponde a

A) 40º D) 320ºB) 120º E) 420ºC) 140º

13. En la figura, L1 // L2, L1 ⊥ L3 y α es la cuarta parte de b, ¿cuánto mide ε?

L1

L2 α

bε

L3

L4

A) 36º B) 45º C) 54º D) 64º E) Ninguna de las medidas anteriores.

14. En la figura, L1 // L2, la medida de x es

L1

L2

130º

x

110º

L3L4

A) 50º B) 70º C) 110ºD) 120ºE) 160º

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MAT

EMÁ

TIC

A15. En la figura, el segmento MS es bisectriz del ángulo QMT y el segmento MQ es bisectriz del ángulo PMR. Si TM , ⊥ PM, entonces la medida del ángulo α es

TS

R

Q

PMα

24°

A) 14° B) 21° C) 22°D) 33°E) 38°

16. En la figura, L1 // L2 // L3, entonces la medida de x es

L1

L2

L3

2x + 21°

α

x

α – 12°

63° – x

L4

L5

A) 10°B) 18°C) 24°D) 32°E) 75°

17. Si la cuarta parte del complemento de α es igual al 65% de α, entonces el suplemento de α mide

A) 25° D) 150°B) 40° E) 155°C) 65°

18. Sean α y b dos ángulos agudos, entonces el complemento de α más el complemento de b es igual a

A) el complemento de la suma entre α y b.B) la suma entre el complemento de α y b.C) el suplemento de la suma entre α y b.D) la suma entre el suplemento de α y b.E) la suma entre el suplemento de α y el suplemento de b.

Entren

amient

oProg

rama

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19. “El complemento de α es un ángulo agudo menor que 150°”, se expresa como

A) (90° – α) < 150° B) (90° – α) < 180° C) 90° < (90° – α) < 150° D) 90° < (90° – α) < 180° E) 150° < (90° – α) < 180°

20. Si un reloj marca las 5:00 hrs, ¿cuál es la menor cantidad de tiempo necesaria para que los punteros formen un ángulo de 95°?

A) 9 minutos y 10 segundos. B) 10 minutos. C) 55 minutos. D) 60 minutos. E) Ninguno de los tiempos anteriores.

21. En un hexágono regular se trazan todas las diagonales que salen desde uno de sus vértices. ¿Cuál de las siguientes clasificaciones NO corresponde a los triángulos que se forman en su interior ?

A) Triángulo acutángulo. B) Triángulo rectángulo. C) Triángulo obtusángulo. D) Triángulo isósceles. E) Triángulo escaleno.

22. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?

I) En un pentágono regular, el suplemento de un ángulo interior mide 72º. II) El total de diagonales que se pueden trazar en un octágono son 24. III) La suma de los ángulos interiores de un heptágono es 720º.

A) Solo I D) Solo II y III B) Solo II E) I, II y III C) Solo I y III

23. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) FALSA(S)?

I) En un octágono regular cada ángulo interior mide 135º. II) El suplemento de δ es (180º – δ). III) Los ángulos adyacentes son suplementarios. A) Solo III D) I, II y III B) Solo I y II E) Ninguna de ellas. C) Solo II y III

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TIC

A24. En la figura, O es centro del polígono regular. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

x

O•

A) 22,5º B) 45º C) 60º D) 67,5º E) Faltan datos para determinarlo.

25. En la figura, O es centro del polígono regular. ¿Cuánto mide x? x

•O A) 36º B) 52º C) 54º D) 72º E) Ninguna de las medidas anteriores.

26. En un polígono regular de más de 3 lados, siempre es posible afirmar que

I) todas las diagonales tienen igual medida. II) el número total de diagonales es mayor que el número de lados. III) la medida de cada diagonal es mayor que la medida de cada lado. Es(son) verdadera(s)

A) solo II. D) I, II y III. B) solo III. E) ninguna de ellas. C) solo II y III.

27. Si un polígono de x lados tiene y diagonales, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de diagonales que tiene un polígono de (x + 1) lados?

A) x + 1 D) x + y B) y + 1 E) x + y + 1 C) x + y – 1

28. En la figura se muestra un pentágono regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s) ?

α

w

b

I) La medida de α es el 50% de la medida de b. II) La medida de b es el 50% de la medida de w. III) α + b = w.

A) Solo I D) Solo II y III B) Solo I y II E) Ninguna de ellas. C) Solo I y III

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29. En la figura, se puede determinar la medida del ángulo γ si:

αL1

L2

γ

L3 L4

(1) α = 42º (2) L1 // L2 A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

30. Se puede determinar el total de diagonales trazadas desde un vértice en un polígono convexo si:

(1) El polígono tiene 10 lados. (2) La suma de los ángulos interiores del polígono es 1.440º.

A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional.

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Tabla de corrección Ítem Alternativa Habilidad

1 Aplicación2 Comprensión3 Aplicación4 Análisis5 Aplicación6 Análisis7 Aplicación8 Aplicación9 Análisis10 Aplicación11 Análisis12 Aplicación13 Aplicación14 Aplicación15 Aplicación16 Aplicación17 Aplicación18 Comprensión19 Comprensión20 Análisis21 Comprensión22 Análisis23 Análisis24 Análisis25 Análisis26 Análisis27 Análisis28 Análisis29 Evaluación30 Evaluación

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