ngulos y su clasificacin

Un ngulo es una figura geomtrica formada en una superficie por dos lneas que

Un ngulo es una figura geomtrica formada en una superficie por dos lneas que parten de un mismo punto.

Tambin podemos decir que un ngulo es la abertura formada por dos rayos llamados lados, que tienen un origen comn llamado vrtice.El ngulo se anota:

Dos rectas con un origen comn determinan siempre dos porciones del plano y por tanto dos ngulos, y .

Al ngulo se le llama ngulo convexo, mientras que el ngulo es cncavo.

Clasificacin de los ngulos

Los ngulos pueden clasificarse segn su medida en cinco tipos:

ngulo recto: es aquel cuya medida es de 90

= 90

ngulo agudo: es aquel cuya medida es menor que 90

= < 90

ngulo extendido: es aquel cuya medida es de 180

= 180

ngulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor que 90 y menor que 180

= > 90 < 180

ngulo completo: es aquel cuya medida es de 360

= 360ngulos y rectas

Relaciones entre parejas de ngulos

En casi todas las figuras geomtricas donde intervengan rectas aparecen ngulos, los cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posicin en el plano.

As, dos ngulos pueden ser entre s complementarios, suplementarios o adyacentes.Dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90

+ son complementarios + = 90

Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180

+ son suplementarios + = 180

Dos ngulos son adyacentes si tienen un lado en comn y los otros dos estn en la misma recta.

a es adyacente con b A, B, C son colineales (estn en la misma recta), BD lado comn para a y b

Los ngulos adyacentes son suplementarios.

Rectas secantes y paralelas

Como ya vimos, por definicin, un ngulo es una figura geomtrica formada en una superficie por dos lneas rectas que parten de un mismo punto.

Fijando nuestra atencin en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).

Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ngulos. Cada ngulo tiene dos lados y un vrtice.

Esta construcccin en el plano nos permite relacionar entre s los ngulos as formados.

ngulos opuestos por el vrtice

Son los ngulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vrtice (V).

es opuesto por el vrtice con es opuesto por el vrtice con Como podemos verificar en la fgura: Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales

ngulos determinados por dos rectas paralelas y una secante

Dos rectas paralelas cortadas por una tercera determinan ocho ngulos:

Esta distribucin numrica nos permite carecterizar parejas de ngulos segn su posicin, haciendo notar que los ngulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ngulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas:

ngulos internos (3, 4, 5 y 6)

Los ngulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180)

ngulos 3 y 5 son suplementarios (suman 180) ngulos 4 y 6 son suplementarios (suman 180)

ngulos externos (1, 2, 7 y 8)

Los ngulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios.

ngulos 1 y 7 son suplementarios (suman 180)ngulos 2 y 8 son suplementarios (suman 80)

ngulos correspondientes:

Son aquellos que estn al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

1 y 5 son ngulos correspondientes (iguales), 1 = 5 2 y 6 son ngulos correspondientes (iguales) 2 = 63 y 7 son ngulos correspondientes (iguales) 3 = 74 y 8 son ngulos correspondientes (iguales) 4 = 8

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos correspondientes es congruente entre s.

ngulos alternos internos:

Son aquellos ngulos interiores que estn a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

3 y 6 son ngulos alternos internos 3 = 64 y 5 son ngulos alternos internos 4 = 5

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos alternos internos es congruente entre s.

ngulos alternos externos:Son aquellos ngulos exteriores que estn a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.

1 y 8 son ngulos alternos externos 1 = 82 y 7 son ngulos alternos externos 2 = 7

Esta relacin da pie para formular el siguiente postulado:

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ngulos alternos externos es congruente entre s.

PSU: Geometra

Pregunta 11_2006En la figura

, se puede afirmar que UT = 7 si:

(1) US = 4

(2) L1 // L2

AlternativasA) (1) por s sola

B) (2) por s sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por s sola, (1) (2)

E) Se requiere informacin adicional

Contenido: Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo.Comentario:En este tipo de temes llamados Suficiencia de Datos, las habilidades intelectuales involucradas son las de anlisis, sntesis y evaluacin, que son las capacidades cognitivas de nivel superior.

Este problema demanda analizar la informacin dada. Lo que se le pide al alumno, no es entregar una respuesta, sino que debe analizar la informacin entregada en la pregunta y evaluar si los datos proporcionados por el problema lo resuelven o no.

En este caso, con los datos proporcionados por el enunciado

() , se sabe la relacin .

Con el dato proporcionado en (1) no podemos determinar si UT = 7, porque no sabemos qu relacin existe entre L1 y L2 , slo se conoce la medida de US.

La informacin (2) nos permite aclarar que la relacin entre los tringulos QRP y SUT es de semejanza porque tienen dos de sus ngulos correspondientes iguales (Teorema del AA).

El ngulo QRP es igual al ngulo SUT, por ser ngulos alternos externos entre paralelas y los ngulos PQR y TSU son iguales, por ser ambos rectos.

Por lo anterior, el lado QR se corresponde con US y RP con UT, por lo tanto, con la relacin dada en el enunciado correspondiente a seno , slo se establece la relacin existente entre los lados US y ST. Al complementar los datos del enunciado con los entregados en (1) y (2), se puede determinar que UT = 7.

Luego, la clave es C).

La pregunta result difcil (22,9 por ciento) y la omisin fue alta (45,3 por ciento).

Ejercicios con ngulos

Ejercicio 1)

Si

calcular:

Ejercicio 2)

Si bisectriz del , calcular

Ejercicio 3)

Si encuentre la medida de

Ejercicio 4)

En la figura, , entonces cul(es) de las siguientes relaciones son siempre verdaderas:

Alternativasa) solo Ib) solo IIc) solo IIId) I, II y III e) I y II

ngulos en un trigulo

Los ngulos que se forman en un tringulo se relacionan entre s cumpliendo con las siguientes propiedades o caractersticas:

1.- La suma de los ngulos internos de un trigulo es igual a dos ngulos rectos; es decir, suman 180.

En la figura, + + = 180. Recordar que = y que = por ser ngulos alternos internos.

2.- La suma de los ngulos agudos de un tringulo rectngulo es igual a 90.En la figura, + = 90

3.- En todo tringulo, la medida de un ngulo externo es igual a la suma de las medidas de los ngulos internos no contiguos (opuestos).En la figura, = +

4.- En todo tringulo la medida de un ngulo externo es mayor que la de cualquier ngulo interior no adyacente.En la figura,

> (es mayor que) > (es mayor que) e

5.- La suma tres ngulos exteriores de cualquier tringulo vale cuatro ngulos rectos; es decir, suman 360.En la figura, + + = 360

ngulos en la circunferencia

Dibujando lneas que estn dentro de una circunferencia o que tengan relacin con ella podemos definir distintos tipos de ngulos, como se aprecia en la figura a la derecha:

Donde:

(delta) = ngulo inscrito (71,47), con el vrtice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

(alfa) = ngulo semiinscrito (41,68) , cuyo vrtice est en la circunferencia y tiene un lado que es tangente en dicho vrtice y el otro que es una cuerda. (gama) = ngulo central o del centro (45,42), con el vrtice en el centro de la circunferencia y con sus lados coincidentes con radios.

(beta) = ngulo interior (47,3), con sus lados que son cuerdas de la circunferencia y con el vrtice situado en el interior de la misma.

A continuacin veremos algunas caractersticas de estos ngulos y analizaremos ciertas relaciones entre ellos.

ngulo inscrito en la circunferencia

El ngulo inscrito en una circunferencia es aquel que tiene su vrtice sobre la circunferencia y cuyos lados son dos cuerdas de la misma (si las cuerdas se prolongan, diremos que son dos rectas secantes).

En la figura a la izquierda, vemos varios ngulos inscritos que abarcan o subtienden el arco FD.

Todos miden lo mismo (71,47), por ello, podemos afirmar que los ngulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales.

En nuestro ejemplo, son iguales los ngulos de vrtices B, A, G, H.

Tambin debemos recordar que un ngulo inscrito vale la mitad del arco que abarca.

El ngulo se expresa en grados. El valor de un arco se expresa en grados ycoincide con el valor del ngulo del centro correspondiente.

Cuando el arco comprendido entre los radios tiene la longitud de stos, el valor del ngulo central es un radin, una circunferencia tiene pues 2 radianes.

ngulo central o del centro en la circunferencia

El ngulo central o del centro es el que tiene el vrtice en el centro de la circunferencia, siendo sus lados dos radios.

En la figura a la derecha, vemos que el ngulo del centro dibujado, con vrtice en O, abarca o subtiende el arco FG.

Al respecto, debemos reiterar que El ngulo del centro mide lo mismo que el arco que abarca.

En la misma figura de la derecha se dibuj un ngulo inscrito ( = 37,3) que subtiende o abarca el mismo arco que el ngulo del centro ( = 74,6); en dicha situacin (y los valores indicados lo confirman), Cuando un ngulo inscrito y un ngulo del centro de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ngulo inscrito vale la mitad que el del centro.

Ver: PSU: Geometra; Pregunta 06_2005PSU: Geometra

Pregunta 06_2005En la circunferencia de centro O de la figura, el trazo OE es bisectriz del < AOB y el < EAB mide 20. Si M est sobre la circunferencia, entonces el < AMB mide

A) 20

B) 25

C) 35

D) 40

E) 50

Clave: DComentarioPara resolver el problema el alumno debe recordar que El ngulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del ngulo del centro que subtiende el mismo arco.

As se puede deducir que el ngulo del centro EOB mide 40 pues subtiende el mismo arco que el ngulo inscrito EAB. Como el trazo OE es bisectriz del < AOB, el ngulo AOB tambin mide 40. Por lo tanto, el < AOB = 80.

Aplicamos el mismo principio al ngulo inscrito AMB que subtiende el mismo arco que el ngulo del centro AOB, por lo tanto < AMB = 40.

Pregunta sencilla sobre ngulos inscritos, ngulos del centro y la relacin entre ellos, para aplicarl a la resolucin del problema, que result muy difcil y cuya omisin super el 50 por ciento.

Pregunta 10_2005

PSU: Geometra

Pregunta 10_2005En la figura, O es el centro de la circunferencia y ABC es issceles, tal que trazo AC = BC. Las medidas de los ngulos , y se pueden determinar si:

AlternativasA) (1) po si sola

B) (2) por si sola

C) ambas juntas, (1) y (2)

D) cada una por si sola, (1) o (2)

E) se requiere informacin adicional

Tema: Criterios de congruencia de tringulosComentarioAl analizar los datos entregados se puede determinar que el AOC es congruente con BOC (por el criterio LLL), pues:

AC = BC (por el enunciado) y OC = OA = OB = radio.

Luego, cada uno de estos tringulos son issceles de bases AC y BC, respectivamente, y en donde los ngulos basales son todos iguales entre s:

Con la afirmacin (1) se puede determinar la medida de ngulo OCB y, por lo tanto, la del ngulo OCA que es igual debido a la congruencia de los tringulos sealados.

Lo anterior permite determinar el valor del ngulo , pues es opuesto por el vrtice con el ngulo ACB.

En el ABC sus ngulos basales son iguales (), esto permite determinar los valores de y pues ya se conoce la medida del ngulo ACB. Por lo tanto, (1) por si sola sirve para determinar lo pedido.

Al analizar los datos de la afirmacin (2) y dado que por la congruencia de los tringulos AOC y BOC se sabe que , se deduce la medida de cada uno de ellos, pudiendo hacer de nuevo el mismo anlisis anterior y llegar a la conclusin de que (2), por si sola, tambin sirve. Por lo tanto, la clave es D.

Este item tambin, se puede resolver usando las propiedades de ngulo del centro y de ngulo inscrito en una circunferencia.

Si analizamos (1): como el arco subtendido por ngulo BOC (ngulo del centro) es igual al arco subtendido por ngulo BAC (ngulo inscrito), se puede concluir que el valor del ngulo BAC es la mitad de la medida del ngulo BOC y, por lo tanto, se puede determinar el ngulo que es opuesto por el vrtice con el ngulo BAC.

Como el ABC es issceles de base AB, se deduce que .

Adems, (1) tambin permite determinar el ngulo , al conocer los ngulos basales del tringulo ABC.

Por lo tanto, (1) por si sola sirve.

Al analizar (2), como ngulo AOB (ngulo del centro) subtiende igual arco que ngulo ACB (ngulo inscrito), se puede determinar ngulo como la mitad de la medida del ngulo AOB.

Tambin se sabe que el tringulo ABC es issceles por los datos entregados en el enunciado del problema, determinndose as la medida de los ngulos CAB y ABC, luego ngulo y ngulo se determinan por ser opuestos por el vrtice a los respectivos ngulos basales.

Luego, (2) por s sola, tambin sirve, por lo que la opcin D es la correcta.

La pregunta result difcil y cerca de un tercio de las personas que la enfrentaron la omiti.

Es importante notar que dos puntos, A y B, sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ngulos centrales:

uno cncavo ( = 130,68) y

uno convexo ( = 229,32) ,o los dos iguales, que sumarn 360.

Los ngulos inscritos ( = 65,34 y = 114,66 en la figura de la derecha) que subtienden los mismos arcos que subtienden los ngulos del centro mencionados, sern suplementarios, pues sumarn siempre 180.

ngulo semiinscrito en la circunferencia

El ngulo semiinscrito tiene el vrtice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB (figura a la izquierda).

La tangente, que es perpendicular al radio, es lado de dos ngulos semiinscritos y cada uno subtiende un arco diferente.

Un ngulo semiiscrito (en la figura es = 67,5) vale la mitad que el ngulo del centro ( = 135) que abarca el arco AB.

Ntese que en la figura estn dados los valores de los ngulos y es fcil comprobar lo antes dicho, pero para comprobarlo de modo general, sin saber los valores, calculamos el valor del ngulo central as:

,

por pertenecer al tringulo issceles ABC (recordar que los ngulos interiores de cualquier tringulo suman 180, y que el tringulo issceles tiene dos ngulos iguales).

Entonces, calculamos el valor del ngulo semiinscrito:

El razonamiento es el mismo cuando el ngulo semiiscrito ( (zeta) = 112,5) abarca el otro arco definido por AB.

ngulo interior en la circunferencia

El ngulo interior tiene el vrtice en un punto interior de la circunferencia, en el crculo. Sus lados son dos rectas secantes.

El ngulo interior , siendo y los ngulos centrales de los arcos (AC y DB) definidos por las rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el tringulo escaleno AGD:

el ngulo, pues es el ngulo inscrito que abarca el arco AC; el ngulo , pues es el ngulo inscrito que abarca el arco DB; entonces el ngulo , por lo tanto,

ngulos exteriores a la circunferencia

El ngulo exterior tiene el vrtice (A) en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes (AB y AC).

El ngulo exterior , siendo y los ngulos centrales de los dos arcos definidos por las dos rectas secantes.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el tringulo escaleno ADB:el ngulo , pues es el ngulo inscrito que abarca el arco ED; el ngulo , pues es el ngulo inscrito que abarca el arco BC; el ngulo , suplementario de CDB; por lo tanto, el ngulo

Hay otros dos casos de ngulos exteriores, segn sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:

El ngulo exterior circunscrito (figura de la izquierda) tiene los dos lados tangentes a la circunferencia; = 180 , siendo el ngulo central BOC definido por las tangentes.

Vamos a comprobarlo:

El cuadriltero ABOC cumple, como tal, que la suma de sus ngulos interiores es 360.

Siendo dos de sus ngulos rectos ( y ) , resulta que 180 = + ,

luego = 180 .

El ngulo exterior circunscrito tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia (figura a la derecha). El ngulo exterior , siendo y los ngulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el tringulo escaleno ABC:

el ngulo , pues es el ngulo inscrito que abarca el arco CD; el ngulo , pues es el ngulo suplementario de , ngulo semiinscrito que abarca el arco BC;

el ngulo

LOS NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Podemos dibujar ngulos que se relacionen con la circunferencia. Segn la posicin que ocupen reciben nombres apropiados con relacin a esa posicin.

Cuanto se refiere a los NGULOS en la circunferencia, siempre RELACIONAMOS a stos con los ARCOS que forman.1) ngulo central: nos hemos referido a l en ms de una ocasin; se trata del ngulo formado por dos radios que son sus lados y su vrtice se encuentra en el centro O de la circunferencia.

En la figura siguiente ves que el arco corresponde al ngulo central que lo representamos con el acento circunflejo sobre la letra que representa el vrtice del ngulo.

El arco corresponde al ngulo central o lo que es lo mismo, la longitud del arco comprendido entre sus lados (los radios) pertenece al ngulo central y su medida es de 96.Cuanto mayor es el ngulo central mayor ser la longitud del arco que abarcan sus lados:

Vas a tener en cuenta que cuando representamos con letras un ngulo, por ejemplo significa que la letra sealada con en este caso la O, nos referimos a que el vrtice del ngulo se encuentra en dicha letra.Cuando nos refiramos a un arco entre dos puntos sealados con letras, por ejemplo: el arco entre los puntos A y B lo representamos: Las dos circunferencias de la ltima figura de igual radio, la longitud del arco vemos que estn en razn directa con la medida del ngulo central: a mayor medida del ngulo central corresponde mayor longitud de arco. La longitud es decir, a 50 corresponde el arco y a 111 corresponde y puedes comprobar que a mayor ngulo central corresponde mayor longitud de arco.Muchas veces cuando nos referimos a las medidas de los arcos de la circunferencia hablamos de lo que miden sus longitudes en: m., dm., cm., pero tambin podemos referirnos a su medida en grados, minutos y segundos, incluso en radianes.Cuando decimos que un arco mide 751213 quiere decir que su ngulo entral tiene la misma medida.

Las medidas de los arcos de la ltima figura puedes expresarlos tambin en grados: el arco mide 50 y arco 111.Las medidas de los ngulos y arcos de una circunferencia se miden en grados, minutos y segundos.

15.144 Una circunferencia tiene un radio de 5 m. Cunto mide un arco de esta circunferencia que corresponde a un ngulo central 60?

Respuesta: 5,23 m.Solucin:

La longitud total de la circunferencia m., corresponde a 380Una longitud de..X m. corresponden a 60

15.145 Cul es la longitud de un arco en metros sabiendo que su ngulo central vale 65 y su radio 8 m.?

Respuesta: 9,07 m.2) ngulo inscrito: es el ngulo que tiene su vrtice en un punto de la misma lnea de la circunferencia y sus lados la cortan.

Ves que el vrtice se encuentra en el punto P de la circunferencia y los lados del ngulo inscrito cortan a la circunferencia en A y en B.

Cul es la medida del arco correspondiente a este ngulo inscrito de 44? Por supuesto que no se trata de la longitud del arco por que el ngulo tendra que ser central.

Modo de calcular el valor de un ngulo inscrito: En primer lugar trazo una lnea que une el punto B con el centro O, tal como lo puedes ver en la figura siguiente:

El segmento OB y el segmento OP son iguales por tratarse del radio. Esto quiere decir que si los lados con vrtice en O son iguales, los ngulos cuyos vrtices estn en B y en P sern iguales.Las medidas de estos ngulos los tienes a continuacin y comprobamos que tienen 44:

Ahora observa bien la figura siguiente que como estudiamos con anterioridad e hicimos la demostracin correspondiente sobre el valor de un ngulo exterior de un tringulo, decamos que era igual a la suma de los otros dos ngulos interiores no adyacentes:

El ngulo con vrtice en O es igual a los valores de los ngulos cuyos vrtices estn en B y en P, podramos escribir: Vemos que los ngulos ambos valen en nuestro ejemplo 44.

La igualdad podemos escribirla por ser iguales los ngulos Esto quiere decir que podemos escribir: y de esta igualdad despejamos :

Comprobamos que el ngulo central en vale 88, es decir, el doble que los ngulos inscritos y abarca el arco Esto significa que la medida del arco que abarca el ngulo o el ngulo valdrn la mitad de lo que abarca el ngulo central , es decir, .

El valor de un ngulo inscrito es igual a la mitad del ngulo central, luego, la medida del arco correspondiente a un ngulo inscrito equivale a la mitad del arco que comprenden sus lados o a la mitad del ngulo central correspondiente.

3) ngulo semi-inscrito: El ngulo semi-inscrito es el que su vrtice se encuentra en un punto de la circunferencia, y sus lados, uno es tangente y el otro secante con relacin a la circunferencia:

En la figura siguiente sealamos el centro y creamos el ngulo central . El lado del ngulo central es perpendicular al lado secante . El lado del ngulo central es perpendicular al lado tangente :

Pasamos a la figura siguiente y puedes ver que hemos creado los ngulos que abarca el arco y que abarca el arco , es decir, los ngulos en y en . Estos ngulos son iguales (en este caso miden 46) porque sus lados son perpendiculares:

El arco corresponde al ngulo central de 46. Podemos escribir:

Como el valor del arco correspondiente al ngulo central es el que abarcan sus lados escribimos:

Tambin podemos decir que:

debido a que OD es mediatriz de CE.Como el arco es la mitad del arco podemos escribir:

Como , podemos decir que tambin: Si ahora sustituyes :

tenemos la igualdad : La medida de un ngulo semi-inscrito es igual a la mitad del arco que abarcan los lados.Todo lo explicado sobre el ngulo semi-inscrito lo puedes ver en el grfico siguiente:

Sucede como si se tratara de un ngulo inscrito. Comprobamos que la medida del ngulo semi-inscrito equivale a la mitad del ngulo central y es igual, a la mitad de la medida del arco que abarcan sus lados.

LOS NGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA. (Cont.)

15.146 Cunto vale el ngulo cuyo vrtice sealamos con X?. Razona la respuesta:

Respuesta: X=7030. Se trata de un ngulo inscrito y vale la mitad del arco que abarcan sus lados, es decir, la mitad del ngulo central.

15.147 Qu valor tiene X en la figura siguiente? Raznala.

Respuesta: X=31. Mismo razonamiento del problema anterior.

15.148 Halla el valor de X en la figura siguiente:

Respuesta: X=62 por ser ngulo central y tener el doble del valor del ngulo inscrito cuyos lados abarcan el mismo arco.

15.149 Cuntos grados vale el ngulo X?

Respuesta: X=135Solucin:

El ngulo es inscrito y sus lados abarcan el arco que corresponde al ngulo central de 270, luego X valdr la mitad del ngulo central, es decir, 15.150 Cunto vale el ngulo X de la figura siguiente y cul la longitud del arco que abarcan sus lados?

Respuesta: X= 13630: longitud del arco = 4) ngulo interior: Un ngulo interior es el que tiene su vrtice en un punto interior cualquiera de la circunferencia y sus lados son secantes a ella:

El ngulo es un ngulo interior del que a continuacin vamos a deducir el valor del arco que abarcan sus lados..

En primer lugar prolongamos los lados y :

Ahora unimos los puntos A y D:

Si te fijas bien, el ngulo es un ngulo inscrito y vale la mitad del central la longitud del arco que le corresponde es :

Ves que el ngulo vale 73, es decir, la mitad del ngulo central que mide 146, abarcando los lados de ambos ngulos el mismo arco.

Podemos decir que El ngulo tambin es un ngulo inscrito y le corresponder el arco Escribiremos la igualdad En el tringulo el ngulo en vers que es un ngulo exterior, por lo tanto, vale la suma de los interiores no adyacentes a l:

Lo representamos en la figura siguiente:

Puedes comprobar que los ngulos interiores con vrtices en y en suman los mismos grados que el exterior en :

La igualdad puedo escribirla segn todo lo que acabamos de estudiar:

La medida de un ngulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que abarcan los lados y las prolongaciones de stos.

15.151 Cunto vale un ngulo interior a una circunferencia si los arcos abarcados por sus lados y sus prolongaciones miden 81 y 33? Dibuja.

Respuesta: 57Solucin:

El arco mide 81 y el arco 33 la semisuma de ambos vale 57 tal como te indica el ngulo Observa en la figura las medidas de los ngulos centrales (en color magenta) tienen las mismas medidas que sus respectivos arcos.

15.152 Un ngulo interior a una circunferencia mide 42 y uno de sus arcos 54 Cunto medir el otro arco?

Respuesta: 305) ngulo exterior: Un ngulo exterior es el que tiene su vrtice en un punto exterior a la circunferencia y sus lados respecto a sta pueden ser secantes, tangentes, o un lado secante y el otro tangente.Vamos a estudiar los tres casos:1 Los lados son secantes:

El ngulo que en la figura vale 20 es un ngulo interior del tringulo y el ngulo que vale 17 es el otro ngulo interior no adyacente al exterior que vale 37.

Sabemos que el valor de un ngulo exterior de un tringulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes: Sabemos que el ngulo es un ngulo inscrito y la medida del arco que abarcan sus lados es .

Lo mismo sucede con el ngulo que es un ngulo inscrito y la medida del arco es igual .

Ahora se trata de saber la medida de arcos que corresponde al ngulo exterior .

Vemos que Nos interesa despejar Donde Sustituyendo por las medidas de los arcos conocidos obtengo:

El valor de un ngulo exterior es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.2 Los lados son tangentes:

El razonamiento es igual al caso anterior. El ngulo es exterior del tringulo que equivale a la suma de los dos interiores no adyacentes:

El ngulo es un ngulo semi-inscrito lo mismo que y las medidas de los arcos que abarcan sus lados son respectivamente.

Los ngulos y son iguales, podemos escribir:

La suma de los ngulos interiores de un tringulo es igual al exterior no adyacente a ninguno de ellos.

Despejando el valor de Sustituyendo los valores de y por los arcos que abarcan sus lados llegamos: Como ves, estamos en el mismo caso como el estudiado cuando los lados eran secantes.

3 Los lados son uno tangente y el otro secante:

En esta figura ves lo mismo de lo que hemos estudiado en el caso anterior. La suma de los ngulos interiores del tringulo que suman 147 + 32 = 147 es igual al exterior no adyacente a ninguno de los otros dos.Siguiendo lo explicado en casos anteriores vemos que:

En los tres casos, el valor del ngulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados.15.153 Calcula las medidas de los arcos que abarcan los lados de un ngulo exterior a una circunferencia de 39 sabiendo que un arco es el triple del otro.

Respuesta: 39 y 117Solucin:Si un arco mide x el otro medir 3x

Haciendo aplicacin de la frmula:

El arco menor mide 39 y el mayor 15.154 Dos tangentes a una circunferencia forman un ngulo de 46 Cunto mide el menor de los arcos que forman en la circunferencia?

Respuesta: 134SolucinAl menor de los arcos le damos el valor XEl mayor medir.360 X

Aplicando la frmula tendremos:

15.155 Trazamos una secante a una circunferencia y forma un arco de 130. Cunto vale el ngulo cuyo vrtice est en el punto donde se encuentran la secante y el dimetro de la circunferencia? Dibuja la figura.

Respuesta: 25 SolucinEn muchos problemas, si dibujamos bien la figura hemos conseguido ms de la mitad de su solucin. Es importante acompaar, siempre que sea posible, cada problema con su correspondiente figura.Comenzamos a trazar la secante a la circunferencia y el arco de 130:

Ahora le aadimos la diagonal (ha de pasar por el centro de la circunferencia y se une con uno de los extremos de la secante:

Si ahora unimos el otro extremo de la secante con el centro y prologamos la lnea:

Compruebo que me queda el tringulo issceles cuyos ngulos los sealo del modo siguiente:

Como el ngulo central determina un arco igual al que abarcan sus lados conozco de este modo el valor de un ngulo del tringulo (por opuesto por el vrtice) y los otros ngulos al ser iguales les doy el valor x a cada uno ellos, escribo la ecuacin teniendo en cuenta que ka suma de los tres ngulos de un tringulo valen 180:

La figura completa ser:

15.156 Una secante a una circunferencia crea un arco de 86. Cunto valen los ngulos inscritos cuyos lados pasan por los extremos de la secante? Dibuja el contenido del texto.

Respuestas: 43 y 137Solucin:Trazamos la secante AB a la circunferencia con centro en O. Dibujamos los lados del ngulo inscrito que valdr la mitad del ngulo central sin importarnos el punto de la circunferencia que elijamos, siempre tendr el mismo valor mientras nos refiramos al mismo arco. Piensa que si tomamos los puntos de interseccin de la secante a la circunferencia creamos dos arcos.Estos dos arcos los consideramos a continuacin:

Los vrtices en D, E y F valen lo mismo porque se refieren al mismo ngulo inscrito. Todos ellos valen la mitad del central y ste equivale al arco que abarcan sus lados.Otra solucin:Otra respuesta la podemos obtener si elegimos al arco mayor como correspondiente al ngulo central:

En este caso el ngulo central abarca un arco de 274 lo que quiere decir que el inscrito en el punto C de la circunferencia vale la mitad, es decir, 137.

15.157 Unimos por medio de una recta dos puntos A y C de una circunferencia y creamos un arco de 130484. Por ambos puntos trazamos desde el punto exterior B a la circunferencia dos tangentes. Cunto valen los ngulos cuyos vrtices se hallan en A, B y C?

Respuestas: Solucin:Los arcos en los que la cuerda AC ha dividido a la circunferencia miden 130484 y 2291156.El ngulo

Los ngulos y son iguales porque el tringulo es issceles. Si damos el valor de x a cada uno de ellos, podemos escribir la ecuacin:

LUGAR GEOMTRICO

Qu se entiende por lugar geomtrico?Imagnate una serie de puntos en un plano en que todos gozan de la misma propiedad a ese conjunto de puntos le llamamos lugar geomtrico.Seguramente te he aclarado muy poco. Veamos un ejemplo muy sencillo.ltimamente hemos estudiado diversos aspectos de la circunferencia. La circunferencia la dibujamos en un plano, un papel, la pizarra, etc., y en realidad se trata de muchos puntos que poseen todos, la misma propiedad y es que equidistan (estn a igual distancia) de otro punto fijo que llamamos centro.En este caso, la circunferencia es un lugar geomtrico.

En la figura tienes 50 puntos muy grandes redondos de color amarillo. Todos estos puntos amarillos gozan de la propiedad de estar a la misma distancia del centro, representado por un gran punto circular de color rojo. La distancia de cada punto al centro viene representada por una lnea azul y es la misma para todos los puntos amarillos.El lugar geomtrico de los puntos amarillos representa a una circunferencia.

El lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos se llama mediatriz:

Cualquiera de las lneas de puntos de D tiene la misma longitud que su correspondiente en D.Recuerda que la mediatriz de un segmento es la perpendicular a este segmento cuyos puntos estn a igual distancia de A y B y divide a en dos partes iguales.Podemos definir a la mediatriz de un segmento como el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A y B.

Todos los puntos de la mediatriz gozan de la propiedad de equidistar de dos puntos fijos.Anteriormente definimos la bisectriz de un ngulo como la recta que partiendo del vrtice divide a un ngulo en dos partes iguales.Ahora, como lugar geomtrico de los puntos del plano, podramos definir:Bisectriz de un ngulo es el lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ngulo.En el siguiente dibujo vemos la bisectriz cuyos puntos estn a igual distancia D del lado de las ordenadas que la distancia D con relacin al eje de la abscisa:

En este caso, todos los puntos del plano de la bisectriz gozan de la propiedad de equidistar de los lados.15.158 Cul es el lugar geomtrico de los puntos del plano que distan la misma longitud D respecto a otra recta dada?

Respuesta: Una recta paralela a otra dada.Solucin:

Si tenemos una recta r:

y desde cada punto de esta lnea coloco una distancia d:

Obtendr una sucesin de puntos que gozan todos de estar a la misma distancia d:

siendo estos puntos los que forman la nueva recta r paralela a r:

ARCO CAPAZ DE UN SEGMENTO

Se llama arco capaz de un segmento para un ngulo determinado, siempre con su misma medida, al lugar geomtrico de los puntos del plano desde los que se ve dicho segmento:

En esta figura puedes apreciar el arco que corresponde al segmento Este arco est compuesto por los puntos del plano desde los cuales vemos el segmento .

Te habrs dado que estos ngulos cuyos vrtices crean el arco capaz son ngulos inscritos, como es lgico, todos tienen el mismo valor en nuestro ejemplo 63. Desde este ngulo podemos ver completamente el segmento .

Todos los puntos del plano desde donde vemos un segmento llamamos arco capaz en nuestro caso del segmento .

Lgicamente no podemos representar todos los puntos del arco capaz de ver el segmento completamente, solamente hemos presentado seis.

POTENCIA DE UN PUNTO

Se llama potencia de un punto respecto de una circunferencia al producto de las distancias que hay desde un punto exterior a la circunferencia hasta cada uno de los puntos de interseccin de la recta secante con la circunferencia.Observa la siguiente figura en la que ves varias rectas secantes respecto a una circunferencia.

Todas ellas parten del punto P. El producto de las distancias entre dicho punto P y las intersecciones de cada recta con la circunferencia, se mantienen constantes.

Los producto de las distancias de:

15.159 La potencia del punto P de la figura siguiente vale 37,62. La distancia entre P y A es de 3,8 cm. Cuntos cm., hay entre A y B?

Respuesta: 6,12 cm.Solucin:Me dice el enunciado del problema que:

15.160 Hallar las distancias y sabiendo que la potencia del punto P con relacin a la circunferencia con centro en O vale 50 y una distancia vale el doble de la otra:

Respuestas: SEGMENTOS PROPORCIONALES

Qu se entiende por razn de dos segmentos?

Se trata del cociente indicado de sus medidas: La razn de 5 cm., y 2 m., es:Qu entendemos por proporcin?Llamamos proporcin a la igualdad de dos razones:

El primero y ltimos trminos de una proporcin (a y d), (5 y 40) son los trminos extremos. Los trminos (b y c), (200 y 1) son los trminos medios.

En toda proporcin, el producto de los valores de los trminos extremos es igual al producto de las medidas de los trminos medios.De un modo ms breve se acostumbra decir: Producto de medios igual al producto de extremos.THALES DE MILETOThales naci en la ciudad de Mileto (Grecia) alrededor del ao 624 antes de Cristo y muri despus de ms de 70 aos en la misma ciudad que ahora pertenece a Turqua.Ha sido uno de los hombres ms sabios con muchos conocimientos de astronoma, matemticas y filosofa.La frase: La esperanza es el nico bien comn a todos los hombres, los que todo lo han perdido la poseen an es de Thales.Para nosotros, en este momento, es importante por su teorema.Teorema es algo que se expone, se ofrece o se propone como verdad que la podemos demostrar.

TEOREMA DE THALESDos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d) los segmentos que se han creado en una de las rectas son proporcionales a sus correspondientes en la otra recta.Nota. En algunas medidas de los prximos problemas los decimales de algunas medidas estn redondeadas.

Comprueba detenidamente cuanto acabamos de decir observando la siguiente figura:

Formamos las razones siguientes:

Sustituimos los segmentos indicados por sus valores:

Hallamos los cocientes:

Los cocientes son iguales, luego:

es decir, que los segmentos creados en una recta son proporcionales a los correspondientes formados en la otra.Encontramos ms proporciones entre los valores de los segmentos formados en una y otra recta.Vemos que:

Tambin podemos establecer la siguiente proporcin:

15.161 Calcula la distancia en el ejemplo siguiente:

Respuesta: 4,5 cm.Solucin:

La respuesta la obtenemos de la proporcin:

15.162 Calcula el valor de x en la siguiente figura:

Respuesta: 3 cm.Solucin:

15.163 Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura:

Respuesta: 2,5 cm.RAZN DE SEMEJANZA

Si nos fijamos en la figura siguiente podemos escribir las siguientes razones y proporciones teniendo en cuenta el teorema de Thales:

Cada una de las razones, es decir, cada uno de los cocientes indicados tiene el mismo valor. A este valor se le conoce con el nombre de razn de semejanza.

Sustituyendo los segmentos por sus valores:

hallamos la razn de semejanza 1,14

15.164 Calcula las medidas de los lados de un tringulo semejante al que tienes en la figura:

Sabemos que la razn de semejanza es 2.

Respuesta: 7,6 4,46 - y 5,82 cm.

SEMEJANZA DE POLGONOS

Polgonos semejantes son los que tienen iguales ngulos y sus lados correspondientes son proporcionales.Comprobemos paso a paso lo que acabas de leer:

Hemos dibujado un tringulo donde indicamos el valor de sus ngulos.

Ahora trazamos el segmento

Los ngulos que se forman con lados comunes y lados paralelos son iguales, por lo tanto, los ngulos de los dos tringulos son iguales y los lados:

son proporcionales.

Tomando medidas tenemos:

En: sustituimos por sus valores y btenemos:

Todas estas razones tienen el mismo valor (0,53razn de semejanza), luego podemos escribir con valores numricos:

Nota. Recuerda que en los clculos no hemos tenido en cuenta todas las cifras decimales de ah que se producen errores de varias dcimas.15.165 Son semejantes los dos tringulos y de la figura siguiente?Por qu?

Respuesta: S, son semejantes porque tienen los mismos ngulos y los lados son proporcionales.15.166 Son semejantes los dos tringulos y de la figura siguiente?

Por qu son semejantes?

Respuesta: S, son semejantes. Tienen los mismos ngulos y sus lados son proporcionales.Aplicaciones

A veces, cuando estudiamos algunas materias nos preguntamos: y esto, para qu sirve?Hacerse este tipo de preguntas es muy aconsejable. Hallando las respuestas afianzamos la comprensin de lo que estamos estudiando.Veamos algunos ejemplos prcticos:

15.167 Imagina que te encuentras en el campo y ves el rbol de la figura siguiente y quieres saber la altura que tiene. El nico dato y suficiente es que hace un da esplndido.

Tambin tienes un metro en el bolsillo.

Respuesta: 9,475 m.Solucin:1) Donde acaba la sombra del rbol clavo una estaca de madera en el suelo. Esta vara mide fuera de la tierra 1,6 metros y proyecta una sombra de 2,5 metros.2) Al mismo tiempo calculo la longitud de la sombra del rbol, desde la base de su tronco hasta la estaca de madera y compruebo que hay 12 metros.Estas medidas las tienes colocadas en la siguiente figura:

Comprobars que este caso ya lo hemos estudiado. La figura representa a dos tringulos semejantes.

Estos tringulos semejantes son y . Tienen ngulos iguales y lados proporcionales.Siendo x la altura del rbol podemos escribir:

Podra haber escrito tambin la siguiente proporcin:

15.168 Calcula la altura del rbol de la figura siguiente:

Coloco un palo que mide 4 metros sobre la tierra y proyecta una sombra de 3 metros y en ese momento el rbol proyecta una sombra de 12 metros Cunto mide el rbol?

Respuesta: 16 metros 15.169 En la figura siguiente: a qu distancia de la playa se encuentra el barco que ves en el horizonte? Dispones de 4 palos, un metro y has ensayado a dar pasos de un metro (en esa medida incluyes las longitudes de tus zapatos).

Respuesta: 1.500 metros.Solucin:Coloco un palo (como los dems, en la playa) frente al barco y tengo en cuenta una lnea imaginaria (color rojo) entre el barco y el palo (en color azul). A la longitud de esta lnea le doy el valor X:

Ahora a partir del palo, giro 90 y camino de frente 100 pasos, es decir, 100 metros (para eso hemos ensayado) y en ese lugar introduzco en la arena otro palo:

A partir del segundo palo camino tambin de frente 2 metros y vuelvo a introducir el tercer palo:

A continuacin, a partir del tercer palo giro 90 colocndome de espaldas al barco y cuento 30 metros e introduzco en tierra el ltimo palo. A partir de aqu imagino una lnea que pasando por el segundo palo llega hasta el barco:

Como ves, se han formado dos tringulos semejantes y tal como tienes en la figura siguiente:

Como los ngulos son iguales (18, 90 y opuestos por el vrtice), los lados correspondientes son proporcionales, es decir, que podemos establecer la proporcin:

15.170 Basndote en el plano que tienes a la derecha de la figura siguiente, calcula la anchura del ro. Vers que en este caso nos hemos ahorrado un poco de trabajo. Los dos tringulos son semejantes, sus ngulos son iguales.

Respuesta: x = 90 metrosFigura:

15.171 Si hubisemos tomado otras medidas en el mismo punto que la primera vez en la orilla donde nos encontramos habramos obtenido el mismo resultado?

Respuesta: S, aproximadamente.Solucin:Si las medidas en nuestra orilla hubiesen sido las que figuran a continuacin obtendramos la misma respuesta:

Comprueba: