anillos, ideales y el espectro primo

Capıtulo1Anillos, ideales y el espectro primo

Un anillo (conmutativo) con uno es un grupo abeliano (A,+) con un productoA ! A " A que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene neutromultiplicativo. Ejemplos importantes de anillos conmutativos son el anillo de ente-ros Z, campos (tales como Q, R, C), el anillo de enteros modulo un entero dado,Z/nZ (este es un campo si y solo si n es primo), y si K es un campo el anillo depolinomios en n indeterminadas K[x1, . . . , xn].

Un morfismo de anillos es una funcion f : A " B entre anillos que respecta lasuma y producto de estos, es decir, f(a + b) = f(a) + f(b) y f(ab) = f(a)f(b).La funcion identidad idA : A " A es un morfismo de anillos y la composicion dedos morfismos de anillos tambien lo es. Si B es un anillo, un subanillo de B es unsubconjunto A # B que es anillo con las operaciones de B restringidas a A. Ası, lainclusion i : A !" B es un morfismo de anillos y es inyectivo.

De ahora en adelante, a menos que se diga lo contrario, todos los anillos sonconmutativos y los morfismos de anillos llevan el uno en el uno.

Ideales. Si A es un anillo, un ideal I de A es un subgrupo aditivo I # A tal quepara todo a $ A y x $ I se tiene que ax $ I . Claramente la interseccion decualquier familia de ideales de A es de nuevo un ideal de A. Si S # A es cualquiersubconjunto, el ideal generado por S es la interseccion de todos los ideales de Aque contienen a S. Usaremos la notacion %S& para el ideal generado por S. Ası

%S& =! "

i aisi : sumas finitas con ai $ A, si $ S#.

Cuando S = {s1, . . . , sn} es finito, usaremos la notacion %s1, . . . , sn& para el idealgenerado por S y diremos que este es un ideal finitamente generado. En el casoparticular cuando S = {s} consta de un unico elemento, diremos que %s& es unideal principal.

El anillo cociente. Si A es un anillo e I # A es un ideal, en el grupo abeliano(aditivo) A/I de clases laterales de A modulo I se define un producto mediante(a + I)(b + I) = ab + I . Es facil ver que este producto esta bien definido, i.e., nodepende de la eleccion de los representantes de las clases laterales dadas y hace deA/I un anillo conmutativo con uno al que se llama el anillo cociente de A modulo

1

2 1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO

I . El cero de A/I es I y el uno es 1 + I . La funcion natural " : A " A/I dadapor "(a) := a + I es un morfismo suprayectivo de anillos al que se conoce como elepimorfismo canonico.

Dominios de factorizacion unica. En el anillo de enteros Z, todo entero no ceroni unidad se puede factorizar, en forma unica, como producto de enteros primos.A continuacion probaremos que lo mismo es cierto para el anillo mas importan-te en geometrıa algebraica: el anillo de polinomios con coeficientes en un campoK[x1, . . . , xn]. Comenzamos recordando los conceptos pertinentes. En un dominioentero A un elemento irreducible o primo es un elemento # $ A no nulo ni uni-dad tal que siempre que # = ab con a, b $ A, se tiene que a o b es una unidad.Si todo elemento no nulo ni unidad de A se puede escribir en forma unica (salvounidades o el orden de los factores) como producto de irreducibles, se dice que Aes un dominio de factorizacion unica o DFU. Todo dominio de ideales principales(DIP) es un DFU, en particular todo dominio euclidiano es un DFU. Los ejemplosmas importantes de dominios euclidianos son Z y K[x], con K un campo. Observeque si A es un DFU y # es un primo tal que #|ab con a, b $ A, entonces #|a o#|b ya que escribiendo a y b como producto de primos, entonces la factorizacionen primos de ab se obtienen pegando las de a y b por lo que si # aparece comofactor en ab es porque ya estaba en a o en b. Nuestro objetivo ahora es probar que,si K es un campo, el anillo de polinomios K[x1, . . . , xn] es un DFU. Note que yasabemos que K[x1] lo es (de hecho, es un dominio euclidiano y ası es un DIP; sinembargo, el anillo K[x1, x2] no es un DIP ya que el ideal %x1, x2& no es principal).La demostracion sera por induccion sobre el numero n de variables y el paso prin-cipal es la demostracion de que si A es un DFU entonces A[x] tambien es un DFU.Con este objetivo necesitaremos los resultados siguientes sobre la factorizacion depolinomios. Un polinomio f(x) = a0 + a1x + · · · + anxn $ A[x] se dice que esprimitivo si mcd(a0, . . . , an) = 1 (o una unidad). El contenido de un polinomiog(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bmxm $ A[x] es c(g) := mcd(b0, . . . , bm), el cual esta de-finido salvo unidades. Ası g(x) $ A[x] es primitivo si y solo si c(g) = 1 (o unaunidad). Observese que cualquier polinomio g(x) $ A[x] se puede escribir de laforma g(x) = df(x) con d = c(g) y f(x) primitivo simplemente factorizando elmcd de los coeficientes de g(x). Es claro que la suma de dos polinomios primitivosen general no es primitivo, sin embargo se tiene:

LEMA 1.1 (Gauss). Si A es un DFU y f(x), g(x) en A[x] son primitivos, entoncessu producto f(x)g(x) tambien es primitivo.

Demostracion. Si f(x) = a0 + a1x+ · · ·+ amxm y g(x) = b0 + b1x+ · · ·+ bnxn,ai, bj $ A, supongamos que f(x) · g(x) = c0 + c1x + · · · + crxr no es primitivo.Entonces, mcd(c0, . . . , cr) '= 1, y ası existe un primo # $ A tal que #|ck para todoslos k = 0, . . . , r. Ahora, como f(x) es primitivo, este primo # no divide a todos

1. ANILLOS, IDEALES Y EL ESPECTRO PRIMO 3

los coeficientes ai. Sea pues as el primer coeficiente de f(x) no divisible por #.Similarmente, sea bt el primer coeficiente de g(x) no divisible por #. Consideremosahora al coeficiente cs+t de f(x) · g(x):

cs+t = (a0bs+t + a1bs+t!1 + · · · + as!1bt+1) + asbt

+(as+1bt!1 + as+2bt!2 + · · · + as+tb0)

y observese que como #|ai, 0 ( i ( s ) 1, entonces # divide al primer parentesisen la ecuacion de arriba, y similarmente # divide al segundo parentesis. Y como porhipotesis #|cs+t, entonces # debe dividir a asbt, en contradiccion con el hecho deque # no divide a as ni a bt. !COROLARIO 1.2. Si A es un DFU y f(x), g(x) en A[x], entonces c(fg) = c(f)c(g).Se sigue que todo factor de un polinomio primitivo en A[x] tambien es primitivo.

Demostracion. Escribamos f = c(f)f1, g = c(g)g1 con f1, g1 primitivos. Entonces,fg = c(f)c(g)f1g1, donde f1g1 es primitivo por el lema anterior. Se sigue quec(fg) = c(f)c(g). !COROLARIO 1.3 (Lema de Gauss). Sea A un DFU con campo de fracciones K. Siun polinomio f(x) $ A[x] es irreducible, entonces considerado como polinomio enK[x] tambien es irreducible.

Observese que como, obviamente, si f(x) es irreducible en K[x] tambien esirreducible en A[x], entonces el lema de Gauss de hecho dice: f(x) $ A[x] esirreducible en A[x] si y solo si f(x) es irreducible en K[x].

Demostracion. Supongamos primero que f(x) $ A[x] es primitivo. Si f(x) =p(x) · q(x), con p(x), q(x) $ K[x], escribamos

p(x) = a0/b0 + (a1/b1)x + · · · + (am/bm)xm,

con ai/bi $ K, y

q(x) = a"0/b"0 + (a"1/b"1)x + · · · + (a"n/b"n)xn

con a"i/b"i $ K.Si b = b0b1 · · · bm y b" = b"0b

"1 · · · b"n, entonces p(x) = (1/b)b · p(x) y q(x) =

(1/b")b" ·q(x), con b·p(x) y b" ·q(x) en A[x]. Mas aun, si d es el contenido de b·p(x)y d" es el contenido de b" · q(x), entonces b · p(x) = d · u(x) y b" · q(x) = d" · v(x)con u(x), v(x) $ A[x] primitivos. Se sigue que

f(x) = p(x)q(x) =1b(d · u(x))

1b"

(d" · v(x)) =dd"

bb"· u(x)v(x) =

s

t· u(x)v(x)

y asıt · f(x) = s · u(x)v(x)


y como f(x) es primitivo, entonces c(t · f(x)) = t, y tambien, como u(x) y v(x)son primitivos, el producto u(x)v(x) es primitivo y ası c(s·u(x)v(x)) = s. Se sigueque t = c(t · f(x)) = c(s · u(x)v(x)) = s, i.e., s = t y por lo tanto

f(x) = u(x) · v(x)

con u(x), v(x) $ A[x].Finalmente, si f(x) $ A[x] no es primitivo, escribamos f(x) = d · g(x) con

g(x) $ A[x] primitivo. Si f(x) se factoriza en K[x] como f(x) = p(x)q(x), enton-ces d · g(x) = f(x) = p(x)q(x) y ası

g(x) =$1

dp(x)

%q(x)

con (1/d) · p(x), q(x) $ K[x], y entonces por la primera parte de la demostracion,como g(x) es primitivo, entonces g(x) = u(x)v(x) con u(x), v(x) $ A[x]. Sesigue que f(x) = d · g(x) = (d · u(x))v(x) con d · u(x), v(x) $ A[x]. !TEOREMA 1.4. Si A es un DFU, entonces A[x] tambien lo es.

Demostracion. De la factorizacion f = c(f)f1 se sigue que los elementos irre-ducibles de A[x] deben buscarse entre los polinomios constantes y los polinomiosprimitivos. Ahora, un polinomio constante c es irreducible si y solo si c es irredu-cible en A y un polinomio primitivo es irreducible si y solo si no tiene un factorprimitivo de grado menor por 1.2. Por lo tanto, todo polinomio no nulo ni unidadde A[x] es un producto de elementos irreducibles. Supongamos ahora que se tienendos factorizaciones en irreducibles de f $ A[x]:

f = c1 · · · cmf1 · · · fr = d1 · · · dng1 · · · gs

con los ci, dj constantes y fi, gj polinomios primitivos. Entonces

c(f) = c1 · · · cm = d1 · · · dn (salvo unidades de A)

y como A es un DFU se debe tener que m = n y, reordenando si hiciera falta,ci = di salvo unidades de A. Cancelando se sigue que

(*) f1 · · · fr = g1 · · · gs (salvo unidades de A).

Ahora, si K es el campo de cocientes de A, viendo a los polinomios anteriores enK[x], por el lema de Gauss los fi, gj son irreducibles en K[x], y como este anillo esun DFU, la igualdad (*) implica que r = s y, reordenando si hiciera falta, fi = gi

salvo unidades en K. Pero, si fi = (ui/vi)gi con ui/vi no cero (i.e., una unidad enK), entonces vifi = uigi y como fi y gi son primitivos, calculando contenidos laigualdad anterior implica que ui = vi salvo unidades en A; se sigue que ui/vi esuna unidad de A. !COROLARIO 1.5. Si K es un campo, entonces K[x1, . . . , xn] es un DFU. !


Operaciones con ideales. Si I, J son ideales de A, su suma es el ideal

I + J = {a + b : a $ I, b $ J}

es obvio que este es un ideal y es el menor ideal de A que contiene a I y J . Engeneral, si {Ij}j#! es una familia de ideales, la union de ideales no es un ideal.Se define la suma de ideales

"j#! Ij como el ideal generado por la union S =&

j#! Ij . Por lo tanto,'

j#!

Ij = {ai1xi1 + · · · + ainxin : con los aij $ A y los xij $ Iij}.

Es decir,"

j#! Ij es el ideal dado por las combinaciones lineales finitas de elemen-tos de la union de los ideales Ij .

El ideal generado por los productos {ab : a $ I, b $ J} se llama el productode los ideales I y J , y se denota por IJ . Ası,

IJ =! "

i aibi : sumas finitas con ai $ I, bi $ J#.

Es claro que IJ # I e IJ # J y por lo tanto IJ # I + J . Por recursion se defineel producto de un numero finito de ideales I1, . . . , In y se denota por I1 · · · In.

La correspondencia entre ideales inducida por un epimorfismo. Si f : A " Bes un morfismo de anillos, el nucleo ker f = {a $ A : f(a) = 0} es un ideal deA y si I # A es cualquier ideal, el epimorfismo canonico " : A " A/I tiene comonucleo a I . De hecho, " induce una correspondencia biunıvoca entre la familia deideales del anillo cociente A/I y la familia de ideales de A que contienen a I

{ideales de A que contienen a I}! !! {ideales de A/I}!!1

""

dada por J ," "(J) con inversa J " ," "!1J ".

El teorema chino del residuo. Dos ideales I, J de A se dice que son coprimos siI + J = %1& = A. Note que si I, J son coprimos entonces IJ = I + J , lo cual esparte del teorema siguiente:

TEOREMA 1.6 (Teorema chino del residuo). Si I1, . . . , In son ideales de A copri-mos por pares, i.e., Ii + Ij = A, para i '= j, entonces la funcion

$ : A )" A/I1 ! · · ·!A/In

dada por a ," (a + I1, . . . , a + In) es un epimorfismo con nucleo I1 · · · In =I1 + · · · + In.


Demostracion. Supongamos primero que n = 2. Como I1+I2 = A, existen xi $ Ii

tales que 1 = x1+x2. Entonces, dado el elemento (a1+I1, a2+I2) $ A/I1!A/I2,para x = a1x2 + a2x1 $ A escribiendo x2 = 1) x1 se tiene que

x + I1 = a1x2 + a2x1 + I1 = a1 ) a1x1 + a2x1 + I1 = a1 + I1

y similarmente x + I2 = a2 + I2 por lo que $(x) = (x + I1, x + I2) = (a1 +I1, a2 + I2) y ası $ es suprayectiva. Tambien, en el caso n = 2, el nucleo de $esta formado por los x $ A tales que x + I1 = I1 y x + I2 = I2, es decir, talesque x $ I1 + I2, como se querıa. Resta probar que I1 + I2 = I1I2. ClaramenteI1I2 # I1 + I2. Para la otra inclusion, como I1 + I2 = A escribamos 1 = x1 + x2

como antes. Si x $ I1 + I2, entonces x = x 1 = x(x1 + x2) = xx1 + xx2 $ I1I2.Supongamos ahora que n > 2. Mostraremos que los ideales I1 e I2 · · · In son

coprimos. En efecto, como I1 e Ii son coprimos, para i - 2, existen elementosai $ I1 y bi $ Ii tales que ai + bi = 1 para i - 2 y por lo tanto el producto(

i$2(ai + bi) = 1 y ademas esta en el ideal I1 + I2 · · · In y por lo tanto I1 +I2 · · · In = A, como se querıa. Podemos entonces aplicar el caso n = 2 a estos dosideales, en particular para el elemento (1, 0) $ A/I1 ! A/(I2 · · · In) por el cason = 2 existe un y1 $ A tal que

(y1 + I1, y1 + I2 · · · In) = (1 + I1, 0 + I2 · · · In = (1, 0)

y ası y1 $ I2 · · · In de donde se sigue que y1 $ Ii para todo i - 2, es decir,

$(y1) = (1, 0, . . . , 0).

En forma analoga se encuentran elementos y2, . . . , yn $ A tales que

$(yi) = (0, . . . , 1, . . . , 0) (1 en el lugar i y 0 en las otras coordenadas).

Ası, dado (x1 + I1, . . . , xn + In), el elemento x ="

i xiyi $ A es tal que

$(x) = (x1 + I1, . . . , xn + In)

lo cual muestra que $ es suprayectiva. Claramente el nucleo de $ es la interseccion)i Ii y solo resta probar que es igual a I1 · · · In. Por induccion podemos suponer que)i$2 Ii = I2 · · · In, y como mostramos antes, I1 e I2 · · · In son coprimos y ası por

el caso n = 2 se tiene que I1 +* )

i$2 Ii+

= I1(I2 · · · In), como se querıa. !

Ideales primos y maximos. Un ideal propio p ! A se dice que es primo si siempreque ab $ p se tiene que a $ p o b $ p. Equivalentemente, p es primo si y solo siA/p no es el anillo cero y es un dominio entero. En un DFU los ideales primos sonlos ideales principales generados por un elemento irreducible:

LEMA 1.7. Sean A un dominio entero y %#& un ideal principal no trivial de A.

(1) Si %#& es primo, entonces # es irreducible.

(2) Si A es un DFU, entonces %#& es primo si y solo si # es irreducible.


Demostracion. Si %#& es primo, %#& '= 0 y %#& '= %1&, entonces # no es cero niunidad. Si # = ab, entonces ab $ %#& y como este es un ideal primo, entoncesa $ %#& o b $ %#&. Si a $ %#& escribiendo a = #c se tiene que # = ab =#cb y cancelando se tiene que 1 = cb, i.e., b serıa una unidad y por lo tanto # esirreducible. Esto prueba (1) y una implicacion de (2). Para la implicacion faltante, si# es irreducible y ab $ %#& entonces #|ab y como # es irreducible, por lo observadoantes del lema se sigue que #|a o #|b, i.e., a $ %#& o b $ %#& y por lo tanto %#& esun ideal primo. !

COROLARIO 1.8. Si K es un campo, un ideal principal %f& en K[x1, . . . , xn] esprimo si y solo si f es irreducible.

!

Un ideal propio m ! A se dice que es maximo si para todo ideal I de A tal quem # I # A se tiene que m = I o I = A. Equivalentemente, m es maximo si ysolo si A/m es un campo. Como todo campo es dominio entero, se sigue que todoideal maximo es primo. Sin embargo, no todo ideal primo es maximo, por ejemploel ideal cero 0 # Z es primo (porque Z es dominio entero) pero no es maximo. Todoanillo no trivial tiene al menos un ideal maximo como una consecuencia directa dellema de Zorn1 ya que si A es el conjunto de todos los ideales propios de A (i.e.,distintos de A), ordenando A mediante la inclusion # de ideales, como 0 $ A,entonces A '= . y si C # A es una cadena, para cualesquiera I, J $ C se tiene queI # J o J # I por lo que la union M =

&I#C I es un ideal de A. Claramente M es

un ideal propio ya que si 1 $ M entonces 1 $ I para algun I $ C, en contradiccioncon el hecho de que los ideales de A son propios. Por el lema de Zorn se sigueque A tiene elementos maximos. Una forma equivalente de formular la afirmacionanterior es: todo ideal propio I ! A esta contenido en un ideal maximo de A, locual se sigue al considerar el anillo cociente A/I .

El espectro primo de un anillo. Al conjunto de ideales primos de un anillo A se ledenota por

Spec A = {p # A : p es un ideal primo de A}y se le llama el espectro primo de A .

Si f : A " B es un morfismo de anillos y si q # B es un ideal primo, entoncessu imagen inversa f!1(q) es un ideal primo de A, ya que si ab $ f!1(q) entonces

1Si (A,!) es un conjunto parcialmente ordenado en el cual toda cadena C " A (subconjuntototalmente ordenado) tiene una cota superior en A (i.e., existe un c # A tal que u ! c para todou # C), entonces A tiene al menos un elemento maximo, i.e., un elemento m # A para el cual noexiste x # A con x $= m y tal que m ! x,


f(a)f(b) = f(ab) $ q y ası f(a) $ q o f(b) $ q, es decir, a $ f!1(q) o b $f!1(q). Se tiene ası la funcion

af : Spec B " Spec A

dada por af(q) = f!1(q). A continuacion mostraremos que Spec A tiene una to-pologıa natural y con esta topologıa la funcion asociada a un morfismo de anillosf : A " B es continua. La definicion de Spec A generaliza lo que sucede en geo-metrıa algebraica, vea la pagina 18 o el capıtulo 1 de [17], donde para una variedadafın sus puntos corresponden a ideales maximos en su anillo de coordenadas. Elcambio de ideales maximos a ideales primos se debe, principalmente, al hecho deque, dado un morfismo de anillos, la imagen inversa de un ideal maximo no siemprees maximo, el ejemplo mas sencillo es para la inclusion i : Z !" Q donde el ideal 0es maximo en Q, pero i!1(0) = 0 no es maximo en Z. Sin embargo, si I # A es unideal y " : A " A/I es el epimorfismo canonico, entonces bajo la correspondenciabiunıvoca entre ideales de A/I e ideales de A que contienen a I se tiene que:

COROLARIO 1.9. Si I # A es un ideal y " : A " A/I es el epimorfismo canonico,entonces

(1) p es primo en A (que contiene a I) si y solo si "(p) es primo de A/I .

(2) m es maximo en A (que contiene a I) si y solo si "(m) es maximo en A/I .

!La topologıa de Zariski en Spec A. Se introduce una topologıa en Spec A asocian-do a cada subconjunto E de A el conjunto

V (E) = {p $ Spec A : p / E} # Spec A

formado por los ideales primos de A que contienen a E. Comenzamos observandoque si E # E" son dos subconjuntos de A, entonces V (E) / V (E"). En particular,si I = %E& es el ideal generado por los elementos de E, entonces V (E) / V (I),y de hecho se tiene que V (E) = V (I) ya que para la otra inclusion, si p / Eentonces el ideal primo p contiene a los generadores de I y por lo tanto contiene aI . Podemos entonces restringirnos a considerar solo los conjuntos V (I) para I unideal de A. Que estos conjuntos definen los cerrados en una topologıa de Spec A esparte del lema siguiente:

LEMA 1.10. Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces,

(1) V (A) = . y V (0) = Spec A.

(2) Si I , J son ideales de A, entonces V (IJ) = V (I) 0 V (J).

(3) Si Ij son ideales de A, entonces V$ ,

j

Ij

%= V

$ '

j

Ij

%=

-

j

V (Ij).

(4) Si I # J son ideales de A, entonces V (I) / V (J).


Demostracion. (2): Si p $ V (I) 0 V (J) entonces p / I o p / J y ası p / IJ porser p ideal. Recıprocamente, si p $ V (IJ) y si p '$ V (J), entonces existe un b $ Jtal que b '$ p, y como para todo a $ I se tiene que ab $ IJ # p y p es primo conb '$ p, entonces ab $ p implica que a $ p y por lo tanto I # p.

(3): Note que un ideal primo p contiene a la suma"

j Ij si y solo si p contiene acada Ij ya que la suma

"j Ij es el menor ideal que contiene a todos los Ij .

La parte (1) es obvia y (4) se probo antes del enunciado del lema. !A la topologıa definida por los cerrados V (I) anteriores, se le llama la topo-

logıa de Zariski en Spec A. Se tiene la construccion recıproca de V (I): dado unsubconjunto U # Spec A se define

I(U) :=-

p#U

p.

Las propiedades siguientes son inmediatas:

LEMA 1.11. Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces,

(1) Si U # U " # Spec A, entonces I(U) / I(U ").

(2) I(&

i Ui) =)

i I(Ui).

(3) I({p}) = p.

!Mostraremos a continuacion, que bajo ciertas condiciones, las correspondencias

anteriores son inversas una de la otra, y para probar esto necesitaremos las propie-dades y conceptos adicionales siguientes:

Radicales y el nilradical. Si I # A es un ideal, su radical es el conjunto1

I := {a $ A : at $ I para algun entero t - 1}.

Es facil probar que1

I es un ideal de A que contiene a I y el ejercicio 1 lista laspropiedades basicas de esta construccion. Para el caso particular del ideal 0 # A elradical

10 se llama el nilradical del anillo A y algunas veces lo denotaremos por

nilA. Note que1

0 = nilA consta de los elementos a $ A para los cuales existe unentero t - 1 tal que at = 0, a estos elementos se les conoce como nilpotentes y porlo tanto nilA consiste de todos los elementos nilpotentes de A.

PROPOSICION 1.12. Si I # A es cualquier ideal, entonces1

I =)

p%I p, la in-terseccion de todos los ideales primos de A que contienen a I . En particular, elnilradical nilA es la interseccion de todos los ideales primos de A.


Demostracion. Si a $1

I y p / I es un ideal primo que contiene a I , entoncespara algun entero n - 1 se tiene que an $ I # p y como p es primo, entoncesa $ p y ası a $

)p%I p. Recıprocamente, si a $

)p%I p y si sucediera que a '$

1I ,

entonces an '$ I para todo n - 1. Ası, la familia F de ideales J de A que contienena I pero tales que an '$ J para todo n - 1 es no vacıa ya que contiene a

1I , y si

damos a F el orden inducido por la inclusion, para cualquier cadena C de ideales Ji

en F, su union J =&

Ji pertenece a F porque si no fuera ası alguna potencia de aestarıa en J y por lo tanto en algun Ji, una contradiccion. Claramente J es una cotasuperior de la cadena y ası, por el lema de Zorn, F contiene un elemento maximo qpara el orden dado por la inclusion. Mostraremos que q es un ideal primo. En efecto,si xy $ q y si sucediera que x '$ q y y '$ q, entonces los ideales q + %x& y q + %y&contienen propiamente a q y ası, por la maximalidad de q, estos ideales no estan enF y por lo tanto am $ q + %x& y an $ q + %y&, para algunos m, n - 1. Escribiendoam = q + rx y an = q" + sy, con q, q" $ q se tiene que

am+n = aman = (q + rx)(q" + sy) = qq" + qsy + q"rx + rsxy $ q

porque xy $ q. Esto contradice el hecho de q $ F. Ası, q es primo y a '$ q porquean '$ q para todo n - 1, lo cual de nuevo es una contradiccion con el hecho de a seescogio en la interseccion de todos los primos que contienen a I . !LEMA 1.13. Sea A un anillo conmutativo con uno. Entonces,

(1) V (I) = V (1

I).

(2) Si I , J son ideales de A, entonces V (I) # V (J) si y solo si1

I /1

J .

(3) Si I # A, entonces I(V (I)) =1

I .

(4) Si U # Spec A, entonces V (I(U)) = U (la cerradura de U ).

Demostracion. Para (1), como I #1

I , de (4) se sigue que V (I) / V (1

I). Parala otra inclusion recuerde que

1I es la interseccion de todos los ideales primos que

contienen a I y por lo tanto si p $ V (I) entonces p / I y ası p /-

q%I

q =1

I ,

i.e., p $ V (1

I). Para la parte (2), observe primero que J #1

J #1

I implica queV (I) = V (

1I) # V (

1J) = V (J). Recıprocamente, si V (I) # V (J), entonces)

p#V (I) p #)

p#V (J) y por lo tanto1

J #1

I .Para (3) observe que

1I =

)p%I p =

)p#V (I) p = I(V (I)). Para (4), como

V (I(U)) es un cerrado que contiene a U entonces V (I(U)) / U ; recıprocamente,si V (I) es un cerrado que contiene a U , entonces para todo p $ U , I # p y ası I #I(U) y por lo tanto V (I) / V (I(U)). !COROLARIO 1.14. Las correspondencias siguientes invierten inclusiones y son in-versas una de la otra:


{subconjuntos cerrados de Spec A}I !! {ideales radicales de A}.V

""

!COROLARIO 1.15. (1) Para todo p $ Spec A, la cerradura de {p} esta dada por{p} = V (p). Se sigue que {p} es cerrado si y solo si p es maximo.

(2) El espacio Spec A es T0.

Demostracion. Por definicion, I{p} = p y ası, por 1.13(4) y 1.11(3), {p} = V (I{p}) =V (p). Para la parte 2, si p, q $ Spec A son dos puntos distintos, entonces p '# q oq '# p y por la parte 1 esto quiere decir que q '$ {p} = V (p) o p '$ {q} = V (q). !

Algo.

PROPOSICION 1.16. (1) Si p1, . . . , pn son ideales primos de A y J es un idealcontenido en

&i pi, entonces J # pi, para algun i.

(2) Si I1, . . . , In son ideales de A y p es un primo que contiene a)

j Ij , entoncesp / Ij , para algun j. Mas aun, si

)j Ij = p, entonces p = Ij , para algun j.

Demostracion. (1): Por induccion sobre n para la contrapositiva: !!Si J no esta con-tenido en ningun pi, entonces J no esta contenido en la union de los pi"". Para n = 1no hay nada que probar. Supongamos ahora que n > 1 y que el resultado es validopara n ) 1. Entonces, fijando cualquier i se tiene que si J '# pj , para todo j '= i,entonces J '#

&j &=i pj , por hipotesis de induccion. Por lo tanto, para este i, existe

un elemento xi $ J tal que xi '$ pj para todo j '= i. Si sucediera que uno de estosxi tambien satisface que xi '$ pi, entonces xi '$

&i pi y ya acabamos. Supongamos

entonces que para todo i estos xi $ pi, y consideremos el elemento

x =n'

i=1

x1 · · ·xi!1xixi+1 · · ·xn (donde xi quiere decir omitir xi)

y note que como cada xj $ J , entonces x $ J , pero como xj '$ pj para j '= i,entonces x '$ pj para toda j, incluyendo j = i y por lo tanto x $ J )

&i pi.

(2): Supongamos que la afirmacion es falsa, i.e., que p '/ Ii para todo i. Entonces,para cada i existe un xi $ Ii ) p y ası x1 · · ·xn $ I1 · · · In # I1 + · · · + In perox1 · · ·xn '$ p porque este es primo. Se sigue que p '/ I1+· · ·+In, una contradicciony por lo tanto p / Ii, para algun i.

Finalmente, si p =)

i Ii, entonces p # Ii para cada i y por el resultado delparrafo anterior p = Ii, para algun i. !

El espectro de un anillo como funtor contravariante. A cada anillo conmutativoA le hemos asociado un espacio topologico Spec A y es facil ver que esta asociaciondefine un funtor contravariante de la categorıa de anillos conmutativos a la categorıa


de espacios topologicos, ya que si $ : A " B es un morfismo de anillos (siemprepediremos que $(1) = 1), sabemos que si q # B es un ideal primo, su imageninversa $!1(q) # A tambien es un ideal primo de tal forma que se tiene la funcionasociada

a$ : Spec B " Spec A dada por a$(q) := $!1(q)

y resulta que esta es continua en la topologıa de Zariski, ya que si I es un ideal deA, para V (I) # Spec A se tiene que (a$)!1(V (I)) = V ($(I)). En efecto,

p $ a$!1(V (I)) 2 a$(p) $ V (I) 2 $!1(p) $ V (I) 2 $!1p / I 2 p / $(I)2 p $ V ($(I)).

LEMA 1.17. Sea $ : A " B un morfismo de anillos tal que todo b $ B se puedeescribir de la forma b = u$(a) con u invertible en B (lo cual sucede, por ejemplo,si $ es suprayectiva). Entonces, a$ : Spec B " Spec A es un homeomorfismo deSpec B en su imagen.

Demostracion. (1) Mostraremos primero que para todo subconjunto E # B existeun subconjunto E" # A tal que V (E) = V ($(E")). En efecto, para cada b $E # B por hipotesis existen u $ B' y a $ A tales que b = u$(a); sea E" # Ael conjunto de todas esas a $ A obtenidas al variar b $ E. Note entonces quesi p $ V (E), i.e., si p / E, entonces p / $(E") ya que todos los elementos$(a) $ $(E") son tales que $(a) = bu!1 con b $ p y u!1 $ B por lo que$(a) $ p. La inclusion recıproca es similar.

(2) Note ahora que como los espectros son espacios T0 y como a$!1(V (E")) =V ($(E")), se sigue que a$ es inyectiva.

(3) Finalmente, por la parte (1) y la formula a$!1(V (E")) = V ($(E")) =V (E), se sigue que a$(V (E)) = V (E") y por lo tanto a$ es cerrada y continua yası, como es inyectiva, es un homeomorfismo sobre su imagen. !

La consecuencia siguiente puede considerarse un !!ejemplo"" (obtener el espec-tro del cociente en terminos del anillo dado):

COROLARIO 1.18. Sean A un anillo e I # A un ideal. Entonces, el epimorfismocanonico " : A " A/I induce un homeomorfismo de Spec A/I en el subespaciocerrado V (I) de Spec A.

Demostracion. El epimorfismo canonico da una correspondencia biyectiva entre losideales (respectivamente, ideales primos) de A/I con los ideales (respectivamente,ideales primos) de A que contienen a I . !

COROLARIO 1.19. Los espacios topologicos Spec A y Spec(A/1

0) son canonica-mente homeomorfos.


Demostracion. El corolario anterior identifica Spec(A/1

0) con V (1

0) = V (0) =Spec A. !Irreducibilidad. Si X es un espacio topologico, un subespacio no vacıo Z de X sedice que es irreducible si no se puede escribir como la union de dos subconjuntoscerrados propios de Z.

LEMA 1.20. Sea X un espacio topologico arbitrario. Son equivalentes:

(1) X es irreducible.

(2) Si U1, U2 son subconjuntos abiertos no vacıos de X , entonces U1 + U2 '= ..

(3) Todo subconjunto abierto no vacıo de X es denso en X .

Demostracion. (1) 3 (2): Si U1 + U2 = ., tomando complementos X = (X )U1) 0 (X ) U2) con X ) Ui cerrados propios de X y ası, por hipotesis, se debetener que X = X ) U1 o X = X ) U2, i.e., U1 = . o U2 = ., una contradiccion.(2) 3 (1) es similar.(1) 2 (3) es directo de la definicion de densidad. !COROLARIO 1.21. Sea Y # X un subconjunto de un espacio topologico X . Si Yes irreducible entonces su cerradura Y es irreducible.

Demostracion. Un abierto U intersecta a Y si y solo si intersecta a Y . !Una componente irreducible de un espacio topologico X es un subconjunto

irreducible maximo de X . Por el corolario anterior, las componentes irreduciblesson cerradas y ası, en el caso del espectro primo, las componentes irreducibles sonde la forma V (I), que por 1.18 son homeomorfas a Spec(A/I).

PROPOSICION 1.22. Sea X un espacio topologico. Entonces,

(1) Cada subconjunto irreducible de X esta contenido en una componente irredu-cible.

(2) X es la union de sus componentes irreducibles.

Demostracion. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x $ X el conjunto {x}es irreducible y ası, por (1), esta contenido en una componente irreducible de X .

Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W # X un subconjunto irre-ducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W .Como W $ F, entonces F '= ., y si {Xi}i#" es una cadena en F, entonces su unionY =

&i#" Xi tambien esta en F ya que X # Y y Y es irreducible porque si U1, U2

son abiertos de X tales que Ui + Y '= ., entonces existen ındices i1, i2 $ ! talesque Ui +Xik '= . para j = 1, 2, y como {Xi} es una cadena podemos suponer queXi2 # Xi1 y por lo tanto Ui + Xik '= ., pero como Xik son irreducibles por 1.20se sigue que U1 + U2 + Xik '= . y por lo tanto U1 + U2 + Y '= . que por 1.20implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y $ F. Claramente Y es cota superior


de esta cadena y ası, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento maximo, quees, por definicion, una componente irreducible de X que contiene a W , como sequerıa. !COROLARIO 1.23. El espacio topologico Spec A es irreducible si y solo si A/

10

es un dominio entero, o equivalentemente si el nilradical1

0 es un ideal primo.

Demostracion. Por el corolario anterior podemos asumir que1

0 = 0. Ahora,si Spec A fuera reducible existirıan cerrados X1, X2 contenidos propiamente enSpec A tales que Spec A = X10X2 y por lo tanto I(X1)+I(X2) = I(X10X2) =I(Spec A) = nil(A) = 0 y los ideales I(X1) e I(X2) no serıan 0 por la correspon-dencia 1.14 y porque I(Spec A) = 0. Entonces se tendrıan elementos no nulosf $ I(X1) y g $ I(X2) y su producto fg $ I(X1)+ I(X2) = 0, i.e., A no serıa undominio entero. Recıprocamente, si A no fuera dominio entero existirıan elemen-tos f, g distintos de cero en A tales que fg = 0. Note que como f '= 0 entoncesV (f) ! Spec A ya que de lo contrario I(V (f)) = I(Spec A) = 0 y por lo tanto setendrıa que f = 0. Similarmente, V (g) ! Spec A. Ahora, como fg = 0 entoncesSpec A = V (0) = V (fg) = V (f) 0 V (g) y ası Spec A serıa reducible. !COROLARIO 1.24. (1) En la correspondencia entre subconjuntos cerrados de Spec Ae ideales radicales de A, (ver 1.14), los subconjuntos cerrados irreducibles corres-ponden a los ideales primos de A. En particular, las componentes irreducibles deSpec A corresponden a ideales primos mınimos.

(2) La aplicacion x ," {x} establece una biyeccion entre los puntos de Spec A y lossubconjuntos cerrados irreducibles de Spec A. En otras palabras, todo subconjuntocerrado irreducible de Spec A admite un unico punto generico.

NOTA. Si X es cualquier espacio topologico y W # X , un punto x $ W se diceque es un punto generico de W si W = {x}. Observe que si W tiene un puntogenerico, entonces W es irreducible ya que {x} es irreducible y ası, por 1.21, {x}tambien lo es.

Demostracion. (1): Si p es ideal primo, por 1.18 V (p) = Spec A/p y como elnilradical de A/p es

1p = p, la ultima igualdad porque p es primo, entonces por

1.21, como A/p es dominio entero, se sigue que Spec A/p = V (p) es irreducible.

(2) Si Y # Spec A es un cerrado irreducible, entonces I(Y ) es un ideal primo p deA por la parte 1 y ası, para p = I(Y ) se tiene que

{p} = V (I{p}) = V (p) = Y

la penultima igualdad por 1.13(3) y la ultima porque p = I(Y ) y 1.13(4). Se sigueque p es un punto generico de Y . Supongamos ahora que q es otro punto generico deY . Entonces, Y = {q} = V (I{q}) = V (q), la ultima igualdad por 1.11(3). Ahora,como I(Y ) = p, la igualdad anterior implica que p = I(Y ) = I(V (q)) = q. !


En ocasiones, es mas facil trabajar con una base sencilla de la topologıa deZariski en Spec A y el lema siguiente nos da una tal base:

LEMA 1.25. Sea A un anillo conmutativo y para cualquier f $ A denotemospor D(f) al abierto dado por el complemento del cerrado V (%f&). A los abiertosD(f) := Spec A) V %f& los llamaremos abiertos distinguidos.

(1) Si f, g $ A, entonces D(fg) = D(f) +D(g). En particular, D(f) = D(fn).

(2) D(f) / D(g) si y solo si g $.%f& =:

1f .

(3) D(f) = D(g) si y solo si1

f = 1g, lo cual equivale a que los ideales primos

mınimos que contienen a %f& y %g& son iguales. En particular, esto sucede si f = ugcon u $ A' una unidad.

(4) Los conjuntos D(f), variando f $ A, forman una base para la topologıa deSpec A.

(5) Si {fi}i#" es una familia de elementos de A, entonces

Spec A =,

i#"

D(fi)

si y solo si 1 $ %fi : i $ !&, i.e., si y solo si el ideal generado por los fi es todo A.

(6) Spec A es cuasicompacto.

Demostracion. (1): Por 1.10(2), V (fg) = V (f) 0 V (g) y el resultado se siguetomando complementos.

Para (2), recordemos que.%f& =

)f#p p. Usando esta igualdad se tiene la

primera equivalencia en:

g '$.%f& 2 existe un ideal primo p con f $ p pero g '$ p

2 existe un ideal primo p tal que p '$ D(f) pero p $ D(g)2 D(f) '/ D(g).

La parte (3) se sigue de la parte (2) o de 1.13(3) y 1.13(1).Para (4), si U = Spec A) V (I) es cualquier abierto, note que

p / I 2 f $ p para todo f $ I 2 p $ V (f) para todo f $ I 2 p $-

f#I

V (f)

i.e., V (I) =)

f#I V (f) y por lo tanto al tomar complementos

U = Spec A) V (I) = Spec A)-

f#I

V (f) =,

f#I

*Spec A) V (f)

+=

,

f#I

D(f).


Para (5), observe que Spec A =&

i D(fi) si y solo si todo punto p $ Spec Ano contiene a algun fi, i.e., si y solo si ningun ideal primo p contiene al ideal %fi :i $ !&, y esto sucede si y solo si este ideal es todo A.

Para (6), observe primero que basta probar que cualquier cubierta por abiertosbasicos D(f) tiene una subcubierta finita. Para probar esto ultimo, en la demostra-cion previa observe que 1 $ %fi : i $ !& si y solo si existe un subconjunto finitofj1 , . . . , fjn de los fi y escalares a1, . . . , an $ A tales que

1 =n'

i=1

aifji

y por lo tanto 1 $ %fji : 1 ( i ( n&, que por la parte 5 implica que Spec A =D(fj1) 0 · · · 0D(fjn). !

Ejemplos. Los ejemplos siguientes ilustran la correspondencia funtorial:

Anillos conmutativos )" Espectros primos.

Ejemplo 1. Si K es un campo, su unico ideal primo es el 0 y ası Spec K = {0}.

Ejemplo 2. Sea K un campo y consideremos el anillo de polinomios K[x]. Estees un DIP y sus primos son el ideal %0& y los ideales maximos de K[x]. Es claroque V (0) = Spec K[x], es decir, la cerradura de %0& es todo el espacio Spec K[x]por lo que %0& es un punto generico de Spec K[x]. Los otros puntos de Spec K[x],correspondientes a ideales maximos (que son todos los primos porque K[x] es DIP)%mi& (con mi polinomio irreducible de K[x]) son puntos cerrados, ya que, comoK[x] es dominio de factorizacion unica, para cualquier ideal I = %f& '= 0 de K[x],se tiene que

V (I) = V %f& = {%mi& $ Spec K[x] : mi|f}es el conjunto de divisores primos de f(x) y ası V (I) es un subconjunto finito deSpec K[x], en particular, si mi es irreducible, V (%mi&) = {%mi&}.

En el caso cuando K es algebraicamente cerrado, los ideales maximos de K[x]corresponden a polinomios mi de grado 1, digamos mi = x ) ai con ai $ K ypor lo tanto, los puntos cerrados de Spec K[x] corresponden biyectivamente a loselementos de K mediante %x ) ai& ," ai, que son los puntos de la recta (afın) K,de tal forma que

Spec K[x] = K 0 {punto generico} :

%0&

0 a• •%x& %x) a&

Ejemplo 3. En el caso cuando K no es algebraicamente cerrado se tienen otrosideales primos en K[x] ademas de los de la forma %x) a&. Por ejemplo, si K = R,


por el teorema fundamental del algebra hay dos tipos de ideales primos (maximos)en R[x]:

De la forma %x) %& con % $ R, como antes, yDe la forma %x2 + bx + c& con b, c $ R tales que b2 ) 4c < 0. Noteque estos ultimos ideales se pueden factorizar como %x ) &&%x ) &&, con& $ C) R.

Ası, los puntos cerrados de Spec R[x] corresponden a numeros reales o a paresconjugados de numeros complejos no reales. Observe tambien que Spec R[x] tieneun unico punto no cerrado, correspondiente al ideal primo cero.

El espectro maximo. Antes de tratar de generalizar el ejemplo anterior para consi-derar el espectro primo

Spec K[x1, . . . , xn]de un anillo de polinomios en n variables con coeficientes en un campo K (alge-braicamente cerrado), comenzamos observando que los ideales

%x1 ) a1, . . . , xn ) an&con ai $ K son ideales maximos de K[x1, . . . , xn] porque los cocientes

K[x1, . . . , xn]/%x1 ) a1, . . . , xn ) an& 4 K

(el isomorfismo es f(x1, . . . , xn) ," f(a1, . . . , an)). Un tal ideal %x1)a1, . . . , xn)an& corresponde a una n-ada ordenada (a1, . . . , an) $ Kn, por lo que podemos in-dentificar al conjunto de ideales maximos anteriores con Kn. Mas adelante pro-baremos el teorema de los ceros de Hilbert que afirma que estos son todos losideales maximos de K[x1, . . . , xn] cuando K es algebraicamente cerrado. Acep-tando lo anterior, e identificando el ideal maximo %x1 ) a1, . . . , xn ) an& con lan-ada ordenada (a1, . . . , an) $ Kn, podemos visualizar a los ideales maximos enSpec K[x1, . . . , xn] como los puntos de Kn. En otras palabras, podemos pensar que

Kn # Spec K[x1, . . . , xn]

y para hacerlo mas formal conviene definir el espectro maximo de un anillo A comoel conjunto

Specm(A) = {m # A : m es un ideal maximo de A},de tal forma que

Kn = SpecmK[x1, . . . , xn].El paso siguiente es ver como la topologıa de Zariski de Spec K[x1, . . . .xn]

se restringe al subconjunto Kn = Specm K[x1, . . . , xn]. Para esto, considere unideal I # K[x1, . . . , xn] y el conjunto cerrado V (I) # Spec K[x1, . . . , xn]. Surestriccion a Kn es

V(I) := V (I) + Specm K[x1, . . . , xn = {m $ Specm K[x1, . . . , xn] : m / I}.


El objetivo entonces es dilucidar lo que significa geometricamente el hecho de quem / I . Para esto, observe que si f = f(x1, . . . , xn) $ I es cualquier elemento,entonces f $ m = %x1 ) a1, . . . , xn ) an& y por lo tanto el punto correspondiente(a1, . . . , an) $ Kn es un cero de f . Por lo tanto, identificando al ideal m = %x1 )a1, . . . , xn) an& con el punto (a1, . . . , an) $ Kn, el que m / I quiere decir que elpunto (a1, . . . , an) es un cero comun a todos los polinomios de I . En otras palabras,podemos identificar

V(I) := {m = %x1 ) a1, . . . , xn ) an& $ Specm K[x1, . . . , xn] : m / I}= {(a1, . . . , an) $ Kn : f(a1, . . . , an) = 0 para todo f $ I}.

Conjuntos algebraicos afines. Hemos mostrado que los cerrados del subespacioKn # Spec K[x1, . . . , xn] son los conjuntos de la forma

V(I) = {(a1, . . . , an) $ Kn : f(a1, . . . , an) = 0 para todo f $ I}

a los que se llama conjuntos algebraicos afines. La topologıa correspondiente en Kn

se llama la topologıa de Zariski y se dice que Kn es el espacio afın de dimensionn sobre K. Cuando el conjunto algebraico afın V(I) # Kn es irreducible, diremosque V(I) es una variedad algebraica afın o variedad afın. Note que como todoideal propio I " K[x1, . . . , xn] esta contenido en un ideal maximo m que, por elteorema de los ceros de Hilbert, es de la forma m = %x1 ) a1, . . . , xn ) an&, sesigue que (a1, . . . , an) $ V(I) y por lo tanto estos conjuntos no son vacıos paraI " K[x1, . . . , xn]. A la luz de la discusion anterior, no es de extranar que engeometrıa algebraica se haya definido primero el espectro maximo Specm(A) de unanillo A, ya que esto es lo natural y es un punto de vista que conviene usar, y se usa.Una desventaja, no pequena, es que si f : A " B es un morfismo de anillos, engeneral no se tiene la funcion asociada af : Specm(B) " Specm(A).

Los ejemplos 4 al 9 siguientes, de conjuntos o variedades afines, ilustran lanaturaleza geometrica del espectro maximo, considerando ideales del anillo de po-linomios K[x1, . . . , xn] con K algebraicamente cerrado. Comenzamos retomandoel caso de una variable del ejemplo 2:

Ejemplo 4. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afın K1,¿cuales son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es unDIP, entonces todo conjunto algebraico V # K1 es de la forma V = V(f) paraun polinomio f $ K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f(x) sefactoriza como f(x) = c(x) a1) · · · (x) ak) con c, ai $ K y por lo tanto

V(f) = {a1, . . . , an},

es decir, los conjuntos algebraicos de K1 son los conjuntos finitos, el espacio totaly el vacıo.


Lo anterior sirve para mostrar que la topologıa de Zariski en K1 es muy debil ybastante diferente de la topologıa usual en K1 = K, por ejemplo si K = C, ya queen C1 = C se tienen mas cerrados en la topologıa metrica usual que en la topologıade Zariski. Note tambien que los cerrados en la topologıa de Zariski son cerrados enla topologıa metrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topologıausual.

Ejemplo 5. Si E # K[x1, . . . , xn] es un conjunto finito de polinomios lineales,la variedad V(E) # Kn se llama una K-variedad lineal que, esencialmente esestudiada por el algebra lineal.

Ejemplo 6. Si E # K[x1, . . . , xn] consiste de un unico polinomio no constante f $K[x1, . . . , xn], a la variedad V(E) =: V(f) # Kn se le llama una hipersuperficie.Si f es de grado 1, se dice que V(f) es un hiperplano afın en Kn. En el casoparticular cuando n = 2, V(f) es una curva en K2 y es una recta si f es lineal.

Ejemplo 7. Si K es un campo, dada a una matriz m ! n con entradas en K, des-plegando sus renglones la podemos pensar como un elemento de Kmn. Entonces, sim = n, el grupo lineal especial SLn(K) # Kn2 de matrices cuadradas n ! n condeterminante 1, es un conjunto algebraico afın porque el determinante es un polino-mio, es decir, para (xij)n(n, su determinante det(xij) $ K[x11, x12, . . . , xnn].

En forma similar se muestra que el grupo ortogonal On(K) de matrices cuadra-das A tales que ATA = idn es un conjunto algebraico afın.

Conjuntos algebraicos afines e ideales radicales. Antes de ver otros ejemplos,veamos como se restringe la funcion

I : {subconjuntos de Spec A} )" {ideales radicales de A},en el caso cuando A = K[x1, . . . , xn] con K algebraicamente cerrado, al subespa-cio Specm A. Denotemos esta restriccion por I. Ası, por definicion, para cualquiersubconjunto U # Specm K[x1, . . . , xn] se tiene que

I(U) =-

m#U

m # K[x1, . . . , xn].

Note ahora que, identificando U # Specm K[x1, . . . , xn] = Kn con un subconjun-to de Kn, se tiene que

f $ I(U) =-

m#U

m 2 f $ m para todo m $ U

2 f $ m = %x1 ) a1, . . . , xn ) an& para todo m $ U

2 f(a1, . . . , an) = 0 para todo (a1, . . . , an) $ U.

Es decir, para U # Specm K[x1, . . . , xn] = Kn, el ideal I(U) esta dado por todoslos polinomios en K[x1, . . . , xn] que se anulan en los puntos de U . Observe ahoraque I(U) es un ideal radical, ya que si f $

.I(U), entonces f r $ I(U) para


algun r - 1, y por lo tanto para todo punto a = (a1, . . . , an) $ U se tiene quef r(a) = 0, es decir, (f(a))r = 0 y consecuentemente f(a) = 0, es decir, f $I(U). Hemos mostrado ası que

.I(U) # I(U), y la otra inclusion siempre se

tiene. Veamos algunos ejemplos de como se calcula el ideal I(U), para algunosU # Kn = Specm K[x1, . . . , xn].

Ejemplo 8. Para K algebraicamente cerrado, I(Kn) = 0. Antes de probar esteresultado, note que no es trivial. Por ejemplo, si K es un campo finito, digamosK = Fq, el polinomio de Frobenius f(x) = xq ) x $ Fq[x] se anula en todos lospuntos de U = F1

q , pero no es el polinomio cero, es decir, I(F1q) '= 0. Sin embargo,

si K es un campo infinito (cuando K es algebraicamente cerrado, claramente esinfinito) se tiene que

I(Kn) = 0.

Note que lo anterior equivale a demostrar que si K es un campo infinito, entonces

I(Kn) = I(Specm K[x1, . . . , xn]) =-

m ideal maximo

m = 0,

es decir, que la interseccion de todos los ideales maximos del anillo K[x1, . . . , xn]es cero. A la interseccion de todos los ideales maximos de un anillo A se le lla-ma el radical de Jacobson del anillo A. Demostraremos el resultado deseado porinduccion sobre n - 1. El caso n = 1 es porque si f $ I(K1) # K[x] nofuera cero, como el numero de raıces de f es ( que su grado, esto contradice elque K es infinito. Supongamos ahora que el lema es valido para ( n ) 1 y seaf $ I(Kn). Supongamos que f '= 0. Observe primero que Kn!1 # Kn iden-tificando ('1, . . . ,'n!1) $ Kn!1 con ('1, . . . ,'n!1, 0) $ Kn. Factorizando laspotencias xk en los monomios de f , escribamos

(*) f = ak(x1, . . . , xn!1)xkn + · · ·

y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable xn enf ) porque entonces f $ K[x1, . . . , xn!1] se anula en todo Kn, en particular enKn!1 y ası f = 0, por hipotesis de induccion. Podemos entonces suponer quek - 1 y que ak(x1, . . . , xn!1) '= 0 (no es el polinomio cero). Entonces, porhipotesis de induccion se tiene que ak '$ I(Kn!1) y por lo tanto existe un punto('1, . . . ,'n!1) $ Kn!1 tal que ak('1, . . . ,'n!1) '= 0. Substituyendo el punto('1, . . . ,'n!1) en todos los coeficientes ai en (*) se obtiene el polinomio en unavariable:

f = ak('1, . . . ,'n!1)xkn + · · · $ K[xn]

donde el coeficiente ak('1, . . . ,'n!1) '= 0 y por lo tanto f tiene ( gr(f) raıces,i.e., no se puede anular en todo K1, i.e., existe 'n $ K = K1 tal que 0 '= f('n) =f('1, . . . ,'n!1, 'n), i.e., no se anula en todo Kn. !


Parte de la importancia del ideal I(U), para U # Kn = Specm K[x1, . . . , xn]radica en que detecta cuando el subespacio U es irreducible, para U un conjuntoalgebraico (i.e., cerrado) de Kn:

PROPOSICION 1.26. Un conjunto algebraico V # Kn es irreducible si y solo si suideal asociado I(V ) es un ideal primo.

Demostracion. Si V es irreducible y si f, g $ K[x1, . . . , xn] son tales que fg $I(V ), entonces poniendo W1 = V(f), W2 = V(g), se tiene que V = (V +W1) 0(V + W2), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V esirreducible, se sigue que V = V + W1 o V = V + W2, es decir, V # W1 oV # W2, por lo que f $ I(W1) # I(V ) o g $ I(W2) # I(V ), i.e., I(V ) es idealprimo.

Recıprocamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados(i.e., conjuntos algebraicos afines) W1, W2 tales que V = W1 0W2 con Wi ! V .Por 1.2 se tiene que I(V ) = I(W1) + I(W2) y ademas, por la inyectividad de I,I(V ) ! I(Wi). Por lo tanto, existen polinomios fi $ I(Wi) ) I(V ) y como losI(Wi) son ideales, entonces f1f2 $ I(Wi) y consecuentemente f1f2 $ I(W1) +I(W2) = I(V ), una contradiccion con la hipotesis de que I(V ) es primo. !Ejemplo 9. Kn es irreducible ya que, por el ejemplo 8, su ideal I(Kn) = 0, que esprimo.

Ejemplo 10. Si f $ K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces p = %f& es unideal primo y por lo tanto X = V(f) # K2 es irreducible. Note que esta variedadalgebraica es la curva afın definida por f(x, y) = 0. Las figuras siguientes sonalgunas curvas en R2, todas ellas irreducibles excepto la ultima:

!

"

!

"

V%y2 ) x3& V%y2 ) x2(x + 1)&


!

"

!

"

V%x2 + y2 ) 1& V%(y ) x2)(y ) x)&

El resultado siguiente, y su corolario, son los analogos para el especto maximode 1.13 y 1.14, pero la parte medular requiere el teorema de los ceros de Hilbertcuya demostracion se hara mas adelante.

TEOREMA 1.27. Sea K un campo algebraicamente cerrado.

(1) Si V es un subconjunto arbitrario de Kn, entonces V # V(I(V )), y la igualdadse tiene si y solo si V es un subconjunto algebraico afın.

(2) Si J es un ideal de K[x1, . . . , xn], entonces J # I(V(J)). Mas aun, IV(J) =1J y por lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y solo si J es un ideal radical.

Demostracion. Para (1), si P $ V , entonces para todo f $ I(V ) se tiene quef(P ) = 0 y por lo tanto f $ V(I(V )) y ası V # V(I(V )). Supongamos ahora queV = V(J) es algebraico afın. Entonces, J # I(V ) y como la funcion V invierteinclusiones 1.10 se sigue que V = V(J) / V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igual-dad V = V(I(V )). Recıprocamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico,por definicion.

Para (2), si f $ J , entonces para todo P $ V(J) se tiene que f(P ) = 0 ypor lo tanto J # IV(J). La segunda afirmacion de la parte (2) es (una parte de) elcontenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostracion se pospondra hastala seccion sobre este teorema. !

Un consecuencia inmediata del teorema anterior es que las correspondencias

{subconjuntos algebraicos de Kn}I !! {ideales radicales de K[x1, . . . , xn]}V

""


invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esta es una perfecta correspon-dencia que traduce la geometrıa de los conjuntos algebraicos afines a una situacionalgebraica.

Ahora, aprovechando que ya se tiene una vision geometrica de los subconjuntoscerrados del espectro maximo Specm K[x1, . . . , xn] con K algebraicamente cerra-do, podemos ilustrar geometricamente lo que sucede cuando se toma el espacio masgrande, el espectro primo Spec K[x1, . . . , xn], en los ejemplos que siguen:

Ejemplo 11. Sea K un campo y consideremos Spec K[x, y]. De nuevo, como K[x, y]es dominio entero, %0& es ideal primo, su cerradura es todo Spec K[x, y] y ası %0& esun punto generico. Ahora, desafortunadamente K[x, y] no es un DIP (por ejemplo,el ideal %x, y& no es principal). Para ver algunos ejemplos de puntos en Spec K[x, y],por el ejemplo 4 para n = 2, los ideales %x) a, y) b&, con a, b $ K, son maximos.Pero ademas de los ideales maximos anteriores, hay otros ideales primos, a saberlos ideales %f(x, y)& con f $ K[x, y] irreducible (por ejemplo, f(x, y) = y ) x2

o f(x, y) = y2 ) x3). Mas adelante probaremos que estos son todos los idealesprimos de K[x, y]: la !!idea geometrica"" es que los primos (maximos) %x)a, x) b&corresponden a puntos (a, b) $ K2, i.e., de dimension cero; los primos %f(x, y)&con f irreducible son curvas f(x, y) = 0, i.e., de dimension 1; al ideal 0 de algu-na manera lo pensaremos de dimension 2 (aunque en toda esta discusion no hemosdefinido el concepto de dimension) y esto cubre todas las posibilidades geometricasen Spec K[x, y]. Resumiento, los ideales maximos en Spec K[x, y] corresponden alos puntos en K2 y ademas Spec K[x, y] contiene al punto generico 0 y a los puntoscorrespondientes a curvas f(x, y) = 0 asociadas a polinomios irreducibles f :

Spec K[x, y] = K2 0 {%0&} 0 {%f(x, y)& : f(x, y) irreducible} :

•punto generico en el eje X

punto generico en el eje Y

punto generico en la curva )f(x, y)*

punto generico de K2

)0*

)y*

)x*

)x! a, y ! b*punto cerrado


Ejemplo 12. Generalizando el ejemplo anterior, sea K un campo algebraicamentecerrado y consideremos el espectro Spec K[x1, . . . , xn], y para ser concretos consi-deremos el caso n = 3, i.e., Spec K[x, y, z]. De nuevo, por el teorema de los cerosde Hilbert, los ideales %x)a, y)b, z)c&, para a, b, c $ K son todos los maximos deK[x, y, z], y a los primos anteriores los pensamos como puntos (a, b, c) $ K3, i.e.,de dimension 0. Tambien, el ideal 0 es primo y su cerradura es todo Spec K[x, y, z],i.e., 0 es un punto generico de Spec K[x, y, z]. De nuevo, tenemos para cada polino-mio irreducible f $ K[x, y, z] el ideal primo %f(x, y, z)& con el cual asociamos lahipersuperficie f(x, y, z) = 0 y pensamos a estos primos como de dimension 2. Sinembargo, estos no son todos los primos de K[x, y, z], nos faltan los de dimension 1,por ejemplo el ideal %x, y& es primo ya que el cociente K[x, y, z]/%x, y& 4 K[z] esun dominio entero; de hecho, hay muchos primos unidimensionales y mas adelanteveremos que corresponden a !!curvas irreducibles"": una respuesta geometrica a unapregunta algebraica: ¿cuales son los primos de K[x, y, z]? Resumiendo,

Spec K[x, y, z] = K3 0 {%0&} 0 {otros primos}.

De aquı puede inferirse lo que sucede en el caso general: Spec K[x1, . . . , xn] con-tiene, como subespacio de puntos cerrados, al espacio afın Kn y ademas un puntopZ por cada subvariedad (irreducible) Z # An

K de dimension - 1:

Spec K[x1, . . . , xn] = Kn0{%0&}0{pZ : Z # Kn variedad irreducible de dim - 1}.

Ejemplo 13. Si A = K[x, y], con K algebraicamente cerrado, e I = %xy&, porel ejemplo 12 sabemos que Spec A = Spec K[x, y] es K2 junto con puntos dedimensiones 1 y 2. Por la proposicion 1.18, Spec K[x, y]/%xy& se identifica conV %xy& # Spec K[x, y], y este subespacio cerrado incluye, por ejemplo, los puntos0-dimensionales (a, 0) y (0, b), i.e., los !!ejes coordenados"", y tambien los primosunidimensionales %x& y %y&.

Ejemplo 14. En general, si K es algebraicamente cerrado y V # Kn es un conjun-to algebraico afın con ideal I = I(V ) # K[x1, . . . , xn] y anillo de coordenadasK[V ] := K[x1, . . . , xn]/I , su espectro asociado es Spec K[V ] y el epimorfismocanonico " : K[x1, . . . , xn] " K[V ] induce el monomorfismo de espectros

a" : Spec K[V ] # Spec K[x1, . . . , xn]

y recordando que los ideales maximos de K[V ] corresponden a ideales maximosde K[x1, . . . , xn] que contienen a I y los ideales maximos de K[V ] correspondena los puntos de V , entonces podemos identificar a V con el subconjunto de pun-tos cerrados de Spec K[V ]. Ademas, Spec K[V ] tiene un punto generico por cadasubvariedad algebraica (irreducible) Z # V de dimension - 1.


Espectros de tipo aritmetico. Los anillos que consideraremos en este caso son ani-llos finitamente generados sobre Z y estan naturalmente asociados a problemas deorigen aritmetico, ya sea como anillos de enteros en campos de numeros, o asocia-dos a problemas diofantinos (soluciones a ecuaciones polinomiales con coeficientesenteros o racionales). Comenzamos con el prototipo de todos estos ejemplos:

Ejemplo 15. Para el anillo Z, Spec Z = {0, %2&, %3&, %5&, . . . , %p&, . . .}. Ahora, V 0) =Spec Z por lo que este espacio es irreducible y 0 es un punto generico. Ahora, comoZ es DIP, todos sus ideales son de la forma I = %a& por lo que si %a& '= 0, entoncesV (%a&) = {%p& $ Spec Z : %p& / %a&}, y como %p& / %a& 2 p|a, entoncesV (%a&) = {%p& : p es primo y p|a}. Explıcitamente, si a = pe1

1 · · · perr , entonces

V (%a&) = {%p1&, . . . , %pr&}. Ası, los abiertos de Spec Z se obtienen como comple-mentos de conjuntos finitos de primos (!!botando subconjuntos finitos de primos"").Note tambien que, como Z es un DIP, los ideales primos son maximos y ası cadapunto %p& $ Spec Z es cerrado: V %p& = {%p&}.

•2

•3

•5

•7

•11 · · ·

•p · · ·

•

%0&

Ejemplo 16. Consideremos la inclusion ( : Z !" Z[i] del anillo Z en el anillo deenteros gaussianos. El morfismo inducido a( : Spec Z[i] " Spec Z es simplementea((p) = (!1(p) = p+Z = %p&, para p = 0 o p primo de Z. Como Z[i] es dominioentero, entonces 0 es ideal primo y claramente a((0) = 0. Por otra parte, sabemosque los ideales primos de Z[i] son factores de primos de Z, y para los primos deZ, el 2 se factoriza en Z[i] como 2 = (1 ) i)(1 + i) = )i(1 ) i)2 (donde )i esuna unidad de Z[i]), entonces !!arriba"" del 2 hay un primo elevado al cuadrado, asaber (1 ) i) y decimos que 2 se !!ramifica"" en Z[i]; para los primos impares, sip 5 3 (mod 4), entonces p permanece primo en Z[i] (decimos que p es !!inerte"")y si p 5 1 (mod 4), entonces p se factoriza en Z[i] como producto de dos primosa + bi conjugados, i.e., p = (a + bi)(a ) bi) (decimos que p no se !!ramifica"") locual corresponde al caso cuando el primo p se puede escribir como la suma de doscuadrados. Podemos visualizar la situacion anterior como sigue:

••

•• •

•

••

· · ·

· · ·

· · ·

· · · · · ·

· · ·

· · ·

Spec Z[i]

#

a(

Spec Z0

•

•2

•3

•5

•7

•11 · · ·

•4m + 1 · · ·

•4n + 3


EjerciciosEJERCICIO 1. En el parrafo antes de 1.1 usamos que en un DFU dados dos ele-mentos existe su maximo comun divisor y este es unico salvo unidades. Demuestreformalmente lo anterior.

EJERCICIO 2. Si A es un DFU y a, b $ A son coprimos, i.e., su maximo comundivisor es una unidad, y si a|bc en A, demuestre que a|c.

EJERCICIO 3. Si A es un anillo y A[[x]] es el anillo de series de potencias formalescon coeficientes en A, demuestre que

f = a0 + a1x + a2x2 + · · · $ A[[x]]

es una unidad si y solo si a0 es unidad de A.

EJERCICIO 4. Si A es un DFU, demuestre que A[[x]] tambien lo es.

EJERCICIO 5. Sea I # A un ideal. Considere su radical:1

I := {a $ A : an $ I para algun entero n - 1}.

Demuestre que:(i)1

I es un ideal de A.(ii) I #

1I .

(iii).1

I =1

I .(iv)

1IJ =

1I + J =

1I +

1J . En general, si Ii es una familia finita de

ideales de A, demuestre que.)

i Ii =)

i

1Ii.

(v)1

I + J =.1

I +1

J .(vi) Si p es primo, entonces

1pn = p, para todo entero n - 1.

(vii) Se puede definir el radical de cualquier subconjunto E # A, aun cuando1E no es un ideal, en general. Demuestre que

.&i Ei =

&i

1Ei

para cualquier familia de subconjuntos Ei # A.(viii)

1I = A si y solo si I = A.

(ix) Si I , J son ideales de A tales que1

I y1

J son coprimos, demuestre queI , J son coprimos.

EJERCICIO 6. Calcule el nilradical del anillo Z/nZ.

EJERCICIOS 27

EJERCICIO 7. Por el ejercicio 5(iii) se tiene que.1

I =1

I . Un ideal J # A talque

1J = J se llama un ideal radical. Ası,

1I es un ideal radical. Demuestre que1

I es el menor ideal radical que contiene a I .

EJERCICIO 8. Si I ! A es un ideal propio, demuestre que I es un ideal radical si ysolo si I es la interseccion de ideales primos.

EJERCICIO 9. Si I , J son ideales de A, demuestre que

(J : I) := {a $ A : ax $ J para todo x $ I} # A

es un ideal de A. Decimos que (J : I) es el ideal que traslada I a J . En el casoparticular cuando J = 0, al ideal (0 : I) que traslada I a 0, se le llama el anuladorde I . Demuestre que:

(i) ()

i Ji : I) =)

i(Ji : I).(ii) (J :

"i Ii) =

)i(J : Ii).

(iii) Si D =&

x &=0(0 : x) es el conjunto de divisores de cero de A, demuestreque D =

&x &=0

.(0 : x).

EJERCICIO 10. Si A es un anillo, un elemento a $ A se dice que es idempotente sia2 = a. Demuestre que a $ A es idempotente si y solo si 1) a es idempotente.

EJERCICIO 11. Si A es un anillo, demuestre que las propiedades siguientes sonequivalentes:

(i) A tiene solo un ideal primo.(ii) Todo elemento de A es una unidad o es nilpotente.

(iii) A/ nilA es un campo.

EJERCICIO 12. Un anillo A se dice que es reducido si nilA = 0. Si A es cuaquieranillo conmutativo, demuestre que A/ nilA es reducido.

EJERCICIO 13. Si K es un campo y p(x) $ K[x], demuestre que el anillo K[x]/%p(x)&es reducido si y solo si p(x) no es divisible por el cuadrado de algun polinomio noconstante.

EJERCICIO 14. Si I # nilA y u $ A es tal que u es una unidad de A/I , demuestreque u es unidad de A.

EJERCICIO 15. Si u es una unidad del anillo A y x $ A es nilpotente, demuestreque u + x es una unidad de A.

EJERCICIO 16. Si p es un ideal primo de A e I, J son ideales de A tales que I '# py J '# p, demuestre que IJ '# p.


EJERCICIO 17. Si I # A es un ideal finitamente generado tal que I = I2, demuestreque I esta generado por un idempotente, i.e., un e $ I tal que e2 = e.

EJERCICIO 18. Si A '= 0 es un anillo no trivial, demuestre que el conjunto Spec Ade ideales primos de A tiene elementos mınimos con respecto a la inclusion.

EJERCICIO 19. Si $ : A " B es un morfismo de anillos y si f $ A, demuestre quea$!1(D(f)) = D($(f)).

EJERCICIO 20. Si $ : A " B es un morfismo de anillos y si J # B es cualquierideal, demuestre que

a$(V (J)) = V ($!1(J)).

EJERCICIO 21. Si $ : A " B es un morfismo de anillos y si q $ Spec B, muestreque $ induce el monomorfismo $q : A/a$(q) " B/q tal que el diagrama siguienteconmuta

A

##

" !! B

##A/a$(q)

"q !! B/q

con las flechas verticales las canonicas. Demuestre que, para todo f $ A se tieneque

$q(f + a$(q)) = ($(f) + q).Concluya que a$ es continua.

EJERCICIO 22. Si $ : A " B y ) : B " C son morfismos de anillos, demuestreque

a() 6 $) = a$ 6 a).

EJERCICIO 23. Si $ : A " B es un morfismo de anillos, demuestre que la imagena$(Spec B) es densa en Spec A si y solo si ker $ es nilpotente.

EJERCICIO 24. Sean A un anillo y f, g $ A. Demuestre que1

g #.

f 2 V (f) # V (g) 2 g $.

f.

EJERCICIO 25. Demuestre que un espacio topologico irreducible es conexo. De uncontraejemplo de espacio conexo que no sea irreducible.

EJERCICIO 26. Demuestre que en un espacio topologico Hausdorff los puntos sonlos unicos subconjuntos irreducibles.

EJERCICIOS 29

EJERCICIO 27. Si I, J # A son ideales, demuestre que Spec(A/(I + J)) =Spec(A/I) 0 Spec(A/J).

EJERCICIO 28. Con las mismas hipotesis, ¿quien es Spec(A/(I + J))?

EJERCICIO 29. Si K es algebraicamente cerrado, para los ideales I = %x& #K[x, y] y J = %x2& # K[x, y], identifique los subconjuntos cerrados (afines) V(I) yV(J). Demuestre que la inclusion %x2& # %x& induce el epimorfismo K[x, y]/%x2& "K[x, y]/%x&, que a su vez induce la inclusion

V(x) = Specm K[x, y]/%x& !" K[x, y]/%x2& = V(x2).

¿Puede identificar, geometricamente, ambos lados de la inclusion anterior?

EJERCICIO 30. Encuentre las tres componentes irreducibles del conjunto algebraicoafın dado por

V(5x2 ) y3z, xz ) 5x) # K3.

Capıtulo2Modulos y algebras

Si A es un anillo, un A-modulo es un grupo abeliano M junto con una accionA!M " M , denotada por (a, x) ," ax, que satisface las condiciones siguientes:

(i) a(x + y) = ax + ay, para a $ A, x, y $ M .(ii) (a + b)x = ax + bx, para a, b $ A, x $ M .

(iii) (ab)x = a(bx), para a, b $ A, x $ M .(iv) 1 x = x, para 1 $ A, x $ M .

Ejemplo 1. Si K es un campo, un K-modulo es un K-espacio vectorial.

Ejemplo 2. Un Z-modulo es un grupo abeliano.

Ejemplo 3. Todo anillo A es un A-modulo.

Morfismos. Si M , N son A-modulos, un A-morfismo es una funcion f : M " Nque es A-lineal, i.e., que satisface:

f(x + y) = f(x) + f(y)f(ax) = af(x)

para todo x, y $ M y a $ A. Si f : M " N es un A-morfismo, diremos que es unepimorfismo si es suprayectivo. Diremos que es un monomorfismo si es inyectivo ydiremos que es un isomorfismo si es biyectivo. En ocasiones usaremos las notacionesM " N para un epimorfismo, M # N para un monomorfismo y M 4 N si hayun isomorfismo entre M y N , en cuyo caso diremos que M y N son isomorfos.

Ejemplo 4. Si M , N son K-espacios vectoriales, un K-morfismo es una transforma-cion K-lineal. Si M , N son grupos abelianos, un Z-morfismo es un homomorfismode grupos. Si f : M " N y g : N " T son A-morfismos, su composiciong 6 f : M " T es un A-morfismo. La funcion identidad id : M " M dada porid(x) = x es un morfismo.

Si f, g : M " N son dos A-morfismos, su suma f + g : M " N es la funciondada por (f+g)(x) := f(x)+g(x). Claramente f+g es un morfismo. Similarmente,

31

32 2. MODULOS Y ALGEBRAS

si a $ A se define la funcion af : M " N mediante (af)(x) := af(x) y tambienes un morfismo. Ası, el conjunto de todos los A-morfismos de M a N , denotado por

HomA(M, N)

es un A-modulo.

PROPOSICION 2.1. Si M es un A-modulo, se tiene un isomorfismo natural

HomA(A, M) 4 M.

Demostracion. Defina $ : HomA(A, M) " M enviando un f : A " M a $(f) :=f(1). !

Operaciones con modulos. Si M es un A-modulo, un A-submodulo de M es unsubconjunto N # M tal que es modulo con las operaciones de M . Ası, N essubmodulo de M si y solo si N # M es un subgrupo aditivo y es cerrado bajomultiplicacion por los escalares de A.

Si N # M es un submodulo, se define el modulo cociente M/N como el grupoabeliano aditivo de clases laterales de N en M con la estructura de A-modulo dadapor: a(x+N) := ax+N , para a $ A y x+N $ M/N . La funcion " : M " M/Ndada por "(x) := x + N es un morfismo suprayectivo.

Si f : M " N es un A-morfismo, su nucleo es

ker f := {x $ M : f(x) = 0}

y su imagen esIm(f) := {f(x) $ N : x $ M}.

Ambos son submodulos de los modulos correspondientes. El conucleo de f es

Coker(f) := N/ Im f

y la coimagen de f esCoim(f) := M/ ker f,

sin embargo la coimagen no es muy interesante en este caso porque se tiene elresultado siguiente:

TEOREMA 2.2 (Noether). Si f : M " N es un A-morfismo, entonces f induce unisomorfismo f : M/ ker f " Im f tal que le diagrama siguiente conmuta:

Mf !!

!

##

Im f # N

M/ ker ff

$$

2. MODULOS Y ALGEBRAS 33

Demostracion. Si x+ker f $ M/ ker f , se define f(x+ker f) := f(x). Se muestrafacilmente que f esta bien definida, hace conmutar el diagrama, i.e., f 6 " = f y esun isomorfismo. !

Interseccion y suma de modulos. Si {Mi}i#! es una familia de A-modulos, suinterseccion

)i#! Mi es un submodulo de cada Mi. Si todos los Mi son submodulos

de un A-modulo M , se define la suma"

i#! Mi como el conjunto'

i#!

Mi :=! "

i xi $ M : sumas finitas con xi $ Mi#

que claramente es un A-modulo y es el menor submodulo de M que contiene atodos los Mi.

Si S es un subconjunto de un A-modulo M , la interseccion de todos los submodu-los de M que contienen a S es un submodulo de M y se dice que es el submodulogenerado por el conjunto S y se denota por %S&, y se dice que los elementos de Sson los generadores de %S&. Claramente,

%S& =! "

i aixi : sumas finitas con ai $ A y xi $ S#.

Si S = {x1, . . . , xn} es un conjunto finito, escribiremos %S& = %x1, . . . , xn&, ydiremos que %S& es un submodulo finitamente generado. En particular, si S = {x},observe que %x& = Ax = {ax : a $ A} y por lo tanto, si S = {x1, . . . , xn},entonces

%x1, . . . , xn& =n'

i=1

Axi.

Producto directo y suma directa de modulos. Si {Mi}i#! es una familia de A-modulos, su producto directo es el conjunto

/

i#!

Mi :=!(xi) : xi $ Mi para todo i $ "

#

de todas las "-adas ordenadas con xi $ Mi para cada i $ " y con las operacionesdefinidas componente a componente, i.e.,

(xi) + (yi) := (xi + yi)a(xi) := (axi).

Se tienen epimorfismos naturales pi :(

i Mi " Mi definidos por las proyeccionespi(xi) = xi en el i-esimo factor.

La suma directa de la familia anterior es el conjunto0

i#!

Mi :=!(xi) $

/

i

Mi : con casi todos los xi = 0#


donde por !!casi todos"" queremos decir !!todos, excepto por un numero finito"". Lasoperaciones en la suma directa definen tambien componente a componente. Se tie-nen monomorfismos naturales ij : Mj # 1

Mj definidos, para xj $ Mj , por lasinclusiones ij(xj) = (. . . , 0, xj , 0, . . .), es decir, la "-ada con 0 en todas las com-ponentes excepto en la componente j-esima donde se tiene a xj . Observe que si elconjunto de ındices " es finito, entonces

(i#! Mi 4

1i#! Mi.

Si L =1

i#! A es una suma directa de copias del anillo A indexadas por ",diremos que L es un A-modulo libre. En general, cualquier A-modulo L isomorfo auna suma directa de la forma

1i#! A se dira que es un modulo libre. En ocasiones

usaremos la notacionA(!) :=

0

i#!

A.

Note que los elementos de A(!) se pueden expresar en forma unica como sumasfinitas de la forma '

i

ai&i con ai $ A y &i $ "

donde A&i 4 A para todo &i $ ". A los elementos de " se les llama los generadoresdel modulo libre A(!). Observe que todo A-modulo M es cociente de un A-modulolibre ya que se tiene el epimorfismo A(M) " M dado enviando un generador x $M a sı mismo. Cuando " = {1, . . . , n}, usaremos la notacion An para la sumadirecta

1ni=1 A de n copias de A.

Sucesiones exactas. Una sucesion de A-modulos y A-morfismos

· · ·" Mi!1fi!1)" Mi

fi)" Mi!1 " · · ·se dice que es exacta en Mi si Im fi!1 = ker fi. Diremos que es una sucesionexacta si lo es en cada Mi.

LEMA 2.3. (1) Una sucesion 0 " M " f)" M es exacta si y solo si f es inyectivo.

(2) Una sucesion Mg)" M "" " 0 es exacta si y solo si g es suprayectivo.

(3) Si N # M es un submodulo, se tiene la sucesion exacta

0 " Ni

!" M!)" M/N " 0

donde i : N !" M es la inclusion de N en M , que obviamente es un morfismo, y" : M " M/N es el epimorfismo canonico.

Demostracion. Todo es obvio. !Una sucesion exacta de la forma

0 " M " " M " M "" " 0

se dice que es una sucesion exacta corta.


El lema del quinto y el lema de la serpiente. Los dos resultados siguientes, quecombinan la conmutatividad de unos diagramas con la exactitud de los renglonescorrespondientes, a pesar de ser elementales seran de gran utilidad en seccionessubsiguientes.

PROPOSICION 2.4 (El lema de la serpiente). Dado el diagrama conmutativo si-guiente, con renglones exactos:

0 !! M "

###

f !! M

$##

g !! M ""

%

##

!! 0

0 !! N "f "

!! Ng"

!! N "" !! 0

Existe una sucesion exacta de la forma

0 " ker 'f)" ker *

g)" ker &&)" Coker '

f ")" Coker *g")" Coker & " 0

donde los morfismos entre nucleos son las restricciones de f y g y los morfismosentre conucleos son los inducidos por f " y g". El morfismo + se llama el morfismode conexion o de frontera.

Demostracion. El punto importante es la definicion del morfismo de conexion + :ker & " Coker '. Dado x"" $ ker &, como g es suprayectivo existe un x $ Mtal que g(x) = x"". Por la conmutatividad del cuadrado de la derecha g"*(x) =&g(x) = &x"" = 0 y por lo tanto *x $ ker g" = Im f " (por la exactitud del rengloninferior); por lo tanto, existe un unico y" $ N " tal que f "(y") = *x (es unico porquef " es inyectivo). Ahora, como Coker ' = N "/ Im ', entonces y" $ Coker '. Se!!define"" +(x) := y". Note que en la !!definicion"" de +(x) hay un punto donde setiene que hacer una eleccion (cuando se usa que g es suprayectivo). Supongamosque z $ M tambien satisface que g(z) = x"". Entonces, x) z $ ker g = Im f (porla exactitud del renglon superior) y ası existe un unico x" $ M " tal que fx" = x)z.Se sigue que

*(x)) *(z) = *(x) z) = *(fx") = f "'x" $ Im f " = ker g"

y como f "!1*(x) = y" entonces

y" ) f "!1(*z) = f "!1(*x)) f "!1(*z) = f "!1f "'x = 'x

es decir, y" difiere de la otra eleccion f "!1(*z) por un elemento de Im ', i.e., y"

esta bien definida en el cociente N "/ Im ' = Coker ', como se querıa. Resu-miendo, + esta bien definido y, abusando de la notacion, su definicion es +x"" :=f "!1*g!1x"", que en un diagrama se ve como:


x

$##

x""g!1

""

y" *xf "!1

""

que, con un poco de imaginacion, recuerda a una serpiente. La verificacion de quela sucesion del enunciado es exacta, es rutina. !PROPOSICION 2.5 (El lema del quinto). Dado el diagrama conmutativo siguiente,con renglones exactos

M1!!

f1

##

M2

f2

##

!! M3

f3

##

!! M4

f4

##

!! M5

f5

##N1

!! N2!! N3

!! N4!! N5

(1) Si f2 y f4 son suprayectivas, f5 es inyectiva, entonces f3 es suprayectiva.(2) Si f2 y f4 son inyectivas, f1 es suprayectiva, entonces f3 es inyectiva.(3) Si f1, f2, f4 y f5 son biyectivas, entonces f3 es biyectiva.

Demostracion. Etiquete las flechas horizontales y cacerıa en el diagrama. !

Propiedades de exactitud del Hom. Si f : M " " M es un A-morfismo y N escualquier A-modulo, entonces f induce un A-morfismo

f' : HomA(M,N) " HomA(M ", N)

definido, para ' $ HomA(M, N) mediante f'(') = ' 6 f : M " f)" M#)" N .

Se verifica directamente que f' es un morfismo. Similarmente, si f : N " N " esun morfismo y M es cualquier modulo, entonces f induce el morfismo

f' : HomA(M, N) " HomA(M,N ")

definido, para ' $ HomA(M, N) mediante f'(') = f 6 ' : M#)" N

f)" N ".

LEMA 2.6. (1) Si M " f)" Mg)" M "" son morfismos y N es otro modulo, entonces

(g 6 f)' = f' 6 g' : HomA(M "", N) g#)" HomA(M, N) f#)" HomA(M ", N).

(2) Si N " f)" Ng)" N "" son morfismos y M es otro modulo, entonces

(g 6 f)' = g' 6 f' : HomA(M,N ") f#)" HomA(M, N) g#)" HomA(M,N "").

Demostracion. Calculos directos. !


TEOREMA 2.7. (1) Si 0 " M " f)" Mg)" M "" " 0 es una sucesion exacta y N

es otro modulo, entonces la sucesion siguiente es exacta:

0 " HomA(M "", N) g#)" HomA(M, N) f#)" HomA(M ", N).

(2) Si 0 " N " f)" Ng)" N "" " 0 es exacta y M es otro modulo, entonces la

sucesion siguiente es exacta:

0 " HomA(M,N ") f#)" HomA(M, N) g#)" HomA(M,N "").

Demostracion. (2): Primero, f' es inyectiva ya que si f'(') = 0, entonces f 6 ' =0 : M " N , i.e., para todo x $ M se tiene que f('(x)) = 0 y como f es inyectivo,esto implica que '(x) = 0 para todo x $ M , i.e., ' = 0. Segundo, mostraremosque Im f' # ker g', o lo que es lo mismo, mostraremos que g' 6 f' = 0. Pero comog' 6 f' = (g 6 f)' y como Im f = ker g por hipotesis, entonces g 6 f = 0 y por lotanto g' 6 f' = (g 6 f)' = 0' = 0. Finalmente, mostraremos que ker g' # Im f'.En efecto, dado * $ ker g' se tiene que 0 = g'(*) = g 6 * y ası para toda x $ Mse tiene que g(*(x)) = 0, i.e., *(x) $ ker g y por la exactitud de la sucesion de lahipotesis, *(x) $ ker g = Im f , existe x" $ N " tal que f(x") = *(x). Como f esinyectiva, esta x" $ N " es unica con la propiedad de que f(x") = *(x). Definimosla funcion ' $ HomA(M, N ") mediante '(x) = x" y se verifica facilmente que esun morfismo. Note entonces que f'(') = f 6' : M " N " " N satisface que paratodo x $ M ,

(f 6 ')(x) = f('(x)) = f(x") = *(x)y por lo tanto f'(') = f 6 ' = *, i.e., * $ Im f', i.e., ker g' # Im f', como sequerıa. La parte (1) se demuestra en forma similar. !

Producto tensorial de modulos. Sean M,N,P tres A-modulos. Una funcion A-bilineal f : M ! N " P es una funcion que es A-lineal en cada una de susdos variables, es decir, fijando la segunda variable, digamos y $ N , la funcionf(), y) : M " P es un A-morfismo, y similarmente fijando la primera variable,f(x,)) : N " P es un A-morfismo. Podemos entonces considerar el conjunto detodas las funciones A-bilineales anteriores, al que denotaremos por

BilA(M !N, P )

y nos preguntamos por la existencia de un solo A-modulo, digamos T , tal que lasfunciones A-bilineales f : M ! N " P correspondan a funciones A-lineales2f : T " P , de tal forma que

(*) BilA(M !N, P ) +)" HomA(T, P )

(diremos en este caso que T linealiza las funciones bilineales con dominio M!N .)La respuesta a esta pregunta es afirmativa: existe un tal modulo T y es unico con la


propiedad (*) anterior. En efecto, sean M y N dos A-modulos y sea L el A-modulolibre A(M(N). Entonces, los elementos de L son sumas finitas de la forma

'

i

ai(xi, yi) con ai $ A y (xi, yi) $ M !N.

Sea R # L el submodulo generado por los elementos de la forma:

(x + x", y)) (x, y)) (x", y)

(x, y + y")) (x, y)) (x, y")(ax, y)) a(x, y)(x, ay)) a(x, y)

y sea T := L/R. Para cada elemento basico (x, y) $ M ! N # L = A(M(N)

denotemos con x 7 y a su clase lateral (x, y) + R en T = L/R. Entonces, Testa generado por los x7 y, y la funcion

$ : M !N " T

dada por $(x, y) := x7 y es A-bilineal, ya que, por ejemplo,

(x+x")7y = (x+x", y)+R = (x, y)+(x", y)+[(x+x", y))(x, y))(x", y)]+R

la ultima igualdad es porque el termino entre parentesis es uno de los generadores deR. Similarmente para las otras igualdades necesarias para mostrar que $ es bilineal.Hemos ası construido un A-modulo T y una funcion A-bilineal $ : M !N " T .El par (T, $) satisface la propiedad universal siguiente:

PROPOSICION 2.8. Si P es cualquier A-modulo y si f : M ! N " P es unafuncion A-bilineal, entonces existe un unico A-morfismo 2f : T " P que haceconmutar el diagrama siguiente

M !N

"##

f !! P

Tef

%%

es decir, 2f 6 $ = f .

Demostracion. Como f esta definida en los basicos del modulo libre L, entonces fse puede extender por linealidad a todo L. Ahora, como f es A-bilineal, entoncesse anula en los generadores de R y ası en todo R. Pasando al cociente f induce elA-morfismo 2f : T " P . Las definiciones hacen evidente que el diagrama conmuta.Finalmente, si h : T " P es tal que h 6 $ = f , restringiendo a los generadoresse tiene que f(x, y) = h 6 $(x, y) = h(x 7 y) por lo que h coincide con 2f en losgeneradores x7 y de T y por lo tanto h = 2f en todo T . !


Note que otra forma de leer esta proposicion es que a cada funcion bilinealf : M ! N " P le corresponde en forma unica una funcion lineal 2f : T "P , la correspondencia dada con el auxilio de la funcion bilineal $ : M ! N "T . Equivalentemente, la proposicion nos dice que para dar una funcion lineal condominio T basta dar una funcion bilineal con dominio M !N . Esto nos dice que:

COROLARIO 2.9. Existe un isomorfismo entre BilA(M ! N, P ) y HomA(T, P ),dado por f ," 2f 6 $, es decir, la correspondencia (*). El A-modulo T anterior esunico, salvo isomorfismo.

Demostracion. Solo resta probar que si T " y una funcion bilineal ) : M !N " T "

satisfacen lo enunciado en la proposicion anterior, con T " reemplazando T y )reemplazando $, entonces T 4 T ". En efecto, para el caso especial de la funcionA-bilineal $ : M ! N " T se tiene que, por la propiedad anterior de T " y ), queel diagrama del lado izquierdo siguiente conmuta

M !N

'##

" !! T M !N

"##

' !! T "

T "e"

%%

Te'

%%

Similarmente, por la propiedad de T y la funcion $ (de la proposicion anterior),para la funcion A-bilineal ) : M ! N " T ", se tiene que el diagrama del ladoderecho anterior conmuta. Entonces, considerando la composicion 2) 6 2$ se tieneque el diagrama del lado izquierdo siguiente conmuta:

M !N

'##

' !! T " M !N

"##

" !! T

T "e',e"

%%

Te", e'

%%

Similarmente para el diagrama del lado derecho. Pero como las funciones idT " eidT hacen conmutar los diagramas respectivos, por la unicidad de las funcionesmarcadas con flechas punteadas se debe tener que 2) 6 2$ = idT " y 2$ 6 2) = idT , esdecir T 4 T ". !

Gracias al corolario anterior, si M, N son dos A-modulos, el modulo T es unico,salvo isomorfismo, y lo podemos denotar entonces por T = M 7A N , y decimosque T es el producto tensorial de M y N . A la aplicacion bilineal $ : M ! N "M 7A N la llamaremos la aplicacion canonica del producto tensorial. Note queT = M7AN esta generado por los elementos (llamados tensores) de la forma x7ycon (x, y) $ M ! N . Si el anillo A no cambia en toda la discusion, escribiremos


M 7 N en lugar de M 7A N . Observe que, en virtud de la bilinealidad de laaplicacion canonica $ : M !N " M 7N , se tienen relaciones como

(ax + by)7 z = a(x7 z) + b(y 7 z).

Las propiedades siguientes son inmediatas:

PROPOSICION 2.10. (1) Si M es cualquier A-modulo, entonces

M 7A A 4 M.

(2) Si M y N son A-modulos, entonces existe un isomorfismo natural

M 7A N 4 N 7A M.

(3) Si M , N , P son A-modulos, se tiene un isomorfismo natural

M 7A (N 7A P ) 4 (M 7A N)7A P.

Demostracion. Estas propiedades se prueban facilmente, por ejemplo para (2) ob-serve que la aplicacion $ : M ! N " N 7A M dada por $(v, w) = w 7 v esbilineal y ası por la propiedad del producto tensorial induce una unica funcion lineal$ : M 7A N " N 7A M tal que $(v 7 w) = w 7 v. Similarmente se tiene unaaplicacion lineal ) : N 7A M " M 7A N tal que )(w7 v) = v7w, y se pruebafacilmente que $ y ) son inversas una de la otra. !

Propiedades de exactitud del producto tensorial. Si f : M " N y g : M " " N "

son A-morfismos, entonces la funcion f ! g : M ! M " " N 7A N " dada por(f ! g)(x, x") = f(x)7 g(x") es A-bilineal y por lo tanto induce un A-morfismo

f 7 g : M 7A M " " N 7N "

tal que (f 7 g)(x7 x") = f(x)7 g(x").

Si M " f ")" Mf)" M "" y N " g")" N

g)" N "" son A-morfismos, entonces en

M " 7N " f "-g")" M 7Nf-g)" M "" 7N ""

se tiene que (f 7 g) 6 (f "7 g") = (f 6 f ")7 (g 6 g") ya que ambas funciones tienenlos mismos valores en x7 y.

TEOREMA 2.11. Si 0 " M " f)" Mg)" M "" " 0 es una sucesion exacta y N es

otro modulo, entonces

M " 7A Nf-id !! M 7A N

g-id !! M "" 7A N !! 0

es exacta.


Demostracion. Para mostrar que Im(f 7 id) # ker(g 7 id) debemos mostrar que(g 7 id)(f 7 id) = 0. Pero, por el parrafo previo al enunciado, (g 7 id) 6 (f 7id) = (g 6 f) 7 id = 0, la ultima igualdad porque g 6 f = 0. Para mostrar queker(g 7 id) # Im(f 7 id), considere el diagrama siguiente

M " 7A Nf-id !! M 7A N

g-id !!

!####

M "" 7A N !! 0

(M 7A N)/ Im(f 7 id)

"&&

donde " es epimorfismo canonico y note que, como Im(f 7 id) # ker(g 7 id),entonces g 7 id induce el morfismo $ por paso al cociente, i.e., el triangulo en eldiagrama conmuta. Mostraremos que $ es un isomorfismo, y note que una vez hechoesto se tiene que

ker(g 7 id) = ker($ 6 ") = ker(") = Im(f 7 id)

que es lo que se querıa. Para mostrar que $ es un isomorfismo, construiremos suinversa, ) : M ""7AN " (M7AN)/ Im(f7id) como sigue: defina p : M ""!N "(M 7A N)/ Im(f 7 id) para (x"", y) $ M "" ! N escogiendo para x"" $ M "" unx $ M (porque g es suprayectiva) tal que g(x) = x"" y poniendo p(x"", y) := x7 y.Se verifica facilmente que p esta bien definida, es bilineal y el morfismo ) queinduce es inverso de $. Resta mostrar que g 7 id es suprayectiva y para esto noteque si

"x""i 7 yi $ M "" 7A N , como g es suprayectiva existen xi $ M tales que

g(xi) = x""i , y se tiene que

(g 7 id)$ '

xi 7 yi

%=

'g(xi)7 yi =

'x""i 7 yi.

!TEOREMA 2.12 (El isomorfismo de adjuncion). Si M,N,P son A-modulos, se tie-ne un isomorfismo natural

( : HomA(M 7A N, P ) .)" HomA(M, HomA(N, P )).

Demostracion. Para ' $ HomA(M 7A N, P ) defina ((') : M " HomA(N, P )como la funcion que asigna a x $ M el morfismo ((')(x) : N " P dado, paray $ N , como ((')(x)(y) := '(x 7 y). Es claro que, tanto ((') como ( sonA-morfismos. Para mostrar que ( es inyectivo, supongamos que ((') = 0, i.e.,para todo x $ M , ((')(x) = 0, i.e., para todo y $ N , 0 = ((')(x)(y) ='(x 7 y), para todo x 7 y $ M !A N , y por lo tanto ' = 0. Para mostrar que (es suprayectiva, dado f : M " HomA(N, P ), defina ' : M ! N " P mediante'(x, y) := f(x)(y). Se verifica directamente que ' es bilineal y por lo tanto induce' : M 7A N " P tal que ((') = f . !


Planitud. En el teorema 2.11, no necesariamente f 7 id es inyectivo, por ejemplo,dada la sucesion de Z-modulos

0 " Z f)" Z !)" Z/nZ " 0

donde f es multiplicacion por n - 2, i.e., f(x) = nx, y " es el epimorfismocanonico, claramente esta es una sucesion exacta corta. Sin embargo al tensorar conN = Z/nZ, el morfismo

Z7Z Z/nZ f-id)" Z7Z Z/nZno es inyectivo, porque para todo x7 y $ Z7Z Z/nz se tiene que

(f 7 id)(x7 y) = f(x)7 id(y) = nx7 y = x7 ny = x7 0 = 0

y ası f 7 id es el morfismo cero pero Z7Z Z/nZ 4 Z/nZ '= 0.

Un A-modulo N se dice que es plano si para toda sucesion exacta de A-modulosde la forma

0 " M " f)" Mg)" M "" " 0

se tiene que la sucesion

0 " M " 7A Nf-id)" M 7A N

g-id)" M "" 7A N " 0

es exacta.

Ejemplo 5. El anillo A, considerado como A-modulo, es plano. Esto se sigue de lapropiedad (1) en 2.10. En general, como el producto tensorial conmuta con sumasdirectas (vea el ejercicio 3), entonces todo modulo libre es plano. Como vimos antes,el Z-modulo Z/2Z no es plano. En general, todo grupo abeliano de torsion no esplano.

El resultado siguiente nos dice que para verificar si un modulo es plano, bastaverificar la condicion de la definicion para modulos finitamente generados:

PROPOSICION 2.13. Sea M un A-modulo. Entonces, M es plano si y solo si paratodo monomorfismo 0 " N "

0 " N0 con N "0, N0 finitamente generados, la sucesion

0 " M 7A N "0 " M 7A N0 es exacta.

Demostracion. Para la implicacion no trivial, supongamos que 0 " N " f)" N esuna sucesion exacta de A-modulos arbitrarios y supongamos que z =

"xi 7 yi $

M 7A N " es tal que (id7f)(z) = 0. Sea N "0 el submodulo de N " generado por los

yi anteriores, por lo que N "0 es finitamente generado.

Como 0 = (id7f)("

xi 7 yi) = xi 7 f(yi) $ M 7A N , recordando queM 7A N = AM(N/R (vea la construccion antes de 2.8), entonces

"(xi, f(yi)) $

R y ası"

(xi, f(yi)) es una suma finita de los generadores de R. Sea N0 # N elsubmodulo generado por los f(yi) y los elementos de N que ocurren como segundas


coordenadas de los generadores de R en la expresion de"

(xi, f(yi)) como sumafinita de generadores de R. Entonces, N0 es finitamente generado y

"xi7f(yi) =

0 en M 7A N0. Entonces, 0 " N "0

f)" N0 es exacta con N "0 y N0 finitamente

generados y ası, por hipotesis, M 7A N "0

id-f)" M 7A N0 es inyectiva y comoz =

"xi 7 yi $ M 7A N "

0 es tal que (id7f)(z) = 0, entonces z = 0. !

Modulos fielmente planos. Como vimos en el parrafo anterior, los modulos Z/2Zy Z/3Z, por ejemplo, no son planos. Peor aun, note que

Z/2Z7Z Z/3Z = 0

porque el uno del lado izquierdo es el 3 que es cero en el lado derecho y el )1 dellado derecho es el 2 que es cero del lado izquierdo. Un A-modulo M se dice quees fielmente plano si es plano y para todo A-modulo N , la igualdad M 7A N = 0implica que N = 0.

PROPOSICION 2.14. Sea M un A-modulo. Las propiedades siguientes son equiva-lentes:

(1) M es fielmente plano.

(2) Una sucesion de A-modulos

(*) 0 " N " f)" Ng)" N "" " 0

es exacta si y solo si la sucesion

0 !! M 7A N " id-f !! M 7A Ng id-g!! M 7A N "" !! 0

es exacta.

Demostracion. (1)3 (2): Como M es plano, la exactitud de (*) implica la exactitudal tensorar con M . Recıprocamente, supongamos que la sucesion obtenida al tenso-rar (*) con M es exacta. Queremos probar que (*) es exacta. Primero mostraremosque f es inyectivo. En efecto, sea N0 = ker f . La exactitud de la sucesion obtenidaal tensorar con M implica que 0 = ker(id7f) = M7A N0 y como M es fielmenteplano, la igualdad anterior implica que N0 = 0, i.e., ker f = 0, como se querıa. Enforma analoga se demuestra la exactitud de (*) en los otros lugares.

(2) 3 (1): Claramente (2) implica que M es plano. Supongamos ahora que M 7A

N = 0 y considere la sucesion

(†) 0 " N " 0 " 0 " 0

y note que al tensorar esta sucesion con M se obtiene la sucesion exacta

0 " 0 " 0 " 0 " 0

porque M 7A N = 0 por hipotesis. Por (2) la exactitud de esta ultima sucesionimplica la exactitud de (†), lo cual solo es posible si N = 0. !


Algebras. Si f : A " B es un morfismo de anillos y M es un B-modulo, definala accion de A en M mediante a · x := f(a)x, para a $ A, x $ M y dondef(a)x es la accion dada de f(a) $ B en x $ M . Dejamos como el ejercicio 12 elprobar que con esta accion, M es un A-modulo. Diremos entonces que el B-moduloM se vuelve un A-modulo por cambio de anillos o restriccion de escalares. Enparticular, el anillo B mismo es un A-modulo por cambio de anillos usando f . Ası,B tiene dos estructuras algebraicas, es un anillo y un A-modulo y ambas estructurasson compatibles (como el grupo aditivo es el mismo, lo anterior se refiere solo alproducto, y para probar esta compatibilidad, suponga que b $ B esta en la imagende f , es decir, b = f(a) con a $ A, entonces, para todo x $ B, a·x := f(a)x = bx,donde a la izquierda se tiene el producto como modulo y a la derecha como anillo).En la situacion anterior, se dice que B es una A-algebra, es decir, una A-algebraes un anillo B junto con un morfismo de anillos f : A " B. Si B y C son dosA-algebras, un morfismo de A-algebras $ : B " C es un morfismo de anillos talque el diagrama siguiente conmuta:

Af

''!!!!

!!! g

(("""

""""

B"

!! C

es decir, $ 6 f = g. Note que como el anillo A actua en B y C mediante losmorfismos f : A " B y g : A " C, respectivamente, si $ : B " C es unmorfismo de A-algebras, entonces para todo a $ A y x $ B se tiene que $(ax) =a$(x), lo cual puesto explıcitamente en terminos de f y g quiere decir

$(f(a)x) = g(a)$(x)

porque ax = f(a)x y a$(x) = g(a)$(x). Note que poniendo x = 1 en la igualdadanterior se obtiene la conmutatividad del diagrama de arriba.

Ejemplo 6. Todo anillo A es una Z-algebra ya que se tiene el morfismo naturalZ " B que manda 1 $ Z al 1 $ B y ası n $ Z va a dar al n · 1 $ B.

Ejemplo 7. Observe que si K es un campo y A es una K-algebra (no trivial, i.e.,A '= 0), el morfismo K " A es inyectivo (a menos que A = 0, por supuesto) yası podemos identificar a K con su imagen en A y pensar que K es un subanillode A. La K-algebra mas importante en geometrıa algebraica es la K-algebra depolinomios K[x1, . . . , xn].

Producto tensorial de algebras. Si k es un anillo y A, B son dos k-algebras, enparticular son k-modulos (por cambio de anillos, vea el ejercicio 12) y ası podemos


considerar su producto tensorial A 7k B que es un k-modulo y de hecho es unak-algebra. En efecto, para comenzar es un anillo, es decir, se tiene un producto

µ : (A7k B)! (A7k B) " A7k B

que es asociativo, conmutativo, distribuye a la suma y tiene uno. Para definir µ,observe que se tiene una funcion A!B!A!B " A7k B dada por (a, b, a", b") ,"aa"7 bb" que es k-lineal en cada una de sus variables y por lo tanto (vea el ejercicio10) induce un k-morfismo A 7k B 7k A 7k B " A 7k B, que podemos escribircomo

(A7k B)7k (A7k B) " A7k B

que a su vez, por 2.9, corresponde a una funcion k-bilineal

µ : (A7k B)! (A7k B) " A7k B

tal que µ(a7 b, a"7 b") = aa"7 bb". Se verifica facilmente que A7k B es un anillocon la multiplicacion µ y de hecho es una k-algebra, con la estructura definida porel morfismo de anillos k " A7k B dado por a ," f(a)7 g(a), donde f : k " Ay g : k " B, son los morfismos de anillos que dan a A y B las estructuras dek-algebras respectivas. Observe ahora que si f : B " A7k B y g : A " A7k Bson los morfismos dados por f(b) = 1 7 b y g(a) = a 7 1, entonces el cuadradosiguiente conmuta, i.e., g 6 f = g 6 f :

kf !!

g

##

A

g

##B

f

!! A7k B

En efecto, en A7k B la estructura de k-modulo esta dada por

r · (a7 b) = (ra)7 b := (f(r)a)7 b

= a7 (rb) := a7 (g(r)b)

y asıg 6 f(r) = f(r)7 1 = 17 g(r) = f 6 g(r)

y a continuacion mostramos que A7k B junto con los morfismos f y g estan unıvo-camente determinados:

PROPOSICION 2.15 (Propiedad universal del producto tensorial de algebras). SiA, B son dos k-algebras con morfismos estructurales f : k " A y g : k " B,entonces la terna (A 7k B, f , g) que hace conmutativo el cuadrado del diagramasiguiente es tal que, si M es otra k-algebra junto con morfismos $ : A " M y) : B " M tales que f 6 $ = ) 6 g, entonces existe un unico morfismo , :A 7k B " M tal que los triangulos laterales del diagrama siguiente conmutan,i.e., , 6 g = $ y f 6 , = ):


kf !!

g

##

A

g## "

))

Bf !!

' !!

A7k B

(**M

Demostracion. Defina - : A!B " M mediante -(a, b) := $(a))(b) y observe quees k-bilineal y ası, por la propiedad universal del producto tensorial 2.8, induce unmorfismo , : A7k B " M tal que ,(a7 b) = $(a)$(b). Entonces, si a $ A,

, 6 g(a) = ,(a7 1) = $(a))(1) = $(a)

y si b $ B,, 6 f(b) = ,(17 b) = $(1))(b) = )(b)

es decir, los dos triangulos conmutan.Ahora, si . : A 7k B " M es otro morfismo tal que . 6 g = $ y . 6 f = ),

entonces para todo generador a7 b de A7k B, escribiendo

a7 b = (a7 1)(17 b) = g(a)f(b)

(usando el producto µ definido arriba), se tiene que

.(a7 b) = .(g(a)f(b)) = .(g(a)).(f(b) = $(a))(b) = ,(a7 b)

i.e., . = ,. !

Conjuntos algebraicos afines y K-algebras. La algebra mas importante en geo-metrıa algebraica, es la K-algebra de polinomios K[x1, . . . , xn], con K algebrai-camente cerrado. En en capıtulo 1, en las secciones sobre conjuntos algebraicosafines, le hemos asociado a cada ideal I # K[x1, . . . , xn] el conjunto algebraicoafın V(I) # Kn, ya sea como el conjunto de ideales maximos de K[x1, . . . , xn]que contienen a I (que por 1.9 corresponde al conjunto de ideales maximos del co-ciente K[x1, . . . , xn]/I) o, equivalentemente, como el conjunto de puntos de Kn

que son ceros comunes de todos los polinomios de I:

V(I) = {m $ Specm K[x1, . . . , xn] : m / I}= Specm(K[x1, . . . , xn]/I)= {(a1, . . . , an) $ Kn : f(a1, . . . , an) = 0 para todo f $ I}

y es esta ultima interpretacion la que permite visualizar estos objetos algebraicoscomo objetos geometricos: conjuntos algebraicos afines.

Anillos de coordenadas. Ası como el anillo K[x1, . . . , xn] esta naturalmente aso-ciado al espacio afın Kn, a cada variedad algebraica V # Kn se le asocia, en forma


natural, su anillo de coordenadas afın identificando los polinomios que definen lamisma funcion en V , es decir, se define

K[V ] := K[x1, . . . , xn]/I(V ).

OBSERVACION. Los elementos $ del anillo de coordenadas K[V ] de una K-variedadV # Kn se pueden considerar como funciones $ : V " K, ya que si $ = f + I $K[V ], con f $ K[x1, . . . , xn], para P = (a1, . . . , an) $ V se define

$(P ) := f(a1, . . . , an),

y notamos que este valor no depende del representante f de la clase lateral $, yaque si g es otro tal representante, se tiene que f ) g $ I(V ) y ası f(a1, . . . , an) )g(a1, . . . , an) = 0, para todo (a1, . . . , an) $ V .

Ejemplo 8. Las coordenadas xi $ K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V ) las podemos vercomo funciones xi : V " K que asignan a cada punto P = (a1, . . . , an) $ V sui-esima coordenada xi(P ) := ai.

OBSERVACION. El anillo K[V ] es el menor anillo de funciones en V que contiene alas funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campo K (sus elementos vistos comofunciones constantes).

Una consecuencia directa de 1.26 es:

COROLARIO 2.16. Un subconjunto algebraico afın V # Kn es irreducible si ysolo si su anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero. !

Morfismos entre variedades afines. Ya que hemos definido variedades algebraicasafines, para poder compararlas necesitamos definir morfismos entre ellas, donde laidea es pensar a un morfismo como una funcion definida por polinomios o cocientesde ellos. Para formalizar esto comenzamos definiendo las funciones regulares en unavariedad afın, analogas a las funciones holomorfas en una superficie de Riemann.

Aplicaciones polinomiales. Si V # Kn y W # Km son conjuntos algebraicosafines, una funcion f : V " W se dice que es una aplicacion polinomial si existenpolinomios f1, . . . , fm $ K[x1, . . . , xn] tales que para todo punto P $ V se tieneque

f(P ) =*f1(P ), . . . , fm(P )

+.

Observe que si W = K1 = K, una aplicacion polinomial f : V " W = K esun elemento del anillo de coordenadas K[V ], vistos estos como funciones V " K.

PROPOSICION 2.17. Sean V # Kn, W # Km conjuntos afines. Denotemos conK[x1, . . . , xn] y K[y1, . . . , ym] a los anillos polinomiales correspondientes. Enton-ces, una funcion f : V " W es una aplicacion polinomial si y solo si yj6f $ K[V ],para todas las funciones coordenadas yj $ K[W ] (del ejemplo 8):


Vf !!

fj **####

####

### W # Km

K

yj

##K

Demostracion. Si f esta dada por (f1, . . . , fm), entonces la composicion yj 6 fcalculada en un punto P es yj 6 f(P ) = yj(f1(P ), . . . , fm(P )) = fj(P ) la cuales una funcion polinomial porque fj lo es y ası yj 6 f $ K[V ]. Recıprocamente, sif = (f1, . . . , fm) y suponemos que yj 6 f = fj $ K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V )para toda j, entonces existen Fj $ K[x1, . . . , xn] tales que fj 5 Fj (mod I(V ))y por lo tanto para todo P $ V se tiene que fj(P ) = Fj(P ) y ası f = (F1, . . . , Fm)con cada Fi un polinomio y ası f es polinomial. !

Ejemplo 9. Para la curva afın C = V(y2 ) x3 ) x2) # R2 (la cubica nodal), lafuncion

f : R1 = R " C # R2

!fR1 C

dada por f(t) = (t2) 1, t3) t) es una aplicacion polinomial. Claramente esta dadapor polinomios y solo es necesario verificar que su imagen cae en la curva C, lo cuales un calculo directo. Note que f es inyectiva en R1){±1} y que f()1) = (0, 0) =f(1) (decimos entonces que la curva nodal tiene un punto doble en el origen).

La composicion de aplicaciones polinomiales se define en forma natural comosigue: si V # Kn, W # Km, U # Kr son conjuntos afines y si f : V " W yg : W " U son aplicaciones polinomiales, entonces la composicion de funcionesusual

g 6 f : V " U


es polinomial ya que si f = (f1, . . . , fm) con los fi $ K[x1, . . . , xn] y si g =(g1, . . . , gr) con los gj $ K[y1, . . . , ym], entonces g6f esta dada por los polinomios

g1(f1, . . . , fm), . . . , gr(f1, . . . , fm) $ K[x1, . . . , xn].

Claramente la identidad idV : V " V es una aplicacion polinomial. Hemosası mostrado que las variedades afines junto con las aplicaciones polinomiales entreellas forman una categorıa y ası podemos definir el que una aplicacion polinomialf : V " W entre conjuntos afines sea un isomorfismo pidiendo que exista unaaplicacion polinomial g : W " V tal que f 6 g = idW y g 6 f = idV . El resultadosiguiente relaciona la categorıa anterior con una categorıa algebraica:

TEOREMA 2.18. Sean V # Kn, W # Km conjuntos afines.

(1) Una aplicacion polinomial f : V " W induce un morfismo de K-algebrasf' : K[W ] " K[V ].

(2) Recıprocamente, cualquier morfismo de K-algebras ( : K[W ] " K[V ] es dela forma ( = f' para una unica aplicacion polinomial f : V " W .

En otras palabras, se tiene una biyeccion

{Aplicaciones polinomiales f : V " W}8 HomK-alg(K[W ], K[V ])

dada por f 8 f'.

(3) La correspondencia anterior es contravariante, i.e., si f : V " W y g : W "U son aplicaciones polinomiales, entonces

(g 6 f)' = f' 6 g'.

Una consecuencia inmediata es que f : V " W es un isomofismo si y solo sif' : K[W ] " K[V ] es un isomorfismo de K-algebras.

Demostracion. (1): La funcion polinomial f : V " W induce f' : K[W ] " K[V ]por medio de la composicion con f , es decir, si g $ K[W ] la vemos como unafuncion g : W " K, entonces f'(g) := g 6 f : V

f" Wg" K. Se prueba

facilmente que f' es un K-morfismo.

(2): Sean yj $ K[W ] = K[Y1, . . . , Ym]/I(V ) las funciones coordenadas del ejem-plo 8. Usando el morfismo dado ( : K[W ] " K[V ] calculandolo en las yj obte-nemos que ((yj) $ K[V ] y ponemos entonces fj := ((yj). Considere entonces lafuncion f : V " Km dada por las fj , i.e., f(P ) = (f1(P ), . . . , fm(P )). Como lasfj son polinomiales entonces f es una aplicacion polinomial y solo falta verificarque su imagen esta en W . Para esto, supongamos que g $ I(W ) # K[Y1, . . . , Ym];entonces

g(y1, . . . , ym) = 0 $ K[W ]


porque g $ I(W ). Se sigue que

((g(y1, . . . , ym)) = 0 $ K[V ]

porque ( es morfismo. Pero como g tiene coeficientes en K y ( es K-morfismo,entonces

0 = ((g(y1, . . . , ym)) = g(((y1), . . . ,((ym)) = g(f1, . . . , fm).

Ahora, las fi son funciones en V y g(f1, . . . , fm) $ K[V ] es la funcion P ,"g(f1(P ), . . . , fm(P )), la cual hemos visto que se anula para todo g $ I(W ), ycomo W es el conjunto de ceros de I(W ), se sigue que (f1(P ), . . . , fm(P )) $ W ,i.e., f(P ) $ W , como se querıa.

Resta probar que para la aplicacion polinomial f anterior se tiene que f' =( : K[W ] " K[V ]. Para esto, basta verificarlo en los generadores yi del dominio.Ahora, como f = (f1, . . . , fm) y los fi = ((yi), entonces

f'(yj) = yj 6 f = fj = ((yj)

como se querıa. En forma analoga se prueba que f es unica con la propiedad de quef'(yj) = ((yj).

(3): Directo usando la asociatividad de la composicion de funciones. !

Ejemplo 10. La aplicacion polinomial f : R1 = R " C = V(y2 ) x3) dada porf(t) = (t2, t3)

!fR1 C

no es un isomorfismo porque el morfismo de R-algebras correspondiente

f' : R[C] = R[x, y]/%y2 ) x3& )" R[t]

esta dado por x ," t2, y ," t3, por lo que la imagen de f' es la R-algebra generadapor t2, t3, i.e., R[t2, t3] que no es todo R[t].


Este ejemplo nos sirve tambien para notar que a pesar de que f es una aplicacionpolinomial biyectiva, su inversa no es polinomial. De hecho, su inversa g : C " R1

esta dada por:

(x, y) ,"3

0 si x = y = 0,y/x si x '= 0

que no es polinomial.

Ejemplo 11. Si C = V(y ) x2) # K2 es la parabola afın:

C # K2

#

K1#

la proyeccion # : C " K1 en la primera coordenada: #(x, y) = x es polinomialy su inversa es la parametrizacion de la parabola ( : K1 " C # K2 dada por((t) = (t, t2). Claramente ( es polinomial y es inversa de #. El hecho de que (es un isomorfismo tambien puede verse algebraicamente ya que el morfismo queinduce en los anillos de coordenadas (' : K[C] " K[K1] esta dado mediantex ," t donde K[C] = K[x, y]/%y ) x2& 4 K[x] y K[K1] 4 K[t].

Producto tensorial de algebras y producto de variedades afines. Para comenzar,observe que se tiene una biyeccion obvia

Km !Kn +" Km+n

dada por*(x1, . . . , xm), (y1, . . . , yn)

+," (x1, . . . , xm, y1, . . . , yn). Como quere-

mos, al menos, un homeomorfismo entre Km ! Kn y Km+n, observemos quealgebraicamente la biyeccion anterior proviene de notar que el anillo de polinomiosK[x1, . . . , xm] es el anillo de coordenadas de la variedad afın Km, y similarmen-te para Kn = Specm K[y1, . . . , yn]. Se tiene ademas que el producto tensorial deestas dos K-algebras de polinomios es

K[x1, . . . , xm]7K K[y1, . . . , yn] 4 K[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn]

como el lector comprobara en el ejercicio 21, y las observaciones previas nos dicenque el producto Km !Kn se debe definir como

Km !K Kn = Specm*K[x1, . . . , xm]7K K[y1, . . . , yn]

+,


donde usamos el subındice en Km !K Kn para indicar que estamos considerandoen este producto la topologıa de Zariski.

En el caso general, si V # Km y W # Kn son dos variedades afines, dadaspor

V = Specm K[V ] = Specm(K[x1, . . . , xm]/I)W = SpecmK[w] = Specm(K[y1, . . . , yn]/J)

se define su producto V !K W # Km !Kn 4 Km+n como

V !K W = Specm(K[V ]7K K[W ]),

donde usamos el subındice V !K W para recordar que lo anterior no es un productocartesiano, en general. El ejercicio 22 pide probar que V !K W es la variedadalgebraica cuyo ideal esta generado por I(V ) e I(W ) en K[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn].

Ahora, la propiedad universal 2.15 del producto tensorial de estas dos K-alge-bras dice que el producto tensorial K[V ] 7K K[W ] satisface que para cualquierotra K-algebra ! y morfismos $ y ) que hacen conmutar el cuadrado externo deldiagrama siguiente, existe un unico morfismo , : K[V ] 7K K[W ] " ! que haceconmutar los dos triangulos del diagrama:

!

K[V ]7K K[W ]

(

++

K[W ]

"""

eg""

K[V ]

'

,,

ef

--

Kg""

f

--

En terminos de los espectros maximos correspondientes, la propiedad universalanterior se traduce en la propiedad universal siguiente para el producto de varieda-des V !K W = Specm(K[V ]7K K[W ]):

Specm(!)a(

..

a"

//

a'

..

Specm K[V ]!Specm K Specm K[W ]ag !!

af

##

Specm K[W ]af

##Specm K[V ] ag

!! Specm K

donde si escribimos U = Specm!, {*} = Specm K, V = Specm K[V ], etcetera,de tal forma que el diagrama anterior queda como:

EJERCICIOS 53

Ua(

**

a"

((

a'

00

V !K Wag !!

af

##

W

af##

V ag!! {*}

la propiedad universal del producto

V !K W = Specm K[V ]!Specm K Specm K[W ]

es que en el diagrama anterior el cuadrado interior conmuta y para cualquier otravariedad U junto con morfismos a$ y a) que hacen conmutar el cuadrado externo,existe un unico morfismo de variedades afines a, que hace conmutar los triangu-los correspondientes. Se dice entonces que V !K W es el producto fibrado de lasvariedades V y W .

Como Specm K = {*} es un punto, por lo que los morfismos V " {*} yW " {*} son los unicos posibles, el diagrama anterior se suele simplificar de laforma siguiente:

W

Ua( !!

a"11

a' 22

V !K W

ag

--

af

##V

con la formulacion correspondiente de la propiedad universal.

Producto fibrado de espectros primos. Con la experiencia anterior, si ahora setienen dos espectros primos Spec A y Spec B, observando que cualquier anillo Aes una Z-algebra ya que se tiene el morfismo de anillos natural Z " A dado por1 ," 1, entonces podemos formar el producto tensorial A 7Z B y se define elproducto fibrado de los espectros primos como

Spec A!Spec Z Spec B = Spec(A7Z B).

EjerciciosEJERCICIO 1. Si m, n son enteros coprimos, muestre que (Z/mZ)7Z (Z/nZ) = 0.


EJERCICIO 2 Si M,N,P son A-modulos, demuestre que

M 7A (N 9 P ) 4 (M 7A N)9 (M 7A P ).

EJERCICIO 3. En general, demuestre que el producto tensorial conmuta con sumasdirectas, i.e., si {Ni}i#" es una familia de A-modulos y M es cualquier otro A-modulo, demuestre que se tiene un isomorfismo

M 7A

$ 0

i#!

Ni

%4

0

i#!

(M 7A Ni).

EJERCICIO 4. Demuestre que M es plano si y solo si para toda sucesion exacta dela forma 0 " N " f)" N se tiene que la sucesion

0 !! M 7A N " id-f !! M 7A N

es exacta.

EJERCICIO 5. Si {Mi} es una familia de A-modulos, demuestre que1

i Mi es planosi y solo si cada Mi es plano.

EJERCICIO 6. Si M, N son A-modulos planos, demuestre que M 7A N es plano.

EJERCICIO 7. Si 0 " M " " M " M "" " 0 es una sucesion exacta de A-moduloscon M ", M "" finitamente generados, demuestre que M es finitamente generado.

EJERCICIO 8. Si M " M "" " 0 es exacta y M es finitamente generado, demuestreque M "" es finitamente generado.

EJERCICIO 9. Si A es un anillo, I # A es un ideal y M es un A-modulo, demuestreque (A/I)7A M 4 M/IM .

EJERCICIO 10. Si M1, . . . ,Mn y P son A-modulos, una funcion A-multilineal f :M1 ! · · ·!Mn " P es una funcion que es A-lineal en cada una de sus variables.

(i) Generalizando la construccion del producto tensorial de dos modulos, cons-truya el producto tensorial M17A · · ·7A Mn y demuestre que se tiene unafuncion A-multilineal canonica $ : M1! · · ·!Mn " M17A · · ·7A Mn

que satisface la propiedad universal 2.8 correspondiente.(ii) Concluya, como en 2.9, que se tiene un isomorfismo

MultA(M1 ! · · ·!Mn, P ) 4 HomA(M1 7A · · ·7A Mn, P ).

EJERCICIO 11. Si A, B son dos k-algebras, demuestre que su producto tensorialA7kB, es unico, salvo isomorfismo, con la propiedad universal establecida en 2.15.Sugerencia: Vea la demostracion de la unicidad del producto tensorial de modulosen 2.9.

EJERCICIOS 55

EJERCICIO 12. Si f : A " B es un morfismo de anillos y M es un B-modulo,defina la accion de A en M mediante a · x := f(a)x, para a $ A, x $ M y dondef(a)x es la accion dada de f(a) $ B en x $ M . Demuestre que con esta accion,M es un A-modulo. Diremos entonces que el B-modulo M se vuelve un A-modulopor cambio de anillos o restriccion de escalares.

EJERCICIO 13. Si f : A " B es un morfismo de anillos y M es un A-modulo,considerando a B como A-modulo por cambio de anillos, se tiene el A-moduloMB := B7AM . Demuestre que MB es un B-modulo mediante b(b"7x) := bb"7x.Se dice que MB se obtuvo por extension de escalares.

(i) Demuestre que si M es finitamente generado como A-modulo, entoncesMB es finitamente generado como B-modulo.

(ii) Demuestre que si M es plano como A-modulo, entonces MB es planocomo B-modulo.

EJERCICIO 14. Sean f : A " B un morfismo de anillos y M un B-modulo. SiM es finitamente generado como B-modulo y B es finitamente generado comoA-modulo, demuestre que M es finitamente generado como A-modulo.

EJERCICIO 15. Si M es un A-modulo, demuestre que M es finitamente generado siy solo si existe un epimorfismo An " M .

EJERCICIO 16. Un A-modulo M es simple si M '= 0 y sus unicos submodulos sonel cero y el total. Demuestre que todo modulo simple es cıclico, i.e., es generadopor un solo elemento. Mas aun, si M es simple, demuestre que todo endomorfismono nulo f : M " M es un isomorfismo. Este resultado se conoce como el lema deSchur.

EJERCICIO 17. Si f : A " B es un morfismo de anillos y B es fielmente planocomo A-modulo (por cambio de anillos usando f ), demuestre que para todo A-modulo M el morfismo M " M 7A B dado por x ," x 7 1, es inyectivo. Enparticular, si M = A, f : A " B es inyectivo.

EJERCICIO 18. Dado el diagrama conmutativo siguiente, con renglones exactos:

0 !! M "

###

f !! M

$##

g !! M ""

%

##0 !! N "

f "!! N

g"!! N ""

demuestre que existe un unico morfismo ' : M " " N " que hace que el diagramaaumentado conmute. Mas aun, si * y & son isomorfismos, entonces ' tambien lo es.


EJERCICIO 19. Sea M un A-modulo. Demuestre que M es plano si y solo si paratodo ideal I # A finitamente generado el morfismo I 7A M " A7A M 4 M esinyectivo. Sugerencia: Para la implicacion no trivial, si 0 " N " " N es exacta, a laluz de 2.13, primero considere el caso cuando M es libre y luego en el caso generalM es cociente de un libre.

EJERCICIO 20. Si A '= 0 es un anillo y Am 4 An, demuestre que m = n. Sugeren-cia: Reduzca al caso cuando A es un campo.

EJERCICIO 21. Demuestre que se tiene un isomorfismo de K-algebras:

K[x1, . . . , xm]7K K[y1, . . . , yn] 4 K[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn].

EJERCICIO 22. Sean V = V(I) = Specm K[x1, . . . , xm]/I y W = V(J) =Specm K[y1, . . . , yn]/J dos conjuntos algebraicos afines. Suponga ademas que I yJ son radicales. Demuestre que V !K W es el conjunto algebraico afın cuyo idealI(V !K W ) esta generado por I(V ) e I(J) en K[x1, . . . , xm, y1, . . . , yn].

EJERCICIO 23. Si V y W son dos variedades afines (i.e., son conjuntos algebraicosirreducibles), demuestre que V !K W tambien es irreducible.

Capıtulo3Localizacion, finitud y el teorema de los ceros

Una tecnica usual al estudiar objetos geometricos es la de concentrarse cercade un punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geometricas sepueden deducir de este proceso localizado. Similarmente, en teorıa de numeros alestudiar congruencias, por ejemplo, modulo un entero n, factorizando el entero ncomo producto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estascongruencias modulo un primo p o potencias pr de este primo. Este proceso de lo-calizacion tiene gran importancia, no solo en geometrıa y teorıa de numeros, sinoen el algebra en general y en otras ramas de la matematica. En la primera parte deeste capıtulo se algebriza el proceso de localizacion generalizando la construcciondel campo de los numeros racionales Q a partir del dominio entero Z. En la segundaparte de este capıtulo estudiamos la nocion de dependencia entera que, aunque enapariencia de origen en la teorıa de numeros algebraicos, donde al estudiar exten-siones algebraicas de campos Q # K, por lo que todos los elementos ' $ K sonraıces de un polinomio monico f(x) = xn + an!1xn!1 + · · · + a1x + a0 con coe-ficientes en Q, es natural el considerar aquellos elementos ' $ K que son raıces deun polinomio monico con coeficientes en Z; se dice que estos elementos de K sonenteros algebraicos de K. Como parte de un resultado mas general se probara queel conjunto OK de elementos de K que son enteros algebraicos, es un subanillo deK que contiene a Z:

OK! " !! K

Z ! " !!#!

--

Q#!

--

Sera hasta el capıtulo 6 cuando se estudiaran mas propiedades aritmeticas de estosanillos de enteros. Resulta que esta teorıa de origen aritmetico tiene una contra-parte geometrica: una variedad algebraica V puede estudiarse como un cubrientede un espacio afın Kn y esta situacion exhibe una similitud algebraica con las ex-tensiones de anillos donde los elementos del anillo grande satisfacen un polinomiomonico con coeficientes en el anillo pequeno. En esta seccion probaremos el lemade normalizacion de Noether que formaliza lo anterior y como una consecuencia

57

58 3. LOCALIZACION, FINITUD Y EL TEOREMA DE LOS CEROS

casi inmediata obtendremos el teorema de los ceros de Hilbert, un resultado de granimportancia para la geometrıa algebraica y que habıamos dejado pendiente desde elcapıtulo 1.

Anillos de fracciones. Si A es un anillo y S # A es un subconjunto multiplicativo,i.e., 1 $ S y a, b $ S implica que ab $ S, se define la relacion (que resulta deequivalencia, como se verificara en el ejercicio 1) en A!S mediante (a, s) : (b, t)2 existe u $ S tal que u(at)bs) = 0. En el conjunto cociente S!1A := A!S/ :denotamos a la clase de equivalencia de (a, s) como [a, s] o como a/s y se definenlas operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos de Q:

a

s+

b

t:=

at + bs

sty

a

s

b

t:=

ab

st

y resulta que, para comenzar, estan bien definidas, y hacen de S!1A un anillo con-mutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es 0/s, para cualquier s $ S yel uno es s/s, para cualquier s $ S. Mas aun, se tiene un morfismo de anillos( : A " S!1A dado por ((a) := a/1, al que se llama el morfismo canonico, queen general no es inyectivo. Al anillo S!1A se le conoce como el anillo de fraccionesde A con respecto a S.

Ejemplo 1. La construccion anterior generaliza la construccion del campo de nume-ros racionales Q a partir del dominio entero Z, donde S = Z ) {0}. De hecho, engeneral, si A es un dominio entero y S = A ) {0}, entonces S es un subconjuntomultiplicativo y S!1A =: K(A) resulta un campo al que se le llama el campo defracciones de A. En este caso, el morfismo ( : A " K(A) es inyectivo.

Las primeras propiedades del anillo S!1A son:

LEMA 3.1. Si S # A es cualquier conjunto multiplicativo y ( : A " S!1A es elmorfismo canonico, entonces:

(1) s $ S 3 ((s) es unidad de S!1A, i.e., ((S) #*S!1A

+'.

(2) ((a) = 0 2 as = 0 para algun s $ S. En otras palabras,

ker ( = {a $ A : existe s $ S tal que sa = 0}.

(3) Todo a/s $ S!1A es de la forma ((b)((t)!1, para b $ A, t $ S.

Demostracion. Solo probaremos (1). En este caso note que si s $ S entonces 1/s $S!1A y se tiene que ((s) · (1/s) = (s/1)(1/s) = s/s = 1. !

De hecho, el anillo S!1A junto con el morfismo canonico ( : A " S!1A estandeterminados por la propiedad (1) del lema anterior:

3. LOCALIZACION, FINITUD Y EL TEOREMA DE LOS CEROS 59

TEOREMA 3.2 (Propiedad universal del anillo de fracciones). Sea ( : A " S!1Ael morfismo canonico. Si f : A " B es cualquier otro morfismo de anillos tal quef(S) # B', entonces existe un unico morfismo de anillos f : S!1A " B tal queel diagrama siguiente conmuta:

A

)

##

f !! B

S!1Af

33

Demostracion. Los elementos de S!1A son clases de equivalencia de la forma a/sy escogiendo un representante (a, s) $ a/s ponemos f(a/s) := f(a)f(s)!1, recor-dando que por hipotesis f(s) $ B' y por lo tanto f(s)!1 $ B. Observe ahora que si(a", s") $ a/s es otro representante, entonces existe u $ S tal que u(as")a"s) = 0,y aplicando f a esta igualdad se obtiene que f(u)(f(a)f(s") ) f(a")f(s)) = 0donde f(u) $ B' por lo que f(a)f(s") = f(a")f(s) con f(s), f(s") $ B' yası f(a)f(s)!1 = f(a")f(s")!1, y consecuentemente f es una funcion. Claramentees un morfismo porque f lo es, y si a $ A entonces

f(((a)) = f(a/1) = f(a)f(1)!1 = f(a),

i.e., el diagrama anterior conmuta. Supongamos ahora que g : S!1A " B es otromorfismo tal que g 6 ( = f . Para mostrar que f = g, sea a/s $ S!1A arbitarrio.Escribiendo a/s = (a/1)(1/s) en S!1A, notamos que g(a/1) = g(((a)) = f(a)y g(1/s) = g

*(s/1)!1

+= g

*((s)!1

+=

*g 6 ((s)

+!1 = f(s)!1 y ası

g(a/s) = g(a/1)g(1/s) = f(a)f(s)!1 = f(a/s).

!Como una consecuencia inmediata, las tres propiedades del lema anterior deter-

minan S!1A salvo isomorfismo:

COROLARIO 3.3. Si S # A es un subconjunto multiplicativo y f : A " B es unmorfismo de anillos tal que

(1) f(S) # B'.(2) f(a) = 03 existe s $ S tal que as = 0.(3) Todo b $ B es de la forma f(a)f(s)!1, con a $ A, s $ S.

Entonces, existe un unico isomorfismo f : S!1A " B tal que el diagrama siguienteconmuta:

A

)

##

f !! B

S!1Af

.33


Demostracion. La tıpica de objetos que satisfacen propiedades universales. !LEMA 3.4. Si f : A " B es cualquier morfismo de anillos y S # A, T # B sonsubconjuntos multiplicativos tales que f(S) # T , entonces f induce un morfismof : S!1A " T!1B tal que f(a/1) = f(a)/1, para todo a $ A.

Demostracion. Esto se sigue de la propiedad universal 3.2 ya que en el diagrama

A

)A

##

f !! B

)B

##

S!1Af

!! T!1B

como f(S) # T , entonces (B 6 f(s) es una unidad en T!1B para todo s $ Sy ası por 2.2 existe un unico f que hace conmutar el diagrama, i.e, f(a/s) =f(a)/f(s). !

Ejemplo 2. Si p # A es un ideal primo, entonces S = A ) p es multiplicativo. Sesuele usar la notacion

Ap := S!1A.

Note que A es un dominio entero si y solo si el ideal 0 # A es primo. Por lo tantoA0 = K(A) es el campo de fracciones de A.

Mostraremos a continuacion que Ap es un anillo local, i.e., un anillo con ununico ideal maximo. Al anillo Ap se le llama la localizacion de A en p. En el coro-lario siguiente probaremos que el ideal maximo del anillo local Ap es el ideal pAp

generado por la imagen de p en Ap. Al campo Ap/pAp se le llama el campo residualdel anillo local (Ap, pAp) y lo denotaremos por k(p).

COROLARIO 3.5. Si p es un ideal primo de A, entonces Ap es un anillo local conideal maximo el ideal generado por la imagen de p en Ap

pAp = {a/s $ Ap : a $ p}.

El campo residual k(p) = Ap/pAp del anillo local (Ap, pAp) es isomorfo al campode fracciones del dominio entero A/p.

Demostracion. Si a/t '$ pAp, entonces a '$ p y ası a $ S = A ) p por lo quea/t $ A'

p es una unidad. Se sigue que pAp es un ideal maximo. Por otra parte, si Ies cualquier ideal de Ap e I '# pAp, entonces existe u $ I ) pAp y ası u $ A'

p ypor lo tanto I = Ap. Se sigue que pAp es el unico ideal maximo de Ap.

En el lema 3.4, poniendo S = A) p por lo que S!1A = Ap y si f : A " A/pes el epimorfismo canonico observe que T = f(S) = A/p ) {0} es un conjuntomultiplicativo porque A/p es un dominio entero y ası T!1(A/p) = K(A/p) es el


campo de fracciones de A/p. Se tiene entonces que f : Ap " K(A/p) es supra-yectivo porque siendo f : A " A/p suprayectivo, para todo (x + p)/t $ K(A/p),con x + p $ A/p y t $ T = f(S) se tiene que t = f(s) para algun s $ S yası f(x/s) = f(x)/f(s) = (x + p)/t. Finalmente, si I = ker f , entonces se tieneel isomorfismo de Noether inducido por f

Ap/I 4 K(A/p)

y por lo tanto I deber ser maximo y ası I = pAp porque Ap es local. Como k(p) =Ap/pAp, ya acabamos. !

Ejemplo 3. Si p $ Z es un entero primo, Z)p* = {a/s $ Q : p # s} y se tiene que%p&Z)p* = {pa/s $ Q : p # s} y su campo residual es Z)p*/%p&Z)p* 4 Z/pZ.

Ejemplo 4. Si f $ A y S = {fn : n - 0}, entonces S es multiplicativo. Usaremosla notacion Af := S!1A.

LEMA 3.6 (Rabinowitzch). Si f $ A y Af es la localizacion de A con respecto alconjunto multiplicativo S = {fn ; n - 0}, entonces la funcion

A[t]/%ft) 1& )" Af

dada por antn + · · · + a1t + a0 ," an/fn + · · · + a1/f + a0 es un isomorfismo.

Demostracion. Si f = 0 ambos anillos son cero y ası podemos suponer que f '= 0.Ahora, en el anillo A[t]/%ft ) 1& se tiene que 1 = ft, donde t es la clase de t enel cociente, y por lo tanto f es una unidad. Sea $ : A " B cualquier morfismo deanillos tal que $(f) sea una unidad en B. Entonces, $ se extiende a un morfismo

'ait

i ,"'

$(ai)$(f)!i : A[t] " B

(i.e., mandando t en $(f)!1) el cual se factoriza a traves de A[t]/%ft) 1& :

A

##

" !! B

A[t]

##

$$

A[t]/%fT ) 1&

44

porque ft)1 ," $(f)$(f)!1)1 = 1)1 = 0, y como $(f) es una unidad en B estemorfismo que extiende $ : A " B a A[t]/%ft) 1& es unico con esta propiedad. Sesigue que este cociente tiene la propiedad universal de Af y por lo tanto es isomorfoa Af por medio de un isomorfismo que fija a A y manda t a f!1. !


Ejemplo 5. Si A es cualquier anillo y S0 # A es el subconjunto de elementos deA que no son divisores de cero, i.e., S0 = {f $ A : (0 : f) = 0}, entoncesS0 es un conjunto multiplicativo ya que claramente 1 $ S0 y si a, b $ S0 entoncesab $ S0 porque si abx = 0, se sigue que a(bx) = 0 y ası bx = 0 y por lo tantox = 0. El anillo S!1

0 A se conoce como el anillo total de fracciones de A. Note queel morfismo canonico ( : A " S!1

0 A es inyectivo, ya que si ((a) = 0, entoncesa/1 = 0/s y ası existe t $ S0 tal que t(sa) 0) = 0, i.e., tsa = 0 con ts $ S0, i.e.,no es divisor de cero, y por lo tanto a = 0. Mas aun, S0 es el mayor subconjuntomultiplicativo S de A tal que A " S!1A es inyectivo, porque por 3.1(2) el nucleodel morfismo canonico inyectivo anterior es {a $ A : existe s $ S tal que sa = 0}y como este nucleo es cero entonces a = 0, i.e., (0 : s) = 0 para todo s $ S y porlo tanto S # S0.

Localizacion e ideales. Si S # A es multiplicativo, ( : A " S!1A es el morfismocanonico y J # S!1A es un ideal, entonces su imagen inversa es el ideal

(!1(J) = {a $ A : a/1 $ J}

y si I # A es un ideal, el ideal generado por la imagen ((I) en S!1A es

S!1I := ((I)S!1A = {a/s $ S!1A : a $ I, s $ S}.

Observe ahora que si S + I '= ., entonces S!1I contiene una unidad y por lotanto es el anillo total S!1A. Ası, algo de la estructura de ideales de A se pierde alpasar a S!1A, pero como el lema siguiente muestra, algo se mantiene:

PROPOSICION 3.7. Si S # A es multiplicativo, entonces

(1) S!1((!1(J)) = J , para todo ideal J # S!1A.

(2) (!1(S!1p) = p, para todo ideal primo p # A disjunto con S.

(3) Mas aun, P ," (!1P es una biyeccion entre el conjunto de todos los idealesprimos de S!1A y el conjunto de ideales primos de A disjuntos con S, de hecho, lainversa es la funcion p ," S!1p.

Demostracion. (1): Sea J # S!1A un ideal. Si a/s $ S!1((!1J), entonces a $(!1(J), i.e., a/1 = ((a) $ J y ası a/s = (1/s)(a/1) $ J , i.e., S!1((!1J) # J .Recıprocamente, si a/s $ J , entonces a/1 = (s/1)(a/s) $ J , i.e., a $ (!1(J) ypor lo tanto a/s $ S!1((!1J), i.e., J # S!1((!1J).

(2): Sea p # A un ideal primo disjunto con S. Si a $ p, entonces a/1 $ S!1p, i.e.,((a) = a/1 $ S!1p por lo que a $ (!1(S!1p) y ası p # (!1(S!1p). Para la otrainclusion, si a $ (!1(S!1p) entonces a/1 $ S!1p, i.e., a/1 = a"/s para alguna" $ p y s $ S. Se sigue que t(as) a") = 0 para algun t $ S, y ası ast = a"t $ p.Como st '$ p entonces a $ p y por lo tanto (!1(S!1p) # p.


(3): Si p # A es un primo disjunto con S, sea S # A/p la imagen de S bajo elepimorfismo A " A/p. Claramente S es un subconjunto multiplicativo de A/p yse tiene que

(*) S!1(A/p) 4 S!1A/S!1p

porque, como se verificara en el ejercicio 2, el lado derecho tiene la propiedad uni-versal requerida. Finalmente, como A/p es un dominio entero y S no contiene alcero, entonces S

!1(A/p) es un dominio entero y por lo tanto el lado derecho de(*) tambien es un dominio entero y consecuentemente S!1p es un ideal primo deS!1A. Como la imagen inversa de un primo es primo, entonces P ," (!1P mandaprimos de S!1A en primos de A y las dos correspondencias anteriores son inversauna de la otra. !

La consecuencia siguiente es analoga a 1.18 en el sentido de que identifica elespectro de una localizacion S!1A en terminos del espectro de A:

COROLARIO 3.8. (1) El morfismo ( : A " S!1A induce la biyecciona( : Spec S!1A " {p $ Spec A : p + S = .} # Spec A.

(2) En particular, si p # A es un ideal primo, entonces el morfismo canonico induceuna biyeccion entre el conjunto de ideales primos de Ap y el conjunto de ideales deA que estan contenidos en p. En otras palabras, el morfismo canonico ( : A " Ap

induce una biyecciona( : Spec Ap " {q $ Spec A : q # p} # Spec A.

(3) Si S = {1, f, f2, f3, . . .} # A, los primos de S!1A = Af corresponden a losprimos de A que no contienen a f . Es decir,

Spec(Af ) 4 {p $ Spec A : f '$ p} = D(f).

Se sigue que el abierto basico D(f) se identifica canonicamente con Spec Af . !

Una motivacion para la definicion de la topologıa de Zariski. Para hacer masclara la analogıa con la definicion de variedad algebraica afın, consideremos la in-terpretacion siguiente de los cerrados V (I) de Spec A: dado un ideal primo p deA, consideremos el anillo localizado Ap y sea mp su ideal maximo (que, de hecho,es el ideal pAp generado por p en Ap) y sea k(p) := Ap/mp su campo residual ynote que k(p) es tambien el campo de cocientes del dominio entero A/p. Se tienenentonces morfismos canonicos

A " A/p " k(p)

y ası, a cada elemento f $ A le podemos asignar su imagen f + p en A/p #Ap/mp = k(p) y decimos que este es el !!valor"" f(p) de f en p, y se tiene ası una


!!funcion"" f definida en Spec A y cuyo !!codominio"" varıa, ya que a diferentes pun-tos p $ Spec A les corresponden valores f(p) $ k(p) donde el campo k(p) esta va-riando con p. Sin embargo, pensemos a los elementos f $ A como !!funciones""

f : Spec A " k(p)

dadas por la regla de correspondencia p ," f(p) y donde estos valores caen encodominios que cambian con los puntos de Spec A.

Ejemplo 6. Para A = Z y p = %p&, si f = m $ Z, su !!valor"" en %p& es m (mod p)en k(p) = Fp = Z/pZ (ya que en este caso, Z/pZ 4 Z)p*/pZ)p*).

Regresando ahora a la analogıa con la definicion de una variedad algebraica,observe que aun cuando la !!definicion"" de la funcion f : Spec A " k(p) no es talya que los codominios estan variando, sı tiene sentido la frase !!los ceros de f $ A"",que en el contexto anterior quiere decir que la clase lateral f(p) = f + p es ceroen el campo k(p), i.e., f $ p, y por lo tanto podemos hablar del lugar geometricode f como el conjunto de puntos en Spec A donde f !!vale"" cero. Note que en estadefinicion se estan usando los ceros de los distintos campos residuales k(p), y comose quiere que las funciones f sean continuas, usando que el 0 $ k(p) debe sercerrado, entonces su imagen inversa V (f) # Spec A debe ser cerrado; mas aun,como la interseccion arbitraria de cerrados debe ser cerrada esto nos lleva a definir,para cualquier conjunto E # A, V (E) como el conjunto de !!ceros comunes"", enSpec A, de los elementos de I , i.e.,

V (E) = {p $ Spec A : f(p) = 0 para todo f $ E},= {p $ Spec A : f $ p para todo f $ E},= {p $ Spec A : p / E},

que es la definicion que se dio en el capıtulo 1. Similarmente, para la construccionrecıproca, dado un subconjunto U # Spec A, se tiene la interpretacion siguiente:

I(U) := {f $ A : f(p) = 0 para todos los p $ U}= {f $ A : f $ p para todos los p $ U}

=-

p#U

p,

el ideal de los elementos que se !!anulan"" en U .

Con las dos interpretaciones anteriores, la analogıa entre la defincion de la topo-logıa de Zariski en una variedad afın (ceros de un ideal de polinomios) y la topologade Zariski en el espectro primo, es clara.

Algebras finitas y de tipo finito. Integridad. Sean A # B anillos de tal forma queB es una A-algebra.


Diremos que B es una A-algebra finita si B es finitamente generado comoA-modulo, i.e., si existen '1, . . . ,'n $ B tales que todo b $ B es unacombinacion lineal de los 'i con coeficientes en A:

b = a1'1 + · · · + an'n con los ai $ A.

Diremos que B es de tipo finito sobre A si existen '1, . . . ,'n $ B talesque todo elemento b $ B es un polinomio en los 'i con coeficientes en A,i.e., existe un polinomio f $ A[x1, . . . , xn] tal que b = f('1, . . . ,'n).Si b $ B, diremos que b es entero sobre A si existe un polinomio monico

$(x) = xm + am1xm!1 + · · · + a1x + a0 $ A[x]

tal que $(b) = 0.Diremos que B es entero sobre A si todo elemento de B es entero sobreA.

Claramente toda A-algebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondientees de primer grado f = a1x1 + · · · + anxn. Tambien, B es una A-algebra de tipofinito si y solo si existe un epimorfismo de A-algebras

( : A[x1, . . . , xn] " B

sencillamente definiendo 'i = ((xi).

Ejemplo 7. Si A # B son anillos, todo elemento ' de A es entero sobre A ya quees raız del polinomio monico x) ' $ A[x].

Ejemplo 8. Para Z # Q, los racionales r/s $ Q que son enteros son los elementosde Z. En efecto, si a/b $ Q es un racional, podemos suponer que a y b son coprimosy como se tiene una igualdad de la forma

an

bn+ rn!1

an!1

bn!1+ · · · + r1

a

b+ r0 = 0 con ri $ Z

multiplicando por bn queda

an + rn!1an!1b + · · · + r1abn!1 + r0b

n = 0

de donde se sigue que b divide a an y como mcd(a, b) = 1 entonces b|a pero siendocoprimos esto solo es posible si b = ±1 y por lo tanto a/b $ Z, como se querıa.

LEMA 3.9. Sean A # B anillos y ' $ B. Son equivalentes:

(1) ' es entero sobre A.

(2) El subanillo A['] # B es finitamente generado como A-modulo.

(3) Existe un subanillo C con A # C # B tal que ' $ C y C es finitamentegenerado como A-modulo.


Demostracion. (1) 3 (2): Como ' es entero sobre A se tiene que

'n = )(an!1'n!1 + · · · + a1' + a0) $ %1, ', . . . , 'n!1&

y por lo tanto

'n+1 = )an!1'n ) (an!2'

n!1 + · · · + a1'2 + a0') $ %1, ', . . . , 'n!1&

y por induccion, para todo k - 0:

'n+k = )(an!1'n+k!1 + · · · + a1'

k+1 + a0'k) $ %1, ', . . . , 'n!1&

de donde se sigue que todas las potencias 't con t - 0 estan el el A-modulo%1, ', . . . , 'n!1& y como estas potencias generan A['], entonces este es un A-modu-lo finitamente generado.

(2) 3 (3): Sea C = A['].

(3) 3 (1): Sea y1, . . . , yn un conjunto de generadores de C como A-modulo, i.e.,C = Ay1 + · · ·+Ayn. Como ' $ C, los yi $ C y C es un anillo entonces 'yi $ Cy escribiendo estos elementos en terminos de los generadores yi de C:

'yi = ai1y1 + · · · + ainyn con los aij $ A

y la igualdad anterior se puede escribir comon'

j=1

*+ij') aij

+yj = 0 con 1 ( i ( n y +ij una delta de Kronecker

el cual es un sistema de n ecuaciones lineales homogeneas en y1, . . . , yn. Por laregla de Cramer se tiene que det(+ij')aij) · yi = 0 para todo i, y como C esta ge-nerado por los yi se sigue que det(+ij' ) aij) · C = 0 y ası para el 1 $ C se tieneque det(+ij' ) aij) · 1 = 0, i.e., det(+ij' ) aij) = 0. Finalmente, desarrollan-do el determinante det(+ijx ) aij) (poniendo la indeterminada x en lugar de ') seobtiene un polinomio con coeficientes en A que se anula en ' y este polinomio esmonico porque el termino de grado xn proviene del producto de los elementos de ladiagonal principal (x) a11) · · · (x) ann). Se sigue que ' es entero sobre A. !COROLARIO 3.10. Si A # B son anillos y '1, · · · , 'n $ B son enteros sobre A,entonces A['1, . . . ,'n] es un A-modulo finitamente generado.

Demostracion. Induccion sobre n. !COROLARIO 3.11. Si A # B son anillos y ',* $ B son enteros sobre A, entonces' ± * y '* son enteros sobre A.

Demostracion. Por el corolario anterior A[',*] es finitamente generado sobre A ycomo ' ± * y '* estan en A[',*], por la parte (3) del lema anterior se sigue queson enteros sobre A. !


COROLARIO 3.12. Si A # B son anillos y A := {' $ B : ' es entero sobre A},entonces A es un anillo y A # A # B.

Demostracion. Directo del corolario anterior. !El anillo A se llama la cerradura entera de A en B. Si A = A, se dice que

A es integralmente cerrado en B. Si A es un dominio entero y K es su campo defracciones, A se llama la cerradura entera de A y si A es integralmente cerrado ensu campo de fracciones, se dice que A es integralmente cerrado.

Ejemplo 9. Todo dominio de factorizacion unica (DFU) es integralmente cerrado.Note que esto generaliza el ejemplo 8 y la demostracion es similar: si A es un DFUcon campo de fracciones K y si a/b $ K es entero sobre A, si suponemos quea/b '$ A, entonces existe un elemento irreducible p $ A tal que p|b pero p # a. Porotra parte, como a/b es entero sobre A se tiene una ecuacion polinomial

(a/b)n + cn!1(a/b)n!1 + · · · + c1(a/b) + c0 con ci $ A.

Multiplicando por bn se obtiene la ecuacion

an + cn!1an!1b + · · · + c1abn!1 + c0b

n = 0

donde p divide a cada termino de la izquierda excepto a lo mas a an y ası debedividir a an y como es irreducible debe dividir a a, lo cual es una contradiccion.

COROLARIO 3.13. Si A # B son anillos, son equivalentes:

(1) B es una A-algebra finita.

(2) B es una A-algebra de tipo finito y es entera sobre A.

Demostracion. (1) 3 (2): Toda A-algebra finita es de tipo finito. Mas aun, comoB es finitamente generado como A-modulo, por la parte (3) del lema anterior B esentera sobre A.

(2) 3 (1): Por hipotesis existen '1, . . . ,'n $ B tales que B = A['1, . . . ,'n], ycomo los 'i son enteros sobre A, entonces por el lema 3.9 anterior (de hecho, porel corolario 3.10) B = A['1, . . . ,'n] es un A-modulo finitamente generado. !COROLARIO 3.14 (Transitividad de la dependencia entera). Si A # B # C sonanillos con C entero sobre B y B entero sobre A, entonces C es entero sobre A.

Demostracion. Si ' $ C se tiene una ecuacion polinomial

(*) 'n + bn!1'n!1 + · · · + b1' + b0 = 0 con los bi $ B

y el anillo A[b0, . . . , bn!1] es un A-modulo finitamente generado por 2.9 ya que losbi son enteros sobre A. Como la ecuacion (*) tiene coeficientes en A[b0, . . . , bn!1]entonces ' es entero sobre este anillo y ası A[b0, . . . , bn!1]['] es finitamente gene-rado como A[b0, . . . , bn!1]-modulo. Se sigue que A[b0, . . . , bn!1]['] es finitamentegenerado como A-modulo y por lo tanto ' es entero sobre A por 3.9. !


PROPOSICION 3.15. Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L esun campo que contiene a K. Si ' $ L es algebraico sobre K, entonces existe und $ A tal que d' es entero sobre A.

Demostracion. Como es algebraico ' satisface una ecuacion polinomial

'n + an!1'n!1 + · · · + a1' + a0 = 0 con los ai $ K.

Sea d el comun denominador de los ai de tal forma que dai $ A y multipliquemosla igualdad anterior por dn para obtener

dn'n + an!1dn'n!1 + · · · + a1d

n' + a0dn = 0

que se puede reescribir como

(d')n + an!1d(d')n!1 + · · · + a1dn!1(d') + a0d

n = 0

donde los coeficientes an!1d, . . . , a1dn!1, a0dn $ A y ası la igualdad anteriormuestra que d' es raız de un polinomio monico con coeficientes en A, i.e., d'es entero sobre A. !COROLARIO 3.16. Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L unaextension algebraica de K. Entonces L es el campo de fracciones de la cerraduraentera de A en L.

Demostracion. Por la proposicion anterior todo ' $ L se puede escribir como ' =*/d con * entero sobre A y d $ A, i.e, ' = */d con *, d en la cerradura entera deA en L. !LEMA 3.17. Sean A un dominio entero integralmente cerrado (por ejemplo, unDFU) y L una extension finita del campo de fracciones K de A. Entonces, ' $L es entero sobre A si y solo si su polinomio monico irreducible Irr(',K) tienecoeficientes en A.

Demostracion. Si f(x) = Irr(',K) y ' es entero sobre A, entonces existe unaecuacion polinomial para ':

(1) 'm + am!1'm!1 + · · · + a1' + a0 = 0 con los ai $ A

Si ' es cualquier conjugado de ', i.e., una raız de Irr(',K), se tiene un K-isomorfismo

K(')" !! K(')

K

$$$$$$$$

%%%%%%%%

que manda ' en '. Aplicando $ a la igualdad (1) se sigue que

'm + am!1'm!1 + · · · + a1' + a0 = 0


lo cual muestra que ' es entera sobre A. Ası, todos los conjugados de ' son enterossobre A y de la relacion de Viete entre los coeficientes y raıces de un polinomiose sigue que los coeficientes de Irr(',K) son enteros sobre A y como estos coefi-cientes estan en K que es el campo de fracciones de A y como A es integralmentecerrado, entonces estos coeficientes estan en A, como se querıa. La otra implicaciones trivial. !PROPOSICION 3.18. Sea A un dominio entero con campo de fracciones K y seaL una extension finita de K. Si ' $ L es entero sobre A, entonces su normaNmL/K(') $ K tambien es entera sobre A y, de hecho, NmL/K(') $ A, y 'divide a NmL/K(') en el anillo A['].

Demostracion. Sea f(x) = Irr(',K) = xr + ar!1xr!1 + · · · + a0 y sea F/K uncampo de descomposicion de f(x). Escribamos

f(x) = (x) '1) · · · (x) 'r) con '1 = ', '1 · · ·'r = ±a0 y los 'i $ F .

Como ' es entero sobre A cada uno de sus conjugados 'i tambien lo es y por lotanto

NmL/K(') =$ r/

i=1

'i

%[L:K(#)]

es entero sobre A. Mas aun, como a0 $ A por el lema anterior, entonces NmL/K(') =±an/r

0 $ A, con n = [L : K] y r = [K(') : K]. Ahora, de la igualdad

0 = 'r + ar!1'r!1 + · · · + a1' + a0 = '

*'r!1 + ar!1'

r!2 + · · · + a1+

+ a0

se sigue que ' divide a a0 en A['] y por lo tanto divide a NmL/K(') = ±an/r0 . !

Si K es un campo y A es una K-algebra de tipo finito sobre K y A es undominio entero, diremos que A es una K-algebra afın. Si K(A) es el campo defracciones de A, entonces la extension de campos K/K(A)

K !" A !" K(A)

es finitamente generada (con generadores los mismos elementos que generan A co-mo K-algebra) y al grado de trascendencia de K(A) sobre K se le llama tambienel grado de trascendencia de A sobre K y usamos la misma notacion

grtrK(A) = grtrK K(A).

TEOREMA 3.19 (Lema de normalizacion de Noether). Si K es un campo y A esuna K-algebra afın de grado de trascendencia n, entonces existen '1, . . . ,'n $ Aalgebraicamente independientes sobre K tales que A es entera sobre el subanilloK['1, . . . ,'n] generado por los 'i:

K # K['1, . . . ,'n] # A.


Demostracion. Por hipotesis A es una K-algebra de tipo finito y ası existe un epi-morfismo K[x1, . . . , xm] " A, i.e, A = K[x1, . . . , xm]/p, con p un ideal primo(porque A es dominio entero) y claramente n ( m. Usaremos induccion sobrem - n. Si m = n las imagenes 'i de las variables xi deben ser algebraicamenteindependientes y ası p = 0, A = K['1, . . . ,'n] = K[x1, . . . , xn] y no hay nadaque probar. Supongamos entonces que m > n y p '= 0. Basta entonces mostrar laexistencia de una subalgebra B # A generada por m ) 1 elementos tal que A esentera sobre B ya que aplicando la hipotesis de induccion a B existirıan elementos'1, . . . ,'n $ B algebraicamente independientes sobre K y tales que B es enterosobre K['1, . . . ,'n] y por la transitividad de la dependencia entera se seguirıa in-mendiatemente que A es entera sobre K['1, . . . ,'n], que es lo que se quiere probar.

Resta mostrar la existencia de la subalgebra B con las propiedades requeridasy para esto observe primero que los m generadores 'i de A (imagenes de las xi enA) no pueden ser algebraicamente independientes porque m > n y grtrK A = n.Ası, existe una relacion no trivial de dependencia algebraica entre ellas:

(1) f('1, . . . ,'m) = 0

es decir, con f(x1, . . . , xm) $ p ) {0}. Para abreviar la notacion consideremosmultiındices / = (r1, . . . , rm) $ Nm (pensamos que 0 $ N) y escribamos X* :=xr1

1 · · ·xrmm . Ası podemos escribir el polinomio f anterior como

(2) f(X) ='

*#Nm

a*X* $ p) {0}.

La idea ahora es hacer un cambio de variables

(3) yi = xi ) xbim 1 ( i ( m) 1

donde notamos que K[x1, . . . , xm] = K[y1, . . . , ym!1, xm] de tal forma que alsubstituir (3) en (2) se obtenga un polinomio de la forma

(4) f(X) = axem + q1(Y )xe!1

m + · · · + qe(Y )

con a $ K', e - 1 y qj(Y ) $ K[y1, . . . , ym!1]. Para darnos una idea de lo que hayque hacer, desarrollemos los monomios que se obtienen al substituir (3) en (2), para/ = (i1, . . . , im) y * = (b1, . . . , bm!1, 1):

a*X* = a*x

i11 xi2

2 · · ·xim!1m!1xim

m

= a*(y1 + xb1m)i1(y2 + xb2

m)i2 · · · (ym!1 + xbm!1m )im!1xim

m

= a*xi1b1+i2b2+···+im!1bm!1+imm + terminos que mezclan xj

m y los yi

= a*x*·$m + terminos que mezclan xj

m y polinomios q(y1, . . . , ym!1)

donde hemos usado el producto escalar

/ ·* = (i1, . . . , im!1, im) ·(b1, . . . , bm!1, 1) = i1b1 + i2b2 + · · ·+ im!1bm!1 + im.


Como lo anterior sucede para cada monomio de (2), para obtener (4) debemos mos-trar que se puede elegir el vector (multi-ındice) * = (b1, . . . , bm!1, 1) para el cam-bio de variables (3) de tal manera que exista un multi-ındice /0 en (2) tal que elproducto escalar /0 · * sea estrictamente mayor que los otros / · *. De esta manerase obtendra (4) como se desea.

Para hacer lo anterior, escojamos un entero b > 1 que sea mayor que todas lascomponentes de los vectores / = (i1, . . . , im) que ocurren en (2), i.e., con a* '= 0.Ası, todas los componentes ij de los vectores / satisfacen que 0 ( ij ( b ) 1,es decir, los vectores / estan en el cubo [0, b ) 1]m (donde solo consideramospuntos con coordenadas enteras, i.e, [0, b ) 1]m = [0, b ) 1]m + Zm. Ordene-mos lexicograficamente los vectores / de [0, b ) 1]m y considere el vector * =(bm!1, bm!2, . . . , b, 1) $ Nm y la funcion

(m : [0, b) 1]m " [0, bm ) 1]

dada por (m(/) := / · * = i1bm!1 + i2bm!2 + · · ·+ im!1bm!1 + im. Como cadaij < b, la imagen de (m esta en el codominio indicado.

Afirmacion: La funcion (m es biyectiva y preserva el orden.

Aceptando por un momento la afirmacion anterior, se sigue que existe un vector/0 tal que a*0 '= 0 y es el mayor / tal que a* '= 0. Por la biyeccion que preserva elorden (m, el producto escalar

/0 · * > / · *

para todo / '= /0 tal que a* '= 0. Se sigue que el polinomio f de (2), usando elcambio de variable (3) es de la forma (4) deseada. Note que si ,i = 'i ) 'bi

m, por(1) se sigue que 'm es raız del polinomio

f(,1 + xb1m, . . . ,,m!1 + xbm!1

m , xm) $ K[,1, . . . ,,m!1][xm]

que tiene la forma (4). Dividiendo este polinomio por el coeficiente a de xm seobtiene un polinomio monico el cual muestra a 'm como un entero sobre el ani-llo K[,1, . . . ,,m!1], y claramente los '1, . . . ,'m!1 tambien son enteros sobreK[,1, . . . ,,m!1] porque 'i = ,i + 'bi

m y los terminos del lado derecho son en-teros sobre K[,1, . . . ,,m!1]. Se sigue que A = K['1, . . . ,'m] es entera sobreB := K[,1, . . . ,,m!1], como se querıa. !LEMA 3.20. Sean K # L anillos tales que L es entero sobre K. Si L es un campoentonces K es un campo.

Demostracion. Mostraremos que todo elemento a '= 0 de K tiene inverso multipli-cativo. Como 0 '= a $ K # L y L es campo, entonces 1/a $ L y como L es enterosobre K entonces para 1/a existe un polinomio monico

f(x) = xn + bn!1xn!1 + · · · + b1x + b0 $ K[x]


tal que f(1/a) = 0, i.e.,

1an

+bn!1

an!1+ · · · + b1

a+ b0 = 0

y multiplicando por an!1 obtenemos que1a

= )bn!1 ) abn!2 ) · · ·) an!1b1 $ K

y ası K es un campo. !COROLARIO 3.21 (Zariski). Si K # L son campos con L de tipo finito, entoncesL/K es una extension algebraica y por lo tanto L/K es una extension finita.

Demostracion. Sea n = grtrK L. Por el lema de normalizacion de Noether exis-ten '1, . . . ,'n $ L algebraicamente independientes sobre K y tales que L es en-tera sobre K['1, . . . ,'n]. Por el lema anterior se sigue que K['1, . . . ,'n] es uncampo. Ahora, como las 'i son algebraicamente independientes sobre K entoncesK['1, . . . ,'n] es un anillo de polinomios, y como es un campo se debe entoncestener que n = 0 y por lo tanto L/K es algebraica. !TEOREMA 3.22 (Teorema de los ceros de Hilbert). Si K es un campo algebraica-mente cerrado, entonces:

(1) Los ideales maximos del anillo K[x1, . . . , xn] son de la forma

m = %x1 ) a1, . . . , xn ) an&

con los ai $ K.

(2) Si I # K[x1, . . . , xn] es un ideal, entonces V(I) '= ..

(3) Para todo ideal I # K[x1, . . . , xn] se tiene que I(V(I)) =1

I .

Demostracion. Para la parte (2) podemos suponer que I es maximo, ya que de locontrario tomando m maximo tal que I # m, como V(m) # V(I), si probamos queV(m) '= . entonces V(I) '= .. Ahora, para la parte (1), claramente el ideal %x1 )a1, . . . , xn) an& es maximo porque el cociente K[x1, . . . , xn]/%x1) a1, . . . , xn)an& 4 K. Por otra parte, si m es maximo, el cociente K[x1, . . . , xn]/m es un campoextension de K:

K !" K[x1, . . . , xn] " K[x1, . . . , xn]/m =: L

donde L es de tipo finito sobre K y ası, por el corolario anterior, L/K es algebraicay como K es algebraicamente cerrado entonces K = L = K[x1, . . . , xn]/m. Sesigue que, para todo 1 ( i ( n y para xi+m $ L existe ai $ K tal que xi+m = ai,i.e., xi ) ai $ m y por lo tanto

%x1 ) a1, . . . , xn ) an& # m


y como el ideal %x1 ) a1, . . . , xn ) an& es maximo se sigue que

m = %x1 ) a1, . . . , xn ) an&

y por lo tanto

V(m) = V%x1 ) a1, . . . , xn ) an& = {(a1, . . . , an)} '= ..

Lo anterior demuestra las primeras dos partes del teorema.Para (3), observe primero que

1I # IV(I), ya que si f $

1I entonces fm $ I

para algun m - 1 y por lo tanto si P $ V(I), se debe tener que 0 = fm(P ) =f(P )m y ası f(P ) = 0, i.e., f $ IV(I). Recıprocamente, si f '$

1I , como

1I =)

I/p p, con los p primos, entonces f '$1

I quiere decir que existe un primo p talque I # p pero f '$ p. Sea f la clase de f en A = K[x1, . . . , xn]/p y considerela localizacion Af y note que este anillo no es cero porque f no es nilpotente. Seam un ideal maximo de Af . Note que como K[x1, . . . , xn] es una K-algebra de tipofinito, entonces A y Af tambien lo son. Ademas se tiene una extension de campos

K !" K[x1, . . . , xn] " A " Af " Af/m

donde Af/m es de tipo finito sobre K. Por 3.18 la extension es algebraica y como K

es algebraicamente cerrado, entonces K = Af/m y las imagenes ti $ Af/m = K

de las xi $ K[x1, . . . , xn] definen el punto P = (t1, . . . , tn) $ Kn y se tiene que:(i) P $ V(I), ya que para todo g $ I , como I # p, entonces g se anula en P

porque las ti son imagenes de las xi pasando al cociente por m / p.(ii) f(P ) '= 0 ya que por la eleccion de p se tiene que f '$ p.

Claramente (i) y (ii) implican que f '$ IV(I). !

En geometrıa algebraica es importante tener otra demostracion del lema de nor-malizacion de Noether donde el cambio de variables

yi = xi ) xbim

sea lineal. Esto es posible en el caso cuando el campo K es infinito, que es lo quese tiene en geometrıa algebraica donde K es algebraicamente cerrado.

LEMA 3.23. Si K es un campo infinito y f $ K[x1, . . . , xn] es un polinomio nonulo de grado d, entonces existe un cambio de variables lineal x"i = xi)aixn, para1 ( i ( n) 1, y con ai $ K, tales que el polinomio

f(x"1 + a1xn, . . . , x"n!1 + an!1xn, xn) $ K[x"1, . . . , x"n!1, xn]

tiene un termino de la forma cxdn, con c $ K.


Demostracion. Escribamos x"i = xi ) aixn, para alguna eleccion de ai $ K, 1 (i ( n ) 1. Sea fd la componente homogenea de f de grado d y escribamos f =fd + g, con g de grado ( n) 1. Entonces,

f(x"1 + a1xn, . . . , x"n!1 + an!1xn, xn) = fd(a1, . . . , an!1, 1)xdn + terminos de

grado menor en xn

ya que cada monomio de grado d en fd es de la forma axe11 · · ·xen

n con"

ei = d, yal substituir xi por x"i, 1 ( i ( n) 1 el monomio queda de la forma

a((x"1 + a1xn)e1 · · · (x"n!1 + an!1xn)en!1xenn

donde al expandir los binomios notamos que al juntar los terminos de mayor gradoen xn queda

a(ae11 xe1

n · · · aen!1n!1 xen!1

n xenn ) = a(ae1

1 · · · aen!1n!1 · 1)xen

n = md(a1, . . . , an!1, 1)xdn

porque"

ei = d, de donde se sigue la afirmacion con fd ="

md.Finalmente, notamos ahora que fd(x1, . . . , xn!1, 1) es un polinomio en x1, . . .,

xn!1 que no es nulo, porque de lo contrario f no tendrıa grado d; se sigue queV(fd) '= An

K (ya que K es infinito). Ası, existen a1, . . . , an!1 $ K tales quefd(a1, . . . , an!1, 1) '= 0 y poniendo c = fd(a1, . . . , an!1, 1) se sigue la conclusiondel lema. !

Los teoremas de subida y bajada de Cohen-Seidenberg. Si A # B son anilloscon B entero sobre A, hay una relacion entre las cadenas de ideales de A y lasde B, los teoremas de !!subida y bajada"" de Cohen-Seidenberg que a continuacionprobaremos. En su demostracion usaremos el lema de Krull siguiente:

LEMA 3.24 (Krull). Sean I # A un ideal y S # A un subconjunto multiplicativotal que S + I = .. Entonces, el conjunto

M = {J # A : J es un ideal tal que I # J y J + S = .}

tiene un elemento maximo y este es un ideal primo.

Demostracion. Sea C = {J+}+#" una cadena en M y sea J :=&

+#" J+. Entonces,J es un ideal de A, I # J y J + S = .. Por el lema de Zorn M tiene un elementomaximo, digamos p. Supongamos ahora que ab $ p y que a, b $ A ) p. Comoa $ Aa y b $ Ab, entonces p ! Aa + p y p ! Ab + p y ası, por la maximalidad dep se debe tener que

(Aa + p) + S '= . y (Ab + p) + S '= ..

Por lo tanto, existen p, p" $ p y r, r" $ A tales que

ra + p $ S y r"b + p" $ S


y consecuentemente

(ra + p)(r"b + p") = rr"ab + rap" + r"bp + pp" $ p + S

(porque en el lado derecho ab $ p y los otros sumandos tienen un factor p o p" dep), pero lo anterior es una contradiccion con el hecho de que p + S = .. Se sigueque p es primo.

NOTA. Si S = {1}, el lema anterior muestra que todo ideal propio I (lo cual es loque dice I + S = I + {1} = .) esta contenido en un ideal maximo. !LEMA 3.25. Sean A # B anillos con B entero sobre A. Sea J # B un ideal eI = A + J . Entonces,

(1) B/J es entero sobre A/I

(2) Si J contiene un elemento que no es divisor propio de cero, entonces I '= 0.

Demostracion. Claramente A/I es un subanillo de B/J y si b + J $ A/J , comob $ B es entero sobre A, entonces satisface una ecuacion polinomial de la formabn + an!1bn!1 + · · · + a1b + a0 = 0, con los ai $ A. Reduciendo modulo J seobtiene que

(b + J)n + (an!1 + I)(b + J)n!1 + · · · + (a1 + I)(b + J) + (a0 + I) = 0

que muestra que b + J es entero sobre A/I . Para la parte (2), si 0 '= b $ J no esdivisor de cero y satisface la ecuacion de dependencia entera bn +an!1bn!1 + · · ·+a1b + a0 = 0, con los ai $ A, podemos asumir que a0 '= 0 ya que si no fuera ası,factorizando a b lo podemos cancelar porque no es divisor de cero y obtenemos deesta manera una ecuacion de grado menor. Se sigue que 0 '= a0 $ J +A = I y porlo tanto I '= 0. !LEMA 3.26. Sean A # B anillos con B entero sobre A. Entonces,

(1) Para todo ideal primo p # A existe un ideal primo P # B tal que1 P + A =p. En otras palabras, la funcion Spec B " Spec A dada por P ," P + A essuprayectiva.

(2) Si P1 # P2 son primos de B tales que P1 +A = P2 +A, entonces P1 = P2.

Demostracion. Si p es un ideal primo de A, considere el conjunto multiplicativoS = A) p. Como pB # B y B es entero sobre A, por el ejercicio 22 los elementos' de B que son enteros sobre p son los ' $

1pB y ası satisfacen una ecuacion de

la forma

'n + an!1'n!1 + · · · + a1' + a0 = 0 (n > 0, ai $ p).

1Se suele decir que arriba de cualquier primo de A hay algun primo de B.


Si sucediera que ' $ pB + S (en particular ' $ A), entonces 'n $ p y como p esprimo se tendrıa que ' $ p, en contradiccion con el hecho de que ' $ S = A) p.Se sigue que pB +S = . y ası por el lema de Krull 3.24 existe un primo P # B talque pB # P y P + S = ., lo cual implica que P +A = p, como se querıa.

Para (2), pongamos p = P1 + A = P2 + A. Por la parte (1) del lema anteriorB/P1 es entero sobre A/p y como P2 / P1, entonces P2/P1 es un primo deB/P1 y ademas (A/p) + (P2/P1) =

*A/(P2 + A)

++

*P2/P1

+= 0. Por la

parte (2) del lema anterior se debe tener que P2/P1 = 0, ya que B/P1 es dominioentero. Se sigue que P1 = P2. !TEOREMA 3.27. Sean A # B anillos con B entero sobre A. Entonces,

(1) Si P0 ! P1 ! · · · ! Pn es una cadena de primos de B y si pi = Pi + A,entonces p0 ! p1 ! · · · ! pn es una cadena de primos de A.

(2) (Teorema de !!subida"" de Cohen-Seidenberg). Para toda cadena de primos p0 !p1 ! · · · ! pn de A y para cualquier primo P0 de B arriba de p0, existe unacadena de primos P0 ! P1 ! · · · ! Pn de B tales que pi = Pi +A.

(3) (Teorema de !!bajada"" de Cohen-Seidenberg). Supongamos ademas que A y Bson dominios enteros con A integralmente cerrado (en su campo de fracciones K).Si p0 ! p1 son primos de A y P1 es un primo de B arriba de p1, entonces existe unprimo P0 de B arriba de p0 y tal que P0 ! P1.

Demostracion. Claramente los ideales pi estan encadenados porque los Pi lo estan.Que las inclusiones son propias es la parte (2) del lema anterior. Para (2), por 3.26(1) existe P0 arriba de p0. Supongamos por induccion que ya se construyo unacadena P0 ! · · · ! Pk de primos de B arriba de p0 ! · · · ! pk. Entonces, parapk = Pk + A y para la extension de anillos A/pk # B/Pk, que es entera por3.25, y para el ideal primo pk+1/pk de A/pk, por el lema 3.26 (1) existe un primoPk+1/Pk de B/Pk arriba de pk+1/pk y por lo tanto Pk+1 es un primo de B arribade pk+1.

Para (3), observe que los conjuntos S0 = A) p0, S1 = B)P1 y S = S0S1 ={ab : a $ S0, b $ S1} # B son multiplicativamente cerrados y ademas Si # S.Mostraremos que

(*) p0B + S = ..Note que una vez probado (*), por el lema de Krull 3.24, existe un primo P0 # Btal que p0B # P0 y P0 + S = .. Por lo tanto P0 + S1 = . y consecuentementeP0 # P1 y de P0 + S = . se sigue que P0 + A = p0. La inclusion P0 ! P1 espropia por 3.27(2). Esto prueba la parte (3) y ası solo resta demostrar (*). Para esto,supongamos que existe un c $ p0B + S. Entonces, c es entero sobre p0 y ası sumonico irreducible Irr(c, K) tiene coeficientes en p0:

Irr(c, p0) = xn + an!1xn!1 + · · · + a1x + a0 ai $ p0.


Ahora, como c $ S, entonces c = ab con a $ S0, b $ S1, y el polinomio monicoirreducible de b = c/a es

Irr(b, p0) = xn +an!1

axn!1 + · · · + a1

an!1x +

a0

an

y como b es entero sobre A, entonces los coeficientes ai/an!i de este polinomioestan en A. Poniendo ai/an!i = "i $ A, se sigue que ai = an!i"i con "i $ A, ycomo ai $ p0 y a '$ p0, entonces "i $ p0 y por lo tanto b es entero sobre p0 y ası,por el ejercicio 22(ii) se sigue que b $

1p0B # P1, en contradiccion con el hecho

de que b $ S1 = B )P1, y esto prueba (*). ! !

Propiedades locales. Si A es un anillo arbitrario, al localizarlo en un ideal primop, el anillo Ap es, de cierta forma, mas sencillo que el anillo A, por ejemplo Ap esun anillo con un unico ideal maximo y los ideales de Ap se corresponden biyectiva-mente con los ideales de A contenidos en p. Todo esto se captura al decir que Ap esun anillo local.

Muchas de las propiedades del anillo A siguen siendo validas para sus locali-zaciones Ap. Por ejemplo, si A es un dominio entero, entonces cada Ap tambienes un dominio entero ya que si (a/s)(b/t) = 0 en Ap, entonces ab/st = 0 en Ap

y ası existe r $ A ) p tal que r(ab) = 0, y como r '= 0 y A es dominio entero,entonces ab = 0 en A y ası a = 0 o b = 0, por lo que a/s = 0 o b/t = 0 en Ap.

En general, si un anillo A tiene una propiedad P y si los localizados Ap tambientienen la propiedad, uno puede esperar que la demostracion sea razonable. Estaexpectativa se conoce como el paso de global a local.

Recıprocamente, si cada anillo localizado Ap tiene la propiedad P, en generalsera difıcil probar que el anillo A tiene esa misma propiedad. Esto es lo que seconoce como el paso de local a global.

La propiedad P se dice que es una propiedad local del anillo A si y solo si pasade local a global y viceversa, para todo ideal primo p de A. Si M es un A-modulo y Pes una propiedad de modulos, en forma similar se define el que P sea una propiedadlocal. Si $ : M " N es un A-morfismo y P es una propiedad de morfismos,se dice que P es una propiedad local si y solo si la satisfacen las localizaciones$p : Mp " Np, para todo ideal primo p de A. A continuacion probamos algunosejemplos de propiedades locales.

Ser cero es una propiedad local:

PROPOSICION 3.28. Sea M un A-modulo. Son equivalentes:

(1) M = 0.

(2) Mp = 0, para todo ideal primo p de A

(3) Mm = 0, para todo ideal maximo m de A.


Demostracion. Claramente (1) 3 (2) 3 (3). Para (3) 3 (1), supongamos queM '= 0 y sea 0 '= x $ M . Pongamos I = (0 : x). Entonces, I ! A porque 1 '$ Iya que x '= 0. Por lo tanto, existe un ideal maximo m tal que m / I . Localizandoen m, considere x/1 $ Mm = 0. Entonces, x/1 = 0 y ası existe s $ A)m tal quesx = 0 y por lo tanto s $ (0 : x) = I # m, una contradiccion porque s '$ m. !

Ser reducido es una propiedad local:

COROLARIO 3.29. Sea A un anillo. Son equivalentes:

(1) A es reducido.

(2) Ap es reducido, para todo ideal primo p de A.

(3) Am es reducido, para todo ideal maximo m de A.

Demostracion. Recordemos que un anillo es reducido si su unico elemento nilpoten-te es el cero, i.e., si su nilradical nilA = 0. Ahora, por el ejercicio 14, localizacionconmuta con la formacion de nilradicales y ası nilAp = (nilA)p. Entonces el coro-lario de sigue de la proposicion anterior aplicada a M = nilA. !

Ser inyectivo, suprayectivo o biyectivo, son propiedades locales:

PROPOSICION 3.30. Sea $ : M " N un A-morfismo. Son equivalentes:

(1) $ es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo).

(2) $p : Mp " Np es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo), paratodo ideal primo p de A.

(3) $m : Mm " Nm es inyectivo (respectivamente, suprayectivo o biyectivo), paratodo ideal maximo m de A.

Demostracion. (1) 3 (2): 0 " M")" N exacta implica que 0 " Mp

"p)" Np esexacta, porque la localizacion es un funtor exacto. Como antes, (2)3 (3) es porquetodo maximo es primo. Para (3) 3 (1), sea M " := ker $ de tal forma que se tienela sucesion exacta 0 " M " !" M

")" N . De nuevo, como localizar es un funtorexacto se sigue que 0 " M "

m " Mm"m)" Nm es una sucesion exacta, y como $m

es inyectivo, por hipotesis, se sigue que M "m = 0 para todo ideal maximo de A y

ası, por la proposicion anterior, M " = 0 y por lo tanto $ es inyectiva. Para el casode suprayectividad, invierta las flechas anteriores. !

Ser plano es una propiedad local:

PROPOSICION 3.31. Sea M un A-modulo. Son equivalentes:

(1) M es plano como A-modulo.

(2) Mp es plano como Ap-modulo, para todo ideal primo p de A.


(3) Mm es plano como Am-modulo, para todo ideal maximo m de A.

Demostracion. (1) 3 (2): Supongamos que 0 " N " " N es una sucesion exactade Ap-modulos y tensoremos con Mp para formar la sucesion 0 " N " 7Ap Mp "N7Ap Mp la cual queremos probar que es exacta. Para los modulos en esta sucesionse tienen los isomorfismos

N 7Ap Mp 4 N 7Ap Ap7A M 4 N 7A M

y similarmente N "7Ap Mp 4 N "7A M y ası la sucesion anterior se puede escribircomo 0 " N " 7A M " N 7A M , la cual es exacta porque M es plano como A-modulo y la sucesion exacta 0 " N " " N la podemos pensar como de A-modulos,por cambio de anillos usando el morfismo canonico " : A " Ap. Como siempre, (2)

3 (3) es trivial. Para (3) 3 (1), si 0 " N " ")" N es exacta, como localizar es unfuntor exacto, entonces para todo ideal maximo m se tiene que 0 " N "

m"m)" Nm es

exacta y ası 0 " N "m7Am Mm

"m-id)" Nm7Am Mm es exacta porque Mm es plano.Por el ejercicio 12 tensorar y localizar conmutan y ası la sucesion exacta anterior se

puede escribir como la sucesion exacta 0 " (N " 7A M)m("-id)m)" (N 7A M)m,

lo cual implica que 0 " N " 7A M"-id)" N 7A M es exacta, por la proposicion

anterior. !

Ser integralmente cerrado es una propiedad local:

PROPOSICION 3.32. Sea A un dominio entero. Son equivalentes:

(1) A es integralmente cerrado.

(2) Ap es integralmente cerrado, para todo ideal primo p de A.

(3) Am es integralmente cerrado, para todo ideal maximo m de A.

Demostracion. Sea K el campo de fracciones de A. Claramente, K es el campode fracciones de Ap, para todo ideal primo p de A. Sea A la cerradura entera deA en K y sea f : A !" A la inclusion. Por el lema siguiente, la cerradura enterade Ap en K es (A)p y la inclusion de Ap !" (A)p es la localizacion fp : Ap !"(A)p. Entonces, A es integralmente cerrado si y solo si f es un epimorfismo, locual por una proposicion anterior y las observaciones previas, sucede si y solo sifp es suprayectiva, para todo ideal primo o maximo de A, i.e., si y solo si Ap esintegralmente cerrado. !

LEMA 3.33. Sean A # B anillos, A la cerradura entera de A en B y S # Aun subconjunto multiplicativo. Entonces, S!1A es la cerradura entera de S!1A enS!1B.


Demostracion. De A # A # B se sigue que S!1A # S!1A # S!1B, y por elejercicio 18, S!1A es entero sobre S!1A. Por otro lado, si b/s $ S!1B es enterosobre S!1A, se tiene una ecuacion de dependencia entera

(b/s)n + (an!1/sn!1)(b/s)n!1 + · · · + (a1/s1)(b/s) + a0/s0 = 0

con ai $ A, si $ S. Sea t = s0 · · · sn!1 $ S y multipliquemos ambos lados de laecuacion anterior por (st)n para obtener que

(bt)n + cn!1(bt)n!1 + · · · + c0 = 0

con los ci $ A lo cual muestra que bt es entero sobre A y por lo tanto bt $ A yası b/s = bt/st $ S!1A. !

EjerciciosEJERCICIO 1. Verifique que la relacion usada para definir el anillo de fraccionesS!1A es, en efecto, de equivalencia.

EJERCICIO 2. En la demostracion de la parte 3 de 3.7 compruebe que S es un con-junto multiplicativo de A/p y que se tiene el isomorfismo S

!1(A/p) 4 S!1A/S!1p.

EJERCICIO 3. Sean f : A " B un morfismo de anillos, S # A, T # B subconjun-tos multiplicativos tales que f(S) # T y f : S!1A " T!1B el morfismo inducido3.4. Si f es inyectiva demuestre que f lo es tambien.

EJERCICIO 4. Si S # A, es multiplicativo y f : A " B es un monomorfismo deanillos tal que f(S) # B', demuestre que f en 3.2 tambien es inyectivo.

EJERCICIO 5. Si S # T son subconjuntos multiplicativos de un anillo A, demuestreque existe un unico morfismo ( : S!1A " T!1A tal que el diagrama siguienteconmuta

A)1

55$$$$

$$$$

$)2

66%%%%%%%%

S!1A )!! T!1A

EJERCICIO 6. Si (A, m) es un anillo local, demuestre que A 4 Am. Sugerencia:A)m = A'.

EJERCICIO 7. Localizacion de modulos. Si M es un A-modulo y S # A es unconjunto multiplicativo, como en el ejercicio 1 verifique que se tiene la relacion de

EJERCICIOS 81

equivalencia : en M ! S dada por

(x, s) : (y, t) 2 existe u $ S tal que u(tx) sy) = 0.

El conjunto cociente se denota por S!1M y a la clase de equivalencia de (x, s) sele denota por x/s $ S!1M . Compruebe entonces que se tienen bien definidas lasoperaciones siguientes:

(i) Suma: Para x/s, y/t $ S!1M ,x

s+

y

t:=

tx + sy

st.

(i) Accion de S!1A en S!1M : Para a/s $ S!1A y x/s $ S!1M ,a

s· x

t:=

ax

st.

Demuestre que, con las operaciones anteriores, S!1M es un S!1A-modulo. Noteque, por cambio de anillos (o restriccion de escalares) mediante el morfismo canoni-co ( : A " S!1A, se sigue que S!1M tambien es un A-modulo. En los casos parti-culares cuando S = A)p, para p un ideal primo, se usara la notacion Mp = S!1M .Tambien, cuando S = {fn : n - 0}, usaremos la notacion Mf = S!1M .

EJERCICIO 8. Si f : M " N es un A-morfismo, demuestre que f induce un S!1A-morfismo S!1f : S!1M " S!1N dado por x/s ," f(x)/s. Si g : N " P es otroA-morfismo, demuestre que S!1(g 6 f) = S!1(g) 6 S!1(f). Se sigue que

S!1 : A-mod " S!1A-mod

es un funtor covariante.

EJERCICIO 9. Demuestre que S!1 es un funtor exacto.Se sigue que, si M " # M es un submodulo, entonces S!1M " # S!1M es un

monomorfismo y por lo tanto S!1M " se puede ver como un submodulo de S!1M .

EJERCICIO 10. Usando la observacion final del ejercicio anterior, si S # A esmultiplicativo, demuestre que si N, N " son submodulos de M , entonces:

(i) S!1 conmuta con sumas finitas, i.e., S!1(N + N ") = S!1N + S!1N ".(ii) S!1 conmuta con intersecciones finitas, i.e., S!1(N + N ") = S!1N +

S!1N ".(iii) S!1 conmuta con cocientes, i.e., S!1(M/N) 4 S!1M/S!1N .

EJERCICIO 11. Si S # A es multiplicativo y M es un A-modulo, demuestre existeun unico S!1A-isomorfismo

) : S!1A7A M+)" S!1M

tal que )((a/s) 7 x) = ax/s, para todo a $ A, s $ S, x $ M . Sugerencia:Muestre que S!1A !M " S!1M dada por (a/s, x) ," ax/s es A-bilineal y use


la propiedad universal del producto tensorial para definir unıvocamente a ). Para lainyectividad, dada una suma finita de elementos del dominio use un denominadorcomun para caracterizar los elementos de S!1A 7A M y cuando este elemento vaa dar a cero, use la relacion de equivalencia que define a S!1M .

EJERCICIO 12. Si M, N son A-modulos y S # A es multiplicativo, demuestre quese tiene un unico S!1A-isomorfismo

) : S!1M 7S!1A S!1N+)" S!1(M 7A N)

tal que )((x/s)7 (y/t)) = (x7 y)/st.

EJERCICIO 13. Si S # A es multiplicativo, por el ejercicio 10, S!1 conmuta consumas finitas e intersecciones finitas de ideales. Demuestre que conmuta con pro-ductos finitos de ideales y con la formacion de radicales, i.e., si I # A es un ideal,demuestre que S!1

1I =

1S!1I .

EJERCICIO 14. Si S # A es multiplicativo, demuestre que nil(S!1A) = S!1(nilA).

EJERCICIO 15. Si S # A es cualquier conjunto multiplicativo, escojamos un con-junto de indeterminadas {xs}s#S indexadas por S. Considere el anillo de polino-mios A[xs : s $ S] y el ideal I generado por los polinomios de la forma sxs ) 1,variando s $ S. Sea i : A " A[xs : s $ S]/I el morfismo natural. Demuestreque A[xs : s $ S]/I es naturalmente isomorfo al anillo de fracciones S!1A.Sugerencia: Vea el lema 3.6.

EJERCICIO 16. Un A-modulo M se dice que es fiel si siempre que a $ M es tal queaM = 0 se tiene que a = 0. Si A # B son anillos y ' $ B, demuestre que ' esentero sobre A si y solo si existe un A-submodulo fiel M # B finitamente generadotal que 'M # M .

EJERCICIO 17. Si A es un dominio entero integralmente cerrado en su campo defracciones K y si f(x) $ A[x] es monico, demuestre que todo factor monico def(x) en K[x] de hecho esta en A[x]. Sugerencia: basta considerar factores monicosirreducibles de f(x).

EJERCICIO 18. Si A # B son anillos con B entero sobre A y S # A es un subcon-junto multiplicativo, demuestre que S!1B es entero sobre S!1A.

EJERCICIO 19. Demuestre que el lema de Zariski 3.21 se sigue del teorema de losceros de Hilbert 3.22.

EJERCICIO 20. El lema 3.18 se puede mejorar: si K # L son dominios enteros talesque L es entero sobre K, demuestre que L es un campo si y solo si K es un campo.

EJERCICIOS 83

EJERCICIO 21. Si A # B son anillos y B es entero sobre A, demuestre que m # Bes un ideal maximo si y solo si m +A es maximo.

EJERCICIO 22. Si I # A es un ideal (en particular I es subanillo de B) y ' $ B,demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) ' es entero sobre I .(ii) A['] es un A-modulo finitamente generado y ' $

.IA['].

(iii) Existe un subanillo A # C # B tal que ' $ C, C es finitamente generadocomo A-modulo y ' $

1IC.

EJERCICIO 23. Si A # B son dominios enteros con campos de fracciones K yL respectivamente. Demuestre que si L/K es algebraica y simple, i.e., existe unelemento primitivo ' $ L tal que L = K('), entonces existe un elemento primitivoen B.

EJERCICIO 24. Sea K un campo. Demuestre que toda K-algebra A # K[x] es detipo finito sobre K.

EJERCICIO 25. Si A # B son anillos con B entero sobre A, demuestre que lafuncion Spec B " Spec A de 3.25 es cerrada.

EJERCICIO 26. Si A es un anillo y G # Aut(A) es un subgrupo finito del grupo deautomorfismos de A (i.e., el conjunto de isomorfismos de A en A con la composi-cion como operacion de grupo), sea AG el subanillo de G-invariantes de A, i.e., elconjunto de puntos fijos de A bajo la accion de G:

AG := {a $ A : 0(a) = a para todo 0 $ G}.(i) Demuestre que A es entero sobre AG. Sugerencia: Si a $ A, muestre que

a es raız del polinomio(

,#G(x) 0(a)) y que este polinomio es monicoy tiene coeficientes en AG.

(ii) Si S # A es un subconjunto multiplicativo tal que 0S # S, para todo 0 $G, sea SG := S + AG. Claramente SG es un subconjunto multiplicativode AG. Demuestre que la accion de G en A se extiende a una accion G!S!1A " S!1A.

(iii) En la situacion del inciso anterior, demuestre que (SG)!1AG 4 (S!1A)G.(iv) Si p es un ideal primo de AG y P es el conjunto de primos P de A tales

que P +AG = p, demuestre que G actua transitivamente en P . Concluyaque P es finito.

(v) Si A es un dominio entero, K es su campo de fracciones y L/K es una ex-tension finita, normal y separable, sea G = Gal(L/K) el grupo de Galoisde L/K y sea B la cerradura entera de A en L. Demuestre que 0B = Bpara todo 0 $ G y que A = BG.


(vi) Si A es un dominio entero, K es su campo de fracciones y L/K es unaextension finita, sea B la cerradura entera de A en L. Demuestre que paratodo primo p de A, el conjunto de primos P de B tales que P +A = p esfinito.

EJERCICIO 27. Si I ! A es un ideal propio, demuestre que S = {1 + a : a $ I}es multiplicativo y que los ideales primos de S!1A se corresponden biyectivamentecon los ideales primos p de A tales que p + I '= A.

EJERCICIO 28. Si S # A es multiplicativo e I # A es un ideal tal que I + S = .,demuestre que existe un ideal primo p tal que I # p y p + S = ..

EJERCICIO 29. Si K es un campo, demuestre que el anillo de series formales enn indeterminadas K[[x1, . . . , xn]] (vea los ejercicios 34 y 35 del capıtulo 1) es unanillo local con ideal maximo %x1, . . . , xn&.

EJERCICIO 30. Si A # B son anillos con B entero sobre A y para un primo p # Asolo hay un primo q # B arriba de p, demuestre que Ap = Bq.

EJERCICIO 31. Si f $ M no es nilpotente, entonces Af '= 0 y ası Af contiene unideal primo. Concluya que

)p#Spec A p = nilA.

EJERCICIO 32. Muestre que ser dominio entero no es una propiedad local. Note queen el texto probamos que se tiene el paso de global a local, ası que lo que debe fallares el paso de local a global.

EJERCICIO 33. Sean A un dominio entero y M un A-modulo. Un elemento x $ Mse dice que es de torsion si (0 : x) '= 0, i.e., si existe 0 '= a $ A tal que ax = 0.

(i) Si t(M) := {x $ M : x es de torsion}, demuestre que t(M) es unsubmodulo de M . A t(M) se le llama el submodulo de torsion de M . Sit(M) = 0 se dice que M es libre de torsion. Si t(M) = M se dice que Mes de torsion.

(ii) Demuestre que t(M) es de torsion.(iii) Demuestre que M/t(M) es libre de torsion.(iv) Si $ : M " N es un A-morfismo, demuestre que $(tM) # tN .(v) Si 0 " M " " M " M "" es exacta, demuestre que 0 " tM " " tM "

tM "" es exacta.(vi) Si K es el campo de fracciones de A y M " K 7A M es el morfismo

x ," 17 x, demuestre que tM es el nucleo del morfismo anterior.(vii) Si S # A es multiplicativamente cerrado, demuestre que t(S!1M) =

S!1(tM).

EJERCICIOS 85

EJERCICIO 34. Si A es un dominio entero, demuestre que ser libre de torsion es unapropiedad local.

EJERCICIO 35. Demuestre que ser iguales es una propiedad local, i.e., si M,N sonA-modulos, las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) M = N .(ii) Mp = Np, para todo ideal primo p de A.

(iii) Mm = Nm, para todo ideal maximo m de A.Sugerencia: Considere los cocientes (M + N)/N y (M + N)/M .

EJERCICIO 36. Demuestre que ser exacta es una propiedad local, i.e., demuestreque las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) La sucesion M " f)" Mg)" M "" es exacta.

(ii) La sucesion M "p

fp)" Mpgp)" M ""

p es exacta para todo ideal primo p de A.

(iii) La sucesion M "m

fm)" Mmgm)" M ""

m es exacta para todo ideal maximo mde A.

EJERCICIO 37. Una sucesion exacta corta

0 !! M " f !! Mg !!

M ""h

"" !! 0

se escinde si existe un A-morfismo h : M "" " M tal que g 6 h = idM "" . Demuestreque la sucesion exacta corta anterior se escinde si y solo si el A-morfismo

g' : HomA(M "", M) )" HomA(M "", M "")

dado por g'(') := g 6 ', es suprayectivo.

EJERCICIO 38. Un A-modulo M se dice que es finitamente presentado si existe unn $ N y una sucesion exacta corta de la forma

0 " K " An " M " 0

con K finitamente generado. Es decir, M es finitamente generado y el nucleo deAn " M tambien es finitamente generado.

De un ejemplo de un A-modulo finitamente generado que no sea finitamentepresentado.

EJERCICIO 39. Sea S # A un subconjunto multiplicativo y sean M,N dos A-modulos. Para cada A-morfismo f : M " N le hemos asociado el S!1A-morfismoS!1f : S!1M " S!1N dado por S!1f(x/s) := f(x)/s. Demuestre que lafuncion f ," S!1f :

HomA(M, N) " HomS!1A(S!1M,S!1N)

es un A-morfismo. Concluya que el A-morfismo anterior induce un S!1A-morfismo

$ : S!1*HomA(M, N)

+" HomS!1A(S!1M,S!1N).


EJERCICIO 40. Para $ : S!1*HomA(M, N)

+" HomS!1A(S!1M, S!1N), de-

muestre que:(i) Si M es finitamente generado, entonces $ es inyectivo.

(ii) Si M es finitamente presentado, entonces $ es un isomorfismo.

EJERCICIO 41. El que una sucesion exacta corta se escinda es una propiedad localcuando el ultimo modulo es finitamente presentado, i.e., si M "" es un A-modulofinitamente presentado, demuestre que las afirmaciones siguientes son equivalentes:

(i) La sucesion exacta corta 0 " M " f)" Mg)" M "" " 0 se escinde.

(ii) La sucesion exacta corta 0 " M "p

fp)" Mpgp)" M ""

p " 0 se escinde, paratodo ideal primo p de A.

(iii) La sucesion exacta corta 0 " M "m

fm)" Mmgm)" M ""

m " 0 se escinde,para todo ideal maximo m de A.

EJERCICIO 42. Un morfismo de anillos f : A " B es plano si B es plano comoA-modulo. El morfismo f se dice que es fielmente plano si B es fielmente planocomo A-modulo. Si (A,m) y (B, n) son anillos locales, un morfismo de anillosf : A " B se dice que es un morfismo local si f(m) # n.

(i) Demuestre que f : (A,m) " (B, n) es un morfismo local si y solo si f esplano.

(ii) Demuestre que f : (A,m) " (B, n) es un morfismo local si y solo si f esfielmente plano.

EJERCICIO 43. Si M es un A-modulo finitamente generado y M 7A k(m) = 0 paratodo ideal maximo m de A, demuestre que M = 0. Aquı, k(m) := Am/mAm es elcampo residual del anillo local Am. Sugerencia: M 7A k(m) 4 Mm/mMm.

EJERCICIO 44. Si f : A " B es un morfismo de anillos y M es un B-modulo talque M 7A k(p) = 0 para todo ideal primo p de A, demuestre que M = 0. Aquı,k(p) es el campo residual de Ap.

EJERCICIO 45. Si (A,m) es un anillo local y M, N son dos A-modulos finitamentegenerados, demuestre que M 7A N = 0 si y solo si M = 0 o N = 0. Sugerencia:Vea el ejercicio 17 de §1.

EJERCICIO 46. Si N # M es un A-submodulo y x $ M , demuestre que x $ N siy solo si x $ Np, para todo p ideal primo de A. Sugerencia: Use la negacion de laproposicion 3.28 aplicada a (N + %x&)/N .

EJERCICIO 47. Sea A un anillo. Demuestre que D(f) = . 2 Af = 0 2 f esnilpotente.

EJERCICIOS 87

EJERCICIO 48. Sean A un anillo, S # A un subconjunto multiplicativo y M unA-modulo. Demuestre que

(i) lim)"f#S

Af 4 S!1A.

(ii) lim)"f#S

M 7A Af 4 S!1M .

EJERCICIO 49. Si f : A " B es un morfismo de anillos, por el ejercicio 12 delcapıtulo 2, B es un A-modulo y si es plano como tal, diremos que f : A " B esun morfismo plano. Si f : A " B es un morfismo plano, demuestre que para todoq $ Spec B, si p = af(q) $ Spec A se tiene que afq : Spec Bq " Spec Ap essuprayectiva.

EJERCICIO 50. En 3.8 demuestre que las funciones biyectivas correspondientes sonhomeomorfismos.

EJERCICIO 51. Si f : A " B es un morfismo de anillos, S # A es multiplicativo,muestre que f(S) # B es multiplicativo. Para la funcion continua af : Spec B "Spec A, identificando Spec S!1A con su imagen en Spec A (por el ejercicio ante-rior) y Spec f(S)!1B con su imagen en Spec B, demuestre que:

(i) aS!1f : Spec f(S)!1B " Spec S!1A es la restriccion de af : Spec "

Spec A.(ii) Spec f(S)!1B = (af)!1(Spec S!1A).

EJERCICIO 52. Sean f : A " B un morfismo de anillos, p $ Spec A, S = A ) py f(S) # B como en el ejercicio anterior. Sea af : Spec B " Spec A. Demuestreque la fibra (af)!1(p) de af en p es homeomorfa al espectro Spec(k(p) 7A B),donde k(p) = Ap/pAp es el campo residual del anillo local Ap.

EJERCICIO 53. Sea, p $ Spec A, ( : A " Ap el morfismo canonico y a( :Spec Ap " Spec A la funcion continua correspondiente. Demuestre que la imagende Spec Ap es la interseccion de todas las vecindades abiertas de p en Spec A.

anillos, ideales y el espectro primo

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