ANKARA ÜN·IVERS·ITES·IFEN B·IL·IMLER·I ENST·ITÜSÜ

Doktora Tezi

SELF ADJOINT OLMAYAN MATR·IS KATSAYILISTURM-LIOUVILLE OPERATÖRLER·I

Murat OLGUN

MATEMAT·IK ANAB·IL·IM DALI

ANKARA2010

Her hakk¬ sakl¬d¬r

TEZ ONAYI

Murat OLGUN taraf¬ndan haz¬rlanan " Self Adjoint Olmayan MatrisKatsay¬l¬Sturm-Liouville Operatörleri " adl¬tez çal¬smas¬ 09/12/2010 tari-hinde asa¼g¬daki jüri taraf¬ndan oybirli¼gi/oyçoklu¼gu ile Ankara Üniversitesi FenBilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal¬�nda Doktora Tezi olarak kabuledilmistir.

Dan¬sman: Yrd.Doç.Dr. Cafer COSKUN

Jüri Üyeleri:

Baskan: Prof.Dr. Cihan ORHANAnkara Üniversitesi Fen Fakültesi

Üye: Prof.Dr. Ziya ARGÜNGazi Üniversitesi Gazi E¼gitim Fakültesi

Üye: Prof.Dr. Elgiz BAYRAMAnkara Üniversitesi Fen Fakültesi

Üye: Prof.Dr. Nurhayat ·ISP·IRGazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi

Üye: Yrd.Doç.Dr. Cafer COSKUNAnkara Üniversitesi Fen Fakültesi

Yukar¬daki sonucu onaylar¬m

Prof.Dr. Orhan ATAKOLEnstitü Müdürü

ÖZET

Doktora Tezi

SELF ADJOINT OLMAYAN MATR·IS KATSAYILI STURM-LIOUVILLEOPERATÖRLER·I

Murat OLGUN

Ankara ÜniversitesiFen Bilimleri EnstitüsüMatematik Anabilim Dal¬

Dan¬sman: Yrd.Doç.Dr. Cafer COSKUN

Bu tez bes bölümden olusmaktad¬r.Birinci bölüm giris k¬sm¬na ayr¬lm¬st¬r.·Ikinci bölümde, spektral analizin temel tan¬m ve önemli teoremleri verilmistir.Üçüncü bölümde self adjoint olmayan matris katsay¬l¬Sturm-Liouvilleoperatörünün belirli baslang¬ç kosullar¬n¬sa¼glayan çözümleri incelenmis ve resolventoperatörü belirlenmistir.Dördüncü bölümde ise analitik fonksiyonlar¬n birebirlik teoremleri kullan¬larak Loperatörünün özde¼gerleri ve spektral tekillikleri elde edilmistir.Son bölümde ise özde¼ger ve spektral tekilliklere kars¬l¬k gelen esas fonksiyonlartan¬t¬lm¬s ve bunlar¬n baz¬özellikleri incelenmistir.

2010 , 48 sayfaAnahtar Kelimeler: Spektral analiz, resolvent operatör, özde¼ger, spektral tekil-lik, esas fonksiyon.

i

ABSTRACT

Ph.D. Thesis

NON SELF ADJOINT STURM-LIOUVILLE OPERATORS WITH MATRIXCOEFFICIENTS

Murat OLGUN

Ankara UniversityGraduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Asst.Prof.Dr. Cafer COSKUN

This thesis consist of �ve chapters.The �rst chapter has been devoted to the introduction.In the second chapter, some basic de�nitions and main theorems of spectral analysishave been given.In the third chapter, the solutions satisfying certain initial conditions of non self ad-joint Sturm-Liouville operators with matrix co¤ecient are investigated and resolventoperator is calculated.In the fourth chapter, using the uniqueness theorems of analytic functions eigenval-ues and spectral singularities of L operators are investigated.In the last chapter, the properties of the principal functions correspending to theeigenvalues and the spactral singularities are examined.

2010 , 48 pagesKey Words: Spectral analysis, resolvent operator, eigenvalue, spectral singulari-ties, principal function.

ii

TESEKKÜR

Bu çal¬sma konusunu bana veren ve arast¬rmalar¬m boyunca en yak¬n ilgi ve öne-rileriyle beni yönlendiren dan¬sman hocam, Say¬n Yrd. Doç. Dr. Cafer COSKUN(Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)�a çal¬smalar¬m¬n her asamas¬nda bana rehberlikeden Say¬n Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)�a ve banaher zaman destek olan aileme en içten sayg¬ve tesekkürlerimi sunar¬m.

Murat OLGUNAnkara, Aral¬k 2010

iii

·IÇ·INDEK·ILER

ÖZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

TESEKKÜR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

S·IMGELER D·IZ·IN·I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

1. G·IR·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. SELF ADJOINT OLMAYAN MATR·IS KATSAYILI STURM-

LIOUVILLE OPERATÖRLER·IN·IN SPEKTRAL ANAL·IZ·I . . . . . 8

3.1 Baz¬Özel Çözümler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Resolvent Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4. ÖZDE¼GERLER VE SPEKTRAL TEK·ILL·IKLER . . . . . . . . . . . . 32

5. ESAS FONKS·IYONLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ÖZGEÇM·IS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iv

S·IMGELER D·IZ·IN·I

R Reel say¬lar kümesi

R+ fx 2 R : x � 0g

C Kompleks say¬lar kümesi

C� fz 2 C : � Im z > 0g

C� fz 2 C : � Im z � 0g

� (L) L operatörünün spektrumu

�d (L) L operatörünün diskret (nokta) spektrumu

�c (L) L operatörünün sürekli spektrumu

�ss (L) L operatörünün spektral tekilliklerinin kümesi

R� (L) L operatörünün resolvent operatörü

L� L operatörünün adjoint operatörü

� (M; s) M kümesinin s komsulu¼gununLebesgue ölçüsü

L2 (X) =

�f j f : X ! R;

RRjf (x)j2 dx <1

�L2(N;C2) =

8<:(xn) =0@ x1n

x2n

1A j1Pn=1

kxnk2 <1

9=;

v

1. G·IR·IS

Uygulamal¬ matemati¼gin ve kuantum mekani¼ginin ço¼gu probleminin çözümünde

diferensiyel denklemlerin ve diferensiyel operatörlerin spektral analizi kullan¬lmak-

tad¬r. Bu sebeple Sturm-Liouville, Dirac, Schrödinger ve Klein-Gordon diferensiyel

denklemleri yard¬m¬yla elde edilen diferensiyel operatörlerin spektral analizi mate-

matikçilerin arast¬rma konusu olmustur.

Banach uzaylar¬ve Hilbert uzaylar¬nda tan¬ml¬, lineer, s¬n¬rl¬, selfadjoint, normal

ve üniter operatörlerin spektral teorisi ayr¬nt¬l¬biçimde incelenmis olup, bu çal¬s-

malar fonksiyonel analiz kitaplar¬n¬n temel konusunu olusturmustur. Matematik

ve �zi¼gin baz¬problemlerin incelenmesinde normal, üniter ve selfadjoint olmayan

s¬n¬rs¬z operatörlerin spektral teorisi ile kars¬las¬l¬r. Bu operatörler genellikle dife-

rensiyel operatörlerdir.

L2 (R+) uzay¬nda; q kompleks de¼gerli bir fonksiyon, h 2 C ve � bir spektral para-

metre olmak üzere

�y00 + q (x) y = �2y 0 � x <1 (1.1)

y0 (0)� hy (0) = 0 (1.2)

Sturm-Liouville s¬n¬r de¼ger problemini göz önünde bulundural¬m. (1.1)-(1.2) s¬n¬r

de¼ger probleminin selfadjoint olmayan ve singüler oldu¼gu aç¬kt¬r. Bu problemin

spektral analizi ilk defa Naimark (1960) taraf¬ndan incelenmistir. Bu çal¬smada

spektrumunun sürekli ve diskre spektrumlardan olustu¼gu gösterilmistir. Daha sonra

sürekli spektrum üzerinde spektral tekilliklerin bulundu¼gu ispatlanm¬st¬r.Spektral

tekilliklerin resolvent operatörün çekirde¼ginin kutuplar¬oldu¼gu, sürekli spektrumda

bulundu¼gu, fakat operatörün özde¼geri olmad¬¼g¬da bu çal¬smada gösterilmistir. Ayr¬ca

en az bir " > 0 için

1

1Z0

exp ("x) jq (x)j dx <1 ; " > 0

kosulu gerçeklendi¼ginde (1.1)-(1.2) Sturm-Liouville probleminin sonlu say¬da sonlu

katl¬özde¼gerlerinin ve spektral tekilliklerinin oldu¼gu elde edilmistir.

Krall (1965) taraf¬ndan, K 2 L2(R+) kompleks de¼gerli bir fonksiyon ve

�; � 2 C olmak üzere, L2(R+) uzay¬nda (1.1) diferensiyel ifadesi ve

�y0(0)� �y(0) +Z 1

0

K(x)y(x)dx = 0

s¬n¬r sart¬yard¬m¬yla üretilen non-selfadjoint L1 operatörün spektral analizi ayr¬nt¬l¬

bir sekilde incelenmistir. Krall�¬n yapm¬s oldu¼gu bu çal¬smada L�1 adjoint opera-

törü bulunmus, L1 ve L�1 operatörlerinin özfonksiyonlar¬ cinsinden aç¬l¬mlar¬ elde

edilmistir.

p; q kompleks de¼gerli fonksiyonlar ve p fonksiyonu R+ üzerinde sürekli diferensiyel-

lenebilen bir fonksiyon olmak üzere, L2(R+) uzay¬nda

l1(y) = �y00 +�q(x)y + 2�p(x)� �2

�y ; x 2 R+ (1.2)

diferensiyel ifadesi ve

�y0(0)� �y(0) +Z 1

0

K(x)y(x)dx = 0

s¬n¬r kosulu yard¬m¬yla üretilen Kuadratik Schrödinger operatörler demetini L(�) ile

gösterelim. Burada, �; � 2 C, j�j+ j�j 6= 0 olmak üzere K 2 L2(R+) olsun.

Bairamov vd.(1997) ve Bairamov vd. (1999) analitik fonksiyonlar¬n birebirlik teo-

remlerini kullanarak, L(�) operatörünün özde¼gerlerinin ve spektral tekilliklerinin

sonlu say¬da ve katlar¬n¬n sonlu olmas¬ için yeter sartlar¬ vermislerdir. Yine bu

çal¬smada, spektral tekilliklere ve özde¼gerlere kars¬l¬k gelen esas fonksiyonlar elde

edilerek bu fonksiyonlar cinsinden bir spektral aç¬l¬m verilmistir.

2

Bairamov ve Çelebi (1999), (pn) ve (qn) kompleks terimli diziler olmak üzere L2(N;C2)

uzay¬nda,

y(2)n+1 � y(2)n + pny

(1)n = �y(1)n

�y(1)n + y(1)n�1 + qny

(2)n = �y(2)n

denklem sistemi ve y(1)0 = 0 s¬n¬r kosulu yard¬m¬yla üretilen Dirac operatörünün

supn2N

(jpnj+ jqnj) exp�"pn�<1 ; " > 0

kosulu alt¬nda, özde¼gerlerinin, spektral tekilliklerinin ve bunlar¬n katlar¬n¬n sonlu

oldu¼gunu göstererek bu operatör için bir spektral aç¬l¬m vermislerdir.

Bairamov vd.(2001), (an); (bn) kompleks terimli diziler ve a0 = 1 olmak üzere L2(N)

uzay¬nda,

an�1yn�1 � bnyn + anyn+1 = �yn

fark denklemi ve Xn2N

hnyn = 0

s¬n¬r sart¬yard¬m¬yla üretilen selfadjoint olmayan diskret operatörün özde¼gerlerinin,

spektral tekilliklerinin ve bunlar¬n katlar¬n¬n sonlu oldu¼gunu ispatlam¬slard¬r.

Krall vd.(2001), (bn) kompleks terimli bir dizi olmak üzere, L2(N) uzay¬nda,

(ly)n = yn�1 + yn+1 + bnyn

fark ifadesi ve y0 = 0 s¬n¬r kosulu taraf¬ndan üretilen fark operatörünün Weyl-Titch-

marsh fonksiyonunu incelemisler ve bu fonksiyon yard¬m¬yla, operatörün Marchen-

ko anlam¬nda genellestirilmis spektral fonksiyonu aras¬nda bir iliski elde etmislerdir.

Ayr¬ca Weyl-Titchmarsh fonksiyonunun Cauchy tipinde bir integral gösterimini bul-

muslar ve bu gösterimden yararlanarak bir spektral aç¬l¬m vermislerdir.

Selfadfjoint olmayan Sturm-Liouville denklemlerinin spektral tekillikleri de dikkate

al¬narak spektral aç¬l¬m¬ ilk defa Krall vd. (2001), spektral tekilliklerinin spek-

tral aç¬l¬mda do¼gurdu¼gu sonuçlar ise ayr¬nt¬l¬olarak Bairamov vd. (2001) taraf¬n-

dan verilmistir. Ayr¬ca bu çal¬smada spektral tekilliklerin do¼gurdu¼gu altuzaylara

3

tan¬ml¬ izdüsüm operatörlerinin s¬n¬rs¬z oldu¼gu gösterilerek, spektral tekilliklerin

yeni bir özelli¼gide elde edilmistir. Elde edilen bu sonuçlar üç boyutlu Schrödinger

denklemelerine Bairamov vd. (2001) taraf¬ndan genisletilmistir. Spektral tekilli¼gi

olan Dirac, Schrödinger ve Klein-Gordon denklemlerinin spektral teorisinin çesitli

problemleri Bairamov, Coskun, Naimark, Makarov gibi bir çok matematikçi taraf¬n-

dan çal¬s¬lm¬st¬r.

E n- boyutlu kompleks Euclid uzay¬, kykE ise bu uzaydaki y vektörünün normu

olsun. R+ := [0;1) olmak üzere R+ üzerinde tan¬ml¬E-de¼gerli Lebesgue ölçülebilir

ve1Z0

kf (x)k2E dx <1

kosulunu gerçekleyen tüm f fonksiyonlar¬n¬n uzay¬L2 (R+; E) ile gösterilsin. L2 (R+; E)

(f; g)L2 =

1Z0

(f (x) ; g (x))E dx

iç çarp¬m¬alt¬nda bir Hilbert uzay¬olup, iç çarp¬m¬n do¼gurdu¼gu norm ise

kfkL2 =

0@1Z0

kf (x)k2E dx

1A 12

ile verilir. Q, Q� 6= Q kosulunu gerçekleyen n � n tipinde, fonksiyon bilesenli bir

matris olmak üzere, L2 (R+; E) Hilbert uzay¬nda

` (Y ) = �Y 00 +Q (x)Y 0 � x <1

vektör de¼gerli diferensiyel ifadesi yard¬m¬yla tan¬mlanan operatör L olsun. Q self-

adjoint olmayan matris de¼gerli bir fonksiyon oldu¼gundan L operatörü de selfadjoint

de¼gildir. Bu operatöre matris katsay¬l¬Sturm-Liouville operatörü ad¬verilir.

Bugüne kadar incelenen diferensiyel operatör ve denklemlerin ço¼gu skaler katsay¬l¬

olup, matris katsay¬l¬operatör ve denklemlerin spektral teorisi hakk¬nda yeterince

çal¬sma bulunmamaktad¬r. L� = L durumunda L operatörünün spektral analizinin

çesitli problemleri Naimark, Agranovich, Marchenko, Makerov, Kiselov ve Gestezy

4

taraf¬ndan verilmistir. Fakat selfadjoint olmayan L operatörünün spektral teorisi

yeteri kadar incelenmemis olup bu konunun incelenmesi önem arz etmektedir.

Bu nedenlerden dolay¬bu doktora tezinde spektral tekilliklere sahip self adjoint ol-

mayan matris katsay¬l¬Sturm-Liouville operatörünün spektral analizinin baz¬prob-

lemlerini incelenecektir.

5

2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER

Bu bölümde, ileride ihtiyaç duyulacak baz¬temel tan¬m ve teoremler verilecektir.

Tan¬m 2.1 X 6= f0g kompleks normlu bir uzay T : D(T ) � X ! X lineer bir

operatör olsun. � 2 C olmak üzere R� (T ) = (T � �I)�1 operatörüne T nin resolvent

operatörü ya da k¬saca resolventi denir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.2 R� (T ) operatörü mevcut, s¬n¬rl¬ ve tan¬m cümlesi X uzay¬nda yo¼gun

ise, � 2 C say¬s¬na T operatörünün bütün regüler de¼geri denir. T operatörünün

regüler de¼gerlerinden olusan kümeye ise T nin resolvent kümesi ad¬verilir (Lusternik

1974).

Tan¬m 2.3 R� (T ) mevcut olmayacak sekildeki � kompleks say¬s¬na T operatörünün

özde¼geri ve bütün özde¼gerlerin kümesine de T operatörünün diskret spektrumu ya da

nokta spektrumu ad¬verilir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.4 R� (T ) mevcut, s¬n¬rs¬z ve R� (T ) operatörünün tan¬m kümesi X uza-

y¬nda yo¼gun olacak sekildeki � kompleks say¬lar¬n¬n olusturdu¼gu kümeye T

operatörünün sürekli spektrumu denir (Lusternik 1974).

Tan¬m 2.5 Bir T operatörünün resolventinin çekirde¼ginin kutup noktas¬olup, sürekli

spektrumda bulunan ve T operatörünün özde¼geri olmayan � kompleks say¬s¬na T

operatörünün spektral tekilli¼gi ad¬verilir (Naimark 1960).

Bir operatörün regüler de¼gerleri, özde¼gerleri ve spektral tekillikleri ve bunlar¬n özel-

liklerinin belirlenmesinde asa¼g¬daki teoremler kullan¬lacakt¬r.

Teorem 2.1 Özdes olarak s¬f¬r olmayan bir analitik fonksiyonun, analitiklik böl-

gesinin içindeki s¬f¬rlar¬(e¼ger varsa) ayr¬kt¬r (Dolzhenko 1979).

Teorem 2.2 Özdes olarak s¬f¬r olmayan bir analitik fonksiyonun, analitiklik böl-

gesinin içindeki s¬f¬rlar¬n¬n limit noktalar¬(e¼ger varsa) analitiklik bölgesinin s¬n¬r¬n-

dad¬r (Dolzhenko 1979).

6

Teorem 2.3 Özdes olarak s¬f¬r olmayan bir analitik fonksiyonun, sonsuz katl¬s¬f¬r-

lar¬(e¼ger varsa) analitiklik bölgesinin s¬n¬r¬ndad¬r (Dolzhenko 1979).

Teorem 2.4 (Privalov Teoremi): Aç¬k üst düzlemde özdes olarak s¬f¬r olmayan,

analitik bir fonksiyonun reel eksendeki s¬f¬rlar¬n¬n Lebesgue ölçüsü s¬f¬rd¬r (Dolzhenko

1979).

Teorem 2.5 (Pavlov Teoremi): f fonksiyonu C+ kümesinde her mertebeden türeve

sahip bir fonksiyon ve ��E =

�x 2 R : f (n) (x) = 0;8n 2 N

�= 0 olsun.

��f (n) (z)�� � An ; z 2 C+ ; n = 0; 1; 2; :::

esitsizli¼gi sa¼glanacak sekilde An say¬lar¬mevcut ve

T (s) = infn

Ansn

n!

olmak üzere Zlog T (s) d� (E; s) = �1

olsun. Ayr¬ca en az bir N pozitif reel say¬s¬için

�NZ�1

log jf (x)j1 + x2

dx <1 ,

1ZN

log jf (x)j1 + x2

dx <1

ise f fonksiyonu kapal¬üst düzlemde özdes olarak s¬f¬rd¬r (Pavlov 1975).

7

3. SELF ADJOINT OLMAYAN MATR·IS KATSAYILI STURM -

LIOUVILLE OPERATÖRLER·IN·IN SPEKTRAL ANAL·IZ·I

Bu bölümde self adjoint olmayan matris katsay¬l¬Sturm-Liouville denklem sistemi

tan¬mlanacak ve bu diferensiyel denklem sisteminin çözümleri, bu diferensiyel

denklem sistemi ile üretilen operatörün resolventi, sürekli spektrumu, özde¼gerleri ve

spektral tekillikleri incelenecektir.

� spektral parametre ve 0 � x < 1 aral¬¼g¬nda tan¬ml¬ve sürekli Q self-adjoint

olmayan matris de¼gerli fonksiyonu

Q (x) = [qjk (x)]nj;k=1

olmak üzere

y00j + �2yj =

nXk=1

qjk (x) yk (j = 1; 2; :::; n) ; (3.1)

diferensiyel denklem sistemini göz önüne alal¬m. Burada Q; potansiyel matris ya da

k¬saca potansiyel olarak adland¬r¬l¬r. (3.1) denklem sisteminin çözümü

�Y 00 +Q (x)Y = �2Y (3.2)

diferensiyel denklemini sa¼glayan n � n tipinde karesel bir Y = Y (x; �) matrisi ile

gösterilebilir. (3.2) ifadesinin her matris çözümünün sütunlar¬(3.1) denklem siste-

minin çözümleridir. Bu yüzden kolayl¬k aç¬s¬ndan (3.1) denklem sistemi yerine (3.2)

diferensiyel ifadesi ile çal¬s¬lacak ve k:k ; E Euclid uzay¬ndaki normu göstermek üzere1Z0

x kQ (x)k dx <1 (3.3)

kosulunun gerçeklendi¼gi kabul edilecektir.

8

3.1 Baz¬Özel Çözümler

Bu k¬s¬mda (3.2) denkleminin verilen baslang¬ç kosullar¬n¬sa¼glayan baz¬özel çözüm-

leri elde edilecektir.

Teorem 3.1 (3.2) denkleminin S (0; �) = 0 ve S 0 (0; �) = I baslang¬ç de¼ger kosu-

lunu sa¼glayan çözümü

S (x; �) =sin�x

�I +

xZ0

Q (t)S (t; �)sin� (x� t)

�dt (3.4)

integral denkleminin de bir çözümü olup bunun terside do¼grudur.

·Ispat. S (0; �) = 0 ve S 0 (0; �) = I baslang¬ç de¼ger kosullar¬n¬n (3.4) denklemini

sa¼glad¬¼g¬aç¬kt¬r. (3.4) integral denklemi sa¼glanmas¬durumunda (3.2) denklemi de

sa¼glan¬r. Gerçekten

S 0 (x; �) = cos�xI +

xZ0

Q (t)S (t; �) cos� (x� t) dt

S 00 (x; �) = �� sin�xI �xZ0

Q (t)S (t; �)� sin� (x� t) dt+Q (x)S (x; �)

esitlikleri (3.2) denkleminde dikkate al¬n¬rsa

�� sin�xI �xZ0

Q (t)S (t; �)� sin� (x� t) dt+ �2 sin�x�

I

+�2xZ0

Q (t)S (t; �)sin� (x� t)

�dt+Q (x)S (x; �)

= Q (x)S (x; �)

elde edilir.

Kars¬t olarak (3.2) denkleminin S (0; �) = 0 ve S 0 (0; �) = I baslang¬ç de¼ger

kosullar¬n¬sa¼glayan çözümü (3.4) integral denklemini de gerçekledi¼gini göstermek

yeterli olacakt¬r. (3.2) denklemine ait homojen denklem

�Y 00 + �2Y = 09

olmak üzere bu denklemin temel çözümleri cos�xI ve sin�xI oldu¼gundan çözüm

eS (x; �) = c1 cos�xI + c2 sin�xIbiçimindedir. O halde( 3.2) denkleminin genel çözümü

S (x; �) = c1 (x) cos�xI + c2 (x) sin�xI (3.5)

biçiminde olmal¬d¬r. (3.5) denkleminin x de¼giskenine göre türevi al¬n¬rsa

S 0 (x; �) = c01 (x) cos�xI + c02 (x) sin�xI � �c1 (x) sin�xI + �c2 (x) cos�xI

elde edilir.

c01 (x) cos�xI + c02 (x) sin�xI = 0 (3.6)

al¬n¬rsa

S 0 (x; �) = ��c1 (x) sin�xI + �c2 (x) cos�xI

bulunur. Elde edilen son denklemin tekrar x de¼giskenine göre türevi al¬n¬rsa

S 00 (x; �) = ��c01 (x) sin�xI + �c02 (x) cos�xI � �2c1 (x) cos�xI � �2c2 (x) sin�xI

elde edilir. Bulunan son esitlik (3.2) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa

��c01 (x) sin�xI + �c02 (x) cos�xI � �2c1 (x) cos�xI � �2c2 (x) sin�xI

+�2c1 (x) cos�xI + �2c2 (x) sin�xI = Q (x)S (x; �)

yani

��c01 (x) sin�xI + �c02 (x) cos�xI = Q (x)S (x; �) (3.7)

bulunur. (3.6) denklemi (� sin�x) ile (3.7) ise (� cos�x) ile çarp¬l¬p taraf tarafa

toplan¬rsa

�c01 (x) sin2 �xI + �c01 (x) cos

2 �xI = �Q (x)S (x; �) sin�x

olup

c01 (x) I =�Q (x)S (x; �) sin�x

�

bulunur. �1 = c1 (0) denirse son esitliktenxZ0

c01 (x) Idx = [c1 (x)� �1] I

= �xZ0

Q (t)S (t; �) sin�t

�dt

10

olup

c1 (x) I = �1I �xZ0

Q (t)S (t; �) sin�t

�dt (3.8)

elde edilir. Benzer islemlerle (3.6) denklemi (� sin�x) ile (3.7) ise (cos�x) ile çarp¬l¬p

taraf tarafa toplan¬r ve gerekli düzenlemeler yap¬l¬rsa

c2 (x) I = �2I +

xZ0

Q (t)S (t; �) cos�t

�dt (3.9)

bulunur. (3.8) ve (3.9) denklemleri (3.5) de yerine yaz¬l¬rsa

S (x; �) = �1 cos�xI + �2 sin�xI � cos�xxZ0

Q (t)S (t; �) sin�t

�dt

+sin�x

xZ0

Q (t)S (t; �) cos�t

�dt

= �1 cos�xI + �2 sin�xI +

xZ0

Q (t)S (t; �) sin� (x� t)�

dt

bulunur. Elde edilen son esitlikte S (0; �) = 0 ve S 0 (0; �) = 1 baslang¬ç de¼ger

kosullar¬n¬dikkate al¬n¬rsa

S (0; �) = �1I = 0 =) �1 = 0

bulunur. O halde

S (x; �) = �2 sin�xI +

xZ0

Q (t)S (t; �) sin� (x� t)�

dt

elde edilir. Bu denklemin x de¼giskenine göre türevi al¬n¬rsa

S 0 (x; �) = �2� cos�xI +

xZ0

Q (t)S (t; �) cos� (x� t) dt

bulunur. S 0 (0; �) = I oldu¼gu kullan¬l¬rsa

�2�I = I =) �2 =1

�

bulunur. Bu durumda

S (X;�) =sin�x

�I +

xZ0

Q (t)S (t; �)sin� (x� t)

�dt

11

çözümü elde edilir.

(3:2) denkleminin (3:3) kosulu alt¬nda � 2 C+ olmak üzere

limx!1

Y (x; �) e�i�x = I (3.10)

esitli¼gini sa¼glayan F s¬n¬rl¬matris çözümünün

F (x; �) = ei�xI +

1Zx

Q (t)F (t; �)sin� (x� t)

�dt (3.11)

oldu¼gu gösterelim. (3.2) denklemine ait homojen denklem

�Y 00 + �2Y = 0

oldu¼gundan bu denklemin genel çözümü

eY (x; �) = c1ei�xI + c2e�i�xIseklindedir. O halde (3.2) denkleminin genel çözümü

Y (x; �) = c1 (x) ei�xI + c2 (x) e

�i�xI (3.12)

biçiminde olmal¬d¬r. Simdi bu çözümü bulal¬m. (3.12) denkleminin x de¼giskenine

göre türevi al¬n¬rsa

Y 0 (x; �) = c01 (x) ei�xI + c02 (x) e

�i�xI + i�c1 (x) ei�xI � i�c2 (x) e�i�xI

elde edilir.

c01 (x) ei�xI + c02 (x) e

�i�xI = 0

denirse

Y 0 (x; �) = c01 (x) ei�xI + c02 (x) e

�i�xI

bulunur. Elde edilen son denklemin tekrar x de¼giskenine göre türevi al¬n¬rsa

Y 00 (x; �) = i�c01 (x) ei�xI � i�c02 (x) e�i�xI � �2c1 (x) ei�xI � �2c2 (x) e�i�xI

elde edilir. Bulunan son esitlik (3.2) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa

i�c01 (x) ei�xI � i�c02 (x) e�i�xI � �2c1 (x) ei�xI � �2c2 (x) e�i�xI

+�2c1 (x) ei�xI + �2c2 (x) e

�i�xI

= i�c01 (x) ei�xI � i�c02 (x) e�i�xI = Q (x)Y (x; �)

12

bulunur. Ayr¬ca

c01 (x) ei�xI + c02 (x) e

�i�xI = 0

oldu¼gu göz önüne al¬n¬rsa,

c01 (x) I =Q(x)Y (x;�)

2i�e�i�x

c02 (x) I = �Q(x)Y (x;�)

2i�ei�x

denklemleri elde edilir. c1 ve c2 fonksiyonlar¬n¬bulmak için [x;1) aral¬¼g¬nda integral

al¬n¬r ve limx!1

c1 (x) = �1, limx!1

c2 (x) = �2 oldu¼gu kabul edilirse

c1 (x) I = �1I �1Rx

Q(t)Y (t;�)2i�

e�i�tdt

c2 (x) I = �2I +1Rx

Q(t)Y (t;�)2i�

ei�tdt

bulunur. Elde edilen c1 ve c2 fonksiyonlar¬(3.12) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa

Y (x; �) = �1ei�xI + �2e

�i�xI +

1Zx

Q (t)Y (t; �)

2i�ei�(t�x)dt

�1Zx

Q (t)Y (t; �)

2i�e�i�(t�x)dt

= �1ei�xI + �2e

�i�xI +

1Zx

Q (t)Y (t; �)ei�(t�x) � e�i�(t�x)

2i�dt

= �1ei�xI + �2e

�i�xI +

1Zx

Q (t)Y (t; �)sin� (t� x)

�dt

elde edilir. Bulunan son esitli¼gin her iki taraf¬e�i�x ile çarp¬l¬r ve (3.10) kosulu göz

önüne al¬n¬rsa �1 = 1 ve �2 = 0 elde edilir. Böylece

F (x; �) = ei�xI +

1Zx

Q (t)F (t; �)sin� (t� x)

�dt Im� � 0

bulunur.

Teorem 3.2 � (x) =1Rx

kQ (s)k ds; �1 (x) =1Rx

s kQ (s)k ds olsun. Bu durumda

(3.2) denkleminin

F (x; �) = ei�xI +

1Zx

K (x; t) ei�tdt Im� � 0

13

esitli¼gini sa¼glayan F (x; �) çözümü vard¬r. Ayr¬ca K matris de¼gerli fonksiyonu

K (x; t) =1

2

1Zx+t2

Q (s) ds+1

2

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

Q (s)K (s; a) dads

+1

2

1Zx+t2

t+s�xZs

Q (s)K (s; a) dads (0 < x � t)

integral denklemini sa¼glar ve

kK (x; t)k � 1

2e�1(x)�

�x+ t

2

�(3.13)

esitsizli¼gini gerçekler.

·Ispat. E¼ger

F (s; �) = ei�xI +

1Zs

K (s; u) ei�udu (3.14)

denirse ve (3.11) yard¬m¬yla

F (x; �) = ei�xI +

1Zx

sin� (s� x)�

Q (s)

8<:ei�sI +1Zs

K (s; u) ei�udu

9=; dsyani

1Zx

K (x; t) ei�tdt =

1Zx

sin� (s� x)�

Q (s) ei�sds (3.15)

+

1Zx

Q (s) ds

1Zs

sin� (s� x)�

K (s; u) ei�udu

= J1 + J2

yaz¬labilir.

sin� (s� x)�

ei�s =ei�(s�x) � e�i�(s�x)

2i�ei�s

=ei�(2s�x) � ei�x

2i�

=1

2

2s�xZx

ei�tdt

14

ve

sin� (s� x)�

ei�u =ei�(s�x) � e�i�(s�x)

2i�ei�u

=ei�(s�x+u) � ei�(x�s+u)

2i�

=1

2

s�x+uZx�s+u

ei�tdt

esitlikleri kullan¬larak

J1 =1

2

1Zx

2s�xZx

Q (s) ei�tdtds

J2 =1

2

1Zx

1Zs

s�x+uZx�s+u

Q (s)K (s; u) ei�tdtduds

elde edilir. Bu integrallerin integrasyon s¬ras¬de¼gistirilirse

J1 =1

2

1Zx

1Zx+t2

Q (s) ei�tdsdt

ve

J2 =1

2

1Zx

2s�xZx

t+s�xZs

Q (s)K (s; u) ei�tdudtds

+1

2

1Zx

1Z2s�x

t+s�xZt+x�s

Q (s)K (s; u) ei�tdudtds

=1

2

1Zx

1Zx+t2

t+s�xZs

Q (s)K (s; u) ei�tdudsdt

+1

2

1Zx

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

Q (s)K (s; u) ei�tdudsdt

15

oldu¼gu görülür. J1 ve J2 (3.15) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa

1Zx

K (x; t) ei�tdt =1

2

1Zx

0B@ 1Zx+t2

Q (s) ds

1CA ei�tdt

+1

2

1Zx

0B@ 1Zx+t2

t+s�xZs

Q (s)K (s; u) duds

1CA ei�tdt

+1

2

1Zx

0B@x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

Q (s)K (s; u) duds

1CA ei�tdtbulunur. Elde edilen bu son esitlik için Fourier dönüsümü uygulan¬rsa

1Rx

24K (x; t)� 12

1Rx+t2

Q (s) ds� 12

x+t2Rx

t+s�xRt+x�s

Q (s)K (s; u) duds

�12

1Rx+t2

t+s�xRs

Q (s)K (s; u) duds

35 ei�tdt = 0

K (x; t) =1

2

1Zx+t2

Q (s) ds+1

2

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

Q (s)K (s; u) duds (3.16)

+1

2

1Zx+t2

t+s�xZs

Q (s)K (s; u) duds

elde edilir. Simdi (3.16) denkleminin çözümlenebilir oldu¼gunu göstermek için ard¬s¬k

yaklas¬mlar yöntemini kullanal¬m. x � 0 için �1 azalan oldu¼gundan

�1 (x) � �1 (o) =1Z0

t kQ (t)k dt <1

yaz¬labilir. E¼ger

K0 (x; t) =1

2

1Zx+t2

Q (s) ds

Km (x; t) =1

2

1Zx+t2

t+s�xZs

Q (s)Km�1 (s; u) duds+1

2

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

Q (s)Km�1 (s; u) duds

16

Z (x; t) :=

1Xm=0

Km (x; t)

denirse Z ile tan¬mlanan seri mutlak ve düzgün yak¬nsakt¬r. Gerçekten,

kK0 (x; t)k �1

2

1Zx+t2

kQ (s)k ds = 1

2�

�x+ t

2

�;

kK1 (x; t)k � 1

4

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

kQ (s)k��s+ u

2

�duds

+1

4

1Zx+t2

t+s�xZs

kQ (s)k��s+ u

2

�duds

= A1 + A2

olsun. Bu durumda 0 � x � t <1 için

A1 =1

4

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

kQ (s)k��s+ u

2

�duds

� 1

4

x+t2Zx

�

�s+ t+ x� s

2

� t+s�xZt+x�s

kQ (s)k duds

=1

4�

�t+ x

2

� x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

kQ (s)k duds

=1

4�

�t+ x

2

� x+t2Zx

(2s� 2x) kQ (s)k ds

=1

2�

�t+ x

2

� x+t2Zx

s kQ (s)k ds

17

ve

A2 =1

4

1Zx+t2

t+s�xZs

kQ (s)k��s+ u

2

�duds

� 1

4

1Zx+t2

�

�s+ s

2

� t+s�xZs

kQ (s)k duds

=1

4

1Zx+t2

� (s) kQ (s)k (t� x) ds

� 1

4�

�x+ t

2

� 1Zx+t2

�x+ t

2� x

�kQ (s)k ds

� 1

2�

�x+ t

2

� 1Zx+t2

(s� x) kQ (s)k ds

� 1

2�

�x+ t

2

� 1Zx+t2

s kQ (s)k ds

elde edilir. Bu durumda

kK1 (x; t)k � A1 + A2

� 1

2�

�t+ x

2

� x+t2Zx

s kQ (s)k ds+ 12�

�x+ t

2

� 1Zx+t2

s kQ (s)k ds

� 1

2�

�t+ x

2

� 1Zx

s kQ (s)k ds

=1

2�

�t+ x

2

��1 (x)

1!

bulunur. E¼ger m � 1 için

kKm (x; t)k �1

2�

�t+ x

2

��m1 (x)

(m)!(3.17)

oldu¼gu kabul edilirse

�1 (x) =

1Zx

s kQ (s)k ds =) d�1 (x) = �x kQ (x)k dx

18

olaca¼g¬ndan

Km+1 (x; t) =1

2

1Zx+t2

t+s�xZs

Q (s)Km (s; u) duds+1

2

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

Q (s)Km (s; u) duds

kKm+1 (x; t)k � 1

2

1Zx+t2

t+s�xZs

kQ (s)Km (s; u)k duds

+1

2

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

kQ (s)Km (s; u)k duds

� 1

2

1Zx+t2

t+s�xZs

kQ (s)k 12�

�s+ u

2

��m1 (s)

(m)!duds

+1

2

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

kQ (s)k 12�

�s+ u

2

��m1 (s)

(m)!duds

olup sa¼gdaki terimler s¬ras¬yla N1 ve N2 ile gösterilirse

N1 � 1

4

1Zx+t2

t+s�xZs

kQ (s)k��s+ s

2

��m1 (s)

(m)!duds

=1

4

1Zx+t2

kQ (s)k� (s) �m1 (s)

(m)!(t� x) ds

� 1

2�

�t+ x

2

� 1Zx+t2

kQ (s)k�t+ x

2� x

��m1 (s)

(m)!ds

� 1

2�

�t+ x

2

� 1Zx+t2

kQ (s)k (s� x) �m1 (s)

(m)!ds

� 1

2�

�t+ x

2

� 1Zx+t2

kQ (s)k s�m1 (s)

(m)!ds

19

ve

N2 � 1

4

x+t2Zx

t+s�xZt+x�s

kQ (s)k��s+ t+ x� s

2

��m1 (s)

(m)!duds

+1

4

x+t2Zx

kQ (s)k��t+ x

2

�(2s� 2x) �

m1 (s)

(m)!ds

� 1

2�

�t+ x

2

� x+t2Zx

kQ (s)k (s� x) �m1 (s)

(m)!ds

� 1

2�

�t+ x

2

� x+t2Zx

kQ (s)k s�m1 (s)

(m)!ds

bulunur. O halde

kKm+1 (x; t)k � 1

2m!�

�t+ x

2

� 1Zx

kQ (s)k�m1 (s) sds

� 1

2m!�

�t+ x

2

�24 lima�!1

aZx

�m1 (s) s kQ (s)k ds

35=

1

2m!�

�t+ x

2

��lima�!1

���

m+11 (s)

m+ 1

�ax

�=

1

2�

�t+ x

2

��m+11 (x)

(m+ 1)!

bulunur. O halde tümevar¬m yöntemi gere¼gince her m 2 N için (3.17) esitsizli¼gi

gerçeklenir. Ayr¬ca � azalan oldu¼gundan

kKm (x; t)k �1

2� (0)

�m1 (0)

m!(3.18)

gerçeklenir. Ayr¬ca1Xm=0

�m1 (0)

m!= e�1(0)

oldu¼gundan ve (3.18) gerçeklendi¼ginden kars¬last¬rma testi gere¼gince

1Xm=0

Km (x; t)

serisi mutlak yak¬nsakt¬r. Ayr¬ca (3.18) esitsizli¼gi her x � 0 için gerçeklendi¼ginden

ayn¬seri Weierstrass M- kriteri gere¼gince düzgün yak¬nsakt¬r.

20

Di¼ger yandan 1Xm=0

Km (x; t)

�1Xm=0

kKm (x; t)k �1Xm=0

1

2�

�t+ x

2

��m1 (x)

m!

=1

2�

�t+ x

2

� 1Xm=0

�m1 (x)

m!� 1

2�

�t+ x

2

�e�1(x)

� 1

2� (0) e�1(0)

bulunur.

K (x; t) :=1Xm=0

Km (x; t)

olmak üzere

kK (x; t)k � 1

2�

�t+ x

2

�e�1(x) � 1

2�

�t+ x

2

�e�1(0)

= C�

�t+ x

2

�= C

1Zx+t2

kQ (s)k ds

gerçeklenir.

Teorem 3.3 K fonksiyonunun x ve t de¼giskenine göre k¬smi türevleri mevcut olup

C > 0 olmak üzere

kKx (x; t)k �1

4

Q�x+ t2� + c��t+ x2

�ve

kKt (x; t)k �1

4

Q�x+ t2� + c��t+ x2

�esitsizlikleri sa¼glan¬r.

·Ispat. E¼ger

A (s; x; t) :=

t+s�xZt+x�s

K (s; u) du

B (s; x; t) :=

t+s�xZs

K (s; u) du

21

denirse (3.16) yard¬m¬yla

K (x; t) =1

2

1Zx+t2

Q (s) ds+1

2

x+t2Zx

Q (s)A (s; x; t) ds

+1

2

1Zx+t2

Q (s)B (s; x; t) ds (0 < x � t)

olur. Buradan

Kx (x; t) = �14Q

�x+ t

2

�+1

4Q

�x+ t

2

�A

�x+ t

2; x; t

�(3.19)

�12Q (x)A (x; x; t) +

1

2

x+t2Zx

Q (s)Ax (s; x; t) ds

�14Q

�x+ t

2

�B

�x+ t

2; x; t

�+1

2

1Zx+t2

Q (s)Bx (s; x; t) ds

bulunur.

A

�x+ t

2; x; t

�=

3t�x2Zx+t2

K

�x+ t

2; u

�du

B

�x+ t

2; x; t

�=

3t�x2Zx+t2

K

�x+ t

2; u

�du

ve

Ax (s; x; t) = �K (s; t+ s� x)�K (s; t+ x� s)

Bx (s; x; t) = �K (s; t+ s� x)

A (x; x; t) = 0

22

olaca¼g¬ndan (3.19) dikkate al¬n¬rsa

Kx (x; t) = �14Q

�x+ t

2

�+1

4Q

�x+ t

2

� 3t�x2Zx+t2

K

�x+ t

2; u

�du

�12

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ s� x) ds� 12

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ x� s) ds

�14Q

�x+ t

2

� 3t�x2Zx+t2

K

�x+ t

2; u

�du� 1

2

1Zx+t2

Q (s)K (s; t+ s� x) ds

= �14Q

�x+ t

2

�� 12

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ x� s) ds

�12

1Zx

Q (s)K (s; t+ s� x) ds

elde edilir. Benzer olarak

Kt (x; t) = �14Q

�x+ t

2

�+1

4Q

�x+ t

2

� 3t�x2Zx+t2

K

�x+ t

2; u

�du

+1

2

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ s� x) ds� 12

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ x� s) ds

�14Q

�x+ t

2

� 3t�x2Zx+t2

K

�x+ t

2; u

�du+

1

2

1Zx+t2

Q (s)K (s; t+ s� x) ds

= �14Q

�x+ t

2

�+1

2

1Zx

Q (s)K (s; t+ s� x) ds

�12

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ x� s) ds

23

olur. Ayr¬ca (3.13) esitsizli¼gi dikkate al¬n¬rsa

kKx (x; t)k =

�1

4Q

�x+ t

2

�� 12

x+t2Zx

Q (s)K (s; t+ x� s) ds

�12

1Zx

Q (s)K (s; t+ s� x) ds

� 1

4

Q�x+ t2� + 12

x+t2Zx

kQ (s)K (s; t+ x� s)k ds

+1

2

1Zx

kQ (s)K (s; t+ s� x)k ds

� 1

4

Q�x+ t2� + 12

x+t2Zx

kQ (s)k e�1(x)��x+ t

2

�ds

+1

4e�1(x)

1Zx

kQ (s)k��2s+ t� x

2

�ds

� 1

4

Q�x+ t2� + C12

x+t2Zx

kQ (s)k��x+ t

2

�ds

+C12

1Zx

kQ (s)k��2s+ t� x

2

�ds

� 1

4

Q�x+ t2� + C12 �

�x+ t

2

� 1Z0

kQ (s)k ds

+C12�

�x+ t

2

� 1Z0

kQ (s)k ds

=1

4

Q�x+ t2� + C��x+ t2

�

bulunur. Benzer islemlerle

kKt (x; t)k �1

4

Q�x+ t2� + C��x+ t2

� 1Z0

kQ (s)k ds

24

elde edilir. Ayr¬ca

1Zx

kK (x; t)k dt � c

1Zx

�

�x+ t

2

�dt � C

1Zx

�

�t

2

�dt (3.20)

= 2C

1Z0

� (s) ds <1

ve1Zx

kKx (x; t)k dt � 1

4

1Zx

Q�x+ t2�d

t+ c1Zx

�

�x+ t

2

�dt

� 1

2

1Z0

kQ (u)k du+ 2c1Z0

� (u) du <1

oldu¼gundan x � 0 için

K (x; :) 2 L1 (x;1) ; ,1Zx

kK (x; t)k <1

Kx (x; :) 2 L1 (x;1) ; ,1Zx

kKx (x; t)k <1

yaz¬labilir.

C+ üzerinde��ei�t�� ; j�j ya göre azalan oldu¼gundan K (x; t) ei�t � kK (x; t)k

gerçeklenir. Buna göre (3.20) gere¼gince������1Zx

K (x; t) ei�tdt

������ �1Zx

kK (x; t)k dt <1

olur. Ayr¬ca1Rx

K (x; t) ei�tdt fonksiyonu � ya göre C+ üzerinde analitiktir.

@

@�

0@1Zx

K (x; t) ei�tdt

1A =

1Zx

itK (x; t) ei�tdt

oldu¼gunu gösterelim. Im� > 0 için te�t Im� < 1 oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa������1Zx

itK (x; t) ei�tdt

������ �1Zx

t kK (x; t)k e�t Im�dt �1Zx

kK (x; t)k dt <1

25

elde edilir. Böylece F çözümünü � ya göre C+ üzerinde analitik bir fonksiyondur.

Hatta F çözümü R üzerinde � ya göre süreklidir. ei�t C üzerinde � ya göre sürekli

oldu¼gundan R üzerinde de süreklidir. O halde F nin süreklili¼gini göstermek için1Zx

K (x; t) ei�tdt

integralinin süreklili¼gini göstermek yeterlidir. Buna göre

1Zx

K (x; t) ei�tdt

integrali C+ üzerinde düzgün yak¬nsak oldu¼gundan �0 2 R key� olmak üzere

lim�!�0

1Zx

K (x; t) ei�tdt =

1Zx

K (x; t) lim�!�0

�ei�t�dt

=

1Zx

K (x; t) ei�0tdt

bulunur. O halde istenilen elde edilmis olur.

Teorem 3.4 � 2 C+ ve x!1 için asa¼g¬daki asimptotik esitlikler gerçeklenir.

i) F (x; �) = ei�x [I + o (1)] ; (3.21)

ii) Fx (x; �) = ei�x [I + o (1)] : (3.22)

·Ispat. i) F (x; �) = ei�xI +1Rx

K (x; t) ei�tdt oldu¼gundan

F (x; �) e�i�x � I = +1Zx

K (x; t) ei�(t�x)dt

yaz¬labilir. � 2 C+ oldu¼gundan��ei�(t�x)�� � 1 ve dolay¬s¬yla������

1Zx

K (x; t) ei�(t�x)dt

������ �1Zx

kK (x; t)k ei�(t�x)d t

�1Zx

kK (x; t) dk t

26

esitsizli¼gi elde edilir.1R0

kK (x; t)k dt <1 oldu¼gundan

limx!1

1Zx

kK (x; t)k dt = 0 =)1Zx

kK (x; t) dk t = o (1) ; (x!1)

yani x!1 için1Zx

kK (x; t)k dt = o (1)

olur. O halde � 2 C+ ve x!1 için1Zx

K (x; t) ei�(t�x)dt = o (1)

bulunur. Sonuç olarak � 2 C+ ve x!1 için

F (x; �) = ei�x [I + o (1)]

gerçeklenir.

ii)

Fx (x; �) = i�ei�xI �K (x; x) ei�x +

1Zx

Kx (x; t) ei�tdt

oldu¼gundan

Fx (x; �) e�i�x � i�I = �K (x; x) ei�x +

1Zx

Kx (x; t) ei�(t�x)dt

bulunur. Buna göre (3.13) yard¬m¬yla x!1 için

kK (x; x)k � C� (x) = C1Zx

kQ (s)k ds = o (1)

ve Kx (x; :) 2 L1 (x;1) oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa � 2 C+ ve x!1 için

Fx (x; �) = ei�x [I + o (1)]

elde edilir.

Teorem 3.5 � 2 C+ ve j�j ! 1 için asa¼g¬daki asimptotik esitlikler gerçeklenir.

i) F (x; �) = ei�x [I + o (1)] ; (3.23)

ii) Fx (x; �) = ei�x [I +O (1)] : (3.24)

27

3.2 Resolvent Operatörü

Bu bölümde Q selfadjoint olmayan bir matris de¼gerli fonksiyon olmak üzere Hilbert

uzay¬nda

` (Y ) := �Y 00 +Q (x)Y 0 � x <1

vektör de¼gerli diferensiyel ifadesinin ve Y (0) = 0 s¬n¬r kosulu yard¬m¬yla tan¬mlanan

L operatörü ve onun resolvent operatörü olan R� tan¬t¬lacakt¬r.

Y ve Z (3.2) denkleminin herhangi iki çözümü olmak üzere

�Y 00 +Q (x)Y = �2Y (3.25)

ve

��ZT�00+ ZTQ (x) = �2ZT (3.26)

denklemleri gerçeklenir. G; (3:25) denkleminin bir çözümü ve UT (3:26) nin çözümü

olmak üzere

W�UT ; G

�= UTG0 �

�UT�0G

ifadesinin x de¼giskeninden ba¼g¬ms¬z oldu¼gu gösterilebilir. Bunun için

�G00 +Q (x)G = �2G

ve

��UT�00+ UTQ (x) = �2UT

esitlikleri sa¼glanaca¼g¬ndan ilk denklemi soldan UT ile, ikinci denklemi ise G ile sa¼g-

dan çarp¬p taraf tarafa toplan¬rsa

UTG00 ��UT�00G = 0

bulunur. hUTG0 �

�UT�0Gi0= UTG00 �

�UT�00G = 0

oldu¼gundan C herhangibir sabit matris olmak üzere

UTG0 ��UT�0G = C

28

yani

W�UT ; G

�= UTG0 �

�UT�0G = C

elde edilir.

g 2 L2 (R+; E) ; � = �2 ve LY � �Y = g

olmak üzere

�Y 00 +Q (x)Y � �Y = g (3.27)

denklemini göz önüne alal¬m. (3.27) denkleminin, homojen k¬sm¬n¬n iki çözümü

G (x; �) ve F (x; �) olmak üzere genel çözümü

Y (x; �) = G (x; �) c1 (x) + F (x; �) c2 (x) (3.28)

seklindedir. Bu çözümün s¬ras¬yla x de¼giskenine göre türevi al¬n¬rsa

Y 0 = G0 (x; �) c1 (x) + F0 (x; �) c2 (x) +G (x; �) c

01 (x) + F (x; �) c

02 (x)

bulunur. Buradan

G (x; �) c01 (x) + F (x; �) c02 (x) = 0 (3.29)

seçilir ve tekrar x de¼giskenine göre türev al¬n¬rsa

Y 00 = G00 (x; �) c1 (x) + F00 (x; �) c2 (x) +G

0 (x; �) c01 (x) + F0 (x; �) c02 (x)

elde edilir. Bu son esitlik (3.27) denkleminde yerine yaz¬l¬rsa

�G00 (x; �) c1 (x)� F 00 (x; �) c2 (x)�G0 (x; �) c01 (x)

�F 0 (x; �) c02 (x) +Q (x)G (x; �) c1 (x) +Q (x)F (x; �) c2 (x)

= �2G (x; �) c1 (x) + �2F (x; �) c2 (x) + g (x)

bulunur. Gerekli sadelestirmeler yap¬l¬rsa

G0 (x; �) c01 (x) + F0 (x; �) c02 (x) = �g (x) (3.30)

elde edilir. Ayr¬ca (3.29) denklemini ��GT (x; �)

�0ile (3.30) iseGT (x; �) ile çarp¬l¬p

taraf tarafa toplan¬rsa�GT (x; �)G0 (x; �)�

�GT (x; �)

�0G (x; �)

�c01 (x)

+�GT (x; �)F 0 (x; �)�

�GT (x; �)

�0F (x; �)

�c02 (x)

= �GT (x; �) g (x)29

olup

G (0; �) = 0 ; G0 (0; �) = I (3.31)

kosullar¬dikkate al¬n¬rsa

�F (0; �) c02 (x) = �GT (x; �) g (x)

c02 (x) = F�1 (0; �)GT (x; �) g (x)

elde edilir. c2 fonksiyonunu elde etmek için c2 (0) = �2 olmak üzere

c2 (x) = �2 +

xZ0

F�1 (�)GT (t; �) g (t) dt

bulunur. Simdi de (3.29) denklemini F T (x; �) ile (3.30) ise�F T (x; �)

�0ile çarp¬l¬p

taraf tarafa toplan¬rsa�F T (x; �)G0 (x; �)�

�F T (x; �)

�0G (x; �)

�c01 (x)

+�F T (x; �)F 0 (x; �)�

�F T (x; �)

�0F (x; �)

�c02 (x)

= �F T (x; �) g (x)

bulunur. W�F T ; F

�= (F TF 0 �

�F T�0F olmak üzere (3.10) kosulu gere¼gince

W�F T ; F

�= 0 olup (3.31) kosulu da dikkate al¬n¬rsa

F T (0; �) c01 (x) = �F T (x; �) g (x)

c01 (x) = ��F T (0; �)

��1F T (x; �) g (x)

elde edilir. limx!1

c1 (x) = �1 olmak üzere son esitli¼gin [x;1) aral¬¼g¬nda integrali

al¬n¬rsa

c1 (x) = �1 +

1Zx

�F T (0; �)

��1F T (t; �) g (t) dt

olur. Elde edilen c1 ve c2 fonksiyonlar¬(3.28) esitli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa

Y (x; �) = G (x; �) �1 +

1Zx

G (x; �)�F T (0; �)

��1F T (t; �) g (t) dt

+F (x; �) �2 +

xZ0

F (x; �)F�1 (0; �)GT (t; �) g (t) dt

30

olup Y (0) = 0; ve G (0; �) = 0 oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa 0 = F (0; �) �2 elde edilir.

detF (0; �) 6= 0 olaca¼g¬ndan �2 = 0 bulunur. Bu yerine yaz¬l¬rsa

Y (x; �) = G (x; �) �1 +

1Zx

G (x; �)�F T (0; �)

��1F T (t; �) g (t) dt

+

xZ0

F (x; �)F�1 (0; �)GT (t; �) g (t) dt

sa¼glan¬r. G (x; �) =2 L2 oldu¼gundan Y çözümünün L2 den olmas¬ için �1 = 0 ol-

mal¬d¬r. Böylece

R (x; t;�) =

8<: F (x; �)F�1 (0; �)Gt (t; �) ; 0 � t � x

G (x; �) [F t (0; �)]�1F (t; �) ; x < t <1;

(3.32)

olmak üzere

R� (L) f (x) =

1Z0

R (x; t;�) f (t) dt; g 2 L2 (R+; E)

olarak bulunur.

31

4. ÖZDE¼GERLER VE SPEKTRAL TEK·ILL·IKLER

F (0; �) = I +1R0

K (0; t) ei�tdt olmak üzere

f (�) := detF (0; �) (4.1)

seklinde tan¬mlans¬n.

f (�) = 0

denkleminin, � 2 C+ çözümleri (3.32) gere¼gince resolvent operatörün kutuplar¬olup

� 2 C+ ise F (x; �) 2 L2 (R+; E)

ve

� 2 R ise F (x; �) =2 L2 (R+; E)

olaca¼g¬ndan L operatörünün özde¼gerlerinin ve spektral tekilliklerinin kümesi s¬ras¬yla

�d (L) =�z : z = �2, � 2 C+, f (�) = 0

(4.2)

�ss (L) =�z : z = �2, � 2 Rn f0g , f (�) = 0

: (4.3)

ile verilir. Simdi ileride verece¼gimiz teoremlerde kullanmak üzere asa¼g¬daki tan¬m¬

verelim.

Tan¬m 4.1 C+ üzerinde (4:1) ile tan¬ml¬ f fonksiyonunun bir s¬f¬r¬n¬n kat¬na, L

operatörünün bu s¬f¬ra kars¬l¬k gelen özde¼gerinin veya spektral tekilli¼ginin kat¬denir.

Dolay¬s¬yla L operatörünün özde¼gerlerini ve spektral tekilliklerini say¬sal olarak

incelememiz için f fonksiyonunun C+ daki s¬f¬rlar¬n¬belirlememiz gerekir.

M1 = f� : � 2 C+, f (�) = 0g

ve

M2 = f� : � 2 R, f (�) = 0g :

olarak tan¬mlan¬rsa (4:2) ve (4:3) yard¬m¬yla

�d (L) =�z : z = �2, � 2M1

(4.4)

32

ve

�ss (L) =�z : z = �2, � 2M2

n f0g : (4.5)

yaz¬l¬r.

Bu gösterimler ile asa¼g¬daki Lemma verilebilir.

Lemma 4.1 i) M1 kümesi s¬n¬rl¬ ve en çok say¬labilir say¬da elemana sahiptir.

Ayr¬ca bu kümenin limit noktalar¬varsa reel eksenin s¬n¬rl¬bir alt aral¬¼g¬ndad¬r.

ii) M2 kümesi kompaktt¬r ve � Lebesgue ölçüsü olmak üzere � (M2) = 0 gerçeklenir.

·Ispat. i) f fonksiyonu

f (�) := detF (0; �)

ile verildi¼ginden F; C+ da analitik ve reel eksende sürekli olup f de C+ da analitik

ve reel eksende süreklidir. Ayr¬ca Teorem 3.5 yard¬m¬yla j�j ! 1 için

f (�) = 1 + o (1) (4.6)

yaz¬labilir. Bu asimptotik esitli¼gi bize, � 2 C+ için j�j yeterince büyük seçildi¼ginde

f (�) 6= 0

oldu¼gunu yani M1 ve M2 kümelerinin s¬n¬rl¬oldu¼gunu gösterir. Ayr¬ca Teorem 2.1

dikkate al¬n¬rsa f fonksiyonunun C+ daki s¬f¬rlar¬n¬n kümesi ayr¬kt¬r. Bu durumda

M1 kümesi en çok say¬labilir say¬da eleman içerir. Son olarak Teorem 2.2 gere¼gince

M1 kümesinin limit noktalar¬reel eksenin s¬n¬rl¬bir alt aral¬¼g¬nda yer al¬r.

ii)M2 kümesi s¬n¬rl¬oldu¼gundan bu kümenin kompakt bir küme oldu¼gunu göstermek

için kapal¬oldu¼gunu göstermek gereklidir.

�0 2M2 olsun. Bu durumda her n 2 N için �n 2M2 ve

limn!1

�n = �0

olacak biçimde bir (�n) dizisi vard¬r. Buna göre f; C+ üzerinde sürekli oldu¼gundan

f (�0) = f�limn!1

�n

�= lim

n!1f (�n) = 0

33

yani �0 2M2 gerçeklenir. O halde M2 kümesi kapal¬d¬r.

Di¼ger yandan f C+ üzerinde analitik ve f 6= 0 oldu¼gundan Privalov teoremi gere¼gince

� (M2) = 0 elde edilir.

(4:4), (4:5) ve Lemma 4.1 göz önüne al¬n¬rsa asa¼g¬daki teorem elde edilir.

Teorem 4.1 (3:3)kosulu alt¬nda (3:2) ile verilen L operatörünün

i) �d (L) s¬n¬rl¬olup en çok say¬labilir say¬dad¬r. Ayr¬ca özde¼gerlerin limit noktas¬

varsa, reel eksenin s¬n¬rl¬bir alt aral¬¼g¬ndad¬r.

ii) �ss (L) s¬n¬rl¬ve � (�ss (L)) = 0 gerçeklenir.

Teorem 4.2 " > 0 olmak üzere1Z0

exp ("x) kQ (x)k dx <1 (4.7)

kosulu alt¬nda L operatörünün sonlu say¬da özde¼ger ve spektral tekillikleri vard¬r ve

bunlar¬n kat¬da sonludur.

·Ispat. (3:13) ve (4:7) göz önüne al¬n¬rsa C > 0 sabit olmak üzere

kK (x; t)k � C�

�x+ t

2

�= C

1Zx+t2

kQ (s)k ds = C1Zx+t2

e�"se"s kQ (s)k ds

� Ce�"x+t2

1Zx+t2

e"s kQ (s)k ds � Ce�"x+t21Z0

e"s kQ (s)k ds (4.8)

� C exp

��"x+ t

2

�; c > 0

esitsizli¼gi sa¼glan¬r. Ayr¬ca

F (x; �) = ei�xI +

1Zx

K (x; t) ei�tdt

esitli¼ginden

@

@�F (x; �) = ixei�xI +

@

@�

0@1Zx

K (x; t) ei�tdt

1A= ixei�xI +

1Zx

itK (x; t) ei�tdt

34

olup, ������1Zx

itK (x; t) ei�tdt

������ �1Zx

t kK (x; t)k ei�t dt � 1Z

x

t kK (x; t)k e�t Im�dt

� C

1Zx

te�"x+t2 e�t Im�dt = C

1Zx

e�"x2 te�t(Im�+

"2)dt

bulunur. Bu durumda Im� > � "2için f fonksiyonu analitik olaca¼g¬ndan reel eksen

analitiklik bölgesinin içinde yer al¬r. Bu yüzden f fonksiyonunun C+ daki s¬f¬r-

lar¬n¬n limit noktalar¬ reel eksen üzerinde bulunamaz. Di¼ger yandan Lemma 4.1

gere¼gince M1 ve M2 kümeleri s¬n¬rl¬d¬r. Ayr¬ca f 6= 0 ve bu kümeler analitiklik

bölgesinin içinde oldu¼gundan sonludurlar. f fonksiyonu Im� > � "2için analitik de-

vama sahip oldu¼gundan, Teorem 2.3 gere¼gince f fonksiyonunun C+ daki s¬f¬rlar¬n¬n

kat¬ sonludur. Dolay¬s¬yla �d (L) ve �ss (L) kümeleri sonlu say¬da elemana sahip

olup elemanlar¬n¬n katlar¬da sonludur.

1Z0

exp�"px�kQ (x)k <1, " > 0 (4.9)

gerçeklensin. (4:9) kosulu alt¬nda f fonksiyonu C+ da analitik olup reel eksende her

mertebeden türeve sahiptir. Fakat f fonksiyonu reel eksenden alt yar¬düzleme anali-

tik devama sahip de¼gildir. Ayr¬ca (4:9) kosulu alt¬nda f fonksiyonunun özde¼ger-

lerinin ve spektral tekilliklerinin sonlulu¼gu Teorem 4.2 nin ispat¬ benzer sekilde

yap¬lamaz.

M3 =M01

ve

M4 =

�� 2 C+ : 8k 2 N;

dk (f (�))

d�k= 0

�denirse asa¼g¬daki Lemma elde edilir.

Lemma 4.2 M1; M2; M3 ve M4 kümeleri için asa¼g¬daki ba¼g¬nt¬lar gerçeklenir.

i) M1 \M4 = �; M3 �M2; M4 �M2; M3 �M4

ii) � (M3) = � (M4) = 0:

35

·Ispat. i) C+ üzerinde f analitik oldu¼gundan bu bölgede sonsuz katl¬s¬f¬ra sahip

olamaz dolay¬s¬yla

M1 \M4 = �

gerçeklenir. f , C+ üzerinde sürekli oldu¼gundan

M3 �M2

sa¼glan¬r. M4 ve M2 kümelerinin tan¬m¬ndan

M4 �M2

oldu¼gu aç¬kt¬r.

ii) M3 �M2 ve M4 �M2 oldu¼gu ve Lemma 4.1 dikkate al¬n¬rsa

� (M3) = � (M4) = 0

gerçeklenir.

Bundan sonraki teoremin ispat¬nda ihtiyaç duyulan Lemmalar asa¼g¬da ve-

rilmistir.

Lemma 4.3 (4.8) kosulu alt¬nda

��f (n) (�)�� � An , n = 0; 1; 2::::, Im� � 0

esitli¼gini sa¼glayan

An := C"

1Z0

tne�"p

t2dt n = 0; 1; 2::::, (4.10)

sabitleri vard¬r.

·Ispat. f (�) := detF (0; �) olmak üzere

���� dndn�f (�)���� =

������1Z0

(it)nK (0; t) ei�tdt

������ �1Z0

tn kK (0; t)k dt (4.11)

36

elde edilir. (4.8 ) esitsizli¼gi yard¬m¬yla

kK (0; t)k � C

1Zt2

kQ (s)k ds

= C

1Zt2

e�"pse"

ps kQ (s)k ds

� Ce�"p

t2

1Zt2

e"ps kQ (s)k ds

� Ce�"p

t2

1Z0

e"ps kQ (s)k ds

= C"e�"p

t2

bulunur. Elde edilen son esitsizlik (4.11) esitsizli¼ginde yerine yaz¬l¬rsa

���� dndn�f (�)���� � C"

1Z0

tne�"p

t2dt = An

elde edilir.

Lemma 4.4 (4.10) ile tan¬mlanan An sabitleri, B ve b birer sabit olmak üzere

An � Bbnn!nn

esitsizli¼gini gerçekler.

·Ispat.

An = C"

1Z0

tne�"p

t2dt n = 0; 1; 2::::;

"q

t2= u de¼gisken de¼gistirilmesi yap¬l¬rsa Lemma 4.3 gee¼gince

An = C"

1Z0

tne�"p

t2dt = C"

2n+2

"2n+2

1Z0

u2n+1e�udu

= C"2n+2

"2n+2� (2n+ 2)

37

elde edilir. Son esitlikte � (n+ 1) = n� (n) oldu¼gu dikkate al¬n¬rsa bn0 :=23n+4

"2n+2olmak

üzere

An = C"2n+2

"2n+2(2n+ 1) (2n) (2n� 1) :::3:2� (1)

= C"2n+2

"2n+2(2n+ 1)!

� C"2n+2

"2n+2(2n+ 1) (2n+ 1) ::: (2n+ 1)

� C"2n+2

"2n+2(2n+ 1)2n+1

� C"2n+2

"2n+2(2n+ 2)2n+2

= C"23n+4

"2n+2(n+ 1)2n+2

= C"bn0 (n+ 1)

2n+2

bulunur. Her n 2 N için �1 +

1

n

�� e;

en � 1 + n;

nn � enn!;

ve

n+ 1 � en

esitsizlikleri do¼gru oldu¼gundan

An � C"bn0 (n+ 1)

2n+2

� C"bn0e2n (n+ 1)2n

= C"bn1

�n+ 1

nn

�2n= C"b

n1

�1 +

1

n

�2nn2n

� C"bn1e2nn2n

= C"bn2n

nnn

� C"bn2enn!nn

= Bbnn!nn

elde edilir.

38

Teorem 4.3 (4:9) kosulu alt¬nda M4 bostur.

·Ispat. Lemma4:1 gere¼gince yeterince büyük T > 0 için jln jf (�)jj <1 olup

�TZ�1

ln jf (�)j1 + �2

d� ve

1ZT

ln jf (�)j1 + �2

d� (4.12)

integralleri mutlak yak¬nsakt¬r. Simdi (4.9) kosulu alt¬nda

An = C"

1Z0

tne�"p

t2dt n = 0; 1; 2::::, (4.13)

olmak üzere

G (s) = infn

Ansn

n!� B exp

��e�1b�1s�1

�oldu¼gunu gösterelim. Lemma 4.4 den

G (s) = infn

Ansn

n!� inf

n

�Bbnn!nnsn

n!

�= inf

n(Bbnnnsn) (4.14)

bulunur. f (x) = bxsxxx ile tan¬ml¬fonksiyon (�1;1) üzerinde minimum de¼gerini

x = b�1s�1e�1 noktas¬nda al¬r. Bu (4.14) esitsizli¼ginde dikkate al¬n¬rsa

G (s) = infn

Ansn

n!� Bbb�1s�1e�1

�b�1s�1e�1

�b�1s�1e�1sb

�1s�1e�1

= Bbb�1s�1e�1b�(b

�1s�1e�1)sb�1s�1e�1s�(b

�1s�1e�1) �e�1�b�1s�1e�1= exp

��b�1s�1e�1

elde edilir. Lemma 4.3 den

��f (n) (�)�� � An , n = 0; 1; 2::::, Im� � 0; j�j < T (4.15)

oldu¼gu biliniyor. � (M4; s) iseM4 kümesinin s komsulu¼gunun Lebesque ölçüsü olmak

üzere (4:12), (4:15) ve f (�) 6= 0 oldu¼gundan Pavlov teoremi kullan¬l¬rsa a > 0 olmak

üzere M4 kümesiaZ0

lnG (s) d� (M4; s) > �1 (4.16)

kosulunu sa¼glar.

ln (G (s)) � ln exp��b�1s�1e�1

= �b�1s�1e�1

39

oldu¼gundanaZ0

1

besd� (M4; s) � �

aZ0

lnG (s) d� (M4; s) <1

bulunur.aZ0

1

sds

integrali ¬raksak oldu¼gundan

aZ0

1

sd� (M4; s) <1

olmas¬� (M4; s) = 0 ve dolay¬s¬yla M4 = � olmas¬yla sa¼glan¬r.

Teorem 4.4 (4:9) kosulu alt¬nda L operatörünün sonlu say¬da özde¼ger ve spektral

tekilli¼gi olup bunlar¬n kat¬da sonludur.

·Ispat. Lemma 4:2 ve Teorem 4.3 gere¼gince M3 bostur. Bu durumda s¬n¬rl¬olanM1

kümesi y¬¼g¬lma noktas¬na sahip olmad¬¼g¬ndan sonludur. O halde f fonksiyonu C+da sonlu say¬da s¬f¬ra sahiptir. Ayr¬ca M4 = � oldu¼gundan bu s¬f¬rlar¬n katlar¬da

sonludur.

40

5. ESAS FONKS·IYONLAR

Bu bölümde özde¼ger ve spektral tekilliklere kars¬l¬k gelen esas fonksiyonlar belirlenip

bunlara iliskin temel özellikler incelenecektir.

Tan¬m 5.1 (4:1) ile tan¬ml¬f fonksiyonunun C+ daki s¬f¬rlar¬n¬n katlar¬na L ope-

ratörünün bu s¬f¬rlara kars¬l¬k gelen özde¼gerlerinin veya spektral tekilliklerinin kat¬

denir.

f fonksiyonunun C+ daki s¬f¬rlar¬ �1; �2; :::; �k ve bu s¬f¬rlar¬n mertebeleri

s¬ras¬ile m1;m2; :::;mk olsun. Benzer biçimde f fonksiyonunun Rn f0g daki s¬f¬rlar¬

�k+1; �k+2; :::; �n ve bu s¬f¬rlar¬n mertebeleri de s¬ras¬ile

mk+1;mk+2; :::;mn olsun. Bu durumda �21; �22; :::; �

2k L operatörünün özde¼gerleri,

m1;m2; :::;mk ise bu özde¼gerlerin mertebesidir. Benzer olarak mk+1;mk+2; :::;mn

ise L operatörünün �2k+1; �2k+2; :::; �

2n spektral tekilliklerinin mertebesidir.

Tan¬m 5.2 s = 0; 1; :::;mj � 1 ; j = 1; 2; :::; k ve Im�j > 0 olmak üzere

us;j (x) =@s

@�sfF (x; �)g�=�j (5.1)

ve s = 0; 1; :::;mj � 1 ; j = k + 1; k + 2; :::; n ve Im�j = 0 olmak üzere

vs;j (x) =@s

@�sfF (x; �)g�=�j (5.2)

esitlikleri ile verilen fonksiyonlara L operatörünün s¬ras¬yla özde¼ger ve spektral tekil-

liklerine kars¬l¬k gelen esas fonksiyonlar¬denir.

Teorem 5.1 Özde¼ger ve spektral tekilliklerine kars¬l¬k gelen esas fonksiyonlar için

us;j 2 L2 (R+; E) ; s = 0; 1; :::;mj � 1; j = 1; :::; k;

vs;j =2 L2 (R+; E) ; s = 0; 1; :::;mj � 1; j = k + 1; :::; n

gerçeklenir.

·Ispat. F (x; �) = ei�xI +1Rx

K (x; t) ei�tdt olmak üzere j = 1; :::; k; için

us;j (x) =@s

@�sfF (x; �)g�=�j = (ix)

s ei�jxI +

1Zx

(it)sK (x; t) ei�jtdt (5.3)

41

bulunur.Im�j > 0 ve j = 1; :::; k; için��(ix)s ei�jx�� = xse� Im�jxolup

1Z0

(ix)s ei�jxI 2 dx =

1Z0

x2se�2x Im�jdx (5.4)

=1

(2 Im�j)2s+1� (2s+ 1) <1

bulunur. E¼ger j = 1; :::; k için

gj (x) =

1Zx

(it)sK (x; t) ei�jtdt;

denirse

C0 = C

1Z0

tse�"4

ptdt

olmak üzere (4.8 ) esitsizli¼gi yard¬m¬yla

jgj (x)j =

������1Zx

(it)sK (x; t) ei�jtdt

�������

1Zx

ts kK (x; t)k e�t Im�jdt

� C

1Zx

tse�"4

px+t�t Im�jdt

� Ce�x Im�j1Z0

tse�"4

ptdt = C0e

�x Im�j

elde edilir. C0 > 0 ve

e�x Im�j 2 L2 (R+)

oldu¼gundan j = 1; :::; k; için

1Z0

jgj (x)j2 dx <1 ; (5.5)

42

bulunur. (5.4) ve (5.5) yard¬m¬yla

us;j 2 L2 (R+; E) ; s = 0; 1; :::;mj � 1; j = 1; :::; k;

elde edilir.

Simdi

F (x; �) = ei�xI +

1Zx

K (x; t) ei�tdt

olmak üzere ve (5.2) dikkate al¬n¬rsa j = k + 1; :::; n için

vs;j (x) = (ix)s ei�jxI +

1Zx

(it)sK (x; t) ei�jtdt ; (5.6)

bulunur. Im�j = 0 olmak üzere ve j = k + 1; :::; n için, (5.6) gere¼gince

1Z0

(ix)s ei�jxI 2Sdx =

1Z0

x2sdx =1 ;

bulunur. E¼ger Im�j = 0 ve j = k + 1; :::; n için

kj (x) =

1Zx

(it)sK (x; t) ei�jtdt;

denirse (4.9) kosulu alt¬nda

kK (x; t)k � C

1Zx+t2

kQ (s)k ds

= C

1Zx+t2

kQ (s)k e�"pse"

psds

� Ce�"p

x+t2

1Zx+t2

kQ (s)k e"psds

� Ce�"p

x+t2

1Z0

kQ (s)k e"psds

= Me�"p

x+t2

43

elde edilir. Bu durumda

jkj (x)j =

������1Zx

(it)sK (x; t) ei�jtdt

������ (5.7)

�1Zx

ts kK (x; t)k dt (5.8)

� M

1Zx

tse�"p

x+t2 dt

= Me�"2

px

1Zx

tse�"2

px+t2 dt (5.9)

� Me�"2

px

1Z0

tse�"2

ptdt

� M1e� "2

px (5.10)

bulunur ki bu da kj 2 L2 (R+; E) sonucunu verir. O halde s = 0; 1; :::;mj � 1; ve

j = k + 1; :::; n için

vs;j =2 L2 (R+; E) ;

gerçeklenir.

s = 1; 2; :::; olmak üzere

Hs =

8<:f :1Z0

(1 + jxj)2s jf (x)j2 dx <1

9=; ;

H�s =

8<:g :1Z0

(1 + jxj)�2s jg (x)j2 dx <1

9=; ;ile tan¬mlanan Hs ve H�s uzaylar¬için,

Hs+1 $ Hs $ L2 (R+; E) $ H�s $ H�(s+1); (5.11)

oldu¼gu kolayca gösterilebilir.

Teorem 5.2 s = 0; 1; :::;mj � 1; ve j = k + 1; :::; n için vs;j 2 H�(s+1) gerçeklenir.44

·Ispat. j = k + 1; :::; n; s = 0; 1; :::;mj � 1ve Im�j = 0 için1Z0

(1 + x)�2(s+1) (ix)s ei�jxI 2 dx = 1Z

0

(1 + x)�2(s+1) x2sdx <1; (5.12)

bulunur. Ayr¬ca s = 0; 1; :::;mj � 1; ve j = k + 1; :::; n için (5.7) yard¬m¬yla

1Z0

(1 + x)�2(s+1)

������1Z0

(it)sK (x; t) ei�jtdt

������2

dx �M1Z0

(1 + x)�2(s+1) e�"x <1 ;

elde edilir. Bu ise vs;j 2 H�(s+1) oldu¼gunu ispatlar.

s = 0; 1; :::;mj � 1 olmak üzere j = 1; :::; k için

us;j 2 L2 (R+; E)

ve j = k + 1; :::; n için

vs;j =2 L2 (R+; E)

gerçeklenir.

m0 = maks fmj+1;mj+2; :::;m�g

denirse Teorem 5.2 ve 5.11 yard¬m¬yla asa¼g¬daki teorem elde edilir.

Teorem 5.3 s = 0; 1; :::;mj � 1 ve j = k + 1; :::; n için vs;j 2 H�m0 ; sa¼glan¬r.

45

KAYNAKLAR

Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2001. Spectral properties of non-selfadjoint di¤erenceoperators. J. Math. Anal. Appl. 261; 461-478.

Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2003. Di¤erence equations of second order withspectral singularities. J. Math. Anal. Appl. 277; 714-721.

Ad¬var, M. and Bohner, M. 2006. Spectral analysis of q-di¤erence equations withspectral singularities. Math. Comput. Modelling 43 (7-9); 695-703.

Ad¬var, M. and Bohner, M. 2006. Spectrum and principal vectors of second orderq-di¤erence equations. Indian J. Math. 48 (1); 17-33.

Agarwal, R.P. and Wong, P.J.Y. 1997. Advanced Topics in Di¤erence Equations.Kluwer, Dordrecht.

Agarwal, R.P. 2000. Di¤erence equation and inequalities. Theory, Methods andApplications. Marcel Dekkar Inc., New York, Basel.

Agarwal, R.P., Perera, K. and O�Regan, D. 2004. Multiple positive solutionsof singular and nonsingular discrete problems via variational methods.Nonlinear Analysis 58; 69-73.

Agarwal, R.P., Perera, K. and O�Regan, D. 2005. Multiple positive solutionsof singular discrete p-Laplasian problems via variational methods.Advances in Di¤erence Equations, 2; 93-99.

Agranovich, Z.S. and Marchenko, V.A. The Inverse Problem of Scattering Theory,Gordon and Breach, 1965.

Akbulut, A., Ad¬var, M. and Bairamov, E. 2005. On the spectrum of the di¤erenceequations of second order. Publ. Math. Debrecen 67/3-4; 253-263.

Akhiezer, N.I. 1965. The Classical Moment Problem and Some Related Questionsin Analysis, New York.

Bairamov, E. and Celebi, A.O. 1999. Spectrum and spectral expansion for thenon-selfadjoint discrete Dirac operators. Quart. J. Math. Oxford Ser.(2)50; 371-384.

Bairamov, E., Cakar, O. and Krall, A.M. 2001. Non-selfadjoint di¤erence operatorsand Jacobi matrices with spectral singularities. Math. Nachr. 229; 5-14.

Bairamov, E. and Coskun, C. 2004. Jost solutions and the spectrum of the systemof di¤erence equations. Appl. Math. Lett. 17; 1039-1045.

46

Bairamov, E. and Coskun, C. 2005. The structure of the spectrum of a system ofdi¤erence equations. Appl. Math. Lett. 18; 387-394.

Balc¬, M. 1999. Matematik Analiz 1. Balc¬Yay¬nlar¬, Ankara.

Berezanski, Y.M. 1985. Integration of nonlinear di¤erence equations by the inversespectral problem method. Soviet Math. Dokl. 31; 264-267.

Clark, S., Gesztesy, F. and Renger, W. 2005. Trace formulas and Borg-typetheorems for matrix-valued Jacobi and Dirac �nite di¤erence operators,J.Di¤erential Equations 219, 144-182.

Dolzhenko, E.P. 1979. Boundary value uniqueness theorems for analytic functions.Math. Notes 26 (6); 437-442.

Gesztesy, F., Kiselev A. and Makarov, K.A. 2002. Uniqueness results for matrix-valued Schrödinger, Jacobi and Dirac-type operators, Math.Nachr.239,103-145.

Guseinov, G.S. 1976. The determination of an in�nite Jacobi Matrix from thescattering date. Sov. Math. Dokl. 17; 596-600.

Guseinov, G.S. 1976. The inverse problem of scattering theory for a second orderdi¤erence equation on the whole axis. Sov. Math. Dokl. 17; 1684-1688.

Kelley, W.G. and Peterson, A.C. 2001. Di¤erence Equations. An Introduction withApplications. Harcourt Academic Press.

Krall, A.M., Bairamov, E. and Cakar, O. 2001. Spectral analysis of non-selfadjointdiscrete Schrödinger operator with spectral singularities. Math. Nachr.231; 89-104.

Levitan, B.M. and Sargsjan, I.S. 1975. Introduction to Spectral Theory.Translations of Mathematical Monographs, 39.

Lusternik, L.A. and Sobolev, V.J. 1974. Elements of functional analysis.Translation of elementy funktsional�nogo analiza.

Lyance, V.E. 1967. A di¤erential operator with spectral singularities. I, II, AMSTransl. 2 (60); 185-225, 227-283.

Naimark, M.A. 1960. Investigation of the spectrum and the expansion ineigenfunctions of a non-selfadjoint operator of second order on a semi-axis. AMS Transl. 2 (16); 103-193.

Naimark, M.A. 1968. Linear Di¤erential Operators. II, Ungar, New York.

Olgun, M. and Coskun, C. 2010. Non-selfadjoint matrix Sturm-Liouville operatorswith spectral singularities, Appl.Math.Comp 216, 2271-2275.

Pavlov, B.S. 1975. On seperation conditions for spectral components of a dissipativeoperator. Math. USSR Izvestiya. 9; 113-137.

47

ÖZGEÇM·IS

Ad¬Soyad¬: Murat OLGUN

Do¼gum Yeri: Aksaray

Do¼gum Tarihi: 03/01/1979

Medeni Hali: Evli

Yabanc¬Dili: ·Ingilizce

E¼gitim Durumu (Kurum ve Y¬l):

Lise: Aksaray Anadolu Lisesi-1996

Lisans: Ankara Üniversitesi, Matematik Bölümü-2001

Yüksek Lisans: K¬r¬kkale Üniversitesi, FBE-2004

Çal¬st¬¼g¬Kurum/Kurumlar ve Y¬l:

K¬r¬kkale Üniversitesi Matematik Bölümü Arast¬rma Görevlisi (2001-2006)

Ankara Üniversitesi Matematik Bölümü Arast¬rma Görevlisi (2006-2010)

Yay¬nlar¬:

Olgun, M. Coskun, C. Non-selfadjoint matrix Sturm�Liouville operators with

spectral singularities App. Math. and Comp. 216 (2010) 2271-2275.

Coskun, C. Olgun, M. Principal functions of non-selfadjoint matrix Sturm-Liouville

equations J. of Comp. and App. Math. (Yay¬n Asamas¬nda)

48