ankara un ivers ites i fen bil imler i enst it us u yuksek...

ANKARA UNIVERSITESI

FEN BILIMLERI ENSTITUSU

YUKSEK LISANS TEZI

ES BURULMALI MODULLER

Gizem KAFKAS

MATEMATIK ANABILIM DALI

ANKARA

2011

Her hakkı saklıdır

TEZ ONAYI

Gizem KAFKAS tarafından hazırlanan “ES BURULMALI MODULLER” adlı tez

calısması 18/07/2011 tarihinde asagıdaki juri tarafından oy birligi ile Ankara Universitesi

Fen Bilimleri Enstitusu Matematik Anabilim Dalı’nda YUKSEK LISANS TEZI

olarak kabul edilmistir.

Danısman : Prof. Dr. Sait HALICIOGLU

Juri Uyeleri :

Baskan : Prof. Dr. A. Cigdem OZCAN

Hacettepe Universitesi Fen Fakultesi Matematik Bolumu

Uye : Prof. Dr. Sait HALICIOGLU

Ankara Universitesi Fen Fakultesi Matematik Bolumu

Uye : Prof. Dr. Ayhan SERBETCI

Ankara Universitesi Fen Fakultesi Matematik Bolumu

Yukarıdaki sonucu onaylarım.

Prof. Dr. Ozer KOLSARICI

Enstitu Muduru

OZET

Yuksek Lisans Tezi

ES BURULMALI MODULLER

Gizem KAFKAS

Ankara Universitesi

Fen Bilimleri Enstitusu

Matematik Anabilim Dalı

Danısman : Prof. Dr. Sait HALICIOGLU

Bu tez altı bolumden olusmaktadır.

Birinci bolum tezin amacını icermektedir.

Ikinci bolumde calısma icin gerekli olan on bilgiler verilmektedir.

Ucuncu bolumde es burulmalı gruplar tanımlanmakta ve es burulmalı grupların

ozellikleri incelenmektedir.

Dorduncu bolumde es burulmalı moduller tanımlanmakta ve es burulmalı moduller

ile bilinen halka sınıfları arasındaki iliskiler arastırılmaktadır.

Besinci bolumde goreceli saf injektif moduller tanımlanmakta ve bu modul sınıfı ile

es burulmalı moduller arasındaki iliskiler incelenmektedir.

Altıncı bolumde V -halkaları tanımlanmakta ve V -halkalarının ozelliklerinden yarar-

lanarak saf V -halkaları tanımlanmaktadır.

Temmuz 2011, 77 sayfa

Anahtar Kelimeler : Es burulmalı grup, es burulmalı modul, injektif modul,

saf-injektif modul, V -halkası, saf V -halkası.

i

ABSTRACT

Master Thesis

COTORSION MODULES

Gizem KAFKAS

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor : Prof. Dr. Sait HALICIOGLU

This thesis consists of six chapters.

The first chapter includes the purpose of the thesis.

In the second chapter, preparatory information that will be used later is given.

In the third chapter cotorsion groups are defined and properties of cotorsion

groups are investigated.

In the fourth chapter, cotorsion modules are defined and relations between cotorsion

modules and well known class of rings are studied.

In the fifth chapter, relatively pure injective modules are defined and relations be-

tween this class of modules and cotorsion modules are investigated.

In the sixth chapter, the notion of V -ring is defined and by using properties of

V -ring, pure V -ring is defined.

July 2011, 77 pages

Key Words : Cotorsion group, cotorsion module, injective module, pure-injective

module, V -ring, pure V -ring.

ii

TESEKKUR

Bu tezin olusmasında bana cesaret veren, bilgi ve deneyimleriyle yol gosteren, degerli

hocam ve aynı zamanda tez danısmanım Sayın Prof. Dr. Sait HALICIOGLU

(Ankara Universitesi Fen Fakultesi Matematik Bolumu)’na; bu calısma boyunca

degerli bilgilerini ve zamanını benden esirgemeyen kıymetli hocam Sayın Prof. Dr.

Abdullah HARMANCI (Hacettepe Universitesi Fen Fakultesi Matematik Bolumu)’ya;

kendisinden cok sey ogrendigim ve attıgım her adımda beni bir adım daha ileriye

tasıyan degerli hocam Ars. Gor. Burcu UNGOR (Ankara Universitesi Fen Fakultesi

Matematik Bolumu)’e; tez calısmamı 2210 kodlu Yurt Ici Yuksek Lisans Burs Pro-

gramı ile destekleyerek maddi olanak saglayan TUBITAK’a; son olarak arkamda her

zaman varlıklarını hissettigim annem ve babama sonsuz tesekkur ederim.

Gizem KAFKAS

Ankara, Temmuz 2011

iii

ICINDEKILER

1. GIRIS 1

2. TEMEL KAVRAMLAR 3

2.1 Moduller ve Alt Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Modul Homomorfizmaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Sıfırlayanlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Modullerin Dik Toplam ve Dik Carpımları . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Serbest Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.6 Modul Kategorileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.7 Tam Diziler ve Parcalanma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.8 Bolunebilir Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.9 Saf Alt Gruplar ve Alt Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.10 Burulmalı ve Burulmasız Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.11 Projektif ve Injektif Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.12 Saf Injektif ve Duz Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.13 Yerel Halkalar ve Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.14 Zincir Kosulları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.15 Tam ve Yarı Tam Halkalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.16 Tekil ve Tekilsiz Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. ES BURULMALI GRUPLAR 24

3.1 Bolunebilir ve Inmis Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Es Burulmalı Grupların Genel Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. ES BURULMALI MODULLER 35

4.1 Es Burulmalı ve Saf Injektif Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2 Es Burulmalı Modullerin Genel Ozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5. SAF INJEKTIF MODULLER 55

5.1 Goreceli Saf Injektif Moduller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iv

6. V -HALKALARI 70

6.1 V -Halkalarının Yeni Genellemesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

v

SIMGELER DIZINI

Z tam sayılar kumesi

N dogal sayılar kumesi

Zn Z/nZ devirli grubu

Zp∞ Prufer p-grup

RM M sol R-modul

MR M sag R-modul

N ≤M N , M nin alt modulu

I ≤max

R I, R halkasının maksimal ideali

N ≤⊕ M N , M nin direkt toplananı

N ≤essM N , M nin esas alt modulu

N �M N , M nin dar alt modulu

M/N M modulunun N alt modulune gore bolum modulu⊕i∈IMi Mi modullerinin direkt toplamı∏

i∈IMi Mi modullerinin direkt carpımı

Kerθ θ homomorfizmasının cekirdegi

Imθ θ homomorfizmasının goruntu kumesi

rR(N) N ⊆MR nin R deki sıfırlayanı

lM(A) A ⊆ R nin MR deki sıfırlayanı

E(M) M modulunun injektif zarfı

PE(M) M modulunun saf-injektif zarfı

C(M) M modulunun es burulma zarfı

A⊗R B A ve B modulunun tensor carpımı

HomR(M,N) M den N ye giden R-modul homomorfizmalarının kumesi

EndR(M) M modulunun endomorfizma halkası

Zl(R) R halkasının sol tekil ideali

Zr(R) R halkasının sag tekil ideali

vi

I∗ I idealini kapsayan tum maksimal sag ideallerin kesisimi

FL duz modullerin sınıfı

C es burulmalı modullerin sınıfı

MI kısa-injektif modullerin sınıfı

Rad(M) M modulunun Jacobson radikali

J = J(R) R halkasının Jacobson radikali

Soc(RR) R halkasının minimal sol ideallerinin toplamı

Soc(RR) R halkasının minimal sag ideallerinin toplamı

vii

1. GIRIS

G bir grup olmak uzere Ext1Z(Q, G) = 0 oluyorsa G grubuna es burulmalı grup

denir. Es burulmalı grup kavramı ” Hangi degismeli gruplar topoloji ile donatılırsa

kompakt topolojik grup elde edilir?” ve ” A degismeli grubu verildiginde A ∼=

Ext1Z(X, Y ) sartını saglayan X ve Y degismeli grupları var mıdır? ” sorularına

cevap aranırken ortaya cıkmıstır. Birinci soru Kaplansky tarafından cevaplanırken

ikinci soru bagımsız olarak Harrison, Nunke, Fuchs tarafından yanıtlanmıstır.

Bu tezde ilk olarak es burulmalı gruplar uzerinde durulmakta, daha sonra es bu-

rulmalı gruplar genisletilerek es burulmalı moduller tanımlanmakta ve es burulmalı

modullerin bazı halka sınıflarıyla ilgili ozellikleri incelenmektedir.

Leeuwen (1960) ”On torsion-free cotorsion groups” makalesinde Harrison’un sonuclarını

kullanarak es burulmalı gruplar hakkında yeni sonuclar elde etmistir. Walker (1973)

es burulmalı grupların dik carpımının es burulmalı grup oldugunu gostermistir. Gru-

plar icin bulunan sonuclar Dedekind halkalar uzerinde tanımlı modullere genisletilmistir.

R bir halka ve C bir sagR-modul olmak uzere eger her F duz modulu icin Ext1R(F,C) =

0 ise C modulune es burulmalı modul denir. Es burulmalı moduller Enochs (1984)

tarafından tanımlanmıstır. Es burulmalı modullerin sınıfı tum saf-injektif modulleri

icerir. Xu (1996) tarafından es burulmalı on zarf ve duali olarak da duz ortu tanımı

yapılmıstır. Es burulmalı zarfların en onemli ozelligi escekirdeklerinin es burulmalı

olmasıdır. Bu ozelligi yine Xu, Wakamatsu Onteoremi yardımıyla ispatlamıstır.

Bu tezde es burulmalı ve duz modullerin bilinen halkaların karekterizasyonunda

onemli rol aldıgı gosterilmistir. Bir R halkasının duzenli olması icin gerek ve sartın

her es burulmalı R-modulun P -injektif olması gerektigini Mao ve Ding ispatlamıstır.

Diger taraftan R halkasının duzenli olması icin gerek ve yeter sart her sıfırdan farklı

sag R-modulun sıfırdan farklı duz modul icermesidir. Duzenli halkalara benzer

olarak PS halkalarının denklikleri de verilmistir.

1

Besinci bolumde goreceli saf injektif moduller incelenmis ve bu modullerin es burul-

malı modullerle ilgileri arastırılmıstır. Mao ve Ding ”Cotorsion modules and relative

pure-injectivity” baslıklı makalede R es burulmalı halka olmak uzere, R-saf injek-

tif sag R-modullerin sınıfının dik toplamlar altında kapalı olması icin gerek ve yeter

sartın R halkasının yarı tam halka olması gerektigini ispatlamıslardır. Yine bu tezde

es burulmalı modullerin bolum modulunun es burulmalı olması icin gerek ve yeter

sartın projektif sag R-modulun her saf alt modulunun projektif olmasıyla mumkun

olacagı gosterilmistir.

Tezin son bolumunde V -halkaları ve saf V -halkaları tanımlanmıs ve bu halka sınıflarıyla

ilgili ozellikler incelenmistir. Saf V -halkalarının tam halkaları, degismeli halkaları,

yarı yerel halkaları icerdigi gozlemlenmistir.

2

2. TEMEL KAVRAMLAR

Bu calısmada halkalar birimli ve aksi belirtilmedikce moduller sag R-modul olarak

alınacaktır.

2.1 Moduller ve Alt Moduller

Tanım 2.1.1. R bir halka ve (M,+) degismeli bir grup olsun. m ∈ M ve r ∈ R

icin mr ile tanımlı M ×R −→M fonksiyonu her x, y ∈M ve her a, b ∈ R icin

(i) (x+ y)a = xa+ ya , (ii) x(a+ b) = xa+ xb , (iii) x(ab) = (xa)b

sartlarını saglayacak bicimde mevcutsa, M ye sag R-modul denir ve MR ile gosterilir

(Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.1.2. R birimli bir halka ve M sag R-modulunun her x elemanı icin

x1 = x ise, M birimsel (unital) sag R-modul olarak adlandırılır (Dauns 1994).

Ornek 2.1.3. (M,+) degismeli grubu, m ∈M ve n ∈ Z icin

mn =

m+ · · ·+m︸︷︷︸n tane

n > 0

0 n = 0

(−m) + · · ·+ (−m)︸︷︷︸(-n) tane

n < 0

ile tanımlanan M × Z −→M fonksiyonu ile bir Z-moduldur.

Tanım 2.1.4. M bir R-modul ve N , M nin bir alt grubu olsun. Eger her n ∈ N ve

r ∈ R icin nr ∈ N oluyorsa, N ye M nin alt modulu denir ve N ≤ M ile gosterilir


Tanım 2.1.5. M bir R-modul ve N ≤M olsun. N nin M icindeki sol kosetlerinden

olusan M/N = {x + N : x ∈ M} kumesi x + N, y + N ∈ M/N ve a ∈ R icin

(x + N) + (y + N) = (x + y) + N ve (x + N)a = xa + N ile tanımlı islemlerle

bir R-modul olur. Bu module M nin N ye gore bolum modulu denir (Anderson ve

Fuller 1992).

3

2.2 Modul Homomorfizmaları

Tanım 2.2.1. M ve N iki R-modul olsun. Her x, y ∈ M ve her a, b ∈ R icin

f(xa + yb) = f(x)a + f(y)b olacak bicimdeki f : M −→ N fonksiyonuna R-modul

homomorfizması denir. Ayrıca f orten ise, f ye R-modul epimorfizması, birebir

ise R-modul monomorfizması adı verilir. Eger f hem birebir hem de orten ise, f

ye R-modul izomorfizması denir. Bu durumda M ile N izomorf moduller olup,

M ∼= N ile gosterilir (Anderson ve Fuller 1992).

Teorem 2.2.2. (Izomorfizma Teoremleri) M ve N R-modulleri icin

(i) f : M −→ N R-modul homomorfizması ise M/Kerf ∼= Imf dir.

(ii) K ≤ L ≤M ise M/L ∼= (M/K)/(L/K) dir.

(iii) K,H ≤M icin (H +K)/K ∼= H/(H ∩K) dir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.2.3. f : M −→ N R-modul homomorfizmasının goruntu kumesi

Imf = {f(x) ∈ N : x ∈ M} ve cekirdegi Kerf = {x ∈ M : f(x) = 0} kumesidir


Ornek 2.2.4. M R-modulunun L alt modulu icin iL : L −→M icerme fonksiyonu

bir R-modul monomorfizmasıdır. iL ye dogal gomme fonksiyonu da denir. Ayrıca

ImiL = L dir. Boylece M nin her alt modulu bir monomorfizmanın goruntusudur.

Ornek 2.2.5. M bir R-modul ve N ≤ M olsun. x ∈ M icin πN(x) = x + N

ile tanımlanan πN : M −→ M/N fonksiyonu bir R-modul epimorfizmasıdır. Bu

epimorfizmaya dogal epimorfizma denir. Ayrıca KerπN = N dir. Dolayısıyla M nin

her alt modulu bir epimorfizmanın cekirdegidir.

2.3 Sıfırlayanlar

Tanım 2.3.1. M bir R-modul, N ⊆ M ve A ⊆ R olmak uzere rR(N) = {r ∈ R :

Nr = 0} kumesine N nin R deki sıfırlayanı, lM(A) = {x ∈ M : xA = 0} kumesine

A nın M deki sıfırlayanı adı verilir (Anderson ve Fuller 1992).

Onerme 2.3.2. M R-modulu goz onune alındıgında rR(N) kumesi, eger N ⊆ M

ise R nin bir sag ideali, N ≤M ise R nin bir idealdir (Anderson ve Fuller 1992).

4

Onerme 2.3.3. M bir R-modul ve I bir indeks kumesi olmak uzere, α ∈ I icin Kα

lar M nin alt grupları olsun. Bu durumda rR

(∑α∈I

Kα

)=⋂α∈I

rR(Kα) dır (Anderson

ve Fuller 1992).

Tanım 2.3.4. M R-modulu icin rR(M) = 0 ise M ye vefalı (faithful) modul adı

verilir (Anderson ve Fuller 1992).

2.4 Modullerin Dik Toplam ve Dik Carpımları

Tanım 2.4.1. M ve N R-modulleri icin M⊕N = {(x, y) : x ∈M, y ∈ N} kumesine

M ile N nin dik toplamı denir. M ⊕ N kumesi (x1, y1), (x2, y2), (x, y) ∈ M ⊕ N ve

r ∈ R icin (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) ve (x, y)r = (xr, yr) ile tanımlı

toplama ve carpma islemleriyle bir R-moduldur (Atiyah ve Macdonald 1969).

I bir indeks kumesi ve (Mi)i∈I R-modullerin bir ailesi olsun. Bu durumda⊕i∈IMi,

her i ∈ I icin xi ∈ Mi olmak uzere sonlu bilesen dısı 0 olan (xi)i∈I elemanlarından

olusur. Eger (xi)i∈I uzerindeki sonlu bilesen dısı 0 olma kısıtlaması kaldırılırsa, Mi

modullerinin direkt carpımı∏i∈IMi elde edilir. Ayrıca I sonlu ise, Mi modullerinin

direkt toplam ve direkt carpımları aynı olur (Atiyah ve Macdonald 1969).

2.5 Serbest Moduller

Tanım 2.5.1. M R-modulunun X alt kumesi icin

(i) < X >= XR = M ise X, M yi uretir denir.

(ii) i = 1, . . . , n ∈ N icin xi ∈ X ve ri ∈ R olmak uzere eger x1r1 + · · · + xnrn = 0

iken, her i icin ri = 0 oluyorsa X e R-bagımsız denir (Dauns 1994).

Tanım 2.5.2. M R-modulunun X alt kumesi R-bagımsız ve M yi uretirse X e M

nin bir bazı (R-bazı) denir (Dauns 1994).

Onteorem 2.5.3. M R-modulunun X alt kumesi icin asagıdakiler denktir:

(i) X, M nin bir bazıdır.

(ii) M nin sıfırdan farklı her bir m elemanı farklı xi ∈ X ve 0 6= ri ∈ R olmak uzere

m = x1r1 + · · ·+ xnrn biciminde tek turlu yazılır (Dauns 1994).

5

Tanım 2.5.4. M R-modulu bir X bazına sahipse M ye serbest (free) modul denir

(Dauns 1994).

Onteorem 2.5.5. M R-modulu ve X ⊆M icin asagıdakiler denktir:

(i) M , bazı X olan bir serbest moduldur.

(ii) x ∈ X icin Rx = R olmak uzere M ∼=⊕x∈X

Rx tir (Dauns 1994).

2.6 Modul Kategorileri

Tanım 2.6.1. Bir kategori objeler ve morfizmalardan olusur. Objelerin sınıfı Obj

ve morfizmaların sınıfı mor ile gosterilmek uzere K = {Obj ,mor} kumesi asagıdaki

verilen uc ozelligi saglıyor ise K’ya kategori denir.

(i) f ∈ Hom(A,B) icin f bir tek A tanım bolgesine ve B deger bolgesine sahiptir.

(ii) A objesi icin 1Af = f ve g1A = g olacak bicimde 1A ∈ Hom(A,A) birim

donusumu vardır.

(iii) f ∈ Hom(A,B), g ∈ Hom(B,C) ve h ∈ Hom(C,D) morfizmaları icin h(gf) =

(hg)f tanımlıdır (Rotman 2000).

Tanım 2.6.2. K ve K′ iki kategori olsun. K F→ K′ morfizması

(i) A ∈ ObjK ise FA ∈ ObjK′,

(ii) Af→ B, K da morfizma, ise FA

Ff→ FB, K′ de morfizma,

(iii) Af→ B

g→ C, morfizmalar olmak uzere F (gf) = F (g)F (f),

(iv) F (1A) = 1FA

sartlarını saglıyorsa F donusumune kovaryant fonktor (covariant functor) denir.

Benzer sekilde kontravaryant fonktor de tanımlanabilir (Rotman 2000).

Ornek 2.6.3. HomR(M,−) kovaryant fonktore ve HomR(−,M) kontravaryant

fonktore ornektir.

Tanım 2.6.4. F fonktoru R-modullerin sınıfından S-modullerin sınıfına tanımlı

olmak uzere f, g ∈HomR(A,B) icin F (f+g) = F (f)+F (g) oluyorsa F ye toplamsal

(additive) fonktor denir (Rotman 2000).

Tanım 2.6.5. F fonktoru R-modullerin sınıfından S-modullerin sınıfına tanımlı

olsun. 0 → A → B → C → 0 kısa tam dizisi icin 0 → FA → FB → FC → 0 kısa

tam dizi oluyorsa, F fonktorune tam (exact) denir (Rotman 2000).

6

2.7 Tam Diziler ve Parcalanma

Tanım 2.7.1. Modullerin · · · →Mn+1fn+1→ Mn

fn→Mn−1 · · · dizisi ve her n ∈ Z icin

Kerfn = Imfn+1 oluyorsa diziye tam dizi (exact sequence) denir (Rotman 2000).

Tanım 2.7.2. f : M → N ve f ′ : N → M homomorfizmaları icin ff ′ = 1N ise

f donusumune parcalanabilir (split) epimorfizma ve f ′ donusumune parcalanabilir

(split) monomorfizma denir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.7.3. 0→M1f→M

g→M2 → 0 kısa tam dizisinde f split monomorfizma

ve g split epimorfizma ise bu diziye parcalanabilir kısa tam dizi denir (Anderson ve

Fuller 1992).

Onerme 2.7.4. 0→ M1f→ M

g→ M2 → 0 kısa tam dizi olsun. Asagıdaki ifadeler

denktir.

(i) Dizi parcalanır.

(ii) f : M1 →M parcalanabilir monomorfizmadır.

(iii) g : M →M2 parcalanabilir epimorfizmadır.

(iv) Imf = Kerg ≤⊕ M dir.

(v) Her h : M1 → N homomorfizması icin hf = h olacak bicimde h : M → N

homomorfizması vardır.

(vi) Her h : N → M2 homomorfizması icin gh = h olacak bicimde h : N → M

homomorfizması vardır (Anderson ve Fuller 1992).

2.8 Bolunebilir Gruplar

Bu kısımda bolunebilir gruplar tanımlanacak ve temel ozellikleri verilecektir.

Tanım 2.8.1. D toplamsal bir grup ve n ∈ Z olsun. Eger D = nD ise, D ye

bolunebilir (divisible) grup denir (Fuchs 1970).

Ornek 2.8.2. Q, Zp∞ ve Q/Z grupları bolunebilir gruplardır.

Onerme 2.8.3. Her grup bolunebilir bir grubun icine gomulebilir (Fuchs 1970).

7

Onerme 2.8.4. (i) Bolunebilir grupların homomorfik goruntuleri de bolunebilirdir.

(ii) Grupların dik toplamları ve dik carpımlarının bolunebilir olması icin gerek ve

yeter sart her bir bileseninin bolunebilir olmasıdır.

(iii) Her grup bolunebilir bir grubun icine gomulebilir (Fuchs 1970).

2.9 Saf Alt Gruplar ve Alt Moduller

Bu kısımda saf alt gruplar ve saf alt moduller tanımlanacak ve temel ozellikleri

incelenecektir.

Tanım 2.9.1. G bir grup ve G nin bir alt grubu S olsun. Her n > 0 tamsayısı icin

S ∩ nG = nS ise, S ye G nin saf (pure) alt grubu denir (Rotman 2000).

Saf alt grup tanımı modullere genisletilerek asagıdaki tanımlar yapılmıstır.

Tanım 2.9.2. R bir halka ve M bir modul olsun.

(i)M nin bir alt moduluN olsun. Eger her E sol R-modulu icin 0→ N⊗E →M⊗E

dizisi tam ise, N ye M nin saf (pure) alt modulu denir (Cohn 1959).

(ii) Eger R nin her I ideali icin IN = N ∩IM ise, N ye M nin saf (pure) alt modulu

denir (Anderson ve Fuller 1992).

(iii) Her r ∈ R icin rM ∩ N = rN ise, N ye M nin saf (pure) alt modulu denir

(Ribenboim 1972).

Bu tanımlarda devamlı (i) ⇔ (ii) ⇒ (iii) gerektirmeleri vardır. Fakat ters gerek-

tirmeler her zaman olmayabilir. Bu calısmada (i) tanımı kullanılacaktır.

Tanım 2.9.3. Sol R-modullerin 0→ B′ → B → B′′ → 0 dizisi icin 0→ A⊗RB′ →

A ⊗R B → A ⊗R B′′ → 0 tam dizisi elde ediliyorsa, bu diziye saf tam (pure exact)

dizi denir (Rotman 2000).

Onerme 2.9.4. Modullerin 0→ Ai→ B → C → 0 tam dizisi verildiginde i(A) ≤ B

saf alt modul ise, bu dizi saf tamdır (Rotman 2000).

Onerme 2.9.5. (i) Saf alt grupların dik toplananları da saf alt gruptur.

(ii) Q ve Zp∞ gruplarının asikar saf alt grupları yoktur.

(iii) A/G burulmasız grup ise G, A nın saf alt grubudur.

(iv) Burulmasız gruplarda saf alt grupların kesisimi de saf alt gruptur (Fuchs 1970).

8

Onerme 2.9.6. A bir grup olsun. A nın C ≤ B olacak bicimde B ve C alt grupları

icin asagıdakiler saglanır.

(i) C ≤ B ve B ≤ A saf alt gruplar ise C ≤ A saf alt gruptur.

(ii) B ≤ A saf alt grup ise, B/C ≤ A/C saf alt gruptur.

(iii) C ≤ A ve B/C ≤ A/C saf alt gruplar ise, B ≤ A saf alt gruptur (Fuchs 1970).

Yukarıda saf alt gruplar icin verilen sonuclar saf alt moduller icin de saglanır.

2.10 Burulmalı ve Burulmasız Moduller

Tanım 2.10.1. R degismeli bir tamlık bolgesi ve M sol R-modul olmak uzere

T (M) = {x ∈ M : lR(x) 6= 0} kumesine M nin burulmalı (torsion) alt modulu

denir. Eger T (M) = M ise M ye burulmalı modul, T (M) = 0 ise burulmasız

(torsion free) modul denir (Anderson ve Fuller 1992).

Onerme 2.10.2. C burulmasız modul olmak uzere her 0→ A→ B → C → 0 tam

dizisi saf tamdır (Rotman 2000).

Onerme 2.10.3. A burulmasız ve C bolunebilir bir grup ise, HomZ(A,C) bolunebilirdir

(Fuchs 1970).

Onerme 2.10.4. X bir grup olmak uzere Q ⊗Z X kumesi, Q uzerinde vektor

uzayıdır (Rotman 2000).

Tanım 2.10.5. R ve S iki halka olsun. AR, RBS ve CS modulleri icin

HomS(A⊗R B,C) ∼= HomR(A,HomS(B,C))

izomorfizmasına birinci ek (adjoint) izomorfizması adı verilir (Rotman 2000).

Tanım 2.10.6. R ve S iki halka olsun. RA ,SBR ve SC modulleri icin

HomS(B ⊗R A,C) ∼= HomR(A,HomS(B,C))

izomorfizmasına ikinici ek (adjoint) izomorfizması adı verilir (Rotman 2000).

Teorem 2.10.7. R bir halka ve A bir sol R-modul olmak uzere (Bi)i∈I sol R-

modullerin bir ailesi olsun. Bu durumda

9

HomR(A,∏i∈IBi) ∼=

∏i∈I

HomR(A,Bi)

dir (Rotman 2000).

Teorem 2.10.8. R bir halka ve B bir sol R-modul olmak uzere (Ai)i∈I sol R-

modullerin bir ailesi olsun. Bu durumda

HomR(⊕i∈IAi, B) ∼=

∏i∈I

HomR(Ai, B)

dir (Rotman 2000).

ExtnR ve TorRn tanımları icin Rotman (2000) bakınız.

Onteorem 2.10.9. R bir halka ve A bir R-modul olmak uzere (Bk)k∈K modullerin

bir ailesi olsun. Bu durumda

ExtnR(A,∏k∈K

Bk) ∼=∏k∈K

ExtnR(A,Bk)

dir (Rotman 2000).

Onteorem 2.10.10. R bir halka ve B bir R-modul olmak uzere (Ak)k∈K modullerin

bir ailesi olsun. Bu durumda

ExtnR(⊕k∈K

Ak, B) ∼=∏k∈K

ExtnR(Ak, B)

dir (Rotman 2000).

Onerme 2.10.11. R tek uretecli ideal bolgesi olmak uzere her n ≥ 2 tamsayısı ve

A, B R-modulleri icin TorRn (A,B) = {0} = ExtnR(A,B) dir (Rotman 2000).

Onerme 2.10.12. R bir tamlık bolgesi ve R nin kesir cismi Q olsun. RA ve RC

de modulleri icin C veya A, Q uzerinde vektor uzayı ise TorRn (C,A) ve ExtnR(C,A),

Q uzerinde vektor uzayıdır (Rotman 2000).

Onerme 2.10.13. M sol R-modul olmak uzere ϕM :HomR(R,M) → M bir R-

modul izomorfizmasıdır (Rotman 2000).

Ornek 2.10.14. T bir Z-modul olsun. HomZ(Q, T ), Q uzerinde vektor uzayı

oldugundan burulmasızdır ve bolunebilirdir.

10

Onerme 2.10.15. A sol-R modul olarak tek uretecli ideal bolgesi uzerinde duz

(flat) olması icin gerek ve yeter sart burulmasız olmasıdır (Rotman 2000).

Onteorem 2.10.16. R bir tamlık bolgesi olsun.

(i) A burulmalı R-modul ise, TorR1 (Q/Z, A) ∼= A dır.

(ii) Her RA modulu ve n ≥ 2 tamsayısı icin TorRn (Q/Z, A) = 0 dır.

(iii) A burulmasız R-modul ise, TorR1 (Q/Z, A) = 0 dır (Rotman 2000).

Onerme 2.10.17. A burulmalı sag R-modul ve B bolunebilir sol R-modul ise,

A⊗R B = 0 dır (Fuchs 1970).

Ispat a ⊗ b ∈ A ⊗ B olsun. B bolunebilir oldugundan b ∈ B icinb = nb′ olacak

bicimde b′ ∈ B vardır. Bu durumda a⊗ b = a⊗ nb′ = an⊗ b′ = 0 dır.

Onerme 2.10.18. K burulmalı R-modul ve G bir sol R-modul ise, K ⊗R G burul-

malıdır (Rotman 2000).

Ispat k ⊗ g ∈ K ⊗ G olsun. K burulmalı modul oldugundan k ∈ K icin nk = 0

olacak bicimde 0 6= n ∈ Z vardır. Bu durumda n(k ⊗ g) = nk ⊗ g = 0 ⊗ g = 0

oldugundan K ⊗G burulmalıdır.

Onerme 2.10.19. A burulmalı ve C burulmasız degismeli grup ise, HomZ(A,C) = 0

dır (Fuchs 1970).

Onerme 2.10.20. C bir Z-modul ise, Z⊗Z C ∼= C dir (Fuchs 1970).

Teorem 2.10.21. R, S ve S ′ halkalar olsun. φ : R→ S homomorfizma ve φ′ : R→

S ′ epimorfizma olmak uzere K = Kerφ ve K ′ = Kerφ′ ise, K ′ ⊆ K dır (Anderson

ve Fuller 1992).

Teorem 2.10.22. M sonlu germe kumesine sahip sıfırdan farklı bir sol R-modul

olsun. Bu durumda M nin her alt modulu bir maksimal alt modul tarafından

kapsanır. Dolayısıyla M maksimal alt module sahiptir (Anderson ve Fuller 1992).

11

2.11 Projektif ve Injektif Moduller

Tanım 2.11.1. Her f : M → K R-modul epimorfizması ve her γ : U → K R-modul

homomorfizması icin asagıdaki diyagram degismeli olacak bicimde

γ : U → M R-modul homomorfizması varsa, U ya M-projektif modul denir. Eger

U R-modulu her M R-modulu icin M -projektif ise, U ya projektif modul adı verilir


U

M K 0

ppppppppγ

?

γ

-f

-

Tanım 2.11.2. Her f : K → M R-modul monomorfizması ve her γ : K → U R-

modul homomorfizması icin asagıdaki diyagram degismeli olacak bicimde γ : M → U

R-modul homomorfizması varsa, U ya M-injektif modul denir. Eger U R-modulu

her M R-modulu icin M -injektif ise, U ya injektif modul adı verilir (Anderson ve

Fuller 1992).

U

0 K M-��γ

-f

pppppppp6γ

Teorem 2.11.3. P bir modul olmak uzere asagıdakiler denktir.

(i) P projektiftir.

(ii) Her M modulu icin M → P → 0 dizisi parcalanır.

(iii) P modulu bir serbest modulun bir dik toplananına izomorftur (Anderson ve

Fuller 1992).

Onerme 2.11.4. P R-modulunun projektif olması icin gerek ve yeter sart her tam

diziye HomR(P,−) uygulandıgında tamlıgın korunmasıdır (Rotman 2000).

Onerme 2.11.5. Bir P modulunun projektif olması icin gerek ve yeter sart her

0→ A→ B → P → 0

tam dizisinin parcalanmasıdır (Rotman 2000).

12

Onerme 2.11.6. Bir E modulunun injektif olması icin gerek ve yeter sart

0→ E → B → C → 0

tam dizisinin parcalanmasıdır (Rotman 2000).

Sonuc. 2.11.7. (i) Projektif modulun her dik toplananı projektiftir.

(ii) Projektif modullerin dik toplamı projektiftir (Rotman 2000).

Tanım 2.11.8. 0→ K → F →M → 0 tam dizi olmak uzere K, F sonlu uretilmis

moduller ve F serbest modul ise M ye sonlu gosterime sahip (finitely presented)

modul denir (Rotman 2000).

Onerme 2.11.9. Her sonlu uretilmis projektif P modulu sonlu gosterime sahiptir

(Rotman 2000).

Teorem 2.11.10. Bir E modulu icin asagıdakiler denktir.

(i) E injektiftir.

(ii) Her f : K →M monomorfizması icin Hom(f, E): HomR(M,E)→ HomR(K,E)

donusumu bir epimorfizmadır.

(iii) 0 → M ′ → M → M ′′ → 0 tam dizisine HomR(−, E) uygulandıgında

0 → HomR(M ′′, E) → HomR(M,E) → HomR(M ′, E) → 0 tam dizisi elde edilir


Onerme 2.11.11. R bir halka ve R modullerin indekslenmis bir toplulugu (Uα)α∈A

olsun.

(i)⊕α∈A

Uα modulunun projektif olması icin gerek ve yeter sart her α ∈ A icin Uα nın

projektif olmasıdır.

(ii)∏α∈A

Uα modulunun injektif olması icin gerek ve yeter sart her α ∈ A icin Uα nın

injektif olmasıdır (Anderson ve Fuller 1992).

Teorem 2.11.12. (Baer Kriteri) R bir halka ve E bir R-modul olsun. E nin

injektif olması icin gerek ve yeter sart R nin bir I ideali icin f : I → E donusumunun

g : R→ E ye genislemesidir (Rotman 2000).

13

Onerme 2.11.13. R tek uretecli bir ideal bolgesi olsun. Bu durumda

(i) E modulunun injektif olması icin gerek ve yeter sart E nin bolunebilir olmasıdır.

(ii) E injektif modulunun her bolum modulu injektiftir (Rotman 2000).

Onerme 2.11.14. f : R → S halka homomorfizması ve E injektif sol R-modul

olmak uzere HomR(S,E) injektif sol S-moduldur (Enochs ve Jenda 2000).

Teorem 2.11.15. E sol R-modulu icin asagıdaki ifadeler denktir.

(i) E injektiftir.

(ii) i ≥ 1 tamsayısı ve her M sol R-modulu icin ExtiR(M,E) = 0 dır.

(iii) Her M sol R-modulu icin Ext1R(M,E) = 0 dır.

(iv) R nin her I ideali ve her i ≥ 1 tamsayısı icin ExtiR(R/I,M) = 0 dır.

(v) R nin her I ideali icin Ext1R(R/I,E) = 0 dır (Enochs ve Jenda 2000).

Tanım 2.11.16. R bir halka, M bir R-modul ve F R-modullerin sınıfı olsun. F ∈ F

icin ϕ:M → F donusumu goz onune alınsın. Her F ′ ∈ F ve f :M → F ′ donusumu

icin gϕ = f olacak bicimde g:F → F ′ donusumu varsa, ϕ ye M nin on zarfı

(preenvelope) adı verilir.

F ′

M F-ϕ

��f

pppppppp6g

Eger F sınıfı injektif modullerden olusuyorsa, injektif on zarf elde edilir. Ayrıca

F = F ′ ise, injektif zarf (injective envelope) bulunur (Enochs ve Jenda 2000).

Teorem 2.11.17. P projektif bir modul olsun. Bir A modulu icin P modulunun

A-projektif olması icin gerek ve yeter sart her A-injektif modulu icin P modulunun

A-projektif olmasıdır (Mohamed ve Muller 1990).

Tanım 2.11.18. R bir halka olmak uzere halkanın her sag ideali projektif ise R’ye

kalıtsal(hereditary) halka denir (Rotman 2000).

Teorem 2.11.19. R bir halka olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R sag kalıtsal halkadır.

(ii) Projektif bir modulun her alt modulu projektiftir.

(iii) Injektif bir modulun her bolum modulu injektiftir (Rotman 2000).

14

2.12 Saf Injektif ve Duz Moduller

Tanım 2.12.1. M bir modul olsun. Her 0→ T → N → N/T → 0 saf tam dizisine

HomR(−,M) uygulandıgında 0→Hom(N/T,M)→Hom(N,M)→Hom(T,M)→0

tam dizisi elde ediliyorsa, M modulune saf injektif (pure injective) denir (Enochs

ve Jenda 2000).

Tanım 2.12.2. M bir sag R-modul olsun. Sol R-modullerin 0→ A→ B → C → 0

tam dizisi icin 0→ M ⊗ A→ M ⊗ B → M ⊗ C → 0 tam dizisi elde ediliyorsa, M

ye duz (flat) modul denir (Enochs ve Jenda 2000).

Sonuc. 2.12.3. Her projektif modul duz moduldur (Enochs ve Jenda 2000).

Teorem 2.12.4. M bir R-modul olmak uzere asagıdakiler denktir.

(i) M duz moduldur.

(ii) i ≥ 1 olmak uzere her M modulu icin TorRi (M,F ) = 0 dır.

(iii) M R-modulu icin TorR1 (M,F ) = 0 dır.

(iv) Her sonlu uretilmis M R-modulu icin TorR1 (M,F ) = 0 dır (Enochs ve Jenda

2000).

Onerme 2.12.5. F bir modul olmak uzere F nin duz modul olması icin gerek ve

yeter sart her M modulu icin TorRn (F,M) = 0 olmasıdır (Rotman 2000).

Onerme 2.12.6. M bir modul olmak uzere M nin saf alt modullerinin bir zinciri

(Uα)α∈A ise⋃α∈A

Uα, M nin saf alt moduludur (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.12.7. M bir modul ve M nin bir alt modulu A olsun. Her i, j ∈ Z icin

bi ∈ R ve aj ∈ A olmak uzere∑bixij = aj denkleminin M de cozumu varken A

alt modulunde de cozumu varsa, A ya M nin saf (pure) alt modulu denir. Bu ifade

Tanım 2.9.2 ile denktir(Rotman 2000).

Tanım 2.12.8. P bir R-modul ve P nin elemanlarının indekslenmis bir toplulugu

(xα)α∈A olsun. Her x ∈ P ve {fα}α∈A ⊆ HomR(P,R) icin {fα}α∈A(i) α ∈ A icin sonlu bilesen dısı fα(x) = 0,

(ii) x =∑

A fα(x)xα

15

sartlarını saglıyorsa (fα)α∈A ya dual taban adı verilir. P modulunun projektif olması

icin gerek ve yeter sart P nin dual tabana sahip olmasıdır (Anderson ve Fuller 1992).

Onerme 2.12.9. M sonlu gosterime sahip bir modul olsun. Bu durumda M

modulunun projektif olması icin gerek ve yeter sart M nin duz modul olmasıdır

(Enochs ve Jenda 2000).

Tanım 2.12.10. R bir halka olmak uzere her a ∈ R icin a = aba olacak bicimde

bir b ∈ R varsa, R ye duzenli (Von Neumann Regular) halka denir (Rotman 2000).

Teorem 2.12.11. R halkasının duzenli halka olması icin gerek ve yeter sart her sag

R-modulun duz modul olmasıdır (Rotman 2000).

2.13 Yerel Halkalar ve Moduller

Tanım 2.13.1. R halkasının tum maksimal sol ideallerinin kesisimine Jacobson

radikali denir ve J(R) ile gosterilir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.13.2. R bir halka olsun. R nin birimi 1 olmak uzere 1 = a + b icin a ya

da b tersinir ise, R ye yerel (local) halka denir (Anderson ve Fuller 1992).

Teorem 2.13.3. R bir halka olmak uzere asagıdakiler denktir.

(i) R yerel halkadır.

(ii) R halkası bir tek maksimal sol ideal kapsar.

(iii) J(R) maksimal sol idealdir.

(iv) R de sol tersleri olmayan elemanların toplulugu toplama islemi altında kapalıdır.

(v) J(R) = {x ∈ R : Rx 6= R} dir.

(vi) R/J(R) bolum halkasıdır.

(vii) J(R) = {x ∈ R : x tersinir degilse} dir.

(viii) x ∈ R icin, x ya da 1− x tersinirdir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.13.4. M bir R-modul olsun. M nin sıfır ve kendisinden baska alt modulu

yoksa M ye basit (simple) modul denir. M nin basit alt modullerinin toplamına sokul

(socle) denir ve Soc(M) ile gosterilir. M basit alt modullerinin dik toplamı sekilinde

yazılabiliyor veya M = Soc(M) ise, M ye yarı basit (semisimple) modul denir. R

16

halkası sag R-modul olarak yarı basit ise, R ye yarı basit halka denir (Anderson ve

Fuller 1992).

Teorem 2.13.5. R bir halka olmak uzere asagıdakiler denktir.

(i) R yarı basit halkadır.

(ii) Her R-modul yarı basittir.

(iii) Her sol ya da sag R-modul injektiftir.

(vi) Sol ya da sag R-modullerin her tam dizisi parcalanır.

(v) Her sol ya da sag R-modul projektiftir (Rotman 2000).

Tanım 2.13.6. M bir R-modul ve 0 6= N ≤ M olsun. Eger M nin sıfırdan farklı

her L alt modulu icin N ∩ L 6= 0 oluyorsa, N ye M nin esas (essential) alt modulu

adı verilir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.13.7. M bir R-modul olmak uzere K ≤ M olsun. M = L+K olan her

L ≤ M icin L = M oluyorsa K modulune M modulunun dar (small) alt modulu

denir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.13.8. M bir R-modul olsun. Eger M nin her oz (proper) alt modulu dar

ise, M ye sıg (hollow) modul denir (Mohamed ve Muller 1990).

Tanım 2.13.9. M bir sıg modul olsun. Rad(M) 6= M ise, M ye yerel (local) modul

denir (Mohamed ve Muller 1990).

2.14 Zincir Kosulları

Tanım 2.14.1. M bir modul olsun. M nin alt modullerinin olusturdugu her

N1 ≤ N2 ≤ N3 ≤ · · · artan dizisi sonlu bir adımda duruyorsa, M ye artan zin-

cir kosulunu (ascending chain condition) saglar denir. Artan zincir sartını saglayan

modullere Noetherian modul denir. R halkası sag (sol) R-modul olarak Noetherian

ise, R ye sag (sol) Noetherian halka denir (Rotman 2000).

Teorem 2.14.2. M bir modul olmak uzere asagıdakiler denktir.

(i) M Noetherian moduldur.

(ii) M nin her alt modulu sonlu uretilmistir.

17

(iii) M nin alt modullerinin bostan farklı bir kumesi maksimal eleman icerir (An-

derson ve Fuller 1992).


(i) R Noetherian halkadır.

(ii) Injektif R-modullerin dik toplamı injektiftir.

(iii) BasitR-modullerin injektif zarflarının sayılabilen dik toplamları injektiftir (Kasch

1976).

Tanım 2.14.4. M bir modul olsun. M modulunun alt modullerinin her azalan

N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ ... dizisi sonlu bir adımda durursa M ye azalan zincir kosulunu

saglar ya da M ye Artinian modul denir. R halkası sag R-modul olarak Artinian

ise R ye sag Artinian halka denir. Sol Artinian halka da benzer sekilde tanımlanır


Onerme 2.14.5. R duzenli bir halka olmak uzere asagıdakiler denktir.

(i) R yarı basit halkadır.

(ii) R sol Artinian halkadır.

(iii) R sag Artinian halkadır.

(vi) R sol Noetherian halkadır.

(v) R sag Noetherian halkadır (Anderson ve Fuller 1992).

Teorem 2.14.6. M bir R-modul olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) M Artinian moduldur.

(ii) M modulunun her bolum modulu sonlu es uretilmistir.

(iii) M modulunun alt modullerinin bostan farklı kumesi minimal elemana sahiptir



(i) R sag Artinian halkadır.

(ii) Her sonlu uretecli sol R-modul Artiniandır.

(iii) Her sonlu uretecli sol R-modul sonlu es uretilmistir (Anderson ve Fuller 1992).

18


(i) R sag Artinian halkadır.

(ii) Her injektif R-modul basit modullerin injektif zarflarından olusan bir ailenin dik

toplamıdır (Sharpe ve Vamos 1972).

2.15 Tam ve Yarı Tam Halkalar

Tanım 2.15.1. R bir halka olmak uzere R/J(R) yarı basit ve es kare (idempotent)

elemanlar J(R) ye yukseliyor ise, R ye yarı tam (semiperfect) halka denir. Yerel

halkalar ve sol (sag) Artinian halkalar yarı tam halkalara ornektir (Anderson ve

Fuller 1992).

Tanım 2.15.2. M bir modul ve C modullerin bir sınıfı olsun. C nin bir F elemanı

ve bir Fϕ→M homomorfizması goz onune alınsın.

(i) C nin her F ′ elemanı ve her F ′f→M homomorfizması icin

F ′

F M

pppppppp?g@@@@R

f

-ϕ

ϕg = f olacak bicimde g donusumu bulunabiliyorsa ϕ ye M nin C-on ortusu (pre-

cover) denir.

(ii) Fϕ→ M homomorfizması M nin bir on ortusu olsun. Eger F

ϕ→ M donusumu

icin

F

F M

pppppppp?g@@@@R

ϕ

-ϕ

cizelgesini degismeli yapan her g donusumu, F nin otomorfizması oluyorsa Fϕ→M

ye M nin C-ortusu denir.

Eger C sınıfı projektif modullerin sınıfını temsil ediyorsa, (i) sartını saglayan F ye

M nin projektif on ortusu, (ii) sartını saglayan F ye M nin projektif ortusu denir

(Enochs ve Jenda 2000).

19

Tanım 2.15.3. M bir modul olsun. Eger Pf→M → 0 olacak sekilde bir projektif

P modulu ve cekirdegi P de dar modul olacak sekilde bir f donusumu bulunabilirse,

P ye M nin projektif ortusu denir (Anderson ve Fuller 1992).

Yukarıda verilen iki projektif ortu tanımı da birbirine denktir.

Tanım 2.15.4. (i) R bir halka ve {e1, e2, ..., en} de R nin es kare elemanlarından

olusan bir kume olsun. Her i 6= j icin eiej = 0 oluyorsa, {e1, e2, ..., en} kumesine

kareslerin dik kumesi (orthogonal set of idempotents) denir.

(ii) {e1, e2, ..., en} bir R halkasının es kare elemanlarının dikey kumesi ve e1+e2+...+

en = 1 ise, {e1, e2, ..., en} kumesine es kare elemanların tam dikey kumesi (complete

orthogonal set of idempotents) denir (Anderson ve Fuller 1992).


(i) R yarı tam halkadır.

(ii) eiRei yerel halka olacak bicimde R halkası es kare elemanların {e1, e2, ..., en} tam

dikey kumesine sahiptir.

(iii) Her basit R-modul projektif ortuye sahiptir.

(iv) Her sonlu uretilmis R-modul projektif ortuye sahiptir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.15.6. R bir halka olsun. R sol ve sag Artinian, sol ve sag injektif halka

ise, R ye quasi-Frobenius halka denir ( Nicholson ve Yousif 2003).

Tanım 2.15.7. R bir halka olsun. Her basit sag modul R nin sag idealine

izomorf oluyorsa, R ye sag Kasch halka denir. Sol Kasch halka da benzer sekilde

tanımlanabilir (Nicholson ve Yousif 2003).


(i) R quasi-Frobenius halkadır.

(ii) R halkası sol (sag) Artinian halkadır ve R halkası sol(sag) R-injektiftir.

(iii) R halkası sol (sag) Noetherian halkadır ve sol(sag) R-injektiftir.

(iv) R halkası sol (sag) sıfırlayanlar uzerinde artan zincir kosulunu saglar ve R halkası

sol (sag) R-injektiftir.

(v) R halkası sag ve sol Noetherian halkadır ve tum T sag idealleri icin rR(T ) = T

ve tum sol L idealleri icin lR(L) = L dir (Nicholson ve Yousif 2003).

20

Teorem 2.15.9. R sag ve sol Artinian halkası olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R halkası quasi-Frobenius halkadır.

(ii) R halkası sag ve sol Kasch halkasıdır ve her yerel e es kare elemanı icin Soc(Re)

ve Soc(eR) basittir.

(iii) Soc(RR) = Soc(RR) dir ve her yerel e es kare elemanı icin Soc(Re) ve Soc(eR)

ya basittir ya da sıfırdır (Nicholson ve Yousif 2003).

Tanım 2.15.10. R bir halka olmak uzere a1, a2, ..., an ∈ I ve bazı n ∈ N elemanları

icin anan−1...a1 = 0 oluyorsa I idealine sag T -ustelsıfır denir (Anderson ve Fuller

1992).

Onteorem 2.15.11. R halkasının bir sol ideali J olmak uzere asagıdaki ifadeler

denktir.

(i) J sol T -ustelsıfırdır.

(ii) Her sıfırdan farklı M sol R-modulu icin JM 6= M dir.

(iii) Her sıfırdan farklı M sol R-modulu icin JM << M dir.

(iv) F = RN icin JF << F dir (Anderson ve Fuller 1992).

Tanım 2.15.12. R bir halka olmak uzere her sag R-modul projektif ortuye sahip

ise R ye sag tam (perfect) halka denir. Benzer sekilde sol tam halka da tanımlanabilir



(i) R sag tam halkadır.

(ii) R/J(R) yarı basittir ve J sag T-ustelsıfırdır.

(iii) R/J(R) yarı basittir ve sıfırdan farklı her R-modul maksimal alt modul icerir.

(iv) Her duz R-modul projektiftir.

(v) R halkası temel sol idealler icin minimum olma sartını saglar.

(vi) R halkası es kare elemanların sonsuz dikey kumesini icermez ve sıfırdan farklı

her R-modul minimal alt modul icerir (Anderson ve Fuller 1992).

Onerme 2.15.14. R yarı tam bir halka olsun. Her sonlu uretilmis duz modul

projektiftir (Rotman 2000).

21

Teorem 2.15.15. (Wakamatsu Lemma) F modullerin sınıfını gostermek uzere

modullerin sınıfı genisleme altında kapalı olsun. ϕ : F →M morfizması F ortusune

sahip ise Kerϕ ∈ F dir ( Enochs ve Jenda 2000).

Teorem 2.15.16. (Nakayama Lemma) R bir halka ve I sol ideali icin asagıdaki

onermeler denktir.

(i) I ≤ J(R) dir.

(ii) Her sonlu uretecli M sol R-modulu icin eger IM = M ise M = 0 dır.

(iii) Her sonlu uretecli M sol R-modulu icin IM << M dir (Anderson ve Fuller

1994).

Onerme 2.15.17. R bir halka olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R halkası sag dik toplananlar uzerinde artan zincir kosulunu saglar.

(ii) R halkası sol dik toplananlar uzerinde azalan zincir kosulunu saglar.

(iii) R halkası sıfırdan farklı dikey es kare elemanların sonsuz kumesine sahip degildir

(Lam 1998).

Onerme 2.15.18. R halkası Onerme 2.15.17 deki sartlardan birini saglıyorsa, RR

halkası parcalanamaz sag ideallerin sonlu dik toplamıdır (Lam 1998).

Tanım 2.15.19. M modulunun bir alt modulu N olsun. Her f ∈ End(M) icin

f(N) ⊆ N oluyorsa N ye M nin tam degismez (fully invariant) alt modulu denir

(Lam 1998).

2.16 Tekil ve Tekilsiz Moduller

Tanım 2.16.1. R bir halka olmak uzere Zl(R) = {t ∈ R : lR(t) ≤ess

RR} kumesine

R nin sol tekil (singular) ideali denir. Zl(R) kumesi bos kume ise sol tekilsiz (non-

singular) ideal olarak adlandırılır. Benzer olarak da Zr(R) = {t ∈ R : rR(t) ≤essRR}

kumesine de R nin sag tekil ideali denir (Lam 1998).

Onerme 2.16.2. M yarı basit bir modul olsun. M modulu tekil olmayan (non-

singular) bir moduldur ancak ve ancak M projektiftir (Lam 1998).

22

Onerme 2.16.3. M basit bir modul olmak uzere

(i) M modulu ya duseydir ya da tekil bir moduldur.

(ii) Hem dusey hem de tekil olan bir modul 0 dır.

(iii) M tekil moduldur ancak ve ancak MSoc(R) = 0 dır (Lam 1998).

Teorem 2.16.4. R bir halka ve R/J(R) yarı basit ise her basit R-modul (R/J(R))R

nin alt modulune izomorftur (Kasch 1982).

Teorem 2.16.5. R/J(R) yarı basit bir halka ise her M sag R-modulu icin

asagıdakiler vardır.

(i) Rad(M) = MJ(R)

(ii) Soc(M) = lM(J(R)) = {m : m ∈M ve mJ(R) = 0} (Kasch 1982).

23

3. ES BURULMALI GRUPLAR

3.1 Bolunebilir ve Inmis Gruplar

Onerme 3.1.1. R degismeli kalıtsal bir halka olmak uzere A, B ve C R-modulleri

verildiginde

Ext1R(TorR1 (A,B), C) ∼= Ext1

R(A,Ext1R(B,C))

dir (Rotman 2000).

Onerme 3.1.2. R ve S iki halka olsun.

(i) RA, SBR ve SC modulleri icin

HomR(A,HomS(B,C)) ∼= HomS(B ⊗R A,C)

dir (Enochs ve Jenda 2000).

(ii) RA, SBR ve SC modulleri verildiginde SC injektif olmak uzere i ≥ 0 icin

ExtiR(A,HomS(B,C)) ∼= HomS(TorRi (B,A), C)

dir (Enochs ve Jenda 2000).

(iii) AR, RBS ve CS olmak uzere

HomR(A,HomS(B,C)) ∼= HomS(A⊗R B,C)

dir (Wisbauer 1991).

Onerme 3.1.3. R degismeli kalıtsal bir halka olmak uzere A , B ve C R-modulleri

verildiginde

Ext1R(A⊗R B,C)⊕ HomR(TorR1 (A,B), C) ile

Ext1R(A,HomR(B,C))⊕HomR(A,ExtR1(B,C))

izomorftur (Rotman 2000).

Bu bolumde HomZ(A,B) yerine Hom(A,B), Ext1Z(A,B) yerine Ext1(A,B) ve

A⊗Z B yerine de A⊗B kullanılacaktır.

24

Tanım 3.1.4. G grubu degismeli bir grup olmak uzere

dG =< S ⊆ G : S bolunebilir >

kumesine maksimal bolunebilir altgrup denir. dG = {0} ise G grubuna inmis (re-

duced) adı verilir (Rotman 2000).

Onerme 3.1.5. G grubunun inmis bir grup olması icin gerek ve yeter sart

Hom(Q, G) = {0} olmasıdır (Rotman 2000).

Ispat (⇒) f : Q → G donusumunun sıfır donusumu oldugu gosterilirse ispat

tamamlanır. Bolunebilir modullerin goruntuleri de bolunebilir oldugundan f(Q)

da bolunebilirdir. f(Q) ≤ G olmaya devam edecektir. G inmis grup oldugundan

bolunebilir alt grubu yoktur. O halde f(Q) = 0 dır. Buradan f = 0 bulunur.

(⇐) Hom(Q, G) = {0} olsun ve dG 6= 0 oldugu kabul edilsin. 0 6= x ∈ dG alındıgında

n ∈ Z icin f(n) = nx ile tanımlansın. dG injektif oldugundan

dG

0 Z Q-��f

-πppppppp6g

cizelgesi degismeli olacak sekilde bir g vardır. Bu bir celiskidir. Boylece dG = 0

olur.

Onerme 3.1.6. Degismeli grupların

0→ Af→ B → C → 0

tam dizisi verilsin. A ve C inmis gruplar ise, B inmis gruptur(Rotman 2000).

Ispat Verilen tam diziye Hom(Q,−) uygulayalım.

0→Hom(Q, A)→Hom(Q, B)→Hom(Q, C)→ 0

dizisi elde edilir.

f∗:Hom(Q, A)→Hom(Q, B)

25

f∗ = 0 oldugundan Hom(Q, B) = 0 olur. Boylece B inmis modul olur.

Onerme 3.1.7. G degismeli bir grup olsun.

(i) dG, G nin bolunebilir alt grubudur.

(ii) 0 → dG → G → G/dG → 0 tam dizisi parcalanır ve G/dG inmis gruptur

(Rotman 2000).

Ispat (i) S1, S2,...,Sm altgrupları bolunebilir olsun. x ∈ S1 + S2 + ... + Sm

ise x = s1 + s2 + ... + sm olacak bicimde si ∈ Si vardır. Genelligi bozmadan

n > 0 icin si = ns′i olacak bicimde si′ ∈ Si ve x = n(s′1 + ... + s′m) oldugundan

S1 + S2 + ... + Sm bolunebilirdir. Buradan dG bolunebilirdir. Cunku, x ∈ dG ve

n > 0 icin x ∈ S1 + S2 + ...+ Sm olacak bicimde bazı bolunebilir Si grupları vardır.

Buradan x = nx′ olacak bicimde x′ ∈ S1 + S2 + ... + Sm ⊆ dG oldugundan dG, G

nin bolunebilir alt grubudur.

(ii) Tek uretcli ideal bolgesi uzerinde modulun injektif olması ile bolunebilir olması

birbirine denktir. Bu durumda (i)’den dG injektiftir. dG injektif alt modul olmak

uzere dG ile baslayan her kısa tam dizi parcalanır. Dolayısıyla

0→ dG→ G→ G/dG→ 0

tam dizisi parcalanır. G/dG inmis alt grup olmadıgı kabul edilsin. O halde D ⊆

G/dG olacak bicimde D bolunebilir alt grubu vardır. π : G → G/dG fonksiyonu

icin π−1(D) de G nin bolunebilir bir alt kumesidir. π(dG) = 0 ∈ D oldugundan

buradan ters goruntuye gecilirse dG ⊆ π−1(D) ⊆ G oldugu elde edilir. Bu ise dG

nin maksimal alt grup olması ile celisir. Boylece G/dG inmis alt gruptur.

3.2 Es Burulmalı Grupların Genel Ozellikleri

Tanım 3.2.1. Degismeli grupların 0 → A → B → C → 0 saf tam dizisi

parcalanırsa, A degismeli grubuna cebirsel tıkız (algebraic compact) denir (Rotman

2000).

Tanım 3.2.2. G degismeli grubu icin Ext1(Q, G) = 0 ise G grubuna es burulmalı

grup (cotorsion group) denir. G es burulmalı grup ise G ile baslayıp Q ile biten her

dizi parcalanır (Rotman 2000).

26

Onerme 3.2.3. (i) Her cebirsel tıkız grup es burulmalıdır.

(ii) X burulmasız grup olmak uzere, G grubunun es burulmalı olması icin gerek ve

yeter sart 0→ G→ B → X → 0 tam dizisinin parcalanmasıdır.

(iii) Es burulmalı grupların bolumu es burulmalıdır.

(iv) Es burulmalı grupların dik toplananları es burulmalıdır.

(v) Es burulmalı grupların dik carpımları es burulmalıdır.

(vi) C es burulmalı ve C/K inmis grup ise K es burulmalı gruptur (Rotman 2000).

Ispat (i) G cebirsel tıkız oldugundan her saf tam dizi parcalanır. Q burulmasız

grup oldugundan 2.10.2 den Q ile biten her tam dizi saf tamdır. O halde 0→ G→

B → Q→ 0 tam dizisi parcalanır buradan Ext1(Q, G) = 0 bulunur.

(ii) X burulmasız bir grup olmak uzere 0→ X → Q⊗X → C → 0 dizisi Ext1(−, G)

ile islemlenirse

· · · →Ext1(Q⊗X,G)→Ext1(X,G)→Ext2(C,G)→ · · · uzun tam dizisi elde edilir.

n > 2 icin Extn(A,G) = 0 oldugundan Extn(C,G) = 0 dır. Q ⊗X tensor carpımı

Q uzerinde vektor uzayı oldugundan Q⊗X ∼=⊕

Q dur.

Ext1(Q⊗X,G) ∼= Ext1(⊕

Q, G) ∼= Π Ext1(Q, G) = {0}

oldugundan Ext1(Q, G) = 0 olur.

(iii)

0→ K → C → C ′ → 0

tam dizisi Ext1(Q,−) ile islemlenirse

· · · →Ext1(Q, C)→Ext1(Q, C ′)→Ext2(Q, K)→Ext2(Q, C)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. Onerme 2.10.11 den Ext2(Q, K) = 0, Ext2(Q, C) = 0

ve C es burulmalı grup oldugundan Ext1(Q, C) = 0 dır. O halde Ext1(Q, C ′) = 0

oldugundan C ′ es burulmalı grup olur.

(iv) C es burulmalı grup ve C = A⊕B olsun.

0 =Ext1(Q, C) ∼= Ext1(Q, A) ⊕ Ext1(Q, B)

27

oldugundan Ext1(Q, A) = 0 ve Ext1(Q, B) = 0 olur. Buradan A ve B es burulmalı

grup bulunur.

(v) Her bir Ci es burulmalı grup olmak uzere Ext1R(Q, Ci) = 0 ve

∏Ext1

R(Q, Ci) ∼= Ext1R(Q,

∏Ci) = 0

oldugundan ispat biter.

(vi)

0→ K → C → C/K → 0

tam dizisi ele alınsın. Tam dizi Hom(Q,−) ile islemlendiginde

0→Hom(Q, K)→Hom(Q, C)→ Hom(Q, C/K)→Ext1(Q, K)→Ext1(Q, C)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. C/K inmis grup oldugundan Hom(Q, C/K) = 0 dır ve

C es burulmalı grup oldugundan Ext1(Q, C) = 0 dır. O halde Ext1(Q, K) = 0 olur.

Buradan K es burulmalı gruptur.

Teorem 3.2.4. G, X, Y grupları degismeli grup ve D degismeli ve bolunebilir grup

olsun. G grubunun es burulmalı olması icin gerek ve yeter sart G ∼= D⊕ Ext1(X, Y )

olmasıdır (Rotman 2000).

Ispat G ∼= D⊕ Ext1(X, Y ) olsun. Bu durumda

Ext1(Q, G) ∼= Ext1(Q, D)⊕Ext1(Q,Ext1(X, Y ))

dir. D bolunebilir grup oldugu icin D injektiftir, o halde Ext1(Q, D) = 0 dır. Diger

taraftan Ext1(Q,Ext1(X, Y )) ∼= Ext1( Tor1(Q, X), Y ) dır. Q duz modul oldugundan

Tor1(Q, X) = 0 dır. O halde Ext1(Q,Ext1(X, Y )) = 0 oldugundan Ext1(Q, G) = 0

bulunur. Boylece G es burulmalı grup olur. Tersine G es burulmalı grup olsun.

Degismeli bir grup bolunebilir ve inmis grubun dik toplamı oldugundan G = dG⊕A

dır. Es burulmalı grupların dik toplamları es burulmalı oldugundan bazı X ve Y ler

icin A ∼= Ext1(X, Y ) oldugu gosterilmelidir.

0→ Z→ Q→ Q/Z→ 0

kısa tam dizisine Hom(−, A) uygulansın. O halde

28

· · ·Hom(Q, A)→Hom(Z, A)→Ext1(Q/Z, A)→Ext1(Q, A) · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. A inmis grup oldugundan Hom(Q, A) = 0 dır. A grubu es

burulmalı oldugundan Ext1(Q, A) = 0 dır. BuradanA ∼= Hom(Z, A) ∼=Ext1(Q/Z, A)

bulunur.

Sonuc. 3.2.5. (i) G degismeli bir grup olmak uzere Ext1(Q/Z, G) ve Hom(Q/Z, G)

inmis ve es burulmalı gruplardır (Rotman 2000).

Ispat (i) Teorem 3.2.4 un ispatından Ext1(Q/Z, G) ∼= G dir. O halde Ext1(Q/Z, G)

es burulmalıdır. Onerme 3.1.3 den

Ext1(Q⊗Q/Z, G)⊕Hom(Tor1(Q,Q/Z), G) ∼=

Ext1(Q,Hom(Q/Z, G))⊕Hom(Q,Ext1(Q/Z, G))

dir.a

b⊗(

c

d+Z) ∈ Q⊗Q/Z icin

da

db⊗(

c

d+Z) =

a

db⊗(

dc

d+Z) =

a

db⊗(0+Z) = 0+Z

dir. Q duz modul oldugundan Tor1(Q,Q/Z) = 0 dır. Izomorfizmanın sol tarafı

sıfır oldugundan sag taraf da sıfırdır. O halde Hom(Q,Ext1(Q/Z, G)) = 0 dır.

Buradan Ext1(Q/Z, G) inmis grup bulunur. Ext1(Q,Hom(Q/Z, G)) = 0 oldugundan

Hom(Q/Z, G) es burulmalı grup olur. Gosterilmesi gereken Hom(Q/Z, G) nin inmis

grup olmasıdır. Ek izomorfizmasından

Hom(Q,Hom(Q/Z, G)) ∼= Hom(Q⊗Q/Z, G)

ve Q ⊗ Q/Z = 0 oldugundan Hom(Q ⊗ Q/Z, G) = 0 dır. O halde izomorfizmanın

ilk tarafı sıfır oldugundan Hom(Q/Z, G) inmis grup bulunur.

Onerme 3.2.6. T inmis ve burulmalı, V burulmasız ve bolunebilir grup olacak

sekilde

0→ T →Ext1(Q/Z, T )→ V → 0

tam dizisi mevcuttur (Rotman 2000).

Ispat

0→ Z→ Q→ Q/Z→ 0

tam dizisine Hom(−, T ) uygulanırsa

29

· · · →Hom(Q, T )→Hom(Z, T )→Ext1(Q/Z, T )→Ext1(Q, T )→Ext1(Z, T ) · · ·

tam dizisi elde edilir. T inmis grup oldugundan ilk terim ve Z projektif oldugundan

son terim yok olur. Hom(Z, T ) ∼= T dir ve Ext1(Q, T ), Q uzerinde vektor uzayı

oldugundan bolunebilir ve burulmasızdır.

Onerme 3.2.7. T bolunebilir burulmalı grupların tum izomorfizma sınıflarını ve

Hom(Q/Z, T ) de burulmasız inmis es burulmalı grupların tum izomorfizma sınıflarını

gostermek uzere η : T →Hom(Q/Z, T ) birebir ve orten donusumu mevcuttur (Rot-

man 2000).

Ispat T burulmalı degismeli grup olsun. Sonuc 3.2.5 den Hom(Q/Z, T ) inmis ve

es burulmalıdır. 0 → Z → Q → Q/Z → 0 tam dizisi Hom(−, T ) ile islemlenirse,

0→Hom(Q/Z, T )→Hom(Q, T )→Hom(Z, T ) · · · tam dizisi elde edilir. Hom(Q, T ),

Q uzerinde vektor uzayı oldugundan Hom(Q, T ) burulmasızdır. Hom(Q/Z, T ),

Hom(Q, T ) nin alt grubu oldugundan burulmasızdır.

(i) η birebirdir: T bolunebilir ve aynı zamanda injektif oldugundan

0→Hom(Q/Z, T )→Hom(Q, T )→Hom(Z, T )→Ext1(Q/Z, T )→ · · ·

tam dizisinden

0→Hom(Q/Z, T )→Hom(Q, T )→ T → 0

dizisi elde edilir. Bu dizi Q/Z ile tensorlenirse

· · · →Tor1(Q/Z,Hom(Q, T ))→Tor1(Q/Z, T )→ Q/Z⊗Hom(Q/Z, T )→

Q/Z⊗Hom(Q, T )→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. Hom(Q, T ), Q uzerinde vektor uzayı oldugundan burul-

masız ve bolunebilirdir. Hom(Q, T ) duz modul oldugundan ilk terim yok olur. Q/Z

burulmalı ve Hom(Q, T ) bolunebilir oldugundan Onerme 2.10.17 den son terim yok

olur ve Tor1(Q/Z, T ) ∼= T dir. Sonuc olarak T ∼= Q/Z⊗Hom(Q/Z, T ) dir. T ve T ′

bolunebilir ve burulmalı olsun. η(T ) = η(T ′) ise Hom(Q/Z, T ) ∼=Hom(Q/Z, T ′) dir.

T ∼= Q/Z⊗Hom(Q/Z, T ) ∼= Q/Z⊗Hom(Q/Z, T ′) ∼= T ′ oldugundan η birebirdir.

(ii) η ortendir: Q/Z bolunebilir ve burulmalı oldugundan bir G grubu icin Onerme

2.10.18 den Q/Z⊗G burulmalıdır.

30

0→ Z→ Q→ Q/Z→ 0

tam dizisi G ile tensorlenirse

· · · →Tor1(Q/Z, G)→ Z⊗G→ Q⊗G→ Q/Z⊗G→ 0

uzun dizisi elde edilir. G duz modul oldugundan ilk terim yok olur ve Z ⊗ G ∼= G

oldugundan dizi daha kısa yazılırsa

0→ G→ Q⊗G→ Q/Z⊗G→ 0

dizisi elde edilir. Verilen diziye Hom(Q/Z,−) uygulanırsa

· · · Hom(Q/Z,Q⊗G)→ Hom(Q/Z,Q/Z⊗G)→Ext1(Q/Z, G)→Ext1(Q, G) · · ·

uzun dizisi elde edilir. G nin inmis ve es burulmalı grup oldugu kabul edilsin. Q/Z

burulmalı ve Q⊗G burulmasız oldugundan Onerme 2.10.19 dan ilk terim yok olur.

G es burulmalı grup oldugu icin son terim yok olur. Ek izomorfizmasından

Hom(Q/Z,Q/Z⊗G) ∼= Ext1(Q/Z, G)

dır. Sonuc 3.2.5 den G ∼= Ext1(Q/Z, G) bulunur. O halde η ortendir.

Tanım 3.2.8. G es burulmalı grubu inmisse ve burulmasız dik toplananı yoksa, G

ye duzeltilmis (adjusted) grup denir (Rotman 2000).

Onerme 3.2.9. G inmis, es burulmalı ve B burulmasız grup olmak uzere G = A⊕B

olacak bicimde bir tek A duzeltilmis alt grubu mevcuttur (Rotman 2000).

Ispat tG grubu G nin burulmalı alt grubu olmak uzere tG ⊆ H ⊆ G ve H/tG =

d(G/tG) olsun. Degismeli bir grup bolunebilir ve inmis grupların toplamı biciminde

yazılabileceginden ve G/H ∼= (G/tG)/(H/tG) inmis oldugundan G/tG ∼= H/tG ⊕

(G/tG)/(H/tG) dir. tG burulmalı alt grup oldugundan G/tG burulmasızdır. O

halde G/H ∼= (G/tG)/(H/tG) burulmasızdır. Simdi H ≤ G oldugu gosterilsin.

0→ H → G→ G/H → 0

kısa tam dizisine Hom(Q,−) uygulandıgında

31

· · · →Hom(Q, G/H)→Ext1(Q, H)→Ext1(Q, G)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. G/H inmis oldugundan Hom(Q, G/H) = 0 dır. G

es burulmalı grup oldugundan Ext1(Q, G) = 0 dır. Dolayısıyla Ext1(Q, H) =

0 oldugundan H es burulmalı grup olarak bulunur. X burulmasız grup olmak

uzere Onerme 3.2.3 den Ext1(X,H) = 0 dır. G/H burulmasız grup oldugundan

Ext1(G/H,H) = 0 dır. O halde H ile baslayan G ile biten dizi parcalanacagı icin

G ∼= H ⊕G/H dır.

Simdi gosterilmesi gereken H alt grubunun duzeltilmis grup olmasıdır. H = S ⊕ S ′

ve S burulmasız grup olsun. tG burulmalı grup oldugundan S ∩ tG = 0 dır.

H/tG ∼= (S ⊕ S ′)/tG ∼= (S + tG)/tG⊕ (S ′ + tG)/tG

oldugundan (S + tG)/tG ∼= S/(S ∩ tG) ∼= S dir. h ∈ tG ⊆ H icin nh = 0 olacak

bicimde n ≥ 0 mevcuttur. s ∈ S ve s′ ∈ S icin 0 = nh = ns + ns′ dır. O halde

ns ∈ S ∩ S ′ = 0 dır. S burulmasız grup oldugundan s = 0 dır. Buradan h = s′ ∈ S ′

oldugundan tG ⊆ S ′ bulunur. Sonuc olarak H/tG ∼= S ⊕ (S ′/tG) olur. Bolunebilir

grubun alt grubu bolunebilir grup oldugundan S bolunebilir gruptur. Boylece H ın

her burulmasız dik toplananının bolunebilir oldugu ispatlandı. H inmis oldugundan

bolunebilir alt grubu olmadıgı icin S = 0 bulunur. Boylece H ın burulmasız dik

toplananı olmadıgı icin H duzeltilmis gruptur.

H ın tek oldugu gosterilirse ispat tamamlanır. H ve H ′, G nin duzeltilmis alt

grupları olsun. O halde G/H ′ burulmasızdır. H ⊆ H ′ oldugu kabul edilsin.

G

H ′⊇ H +H ′

H∼=

H

H ∩H ′∼=

H/tG

(H ∩H ′)/tG

oldugu cıkarılabilir. H/tG nin bolunebilir oldugu biliniyor. G ve H ′ indirgenmis

oldugundan bolumu indirgenmistir. O halde bolunebilir alt grup olmasıyla celiski

elde edilir. H ′ ⊆ H oldugu kabul edilsin. Simdi G = H ⊕ B olacak bicimde B

burulmasız grup olsun. H ′ = H ⊕ (H ′ ∩ B) ve H ′ ∩ B burulmasız oldugundan H ′

nun duzeltilmis grup olmasıyla celisir. Sonuc olarak H = H ′ bulunur.

Sonuc. 3.2.10. G inmis ve es burulmalı grup olsun. G grubunun duzeltilmis grup

olması icin gerek ve yeter sart G ∼= Ext1(Q/Z, tG) olmasıdır (Rotman 2000).

32

Ispat Onerme 3.2.9 un ispatından G inmis ve es burulmalı oldugu icin G/H

burulmasız olacak bicimde bir tek H duzeltilmis dik toplananı vardır . tG ⊆ H ve

d(G/tG) = H/tG olacak bicimde H alt grubu mevcuttur. Eger G duzeltilmis grup

ise burulmasız dik toplananı olamayacagından G = H olmak zorundadır. Buradan

G/tG = d(H/tG) bolunebilirdir.

0→ tG→ G→ G/tG→ 0

kısa tam dizisi ele alınsın ve Hom(Q/Z,−) ile islemlendiginde

· · · →Hom(Q/Z, G/tG)→Ext1(Q/Z, tG)→Ext1(Q/Z, G)→Ext1(Q/Z, G/tG) · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. Q/Z burulmalı grup oldugu icin ilk terim yok olur. Tek

uretecli ideal bolgesinde burulmasız olma ile bolunebilir olma denk oldugu icin son

terim yok olur. Buradan Ext1(Q/Z, tG) ∼= Ext1(Q/Z, G) dir. Sonuc 3.2.5 den

G ∼= Ext1(Q/Z, G) bulunur. Tersine G ∼= Ext1(Q/Z, G) olsun. Sonuc 3.2.5 den G

inmis ve es burulmalı gruptur. Eger G = X⊕Y ve Y burulmasız ise tG∩Y = 0 dır.

Buradan G/tG ∼= X/tG ⊕ Y dir. Y , G/tG nin dik toplananıdır. G/tG bolunebilir

oldugundan Y bolunebilirdir. Y ≤ G ve G inmis grup oldugundan Y inmistir.

O halde Y = 0 bulunur. G grubunun burulmasız dik toplananı olmadıgından

duzeltilmis grup olarak bulunur.

Onerme 3.2.11. A duzeltilmis es burulmalı grupların tum izomorfizma sınıflarını

ve tA indirgenmis burulmalı grupların tum izomorfizma sınıfları gostermek uzere

ζ : A→ tA birebir ve orten fonksiyonu mevcuttur (Rotman 2000).

Ispat A ve A′ duzeltilmis iki grup olsun. Eger ζ(A) = ζ(A′) ise tA ∼= tA′ ve

Ext1(Q/Z, tA) ∼= Ext1(Q/Z, tA′) dur. Sonuc 3.2.10 dan

A ∼= Ext1(Q/Z, tA) ∼= Ext1(Q/Z, tA′) ∼= A′

dur. Buradan ζ birebirdir.

T inmis ve burulmalı grup olsun. Iddia edilen tA = T olacak bicimdekiA =Ext1(Q/Z, T )

nin duzeltilmis ve es burulmalı grup olmasıdır. Sonuc 3.2.5 den A es burulmalı grup-

tur.

0→ Z→ Q→ Q/Z→ 0

kısa tam dizisi ele alındıgında

33

· · ·Hom(Q, T )→Hom(Z, T )→Ext1(Q/Z, T )→Ext1(Q, T )→Ext1(Z, T ) · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. T inmis grup oldugundan ilk terim yok olur. Z projektif

oldugundan son terim yok olur. Dizi basit bir duruma getirilirse

0→ T →Ext1(Q/Z, T )→Ext1(Q, T )→ 0

uzun dizisi elde edilir. Ext1(Q, T ), Q uzerinde vektor uzayı oldugundan burul-

masızdır ve bolunebilirdir. T ∼= tExt1(Q/Z, T ) = tA oldugundan Sonuc 3.2.10 dan

A duzeltilmis grup olur.

Teorem 3.2.12. Burulmalı ve degismeli grupların tum izomorfizma sınıflarından

inmis es burulmalı grupların tum izomorfizma sınıflarına

T →Hom(Q/Z, T )⊕Ext1R(Q/Z, T )

seklinde birebir ve orten donusumler vardır (Rotman 2000).

Ispat T = dT ⊕ T ′ ve T ′ inmis ve es burulmalı olmak uzere

Hom(Q/Z, T )⊕ Ext1(Q/Z, T ) ∼= Hom(Q/Z, dT )⊕Hom(Q/Z, T ′)

⊕Ext1(Q/Z, dT )⊕ Ext1(Q/Z, T ′) izomorfizması elde edilir. T ′ inmis ve Q/Z injektif

oldugundan Hom(Q/Z, T ′) = 0 ve dT bolunebilir oldugundan Ext1(Q/Z, dT ) = 0

dır. Onerme 3.2.7 den Hom(Q/Z, dT ) burulmasız, inmis ve es burulmalıdır. Onerme

3.2.11 den Ext1(Q/Z, T ′) duzeltilmis es burulmalı grup olup ispat biter.

34

4. ES BURULMALI MODULLER

4.1 Es Burulmalı ve Saf Injektif Moduller

Tanım 4.1.1. R bir halka ve C bir R-modul olsun. Eger her F duz modulu icin

Ext1R(F,C) = 0 oluyorsa C modulune es burulmalı (cotorsion) modul denir. Eger R

halkası kendisi uzerinde sag R-modul olarak es burulmalı modul ise R halkasına sag

es burulmalı halka denir (Enochs ve Jenda 2000).

Onerme 4.1.2. Her saf injektif modul es burulmalı moduldur (Mao ve Ding 2006).

Ispat C saf injektif sag R-modul olsun. Her F duz modulu icin Ext1R(F,C) = 0

oluyorsa C es burulmalı modul olur. Ext1R(F,C) = 0 olması C ile baslayıp F ile

biten dizinin parcalanması demektir

C

0 C B F 0- -f

��

1c ppppppp6

g

- -

F duz modul oldugundan C modulu B nin saf alt modulu olur. C saf injektif oldugu

icin gf = 1c olacak sekilde bir g vardır. gf = 1c oldugundan dolayı bu dizi parcalanır

ve boylece C modulu es burulmalı modul olur.

Tanım 4.1.3. R bir halka I da R nin bir ideali olmak uzere eger her sonlu uretilmis

sol ideal sonlu gosterime sahip ise halkaya sol uyumlu (coherent) halka denir. Benzer

tanım sag idealler icin de soylenebilir (Rotman 2000).

Onteorem 4.1.4. R uyumlu halka olsun. M modulunun saf injektif zarfı PE(M)

in duz modul olması icin gerek ve yeter sart M nin duz modul olmasıdır (Fuchs ve

Salce 2001).

Onerme 4.1.5. R uyumlu bir halka ve M modulu duz ve es burulmalı modul ise

M saf injektiftir (Fuchs ve Salce 2001).

Ispat M duz bir modul olmak uzere

0→M → PE(M)→ PE(M)/M → 0

35

tam dizisi alındıgında Onteorem 4.1.4 den PE(M) duz modul olur. O halde PE(M)/M

duz modul ve M modulu PE(M) modulunun saf alt modulu olur. Dolayısıyla alınan

tam dizi saf tam dizi olur. Tam diziye HomR(−,M) uygulanırsa

0→ HomR(PE(M)/M,M)→ HomR(PE(M),M)→ HomR(M,M)→

→ Ext1R(PE(M)/M,M) → Ext1

R(PE(M),M) → Ext1R(M,M) → · · · uzun dizisi

elde edilir. PE(M)/M duz modul ve M es burulmalı modul oldugundan

Ext1R(PE(M)/M,M) = 0 bulunur. Boylece ortenlik elde edildiginden M saf-injektif

olur.

Onerme 4.1.6. (i) C1, C2, ..., Cn es burulmalı modullerin sonlu dik toplamı da es

burulmalı moduludur.

(ii) Es burulmalı modulun her dik toplananı da es burulmalı moduldur.

Ispat (i) C1, C2, ..., Cn modulleri es burulmalı moduller olduklarından her bir Ci

icin Ext1R(F,Ci) = 0 dır. Onteorem 2.10.9 dan⊕

i=1

Ext1R(F,Ci)=Ext1

R(F,⊕i=1

Ci) = 0

bulunur.

(ii) C es burulmalı modul ve C = C1⊕C2 olsun. O halde Ext1R(F,C)=Ext1

R(F,C1)⊕

Ext1R(F,C2) = 0 oldugundan her bir bilesen sıfır olur. Boylece dik toplananlar es

burulmalı modul olur.

4.2 Es Burulmalı Modullerin Genel Ozellikleri

Tanım 4.2.1. R halkasının sag ideallerinin bostan farklı bir kumesi A olmak uzere

bir X modulu alınsın. Her A ∈ A icin Af→ X donusumu R den X e genisliyorsa X

modulune A-injektif modul denir. Yani,

X

0 A R- -i��f

ppppppp6g

A ∈ A icin gi = f cizelgesi degismeli oluyorsa X modulune A-injektif denir (Mao

ve Ding 2006).

36

Onteorem 4.2.2. X bir modul ve R halkasının sag ideallerini kapsayan bir sınıf

A olsun. Bu durumda X modulunun A-injektif olması icin gerek ve yeter sart her

A ∈ A icin, Ext1R(R/A,X) = 0 olmasıdır (Mao ve Ding 2006).

Ispat X modulu A-injektif olsun.

0→ A→ R→ R/A→ 0

tam dizisi ele alındıgında ve bu diziye HomR(−, X) uygulanırsa ,

0→ HomR(R/A,X)→ HomR(R,X)→ HomR(A,X)→

→ Ext1R(R/A,X)→ Ext1

R(R,X)→ Ext1R(A,X)→ · · · uzun dizisi elde edilir.

X modulu A-injektif oldugundan

0→ HomR(R/A,X)→ HomR(R,X)→ HomR(A,X)→ 0

dizisi tam olur. Diger taraftan R projektif modul oldugundan Ext1R(R,X) = 0 dır.

Boylece uzun dizinin tamlıgından Ext1R(R/A,X) = 0 olur.

Tersine her A ∈ A icin, Ext1R(R/A,X) = 0 olsun. Boylece uzun tam diziden

0→ HomR(R/A,X)→ HomR(R,X)→ HomR(A,X)→ 0

elde edilir. Bu ise Teorem 2.11.10 den X in A-injektif olması demektir. Bu her

A ∈ A icin dogru oldugundan X modulu A-injektif olur.

Tanım 4.2.3. R halkasının tum temel sag ideallerini iceren bir kume A olsun. Bir

X modulu alındıgında her aR ∈ A icin aRf→ X donusumu R den X e genisliyorsa

X modulune P-injektif denir. Yani,

X

0 aR R- -i��f

pppppppp6g

degismeli olacak sekilde g varsa X modulu P-injektif olur (Mao ve Ding 2006).

Tanım 4.2.4. R halkasının tum basit sag ideallerinin bir kumesi A olsun. Bir X

modulu alındıgında her I ∈ A icin If→ X donusumu R den X e genisliyorsa X

modulune basit-injektif (min-injective) modul denir. Yani,

37

X

0 IR R- -i��f

pppppppp6g

degismeli olacak sekilde g varsa X basit-injektif olur (Mao ve Ding 2006).

Uyarı 4.2.5. Her basit modul temel oldugundan dolayı X modulu P-injektif ise,

X modulu basit-injektif olur.

Tanım 4.2.6. A = {Soc(R)R} olsun. Bir X modulu alındıgında her A ∈ A icin

Af→ X donusumu R den X e genisliyorsa X modulune Soc(R)-injektif modul denir

(Mao ve Ding 2006).

Uyarı 4.2.7. X modulu Soc(R)R-injektif modul ise X basit-injektif modul olur

(Mao ve Ding 2006).

Ispat X modulu icin R nin herhangi bir basit sag ideali I ve If→ X alınsın. Soc(R)

basit modullerin dik toplamı oldugundan Soc(R) = I⊕ I ′ olacak sekilde I ′ ⊆Soc(R)

vardır. X Soc(R)-injektif oldugundan gi = f ⊕ 0 olacak sekilde g vardır. Buradan

g, f nin bir genislemesidir.

Onerme 4.2.8. R bir halka olmak uzere her S basitR-modulu es burulmalı moduldur

(Mao ve Ding 2005).

Ispat {Si}i∈I basit modullerin ailesi olmak uzere E = E(⊕i∈ISi) olsun.

0→M →∏E

donusumu geregince her modul E injektif modulunun icine gomulur. S basit, F duz

ve E injektif modul oldugundan

Ext1R(F,HomR(S,E)) ∼=HomR(TorR1 (F, S), E)

izomorfizması vardır ve Ext1R(F,HomR(S,E)) = 0 elde edilir. HomR(S,E) ∼= S

oldugundan S es burulmalı modul olur.

38

Onteorem 4.2.9. (i) E saf-injektif bir R-modul olmak uzere her M modulu icin

HomR(M,E) saf-injektiftir.

(ii) Her M modulu icin HomR(M,Q/Z) saf-injektiftir.

(iii) F modulunun duz olması icin gerek ve yeter sart HomR(F,Q/Z) modulunun

injektif olmasıdır (Fuchs ve Salce 2001).

Onerme 4.2.10. R bir halka ve A, R halkasının sag ideallerinin bostan farklı bir

kumesi olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) Her sag es burulmalı modul A-injektiftir.

(ii) Her sag saf-injektif modul A-injektiftir.

(iii) A ∈ A sag ideali icin R/A duz moduldur (Mao ve Ding 2005).

Ispat (i⇒ii) Her es burulmalı modulA-injektif ise saf-injektif moduller es burulmalı

modul oldugundan ispat tamamlanır.

(ii⇒iii) M keyfi bir modul olmak uzere

Ext1R(R/A,HomR(M,Q/Z)) ∼= HomR(TorR1 (M,R/A),Q/Z)

izomorfizmasında HomR(M,Q/Z) karakter modulu oldugundan Onteorem 4.2.9 den

saf-injektiftir. O halde hipotezden A-injektiftir. Onteorem 4.2.2 den

Ext1R(R/A,HomR(M,Q/Z)) = 0 dır. Q/Z injektif es uretec oldugundan TorR1 (M,R/A) =

0 dır. Bu her M modulu icin dogru oldugundan R/A duz modul olur.

(iii⇒i) M es burulmalı modul olsun. O halde

0→ A→ R→ R/A→ 0

tam dizine HomR(−,M) uygulanırsa

0→ HomR(R/A,M)→HomR(R,M)→ HomR(A,M)→ Ext1R(R/A,M)→

Ext1R(R,M)→ Ext1

R(A,M)→ · · ·

uzun dizisi elde edilir. R/A duz modul oldugundan Ext1R(R/A,M) = 0 ve R pro-

jektif modul oldugundan Ext1R(R,M) = 0 olur. Boylece

0→HomR(R/A,M)→HomR(R,M)→ HomR(A,M)→ 0

39

tam dizisi bulunur. Kısa tam dizi orten oldugundan dolayı M modulu A-injektif

olup ispat biter.

Onerme 4.2.11. A sınıfı R halkasının projektif sag ideallerinin bostan farklı bir

kumesi olsun. Eger R halkası A-injektif ise her sag es burulmalı modul A-injektifitr.

R es burulmalı halka oldugunda tersi saglanır (Mao ve Ding 2006).

Ispat Onerme 4.2.10 de 1 yerine 3 gosterilirse ispat tamamlanır.

0→ A→ R→ R/A→ 0

tam dizisinde R/A modulunun duz olması ile A modulunun saf alt modul olması

denktir.

A 6 R⇔∑i

bisij = aj

ve 1 ≤ j ≤ n , 1 ≤ i ≤ m olacak bicimde Tanım 2.12.7 den aj ∈ A , sij ∈ R ve bi ∈ R

mevcuttur. A projektif oldugundan, Tanım 2.12.8 den dolayı {ck : k ∈ I} ⊂ A ve

{fk : k ∈ I} ⊂ HomR(A,R) lineer fonksiyoneller olmak uzere sonlu sayıdaki bilesen

dısı sıfır olan tum k lar icin c ∈ A ve fk(c) = 0 dır. c =∑

k ckfk(c) A−injektif

oldugundan gk ∈ HomR(R,R) dir. fk(aj) = gk(aj) = gk(∑

i bisij) =∑

i gk(bi)sij

buradan aj =∑

k ckfk(aj) =∑

k ck(∑

i gk(bi)sij) =∑

i(∑

k ckgk(bi))sij ve∑

k ckgk(bi) ∈

A ve∑

i(∑

k ckgk(bi))sij ∈ A oldugundan dolayı ispat tamamlanır. Ters ifade ise R

sag es burulmalı halka olarak alındıgında acıktır.

Tanım 4.2.12. R bir halka olmak uzere, R nin her temel sag ideali projektif ise

bu halkaya sag PP halka denir. R halkası uzerinde her basit sag R-modul duz ise

halkaya sag SF halka denir. R halkası uzerinde her basit sag R-modul injektif ise

halkaya sag V-halkası denir. R halkası uzerinde sıfırdan farklı her modul sıfırdan

farklı basit alt modul iceriyorsa R halkasına sag yarı-Artinian (semi-Artinian) halka

denir (Mao ve Ding 2006).

Onerme 4.2.13. R halkasının yarı-Artinian sag V -halkası olması icin gerek ve

yeter sart 0 6= M modulunun 0 6= I ⊆ M olacak bicimde I injektif modulunu

icermesidir (Mao ve Ding 2006).

40

Ispat ⇒ R halkası sag yarı-Artinian halka oldugundan 0 6= M modulu 0 6= K ⊆M

olacak bicimde basit K modulu icerir. R halkası V-halkası oldugundan her basit

modul injektiftir. O halde K modulu injektif modul olur.

⇐ 0 6= N basit modulu alınsın. Hipotezden 0 6= E ≤ N olacak bicimde injektif

E modulu vardır. N modulu basit oldugu icin E = N dir. Yani R halkası V -

halkasıdır.

0 6= N keyfi bir modul olsun. O halde 0 6= nR ∈ N vardır. Hipotezden 0 6=

E1 ≤ nR olacak bicimde E1 injektif modulu mevcuttur. E1 injektif modulu dik

toplanan oldugundan nR = E1 ⊕ E ′1 dir. Eger E1 modulu basit bir modul ise

ispat tamamlanır. E1 modulu basit bir modul degilse 0 6= E2 ≤ E1 ≤ nR olacak

sekilde E2 modulu mevcuttur. E2 modulu basit bir modul ise ispat tamamlanır. E2

modulu basit bir modul degilse o halde E2 parcalanır. nR modulu sonlu uretecli

bir modul oldugundan sonlu bir adımda durur. N modulu 0 6= E injektif modulunu

icerdiginden dolayı R yarı-Artiniandır.


(i) R halkası duzenli halkadır.

(ii) Her sag es burulmalı modul duz moduldur.

(iii) Her sag es burulmalı modul injektif moduldur.

(iv) Her sag es burulmalı modul P-injektiftir.

(v) R halkası sag PP sag P-injektif halkadır.

(vi) Her sıfırdan farklı sag R-modul sıfırdan farklı duz alt modul icerir (Mao ve Ding

2006).

Ispat (i⇒iii) R duzenli halka oldugundan Teorem 2.12.11 den her M modulu duz

moduldur. O halde her A sag ideali icin R/A da duz moduldur. Onerme 4.2.10 den

her sag es burulmalı modul injektif oldugundan ispat tamamlanır.

(iii⇒ i) Kabulden her sag es burulmalı modul injektif oldugundan Onerme 4.2.10

den, her a ∈ R icin R/aR duz moduldur.

0→ aR→ R→ R/aR→ 0

dizisi ele alındıgında aR saf alt modul olur. Saf alt modul olma tanımından a ∈

aR ∩Ra ⊆ aRa ve a = aba olacak bicimde b ∈ R oldugundan R duzenli halka olur.

41

(i⇒ ii) Teorem 2.12.11 den her M modulu duz oldugundan dolayı her es burulmalı

modulde duz modul olup ispat biter.

(i⇒v) a ∈ R icin aR nin projektif oldugunun gosterilmesi gerekmektedir. R duzenli

halka oldugundan dolayı a = aba olacak bicimde b ∈ R vardır. ab = e ve e2 = e

oldugundan aR = eR ≤⊕ R dir. R projektif oldugundan dik toplanan da pro-

jektif olur. Simdi R nin P-injektif oldugunu gosterilsin. R halkası duzenli halka

oldugundan

R

0 aR R- -i��f

pppppppp6g

aR = eR ≤⊕ R olur. R = aR⊕ (1−e)R oldugundan ve g = f⊕0 olarak alındıgında

gi = f olacak sekilde g : R → R homomorfizması bulunur. Boylece R halkası

P-injektif olur.

(ii⇒i) M sag R-modulu alınsın. M modulunun duz oldugu gosterilirse ispat tamam-

lanır.

0→M → C(M)→ C(M)

M→ 0

dizisi ele alındıgında Onteorem 2.15.15 den C ∈ C icin Ext1R(C(M)

M,M)=0 dır. O

halde (FL, C) es burulmalı teorisi olusturdugundan (Enochs ve Jenda 2000)C(M)

Mduz modul olur. C(M) es burulmalı modul oldugundan hipotezden duz modul olur

ve boylece M duz modul olur. Teorem 2.12.11 den R halkası duzenli halka olur.

(i⇒vi) R duzenli halka oldugunda her modul duz oldugundan ve alt modul olarak

modulun kendisi alınırsa ispat biter.

(v⇒iv) M es burulmalı modul olsun. Onerme 4.2.11 deA yerine P temel sag idealler

alınırsa R halkası P-injektif halka ise M modulu P-injektif modul olur.

(iv⇒i) Onerme 4.2.10 de A yerine temel sag idealler alınsın. O halde her A ∈ A icin

R/A duz modul olur. A modulu temel sag ideal olarak alınırsa R/A sonlu gosterime

sahiptir. Bu durumda Onerme 2.12.9 dan R/A nın projektif olması ile duz olması

birbirine denktir. A temel sag ideali R modulunun dik toplananı oldugundan R

duzenli halka olur.

(vi⇒iii)

0→ A→ B → C → 0

42

kısa tam dizi ve A ≤ B olsun. M sag es burulmalı modul olmak uzere f : A →

M bir homomorfizma olsun. Zorn Onteoreminin uygulaması olarak A ⊆ D ⊆ B

olacak bicimde g : D → M ve g|A = f bulunabilir. Bu g fonksiyonu D modulunu

kapsayan B modulunun herhangi bir alt modulune genisleyemez. Simdi D = B

oldugu gosterilsin. Eger D 6= B ise B/D 6= 0 dir. (vi) dan 0 6= N/D ≤ B/D olacak

bicimde N/D duz modulu vardır.

0→ D → N → N/D → 0

tam dizisine HomR(−,M) uygulanırsa

0→HomR(N/D,M)→HomR(N,M)→HomR(D,M)→Ext1R(N/D,M)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. M modulu es burulmalı modul ve N/D duz modul

oldugundan Ext1R(N/D,M) = 0 bulunur. O halde h : N →M olmak uzere h|D = g

olur ve boylece h donusumunun g donusumune genisledigi bulunur. Bu ise Zorn

Onteoremine gore maksimal olmayla celisir. Boylece M injektif olur.

Sonuc. 4.2.15. R yarı-Artinian ve sag SF halka ise sıfırdan farklı her modul

sıfırdan farklı duz alt modul icerir (Mao ve Ding 2006).

Ispat R yarı-Artinian halka oldugundan 0 6= M modulu 0 6= N basit alt modulu

icerir. R halkası SF halka oldugundan N duz modul olur.

Onerme 4.2.16. R bir halka olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R yarı basit Artinian halkadır.

(ii) Her sag es burulmalı modul projektiftir.

(iii) Sıfırdan farklı her modul sıfırdan farklı projektif alt modul icerir (Mao ve Ding

2006).

Ispat (i ⇒ ii) R yarı basit Artinian halka ise her M modulu projektiftir. O halde

her es burulmalı modul projektiftir.

(i⇒ iii) R yarı basit Artinian halka ise her M modulu projektiftir. Alt modul olarak

M modulunun kendisi alınırsa ispat tamamlanır.

(ii⇒ i) Injektif moduller es burulmalı oldugundan her injektif R-modul projektiftir.

Boylece R halkası quasi-Frobenius halkadır. R quasi-Frobenius halka oldugundan

43

sol(sag) Artinian halkadır. Es burulmalı moduller duz olduklarından Teorem 4.2.14

dan R halkası duzenli halkadır. Duzenli halkada yarı basit olma ile Artinian olma

denk oldugundan ispat tamamlanır.

(iii⇒i) Her projektif modul duz oldugundan dolayı Teorem 4.2.14 da (vi ⇒ iii)

ispatında her modul injektif olur. Boylece R halkası yarı basit ve Artinian halka

olur.

Tanım 4.2.17. R halkasında her basit ideal projektif ise halkaya PS halkası denir

(Mao ve Ding 2006).

Onerme 4.2.18. R nin sol PS halkası olması icin gerek ve yeter sart Soc(RR)

modulunun projektif olmasıdır (Mao ve Ding 2006).

Ispat R sol PS halkası ise I sol ideali basit olmak uzere projektiftir. Soc(RR) basit

modullerin dik toplamı oldugundan dolayı projektif olur. Tersine Soc(RR) projektif

ise projektif modullerin dik toplananı projektif oldugundan ve Soc(RR) modulunun

dik toplananları basit oldugundan her basit ideal projektif olur. Boylece R halkası

sol PS halka olur.


(i) R sol PS halkadır.

(ii) Her sag es burulmalı modul Soc(RR)-injektiftir.

(iii) Kısa-injektif sol modulun bolum modulu de kısa-injektiftir.

(iv) Soc(RR)-injektif modulun bolum modulu de Soc(RR)-injektiftir.

(v) Her M modulu birebir MI-ortuye sahiptir.

(vi) R/Soc(RR) duz sag R-moduldur.

(vii) (Soc(RR))2 =Soc(RR) dir (Mao ve Ding 2006).

Ispat (ii ⇔ vi) Onerme 4.2.10 de A yerine A = {Soc(R)} alınırsa ispat biter.

(vi ⇒ vii) 0 →Soc(RR) → R → R/Soc(RR) → 0 tam dizisi icin R/Soc(RR) duz

modul oldugundan Soc(RR) saf alt modul olur. Saf alt modul olma tanımından

her I sol ideali icin Soc(RR).I =Soc(RR) ∩ RI dır. RI = I ve her I sol ideali icin

Soc(RR).I =Soc(RR)∩I oldugundan I =Soc(RR) icin de Soc(RR)Soc(RR) =Soc(RR)

olur.

44

(vii ⇒ vi) k =Soc(RR) ve k2 = k olsun. m ⊆ k alındıgında k = m ⊕ m1 ise

k2 = mk + m1k = k dır. Buradan mk = m ve m1k = m1 bulunur. a ∈ k alınsın.

Gosterilmesi gereken aR = ak oldugudur. k ≤ R oldugundan dolayı ak ≤ aR dir.

Yukarıda yapılanlar gibi m = mk yerine aR alınırsa aR = aRk = ak bulunur.

0→ k → R→ R/k → 0

tam dizisi alındıgında Soc(RR) ideal oldugu icin R/Soc(RR) nin duz sag R-modul

olması ile duz sol R-modul olması aynı durumdur. Buradan R/Soc(RR) duz sag

R-modul olarak bulunur.

(iii ⇒ i) E injektif bir modul olmak uzere N 6 E olsun ve π : E ⇒ E/N izdusum

fonksiyonunu ele alınsın. K, R nin basit sol ideali ve f : K → E/N bir homo-

morfizma olsun. Injektif modullerin bolumu kısa-injektif oldugundan E/N kısa-

injektifdir. O halde g : R −→ E/N mevcuttur ve f = gi saglanır. i : K −→ R

icerim donusumu ve R projektif modul oldugundan h : R → E mevcuttur ve

g = πh saglanır. Buradan f = gi donusumunde g yerine g = πh yazıldıgında

f = (πh)i = π(hi) elde edilir buradan da K modulu projektif olur. Teorem 2.11.17

den E modulunun injektif olması ile keyfi modul olması aynı durum oldugundan

ispat tamamlanır.

(i ⇒ iii) X kısa-injektif modul ve N 6 X olsun. R nin basit bir sol ideali K ve

i : K → R icerim donusumu olsun. π : X → X/N izdusum fonksiyonu olmak

uzere K projektif modul oldugundan f : K −→ X/N olan donusum g : K → X

genisletilebilir ve πg = f bulunur. X kısa-injektif oldugundan h : R→ X fonksiyon

vardır ve hi = g bulunur. (πh)i = f oldugundan dolayı X/N kısa-injektif olur.

(iv ⇒ i) E injektif bir modul olmak uzere N 6 E olsun ve π : E → E/N izdusum

fonksiyonunu alınsın. R nin basit sol ideali K ve f : K → E/N bir homomorfizma

olsun. Injektif modullerin bolumu Soc(RR)-injektif oldugundan E/N Soc(RR)-

injektiftir. O halde g : R → E/N mevcuttur ve f = gi saglanır. i : K → R

icerim donusumu ve R projektif modul oldugundan h : R → E mevcuttur ve

g = πh saglanır. Buradan f = gi donusumunde g yerine g = πh yazıldıgında

f = (πh)i = π(hi) elde edilir buradan da K modulu projektif olur. Teorem 2.11.17

den E modulunun injektif olması ile keyfi modul olması aynı durum oldugundan

ispat tamamlanır.

45

(i ⇒ iv) X modulu Soc(RR)-injektif ve N 6 X olsun. R nin basit sol ideali K

ve i : K → R icerim donusumu olsun. π : X → X/N izdusum fonksiyonu olarak

alınıdıgında K modulu projektif oldugundan f : K → X/N olan donusum g :

K → X genisletilebilir ve πg = f bulunur. X modulu Soc(RR)-injektif oldugundan

h : R→ X fonksiyonu vardır ve hi = g bulunur. (πh)i = f oldugundan dolayı X/N

Soc(RR)-injektif olur.

(i ⇒ vii) (Soc(RR))2 ⊆ (Soc(RR)) oldugu acıktır. Simdi gosterilmesi gereken basit

I ideali icin (Soc(RR))I 6= 0 olmasıdır. I = Ra olacak bicimdeki basit I ideali

icin Soc(RR).Ra = 0 mevcut olsun. R, PS halkası oldugundan R = lR(a) ⊕K dır.

Buradan K ∼= R/lR(a) ve Ra = Ka elde edilir. Diger taraftan K ⊆Soc(RR) ve

Soc(RR).a = 0 oldugundan Ra = 0 dır. O halde basit I ideali icin I =Soc(RR).I

dır. Soc(R) ⊆ ((SocR))2 oldugundan dolayı ispat tamamlanır.

(vii ⇒ i) 0 6= a ∈ Zl(Soc(RR)) alınsın. Bu durumda lR(a) ≤essR ve Soc(RR) = ⊕RIi

oldugundan Ii ∩ lR(a) 6= 0 dır. Ii idealleri basit oldugundan Ii ∩ lR(a) = Ii ve

Ii ⊆ lR(a) dır. Buradan Soc(RR)a ⊆ lR(a) = 0 ve boylece Soc(RR)a = 0 dır. (vii⇒

vi) ispatında kullanılan yontemden Soc(RR)a = Ra = 0 boylece a = 0 dır buradan

celiski elde edilir. Sonuc olarak Zl(Soc(RR)) = 0 ve Soc(RR) yi olusturan idealler

tekilsiz olurlar. Basit tekilsiz idealler projektif olduklarından R nin her sol ideali

projektif olur. R halkası sol PS halka olur.

(iii ⇒ v) M bir sol R-modul olsun. F =∑{N ≤ M : N ∈ MI} ve G =

⊕{N ≤

M : N ∈ MI} olmak uzere 0 → K → G → F → 0 tam dizisi mevcuttur. (iii) den

G ∈ MI boylece F ∈ MI dır. i: F → M donusumunun M nin MI-onortusu

oldugunun gosterilmesi gerekmektedir. F ′ ∈ MI olmak uzere ψ: F ′ → M keyfi

homomorfizma olsun.

F ′

F M

ppppppppδ ?

ψ

-i

F ′ kısa-injektif bir modul o halde goruntusude kısa-injektif oldugundan (iii) den

ψ(F ′) ≤ F dir. x ∈ F ′ icin δ(x) = ψ(x) tanımlansın. iδ = ψ oldugundan i: F →M

donusumunun MI-onortusu bulunur. F ′ = F alındıgında g: F → F olmak uzere

ig = g olcacagından ortu olma sartı dolayısıyla (v) sartı saglanır.

46

(v ⇒ iii) M kısa-injektif sol R-modul ve N modulu M nin alt modulu olmak uzere

M/N nin kısa-injektif oldugu gosterilmeye calısılacaktır. E injektif modul olmak

uzere 0 → N → E → L → 0 tam dizisi mevcuttur. φ : F → L olacak sekilde L

monik MI-ortuye sahip oldugundan α:E → F morfizması mevcuttur. φ epimor-

fizma ve birebir oldugundan dolayı φ izomorfizmadır. O halde F ∼= L ve φ−1 mevcut

oldugundan L kısa-injektif bulunur. A basit sol ideal olmak uzere

0→ A→ R→ R/A→ 0 kısa tam dizisine HomR(−, L) uygulanırsa

0→ HomR(R/A,L)→ HomR(R,L)→ HomR(A,L)→

→ Ext1R(R/A,L)→ Ext1

R(R,L)→ Ext1R(A,L)→ · · · uzun tam dizisi elde edilir. R

projektif oldugundan Ext1R(R,L) = 0 ve L kısa-injektif oldugundan

0 → HomR(R/A,L) → HomR(R,L) → HomR(A,L) → 0 olur ve boylece

Ext1R(R/A,L) = 0 elde edilir. Benzer sekilde M kısa-injektif oldugundan

Ext1R(R/A,M) = 0 elde edilir. E injektif modul olmak uzere 0→ N → E → L→ 0

kısa tam dizisine HomR(R/A,−) uygulanırsa

· · · → Ext1R(R/A,L) →Ext2

R(R/A,N) →Ext2R(R/A,E) → · · · uzun tam dizisi elde

edilir. E injektif oldugundan Ext2R(R/A,E) = 0 ve L kısa-injektif oldugundan

Ext1R(R/A,L) = 0 dır. O halde aradaki Ext2

R(R/A,N) = 0 olur. Diger taraftan

0→ N →M →M/N

kısa tam dizisi icin

· · · →Ext1R(R/A,M) →Ext1

R(R/A,M/N) →Ext2R(R/A,N) → · · · uzun tam

dizisi elde edilir. Ext2R(R/A,N) = 0 oldugundan Ext1

R(R/A,M/N) = 0 dır. O

halde M/N kısa-injektif olur.

Tanım 4.2.20. R bir halka olmak uzere her sol R-modul kısa-injektif ise bu halkaya

sol evrensel kısa-injektif halka denir.

α : M → L ve f : M → N donusumleri icin N ∈ C olmak uzere g : L → N bir tek

donusum varsa α ya tek esleme ozelligi (universally mapping property) ni saglıyor

denir.N

M L-α��f

pppppppp6g

47

gα = f olacak bicimde cizelge degismeli olur (Enochs ve Jenda 2000).


(i) R evrensel kısa-injektif halkadır.

(ii) Her basit sol ideal es kare elemanlar tarafından uretilir.

(iii) Her es burulmalı sol-R modul Soc(RR)-injektiftir.

(iv) Her es burulmalı sol-R modul kısa-injektiftir.

(v) Her es burulmalı sol R-modulun bolum modulu Soc(RR)-injektiftir.

(vi) Her es burulmalı sol duz modulunun bolum modulu Soc(RR)-injektiftir.

(vii) Her es burulmalı sol R-modul tek esleme ozelligini saglayanMI zarfa sahiptir.

(viii) R/Soc(RR) duz sol R-moduldur.

(ix) R halkası sol PS sol kısa-injektif halkadır.

Eger R halkası sol es burulmalı halka ve Soc(RR) esas sol ideal ise asagıdaki ifadeler

ile yukarıdaki ifadeler denktir.

(x) R sol PS sol Soc(RR)-injektif halkadır.

(xi) R sol kısa-injektif sol tekilsiz halkadır.

(xii) R halkası J(R) = 0 olan sol kısa-injektif halkadır.

(xiii) R duzenli halkadır (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i ⇒ vii) (i)den her keyfi M modulu kısa-injektif olur. 1M : M → M ve

N ∈MI olmak uzereN

0 M M- -1��f

pppppppp6f

bir tek f donusumu bulundugundan dolayı M ninMI zarfa sahip oldugu ispatlandı.

Dolayısıyla her es burulmalı modul tek esleme ozellligini saglayan MI zarfa sahip

olur.

(ii ⇒ ix) I basit sol ideal olsun. (ii) den I ideali es kare elemanlar tarafından

uretildiginden I ≤⊕ R olur. R projektif oldugundan dik toplananlar da projektif ve

boylece I projektif olur. Basit moduller projektif oldugundan R halkası PS olarak

48

bulunur. (ii) den I ≤⊕ R oldugundan

R

0 I R- -i��f ppppp

pp6f⊕0

cizelge geregince R kısa-injektif halka olur.

(v ⇒ vi) Es burulmalı moduller Soc(RR)-injektif ise duz es burulmalı moduller de

Soc(RR)-injektif oldugundan ispat tamamlanır.

(ii ⇔ ix) Onerme 4.2.10 de A yerine {Soc(RR)} alınırsa ispat tamamlanır.

(ii⇒ viii) Her basit sol ideal es kare elemanlar tarafından uretiliyorsa dik toplanan-

lar projektif oldugundan R halkası sol PS halka olur. Boylece Teorem 4.2.19 den

R/Soc(RR) duz modul bulunur.

Onteorem 4.2.22. R bir halka ve I minimal sag ideal olsun. I2 = I olması icin

gerek ve yeter sart I = eR olacak bicimde e2 = e ∈ R olmasıdır (Baccella 1980).

Ispat 0 6= a ∈ I2 = I olsun. aI ≤ I olmak uzere I basit oldugundan aI = 0

veya aI = I dır. aI = 0 olsa, a1 ∈ I2 = I buradan a1I = 0 veya a1I = I olur.

a1I = 0 olsa a2 ∈ I alınır. Hepsi icin aiI = 0 olsa I2 = I bulunur. Diger taraftan

aI 6= 0 olacak bicimde a ∈ I vardır. Buradan aI = I dır. a ∈ I = aI oldugundan

a = ab olacak bicimde b ∈ I vardır. ab = ab2 ise a(b − b2) = 0 dır. b − b2 6= 0 ise

(b − b2)R = I dır. I basit ideal oldugundan (b − b2)R = 0 olsa 1 ∈ R oldugundan

b−b2 = 0 celiski elde edilir. a(b−b2)R = aI oldugundan buradan aI = 0 elde edilir.

b − b2 = 0 oldugundan b = b2 dir ve b es karedir. Tersine I2 ≤ I oldugu acıktır.

x ∈ I = eR iken R birimli x = e = e2 oldugundan x ∈ eR.eR dir. Buradan x ∈ I2

dir.

(viii⇒ ii) R/Soc(RR) duz sol R-modul olsun. 0 6= x ∈ I ve I minimal sag ideallerin

kumesi olmak uzere I ⊆Soc(RR) olsun. Teorem 4.2.19 de (vii ⇒ vi) ispatında

xSoc(RR) = xR oldugu goruldu. x ∈ xR = xSoc(RR) oldugundan x = xy olacak

bicimde y ∈Soc(RR) vardır. Soc(RR) = ⊕Ii ve Ii ler basit oldugundan IIi = Ii

olacak bicimde 0 6= Ii vardır. Buradan I2Ii = Ii dir. I2 = 0 olsa Ii = 0 olacagından

49

bu celiskidir. I basit bir ideal ve I2 ⊆ I oldugundan I2 = I olur. Onteorem 4.2.22

den basit ideal es kare elemanlar tarafından uretilir.

(ix⇒ iv) Onerme 4.2.11 deA yerine kısa-injektif moduller alınırsa ispat tamamlanır.

(i ⇒ ii) S basit sol ideal olsun. R sol evrensel kısa-injektif halka oldugundan S

modulunun kendisi kısa-injektif boylece S ≤⊕ R olur. Bu durumda S es kare ele-

manlar tarafından uretilir.

(vii ⇒ iv) M es burulmalı modul olmak uzere asagıda verilen cizelge degismelidir.

α ve φ tek esleme ozelligini saglayan MI zarftırlar.

0

��0 M//

0((PPPPPPPPPPPPPPP N//

α

φγ

AAA

AAAA

A L//γ

φ

��

0//

X

φγα = 0 = 0α ve (vii) den dolayı tek esleme ozelliginden φγ = 0 olur. L =im(γ) ⊆ker(φ) =

0 oldugundan M kısa-injektif olur.

(iv ⇒ i) Her es burulmalı modul kısa-injektif ise Onerme 4.2.10 denkliklerinden A

basit sol ideal olmak uzere R/A duz modul olur. Teorem 2.12.9 dan R/A sonlu

gosterime sahip oldugundan R/A projektiftir. A ≤⊕ R oldugundan M modulu

kısa-injektiftir. Her modul icin kısa-injektiflik sartı saglanacagından R sol evrensel

kısa-injektif halka olur.

(iii ⇒ ix) iii⇒ii⇒ ix oldugundan saglanır.

(ix ⇒ iii) ix⇒iv⇒ i⇒ii⇒ iii oldugundan saglanır.

(iii ⇒ v) M es burulmalı modul olmak uzere N ≤ M olsun. Gosterilmesi gereken

M/N nin Soc(RR)-injektif oldugudur. π:M → M/N ve i:Soc(RR) → R donusumu

verildiginde bir f ∈HomR(Soc(RR),M/N), Soc(RR)-projektif oldugundan g:Soc(RR)→

M donusumu mevcuttur. M modulu Soc(RR)-injektif oldugundan h: R→M mev-

cuttur. hi = g ve πg = f ise π(hi) = f elde edildiginden dolayı M/N , Soc(RR)-

injektif olur.

(vi⇒ iii)M sol es burulmalı modul olsun. O halde Onteorem 2.15.15 denKer(εM)→

F (M)εM→M dizisi icin Ker(εM) = K olmak uzere F ∈ FL elamanları icin Ext1(F,K) =

0 oldugundan K es burulmalı modul olur. Kısa tam dizide son ve bas es burulmalı

50

modul oldugundan ortadaki modul de es burulmalı olur. O halde (vi) dan M modulu

Soc(RR)-injektif bulunur.

(x ⇒ ix) Her Soc(RR)-injektif halka kısa-injektif oldugundan acıktır.

(x ⇒ iii) x⇒ ix⇔iii oldugundan ispat tamamlanır.

(iii ⇒ x) Her es burulmalı modulun Soc(RR)-injektif olması icin gerek ve yeter sart

kısa-injektif olmasıdır. O halde (iii) yerine (iv) kabul edilsin. A basit bir modul ol-

sun. Onerme 4.2.10 den R/A duz moduldur. R/A sonlu gosterime sahip oldugundan

Teorem 2.12.9 dan R/A projektiftir. O halde A ≤⊕ R olur. Dik toplananlar projek-

tif oldugundan A projektif olur. Basit moduller projektif oldugundan R halkası sol

PS halka bulunur.

(ix ⇒ xi) Zl(Soc(RR)) = Zl(R)∩Soc(RR) ve Zl(Soc(RR)) = 0 dır. Zl(Soc(RR)) 6= 0

olsun o halde 0 6= I basit modulu Zl(Soc(RR)) icerisinde kapsanır. (ix) dan I

projektif ideal ve Zl nin dik toplananı oldugundan tekildir. Hem projektif hem de

tekil oldugundan Onerme 2.16.3 den Zl(Soc(RR)) = 0 elde edilir. Zl(R)∩Soc(RR) =

0 ve Soc(RR) ≤ess

R oldugundan Zl(RR) = 0 bulunur. Sonuc olarak R sol tekilsiz

halka olur.

(xi ⇒ ix) R tekilsiz bir halka olsun. R nin PS halka oldugu gosterilirse ispat

tamamlanır.R

rR(a)∼= aR = M dir. M modulu ya projektiftir ya da tekildir. Kabul

edelim ki M projektif olmasın bu durumdaR

rR(a)nin tekil oldugu gosterilecektir.

Eger tekil ise rR(a) ≤ess

RR dir. R tekil olmadıgından a ∈ Zr(R) = 0 dır. O halde

a = 0 ve M = 0 dır. Sonuc olarak M projektif modul olur.

Teorem 4.2.23. R sol es burulmalı halka olmak uzere R/J(R) bolum halkası duzenli

halkadır (Asensio ve Herzog 2004).

(xi ⇒ xii) Sol es burulmalı halka icin hipotezden Soc(RR) ≤ess

R oldugu biliniyor.

Zl(R) = J(R) = rR(Soc(RR)) oldugu gosterilirse daha genel bir sonuc verilecek ve

boylece ispat tamamlanacaktır. R sol kısa-injektif halka oldugundan Soc(RR) ≤Soc(RR)

oldugu gosterilsin. Rk basit ve 0 6= ka ∈ kR olsun.

γ : Rk → Rka

:rk → rka

51

γ izomorfizması icin rka = 0 ve rk 6= 0 olsun. O halde Rk nın basit olmasından

Rk = Rrk dır. Buradan Rka = Rrka = 0 oldugundan ka = 0 ve boylece celiski

elde edilir. rk = 0 dır. γ birebirdir.

Rk

Rk Rka R-γ��31

-i1 ppppppppk g

R sol kısa-injektif halka oldugundan gi1γ = 1 olacak sekilde g vardır. g(1) = c

ve g(r) = rc dir. rk = gi1γ(rk) = g(rka) = rkac oldugundan k = kac ∈ kaR

dir. kR ⊆ kaR ⊆ kR oldugundan dolayı kaR = kR dir. Buradan kR ba-

sit modul bulunur. Soc(RR) = ⊕Ii ve Ii basit sol idealdir. Ii = Rk olacak

bicimde basit ideal mevcuttur. kR basit sag ideal oldugundan kR ≤ Soc(RR)

dir. x ∈Soc(RR) alınsın. x ∈ ⊕Ii ise x ∈ Rk1 ⊕ ... ⊕ Rkn seklinde rki basit sol

ideal vardır. kiR nin basit sag ideal oldugu goruldu. Boylece ki ∈Soc(RR) dir.

Soc(RR) ve Soc(RR) R nin idealleri ve ki ∈Soc(RR) oldugundan Rki ⊂Soc(RR) dir.

Boylece x ∈Soc(RR) oldugundan Soc(RR) ⊆Soc(RR) dir. Simdi gosterilmesi gereken

J(R) ≤ rR(Soc(RR)) oldugudur. IR ≤ R nin basit ideali olsun. IRJ(R) ⊆ IR ise

I basit oldugundan IJ = 0 veya IJ = I dır. Onteorem 2.15.16 dan IJ = I ise

I = 0 dır. Soc(RR)J(R) = 0 oldugu gosterilirse istenilen elde edilir. Soc(RR) = ⊕Iiise Soc(RR)J(R) = (⊕Ii)J(R) = 0 oldugundan J(R) ≤ rR(Soc(RR)) dir. Bu-

radan J(R) ≤ rR(Soc(RR)) ≤ rR(Soc(RR)) elde edilir. Simdi Zl(R) ≤ J(R) oldugu

gosterilecektir. R sol es burulmalı halka oldugundan Teorem 4.2.23 den R/J(R)

duzenli halkadır. Simdi duzenli halkada tekil elemanın olmadıgı ispatlansın. R

duzenli halka ise Zl(R) = 0 dır. t ∈ Zl(R) alınsın. lR(t) ≤ess

RR dir. t = txt

olacak bicimde x ∈ R vardır. tR = txR (tx)2 = e2 = e = tx oldugundan e

es karedir. lR(t) = lR(tR) = lR(eR) = R(1 − e) bulunur. lR(t) = R(1 − e)

oldugundan lR(t) ∩ Re = 0 olur. lR(t) ≤ess

RR olamaz. R(1 − e) ≤ess

R olması

icin Re = 0 olmalıdır. Buradan e = 0 olması ile mumkundur. e = 0 ise t = 0 dır.

O halde Zl(R) = 0 dır.Zl(R) + J(R)

J(R)= 0 ise Zl(R) + J(R) = J(R) oldugundan

Zl(R) ⊂ J(R) dir.Zl(R) + J(R)

J(R)nin tekil elemanın olmadıgının ispatı gosterilsin.

x ∈ Zl(R) ise x + J(R) = x olsun. lR(x) ≤ess

R ise lR(x) ≤ lR(x) ≤ R lR(x) ≤ess

R

oldugundan x ∈ Zl(R/J(R)) = 0 ise x = 0 dır. x ∈ rR(Soc(RR)) ise Soc(RR)x = 0

52

dır. Soc(RR) ≤ lR(x) ≤R R Soc(RR) ≤ess

RR oldugundan lR(x) ≤ess

RR ise x ∈ Zl(R)

dir. Sonuc olarak Zl(R) ≤ J(R) ≤ rR(Soc(RR)) ≤ rR(Soc(RR)) ≤ Zl(R) oldugu

icin ispat tamamlanır.

(xii ⇒ xiii) R/J(R) duzenli halka ve J(R) = 0 oldugundan R duzenli halkadır.

(xiii ⇒ xii) R duzenli halka olmak uzere J(R) = 0 oldugunu goruldu. Simdi

gosterilmesi gereken R nin sol kısa-injektif halka olmasıdır. I basit ideal oldugundan

I = Ra dır. R duzenli halka oldugundan I bir es kare tarafından uretilir. Cunku

a = axa olacak bicimde x ∈ R mevcuttur. e = ax ve f = xa es kare elemanlar

oldugundan Ra = Rxa = Rf elde edilir. I = Ra = Rf f 2 = f ∈ R oldugundan I

dik toplanan ve R = I ⊕ J olur. g = g ⊕ 0 olacak bicimde g, R ye yukselir.

Ornek 4.2.24. Teorem 4.2.21 den sol evrensel kısa-injektif halka sol PS halkadır

ancak tersi dogru degildir. R =

Z2 0

Z2 Z2

=

a 0

b c

: a, b, c ∈ Z2

ve x = 0 0

1 0

∈ R olsun. Rx basit sol idealdir ve Rx es kare tarafından uretilmez bu

yuzden Rx kısa-injektif degildir. Buna ragmen R halkası sol PP ve sol PS halkadır.

R nin her elemanı ya ustel sıfır ya es kare eleman ya da terslenebilir elemandır.

x =

0 0

1 0

sıfırdan farklı tek ustel sıfır elemandır ve lR(x) = R

0 0

1 0

, R nin

dik toplananı oldugundan Rx projektiftir.

Sonuc. 4.2.25. R degismeli bir halka olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R halkası PS halkadır.

(ii) R evrensel kısa-injektif halkadır.

(iii) Her es burulmalı modul Soc(R)-injektiftir.

(iv) Her es burulmalı modul kısa-injektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i ⇒ ii) Teorem 4.2.19 den R/Soc(RR) duz moduldur. Teorem 4.2.21 den

R/Soc(R) duz modul ise R halkası sol evrensel kısa-injektif halkadır.

(ii⇒ iii) R evrensel kısa-injektif halka ise Teorem 4.2.21 den her es burulmalı modul

Soc(R)-injektiftir.

(iii ⇒ iv) Teorem 4.2.21 den her es burulmalı modul Soc(RR)-injektif ise kısa-

injektiftir.

53

(iv ⇒ i) Teorem 4.2.21 den her es burulmalı modul kısa-injektif ise R sol PS sol

kısa-injektif halkadır.

54

5. SAF INJEKTIF MODULLER

5.1 Goreceli Saf Injektif Moduller

Bu bolumde saf injektif olma kavramı modullere gore arastırılacak ve es burulmalı

modullerle aralarındaki ilgi tartısılacaktır.

Tanım 5.1.1. M ve N sag R-modul olsunlar. K modulu M modulunun saf alt

modulu olmak uzere f :K → N ye olan donusum g:M → N ye genisletilebiliyorsa

N modulune M -saf injektif (pure injective) adı verilir. Eger N her M modulu icin

M -saf injektif oluyorsa N modulune saf injektif modul adı verilir.

Eger M modulu M -saf injektif ise yarı (quasi) saf injektif olarak adlandırılır (Thani

1997).

Onerme 5.1.2. M veN sagR-moduller olsunlar. N modulunun es burulmalı olması

icin gerek ve yeter sart tum serbest, projektif, duz M modulleri icin N modulunun

M -saf injektif olmasıdır (Mao ve Ding 2006).

Ispat (⇒) N es burulmalı ve M duz modul olsun. Butun F duz modulleri icin

Ext1R(F,N) = 0 dır.

0 → K → M → M/K → 0 tam dizisi alındıgında K modulu M modulunun

saf alt modulu ve M duz modul oldugundan M/K duz modul olur. N modulu es

burulmalı modul oldugundan Ext1R(M/K,N) = 0 olarak bulunur. Yukardaki diziye

HomR(−, N) uygulanırsa,

0→HomR(M/K,N)→HomR(M,N)→ HomR(K,N)→ Ext1R(M/K,N)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. Ext1R(M/K,N) = 0 oldugundan ortenlik saglanır. O

halde N modulu M -saf injektif olur.

(⇐) Her F duz modulu icin Ext1R(F,N) = 0 olup olmadıgı arastırılacaktır. F

duz modulu alınsın. O halde duz modul serbest modulun homomorf goruntusu

oldugundan

0→ Kerf → F ′ → F → 0

tam dizisi ele alındıgında F duz modul oldugundan Kerf ≤ F ′ saf modulu elde

edilir. Yukarıdaki kısa tam diziye HomR(−, N) uygulanırsa

55

0→HomR(F,N)→HomR(F ′, N)f→ HomR(KerF,N)→ Ext1

R(F,N)→

Ext1R(F ′, N)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. F ′ modulu serbest aynı zamanda projektif oldugundan

Ext1R(F ′, N) = 0 ve N modulu F ′-saf injektif oldugundan f ortendir. Kısa tam

dizinin tamlıgından Ext1R(F,N) = 0 bulunur. Boylece N modulu es burulmalı

modul olur.

Onerme 5.1.3. M sag R-modul olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) M nin her saf alt modulu M nin dik toplananıdır.

(ii) Her sag R-modul M -saf injektiftir.

(iii) M nin her saf alt modulu M -saf injektiftir.

M sonlu uretilmis projektif sag R-modul ise yukarıdaki sartlar asagıdakilere denktir.

(iv) M nin her saf alt modulu sonlu uretilmistir.

(v) M modulunun her duz bolum modulu projektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i⇒ ii) N sag R-modulunun M -saf injektif oldugu gosterilirse ispat tamam-

lanır.N

0 K M = K ⊕K ′- -i��3

f

pppppppp6f⊕0

Cizelge geregince N , M -saf injektif olur.

(ii⇒ iii) Her sag R-modul M -saf injektif ise M nin her saf alt modulu de M -saf

injektiftir.

(iii⇒ i) K modulu M modulunun saf alt modulu olmak uzere K ≤⊕ M oldugu

gosterilirse ispat tamamlanır.

K

0 K M- -1��i

pppppppp6f

Cizelgeden ve (iii) den K, M -saf injektif oldugundan fi = 1 olacak bicimde f vardır.

m ∈ M icin m = m + 0 = m − if(m) + if(m) oldugundan m − if(m) ∈Kerif ise

M =Kerif+Imif dir. x ∈Kerif ∩ Imif icin if(x) = 0 ve if(m) = x olacak bicimde

56

m ∈ K vardır. Buradan if(if(m)) = 0 ve if(m) = 0 elde edilir ve x = 0 bulunur.

O halde M =Kerif⊕Imif dir. Simdi gosterilmesi gereken Imif = K olmasıdır.

k ∈ K alınsın ve k = if(x) olacak bicimde x ∈ M olup olmadıgı arastırılsın.

k = (1)(k) = (fi)(k) = f(i(k)) = f(k) = if(k) ∈Imif oldugundan K ≤⊕ M dir.

(i⇒ iv) K modulu M modulunun saf alt modulu olmak uzere (i) den K ≤⊕

M saglanır. Sonlu uretilmis bir modulun her dik toplananı da sonlu uretilmis

oldugundan K sonlu uretilmistir.

(i⇒ v) K modulu M nin saf alt modulu ve M projektif bir modul olmak uzere M/K

modulu duzdur. (i) den K ≤⊕ M oldugundan M/K projektiftir.

(v ⇒ i) K modulu M nin saf alt modulu ve M projektif bir modul oldugundan

M/K duz moduldur. (v) den M/K projektiftir. O halde K ≤⊕ M elde edilir.

(iv ⇒ i) K modulu M nin saf alt modulu olsun. K ≤⊕ M oldugunun gosterilmesi

gerekmektedir. (iv) den K modulu sonlu uretilmistir. M modulu sonlu uretilmis

projektif bir moduldur. M/K duz modul oldugundan M/K sonlu gosterime sahip

olursa M/K projektif olur ve dolayısıyla K ≤⊕ M olur ve ispat tamamlanır. M

modulu sonlu uretilmis oldugundan M/K sonlu uretilmistir. O halden⊕i=1

Rf→

M/K → 0 donusumu vardır.

L = Kerf →n⊕i=1

R→M/K → 0

alınırsa M/K duz modul oldugundan L modulu M modulunun saf alt modulu olur.

(iv) den L modulu sonlu uretilmistir. Boylece M/K sonlu gosterime sahip olur.

Onerme 5.1.4. M ve N sag R-moduller olmak uzere N modulu M -saf injektif

ise M nin her K saf alt modulu icin N , K-saf injektiftir ve N , M/K-saf injektiftir

(Mao ve Ding 2006).

Ispat K modulu M modulunun saf alt modulu oldugundan K modulunun her

saf alt modulu de M modulunun saf alt moduludur. O halde N modulunun K-saf

injektif olması acıktır. Simdi gosterilmesi gereken N modulunun M/K-saf injektif

olmasıdır. L/K, M/K nın saf alt modulu ve f : L/K → N bir donusum olsun. O

halde Onerme 2.9.6 dan L ≤M nin saf alt moduludur. π1 : M →M/K ve π2 : L→

L/K izdusum fonksiyonları olsunlar. N , M -saf injektif oldugundan g : M → N

57

donusumu mevcuttur. Teorem 2.10.21 den K ≤Kerg ve hπ1 = g olacak bicimde

h : M/K → N mevcuttur. l ∈ L icin h(l +K) = hπ1(l) = g(l) = fπ2(l) = f(l +K)

oldugundan f , h a genisler. N , M/K-saf injektif olur.

Onteorem 5.1.5. M bir sag R-modul ve {Ni : i ∈ I} de sag R-modullerin ailesi

olsun.∏i∈INi M -saf injektiftir ancak ve ancak Ni modulu M -saf injektiftir. Ayrıca

saf injektif M modulunun diktoplananları da M -saf injektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat ⇒ K modulu M modulunun saf alt modulu olmak uzere i1 : K → M

mevcuttur. i : Ni → ΠNi seklinde tanımlanırsa πi : ΠiNi → Ni olacak sekilde πi

ve∏Ni M -saf injektif oldugundan g : M →

∏Ni vardır. f : K → Ni donusumu

olarak tanımlanırsa gi1 = if olacagından πigi1 = πiif ve πig = h olur. k ∈ K icin

hi1(k) = πigi1(k) = πiif(k) = f(k) oldugundan dolayı hi1 = f elde edilir. Boylece

Ni modulu M -saf injektif olur.

⇐ K modulu M modulunun saf alt modulu olmak uzere i1 : K → M mevcuttur.

πi : ΠiNi → Ni seklinde tanımlanırsa i : Ni → ΠNi olacak sekilde i vardır. M

modulu Ni-saf injektif oldugundan g : M → Ni mevcuttur. O halde gi1 = πif

oldugundan igi1 = iπif elde edilir. Her k ∈ K icin f(k) = (gii1(k)) dır, yani f(k)

nın i. bileseni gii1(k) dır. m ∈ M icin h(m) = (gi(m)) olarak tanımlansın. k ∈ K

icin hi1(k) = (gii1(k)) = f(k) oldugundan dolayı hi1 = f olur. Boylece ΠNi, M -saf

injektif olur.

Uyarı 5.1.6. M -saf injektif modullerin sınıfı dik toplamlar altında kapalı degildir.

Orenegin, R duzenli bir halka olsun fakat Noetherian halka olmasın. R halkası

Noetherian olmadıgı icinMi-injektif modullerin dik toplamı injektif degildir. Duzenli

halkada injektif olma ile saf injektif olma denk oldugundan boylece saf injektif

modullerin dik toplamı saf injektif degildir.

Onerme 5.1.7. M1 ve M2 sag R-moduller olsunlar. Eger M1 ⊕M2, M1 ⊕M2-saf

injektif ise M1 modulu M2 saf injektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat M1 ⊕M2, M1 ⊕M2-saf injektif oldugundan Onerme 5.1.4 den M1 ⊕M2

M1- saf injektifdir. O halde i : K → M1 saf alt modulu ve f : K → M2 donusumu

icin g : M1 → M1 ⊕ M2 fonksiyonu mevcuttur. i2 : M2 → M1 ⊕ M2 donusumu

58

icin π2 : M1 ⊕M2 → M1 donusumu vardır ve gi = i1f gerceklenir. Esitligin her iki

tarafını π2 ile bileske alınırsa π2gi = π2i2f elde edilir. h = π2g denilirse k ∈ K icin

hi(k) = π2gi(k) = π2i2f(k) = f(k) oldugundan hi = f elde edilir ve boylece M1

modulu M2-saf injektif olur.

Onerme 5.1.8. N modulu M -saf injektif bir modul olsun. Eger K modulu M

nin saf alt modulu olmak uzere K ∼= L ve L ≤⊕ N ise K ≤⊕ M dir (Mao ve Ding

2006).

Ispat i1 : K → M ve i : L → N icerim, π : N → L izdusum donusumu olsun.

f : K → L donusumu icin N modulu M -saf injektif oldugundan gi1 = if olacak

bicimde g : M → N fonksiyonu mevcuttur. α = f−1πg : M → K foksiyonu olsun.

O halde k ∈ K icin αi1(k) = f−1πgi1(k) = f−1πif(k) = f−1f(k) = k oldugundan

dolayı αi1 = 1k elde edilir ve m ∈ M icin m = m − i1α(m) + i1α(m) seklinde

yazılabilir. m − i1α(m) ∈Kerα ve Kerα∩Imi1 = 0 oldugundan M =Kerα⊕Imi1

olur. Imi1 = K oldugundan K ≤⊕ M bulunur.

Tanım 5.1.9. M , M -saf injektif modul ve K modulu M modulunun saf alt modulu

olmak uzere eger K ∼= L ve L ≤⊕ M iken K ≤⊕ Mdir. Boyle M modulune saf−C2

adı verilir (Mao ve Ding 2006).

Onerme 5.1.10. M duz es burulmalı modul olsun.

(i) M modulu saf-C2 dir.

(ii) K ve L modulleri M nin alt modulleri olmak uzere K ∩ L = 0, K ≤⊕ M ve

L ≤⊕ M iken K ⊕L modulunun M modulunun saf alt modulu olması icin gerek ve

yeter sart K ⊕ L ≤⊕ M olmasıdır (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i) M modulu duz ve es burulmalı modul oldugundan Onerme 5.1.2 den M

modulu M -saf injektiftir ve Tanım 5.1.9 dan M modulu saf-C2 dir.

(ii) e2 = e ∈ EndR(MR) olmak uzere K = eM olsun. O halde K⊕L = eM⊕(1−e)L

oldugu gosterilmelidir. x ∈ L icin x = ex + (1 − e)x ∈ eM ⊕ (1 − e)L oldugundan

K ⊕L ≤ eM ⊕ (1− e)L oldugu gorulur. Tersine (1− e)x ∈ (1− e)L icin (1− e)x =

x−ex ∈ K⊕L oldugundan eM⊕(1−e)L ≤ K⊕L dir. Buradan (1−e)L ∼= L ≤⊕ M

elde edilir. K⊕L modulu M modulunun saf alt modulu oldugundan (1−e)L ≤M de

59

saf alt moduldur. (i) den (1−e)L ≤⊕ M oldugundan (1−e)L = fM olacak bicimde

f 2 = f ∈ EndR(MR) vardır. ef = 0 dır. h = e+f−fe seklinde tanımlansın o halde

h es kare eleman olur. K ⊕M = hM oldugu kolayca gosterilir. h = e+ f(1− e) ve

h = e(1− f) + f olacak sekilde h tanımlandı. m ∈M icin hm = em+ f(1− e)m ve

f(1− e)m ∈ (1− e)L oldugundan f(1− e)m = (1− e)l olacak bicimde l ∈ L vardır.

Buradan hm ∈ K ⊕ L oldugundan hM ≤ K ⊕ L elde edilir. Tersine K ⊕ L ≤ hM

oldugu gosterilsin. y = k + l ∈ K ⊕M = eM ⊕ (1− e)L dir. (1− e)l = fm′ olacak

bicimde m′ ∈M oldugundan f(1− e)l = f 2m′ = fm′ = (1− e)l oldugundan dolayı

y = em + (1 − e)l = em + f(1 − e)l = em + fm′ olacak bicimde m′ ∈ M vardır.

y = em+ fm′ = em+ fm′ − fem′ + fem′ , hy = (e+ f(1− e))(em+ f(1− e)l) =

em+ f(1− e)em+ f(1− e)l = em+ f(1− e)l = y oldugundan dolayı y ∈ hM dir.

Sonuc olarak K ⊕M = hM ≤⊕ M elde edilir.

Sonuc. 5.1.11. R halkası sag es burulma halkası olmak uzere RR saf-C2 ve saf-C3

tur (Mao ve Ding 2006).

Onerme 5.1.12. M duz sag R-modul ve N modulu de keyfi sag R-modul olsun.

Eger α : C(M) → C(N) olacak sekildeki donusumler icin α(M) ⊆ N ise N , M -saf

injektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat K modulu M nin saf alt modulu olsun. i : K →M ye icerim donusumu ve

f : K → N ye bir donusum olsun. Onteorem 2.15.15 den M ≤ C(M) olacak bicimde

saf alt modul mevcuttur. Onerme 2.9.6 dan K ≤ C(M) olacak bicimde K saf alt

modulu vardır. Duz moduller genislemeye gore kapalı olduklarından M modulu duz

modul iken C(M) de duzdur. C(N) modulu es burulmalı modul oldugundan Onerme

5.1.2 den C(N), C(M)-saf injektifdir. O halde g : C(M) → C(N) mevcuttur.

Hipotezden g(M) ⊆ N oldugundan g|M fonksiyonu f den genisledigi icin N , M -saf

injektif olur.

Sonuc. 5.1.13. M duz sag R-modul olsun. M modulu C(M) nin tam degismez

alt modulu olmak uzere M modulu M -saf injektiftir (Mao ve Ding 2006).

Onerme 5.1.14. F sol S sag R-modul ve M sag R-modul olsun.

(i) M modulu F -saf injektif ise HomR(SFR,MR) S-saf injektif sag S moduldur.

60

(ii) M modulu I indeks kumesi icin F (I)-saf injektif modul ise HomR(SFR,MR) sag

S modul olarak es burulmalı moduldur (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i) KS modulu SS modulunun saf alt modulu olsun. RA ile tensorlendiginde,

(K ⊗S F )⊗ A→ (S ⊗S F )⊗ A (i)

K ⊗ (F ⊗R A)→ S ⊗ (F ⊗R A) (ii)

dizileri elde edilir. (ii) dizisi saf alt modul olma tanımından saf kısa tam dizi

oldugundan (i) dizisi de saf tam dizi olur. K ⊗S F ≤ S ⊗S F saf alt modul olur.

f : S ⊗S F → FR∑xi ⊗ yi →

∑xiyi

f yukarıdaki gibi tanımlandıgında R-homomorfizması olur. Gercekten de, f((∑xi⊗

yi)r) = f(∑xi ⊗ (yir)) =

∑(xi(yir)) =

∑((xiyi)r) =(

∑(xiyi))r =f(

∑xi ⊗ yi)r

oldugundan f , R-homomorfizmasıdır. S⊗SF ∼= FR oldugundan dolayı ve M modulu

F -saf injektif oldugundan

HomR(S ⊗S FR,MR)→ HomR(K ⊗S FR,MR)→0

dizisi elde edilir. Bu dizinin izomorf oldugu kısa tam dizi ise

HomS(SS, HomR(SFR,MR))→ HomS(KS, HomR(SFR,MR))→ 0

oldugundan dolayı HomR(SFR,MR) modulu S-saf injektif sag S-modul olarak bu-

lunur.

(ii) (i) de kullanılan izomorfizmalardan

HomR(S ⊗S F (I)R ,MR)→ HomR(K ⊗S F (I)

R ,MR)→0

dizisinin izomorf oldugu tam diziler,

HomS(SS,HomR(SF(I)R ,MR))→ HomS(KS,HomR(SF

(I)R ,MR))→ 0

HomS(SS,Π HomR(SFR,MR))→ HomS(KS,Π HomR(SFR,MR))→ 0

∏HomS(SS, HomR(SFR,MR))→

∏HomS(KS, HomR(SFR,MR))→ 0

61

HomS(S(I)S , HomR(SFR,MR))→ HomS(K

(I)S , HomR(SFR,MR))→ 0

seklindedir. Yukarıdaki izomorf tam dizilerden I indeks kumesi icin HomR(SFR,MR)

S(I)-saf injektif sag S-modul bulunur. Onerme 5.1.2 den HomR(SFR,MR) modulu

sag S-modul olarak es burulmalı modul olur.

Sonuc. 5.1.15. M modulu S endomorfizma halkalı R-modul olsun.

(i) MR modulu MR-saf injektif ise SS modulu SS-saf injektif sag S-moduldur.

(ii) MR bir (I) indeks kumesi icin M(I)R -saf injektif ise S modulu sag es burulmalı

moduldur.

(∗) Duz es burulmalı sag R-modul icin S = EndR(MR) sag es burulmalı halkadır

(Mao ve Ding 2006).

Ispat Sonucun (i) ve (ii) numaralı onermeleri bir onceki onermeden acıktır.

(∗)M modulu duz modul ikenM (I) duz moduldur. M es burulmalı modul oldugundan

Onerme 5.1.2 den M modulu M (I)-saf injektif moduldur. Sonucun (ii). sıkkından

S halkası sag es burulmalıdır.

Tanım 5.1.16. R bir halka olmak uzere sıfırdan farklı dikey es kare elemanların

R icinde sonsuz kumesi bulunmuyorsa R halkasına I-sonludur (I-finite) denir

(Nicholson ve Yousif 2003).

Onteorem 5.1.17. R bir halka olsun. R-saf injektif sag R-modullerin sınıfı dik

toplam altında kapalı ise,

(i) I1 ⊆ I2 ⊆ ... sag ideallerin artan zinciri ve∞⋃k=1

Ik ≤ R saf alt modul olmak uzere

i = 1, 2, .. icin In+i = In olacak bicimde n vardır.

(ii) R halkası I-sonludur.

Ispat (i) I1 ⊆ I2 ⊆ ... sag ideallerin artan zinciri icin ve∞⋃k=1

Ik ≤ R olacak bicimde

saf alt modul olsun.

f : I →∞⊕k=1

C(R/Ik)

a ∈ I icin

a→ (a+ Ik)∞k=1

62

olacak bicimde homomorfizma tanımlansın. Onerme 5.1.2 ve hipotezden∞⊕k=1

C(R/Ik)

R-saf injektiftir. i : I → R diye tanımlanırsa saf injektif tanımından g : R →∞⊕k=1

C(R/Ik) vardır. O halde gi = f gerceklenir. g(1) = x birim olarak tanımlansın.

O halde a ∈ I icin f(a) = gi(a) = g(a) = g(1)a = xa = (a + Ik) , x =

(x1 + I1, x2 + I2, ...) oldugundan xa = (x1a + I1, x2a + I2, ..., xna + In, 0, 0, ...) =

(a+ I1, a+ I2, ..., a+ In, a+ In+1, a+ In+2)

a ∈ In+1 ⊆ In+2 ⊆ ...

I ≤ In+1 ≤ In+2 ≤ ... ≤⋃In = I oldugundan In+1 = In+2 = ... elde edilir.

(ii) M modulunun saf alt modullerinin birlesimi Onerme 2.12.6 dan M de saf alt

moduldur. Boylece R halkası sag saf alt moduller uzerinde artan zincir kosulunu

saglar. Onerme 2.15.17 den dolayı R halkası I-sonludur.

Onteorem 5.1.18. R bir halka olmak uzere R nin her devirli duz sag R-modulunun

projektif olması icin gerek ve yeter sart her sag R-modulun R-saf injektif olmasıdır

(Mao ve Ding 2006).

Ispat ⇒ Asagıda verilen

M

0 I R R/I 0- -i

6f ppppp

ppppI g

- -

diyagramı icin I saf alt modul ve R projektif oldugundan R/I duz moduldur ve

devirlidir. Hipotezden R/I projektif oldugundan parcalanır. Boylece R = I ⊕ K

olacak bicimde K modulu vardır. g = f ⊕ 0 alınırsa M modulu R-saf injektif olur.

⇐ M devirli ve duz R-modul oldugundan M = xR ∼=R

rR(x)dir. Her sag R-modul

kabulden R-saf injektif oldugundan rR(x) modulu de R-saf injektiftir.

rR(x)

0 rR(x) R R/rR(x) 0- -i

6

1

pppppppppp

pI

g

- -

Cizelgeye gore gi = 1 oldugundan dizi parcalanır ve boylece R ∼= rR(x) ⊕ R/rR(x)

elde edilir. Projektif modullerin dik toplananları projektif oldugundan R/rR(x) =

M projektif olur.

63

Sonuc. 5.1.19. Her devirli duz sag R-modul projektif ise R halkası I-sonludur. R

halkası sag veya sol PP ise tersi de saglanır (Mao ve Ding 2006).

Teorem 5.1.20. R halkası sol R-modul olarak parcalanamaz sol es burulmalı halka

ise yerel halkadır (Asensio ve Herzog 2004).

Teorem 5.1.21. R sag es burulmalı halka ise asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R-saf injektif sag R-modullerin sınıfı dik toplamlar altında kapalıdır.

(ii) Her sag R-modul R-saf injektiftir.

(iii) R halkası yarı tam halkadır.

(iv) R halkası I-sonludur (Mao ve Ding 2006).

Ispat (ii ⇒ i) Her sag R-modul R-saf injektif ise R-saf injektif sag R-modullerin

sınıfı dik toplamlar altında kapalıdır.

(i ⇒ iv) Onteorem 5.1.17 den acıktır.

(iiii ⇒ ii) R halkası yarı tam halka ise Onerme 2.15.14 den her devirli duz sag R-

modul projektiftir. Onerme 5.1.18 den projektif olan her devirli duz sag R-modul

M -saf injektiftir.

(iv ⇒ iii) R halkası I-sonlu oldugundan Onerme 2.15.18 den RR = I1⊕ I2⊕ ...⊕ Inolacak bicimde Ii parcalanamaz ideallerin toplamı biciminde yazılabilir ve Ii = eiR,

e2i = ei i = 1, 2, ..., n dir. Si = EndR(Ii) olmak uzere her M modulu duz ve es

burulmalı modul oldugundan Sonuc 5.1.15 den Si halkası sag es burulmalı halkadır.

Ii parcalanamaz oldugu icin 0 ve 1, Si icerisindeki tek es kare elemanlardır. Boylece

Teorem 5.1.20 den Si yerel halkadır. i = 1, 2, ..., n icin eiRei ∼= Si dir. Sonuc olarak

R halkası yarı tam halka olur.

Onerme 5.1.22. R halkası icin asagıdaki ifadeler denktir.

(i) Her sol R-modul es burulmalı moduldur.

(ii) Her sol duz R-modul es burulmalı moduldur.

(iii) R halkası sol tam halkadır (Xu 1996).

Ispat (i ⇒ ii) Her sol R-modul es burulmalı modul oldugundan ozel olarak duz

moduller icin de saglanır.

64

(ii ⇒ iii) F duz R-modul olsun. O halde P projektif ve F duz modul olmak uzere

0→ G→ P → F → 0 tam dizisi mevcuttur. Buradan G modulu de duz moduldur.

O halde G es burulmalı modul oldugundan G ile baslayan F ile biten dizi parcalanır.

Buradan P = G⊕F bulunur. Projektif modulun dik toplananı projektif oldugundan

F projektif moduldur. Duz moduller projektif oldugundan Teorem 2.15.13 den R

sol tam halkadır.

(iii ⇒ i) R halkası sol tam halka iken her duz modul projektiftir. Projektif modul

birinci yerde iken Ext1R(F,M) = 0 dır. O halde M modulu es burulmalı modul olur.

Sonuc. 5.1.23. R halkasının sag tam halka olması icin gerek ve yeter sart her sag

R-modulun es burulmalı modul olmasıdır (Xu 1996).


(i) R sag tam halkadır.

(ii) J(R) sag T -ustel sıfır olmak uzere R halkası sag es burulmalı halkadır ve R-saf

injektif sag R-modullerin sınıfı dik toplamlar altında kapalıdır.

(iii) Es burulmalı sag R-modullerinin sınıfı dik toplamlar altında kapalıdır.

(iv) Her sag R-modul es burulmalı (on)ortuye sahiptir.

Soc(RR) ≤essRR ise yukarıdaki sartlar ile asagıdaki sart denktir.

(v) R halkası sag es burulmalı halkadır ve rR(a1) ⊆ rR(a2a1) ⊆ ... sıfırlayanların

zinciri artan zincir kosulunu saglar (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i ⇒ ii) R sag tam halka oldugu icin Teorem 5.1.21 den R-saf injektif

modullerin sınıfı dik toplamlar altında kapalıdır. R yarı tam halka oldugundan

R/J(R) yarı basittir. Teorem 2.15.13 den J(R), T -ustel sıfırdır.

(ii ⇒ i) J(R) sag T -ustel sıfır ise R halkası sag tam halkadır.

(i ⇒ iv) R halkası sag tam halka oldugundan Sonuc 5.1.23 den her sag R-modul es

burulmalı moduldur. Her modul (on)ortuye sahip oldugundan ve modul es burulmalı

modul oldugundan es burulmalı (on)ortuye de sahiptir.

(iv⇒ iii) M modulu es burulmalı (on)ortuye sahip ise es burulmalı modullerin sınıfı

dik toplamlar altında kapalıdır (Rozas ve Torrecillas 1994).

(iii ⇒ i) R bir halka ve C = C(RR) de R halkasının es burulmalı zarfı olsun. O

halde R sag tam halkadır (Asensio ve Herzog 2005)

65

(i⇒ v) R sag tam halka oldugu icin Sonuc 5.1.23 den her sag R-modul es burulmalı

moduldur (Azumaya 1987).

(v ⇒ i) M = xR ∼=R

rR(x)olmak uzere

0→ rR(x)→ R→ R

rR(x)→ 0

tam dizisine HomR(−, R) uygulandıgında

0→HomR(R

rR(x), R)→HomR(R,R)→

HomR(rR(x), R)→Ext1R(

R

r(x), R)→Ext1

R(R,R)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. R halkası es burulmalı halka veR

r(x)duz modul oldugundan

Ext1R(

R

rR(x), R) = 0 ve R duz ve es burulmalı halka oldugundan Ext1

R(R,R) = 0

olur.R

0 r(x) RR

r(x)0- -i

6f ppppp

ppppI g

- -

R

r(x)duz modul oldugundan rR(x), R modulunun saf alt modulu olur. Ortenlikten

dolayı gf = i olacak bicimde g fonksiyonu vardır. O halde alınan ilk dizi parcalandıgındanR

rR(x)= M modulu projektif modul olur. Boylece her devirli duz sag R-modulun

projektif oldugu gosterildi. Sonuc 5.1.19 ve Teorem 5.1.21 den R halkası yarı tam

halkadır. Teorem 2.15.13 den J(R) nin T -ustel sıfır oldugunu gostermek yeterlidir.

a1, a2, ... J(R) icerisinde sonsuz dizi olsun. O halde

rR(a1) ⊆ rR(a2a1) ⊆ rR(a3a2a1) ⊆ ...

zinciri elde edilir. (v) den rR(anan−1...a1) = rR(an+1anan−1...a1) olacak bicimde

n ∈ N mevcuttur. x ∈ (anan−1...a1)R∩ rR(an+1) ise x = (anan−1...a1)r ve an+1x = 0

dır. Buradan (an+1an...a1)r = 0 bulunur. rR(anan−1...a1) = rR(an+1anan−1...a1)

oldugundan x = 0 olur. O halde x ∈ (anan−1...a1)R ∩ rR(an+1) = 0 bulunur. Simdi

gosterilmesi gereken J(R) ≤ lR(Soc(RR)) ≤ Zr(R) oldugudur. x ∈ lR(Soc(RR)) ise

xSoc(RR) = 0 dır. Soc(RR) ≤ess

RR ve Soc(RR) ⊆ rR(x) ⊆ R oldugundan dolayı

66

rR(x) ≤ess

R dir. Buradan x ∈ Zr(R) bulunur. an+1 ∈ Zr(R) icin rR(an+1) ≤ess

RR ve

anan−1...a1 = 0 oldugundan J(R) sag T -nilpotent bulundugundan ispat tamamlanır.

Sonuc. 5.1.25. R degismeli bir halka olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) R tam halkadır.

(ii) R es burulmalı halka ve Soc(RR) ≤ess

R olmak uzere annR(a1) ⊆ rR(a2a1) ⊆

rR(a3a2a1) · · · zinciri artan zincir kosulunu saglar (Mao ve Ding 2006).

Ispat R degismeli ve tam bir halka olmak uzere ... ⊆ a3R ⊆ a2R ⊆ a1R seklinde

bir zincir alınsın. a1R basit ise zincir durur ancak basit degilse a2R basit modulu

vardır. a2R basit bir modul ise ispat biter ancak basit degilse a3R vardır. Dizi artan

zincir kosulunu sagladıgından sonlu adımda durur. S =Soc(R) alınırsa 0 6= I ≤ R

olmak uzere I ∩ S 6= 0 dır. 0 6= a1 ∈ I olmak uzere a1R basit ise ispat biter degilse

a2R ⊆ a1R vardır. Bu sekilde devam edip bir yerde durur ve boylece istenilen elde

edilir. Sonucun diger ozellikleri Teorem 5.1.24 den bulunur.

Onteorem 5.1.26. M projektif sag R-modul olmak uzere asagıdaki ifadeler denktir.

(i) Injektif R-modulun bolum modulu M -saf injektiftir.

(ii) M -saf injektif sag R-modulun bolum modulu M -saf injektiftir.

(iii) M modulunun saf alt modulu projektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat (ii ⇒ i) Injektif moduller M -saf injektif oldugundan bolum modulu M -saf

injektiftir.

(i ⇒ iii) M projektif bir modul ve K da M nin saf alt modulu olsun. E injektif

bir modul ve N ≤ E olmak uzere E/N injektiftir. i : K → M ve π : E → E/N

donusumler olsun. E/N hipotezden M -saf injektif oldugundan f : K → E/N

donusumu icin gi = f olacak bicimde g : M → E/N mevcuttur. M modulu

projektif oldugundan g : M → E/N icin πh = g olacak bicimde h : M → E vardır.

O halde f = (πh)i = π(hi) sartı saglandıgından K projektif olur.

(iii ⇒ ii) K modulu M nin saf ve projektif alt modulu olsun. N , M -saf injektif ve

L ≤ N olsun. i : K → M , π : N → N/L ve t : K → N/L donusumleri icin K

projektif oldugundan g : K → N mevcuttur ve πg = t saglanır. N modulu M -saf

injektif oldugundan ve h : M → N olmak uzere hi = g saglanır. hi = g icin her iki

67

tarafa π uygulanırsa (πh)i = π(hi) = πg = t oldugundan dolayı N/L, M -saf injektif

bulunur.


(i) Injektif sag R-modulun her bolum modulu es burulmalıdır.

(ii) Es burulmalı sag R-modulun her bolum modulu es burulmalıdır.

(iii) Pojektif sag R-modulun her saf alt modulu projektiftir.

(iv) Duz sag R-modullerin projektif boyutları en fazla 1 dir.

(v) Duz M ve N sag R-modulleri icin Ext2R(M,N) = 0 dır.

(vi) Duz M ve N sag R-modulleri ve j ≥ 2 icin ExtjR(M,N) = 0 dır (Mao ve Ding

2006).

Ispat (ii ⇒ i) Injektif moduller es burulmalı oldugundan acıktır.

(iii ⇒ ii) M bir projektif modul olmak uzere M nin her saf alt modulu projektiftir.

Boylece Onteorem 5.1.26 dan her M -saf injektif modulun bolumu M -saf injektiftir.

N es burulmalı bir modul olsun. Onteorem 5.1.2 den N , projektif M modulu icin

M -saf injektif, boylece Onteorem 5.1.26 dan N nin her N/L bolumu M -saf injektif

olur. Onteorem 5.1.2 den N/L es burulmalıdır.

(i ⇒ iii) M projektif bir modul ve N , M nin saf alt modulu olsun. N nin pro-

jektif oldugunu gosterilirse ispat tamamlanır. Bunun icin Onteorem 5.1.26 dan E

injektif modulun bolumunun M -saf injektif oldugunu gormek yeterlidir. (i) den E

nin her bolumu es burulmalıdır. Onteorem 5.1.2 den E nin her E/L bolumu M -saf

injektiftir.

(iv ⇒ iii) M projektif sag R-modul ve N , M modulunun saf alt modulu olsun. O

halde

0→ N →M →M/N

dizisi tamdır. M/N duz modul oldugundan M/N nin projektif boyutu hipotezden

bir ya da birden kucuktur. Boylece N modulu projektif olur.

(iii ⇒ iv) M modulu duz sag R-modul olsun. P projektif bir modul olmak uzere

0→ N → P →M → 0

68

tam dizisi mevcuttur. N modulu P modulunun saf alt modulu oldugundan N

projektiftir. Bu durumda M modulunun projektif boyutu en fazla 1 dir.

(iv⇒ v⇒ vi) Duz moduller icin acıktır.

(vi ⇒ iv) M duz sag R-modul olmak uzere

0→ K → F (N)εN→ N → 0

dizisi mevcuttur ve K modulu es burulmalı moduldur. Buradan dizi indirgenirse

· · ·Ext2R(M,F (N))→Ext2

R(M,N)→Ext3R(M,K) · · ·

dizisi elde edilir. (vi) dan Ext2R(M,F (N)) = 0 ve Ext3

R(M,K) = 0 dır. O halde

Ext2R(M,N) = 0 oldugundan (iv) elde edilir.

69

6. V -HALKALARI

6.1 V -Halkalarının Yeni Genellemesi

Tanım 6.1.1. R bir halka olmak uzere her basit R-modul injektif ise halkaya V -

halkası denir (Ming 1980).

Tanım 6.1.2. R bir halka olmak uzere her basit R-modul R-saf injektif ise halkaya

saf V-halkası denir (Mao ve Ding 2006).

Ornek 6.1.3. Saf V -halkaları V -halkalarını ve tam halkaları icerir. Saf V -halkalar

V -halka olmak zorunda degildir. Ornek olarak Z verilebilir. Z saf V -halkasıdır. Z

halkasının saf alt modulu I olsun. b ∈ Z icin I ∩ bZ = bI ve I = aZ olacak bicimde

a ∈ Z vardır. aZ ∩ bZ = ekok(a, b)Z = abZ dir. ebob(a, b) = 1 her b ∈ Z icin

saglandıgından a = 0 dır. Buradan I = 0 bulunur. O halde M basit Z-modulu icin

M

I = 0 Z-i��

f

ppppppppp6g

f = 0 donusumu oldugundan g : M → Z yukselir. Boylece M modulu Z-saf

injektiftir. Buradan Z saf V -halkasıdır. Ancak Z V -halkası degildir. Gercekten de,

Z/pZ injektif degildir ve injektif zarfı Zp∞ dur (Mao ve Ding 2006).

Onerme 6.1.4. (i) R duzenli bir halka olsun. R nin V -halkası olması icin gerek ve

yeter sart R nin saf V -halkası olmasıdır.

(ii) R duzenli bir halka olsun. R nin V -halkası olması icin gerek ve yeter sart her

M basit R-modulunun es burulmalı olmasıdır (Mao ve Ding 2006).

Ispat (i) ⇒ R halkası V -halkası ise R halkasının saf V -halkası oldugu acıktır.

⇐ R duzenli halka oldugu icin her modul duzdur. O halde R/I duz moduldur.

Boylece I ideali R modulunun saf alt moduludur.

M

0 I R R/I 0- -i

6f ppppp

ppppI g

- -

70

cizelgesi icin f donusumu I dan R ye yukselir.

(ii)⇐ M basit es burulmalı modul olsun. O halde 0→ I → R→ R/I → 0 kısa tam

dizisine HomR(−,M) uygulanırsa

0→ HomR(R/I,M)→ HomR(R,M)→ HomR(I,M)→

→ Ext1R(R/I,M) → Ext1

R(R,M) → · · · uzun tam dizisi elde edilir. R/I duz ve

M es burulmalı modul oldugundan Ext1R(R/I,M) = 0 bulunur. R duz modul

oldugundan Ext1R(R,M) = 0 olur. Buradan her basit modul injektif oldugundan R

halkası V -halkası olur.

⇒ M modulunun es burulmalı modul oldugu gosterilirse ispat tamamlanır. Bunun

icin Onerme 5.1.2 denM modulunun herM ′ duz modulu icinM ′-saf injektif oldugunu

gostermek gerekmektedir.

M

0 N ′ M ′- -i

6f ppppp

pppI g

R duzenli halka oldugundan her modul duz dolayısıyla her alt modul saf moduldur.

M ′ modulu icin saf injektif olma ile injektif olma denk olur. Injektif olması icin

Baer kriterini gostermek yeterli oldugu icin o da hipotezden saglandıgı icin M es

burulmalı modul olur.

Onerme 6.1.5. R degismeli bir halka ve S basit bir sol R-modul olmak uzere S

modulu R-saf injektiftir (Mao ve Ding 2006).

Ispat

0→ I → R→ F → 0

tam dizisi alındıgında I, R de saf alt modul oldugundan ve R duz modul oldugundan

F duz moduldur. Verilen diziye Hom(−, S) uygulanırsa

0→HomR(F, S)→HomR(R, S)→HomR(I, S)→Ext1R(F, S)→ · · ·

uzun tam dizisi elde edilir. F modulu duz modul ve Onerme 6.1.5 den S modulu es

burulmalı modul oldugundan Ext1R(F, S) = 0 bulunur. Ortenlikten S modulu R-saf

injektif olur.

71

Uyarı 6.1.6. Basit moduller degismeli halka uzerinde es burulmalı oldugu icin

degismeli halkalar saf V -halkalardır. Basit moduller degismeli olmayan halka uzerinde

es burulmalı olmak zorunda degildir. Ornek olarak R duzenli halkası uzerindeki

moduller sag V -halkası degildir.

Tanım 6.1.7. R/J(R) basit Artinian halka ise R halkasına yarı yerel (semilocal)

halka denir (Mao ve Ding 2006).

Onerme 6.1.8. R yarı yerel halkası sol ve sag saf V -halkasıdır (Mao ve Ding 2006).

Ispat Teorem 2.16.4 den S endomorfizma halkası olmak uzere basit SM modulu icin

M sonlu boyutlu vektor uzayıdır. Bu yuzden M ,∑

-saf injektiftir ve es burulmalı

moduldur. Boylece, R sag saf V -halkasıdır. Benzer sekilde R sol saf V -halkasıdır.

Onerme 6.1.9. R halkasının V -halkası olması icin gerek ve yeter sart R halkasının

esas P idealinin K maksimal alt modulu icin K∗ 6= P ∗ olmasıdır (Ming 1980).

Ispat ⇒ R nin P saf sag ideali ve P nin K maksimal alt modulu icin K∗ = P ∗

olsun. Buradan P/K basittir. P ideali R halkasının saf ideali olmak uzere Onerme

6.1.4 den P/K, R-saf injektiftir. π : P → P/K donusumu f : R→ P/K ya genisler.

g = f |P ∗ olsun. Buradan K ⊆ ker(g) ⊆ P ∗ = K∗ dır. x ∈ K ≤ P ≤ P ∗ icin

g(x) = f(x) = π(x) = 0 dır. K∗ ⊆ Kerg∗ ⊆ (P ∗)∗ = (K∗)∗ = K∗ ve (K∗)∗ = K∗

oldugundan (Kerg)∗ = P ∗ = K∗ bulunur. Kerf ≤max

R, Kerf ∩ P ∗ = Kerg ve

Kerg ⊆ Kerf ≤max

R oldugundan Kerg∗ ⊆ Kerf dir. Kerg∗ ∩ P ∗ ⊆ Kerf ∩

P ∗ = Kerg dir. Buradan P ∗ = Kerg∗ ⊆ Kerg ⊆ P ∗ = Kerg∗ bulunur boylece

Kerg = P ∗ olur. Sonuc olarak g = 0 ve P/K = 0 dır. P/K basit oldugundan bu

bir celiskidir.

⇐ M basit bir modul olmak uzere α : I → M ye olan donusum R den M ye

genisletilebilirse ispat tamamlanır. Kerα ≤max

I oldugundan,

(i) I ≤ess

R ise hipotezden Kerα∗ 6= I∗ dır. Diger taraftan (Kerα)∗ ⊂ I∗ dır.

Buradan Kerα ≤ K ≤max

R ve I * K olacak bicimde K maksimal sag ideali vardır.

Bu yuzden R = K + I dır. r ∈ R ve t ∈ I icin r = k + t ∈ R, β : R → M

fonksiyonu α(t) = β(r) seklinde tanımlansın. Kerα ⊆ K ∩ I , K ∩ I ≤ I ve

72

Kerα ≤max

I oldugundan Kerα = K ∩ I dır. r = k + t ∈ R, r1 = k1 + t1 ∈ R ve

r = r1 olsun. β(r) = α(t) ve β(r1) = α(t1) seklinde tanımlanısın. k + t = k1 + t1

ise k − k1 = t1 − t ∈ K ∩ I = Kerα oldugundan α(t1 − t) = 0 dır. α(t) = α(t1)

ise β iyi tanımlıdır. β|I = α oldugunu gosterilirse istenilen elde edilir. t ∈ I,

β(t) = β(0 + t) = α(t) oldugundan β|I = α dır.

(ii) I esas ideal olmasın. O halde I ∩ L = 0 olacak bicimde 0 6= L ≤ R vardır. Zorn

Onteoreminden I ∩ L = 0 olacak bicimde L ≤max

R secilebilir. O halde I ⊕ L ≤ess R

olur. L ≤ Kerα ⊕ L ≤ U ≤ I ⊕ L olsun. U = U ∩ (I ⊕ L) ve L ≤ U oldugundan

modulariteden U = L ⊕ (U ∩ I) dır. Buradan Kerα ≤ U ∩ I ≤ I ve Kerα ≤max

I

oldugundan Kerα = U ∩ I veya U ∩ I = I dır. U ∩ I = I olsun. I ⊆ U ve L ⊆ U

oldugundan I ⊕ L ⊆ U dır. Diger taraftan U ⊆ I ⊕ L oldugundan U = I ⊕ L dir.

Kerα = U∩I olsun. O halde U = Kerα⊕L olur. Buradan Kerα⊕L ≤max

I⊕L ≤essR dir. Burada (i) de yapılan ispat tekrarlanırsa sonuca ulasılır.


(i) R saf V -halkasıdır.

(ii) R halkasının P saf sag idealinin maksimal alt modulu K ise K∗ 6= P ∗ dır (Mao

ve Ding 2006).

Ispat (i ⇒ ii) R nin P saf sag ideali ve P nin K maksimal alt modulu icin

K∗ = P ∗ olsun. Buradan P/K basittir. P ideali R halkasının saf alt modulu

olmak uzere Onerme 6.1.4 den P/K, R-saf injektiftir. π : P → P/K donusumu

icin f : R → P/K ya genisler. g = f |P ∗ olsun. Buradan K ⊆ ker(g) ⊆ P ∗ = K∗

dır. x ∈ K ≤ P ≤ P ∗ icin g(x) = f(x) = π(x) = 0 dır. K∗ ⊆ Kerg∗ ⊆ (P ∗)∗ =

(K∗)∗ = K∗ ve (K∗)∗ = K∗ oldugundan (Kerg)∗ = P ∗ = K∗ bulunur. Kerf ≤max

R,

Kerf∩P ∗ = Kerg ve Kerg ⊆ Kerf ≤max

R oldugundan Kerg∗ ⊆ Kerf dir. Boylece

Kerg∗ ∩ P ∗ ⊆ Kerf ∩ P ∗ = Kerg ve P ∗ = Kerg∗ ⊆ Kerg ⊆ P ∗ = Kerg∗ dır.

Kerg = P ∗ ve g = 0 oldugundan P/K = 0 olur. Fakat P/K basittir. Bu ise kabul

ile celisir.

(ii ⇒ i) M modulu basit sag R-modul olsun. I da saf ideal olmak uzere α : I →M

homomorfizma olsun. Simdi gosterilmesi gereken α nın R ye genisletilebilmesidir.

α = 0 ise acıktır. α 6= 0 ise Kerα ≤max

I oldugundan (ii) den (Kerα)∗ 6= I∗

73

dır. Kerα ≤ K ≤max

R ve I * K olacak bicimde K maksimal sag ideali vardır ve

R = K + I dır. r ∈ R ve t ∈ I icin r = k + t ve β : R→M fonksiyonu α(t) = β(r)

seklinde tanımlansın. Kerα ⊆ K ∩ I , K ∩ I ≤ I ve Kerα ≤max

I oldugundan

Kerα = K ∩ I dır. r = k + t ∈ R ve r1 = k1 + t1 ∈ R ve r = r1 olsun. β(r) = α(t)

ve β(r1) = α(t1) olsun. k + t = k1 + t1 ise k − k1 = t1 − t ∈ K ∩ I = Kerα ise

α(t1 − t) = 0 dır. α(t) = α(t1) ise β iyi tanımlıdır. β|I = α oldugunu gosterilirse

istenilen elde edilir. t ∈ I icin β(t) = β(0 + t) = α(t) oldugundan β|I = α dır.

Sonuc. 6.1.11. R saf V -halka olmak uzere I∗ ≤⊕ R ise I = I∗ dır (Mao ve Ding

2006).

Ispat I 6= I∗ olsun. I∗ sonlu uretilmis oldugundan Teorem 2.10.22 den I ideali

I∗ ın M maksimal alt modulu icerisinde kapsanır, yani I ⊆M ⊆ I∗ dır. Bir onceki

teoremden M∗ 6= I∗ dır. Diger taraftan I ⊆ M ise I∗ ⊆ M∗ ve M ⊆ I∗ ise

M∗ ⊆ (I∗)∗ = I∗ oldugundan celiski elde edilir. Buradan I = I∗ dır.

Onerme 6.1.12. R sag SF halka olsun.

(i) Duz M sag R-modulu icin J(M) = 0 ise her basit R-modul es burulmalıdır.

(ii) Duz devirli M sag R-modulu icin J(M) = 0 ise R saf V -halkasıdır (Mao ve Ding

2006).

Ispat (i) M duz sag R-modulu icin K saf alt modul ve S de basit sag R-modul

olsun. f : K → S ye olan donusum M ye genisletilebilir. f = 0 icin ispat acıktır.

Kabul edelim ki f 6= 0 olsun. S ∼= K/kerf ve S modulu duz modul oldugundan

kerf saf alt modul olur. K modulu M modulunun saf alt modulu oldugundan

kerf modulu M modulunun saf alt modulu olur. Hipotezden J(M/kerf) = 0 dır.

Buradan M nin maksimal alt modullerinin kesisimi kerf dir. x ∈ K ve x /∈ker f

olsun. Buradan kerf ⊆ H ve x /∈ H olacak bicimde M nin H maksimal alt modulu

mevcuttur ve M = H+K olacak bicimde yazılır. H ∩K =ker f oldugundan h ∈ H

ve k ∈ K icin f , g : M → S ye g(h+ k) = f(k) olacak bicimde genisletilebilir.

74

KAYNAKLAR

Anderson, F. W. and Fuller, K. R. 1992. Rings and categories of modules.

Springer-Verlag, 376 p., Berlin.

Asensio, P. and Herzog, I. 2004. Left cotorsion rings. Bull. London Math. Soc.,

Vol. 36; pp. 303-309.

Asensio, P. and Herzog, I. 2005. Sigma-cotorsion rings. Adv. Math., Vol. 191;

pp. 11-28.

Atiyah, M. F. and Macdonald, I. G. 1969. Introduction to commutative algebra.

Addison-Wesley Publishing Co., 128 p., Reading.

Azumaya, G. 1987. Finite splitness and finite projectivity. J. Algebra, Vol. 8;

pp. 114-134.

Baccella, G. 1980. On C-semisimple rings. A study of the socle of a ring. Comm.

Algebra, Vol. 8; pp. 889-909.

Bican, L. Bashir, E. and Enochs, E.E. 2001. All modules have flat covers. Bull.

London Math. Soc., Vol. 33; pp. 385-390.

Cohn, P. M. 1959. On the free product of associative rings. Math. Z., Vol. 71;

pp. 380-398.

Dauns, J. 1994. Modules and rings. Cambridge University Press, 441 p.,

Cambridge.

Enochs, E. E. and Jenda, O. M. G. 2000. Relative Homological Algebra. Walter

de Gruyter, 331 p., Berlin.

Fuchs, L. 1970. Infinite abelian groups Volume I. Pure and Applied Mathematics,

Vol. 36, Academic Press, 290 p., London.

Fuchs, L. and Salce, L. 2001. Modules over non-Noetherian domains.

Mathematical surveys and monographs, Vol. 84, American

Mathematical Society, 613 p., Providence, RI.

Kasch, F. 1982. Modules and Rings. Academic Press, 372 p., London.

Lam, T. Y. 2001. A first course in noncommutative rings. Springer-Verlag,

441 p., New York.

Leeuwen, L. C. A. 1969. On torsion-free cotorsion groups. Indag. Math.,

75

Vol. 31; pp. 388-393.

Mao, L. X. and Ding, N. Q. 2005. Notes on cotorsion modules. Comm. Algebra,

Vol. 33; pp. 349-360.

Mao, L. X. and Ding, N. Q. 2006. Cotorsion modules and pure-injectivity. J.

Aust. Math. Soc., Vol. 81; pp. 225-243.

Matsumura, H. 1986. Commutative Ring Theory. Cambridge University Press,

320 p., Cambridge.

Ming, R. Y. C. 1980. On V-rings and prime rings. J. Algebra, Vol. 62;

pp. 13-20.

Mohamed, S. H. and Muller, B. J. 1990. Continuous and discrete modules.

Cambridge University Press, 126 p., Cambridge.

Nicholson, W. K. and Yousif, M. F. 2003. Quasi-Frobenius rings. Cambridge

University Press, 307 p., Cambridge.

Puninski, G. and Rothmaler, P. 2004. When every finitely generated flat module

is projective. J.Algebra, Vol. 277; pp. 542-558.

Ribenboim, P. 1972. Algebraic Numbers. Pure and Applied Mathematics,

Vol. 27, Wiley-Interscience, 300 p., New York-London-Sydney.

Rotman, J. J. 2000. An introduction to homological algebra. Academic Press,

709 p., New York.

Rozas, J. R. and Garcia-Torrecillas, B. 1994. Relative injective covers. Comm.

Algebra, Vol. 22; pp. 2925-2940.

Sharpe, D. W. and Vamos, P. 1972. Injective modules. Cambridge University

Press, 190 p., Cambridge.

Thani, N. M. A. 1997. Pure Baer Projective Modules. Internat J. Math. Sci.,

Vol. 20; pp. 529-538.

Wisbauer, R. 1991. Foundations of Module and Ring Theory. Gordon and

Breach Science Publishers, 606 p., Philadelphia, PA.

Xu, J. 1996. Flat covers of modules. Lecture Notes in Math. 1634. Springer-

Verlag, 161 p., Berlin.

76

OZGECMIS

Adı Soyadı : Gizem KAFKAS

Dogum Yeri : Aydın

Dogum Tarihi : 29.10.1987

Medeni Hali : Bekar

Yabancı Dili : Ingilizce

Egitim Durumu

Lise : Suleyman Demirel Anadolu Lisesi (2001 - 2005)

Lisans : Ankara Universitesi Fen Fakultesi Matematik Bolumu (2005 - 2009)

Yuksek Lisans : Ankara Universitesi Fen Bilimleri Enstitusu Matematik

Anabilim Dalı (Eylul 2009 - Agustos 2011)

77

ankara un ivers ites i fen bil imler i enst it us u yuksek...

Documents