anÁlise de estabilidade linear convectiva e absoluta … · 2018-07-17 · de estabilidade linear...
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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II'
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Título do Projeto:
ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVAE ABSOLUTA 2D E 3D EM MEIOS POROSOS COMGRADIENTE DE TEMPERATURA INCLINADO E
ESCOAMENTO VERTICAL E HORIZONTAL
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Autor(es):
MATEUS SANGLARD SCHUABB NUNES
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Orientador(es):
LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.
Data: 07 de Fevereiro de 2018
MATEUS SANGLARD SCHUABB NUNES
ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVA EABSOLUTA 2D E 3D EM MEIOS POROSOS COMGRADIENTE DE TEMPERATURA INCLINADO E
ESCOAMENTO VERTICAL E HORIZONTAL
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado aoCurso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheiro Mecânico.
Orientador(es):
LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.
Niterói
07 de Fevereiro de 2018
Ficha catalográfica automática - SDC/BEE
Bibliotecária responsável: Fabiana Menezes Santos da Silva - CRB7/5274
N972a Nunes, Mateus Sanglard Schuabb Análise de Estabilidade Linear Convectiva e Absoluta 2D e3D em Meios Porosos com Gradiente de Temperatura Inclinado eEscoamento Vertical e Horizontal / Mateus Sanglard SchuabbNunes; Leonardo Santos de Brito Alves, orientador. Niterói,2018. 86 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em EngenhariaMecânica)-Universidade Federal Fluminense, Escola deEngenharia, Niterói, 2018.
1. Análise de Estabilidade Linear. 2. Meios Porosos. 3.Produção intelectual. I. Título II. Alves,Leonardo Santosde Brito, orientador. III. Universidade Federal Fluminense.Escola de Engenharia. Departamento de Engenharia Mecânica.
CDD -
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO
Título do Trabalho:ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVA E ABSOLUTA
2D E 3D EM MEIOS POROSOS COM GRADIENTE DETEMPERATURA INCLINADO E ESCOAMENTO VERTICAL E
HORIZONTAL
Parecer do Professor Orientador da Disciplina:
− Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:
− Grau atribuído ao grupo nos Seminários de Progresso:
Parecer do Professor(es) Orientador(es):
Nome e Assinatura do Professor(es) Orientador(es):
Prof.: Leonardo Santos de Brito Alves. Assinatura:
Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:
Projeto Aprovado Sem Restrições
Projeto Aprovado Com Restrições
Prazo concedido para cumprimento das exigências:
Discriminação das exigências e/ou observações adicionais:
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica
PROJETO DE GRADUAÇÃO II
AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO(continuação)
Aluno: Mateus Sanglard Schuabb Nunes. Grau: (10.0)
Composição da Banca Examinadora:
Prof.: Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D. Assinatura:
Prof.: Rômulo Bessi Freitas, MSc. Assinatura:
Prof.: Daniel Rodríguez Álvarez, Ph.D. Assinatura:
Data de Defesa do Trabalho:
Departamento de Engenharia Mecânica, 07/02/2018
DEDICATÓRIA
Dedico este trabalho à minha mãe Angélica, ao meu pai Claussio, à minha irmã Gio-
vanna, à minha madrinha Dinda e à minha vó Osair que, com muito carinho e apoio, não
mediram esforços para que eu chegasse até esta etapa da minha vida.
AGRADECIMENTOS
Agradeço principalmente à minha mãe Angélica por todos esses anos de minha existên-
cia, por estar sempre ao meu lado me apoiando em minhas decisões e me incentivando a
nunca desistir por mais difícil que esteja a vida e a perseverar.
Agradeço especialmente à minha madrinha Maria das Graças por todos os tipos de ajudas
à mim prestado. Tenho certeza que se não fosse por ela, não teria alcançado esse grande
objetivo em minha vida.
Agradeço também ao meu pai Claussio, à minha irmã Giovanna e à minha vó Osair por
estarem sempre me ajudando, no possível, para conseguir alcançar meus objetivos.
Agradeço ao meu orientador e professor Dr. Leonardo pela orientação, atenção e pelo
suporte para que este trabalho fosse concluído.
Agradeço aos meus familiares, em especial meus primos Glauco, Thiago, Tati e Glaucia
e meus tios Aluísio, Arndoldo e Cleuda e seus familiares pelo apoio, ajuda e conselhos à
mim dados durante a minha formação.
Agradeço aos meus amigos e aos amigos que fiz durante esses anos que foram de grande
apoio em certos momentos, principalmente, Beretta, Rafael, Peixoto, Pedro, Ricardo, Hélio,
João Victor, Vital, Felipe, Arthur e Rômulo.
Agradeço também ao Bandejao UFF por sua existência e por servir a melhor comida
custo-benefício que já presenciei. Sem sua ajuda, a minha formação seria bem mais compli-
cada.
RESUMO
Problemas de convecção em meios porosos são de importância prática considerável de-
vido a uma grande variedade de aplicações, como por exemplo aplicação biológica, geofí-
sica, ambiental e nas engenharias. Por causa disso, no presente trabalho foi feita uma análise
de estabilidade linear convectiva e absoluta bi e tridimensional em um meio poroso saturado,
onde além de um gradiente de temperatura inclinado, há também escoamento vertical e ho-
rizontal. Os parâmetros adimensionais relevantes são Péclet (Qv), Rayleigh horizontal (Rh)
e Rayleigh vertical (Rv), onde este é o parâmetro de controle. O método numérico utilizado
para a obtençao dos valores críticos foi o método do tiro. Os resultados encontrados fo-
ram comparados com os presentes na literatura para a verificação da metodologia utilizada.
Observou-se que alguns resultados da análise absoluta 2D presentes na literatura estavam
errados. Os resultados das análises bi e tridimensional mostrou que a transição para a insta-
bilidade é de caráter 3D, sendo os números de onda na direção x e y iguais a zero e diferente
de zero, respectivamente, implicando que os rolos de convecção são longitudinais, paralelos
ao escoamento horizontal. Um efeito de estabilização foi observado com o aumento tanto do
gradiente de temperatura horizontal quanto da velocidade vertical. Além das verificações,
foi obtidos os valores críticos para iminência da instabilidade absoluta tridimensional que
não estão presentes na literatura. A natureza da transição para a instabilidade depende se
o produto Rh.Qv é nulo ou não, se Rh.Qv = 0, a desestabilização é absolutamente instável,
senão, é convectivamente.
Palavras-Chave: Análise de Estabilidade Linear, Instabilidade Absoluta e Convectiva, Meios
Porosos, Gradiente de Temperatura Inclinado
ABSTRACT
Problems of convection in porous media are of considerable pratical importance owing
to a large variety biological, geophysical, environmental, industriala and engineering appli-
cations. Because of that, in the present work was done a convective and absolute linear
stability analysis bi and tri-dimensional in a saturated porous medium, where besides a incli-
ned temperature gradient, also there is vertical and horizontal throughflow. The meaningful
dimensionless parameters are Péclet (Qv), Rayleigh horizontal (Rh) e Rayleigh vertical (Rv),
where this last is the control parameter. The computations to obtain the critical values were
performed by using the shooting method. The results were compared with the present in the
literature to the verification of the metodology. Some bi-dimensional absolute critical values
found in literature were wrong. The results of the analysis 2D and 3D revealed that the na-
ture of the destabilization is tri-dimensional, being the wavenumbers in the x and y directions
equal to zero and different from zero, respectively, becoming the convection rolls parallel to
the horizontal throughflow. A stabilization effect was observed with the increasing of hori-
zontal temperatue gradient and vertical throughflow. Besides the verification, new results not
found in literature were obtained from tri-dimensional absolute instability. The nature of the
destabilization depends if the product Rh.Qv is nil or not, when Rh.Qv = 0 the destabilization
is through absolute instability, otherwise it is through convective instability.
Key-Words: Linear Stability Analysis, Abolute and Convectiva Instability, Porous Medium,
Inclined Temperature Gradient
LISTA DE FIGURAS
1.1 Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente. . . . 20
1.2 Representação de uma onda com ωi < 0 e αi < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Representação de uma onda com ωi > 0 e αi > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Representação de uma onda com ωi = 0 e αi = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Representação de pacotes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 Representação da instabilidade convectiva (à esquerda) a absoluta (à direita) . 25
1.7 Representação da iminência da instabilidade absoluta . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Esquema do modelo do meio poroso do problema a ser analisado . . . . . . . 32
3.1 Comportamento da solução para diferentes valores da derivada inicial . . . . . 41
3.2 Fluxo de estimativa inicial apenas para Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.1 Estimativa inicial com isolinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Curvas neutras para obter os chutes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Curvas neutras com valores críticos duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4 Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.6 Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.7 Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.8 Colisão dos modos para Rh = 40 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.9 Colisão dos modos para Rh = 50 e Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.10 Colisão dos modos para Rh = 50 e Qv = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.11 Colisão dos modos para Rh = 60 e Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.12 Colisão dos modos para Rh = 60 e Qv = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.13 Monitoramento da colisão para diferentes valores de Qv para Rh = 20 . . . . . 61
4.14 Monitoramento da colisão para diferentes modos para Rh = 60 . . . . . . . . . 61
4.15 Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.16 Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.17 Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.18 Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.19 Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv . . . . . . . . . . . . . 66
4.20 Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.21 Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.22 Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.23 Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.24 Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv . . . . . . . . . . . . . 70
4.25 Colisão dos modos para Rh = 10 e Qv = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.26 Colisão dos modos para Rh = 40 e Qv = 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.27 Colisão dos modos para Rh = 50 e Qv = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.28 Colisão dos modos para Rh = 60 e Qv = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.29 Colisão dos modos para Rh = 30 e Qv = 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.30 Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.31 Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.32 Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.33 Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
LISTA DE TABELAS
4.1 Rv crítico convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2 αR crítico convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 ωR crítico convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4 Velocidade de grupo convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Rv crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.6 αR crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.7 -αi crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.8 ωR crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.9 Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.10 Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.11 Dados do pinching point duplo para Rh = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.12 Dados do pinching point duplo para Rh = 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.13 Dados do pinching point duplo para Rh = 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.14 Dados do pinching point duplo para Rh = 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.15 Dados do pinching point duplo para Rh = 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.16 Rv crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.17 (αR,βR) crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.18 ωR crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.19 (∂ω/∂α, ∂ω/∂β) crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.20 Rv crítico absoluto para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.21 (αR, βR) crítico absoluto para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.22 (-αi, -βi) crítico absoluto para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.23 ωR crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
NOMENCLATURA
A razão entre o ρc do meio e do fluido
c calor específico
cp calor específico a pressão constante
cte derivada de Tn em relação a z em z =−1/2
cte2 derivada de Tnα em relação a z em z =−1/2
cte3 derivada de Tnβ em relação a z em z =−1/2
D2D equação da dispersão bidimensional
D3D equação da dispersão tridimensional
g vetor aceleração da gravidade
H distância entre as superfícies
i unidade imaginária
k condutividade térmica
K permeabilidade
P pressão
Qv número de Péclet
Rh número de Rayleigh horizontal
Rv número de Rayleigh vertical
t tempo
T temperatura
T̃ componente da temperatura base que varia apenas na direção z
∆T variação de temperatura entre os contornos
u componente da velocidade na direção x
U velocidade base que varia na direção z
v componente da velocidade na direção y
v vetor velocidade
w componente da velocidade na direção z
wv velocidade vertical nos contornos
x eixo de coordenada x
y eixo de coordenada y
z eixo de coordenada z
Símbolos Gregos
α autovalor referente a direção x
β autovalor referente a direção y
ω autovalor referente ao tempo
ε amplitudade da perturbação
θ estimativa incial
φ estimativa incial
µ viscosidade dinâmica
ρ massa específica
γ coeficiente de expansão térmica
σ componente horizontal do gradiente de temperatura
Subscritos
0 refere ao estado de referência
i parte imaginária de um número complexo
f referente ao fluido
m referente ao meio poroso
n referente as autofunções
nα derivada da autofunção em relação a α
nβ derivada da autofunção em relação a β
p referente a perturbação
R parte real de um número complexo
s referente ao regime permanente
Sobrescritos
∗ variáveis dimensionais x
′ derivada em relação a z
SUMÁRIO
1. INTRODUÇAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1 MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Conservação de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Equação de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.3 Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Aproximação de Oberbeck-Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Local e Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 Instabilidade Convectiva e Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.4 Análise 2D e 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.5 Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2. MODELAGEM MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 EQUAÇÕES DE GOVERNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 SOLUÇÃO BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3 PERTURBAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.1 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.2 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 EQUAÇÕES DA DISPERSÃO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3. METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.1 MÉTODO DO TIRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 ESTIMATIVA INICIAL E EXTRAPOLAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 ESTUDOS BIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Análise Convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Análise Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 EXTENSÕES PARA ESTUDOS TRIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Análise Convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.2 Análise Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4. RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1 ANÁLISE 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.1 Verificação da análise convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2 Verificação da análise absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.3 Resultados da análise convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.1.4 Resultados da análise absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2 ANÁLISE 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Verificação da análise convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.2 Resultados da análise absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5. CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6. TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
15
1 INTRODUÇAO
1.1 MOTIVAÇÃO
Um meio poroso consiste de uma estrutura sólida com espaços vazios que são distribuí-
dos de forma regular ou aleatória por toda estrutura. Esses espaços vazios, também indenti-
ficados como poros, são interconectados por vários caminhos contínuos de um lado ao outro
do meio. Eles podem ser naturais, como rochas e areia de praia, ou fabricados, por exem-
plo, cerâmicas e materiais compósitos (Bejan et al. (2004), Bear (1972) e Nield and Bejan
(2006)).
A mecânica dos fluidos através de um meio poroso é um tópico relativamente antigo de-
vido a gestão de aquíferos e sistemas de irrigação. Por volta dos séculos XIX e XX, por causa
da preocupação do custo de energia, estudos sobre transferência de calor em meios porosos
surgiram, juntos com novas tecnologias, como por exemplo, máquinas elétricas refrigeradas
a gás, reatores nucleares e isolamento poroso (Bejan (2013)).
A análise de escoamentos em meios porosos é requerido em uma grande variedade de
aplicações. Dentre estas, as que mais de destacam são as engenharias, como a química, am-
biental, mecânica e petrolífera e também a geologia. Como algumas aplicações relacionadas
a esta área, pode-se citar a redução da poluição do ar devido a combustão, reatores de leito
fixo, filtragem e secagem, irrigação, lubrificação, refrigeração de reatores nucleares, conta-
minação de lençois freáticos, transporte glaciológico, intrusão de sal em aquíferos costeiros,
escoamento de óleo e gás em reservatórios, extrações de óleos e produção de gás natural
(Kaviany (2012)).
Normalmente, problemas de transferência de calor em meios porosos estão relacionados
à convecção natural ou à convecção mista. Fortes gradientes de temperatura podem gerar
gradientes de massa específica grande o suficiente para a força de empuxo seja maior que
16
a força peso e, consequentemente, criar células de convecção. Tal fenômeno pode ser con-
siderado uma instabilidade e quando isto ocorre, a taxa de transferência de calor aumenta.
Devido a este fato, é preciso uma análise mais cuidadosa para se determinar quando tal ins-
tabilidade acontece, pois ela pode ou não ser desejada dependendo da apliação, evitando,
assim, resultados desagradáveis.
1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS
Segundo Bear (1972), um meio poroso pode ser definido como uma porção do espaço
ocupada por matéria heterogênea ou multifásica, sendo pelo menos uma das fases que o
compõe não é sólida, podendo ser fases gasosas e/ou líquidas. A fase sólida é chamada de
matriz e os espaços dentro do meio poroso são chamados de poros. Quando algum fluido
preenche completamente esses vazios, classifica o meio poroso como saturado.
Uma grandeza importante no estudo de escoamentos em meios porosos é a porosidade,
ϕ, que pode ser definida como a fração do volume total do meio que é ocupada pelos espaços
vazios e, consequentemente, 1−ϕ é a fração ocupada pela matrix. A não uniformidade do
tamanho dos grãos da matrix tende a diminuir o valor de ϕ, pois, os grãos menores tendem a
preencher os espaços vazios entre os grãos maiores. Definindo ϕ dessa maneira, assume-se
que todos os poros são interconectados, porém, isso normalmente não acontece. Portanto, é
preciso introduzir uma grandeza que mede a razão entre o volume dos poros interconectados
com o volume total, chamada porosidade efetiva. (Nield and Bejan (2006)).
As grandezas físicas relevantes num escoamento em meio poroso (velocidade, pressão,
etc), em escala microscópica (escala dos poros), são claramente irregulares. Porém, em ex-
perimentos, essas grandezas de interesse são medidas em seções transversais que atravessam
muitos poros, e calculadas em média (escala macroscópica), variam de forma regular no
espaço e no tempo. Portanto, são passíveis de tratamento teórico (Nield and Bejan (2006)).
A forma usual para derivar as equações que regem as variáveis macroscópicas é começar
com as equações padrões obedecidas pelo fluido. Uma variável macroscópica é definida
pela média de um volume elementar suficientemente grande comparado a escala dos poros,
porém, consideravelmente menor que a escala de comprimento do domínio.
17
1.2.1 Conservação de Massa
Considerando um volume elementar de um meio poroso, uma distinção entre médias
com respeito ao volume elementar total incorporando fase sólida e fluido e ao volume que
consistui apenas o fluido deve ser feita. É possível perceber que a média da velocidade do
fluido em relação ao volume total, v, e com respeito ao volume ocupado pelo fluido, V, estão
relacionadas com a porosidade ϕ pela relação de Dupuit-Forchheimer v=ϕV. Considerando
um meio contínuo, a conservação da massa é expressa pela equação abaixo, onde ρf é a massa
específica do fluido.
ϕ∂ρf
∂t+∇· (ρfv) = 0 (1.1)
1.2.2 Equação de Movimento
A investigação sobre o abastecimento de água em Dijon, na França, e experimentos levou
Henry Darcy, em 1856, a perceber que, para um escoamento em meio poroso em regime
permanente unidirecional, há uma proporcionalidade entre a vazão e o gradiente de pressão
aplicado. Matematicamente, essa relação é expressa por:
u =−K
µ
∂P
∂x(1.2)
onde ∂P/∂x é o gradiente de pressão na direção do escoamento. Essa proporção depende
tanto do fluido, relacionado com a viscosidade dinâmica µ, quanto da geometria do meio, K
chamado de permeabilidade. Considerando agora a equação de Darcy nas três dimensiões
para um meio isotrópico e v sendo o vetor velocidade, a equação do movimento se torna a
mostrada abaixo.
∇P =−µK
v (1.3)
18
1.2.3 Conservação de Energia
Pelo motivo de que em escoamentos em meios porosos terem uma matriz sólida e um
fluido, para a obtenção da conservação da energia através da primeira lei da termodinâmica,
é necessário tirar as médias volumétricas de cada fase. Um caso simples a ser considerado é
de um meio isotrópico onde os efeitos da radiação, dissipação viscosa e o trabalho realizado
devido à pressão são negligênciados. Tomando as médias volumétricas, obtém as equações
de conservação de eneria para o sólido e o fluido, como as equações abaixo, respectivamente.
(1−ϕ)(ρc)s∂Ts
∂t= (1−ϕ)∇· (ks ∇Ts)+ (1−ϕ)q ′′′
s (1.4)
ϕ(ρcp)f∂Tf
∂t+ (ρcp)f v ·∇Tf =ϕ∇· (kf ∇Tf)+ϕq ′′′
f (1.5)
os subescritos s e f se referem, respectivamente, a fase sólida e líquida, c é o calor específico
do sólido, cp os calor específico do fluido a pressão contante, k é a conditividade térmica e
q ′′′ a produção de calor volumétrica.
Assumindo que há um equilíbrio térmico local, ou seja, Ts = Tf = T e somando as equa-
ções (1.4) e (1.5), ontém:
(ρc)m∂T
∂t+ (ρcp)f v ·∇T =∇· (km ∇T )+q ′′′
m (1.6)
onde (ρc)m, km e q ′′′m são a capacidade térmica global volumétrica, a conduividade térmica
global e a produção de calor de geral por unidade de volume do meio. Estas são calculas
pelas equações mostradas abaixo.
19
(ρc)m = (1−ϕ)(ρc)s +ϕ(ρcp)f (1.7)
km = (1−ϕ)ks +ϕkf (1.8)
q ′′′m = (1−ϕ)q ′′′
s +ϕq ′′′f (1.9)
1.2.4 Aproximação de Oberbeck-Boussinesq
Para a convecção térmica ocorrer, a massa específica do fluido deve ser uma função da
temperatura, portanto, precisa de uma equação de estado para complementar as equação de
massa, momentum e energia. A equação de estado mais simples é
ρf = ρ0[1−γ(T −T0] (1.10)
onde ρ0, T0 e γ são, respectivamente, a massa específica e a temperatura de referência e o
coeficiente de expansão térmica.
Para simplificar análises posteriores, utiliza-se a aproximação de Oberbeck-Boussinesq,
que consiste em adicionar o termo ρf g, que está relacionado a força de expuxo, na equação
de Darcy (1.3). Isto é devido à variação da temperatura ser muito mais importante no termo
de empuxo do que nos demais termos, considerando a equação (1.10) apenas no termo de
empuxo e permanecendo constante nos outros termos. Como consequência a equação da
continuidade reduz a ∇ · v, apenas para casos incompressíveis. Utilizando a aproximação
descrita acima, a lei de Darcy se torna a mostrada a seguir.
∇P + µ
Kv−ρfg= 0 (1.11)
20
1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR
Ao examinar a dinâmica de qualquer sistema físico, o conceito de estabilidade se torna
relevante somente depois de estabelecer a possibilidade de equilíbrio. Pode-se definir esta-
bilidade como a habilidade de um sistema dinâmico ser imune à pequenas perturbações, em
outras palavras, um sistema é instável quando é incapaz de manter-se em seu estado de equi-
líbrio original após ser sujeito a estas perturbações (Criminale et al. (2003); Chandrasekhar
(1961)).
Os sistemas dinâmicos se diferenciam entre os estados instáveis, neutros e estáveis. Tais
estados podem ser vizualizados fazendo analogia da energia potencial gravitacional de uma
esfera sobre superfícies de diferente formatos, como ilusta a figura 1.1. Caso a esfera sofra
alguma perturbação, ela pode afastar-se ainda mais da sua posição inicial, ser indiferente ou
deslocar-se da posição inicial e retornando à mesma.
Figura 1.1: Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente.Fonte: Adaptado de Kundu et al. (2012).
Problemas térmicos e hidrodinâmicos quando estão em regime permanente (nenhuma
variável dependendo do tempo) estão sujeitos à perturbações, devido a fatores como rugosi-
dade superficial, ruído externo, vibração, etc. Desde modo, a análise de estabilidade busca
determinar a resposta do sistema submetidos a estas perturbações, ou seja, após perturbado,
a sua amplitude crescerá ou diminuirá e sob que condições essa transição acontece.
Na análise de estabilidade linear, as perturbações de amplitude ε são consideradas su-
ficientemente pequenas (ε << 1) para que uma linearização, ao redor da solução base, seja
possível através da negligência dos termos quadráticos ou de ordem superior, como mostra a
equação (1.12).
21
q(x, t ) = qs(x)+εqp (x, t ) (1.12)
sendo x o vetor de coordenadas espaciais (x1,x2,x3), t o tempo, q uma variável qualquer
(velocidade, temperatura e/ou pressão) de um sistema, qs a solução de regime permanente e
qp sendo a perturbação associada a respectiva variável.
1.3.1 Local e Paralela
Quando se inicia um novo problema de estabilidade linear, a primeira consideração a
ser feita é número de direções homogêneas do estado base, ou seja, a solução de regime
permanente depende de quantas variáveis espaciais. Quando a instabilidade é referente a um
perfil, onde a solução base depende apenas de uma direção, que não é a direção principal do
escoamento, a análise é dita local, e se depender lentamente numa segunda direção, considera
fracamente não paralelo (Juniper et al. (2014); Huerre and Monkewitz (1990)).
Em um escoamento local, onde a direção principal do escoamento base é x1 e as variáveis
dependem apenas da direção x3, as derivadas em relação a x1 e a x2 se tornam nulas. Se o
escoamento for incompressível entre placas impermeáveis, a velocidade na direção x3 é nula,
como mostra a equação abaixo, e, com isso, o escoamento é paralelo as paredes. Portanto,
um escoamento incompressível ser paralelo é uma consequência dele ser local.
∇·v= 0 −→����>
0∂u(x1)
∂x1+����>
0∂v(x2)
∂x2+ ∂w(x3)
∂x3= 0 −→ w(x3) = 0 (1.13)
Para análise de estabilidade local e paralelo, a linearização das propriedades mostrada na
(1.12) toma a seguinte forma
q(x, t ) = qs(x3)+εqp (x, t ) (1.14)
22
Embora muitos problemas da mecânica dos fluidos as propriedades variam em mais de
uma direção, simplificações são feitas para poder assumir problemas locais. Muitos concei-
tos que surgem na análise de estabilidade local podem ser usados para fornecer informações
físicas sobre o comportamento das perturbações (Juniper et al. (2014)).
Na instabilidade térmica, o valor da temperatura em si não é relevante, importando apenas
o seu gradiente. Por causa disso, pode-se considerar um problema local onde a distribuição
temperatura em regime permanente possa variar linearmente numa segunda direção, pois o
seu gradiente depende apenas de uma variável espacial. A mesma ideia é aplicada à pressão
para escoamentos incompressíveis.
1.3.2 Modos Normais
A análise modal consiste em presumir que as perturbações são superposições de ondas
(modos) que podem ser tratadas separadamente, pois cada uma satisfaz as esquações de
governo linearizadas (Drazin and Reid (2004)). A equação abaixo mostra a decomposição
da perturbação considerando modos normais e escoamento local e paralelo.
qp (x, t ) = qn(x3).e[i(αx1+βx2−ωt )] (1.15)
onde a qn(x3) é a autofunção e α, β e ω são os autovalores, sendo α e β denominados como
números de onda complexo nas direções x1 e x2, respectivamente, e ω a frequência com-
plexa. Considera-se esses autovalores como números complexos, como mostrado abaixo,
onde i é o número imagináriop−1.
α=αR + iαi, β=βR + iβi, ω=ωR + iωi (1.16)
Substituindo a equação (1.16) em (1.15) e separando as partes reais e imaginárias, obtém-
se:
23
qp (x, t ) =qn(x3).exp
[−(αix1 +βix2)+ωit]︸ ︷︷ ︸
amplitude.
exp[i(αRx1 +βRx2 +ωRt )
]︸ ︷︷ ︸oscilação
(1.17)
Considerando a fórmula de Euler, onde exponenciais complexas são decompostas em
cossenos e senos, pode-se observar pela equação acima que a parte real dos autovalores
correspondem às oscilações e a parte imaginária, às taxas de crescimento.
Desta forma, considerando qualquer ponto do domínio para tempos infinitos, pode-se
observar que:
• se ωi < 0 −→ amplitude decrescente: estável
– Mesmo a perturbação crescendo espacialmente, de forma oscilatória ou estacio-
nária, para tempos suficientemente longos, a perturbação irá sumir.
x
t
Re[α]≠0
Re[α]=0
Figura 1.2: Representação de uma onda com ωi < 0 e αi < 0
• se ωi > 0 −→ amplitude crescente: instável
– Embora a perturbação possa decrescer espacialmente, após um longo período de
tempo, a amplitude da perturbação se torna muito grande
24
x
t
Re[α]≠0
Re[α]=0
Figura 1.3: Representação de uma onda com ωi > 0 e αi > 0
• se ωi = 0 −→ amplitude constante: estabilidade neutra
x
t
Re[α]≠0
Re[α]=0
Figura 1.4: Representação de uma onda com ωi = 0 e αi = 0
Portanto, as análises para determinar a transição de estável para instável ocorre conside-
rando ωi = 0. Porém, considerar ou não a parte imaginária dos números de onda igual a zero
depende de qual análise se deseja fazer.
Pelo fato da perturbação ser considerada como uma sobreposição de várias ondas, um
conceito físico importante na análise de estabilidade e que será relevante no presente traba-
lho é a velocidade de grupo. Esta se refere a velocidade de propagação de um pacote de
ondas (ondas sobrepostas). Elas podem ser obtidas pela derivada da frequêcnia pelo número
de onda, ou seja, a velocidade de grupo na direção x1 e na direção x2 são calculadas da se-
25
guinte forma ∂ω/∂α e ∂ω/∂β, respectivamente. A figura abaixo mostra apenas duas ondas
de comprimento de onda diferente se sobrepondo, formando um pacote de onda delimitado
pelas linhas pretas tracejadas.
=
+
Figura 1.5: Representação de pacotes de onda
1.3.3 Instabilidade Convectiva e Absoluta
Se uma perturbação localizada for convectada pelo escoamento, é dito que o sistema di-
nâmico é convectivamente instável e caso a perturbação propaga em ambos os sentidos,tanto
a jusante quanto a montante, contaminando todo o escoamento, o sistema é dito absoluta-
mente instável (Huerre and Monkewitz (1990)). As duas figuras abaixo esquematizam esses
dois tipos de instabilidades, onde o eixo vertival mostra a perturbação para diferentes tempos
e o eixo horizontal, o domínio do problema.
x
t
x
t
Figura 1.6: Representação da instabilidade convectiva (à esquerda) a absoluta (à direita)
26
Para se determminar a começo dessas instabilidades, é necessário impôr certas condi-
ções. A iminência da instabilidade convectiva acontece quando tanto a taxa de crescimento
temporal quanto espacial são zero. Este estado é dito ser marginalmente ou neutramente
estável, e é representado por uma curva/superfície do parâmetro de controle e os números de
onda. O mínimo global desta curva é a iminência desta instabilidade.
Já as condições necessárias para o início da instabilidade absoluta são a taxa de cresci-
mento temporal ser nula e que as velocidades de grupos do pacote de ondas também serem
nulos. Este estado é representado por um ponto de cela nos planos de número de onda com-
plexos, αRxαi e/ou βRxβi, formado por modos que se propagam em direções opostas, ou
seja, vêm de lado oposto do plano imaginário. Este caso pode ser observado pela figura 1.7.
É possivel observar que neste caso a perturbação cresce a jusante (para a direita), porém, não
cresce a montante (para a esquerda), permanecendo fixa. Qualquer mudança no parâmetro
de controle pode fazer com que a perturbação se propague a montante.
x
t
Figura 1.7: Representação da iminência da instabilidade absoluta
1.3.4 Análise 2D e 3D
A consideração feita de modos normais na equação (1.15) assume que a perturbação varia
nas três dimensões espaciais, sendo duas delas direções homogêneas e outra não-homogênea.
A análise dessa pertubação é dita tridimensional. Quando impôe que o número de onda
de uma das direções homogêneas é igual a zero, a análise é dita bidimensional, já que a
perturbação depende de duas variáveis espaciais. Um caso intermediário entre os dois citados
seria impor que o número de onda em uma das direções é um número real não nulo. Essa
27
análise pode ser dita pseudo-2D e um exemplo dela é o trabalho de Lingwood (1995).
1.3.5 Métodos Numéricos
A substituição da expansão de modos normais, equação (1.15), nas equações de governo
linearizadas de problemas térmicos e hidrodinâmicos transformam as equações diferenciais
parciais (EDP) em equações de diferenciais ordinárias (EDO). As análises de estabilidade
são feitas em cima destas equações utilizando diferentes métodos numéricos.
Um método numérico muito utilizado é matrix forming que consiste em discretizar o
domínio, utilizando diferenças finitas ou colocação espectral para aproximar os operadores
diferenciais, transformando em um problema de autovalor generalizado. Um outro método
também utilizado é o método do tiro, que consiste em impor certas condições para encontrar
raízes (autovalores) que satisfazem a equação diferencial ordinária.
Essa transformação em EDO não vem sem complicações, pois, além das autofunções
serem funções desconhecidas, são introduzidos os números de onda complexo e a frequência
complexa, resultando em mais incógnitas do que equações. Por isso, algumas considerações
a respeito dessas incógnitas devem ser feitas no intuito de obter alguma solução. Em um caso,
assume que a perturbação cresce/decresce no tempo e não no espaço, portanto, considera que
ω é complexo e α e β são números reais especificados. Este caso é classificado como análise
temporal. Uma outra análise é a espacial, onde assume que a perturbação aumenta/diminui
de amplitude no espaço e não no tempo. Neste caso, considera α (β) complexo, fixando um
valor para β (α) e ωi = 0 para um valor espeficado de ωR (Criminale et al. (2003)). Ambos
os métodos citados anteriormente podem ser utilizados para análise temporal e espacial.
Para obter os valores críticos da instabilidade convectiva, costuma-se utilizar a análise
temporal. Para descobrir tais resultados utilizando o método matrix forming, é preciso variar
os valores de αR, βR e do parâmetro de controle afim de encontrar o primeiro modo cujo
valor de ωi é igual a zero. Já utilizando o método do tiro, é preciso encontrar o mínimo
global da curva neutra, já que é a região que separa o regime estável do instável (Rees and
Mojtabi (2011); Rees and Genç (2011); Alves et al. (2016)).
A análise espacial costuma ser utilizada para descobrir a iminência da instabilidade ab-
28
soluta. A condição para isto ocorrer foi derivada, primeiramente, por Briggs (1964), estabe-
lecendo um critério para ocorrer esta transição para problenas bidimensionais. Este critério
consiste em mostrar que os modos presentes no plano complexo do número de onda colidem,
formando um ponto de cela, e que vêm de lados opostos do plano imaginário, formando en-
tão um pinching point. Quase três décadas depois, Brevdo (1991) extendeu esse critério para
a análise tridimensional, mostrando que em ambos os planos complexos (α ou β), os modos
tem que colidir simultaneamente, porém, em apenas um desses planos, os modos tem que
vir de lados oposto do plano imaginário. Utilizando matrix forming, esta análise 2D se torna
bem mais difícil que a anterior pelo fato de que é preciso variar ωR numa grande faixa de
valores por não saber qual é o crítico, e também o parâmetro de controle. Na análise 3D, este
estudo se torna quase impossível, pois, para construção do plano α (β) complexo, é neces-
sário fixar o valor crítico exato de β (α) variando ωR para capturar a colisão dos modos no
plano complexo dos números de ondas. Para obter o pinching point nessa análise, é preciso
fixar o valor exato do parâmetro de controle. Já utilizando o método do tiro, é preciso impôr
a condição necessária das velocidades de grupos serem zero para garantir pontos de celas e
depois verificar que, antes da colisão, tais velocidades tem sinais oposto, como mostra Alves
and Hirata (2016).
1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Um dos primeiros estudos teóricos sobre instabilidade em problemas de convecção sur-
giu no início do século XX por Rayleigh. Em seu trabalho, Rayleigh (1916) tinha como
objetivo examinar e poder explicar teoricamente os resultados experimentais obtidos por Bé-
nard (1900). Nestes estavam presentes a observação de células de convecção numa camada
fina de fluido aquecida por uma placa inferior com temperatura uniforme e livre na superfície
superior em contato com o ar a uma temperatura mais baixa. Rayleigh mostrou que quando
o gradiente de temperatura vertical é positivo, o sistema está em equilíbrio, quando negativo,
é instável ou condicionnalmente instável dependendo da difusibilidade térmica. Mais tarde,
Rayleigh foi corrigido por Pearson (1958), pois a espessura da camada de fluido era pequena
demais para as forças de empuxo serem responsáveis pela convecção natural. Portanto, ele
29
mostrou que o mecanismo de instabilidade responsável por esse fenômeno está ligado ao
gradiente de tensão superficial na superfície livre. Nos dias de hoje, esse mecanismo é co-
nhecido como instabilidade de Marongoni.
Anos depois, Horton and Rogers (1945) extendeu o trabalho de Rayleigh para um meio
poroso utilizando a equação de Darcy mostradas em Muskat (1937). O objetivo principal
do trabalho era conseguir mostrar que há correntes de convecção numa formação geológica
como numa presente no leste do Texas, Estados Unidos, devido a destribuição de NaCl.
Porém, o resultado obtido em seu trabalho mostrou que tal fenômeno não ocorreria nesses
meios com os dados disponíveis no momento. Além disso, comparou com o trabalho de
Rayleigh (1916) mostrando que a razão do gradiente de temperatura encontrado em seu
trabalho e o de Rayleigh é diretamente proporcional ao quadrado a espessura do meio e
inversamente proporcional à permeabilidade e à massa específica.
Devido a gama de aplicações relacionadas aos meios porosos, engenheiros e cientistas
continuaram estudando convecção nesses meios. Tempos depois, o trabalho de Weber (1974)
iniciou o estudo de convecção incluindo um gradiente de temperatura horizontal pelo fato de
que, nos problemas reais, o aquecimento não ocorre uniformemente na superfície inferior.
Tal gradiente foi limitado a pequenos valores. Weber também considerou, diferente dos
outros estudos, um escoamento horizontal como solução de regine permanente e concluiu
que o valor Rayleigh vertical crítico é sempre maior que nos casos de convecção simples
analisados anteriormente.
Para eliminar a restrição do gradiente de temperatura horizontal feito por Weber (1974),
Nield (1991) estudou o mesmo problema, porém considerando que tal gradiente não preci-
sava ser necessariamente pequeno. Para resolver ao problema, Nield utilizou uma aproxi-
mação de Galerkin de segunda ordem chegando na conclusão que o aumento do Rayleigh
horizontal aumenta o valor crítico de Rayleigh vertical para a iminência da instabilidade.
Utilizando uma aproximação de Galerkin de oitava ordem, Nield (1994) adicionou no-
vos resultados que não eram possíveis com uma aproximação de baixa ordem pelo fato do
aumento de Rayleigh horizontal acasionar numa rápida diminuição de precisão. Em sua aná-
lise, Nield observou que com o aumento deste parâmetro, o valor crítico de Rayleigh vertical
30
alcança um máximo e depois diminui até zero. Isto significa que o escoamento torna-se ins-
tável sem precisar um gradiente de temperatura vertical quando a sua componente horizontal
é grande o suficiente.
Motivado pelo novo estudo estar relacionado com a performance de reatores de leito fixo,
Nield (1998) extende seu trabalho anterior impondo um escoamento vertical. Utilizando
uma aproximação de Galerkin de ordem 12, concluiu que o aumento de Péclet, relacionado
ao escoamento vertical, e de Rayleigh horizontal, ao gradiente de temperatura horizontal,
causam um efeito de estabilização no sistema para a faixa de valores estudados. Embora, ao
longo dos anos, Nield tenha aumentado o número de termos do método numérico utilizado,
pode-se dizer que sua metodologia estava longe de ser uma das mais precisas da época. Isso
pelo fato de fazer um somatório de série convergente de apenas, no máximo, 12 termos,
enquanto, por exemplo, Kim and Moin (1985) uma década antes inventaram um método
para resolver Navier-Stokes incompressível bi e tridimensional com malhas com cerca de 10
mil pontos.
Brevdo and Ruderman (2009a), anos depois, analisaram o mesmo problema que Nield,
porém utilizando um método pseudo-espectral de alta ordem para discretizar o domínio e
resolver o problema de autovalor. Nesta análise, eles focaram em analisar a transição de
estável para convectivamente instável, considerando apenas o número de onda na direção
longitudinal, ou seja, uma análise bidimensional. Após a obtenção dos resultados, confir-
maram que o aumento do Rayleigh horizontal realmente estabiliza o sistema para qualquer
valor de Péclet, porém, o oposto não ocorre, pois para altos valores de Rayleigh horizontal,
o aumento gradual de Péclet desestabiliza e depois estabiliza o problema.
Dando continuidade na sua análise, Brevdo and Ruderman (2009b) analisaram o início
da instabilidade absoluta, uma análise não estudada anteriormente para esse problema, utili-
zando o mesmo método númerico. Neste trabalho, eles perceberam que para certos valores
de parâmetros, o começo da instabilidade ocorre de forma absolutamente instável. Porém,
para a maioria dos casos, ele é convectivo, ou seja, os valores críticos absolutos são maiores
que os convectivos.
Extendendo seu trabalho para uma análise tridimensional, Brevdo (2009) investigou qual
31
a natureza da instabilidade, se é convectiva ou absoluta, e se as células de convecção são
transversais ou longitudinais. Em seus resultados, ele percebeu que os valores críticos do
parâmetro de controle tinham valores menores que os presentes nos seu estudo bidimensio-
nal, mostrando a importância de se fazer uma análise 3D. Além disso, ele mostra que para
certos casos, a natureza da desestabilização é absolutamente instável, porém, com a metodo-
logia utilizada, a obtenção dos resultados da análise absoluta só é possível quando, através
da análise convectiva, obtém as velocidades de grupo igual a zero. Para casos onde não há
velocidade de grupo igual a zero, Brevdo não foi capaz de obter os valores críticos para o
início da instabilidade absoluta.
1.5 OBJETIVOS
O presente trabalho tem como objetivo utilizar o método do tiro considerando a teoria
da análise de estabilidade linear modal e local para encontrar a iminência das instabilidades
convectivas e absolutas bi e tridimensionais. O problema a ser analisado é um escoamento
em meio poroso saturado com gradiente de temperatura inclinado e escoamento vertical e
horizontal. Os resultados da análise 2D e da convectiva 3D são comparados com os presentes
na literatura para a verificação do metodologia.
Os resultados presentes em Brevdo (2009) mostram alguns casos em que iminência para
a instabilidade ocorre de forma absolutamente instável, porém, o método utilizado não é o
ideal para a análise absoluta 3D, pois somente consegue dizer que a transição para a instabi-
lidade convectiva é, na verdade, absoluta. Por isso, este trabalho tem como objetivo usar um
método para reestudar esse problema e construir uma mapa completo da instabilidade abso-
luta tridimensional não existente na literatura. Não é só este problema que não tem dados
deste tipo de análise, são muito poucos os trabalhos na literatura que sequer tentaram estudar
a instabilidade absoluta tridimensional, dadas as inerentes dificuldades em se faze-la com os
métodos presentes até o momento.
32
2 MODELAGEM MATEMÁTICA
Um escoamento em meio poroso homogêneo saturado de altura H com gradiente de
temperatura inclinado e escoamento vertical limitado por duas superfícies permeáveis é con-
siderado. A origem do sistema cartesiano adotado está na metade da distância entre as placas,
cujo o eixo z∗ está na direção vertical para cima e x∗ na direção horizontal para a direita. A
diferença de temperatura vertical entre as placas é de ∆T , o gradiente de temperatura hori-
zontal σ é constante ao longo das placas com sentido oposto ao do eixo x∗ e o escoamento
vertical é constante definido por wv. Neste trabalho, o sobrescrito asterisco denota as variá-
veis dimensionais e as variáveis em negrito representam vetores. A figura seguir mostra um
esquema do meio a ser analisado.
0 x∗
z∗ y∗
z∗ = H2
z∗ = −H2
Superf́ıcie inferior T ∗ = T0 + ∆T2 − σx∗
Superf́ıcie superior T ∗ = T0 − ∆T2 − σx∗
wv g
Meio poroso
1
Figura 2.1: Esquema do modelo do meio poroso do problema a ser analisado
33
2.1 EQUAÇÕES DE GOVERNO
Assume-se que o meio poroso é governado pela lei de Darcy e que a aproximação de
Oberbeck-Boussinesq é valida. Portanto, as equaçôes de governo dimensionais para o esco-
amento podem ser escritas como
∇∗ ·v∗ = 0 (2.1a)
∇∗P∗+ µ
Kv∗−ρ∗
f g= 0 (2.1b)
(ρc)m∂T ∗
∂t∗+ (ρcp)fv∗ ·∇∗T ∗ = km∇∗2T ∗ (2.1c)
ρ∗f = ρ0[1−γ(T ∗−T0] (2.1d)
−∞< x∗, y∗ <∞, −H/2 < z∗ < H/2, t∗ > 0. (2.1e)
As variáveis como velocidade do escoamento, tempo, pressão e temperatura são repre-
sentadas, respectivamente, por v∗ = (u∗, v∗, w∗)T , t∗, P∗ e T ∗. O vetor acelaração da gra-
vidade é dado por g = (0,0,−g )T e µ, ρ, c, K , km e γ são, respectivamente, viscosidade
dinâmica, massa específica, calor específico, permeabilidade, condutividade térmica efetiva
do meio poroso e o coeficiente de expansão térmica do fluido. Os subscrito m, f e 0 se
referem ao meio poroso (sólido e fluido), ao fluido e ao estado de referência uniforme, res-
pectivamente. As condições de contorno da equação (2.1) são mostradas a seguir
w∗ = wv, T ∗ = T0 ∓∆T /2−σx∗ em z∗ =±H/2. (2.2)
Para diminuir o números de parâmetros e, consequentemente, o número de simulações
necessárias para entender a física do problema, é preciso fazer uma adimensionalização, cuja
as variáveis adimensionais são mostrados abaixo. Além disso, a adimensionalização ajuda a
identificar as forças (ou tempos) características dominantes do problema.
34
(x, y, z) = (x∗, y∗, z∗)/H , t = ηt∗/(AH 2) (2.3a)
(u, v, w) = (u∗, v∗, w∗)H/η, P = K (P∗+ρ0g z∗)/(µη) (2.3b)
T = (T ∗−T0)ρ0gγK H
µη, (2.3c)
os parâmetros η = km/(ρcp ) f e A = (ρc)m/(ρcp )f são, respectivamente, a difusividade tér-
mica e a razão entre as capacidades térmicas do meio e do fluido. Após a substituição das
variáveis adimensionais, as equações de governo toma a forma adimensional
∇·v= 0 (2.4a)
∇P +v−T k= 0 (2.4b)
∂T
∂t+v ·∇T =∇2T, (2.4c)
−∞< x, y <∞,−H/2 < z < H/2, t > 0, (2.4d)
sendo k = (0,0,1)T . As condições de contorno adimensionais ficam como mostradas na
equação abaixo
w =Qv, T =∓Rv/2−Rhx em z =±1/2, (2.5)
os parâmetros adimiensionais que aparecem na equação (2.5) são Rayleigh vertical, Rv, Ray-
leigh horizontal, Rh, e Péclet, Qv, e são representados como mostrado s seguir
Rv = ρ0gγK H∆T
µη, Rh = ρ0gγK H 2σ
µη, Qv = wvH
η. (2.6)
O número de Rayleigh é definido como a razão entre as forças de flutuabilidade e os efei-
tos da resistência das forças viscosas e da difusão térmica. O número de Péclet é o número
35
de Reynolds vezes o número de Prandtl e representa a razão entre as taxas de transferência
de calor por advecção e por condução.
Os parâmetros Rayleigh vertical, Rayleigh horizontal e Péclet estão diretamente relaci-
onados, respectivamente, a variação de temperatura entre a superfície superior e inferior, ao
gradiente de temperatura horizontal e ao escoamento vertical. É possível observar que se
Rayleigh vertical é positivo, o meio está sendo aquecido por baixo, caso contrário, a superfí-
cie superior está mais quente. Os sinais de Rayleigh horizontal e de Péclet indicam apenas o
sentido das variáveis dimensionais que elas representam. Se forem positivos, o sentido está
como mostrado na figura 2.1, caso contrário, o sentido é oposto.
2.2 SOLUÇÃO BASE
Procura-se uma solução em regime permanente das equações (2.4) e (2.5) da seguinte
forma
Ts = T̃ (z)−Rhx, us = U (z), vs = 0, ws = Qv, Ps = P (x, y, z). (2.7)
Substituindo a equação (2.7) na equação (2.4) e eliminando a pressão, chega-se no sis-
tema de equações abaixo para a solução base da velocidade U (z) e para a temperatura T̃ (z),
dU
dz= Rh (2.8a)
d 2T̃
d z2−Qv
dT̃
d z=−RhU , (2.8b)
Procura-se uma solução base para a velocidade horizontal que satisfaça a condição do
fluxo de massa horizontal igual a zero e T̃ tem que satisfazer as equações de contorno para a
temperatura,
36
1/2∫−1/2
U (z)dz = 0 (2.9a)
T̃ (±1/2) =∓Rv/2 em −1/2 < z < 1/2. (2.9b)
Satisfazendo as condições acima, o problema tem uma única solução de regime perma-
nente. Portanto, as soluções base para a velocidade na direção x e para a temperatura são
mostradas na equação abaixo
us(z) = Rhz (2.10a)
Ts(x, z) = R2h
2Qv
(z2 − 1
4
)+ R2
h
Q2v
z − Q2v Rv +R2
h
2Q2v senh(Qv/2)
[eQvz −cosh(Qv/2)
]−Rhx (2.10b)
Para análisar o problema na ausência de escoamento vertical, é necessário tirar o limite
de Ts quando Qv tende a zero. Isso é feito colocando todos os termos que contém Qv sob um
mesmo denominador gerando uma indetermminação quando Qv = 0 e, então, usando a regra
de L’Hospital sucessivamente obtém este limite, como mostra a equação abaixo.
limQv→0
Ts =(
R2h
24−Rv
)z − R2
hz3
6−Rhx. (2.11)
A pressão em regime permanente, Ps , pode ser obtida integrando a equação de Darcy,
(2.4b), usando as soluções bases obtidas em (2.10). Portanto, a distribuição de pressão é
mostrada na equação a seguir. P0 é uma pressão de referência, e neste problema, por ser
incompressível, o valor absoluto da pressão é irrelevante, importando apenas o gradiente da
pressão.
37
Ps(x, y, z) = Rh
2Qv
(z3
3− z
4
)+ R2
h
2Q2v
z2−
Q2v Rv +R2
h
2Q3v senh(Qv/2)
[eQvz − zQv cosh(Qv/2)
]−Rhxz −Qvz +P0 (2.12)
2.3 PERTURBAÇÕES
2.3.1 Linearização
Considerando ε¿ 1 como sendo a amplitude da pertubação, os termos de menor ordem
tem mais importância, portanto, separa as propriedades de forma linear como mostra a equa-
ção a seguir. O subescrito s e p se referem a solução de regime permanente e a perturbação,
respectivamente,
v= vs +εvp (2.13a)
P = Ps +εPp (2.13b)
T = Ts +εTp . (2.13c)
Substituindo a equação (2.13) em (2.4) e coletando os termos de ordem de magnitude
igual a ε, ignorando os termos com ε2 ou maior, obtêm-se o sistema de equações da pertur-
bação linearizada mostrada abaixo
∇·vp = 0 (2.14a)
∇Pp +vp −Tp k = 0 (2.14b)
∂Tp
∂t+Us
∂Tp
∂x+Qv
∂Tp
∂z−Rhup + dTs
d zwp = ∇2Tp . (2.14c)
38
2.3.2 Modos Normais
Considerando que a perturbação se comporta como uma onda, ela pode ser modelada
em série de fourier. Portanto podem ser escritas como modos normais, como mostrado na
equação a seguir, considerando z a direção não homogênea.
[up , vp , wp ,Tp ,Pp ] = [un(z), vn(z), wn(z),Tn(z),Pn(z)]×exp[i(αx +βy −ωt )] (2.15)
2.4 EQUAÇÕES DA DISPERSÃO DIFERENCIAL
A equação que governa o comportamento das pertubações é chamada de equação da
dispersão. Essa equação contém os autovalores que são número de onda e frequência, e
com isso é possível obter a velocidade de fase observando se as perturbações são dispersivas
ou não. Para obtê-la, e necessário discretizar a equação diferencial da perturbação, para
então tirar o determinante da matriz formada. Quando além de conter os autovalores contém
também as autofunções, esta equação é dita equação da dispersão diferencial.
Substituindo a expansão de modos normais na equação (2.14), chega na equação abaixo.
iαun + iβvn + dwn
dz= 0 (2.16a)
iαPn +un = 0 (2.16b)
iβPn + vn = 0 (2.16c)
wn + dPn
dz−Tn = 0 (2.16d)
(α2 +β2 − iω+ iαus + iβvs)Tn +wsdTn
dz+wn
∂Ts
∂z+un
∂Ts
∂x− d2Tn
dz2= 0 (2.16e)
Substituindo as soluções de regime permanente e eliminando un , vn e Pn das equações
acima, obtém a equação da dispersão diferencial D3D (α,β,ω,Tn , wn ,Qv,Rh,Rv), mostrada a
seguir. Afim de simplificar a notação das equações, as derivadas em relação a z são repre-
sentadas por apóstrofos.
39
D3D :
w ′′n + (α2 +β2)(Tn −wn) = 0
(α2 +β2)(T ′′
n −QvT ′n − (iRhzα+α2 +β2 − iω)Tn −wnT̃ ′)+ iRhαw ′
n = 0(2.17)
A substituição das equações (2.13) e (2.15) nas condições de contorno mostrada em (2.5),
coletando os termos de ordem ε, conduz para as condições de contorno para as pertubações
mostrado abaixo. Essas condições podem ser interpretadas como se não houvesse perturba-
ção nos contornos.
Tn(z) = wn(z) = 0 em z =±1/2 (2.18)
Na análise 2D, diferente da análise 3D, considera que a pertubação não se propaga na
direção y . Portanto, considera que o número de onda nesta direção é igual a zero, ou seja,
β= 0. Com isso, a equação da dispersão D2D (α,ω,Tn(z), wn(z),Qv,Rh,Rv) toma a seguinte
forma.
D2D :
w ′′n +α2(Tn −wn) = 0
αT ′′n −αQvT ′
n −α(α2 + iαRhz − iω)Tn + iRhw ′n −αT̃ ′wn = 0
(2.19)
As condições de contorno para equação acima são as mesma para análise tridimensional,
sendo a equação (2.18). É importante ressaltar que as equações da dispersão são complexas,
portanto, tanto a parte real quanto a parte imaginária das autofunções tem que satisfazer as
condições de contorno.
40
3 METODOLOGIA
Este capítulo é focado em explicar o método númerico e a metodologia utilizada em cada
análise para a obtenção dos resultados.
3.1 MÉTODO DO TIRO
O método numérico utilizado para resolver as equações da dispersão é o método do
tiro. Tal método consiste, basicamente, em transformar um problema de valor de contorno
(PVC) em um problema de valor inicial (PVI). Após isso, utiliza-se um método de integração
numérica para marchar de um contorno ao outro junto com um método iterativo de encontrar
raíz para que as condições de contorno sejam satisfeitas, transformando assim, a solução
do PVI na solução do PVC. Considere um problema genérico de valor de contorno, como
mostrado na equação a seguir
y ′′ = f (x, y, y ′), para a ≤ x ≤ b y(a) = ya e y(b) = yb . (3.1)
Transformando o problema acima em um problema de valor inicial, obtém-se a equação
abaixo
y ′′ = f (x, y, y ′), para a ≤ x ≤ b y(a) = ya e y ′(a) = θ. (3.2)
Marcha-se a equação (3.2) para um dado valor de θ, uma estimativa inicial, até o outro
contorno, x = b, e verifca o valor de y(b). Se este valor for diferente de yb , então o valor
inicial para θ não foi o correto, portanto, tal valor deve ser mudado. Ao invés de tentativa e
41
erro para encontrar o valor exato de y ′(a), utiliza métodos de achar raízes, como por exemplo
os métodos de Newton, da secante e da secante modificada. No presente trabalho foram uti-
lizadas rotinas NDSolve e FindRoot do programa Wolfram Research (2016) para os métodos
de integração numérica e encontrar raíz, respectivamente.
Para exemplificar, considera-se o problema de valor de contorno, dado pela equação
y ′′(x) = x y ′(x)−5y(x)− x2, cuja condições de contorno são y(0) = 0 e y(1) = 1. Transfor-
mando este problema em valor incial, tem-se que y(0) = 0 e y ′(0) = θ. A figura 3.1 mostra
soluções do problema de valor inicial para diferentes valor de θ, porém, apenas o valor exato
de y ′(0) = 2.70126 torna a solução do problema de valor incial na solução do problema de
valor de contono.
Exata
y'(0)≃2.7
y'(0)=1
y'(0)=3
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
y(x)
Figura 3.1: Comportamento da solução para diferentes valores da derivada inicial
Para este trabalho, as condições iniciais das equações da dispersão (2.17) e (2.19) tran-
formadas em problema de valor inicial são mostradas a seguir, onde θ e φ são as estimativas
iniciais para a derivada das autofunções.
Tn = wn = 0, T ′n = θ, w ′
n =φ em z =−1/2 (3.3)
Pelas equações (2.17) e (2.19) serem equações diferenciais lineares e homogêneas, ca-
racterísticas de um problema de autovalor, é possível normalizar uma estimativa inicial, ou
42
seja, dividir todas as equações por essa estimativa. Neste trabalho, a estimativa inicial de
w ′n foi normalizada, portanto, as condições iniciais estão mostrado abaixo, onde cte é um
número complexo, já que as autofunções também são complexas.
Tn = wn = 0, T ′n = cte, w ′
n = 1 em z =−1/2 (3.4)
3.2 ESTIMATIVA INICIAL E EXTRAPOLAÇÕES
Uma desvantagem do método do tiro é que dependendo da estimativa inicial, a conver-
gência pode ser demorada, ainda mais para equações com mais de uma incógnita. Por causa
disto, em todas as análises foram usadas metodologias para prever estimativas iniciais para
diferentes valores dos parâmetros. Nestas metodologias, uma extrapolação polinomial de, no
máximo, terceira ordem para novas situações são feitas para gerar novas estimativas iniciais.
ISOLINHAS
CURVA MARGINAL
MÉTODO DO TIRO:
PONTO CRÍTICO CONVECTIVO
ANÁLISE 2D
MÉTODO DO TIRO:
PONTO CRÍTICO ABSOLUTO
ANÁLISE 2D
MÉTODO DO TIRO:
PONTO CRÍTICO CONVECTIVO
ANÁLISE 3D
MÉTODO DO TIRO:
PONTO CRÍTICO ABSOLUTO
ANÁLISE 3D
α = 1
Apenas para Qv = 0
Apenas para Qv = 0
Apenas para Qv = 0
Apenas para Qv = 0
Figura 3.2: Fluxo de estimativa inicial apenas para Qv = 0
43
O esquema mostrado na figura 3.2 ilustra de onde as estimativas iniciais foram obtidas.
Por exemplo, as estimativas iniciais para análise convectiva 3D para Qv = 0 foram os re-
sultados da análise convectiva 2D para mesmo valor de Rh. Após isso, a extrapolação de
pequenos valores de Qv foi feita para que a convergência seja mais rápida.
3.3 ESTUDOS BIDIMENSIONAIS
Nas análises bidimensionais, a perturbação se propaga apenas numa direção. Neste tra-
balho, considerou é a direção longitudinal do escoamento, considerando o número de onda
transversal igual a zero.
3.3.1 Análise Convectiva
A curva que separa a região estável da instável é a curva marginal ou curva neutra. A
iminência da instabilidade convectiva pode ser encontrada obtendo o mínimo global desta
curva. Para a construção desta, foi utilizado o método do tiro na equação (2.19) considerando
αi e ωi iguais a zero e variando o valor de αR para encontrar valores para o parâmetro de
controle, que no presente trabalho será Rv, e para ωR que satisfazem a equação da dispersão,
para então, plotar o gráfico Rv x αR. Utilizando o método de isolinhas para encontrar um
primeiro ponto da curva neutra e considerando tal curva contínua, foi utilizado a metologia
de extrapolação para obter uma boa estimativa para Rv, ωR e cte para diferentes valores de
αR. Com isso, a curva marginal foi plotada, interpolada e derivada para obter seu ponto de
mínimo global.
Uma outra metodologia utilizada para encontrar o ponto crítico sem precisar derivar a
curva neutra foi derivar a própria equação da dispersão (2.19) em relação a α. Considera-se
também αi = ωi = 0 e a derivada do parâmetro igual a zero, dRv/dα = 0. As autofunções
e suas derivadas em função de z são funções de α e a derivada delas em função desta são
consideradas outras autofunções, e ω também é função de α. Esta metodologia também foi
implementada por Rees and Genç (2011), Rees and Mojtabi (2011) e Alves et al. (2016).
Abaixo mostra a transformação delas para a autofunção Tn , por analogia tem para wn e
também mostra a derivada de ω em relação a α que é a velocidade de grupo e, neste caso,
44
ela é real já que as partes imaginárias de ω e α são zeros.
∂Tn∂α = Tnα
∂T ′n
∂α = T ′nα
∂ω∂α =ωα
∂T ′′n
∂α= T ′′
nα
(3.5)
A derivada a equação da dispersão bidimensional em relação ao número de onda longi-
tudinal α é mostra na equação abaixo.
∂D2D
∂α:
w ′′nα+α2(Tnα−wnα)+2α(Tn −wn) = 0
αT ′′nα+T ′′
n −αQvT ′nα−QvT ′
n −α(α2 + iαRhz − iω)Tnα
−α(2α+ iRhz − iωα)Tn − (α2 + iαRhz − iω)Tn
+iRhw ′nα−αT̃ ′wnα− T̃ ′wn = 0
(3.6)
Agora para achar o ponto crítico, basta utilizar o método do tiro na equação da dispersão
e na sua deriavada em relação a α simultaneamente, obedecendo as condições de contorno,
como mostra o sistema abaixo.
D2D
∂D2D∂α
, Tn = wn = Tnα = wnα = 0 em z =±1/2 (3.7)
Transformando o problema de valor de contorno acima em um problema de valor inicial
como foi feito na equação (3.4), obtém as condições iniciais mostradas a seguir.
Tn = wn = 0, T ′n = cte, w ′
n = 1
Tnα = wnα = 0, T ′nα = cte2, w ′
nα = 0, em z =−1/2 (3.8)
onde cte2 é a derivada de cte em relação a α e, portanto, pode ser estimativada numeri-
camente resolvendo a equação (2.19) para dois valores de α diferentes, porém, proxímos.
45
Este método fornece os valores críticos de αR, Rv, ωR, ∂ω/∂α e as partes reais e imaginárias
de cte e cte2, totalizando 8 incógnitas. Como as autofunções também são complexas, 8
condições que devem ser satisfeitas em z = 1/2.
3.3.2 Análise Absoluta
A iminência da instabilidade absoluta acontece quando a pertubação começa a se propa-
gar nos dois sentidos, a jusante e a montante. Uma condição necessária para isso acontecer
é quando a velocidade de grupo é igual a zero. Para impor tal condição é necessário derivar
a equação da dispersão (2.19) em relação a α, assim como foi feito na análise convectiva an-
teriormente, considerando as equações (3.5), (3.7) e (3.8). Porém, considera-se que a parte
imaginária de α é diferente de zero e ∂ω/∂α = ωα = 0. Este método fornece praticamente
os mesmos valores que na análise 2D, diferenciando pelo fato de fornecer αi e não mais a
velocidade de grupo.
Esta metodologia garante um ponto de cela, contudo, para ser pinching point, é neces-
sário mostrar que os modos que colidem cruzam o plano imaginário α. Para construção do
plano α complexo, foi utilizado também o método do tiro na equação (2.19) para encontrar
valores de (αR, αi) variando ωR e Rv e fixando valores para Rh e Qv. Também foi calculado
a velocidade de grupo antes da colisão dos modos. Isso foi feito também usando o mesmo
método na equação (3.7), porém, agora ao invés de determinar um valor crítico de Rv deter-
mina a parte real (ou imaginária) da velocidade de grupo, fixando um valor deste parâmetro
e zerando apenas a parte imaginária (ou parte real) da velocidade de grupo. O resultado do
valor dessa análise dará um valor (αR,αi) que será um ponto de máximo/mínimo (ou um
extremo a esquerda/direita) na curva dos modos.
3.4 EXTENSÕES PARA ESTUDOS TRIDIMENSIONAIS
Nas análises tridimensionais, a perturbação pode se propagar numa direção a mais, e por
causa disso, há um número de onda a mais e diferentes as estimativas iniciais tem que ser
feitas.
46
3.4.1 Análise Convectiva
Diferente da análise 2D onde uma curva separa a região estável da convectivamente ins-
tável, na análise 3D, uma superfície que tem essa função e portanto o ponto crítico depende
de um número de onda que não depende na análise 2D. Devido a isso, não se pode colocar
os resultados da análise convectiva 2D como estimativa inicial sem analisar o efeito desse
número de onda.
O primeiro valor crítico a ser analisado é na ausência de escoamento vertical (Qv = 0) e
do gradiente da temperatura horizontal (Rh = 0). As equações da dispersão (2.19) e (2.17) se
tornam como mostradas abaixo.
D2D (Qv = 0,Rh = 0) :
w ′′n +α2(Tn −wn) = 0
T ′′n − (α2 − iω)Tn +Rvwn = 0
(3.9)
D3D (Qv = 0,Rh = 0) :
w ′′n + (α2 +β2)(Tn −wn) = 0
T ′′n − (α2 +β2 − iω)Tn +Rvwn = 0
(3.10)
É possível observar que essas duas equações se assemelham e, por causa disto, os valores
críticos dos números de onda estão relacionados com αRcr 2D , ou seja, (α2R +β2
R)cr 3D =α2Rcr 2D
.
Portanto a estimativa inicial para quando Qv = Rh = 0 pode ser o resultado da análise con-
vectiva 2D. A mesma análise pode ser feita para quando Rh = 0 independente do valor de
Qv e, então, interpolar e extrapolar para achar os valores críticos. Contudo, a igualdade
(α2R +β2
R)cr 3D = α2Rcr 2D
tem infinitas combinações para αR e βR, e qual delas escolher para
usar como uma estimativa inical para o próximo par de valores (Qv,Rh) pode não ser uma
boa ideia, já que para Rh 6= 0, pode haver mais de um mínimo na curva que separa a região
estável da convectivamente instável, e o valor crítico é o mínimo global. Portanto, os va-
lores usados como estimativa inicial são os valores da análise convectiva 2D, onde o valor
de αRcr 2D será a estimativa inicial de αR considerando βR = 0, βR com αR = 0 ou uma com-
binação de ambos, α 6= 0 e βR 6= 0, para observar se os rolos de convecção são transverais,
47
longitudinais ou oblíquos, respectivamente.
Para encontrar esse mínimo, é necessário derivar a equação (2.17) tanto em realção a α
quanto em relação a β e considerar as derivadas dos parâmetros em relação aos números de
onda iguais a zero. A problema de contorno a ser resolvido é mostrado na equação a seguir.
As derivadas de D3D em relação a α e a β são obtidas de forma similar a derivada de D2D em
relação a α na análise bidimensional.
D3D
∂D3D∂α
∂D3D∂β
, Tn = wn = Tnα = wnα = Tnβ = wnβ = 0 em z =±1/2 (3.11)
Com duas novas autofunções Tnβ e wnβ, as condições iniciais para o problema de valor
inicial a ser resolvido junto com o método do tiro está mostrada abaixo.
Tn = wn = 0, T ′n = cte, w ′
n = 1
Tnα = wnα = 0, T ′nα = cte2, w ′
nα = 0
Tnβ = wnβ = 0, T ′nβ = cte3, w ′
nβ = 0
, em z =−1/2 (3.12)
onde cte3 é a derivada de cte em relação a β e, portanto, pode ser estimativada como cte2.
Este método fornece os valores críticos de αR, βR, Rv, ωR, ∂ω/∂α, ∂ω/∂β e as partes reais
e imaginárias de cte, cte2 e cte3 totalizando 12 incógnitas. Como as autofunções também
são complexas, 12 condições que devem ser satisfeitas em z = 1/2.
3.4.2 Análise Absoluta
Assim como na análise absoluta 2D, uma condição necessária para a iminência da insta-
bilidade absoluta 3D é a velocidade de grupo ser igual a zero. Portanto é necessário derivar
a equação da dispersão (2.17) tanto em relação a α quanto em relação a β zerando os termos
ωα e ωβ e usar o método do tiro na equação (3.11), sendo (3.12) o problema de valor inicial.
Diferente da análise anterior, ao invés de obter as velocidades de grupo, obtêm as partes
48
imaginárias do número de onda.
Esse método também garante um ponto de cela, e para mostrar que é pinching point,
é necessário que os modos na colisão venham de lados opostos em apenas um dos planos
complexos, α ou β (Brevdo (1991)). Os gráficos dos planos complexos também foram feitos
com o método do tiro de forma similar ao que foi feito na análise absoluta 2D. O que difere é
que para a construção do plano α complexo, fixa-se os valores de βR e βi crítico encontrado,
já na construção do plano β complexo, fixa-se o valores de αR e αi crítico. A mesma análise
para calcular a velocidade de grupo antes da colisão também foi feita, porém, para determinar
ωα, fixa βR e βi e impõe ωβ = 0, e de forma análoga se determina os valores de ωβ.
49
4 RESULTADOS
Nesta seção, serão abordados os resultados obtidos em todas as análises, incluindo as
verificações do método utilizado e dos novos resultados.
4.1 ANÁLISE 2D
Os resultados obtidos na análise bidimensional foram comparados com os presentes na
literatura em Brevdo and Ruderman (2009a) e Brevdo and Ruderman (2009b).
4.1.1 Verificação da análise convectiva
Seguindo o fluxo da metodologia utilizada para a obtenção dos valores críticos convec-
tivos através do método do tiro mostrada na figura 3.2, é preciso, primeiramente, fazer o
método das isolinhas para obter uma boa estimativa inicial para a construção das curvas
marginais. A figura 4.1 mostra o método das isolinhas apenas para valores de Rh = 0 e 40 na
ausência de escoamento vertical (Qv = 0) para αR = 1.
-20 -10 0 10 20
50
100
150
200
250
300
ωR
Rv
Qv=0 Rh=0 α=1
-20 -10 0 10 20
50
100
150
200
250
300
ωR
Rv
Qv=0 Rh=40 α=1
Figura 4.1: Estimativa inicial com isolinhas
50
As interseções das curvas tracejadas com as curvas cheias, na figura anterior, mostram
boas estimativas de chutes inicial para Rv e ωR. É possível confirmar isto observando que os
pontos vermelhos na figura abaixo estão muitos próximos das curvas marginais para αR = 1
para os respectivos valores de Rh. Após isso, a metodologia de extrapolação é feita para a
construção das curvas neutras que estão mostradas na figura a seguir.
2 4 6 8 10αR
50
100
150
200
250
Rv
Rh=0
Rh=10
Rh=20
Rh=30
Rh=40
Rh=50
Rh=60
Figura 4.2: Curvas neutras para obter os chutes iniciais
As curvas marginais mostradas na figura 4.2 foram derivadas e usadas como estimativas
para um bom chute inicial para o método do tiro. Os pontos pretos presentes na mesma
figura são os valores críticos obtidos pelo método do tiro, sendo possível observar que tais
pontos se encontram no mínimo destas curvas. É interessante observar que existem dois
mínimos que se alternam entre local e global dependendo do valor de Rh. Com a obtenção
dos valores críticos para Qv = 0, a metodologia de extrapolação também foi utilizada, sendo
os resultados apresentado nas tabelas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 para diferentes valores de Péclet
e Rayleigh horizontal. Nelas estão presentes os valores críticos de Rayleigh vertical (Rv),
número de onda (αR), frequência (ωR) e a velocidade de grupo (∂ω/∂α).
51
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 43.932 57.528 80.883 114.65 156.23 174.71
1 40.875 45.371 59.094 82.638 116.58 143.29 162.662 45.078 49.690 63.739 87.628 116.06 137.92 156.993 52.068 56.830 71.198 94.192 116.71 136.99 155.394 61.666 66.518 80.728 100.63 120.24 139.02 156.615 73.415 78.164 91.282 108.27 125.83 143.20 159.896 86.619 90.986 102.43 117.13 132.95 148.99 164.757 100.58 104.37 114.14 127.00 141.27 156.06 170.888 114.83 118.03 126.36 137.67 150.55 164.17 178.06
Tabela 4.1: Rv crítico convectivo para análise 2D
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 3.142 3.098 2.956 2.710 2.396 4.593 5.162
1 3.179 3.136 2.999 2.767 2.488 4.830 5.5642 3.292 3.254 3.139 3.000 4.448 5.235 6.0173 3.490 3.463 3.416 3.839 4.946 5.713 6.4964 3.785 3.787 3.907 4.672 5.472 6.226 6.9905 4.196 4.249 4.585 5.309 6.029 6.760 7.4986 4.733 4.846 5.285 5.930 6.608 7.309 8.0177 5.379 5.529 5.974 6.561 7.202 7.870 8.5488 6.092 6.249 6.663 7.205 7.808 8.443 9.092
Tabela 4.2: αR crítico convectivo para análise 2D
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 43.21 75.42
1 0 0.3226 0.7638 1.414 2.379 50.91 86.532 0 0.7768 1.886 4.016 30.34 60.70 98.483 0 1.519 3.912 13.06 39.93 71.48 111.04 0 2.753 7.755 23.80 49.63 82.89 124.05 0 4.697 13.61 32.61 59.78 94.80 137.46 0 7.418 20.10 41.29 70.35 107.2 151.47 0 10.69 26.66 50.17 81.30 119.9 165.88 0 14.21 33.30 59.29 92.59 133.2 180.8
Tabela 4.3: ωR crítico convectivo para análise 2D
Estes resultados foram comparados com valores presentes em Brevdo and Ruderman
(2009a) com o mesmo número de algarismos, 5 para Rayleigh vertical e 4 para o número de
onda e frequêcnia. O maior erro relativo para Rv, αR e ωR foram, respectivamente, 0.0099%,
0.036% e 0.0016%.
Pela tabela 4.1, pode-se observar um efeito de estabilização com o aumento do Rayleigh
horizontal independente de Péclet. O mesmo efeito pode ser observado com o aumento
52
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 16.92 20.46
1 0 0.4746 1.184 2.531 5.353 16.99 20.872 0 0.9979 2.519 5.708 13.69 17.33 21.353 0 1.602 4.098 9.593 13.88 17.78 21.854 0 2.277 5.733 10.43 14.27 18.25 22.365 0 2.934 6.807 10.82 14.71 18.72 22.866 0 3.442 7.325 11.19 15.13 19.18 23.347 0 3.757 7.646 11.55 15.53 19.61 23.798 0 3.945 7.898 11.87 15.90 20.02 24.21
Tabela 4.4: Velocidade de grupo convectivo para análise 2D
de Péclet apenas para baixos valores Rayleigh horizontal, porém, para valores de Rh ≥ 40,
ocorre tanto o efeito de estabilização quanto de desestabilização.
Analisando a tabela 4.2, observa-se que o número de onda é um função crescente com o
aumento de Qv independente do valor de Rh e com o aumento de Rh apenas para Qv ≥4. Já
observando as tabelas 4.3 e 4.4, tanto a frequência quanto a velocidade de grupo são funções
crescentes com o aumento tanto de Péclet quanto do Rayleigh horizontal. É interesante notar
que, através da figura 4.2 e da tabela 4.4, os diferentes modos que estão competindo pra ver
qual é o crítico tem velocidades de grupo igual e diferente de zero.
4.1.2 Verificação da análise absoluta
Após a verificação da análise convectiva, estes resultados para Péclet igual a zero foram
usados como estimativas iniciais para análise absoluta e, então, utilizada, de novo, a metolo-
gia de extrapolação. As quatro tabelas a seguir apresentam os valores críticos para Rayleigh
vertical, número de onda, taxa de crescimento espacial e frequência, respectivamente.
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 43.932 57.528 80.883 114.65 159.12 214.26
1 40.875 45.425 59.373 83.529 118.79 165.60 224.132 45.078 49.936 65.069 92.268 134.52 189.13 229.143 52.068 57.499 75.102 110.80 150.46 185.87 222.114 61.666 67.961 89.884 122.16 153.57 186.48 220.205 73.415 80.680 102.81 129.82 159.10 189.92 221.716 86.619 94.343 114.15 138.88 166.28 195.37 225.597 100.58 108.01 125.90 148.85 174.65 202.28 231.168 114.83 121.65 138.04 159.50 183.92 210.27 237.98
Tabela 4.5: Rv crítico absoluto para análise 2D
53
Comparando os valores de Rv presentes na tabela 4.5 com Brevdo and Ruderman (2009b),
pode-se observar 5 valores significativamente diferentes, obtendo um erro relativo entre 7%
a 25%. O caso (Rh, Qv) onde ocorre esta discordância nos resultados são (40, 2), (50, 0),
(50, 1), (60, 0) e (60, 1), onda os resultados são mostrados em vermelho. Nesses casos, os
valores encontrados nesse trabalho são todos menores que os presentes na literatura. Des-
considerando esses casos, o maior erro relativo dos outros dados é de 0.02%.
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 3.142 3.098 2.956 2.710 2.392 2.075 1.801
1 3.179 3.134 2.987 2.725 2.391 2.069 1.7992 3.292 3.246 3.084 2.770 2.395 5.600 6.3113 3.490 3.446 3.267 2.825 5.688 6.345 7.1074 3.785 3.764 3.635 5.474 6.300 7.080 7.8455 4.196 4.265 5.088 6.111 6.978 7.798 8.5716 4.733 4.982 5.870 3.573) 7.674 8.507 9.2907 5.379 5.753 6.596 7.496 8.372 9.213 10.018 6.092) 6.502 7.311 3.881 9.070 9.915 10.72
Tabela 4.6: αR crítico absoluto para análise 2D
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0.1129 0.2338 0.3445 0.4045 0.4147 0.40562 0 0.2431 0.5181 0.7900 0.9783 4.497 5.7533 0 0.4120 0.9424 1.594 3.934 4.962 5.9974 0 0.6468 1.813 3.271 4.212 5.252 6.2705 0 0.9576 2.384 3.410 4.445 5.500 6.5336 0 1.232 2.474 3.573 4.654 5.727 6.7827 0 1.372 2.539 3.733 4.845 5.939 7.0148 0 1.451 2.707 3.881 5.021 6.136 7.231
Tabela 4.7: -αi crítico absoluto para análise 2D
Assim como análise convectiva, tanto Rv quanto αR são, na maioria dos casos, funções
crescentes de Rh e Qv. A frequência crítica absoluta é, também, funcão crescente indepen-
dente de qual parâmetro aumenta. Pela tabela 4.7 pode-se analisar que a pertubação cresce
mais rapidamente no espaço com o aumento tanto de Rayleigh horizontal quanto de Péclet.
Comparando os resultados de ambas as análises, pode-se observar que os valores críticos
convectivos são iguais aos absolutos quando Rh = 0 e para quando Qv = 0 com Rh ≤ 40.
Isto significa que a natureza da transição da desestabilização é absoluta, não ocorrendo a
transição para convectivamente instável. Outra maneira de concluir isto é analisando a tabela
54
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0.3235 0.7697 1.416 2.225 3.110 4.0602 0 0.7847 1.946 3.937 7.607 75.81 120.13 0 1.555 4.238 11.61 53.76 92.41 140.44 0 2.876 9.609 33.90 66.60 108.8 160.15 0 5.056 18.27 43.82 79.54 125.0 179.66 0 8.150 25.39 53.73 92.48 141.1 199.07 0 11.66 32.28 63.62 105.4 157.1 218.38 0 15.27 39.15 73.54 118.4 173.2 237.6
Tabela 4.8: ωR crítico absoluto para análise 2D
4.4 e observando as situações em que a velocidade de grupo é igual a zero, já que esta é uma
condição necessária imposta para a iminência da instabilidade absoluta.
Uma análise mais cuidadosa informou que o motivo da divergência dos resultados para
altos valores de Rh é devido a uma competição entre modos que não foi notado por Brevdo
and Ruderman (2009b) que será mais discutida na seção 4.1.4.
4.1.3 Resultados da análise convectiva
Pela figura 4.2, pode-se perceber que para certos valores de Rh e Qv, há uma competi-
ção de modos para ver qual é o crítico convectivo. Esta observação também pode ser feita
analisando as grandes variações nos valores críticos com pequenas mudanças nos valores de
Rayleigh horizontal ou do Péclet presentes nas tabelas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4. Um exemplo pode
ser observado na mudança repentina da velocidade de grupo quando Rh = 40 e o valor de
Qv muda de 1 para 2. Devido a esta competição de modos, espera-se que em algum par de
valores (Rh, Qv), há dois pontos críticos simultâneos, e para obter esses valores, um monito-
ramento de cada ponto de mínimo da curva neutra de cada modo e, consequentemente, uma
interseção destes dados foram feitos. A tabela 4.9 e 4.10 mostram alguns desses casos de
ponto crítico duplo e a figura 4.3 mostra a curva marginal de alguns desses resultados.
Qv = 0 Rh Rv αR ωR ∂ω/∂α1º 49.000 154.19 2.105 0 02º 49.000 154.19 4.554 40.53 16.65
Tabela 4.9: Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D
55
Qv = 1 Rh Rv αR ωR ∂ω/∂α1º 42.259 125.70 2.430 2.692 6.3972º 42.259 125.70 4.252 27.62 14.71
Qv = 1.334 Rh Rv αR ωR ∂ω/∂α1º 40 117.92 2.619 4.094 8.1192º 40 117.92 4.077 22.85 13.98
Tabela 4.10: Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D
Qv=0 e Rh=49.000
Qv=1 e Rh=42.259
Qv=1.334 e Rh=40
0 2 4 6 8 10αR0
50
100
150
200
Rv
Figura 4.3: Curvas neutras com valores críticos duplos
As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes.
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
q(z)
Figura 4.4: Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2
56
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-2
-1
1
2
q(z)
Figura 4.5: Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-30
-20
-10
10
q(z)
Figura 4.6: Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7
57
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-6
-4
-2
2
q(z)
Figura 4.7: Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0
4.1.4 Resultados da análise absoluta
Na análise absoluta, cinco valores estavam consideravelmente diferente dos presentes na
literatura. Para saber quais são realmente ponto crítico, foi necessário plotar o gráfico da
colisão dos modos e ver que eles vêm de lado opostos do plano α imaginário, pois um dos
resultados pode ser apenas ponto de cela. Porém, se ambos os modos envolvidos na colisão
vierem de lados opostos, apenas a colisão que ocorrer com o menor Rv será o valor crítico.
As figuras a seguir ilustram os resultados dessa análise.
Em cada figura, os dois graficos superiores são referentes aos resultados deste trabalho
e os outro dois são os encontrados na literatura. Os gráficos à esquerda mostram a colisão
dos modos e os gráficos à direita mostram a parte real da velocidades de grupo ou a parte
imaginária quando a velocidade de grupo imaginária ou real é igual a zero. Essa situação
onde a parte imaginária ou real da velocidade de grupo é zero é mostrado pelos pontos pretos
presentes nos gráficos da colisão à esquerda. É interessante notar que quando impõe a parte
imaginária da velocidade de grupo igual a zero e calcula a parte real, encontra-se o ponto
de máximo ou de mínimo na curva dos modos, como mostra as quatro primeiras figuras, e
quando se impõe o oposto a parte real igual a zero, encontra-se um extremo à esquerda ou
58
2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46αR
0.92
0.94
0.96
0.98
1.00
1.02
1.04
-αIRv = 134.52
134.48 134.49 134.50 134.51 134.52Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Re[Vg]Rv = 134.52
5.15 5.20 5.25 5.30 5.35 5.40 5.45 5.50αR
3.4
3.5
3.6
3.7
-αIRv = 151.18
151.14 151.15 151.16 151.17 151.18Rv
-0.6
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
Re[Vg]Rv = 151.18
Figura 4.8: Colisão dos modos para Rh = 40 e Qv = 2
2.00 2.05 2.10 2.15αR
-0.05
0.05
-αIRv = 159.12
159.07 159.08 159.09 159.10 159.11Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Re[Vg]Rv = 159.12
4.90 4.95 5.00 5.05 5.10 5.15αR
2.80
2.85
2.90
2.95
3.00
3.05
3.10-αI
Rv = 212.21
212.17 212.18 212.19 212.20 212.21Rv
-0.5
0.5
Re[Vg]Rv = 212.21
Figura 4.9: Colisão dos modos para Rh = 50 e Qv = 0
à direita, como mostra a figura 4.12. Nesta figura, não foi possível calcular a velocidade de
grupo real nem a imaginária para os modos azuis para a faixa de valores analisada.
59
2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14αR
0.35
0.40
0.45
0.50-αI
Rv = 165.60
165.56 165.57 165.58 165.59 165.60Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Re[Vg]Rv = 165.60
5.00 5.05 5.10 5.15 5.20 5.25 5.30αR
3.6
3.7
3.8
3.9
-αIRv = 197.20
197.15 197.16 197.17 197.18 197.19Rv
-0.5
0.5
Re[Vg]Rv = 197.20
Figura 4.10: Colisão dos modos para Rh = 50 e Qv = 1
1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86αR
-0.06
-0.04
-0.02
0.02
0.04
0.06
-αIRv = 214.26
214.22 214.23 214.24 214.25 214.26Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Re[Vg]Rv = 214.26
4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95αR
3.45
3.50
3.55
3.60
3.65
3.70
3.75
-αIRv = 259.79
259.75 259.76 259.77 259.78 259.79Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Re[Vg]Rv = 259.79
Figura 4.11: Colisão dos modos para Rh = 60 e Qv = 0
Em todos os cincos casos apresentados acima, tanto os resultados neste presente trabalho
quanto os da literatura são pontos de cela cujo os modos vêm de lados de opostos. Portanto,
60
1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86αR
0.36
0.38
0.40
0.42
0.44
0.46
-αIRv = 224.13
224.09 224.10 224.11 224.12 224.13Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Im[Vg]Rv = 224.13
4.8 4.9 5.0 5.1 5.2αR
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0-αI
Rv = 242.26
242.21 242.22 242.23 242.24 242.25 242.26Rv
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5Im[Vg]
Rv = 242.26
Figura 4.12: Colisão dos modos para Rh = 60 e Qv = 1
os valores críticos são os que possuem o menor valor de Rayleigh vertical. Como, em todos
os casos, os resultados presentes na literatura tem um Rv maior, os novos resultados apresen-
tados no presente trabalho são realmente valores críticos para a iminência da instabilidade
absoluta.
Uma análise sobre o motivo dessa divergência em alguns resultados mostrou que, assim
como na análise convectiva, há uma competição de modos que não foram observados no
trabalho de Brevdo and Ruderman (2009b). Esta troca de modos críticos resulta num ponto
crítico duplo. As figuras abaixo mostram essa competição para dois valores de Rayleigh
horizontal.
Um monitoramento de colisão de cada modo foi feito como mostra as figuras para, então,
interpolar e encontrar o ponto onde elas se cruzam, que é onde ocorre o pinching point duplo.
As tabelas mostram, para valores de Péclet e Rayleigh horizontal, os valores críticos para Rv,
αR, αi e ωR.
Para valores de Rayleigh horizontal igual a 60, há uma competição entre três modos
diferentes. É importante observar que interseção da curva do modo 1 com a do modo 2 não
61
modo 1
modo 2
2 4 6 8Qv
100
200
300
400
500
600
Rv
Rh=30
Figura 4.13: Monitoramento da colisão para diferentes valores de Qv para Rh = 20
modo 1
modo 2
modo 3
2 4 6 8Qv
200
400
600
800
1000
1200
Rv
Rh=60
1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44
236.5
237.0
237.5
238.0
Figura 4.14: Monitoramento da colisão para diferentes modos para Rh = 60
modo Qv Rv αR -αR ωR
1 4.2638 94.169 3.9563 2.7038 12.13392 4.2638 94.169 3.9162 2.4623 12.1417
Tabela 4.11: Dados do pinching point duplo para Rh = 20
é um ponto crítico, pois para essa situação de Qv e Rh, o modo 3 tem um valor de Rv menor,
como é possível observar na figura 4.14. Portanto, apenas as interseções das curvas do modo
62
modo Qv Rv αR -αi ωR
1 3.2862 118.25 2.8243 1.9531 16.6832 3.2862 118.25 5.1512 3.2222 26.891
Tabela 4.12: Dados do pinching point duplo para Rh = 30
modo Qv Rv αR -αi ωR
1 2.4673 150.22 2.4375 1.5050 16.8552 2.4673 150.22 5.4372 3.7460 47.176
Tabela 4.13: Dados do pinching point duplo para Rh = 40
modo Qv Rv αR -αi ωR
1 1.8393 190.08 2.1059 1.0504 13.1982 1.8393 190.08 5.4973 4.3884 73.157
Tabela 4.14: Dados do pinching point duplo para Rh = 50
1 com o 3 e o modo 2 com o modo 3 são pinching point duplo.
par de modos Qv Rv αR -αi ωR
(1, 3) 1.3798 237.24 (1.8139, 5.0387) (0.65950, 5.3489) (8.3751, 106.28)(2, 3) 1.4178 236.78 (5.7240, 5.0229) (5.8932, 5.4334) (107.56, 107.23)
Tabela 4.15: Dados do pinching point duplo para Rh = 60
As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes.
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
q(z)
Figura 4.15: Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2
63
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
q(z)
Figura 4.16: Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-20
-10
10
20
30
q(z)
Figura 4.17: Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7
64
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
q(z)
Figura 4.18: Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0
4.2 ANÁLISE 3D
Os resultados obtidos na análise convectiva tridimensional foram comparados com os
presentes no trabalho de Brevdo (2009). Os resultados da análise absoluta são novos, não
estando presentes na literatura.
4.2.1 Verificação da análise convectiva
Os resultados da análise convectiva 2D foram usados como estimativa inicial para a aná-
lise convectiva 3D. Primeiramente, foi utilizado essa estimativa para quando Rayleigh ho-
rizontal fosse igual a zero, pois a equação da dispersão bidimensional se assemelha à tri-
dimensional, mostradas nas equações (3.9) e (3.10). Devido a esta semelhança, os valores
críticos de Rv e ωR são iguais nas duas análises e os números de onda estão relacionados
da seguinte forma (α2R +β2
R)cr 3D = α2Rcr 2D
. Essa relação causa um problema quando utiliza
a metodologia de extrapolação, pois quando Rh = 0, os valores de αR e βR convergem para
uma das infinitas soluções, e quando muda Rh para um valor diferente de zero, já não há
mais infinitas soluções, e a convergência se torna muito lenta ou nem mesmo acontece. Por
65
causa disto, escolheu-se utilizar os resultados da análise convectiva 2D como estimativa para
Péclet igual a zero fixando um valor de Rayleigh horizontal.
Pela análise 3D ter um número de onda a mais do que a 2D, foi necessário avaliar a
influência desse novo número de onda. Para isso, o valor do número de onda crítico na aná-
lise convectiva 2D foi utilizado como estimativa de αR considerando βR = 0 para analisar
os modos longitudinais, depois como estimativa de βR considerando αR = 0 para os modos
transversais e finalmente considerando αR 6= 0 e βR 6= 0, porém menores que αRcr 2D para os
modos oblíquos. Com isso, observou-se que não há modos olíquos, tendo apenas os modos
longitudinais e transversais para Rh 6= 0, porém, todos os modos transversais possuem um
valor de Rayleigh vertical menor dentro do domínio de Rayleigh horizontal e Péclet anali-
sado, com isso, tais modos se tornam os críticos da iminência da instabilidade convectiva.
Esse resultado pode ser observado pela figura 4.19, onde as curvas azuis são referentes os
modos tranversais.
As quatros tabelas a seguir mostram os valores críticos para a iminência da instabilidade
convectiva 3D obtidos através da análise descrita acima. Os resultados presentes nestas
tabelas foram comparados com os apresentados no trabalho Brevdo (2009) com o mesmo
número de algarismos significativos. Os erros percentuais máximos para Rayleigh vertical,
número de onda, frequência e velocidade de grupo são, respectivamente, 0.0099%, 0.23%,
0% e 1.5%.
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 42.008 49.549 61.957 78.966 100.12 124.47
1 40.875 43.403 50.940 63.336 80.316 101.41 125.652 45.078 47.603 55.127 67.486 84.380 105.29 129.183 52.068 54.588 62.088 74.381 91.128 111.74 135.054 61.666 64.171 71.616 83.786 100.28 120.39 142.535 73.415 75.879 83.189 95.078 111.02 129.93 148.986 86.619 88.994 96.008 107.30 122.08 138.82 155.567 100.58 102.80 109.33 119.67 132.92 147.73 162.898 114.83 116.86 122.77 132.05 143.85 157.12 171.00
Tabela 4.16: Rv crítico convectivo para análise 3D
Pela tabela 4.16 é possível observar um efeito de estabilização com o aumento tanto
de Péclet quanto do Rayleigh horizontal, diferente da análise 2D que havia, em certos ca-
66
α=0 e β≠0
α≠0 e β=0
2 4 6 8Qv
20
40
60
80
100
120
Rv
Rh=10
α=0 e β≠0
α≠0 e β=0
2 4 6 8Qv
20
40
60
80
100
120
Rv
Rh=20
Figura 4.19: Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv
sos, efeito de estabilização e desestabilização. Comparando os valores críticos de Rayleigh
vertical em ambas análises convectiva, observa-se que os valores da análise 3D são sempre
menores que a 2D, em outras palavras, a natureza da desestabiliazção é tridimensional.
O número de onda transversal é uma função crescente de ambos os parâmetros, já o
longitudinal é sempre zero, como pode ser observado pela tabela 4.17. Isso implica que os
rolos de convecção são longitudinais. Diferente da análise convectiva 2D, onde a frequência
era diferente de zero para maioria dos casos, na mesma análise 3D, as frequências são todas
67
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 3.14) (0, 3.14) (0, 3.15) (0, 3.16) (0, 3.22) (0, 3.34) (0, 3.67)
1 (0, 3.18) (0, 3.18) (0, 3.18) (0, 3.20) (0, 3.25) (0, 3.38) (0, 3.71)2 (0, 3.29) (0, 3.29) (0, 3.30) (0, 3.31) (0, 3.37) (0, 3.50) (0, 3.83)3 (0, 3.49) (0, 3.49) (0, 3.50) (0, 3.52) (0, 3.58) (0, 3.73) (0, 4.11)4 (0, 3.79) (0, 3.79) (0, 3.81) (0, 3.85) (0, 3.95) (0, 4.18) (0, 5.11)5 (0, 4.20) (0, 4.21) (0, 4.25) (0, 4.35) (0, 4.58) (0, 5.22) (0, 6.68)6 (0, 4.73) (0, 4.76) (0, 4.85) (0, 5.06) (0, 5.52) (0, 6.40) (0, 7.46)7 (0, 5.38) (0, 5.43) (0, 5.58) (0, 5.89) (0, 6.45) (0, 7.24) (0, 8.10)8 (0, 6.09) (0, 6.15) (0, 6.34) (0, 6.70) (0, 7.25) (0, 7.95) (0, 8.70)
Tabela 4.17: (αR,βR) crítico convectivo para análise 3D
iguais a zero, significando que perturbação é estacionária no tempo, como mostra a tabela
4.18.
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0
Tabela 4.18: ωR crítico convectivo para análise 3D
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)
1 (0, 0) (0.0937, 0) (0.179, 0) (0.246, 0) (0.281, 0) (0.268, 0) (0.198, 0)2 (0, 0) (0.218, 0) (0.423, 0) (0.597, 0) (0.721, 0) (0.772, 0) (0.774, 0)3 (0, 0) (0.402, 0) (0.793, 0) (1.16, 0) (1.50, 0) (1.82, 0) (2.40, 0)4 (0, 0) (0.666, 0) (1.34, 0) (2.06, 0) (2.86, 0) (4.03, 0) (8.71, 0)5 (0, 0) (1.02, 0) (2.10, 0) (3.35, 0) (5.08, 0) (8.62, 0) (15.7, 0)6 (0, 0) (1.43, 0) (2.99, 0) (4.94, 0) (7.78, 0) (12.2, 0) (17.4, 0)7 (0, 0) (1.84, 0) (3.88, 0) (6.38, 0) (9.69, 0) (13.9, 0) (18.4, 0)8 (0, 0) (2.21, 0) (4.62, 0) (7.46, 0) (10.9, 0) (14.9, 0) (19.1, 0)
Tabela 4.19: (∂ω/∂α, ∂ω/∂β) crítico convectivo para análise 3D
Assim como feito na análise 2D para verificar se a natureza da instabilidaden é convec-
tiva ou absoluta, o mesmo pode ser feito na análise 3D, porém, ambas as velocidades de
grupos, ∂ω/∂α e ∂ω/∂β , tem que ser zero. Pela tabela 4.19, observa-se que a natureza da
68
instabilidade depende do produto Rh.Qv, ou seja, se esse produto for igual a zero, a natureza
da instabilidade é absoluta, senão, é convectiva.
As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes. A
parte imaginária de ambas autofunções são zero em todo domínio.
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.2
0.4
0.6
0.8
q(z)
Figura 4.20: Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.5
1.0
1.5
2.0
q(z)
Figura 4.21: Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5
69
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
2
4
6
8
q(z)
Figura 4.22: Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.1
0.2
0.3
0.4
q(z)
Figura 4.23: Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0
4.2.2 Resultados da análise absoluta
Assim como feito na análise 2D, os resultados convectivos foram usados como estimati-
vas inciais para a análise absoluta. Sabendo que os casos onde a velocidade de grupo é igual
a zero, a transição para instabilidade é absoluta, pela tabela 4.19, foi utilizado as estimativas
70
iniciais para quando Qv igual a zero e, em seguida, utilizado a metodologia de extrapolação.
Embora todos os modos críticos convectivos são transversais, a análise para verificar
quais modos longitudinais, transversais ou obliquos são os críticos também foi feita na aná-
lise absoluta. Foi observado que apenas quando Rh = 10 ocorre uma transição dos modos
críticos, ou seja, inicialmente os rolos de convecção eram longitudinais (αR = 0 e βR 6= 0)
e, a partir de Péclet igual a 4.8319, os rolos se tornam tranversasis (αR 6= 0 e βR = 0). A
figura 4.24 ilustra a varição de Rv com Qv para os dois modos para dois casos com diferentes
valores de Rh. A curva azul é referente ao modo transversal e a amarela, ao longitudinal.
α=0 e β≠0
α≠0 e β=0
2 4 6 8Qv
50
100
150
Rv
Rh=10
α=0 e β≠0
α≠0 e β=0
2 4 6 8Qv
50
100
150
200
250
300
Rv
Rh=30
Figura 4.24: Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv
71
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 42.008 49.549 61.957 78.966 100.12 124.47
1 40.875 43.448 50.979 63.365 80.335 101.41 125.652 45.078 47.846 55.341 67.656 84.498 105.36 129.223 52.068 55.410 62.834 75.012 91.616 112.08 135.294 61.666 66.429 73.729 85.674 101.90 121.76 144.025 73.415 80.680 88.187 99.875 115.53 134.54 155.536 86.619 94.343 106.68 117.75 132.68 150.48 169.837 100.58 108.01 128.93 139.30 153.13 169.52 186.878 114.83 121.65 154.83 164.32 176.84 191.44 206.43
Tabela 4.20: Rv crítico absoluto para análise 3D
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 3.14) (0, 3.14) (0, 3.15) (0, 3.16) (0, 3.22) (0, 3.34) (0, 3.67)
1 (0, 3.18) (0, 3.20) (0, 3.18) (0, 3.19) (0, 3.24) (0, 3.37) (0, 3.70)2 (0, 3.29) (0, 3.41) (0, 3.28) (0, 3.28) (0, 3.33) (0, 3.46) (0, 3.79)3 (0, 3.49) (0, 3.84) (0, 3.47) (0, 3.42) (0, 3.46) (0, 3.60) (0, 3.93)4 (0, 3.79) (0, 4.57) (0, 3.76) (0, 3.62) (0, 3.64) (0, 3.78) (0, 4.12)5 (0, 4.20) (4.26, 0) (0, 4.19) (0, 3.90) (0, 3.88) (0, 4.00) (0, 4.35)6 (0, 4.73) (4.98, 0) (0, 4.79) (0, 4.28) (0, 4.17) (0, 4.28) (0, 4.64)7 (0, 5.38) (5.75, 0) (0, 5.56) (0, 4.76) (0, 4.55) (0, 4.63) (0, 4.99)8 (0, 6.09) (6.50, 0) (0, 6.53) (0, 5.37) (0, 5.03) (0, 5.06) (0, 5.43)
Tabela 4.21: (αR, βR) crítico absoluto para análise 3D
As tabelas a seguir mostram os resultados obtidos para Rayleigh vertical crítico, números
de onda, taxa de crescimento espacial e frequência. Pela tabela 4.20, observa-se que com o
aumento dos parâmetros Qv e Rh, é preciso um gradiente de temperatura vertical maior para
ocorrer a instabilidade absoluta. Já pela tabela 4.21, observa-se que para Rh 6= 10, o número
de onda longitudinal é igual a zero, e para Rh = 10, devido a competição de modos, há tanto
modos críticos tranverais quanto longitudinais.
Analisando a tabela 4.22, a taxa de crescimento espacial na direção x para Rh > 10 tende
a diminuir com o aumento do Rayleigh horizontal e a aumentar com o aumennto de Péclet.
Quando Rh = 10, há tanto um aumento quanto uma diminuição da taxa de crescimento. Já
a perturbação na direção y não cresce espacialmente independente do aumento de qualquer
parâmetro. E quando o produto Rh.Qv é nulo, não há crescimento espacial em nenhuma
direção.
Devido a competição entre os modos longitudinais e transversais, a frequência se torna
diferente de zero quando o modo longitudinal é o crítico. É interessante observar que quando
72
os valores críticos são dos modos longitudinais, esses valores são os mesmo encontrados
na análise absoluta 2D. Isto ocorre porque tanto a parte real quanto a parte imaginária do
número de onda na direção y é igual a zero, transformando a equação da dispersão 3D,
equação (2.17), na equação da dispersão 2D, equação (2.19).
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)
1 (0, 0) (0.473, 0) (0.213, 0) (0.118, 0) (0.0657, 0) (0.0327, 0) (0.0121, 0)2 (0, 0) (1.07, 0) (0.487, 0) (0.276, 0) (0.161, 0) (0.0889, 0) (0.0432, 0)3 (0, 0) (1.88, 0) (0.870, 0) (0.507, 0) (0.311, 0) (0.188, 0) (0.110, 0)4 (0, 0) (2.97, 0) (1.39, 0) (0.830, 0) (0.531, 0) (0.345, 0) (0.226, 0)5 (0, 0) (0.958, 0) (2.06, 0) (1.25, 0) (0.830, 0) (0.567, 0) (0.399, 0)6 (0, 0) (1.23, 0) (2.87, 0) (1.78, 0) (1.21, 0) (0.859, 0) (0.637, 0)7 (0, 0) (1.37, 0) (3.83, 0) (2.41, 0) (1.68, 0) (1.23, 0) (0.948, 0)8 (0, 0) (1.45, 0) (4.94, 0) (3.15, 0) (2.23, 0) (1.68, 0) (1.34, 0)
Tabela 4.22: (-αi, -βi) crítico absoluto para análise 3D
Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 05 0 5.06 0 0 0 0 06 0 8.15 0 0 0 0 07 0 11.7 0 0 0 0 08 0 15.3 0 0 0 0 0
Tabela 4.23: ωR crítico convectivo para análise 3D
Comparando os resultados da análise absoluta 2D e 3D, é possível observar que a maioria
dos resultados são diferentes. Os valores críticos da análise tridimensional são menores que
da bidimensional, por isso, uma análise completa absoluta 3D é muito importante, pois a
análise 2D não é capaz de prever corretamente o início da instabilidade absoluta. Porém, esta
análise é praticamente impossível de ser feita sem usar o método utilizado neste trabalho.
O método do tiro garante que os resultados encontrados são apenas pontos de cela, não
necessariamente pinching point. Para mostrar que os resultados obtidos são os valores críti-
cos, 5 casos aleatórios foram escolhidos para verificar a colisão dos modos para aumentar a
confiabilidade dos resultados. As figuras 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 e 4.29 mostram a verificação
para estes cinco casos.
73
Na análise 2D, os modos tinham que vir de lados opostos do plano de número de onda
imaginário. Já na análise 3D, os modos de pelo menos dos planos, ou α ou β, tem que cruzar
o plano imaginário, como provado por Brevdo (1991).
-0.2 -0.1 0.1 0.2αR
2.9
3.0
3.1
-αI
66.38 66.39 66.40 66.41 66.42 66.43Rv
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Im[Vg]
4.50 4.55 4.60 4.65 4.70βR
-0.15
-0.10
-0.05
0.05
0.10
0.15
-βI
66.38 66.39 66.40 66.41 66.42 66.43Rv
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Re[Vg]
Figura 4.25: Colisão dos modos para Rh = 10 e Qv = 4
74
-0.05 0.05αR
1.15
1.20
1.25
1.30
-αI
169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv
-0.5
0.5
Re[Vg]
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9βR
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
-βI
169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Im[Vg]
Figura 4.26: Colisão dos modos para Rh = 40 e Qv = 8
-0.05 0.05αR
1.15
1.20
1.25
1.30
-αI
169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv
-0.5
0.5
Re[Vg]
4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9βR
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
-βI
169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Im[Vg]
Figura 4.27: Colisão dos modos para Rh = 50 e Qv = 7
75
-0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06αR
0.35
0.40
0.45
-αI
155.48 155.49 155.50 155.51 155.52Rv
-1.0
-0.5
0.5
1.0Re[Vg]
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5βR
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
-βI
155.48 155.49 155.50 155.51 155.52Rv
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Re[Vg]
Figura 4.28: Colisão dos modos para Rh = 60 e Qv = 5
-0.15 -0.10 -0.05 0.05 0.10 0.15αR
1.65
1.70
1.75
1.80
1.85
1.90
1.95
-αI
117.71 117.72 117.73 117.74 117.75Rv
-0.4
-0.2
0.2
0.4
Re[Vg]
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5βR
-0.3
-0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
-βI
117.71 117.72 117.73 117.74 117.75Rv
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Re[Vg]
Figura 4.29: Colisão dos modos para Rh = 30 e Qv = 6
76
As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes. As-
sim como na análise convectiva 3D, a parte imaginária de ambas autofunções também são
zero em todo domínio.
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.2
0.4
0.6
0.8
q(z)
Figura 4.30: Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
q(z)
Figura 4.31: Autofunções Tn e wn para Rh = 20 e Qv = 5
77
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
q(z)
Figura 4.32: Autofunções Tn e wn para Rh = 40 e Qv = 7
-0.4 -0.2 0.2 0.4z
0.1
0.2
0.3
0.4
q(z)
Figura 4.33: Autofunções Tn e wn para Rh = 60 e Qv = 0
78
5 CONCLUSÃO
Neste trabalho, a análise da iminência da instabilidade convectiva e absoluta bi e tridi-
mensional foi feita num modelo de um escoamento em um meio poroso com gradiente de
temperatura inclinado e escoamento horizontal e vertical. O início da convecção deste pro-
blema foi estudada anteriormente por Nield (1998) e, posteriormente, sendo extendida por
Brevdo and Ruderman (2009a), Brevdo and Ruderman (2009b) e Brevdo (2009). Os resul-
tados presentes nestes trabalhos foram usados para a verificação da metologia e do método
utilizado para algumas análises para depois, então, extender trabalhos anteriores.
Os resultados das análises informam que a transição de estável para instável, nas situa-
ções de Rayleigh horizontal e Péclet analisadas, são de carácter 3D já que os valores críticos
de Rayleigh vertical são maiores na análise 2D. Devido a isto, os rolos de convecção no
início da instabilidade acabam sendo longitudinais, ou seja, o número de onda na direção
longitudinal e transversão são, respectivamente, igual e diferente de zero. A frequência do
pacote de onda é zero fazendo com que a pertubação não oscile no tempo.
Analisando as tabelas com os valores de Rv crítico, é possível observar que o aumento
de Péclet ou do Rayleigh horizontal causa um efeito de estabilização no sistema, em outras
palavras, é necessário um gradiente de temperatura vertical maior para o sistema ficar instá-
vel. A natureza da transição para a instabilidade depende se o produto Rh.Qv é nulo ou não.
Se Rh.Qv = 0, a desestabilização é absolutamente instável, senão, é convectivamente, como
pode ser observado pela tabela 4.19, onde amba velocidades de grupo são zero.
Focando na metodologia e no método númerico, pode-se concluir que os utilizados no
presente trabalho possuem alta precisão e acurácia. Isso pode ser comprovado através das
verificações feitas e das correções dos resultados presentes na literatura. Tal método mostrou
muito útil nas análises absolutas, principalmente, nos problemas tridimensionais pelo fato
da baixa complexidade em achar pontos de celas, pois descobrir os valores críticos apenas
79
fazendo a verificação da colisão dos modos é muito díficil na análise 2D e a quase impossível
de se fazer na análise tridimensional.
Pelo fato de todos os cinco casos escolhidos para a verificação da colisão na análise abso-
luta 3D serem realmente pinching point asseguram uma grande confiabilidade nos resultados
presentes nas tabelas 4.20, 4.21, 4.22 e 4.23. Isto reforça que a metodologia utilizada é uma
ótima alternativa para encontrar valores críticos absolutos tridimensionais.
80
6 TRABALHOS FUTUROS
Dando seguimento a análise de estabilidade do problema físico analisado, os trabalhos
futuros são verificar graficamente os pinching points duplos da análise absoluta bidimensio-
nal, refazer as análises para a extensão deste problema incluindo um gradiente horizontal ou
vertical de concentração de soluto e fazer uma análise do crescimento transiente da pertur-
bação para ambos os problemas com e sem gradiente de concentração. Este último trabalho
futuro tem uma grande importância pelo fato de que se a energia da perturbação nos instan-
tes iniciais for alta demais, os efeitos não-lineares estarão presentes e, consequentemente,
a análise de estabilidade linear feita durante todo esse trabalho não será útil para estimar o
iminência do surgimento dos rolos de convecção. Outros trabalhos futuros são fazer análises
tridimensionais absolutas de problemas da literatura usando o método discutido onde esta
análise não foi possível devido a ausência de um método de baixa complexidade capaz de
fazê-la.
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