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Análise Exploratória e Estimação MONITORIA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO

Médias Média Aritmética (valor médio de uma distribuição)

𝑥 =1

𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛𝑥1 +⋯+ 𝑥𝑛

Média Aritmética (dados agrupados)

𝑋 =𝑓1𝑋1 +⋯+ 𝑓𝑘𝑋𝑘𝑓1 +⋯+ 𝑓𝑘

= 𝑓𝑖𝑋𝑖𝑘𝑖=1

𝑓𝑖𝑘𝑖=1

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO 2

Exemplo

𝑋 =3 ⋅ 13 + 8 ⋅ 14 + 15 ⋅ 15 + 13 ⋅ 16 + 9 ⋅ 17 + 2 ⋅ 18

30= 15,46

Intervalos de classes Frequência absoluta

12,51 a 13,50 3

13,51 a 14,50 8

14,51 a 15,50 15

15,51 a 16,50 13

16,51 a 17,50 9

17,51 a 18,50 2


Médias Média Ponderada: 𝑋 =

𝑤𝑖𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑤𝑖𝑛𝑖=1

=𝑤1𝑥1+𝑤2𝑥2+⋯+𝑤𝑛𝑥𝑛

𝑤1+𝑤2+⋯+𝑤𝑛

Média Harmônica: 𝐻 =𝑛

1

𝑥𝑖

𝑛𝑖=1

=𝑛

1

𝑥1+1

𝑥2+⋯+

1

𝑥𝑛

Média Geométrica: 𝐺 = 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

1

𝑛 = 𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ … ⋅ 𝑥𝑛𝑛


Mediana Para valores ordenados crescentemente, dois modos de calcular:

• Se n é ímpar, mediana é o valor central: ◦ Na amostra 30 32 35 48 76 a mediana é 35

• Se n é par, mediana é a média simples entre os dois valores centrais: ◦ Na amostra 30 32 35 48 76 81 a mediana é

34+48

2= 41,5


Mediana para dados agrupados 1. Calcula-se n/2;

2. Achar qual das classes esse valor se encontra a partir das frequências absolutas;

3. Usar a fórmula

𝑀𝑑 = 𝑙𝑀𝑑 +

𝑛2− 𝑓 ⋅ ℎ

𝑓𝑀𝑑

Aonde: 𝑙𝑀𝑑 é o limite inferior da classe;

𝑓𝑀𝑑 é a frequência da classe da mediana;

𝑓 é a Soma das frequências anteriores a classe da mediana;

ℎ é a amplitude da classe da mediana.


Moda Valor que ocorre com maior frequência.

• 2 6 2 9 8 4 3 2 4 5

2 2 2 3 4 4 5 6 8 9

Mo = 2

• 45 46 49 52 52 60 60 76 79

Mo = 52 e 60


Moda para Dados Agrupados Utiliza-se a fórmula de King:

𝑀𝑜 = 𝑙 +Δ1Δ1 + Δ2

⋅ ℎ

Aonde:

• 𝑙 - limite inferior da classe modal = 40

• Δ1 - diferença entre a frequência da classe e a anterior = 16

• Δ2 - diferença entre a frequência da classe e a posterior = 7

• ℎ - amplitude da classe modal = 20

Notas Número de Alunos

0 |- 20 2

20 |- 40 7

40 |- 60 23

60 |- 80 16

80 |- 100 3

Total 51


Amplitude Total É a diferença entre o maior e menor valor de um conjunto de dados.

Amplitude = (maior valor) - (menor valor)

Exemplo:

30,4 34,7 39,8 40,45 47,9 49,5 51,9 69,7

69,7-30,4 = 39,3


Desvio Padrão Variação dos valores em torno de uma média dado um conjunto de

valores amostrais.

Para uma população de N indivíduos:

𝜎 =1

𝑁 𝑥𝑖 − 𝜇

2𝑁𝑖=1 ;

Para uma amostra de n observações, x1, ..., xn:

𝑆 =1

𝑛−1 𝑥𝑖 − 𝑥

2𝑛𝑖=1

Aonde:

◦ 𝑥𝑖 é o valor de cada variável;

◦ 𝑥 é a média amostral e 𝜇 é a média populacional.


Coeficiente de Variação Percentual do desvio padrão com relação à média.

◦ Para população

𝑐𝑣 =𝜎

𝜇

◦ Para amostra

𝑐𝑣 =𝑠

𝑥


Variância A medida da variação é o quadrado do desvio padrão.

Para a população: 𝜎2 =1

𝑁 𝑥𝑖 − 𝜇

2𝑁𝑖=1

Para a amostra: s2 =1


2𝑛𝑖=1

Aonde:

◦ 𝑥𝑖 é o valor de cada variável;

◦ 𝑥 é a média amostral e 𝜇 é a populacional.

Obs.: Dado um desvio padrão de unidade “u” a variância do mesmo terá unidade “u²”.


Amplitude Inter-quartílica É a amplitude do intervalo entre o primeiro e o terceiro quartil.

Representada por Q.

𝑄 = 𝑄3 − 𝑄1

Obs: Às vezes também é usada a semi-amplitude inter-quartílica, que é a metade da anterior.

Obs2: Q é aproximadamente igual a 4

3𝜎


Medida de Posição - Quartil 1. Quartil é qualquer um dos três valorres que divide o conjunto em

quatro partes iguais.

2. Para dados agrupados.

𝑄1 = 𝑙𝑄1 +

𝑛4− 𝑓 ⋅ ℎ

𝐹𝑄1

Obs: Se fosse para calcularmos o Q3, o fariamos na razão de 3n/4 !

14 ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO

Percentil Valores que dividem o conjunto em partes iguais que representam

1/100 da amostra ou população!

Seja N igual ao tamanho amostral, temos:

𝑃𝑘 =𝑁 ⋅ 𝑘

100

(arredondar para o inteiro mais próximo)


Percentil para dados agrupados

𝑃𝑖 = 𝑙𝑃𝑖 +

𝑖𝑛100− 𝑓 ⋅ ℎ

𝐹𝑃𝑖

𝑖 ∈ {1,2,3,4, … , 96,97,98,99,100}

Aonde:

𝑙𝑃𝑖 é o limite inferior de 𝑃𝑖

𝑓 é a soma das frequências anteriores de 𝑃𝑖

ℎ é a amplitude da classe de 𝑃𝑖

𝐹𝑃𝑖 é a frequência da classe 𝑃𝑖


Medida de Assimetria O calculo da Assimetria resultará em valores sempre entre -1 e 1 e

para tal utilizamos a equação de Pearson:


𝑆𝑘 =𝑋 −𝑀𝑜

𝑆

Construção de tabelas de distribuição de frequência Objetivo: construir tabelas de distribuição de frequência a partir de

dados brutos (n observações).

1º Passo: determinar a amplitude total;

2º Passo: estimar o número de intervalos;

• Pode-se utilizar 𝐾 = 𝑛 , para 𝑛 > 25 e 𝐾 = 5 para 𝑛 < 25

• Ou a fórmula de Sturges: 𝐾 = 1 + 3,22 log 𝑛

3º Passo: estimar a amplitude dos intervalos: ℎ =𝑅

𝐾;

4º Passo: esquematizar a tabela de acordo com as informações dos passos anteriores.


Estimação Estimativa pontual: ◦ 𝑥 é uma estimativa pontual para 𝜇, onde (𝑥1, … , 𝑥𝑛) é uma amostra.

𝑥 =1

𝑛 𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

=1

𝑛𝑥1 +⋯+ 𝑥𝑛

Estimativa intervalar (intervalo de confiança): ◦ Intervalo de valores que contém a média da população com uma

determinada probabilidade de acerto

◦ É necessário calcular a margem de erro do intervalo (𝑥 − E e 𝑥 + E) de acordo com o nível de confiança pedido, e dependendo se a variância é conhecida ou não.


Intervalo de confiança Variância conhecida

O erro é dado por: 𝐸 = 𝑍𝛼2 ⋅𝜎

𝑛

Logo, o intervalo de confiança para média 𝜇 é: 𝑥 − E ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝐸

Variância desconhecida

É necessário calcular a variância da amostra por:

𝑠2 =1


2𝑛𝑖=1

Então, o erro é dado por: 𝐸 = 𝑡𝛼2 ⋅𝑠

𝑛 aonde 𝑡𝛼

2 é o valor

correspondente a 𝛼 2 com n – 1 graus de liberdade.

O intervalo de confiança para média 𝜇 é: 𝑥 − E ≤ 𝜇 ≤ 𝑥 + 𝐸


Exercícios 1. Para a distribuição abaixo responda:

a) Qual a amplitude total?

b) Ponto médio do terceiro intervalo.

c) Qual(is) o comprimento dos intervalos?

d) Qual a porcentagem de internautas que gastam acima de 42 minutos na internet?

e) Qual o valor: modal, mediano e médio? O que eles representam na distribuição?


Tempo (minutos)

Internautas

7 |-- 18 18 |-- 31 31 |-- 42 42 |-- 54 54 |-- 66 66 |-- 78 78 |-- 90

6 10 13 8 5 6 2

Recife - 2009 Fonte: Fictícia.

Resolução a) Amplitude total = 90 – 7 = 83

b) Ponto Médio 3º classe = 42+31/2 = 66,5

c) Comprimento dos intervalos = Amplitude de cada intervalo. Exemplo: 1º 18 – 7 = 11; 2º 31 – 18 = 13 [...]

d) Porcentagem de users para > 42min, a partir da 4ª classe: 8+5+6+2

50= 0,42

e) Moda, Mo = 31—42| , pois aparece com maior frequência.

Média, 𝑓𝑖𝑋𝑖𝑘𝑖=1

𝑓𝑖𝑘𝑖=1

= (12,5∗6+24,5∗10+36,5∗13+48∗8+60∗5+72∗6+84∗2

50= 2082,5

50=

4,65 Mediana, n/2 = soma das frequencias/2 = 50/2 = 25. Se fizermos a tabela de frequências acumuladas esse valor vai referenciar a 3ª classe. Então:

Md = 31 +25 −16 ⋅ 11

13= 38,61


Exercícios 2. Considere a seguinte distribuição de frequências.

a) Calcule a média, a variância e o desvio padrão, a mediana e a moda.

b) Qual das medidas de tendência central descreve melhor os dados? Justifique


Xi -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

fi 60 120 180 200 240 190 160 90 30

Resolução a)


Continuação...

25

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝟎 +

𝟏𝟐𝟕𝟎𝟐 − 𝟓𝟔𝟎 𝒙𝟏

𝟖𝟎𝟎

Obs: O limite inferior da classe é o próprio valor.

Obs2: A amplitude da classe é 1, pois só existe

um elemento.

𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂𝒏𝒂 = 𝟎, 𝟎𝟗𝟑𝟕𝟓

ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO

Continução...


Exercícios 3. Seguidamente apresentam-se algumas estimativas para a

velocidade da luz, determinadas por Michelson em 1882 (Statistics and Data Analysis, Siegel):

299.88, 299.90, 299.94, 299.88, 299.96, 299.85, 299.94, 299.80, 299.84

a) Determine a média

b) Determine o desvio padrão, utilizando a expressão da definição.

c) Subtraia 299 de cada um dos dados e determine o desvio padrão, dos resultados obtidos, utilizando a fórmula utilizada na alínea anterior. Comente os resultados obtidos.

d) Calcule a média dos valores com que trabalhou na alínea anterior. Adicione à média obtida 299.


Resolução a) 𝑥 =

1

9(299.88 + 299.90 + 299.94 + 299.88 + 299.96 + 299.85 + 299.94 + 299.80 +

299.84) = 299.8878

b) 𝑆2 =1

8299.88 − 299.877 2 +

1

8299.90 − 299.877 2 +

1

8299.94 − 299.877 2 +

1

8299.88 − 299.877 2 +

1

8299.96 − 299.877 2 +

1

8299.85 − 299.877 2 +

1

8299.94 − 299.877 2 +

1

8299.80 − 299.877 2 +

1

8299.84 − 299.877 2 = 0,0028

(observe que para uma amostra utiliza-se n-1)


Resolução b) Com a variância, calculamos o desvio padrão:

𝑆 = 0,0028 = 0,0528

c) Precisamos da nova média para calcular o desvio padrão (isso já responde

a letra d):

𝑥 =1

90.88 + 0.90 + 0.94 + 0.88 + 0.96 + 0.85 + 0.94 + 0.80 + 0.84

= 0.8878

Calculando a variância...


Resolução

c) 𝑆2 =1

80.88 − 0.877 2 +

1

80.90 − 0.877 2 +

1

80.94 − 0.877 2 +

1

80.88 − 0.877 2 +

1

80.96 − 0.877 2 +

1

80.85 − 0.877 2 +

1

80.94 − 0.877 2 +

1

80.80 − 0.877 2 +

1

80.84 − 0.877 2 = 0,0028

Desvio padrão...

𝑆 = 0,0028 = 0,0528


Resolução c) Comentário:

O desvio padrão foi o mesmo da amostra anterior. Isso significa que a

amostra está variando da mesma maneira, apesar de cada valor ter sido

diminuído em 299. Observe que, consequentemente, a média também

diminuiu 299 quando cada valor da amostra foi diminuído em 299.


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