anÁlise fotoelÁstica: construÇÃo e...

UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO TECNOLÓGICO

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROJETO DE GRADUAÇÃO

ANÁLISE FOTOELÁSTICA: CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE UM POLARISCÓPIO PLANO DE TRANSMISSÃO

ANTÔNIO LUIZ SCHUWARTZ FERREIRA RAFAEL LESQUEVES BERMUDES

VITÓRIA – ES ABRIL/2004

ANTÔNIO LUIZ SCHUWARTZ FERREIRA RAFAEL LESQUEVES BERMUDES


Parte escrita do Projeto de Graduação dos alunos Antônio Luiz Schuwartz Ferreira e Rafael Lesqueves Bermudes, apresentado ao Departamento de Engenharia Mecânica do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, para obtenção do grau de Bacharel Engenharia Mecânica.

VITÓRIA – ES ABRIL/2004

ANTÔNIO LUIZ SCHUWARTZ FERREIRA

RAFAEL LESQUEVES BERMUDES


COMISSÃO EXAMINADORA: _______________________________ Prof. Dr. Fernando C. Meira Menandro Orientador _______________________________ Prof. Dr. Vladimir Dynnikov Examinador

_______________________________ Prof. MsC. Angelo Gil P. Rangel Examinador

Vitória - ES, 20 de Abril, 2004.

i

DEDICATÓRIA

Aos alunos do Curso de Engenharia Mecânica da UFES.

ii

AGRADECIMENTOS

Agradecemos primeiramente a Deus por tudo que há de belo nessa

vida. Agradecemos também as nossas famílias e amigos que sempre estão

do nosso lado e aos professores, colegas e funcionários da Engenharia

Mecânica pelos momentos inesquecíveis proporcionados durante o curso de

graduação. Muito obrigado ao Fernando Menandro, por ter sido o professor

orientador deste projeto, ao apoio dado pelo Vladimir Dynnikov, ao Alfredo

(Professor da Física), aos amigos Diego Calvi, Juliano Frigini, Alexandre Picoli

e a tantos outros que de sua maneira auxiliaram na conclusão deste projeto.

Um agradecimento especial a Celina, o anjo da guarda de nós alunos e a

provedora oficial do coffee-break “clandestino” entre as aulas.

iii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1. (a) Luz difusa; (b) Luz polarizada. ........................................................... 9

Figura 2. Polarização da luz. ................................................................................... 10

Figura 3. Características de absorção e transmissão de um polarizador

plano. ........................................................................................................................... 11

Figura 4. Polariscópio Linear de Transmissão. .................................................... 14

Figura 5. Polariscópio Circular de Transmissão. ................................................. 14

Figura 6. Visualização das tensões em um gancho utilizando a técnica

fotoelástica. ................................................................................................................ 18

Figura 7. Carregamento Axial. ................................................................................ 18

Figura 8. Distribuição de tensões nas proximidades de irregularidades

geométricas. ............................................................................................................... 19

Figura 9. Filtros Polarizadores. ............................................................................... 21

Figura 10. Filtros polarizadores de diâmetro 82 mm. ......................................... 22

Figura 11. Corte de uma fatia de 20mm de espessura ...................................... 23

Figura 12. Com o Torno, foi rebaixado 4mm no centro da ................................ 23

Figura 13. Com a Fresa, foi aberto um vão com secção retangular de ........... 23

iv

Figura 14. Geração de roscas para adaptação do sistema de carregamento.24

Figura 15. Peça construída denominada Corpo Principal. ................................ 24

Figura 16. Parafusos de fixação e aplicação de carga. ...................................... 24

Figura 17. Adaptadores para aplicação de carga concentrada e distribuída. 25

Figura 18. Corpo de prova com furo central submetido à leve compressão. 30

Figura 19. Corpo de prova com entalhe retangular submetido a compressão.31

Figura 20. Componente para dispositivo de carga trativa .................................. 37

Figura 21. Anel para travamento do parafuso...................................................... 37

Figura 22. Parafuso para dispositivo de carga trativa. ....................................... 38

Figura 23. Montagem do dispositivo para carga de tração. ............................... 38

Figura 24. Corpo de prova para tração 1. ............................................................. 39




Figura 28. Encaixe do corpo de prova no sistema de tração. ........................... 41

v

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................. 8

2 FUNDAMENTOS DA FOTOELASTICIDADE ............................................ 9

2.1 Polarização da Luz .......................................................................................... 9

2.1.1 Polarizadores Planos .......................................................................... 10

2.2 Difração da Luz .............................................................................................. 12

2.3 Estado de tensões ......................................................................................... 13

2.4 O Polariscópio ................................................................................................ 14

2.5 Relações Fundamentais ............................................................................... 15

3 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES ............................................................. 17

3.1 Introdução ....................................................................................................... 17

3.2 Concentradores de Tensão – Carregamento Axial ................................. 18

4 CONSTRUÇÃO DO POLARISCÓPIO ...................................................... 21

4.1 Introdução ....................................................................................................... 21

4.2 Descrição do equipamento .......................................................................... 22

4.3 Princípio do funcionamento do nosso equipamento ................................ 26

5 ENSAIOS REALIZADOS ............................................................................. 30

6 FOTOELASTICIDADE X ELEMENTOS FINITOS................................... 33

7 CONCLUSÃO ................................................................................................ 35

8 ADAPTAÇÂO PARA APLICAÇÃO DE TRAÇÃO .................................. 37

8.1 Introdução ....................................................................................................... 37

8.2 Acessório de fixação do Corpo de Prova ao sistema de tração ............ 37

vi

8.3 Corpos de Prova de apropriados para o ensaio trativo........................... 39

9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ............................................................... 42

10 ANEXOS ......................................................................................................... 43

10.1 Desenhos Técnicos..................................................................................... 43

10.1.1 Corpo principal de alumínio ............................................................. 43

10.1.2 Corpo de prova de acrílico – modelo 1 .......................................... 43







10.1.9 Sistema de para carga trativa ......................................................... 43

10.1.10 Corpo de prova de acrílico – Tração – 1 ..................................... 43




10.2 Distribuição de tensões em vários corpos de prova ensaiados no

polariscópio ........................................................................................................... 43

10.3 Tabela de Custos do Projeto ..................................................................... 43

vii

RESUMO

Nesse trabalho é apresentada a teoria da fotoelasticidade com o intuito

de introduzir o método experimental que foi a motivação para a construção de

um polariscópio plano de transmissão. O projeto e a construção do dispositivo

são detalhados nesse projeto, que contem todos os desenhos técnicos dos

componentes utilizados. Um importante aspecto desse trabalho foi a busca

pela simplicidade de utilização do polariscópio aqui apresentado e, claro, pelo

baixo custo de fabricação. Também são descritas algumas análises

qualitativas de ensaios que foram produto da utilização desse polariscópio.

8

1 INTRODUÇÃO

A configuração das tensões e deformações em um sólido é uma das

coisas mais importantes a se considerar em um projeto de componentes

mecânicos, tais como engrenagens, ganchos, eixos, etc.

Existem muitos métodos para se determinar, de maneira qualitativa e

quantitativa, a distribuição de tensões em componentes mecânicos. Esses

métodos podem ser experimentais, como os obtidos através da extensometria

e a fotoelasticidade, ou teóricos, utilizando, por exemplo, o Método dos

Elementos Finitos.

A Fotoelasticidade é uma técnica de análise de tensões muito utilizada

na área de ensino de Engenharia e Biomecânica, devido a rapidez na

obtenção de resultados e pelo seu potencial didático, pois o método está

associado a visualização de um padrão de franjas, que descrevem a

distribuição de tensões.

Como instrumento didático, um polariscópio permitirá a difusão da

técnica fotoelástica na Engenharia, criando uma maior interação e

participação dos alunos do curso de Resistência dos Materiais. Sem dúvida,

isso representará uma enorme vantagem para os alunos, que conseguirão

visualizar alguns conceitos citados em sala de aula e que nem sempre são

compreendidos.

Esse trabalho tem como objetivo abordar, de maneira breve, o

princípio de funcionamento da técnica fotoelástica e de apresentar a

construção de um polariscópio simples e de baixo custo, comparando os

resultados obtidos com resultados existentes em alguma bibliografia.

9

2 FUNDAMENTOS DA FOTOELASTICIDADE

2.1 Polarização da Luz

A luz é da mesma natureza que as ondas eletromagnéticas,

diferenciando-se das de radio e das de raios X em seu comprimento de onda.

Este comprimento de onda está compreendido entre os valores 0.4 µm (a luz

violeta) e 0.76 µm (luz vermelha) e em um feixe de luz natural ou luz branca

cada onda tem um comprimento distinto. Ao contrario, se todos os raios têm o

mesmo comprimento de onda, o feixe de luz, que adquire uma cor

determinada, recebe o nome de luz monocromática.

Quando todos os raios de um feixe de luz vibram em um mesmo plano

se diz que a luz está polarizada em um plano. Caso contrário, como acontece

com a luz natural, se tem uma luz difusa. Alguns materiais chamados

polarizadores têm a propriedade de eliminar parte de luz incidente de tal

forma que o feixe emergente vibra em um plano determinado que se chama

plano de polarização.

Figura 1. (a) Luz difusa; (b) Luz polarizada.

10

2.1.1 Polarizadores Planos

A luz polarizada plana é obtida restringindo-se o vetor da luz a vibrar

em um plano único, conhecido como plano de polarização. Como mostra a

Figura 2. Na prática, luz polarizada plana pode ser produzida com apenas um

elemento óptico, conhecido como polarizador plano ou linear. A produção da

luz polarizada circular ou da elíptica (não plana) requer o uso de dois

elementos ópticos. Esse é o motivo inicial de termos escolhido o polariscópio

plano de transmissão.

Figura 2. Polarização da luz.

A produção de luz polarizada plana era um problema difícil de ser

resolvido no início da utilização da fotoelasticidade. Como conseqüência,

vários métodos complicados eram empregados. Esses métodos não vão ser

discutidos aqui. Contudo, essas técnicas foram largamente caindo em desuso

com o advento dos filtros polarizadores planos, que tem a vantagem de

produzir luz polarizada de boa qualidade e com um custo relativamente baixo.

Polarizadores planos são elementos ópticos que absorvem os

componentes do vetor da luz que não estão vibrando na direção do eixo do

polarizador. Isso significa que quando luz não polarizada passa através de um

11

polarizador linear, a componente do vetor perpendicular ao eixo do

polarizador é absorvida e a paralela é transmitida, como mostra na Figura 3.

Figura 3. Características de absorção e transmissão de um polarizador plano.

Se o polarizador plano é fixado em algum ponto ao longo do eixo z, a

equação para a amplitude do vetor da luz pode ser dada por:

)2(. ftsenaA )(. wtsenaA

onde fw 2 é a freqüência angular da luz. As componentes absorvida

( aA ) e transmitida ( tA ) do vetor luz são, então:

senwtsenaAa )(.

cos)(. wtsenaAt

12

2.2 Difração da Luz

Quando um raio luminoso de luz monocromática incide sobre a face de

um material transparente, se observa o fenômeno da refração: o raio muda de

direção e varia a velocidade de propagação. Define-se então o índice de

refração n como o quociente entre a velocidade da luz no vácuo (c), e dentro

do material (v), ou seja:

v

cn

Certos cristais transmitem os raios diferentemente (ordinário e

extraordinário), polarizados em planos ortogonais, propagando-se cada um

deles no cristal com velocidades diferentes, ou seja, o material apresenta

índices de refração diferentes para os dois raios.

Existem muitos materiais transparentes, não cristalinos, que

ordinariamente são oticamente isotrópicos, mas se convertem em

anisotrópicos e apresentam características similares aos cristais quando se

cria neles um estado de tensões, propagando a luz a velocidades distintas

nas direções principais de seu estado de tensões, de forma que se cumpre o

que se conhece como lei de Brewster:

)( 1212 Knn

sendo 1n e 2n os índices de refração nas direções associadas às

tensões principais 1 e

2 respectivamente, e K uma propriedade do material

conhecida como coeficiente ótico de tensões. Este fenômeno recebe o nome

de dupla refração temporária ou birrefringência acidental.

13

2.3 Estado de tensões

Por outro lado, nos casos de estados elásticos bidimensionais, onde

atuam forças de volume constantes ou nulas, podem-se combinar as

equações de equilíbrio interno, as de compatibilidade das componentes da

matriz de deformações e a lei de Hooke para se obter a equação:

02

2

2

2

2

yxyx

yx

A ausência de propriedades do material nesta expressão indica que a

solução de tensões é independente do mesmo.

Esta circunstância e a propriedade anteriormente descrita, a

birrefringência acidental, que certos materiais transparentes apresentam

quando submetidos à tensão na passagem de luz polarizada, são os

fundamentos da ciência conhecida pelo nome de fotoelasticidade.

Para a análise das tensões em um sólido real, o método fotoelástico

bidimensional utiliza um modelo transparente de faces planas paralelas entre

si que reproduz o sólido em tamanho real ou em escala. A partir deste

modelo, se obtêm informações suficientes para a determinação das direções

principais, assim como o valor da diferença entre as tensões principais.

A parte experimental do método fotoelástico faz uso de um banco

fotoelástico que consta de um instrumento para a produção e detecção de luz

polarizada chamado polariscópio (no nosso caso, polariscópio plano) e um

equipamento aplicador de carga para proporcionar as tensões ao modelo.

Também podemos chamar o modelo em questão de corpo de prova.

14

2.4 O Polariscópio

O polariscópio é um instrumento que produz e analisa luz polarizada.

Em sua composição mais simples, ele é composto por duas lentes, dois filtros

polarizadores (um polarizador e um analisador) e uma fonte de luz. Esse tipo

de polariscópio mais simples é chamado de Polariscópio Plano, ou Linear, de

Transmissão.

Figura 4. Polariscópio Linear de Transmissão.

O Polariscópio Circular de Transmissão tem os mesmos elementos

que um Polariscópio Plano, só que são adicionadas duas lâminas de quarto

de onda que, basicamente, consistem em um filtro do qual a luz sai polarizada

em dois eixos perpendiculares com uma defasagem de um quarto do

comprimento de onda.

Figura 5. Polariscópio Circular de Transmissão.

15

Nesse trabalho, construiu-se e utilizou-se um Polariscópio Plano de

Transmissão, que é o mais simples e o mais barato. Mesmo com toda sua

simplicidade, o Polariscópio Plano proporciona uma ótima visualização do

estado de tensões bidimensional e pode oferecer resultados quantitativos

razoáveis. Além disso, é o de mais fácil utilização.

2.5 Relações Fundamentais

Dada uma lâmina de espessura e de material birrefringente,

submetida a um estado tensional bidimensional de tensões principais

21, )( 21

03

e colocada em um polariscópio plano que utiliza um feixe de luz

monocromática, a condição para que não saia luz do analisador, ou seja, para

que se produza uma linha escura, a expressão abaixo tem que ser satisfeita:

e

fn

Ken

21

onde:

f : fator de franja. Característica do material para cada comprimento de onda

incidente.

n : ordem de franja. Número inteiro positivo para o caso de luz

monocromática.

16

Esta expressão é denominada fórmula fundamental da

fotoelasticidade. Essa fórmula indica que as zonas escuras da peça carregada

correspondem aos pontos nos quais a expressão:

f

e )( 21

toma um valor de um número inteiro e as claras, de maior intensidade

luminosa, correspondem aos pontos da peça em que o valor da expressão

acima é um número semi-inteiro.

Se ao invés de se utilizar luz monocromática for utilizada luz branca,

as franjas que se obtêm na saída do analizador são coloridas, cada uma com

uma determinada cor. É por essa razão que a essas linhas, lugares

geométricos dos pontos da peça onde a diferença de tensões principais toma

um valor constante, se da o nome de linhas isocromáticas.

Nesse trabalho, a fonte de luz é aquela de um retroprojetor comum,

que é policromática.

17

3 CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

3.1 Introdução

Quando em um sólido existem zonas onde há mudanças bruscas

de geometria com redução da seção resistente do mesmo, se produz nessas

zonas um aumento de tensão superior àquela explicável normalmente pelo

fato da carga externa ter que ser distribuída em uma seção menor. Esse

aumento inesperado das tensões, fenômeno que se conhece como

concentração de tensões, pode ser explicado em virtude do Princípio de Saint

Venant. Segundo esse princípio, o efeito das irregularidades geométricas só

se apresenta nas suas proximidades, razão pela qual as tensões longe delas

tendem a conservar o mesmo valor que teriam em uma peça regular.

Conseqüentemente, para que a resultante das tensões se mantenha igual à

carga externa é necessário que nas proximidades de uma irregularidade as

tensões aumentem mais do que o esperado, para compensar o menor

aumento (quase nenhum) que se produz nas zonas afastadas dela.

As concentrações inesperadas de tensões são a causa do colapso de

muitas estruturas e elementos de máquinas. Isso por que a tensão pode ir

além do limite de escoamento do material em uma zona de concentração não

prevista ou que poderia ser evitada durante o projeto. Por isso, a

determinação das regiões de concentração de tensões é muito importante

durante o projeto e modelos devem ser analisados para se ter uma boa noção

da distribuição de tensões na estrutura ou elemento de máquina.

Para a visualização das tensões em um modelo, o Polariscópio Plano

é uma ótima ferramenta e já pode indicar mudanças imediatas em um projeto

se este apresentar, por exemplo, regiões de concentração de tensões que

não foram inicialmente previstas pelo projetista.

18

Figura 6. Visualização das tensões em um gancho utilizando a técnica fotoelástica.

3.2 Concentradores de Tensão – Carregamento Axial

Em uma barra de seção constante solicitada por um esforço axial de

tração, se produz em todos os seus pontos um estado tensional uniforme

definido por uma tensão normal na direção da barra, de valor:

A

Nx (I)

onde A é a área da seção transversal da barra e N é o esforço axial.

Figura 7. Carregamento Axial.

Entretanto, se a seção resistente varia de forma brusca, o que ocorre

nas barras onde há mudança apreciável na seção transversal em um intervalo

pequeno de seu comprimento, ou nas proximidades de entalhes e furos, a

distribuição de tensões deixa de ser uniforme salvo nas zonas suficientemente

19

afastadas da irregularidade (as tensões uniformes são, às vezes, chamadas

de tensões de campo afastado ,x ).

Na Figura 6 pode-se observar a configuração de tensões em três

barras com diferentes geometrias. Uma com dois entalhes no centro, outra

com um furo central e a terceira com uma redução brusca de seção

transversal.

Figura 8. Distribuição de tensões nas proximidades de irregularidades geométricas.

A relação entre a tensão máxima local que se da junto à

descontinuidade e o valor médio da tensão em pontos afastados da mesma é

expressa em função do fator de concentração de tensões e é definida da

seguinte forma:

20

,xmáx k (II)

ou:

unifmáx k (III)

onde:

k : fator de concentração de tensões. 1k . Pode ser obtido aplicando-se a

teoria da elasticidade ou experimentalmente. Para os exemplos da Figura 6,

depende dos parâmetros a e b .

,x : tensão de campo afastado. Corresponde àqueles pontos suficientemente

afastados da descontinuidade.

unif : tensão média que corresponderia a uma distribuição uniforme de

tensões na seção líquida onde está a descontinuidade.

Quando o tamanho da região onde se existe a descontinuidade é

pequeno em relação às dimensões globais do sólido, as expressões (II) e (III)

conduzem a valores de k praticamente idênticos. Mas quando ambas

dimensões são comparáveis, como acontece em muitos casos na prática, a

expressão (III) é mais recomendada.

21

4 CONSTRUÇÃO DO POLARISCÓPIO

4.1 Introdução

Nessa parte do nosso trabalho, iremos descrever a construção de um

sistema ótico de baixo custo denominado Polariscópio Plano de Transmissão.

Este tipo de equipamento é utilizado para análise de tensões em modelos

fotoelásticos. Um sistema de carregamento foi adaptado ao Polariscópio de

Transmissão para aplicar carregamento compressivo, sendo aqui sugerido

uma forma de adaptação para aplicação de carregamento trativo.

Sendo este aparelho construído com caráter qualitativo, deixamos aqui

em aberto algumas sugestões para obtenção de resultados de forma a se

comparar com resultados encontrados na literatura, tornando-se esta análise

claramente quantitativa.

O principal objetivo é a construção de um equipamento simples e de

baixo custo, daí a escolha do Polariscópio Plano, pois com este poderíamos

obter luz Polarizada utilizando uma lente com filtro Polarizador, e mais uma

lente, denominada Analisador.

Figura 9. Filtros Polarizadores.

22

4.2 Descrição do equipamento

O ponto de partida para a elaboração do nosso Polariscópio de

Transmissão foi a obtenção dos elementos óticos, que após grande procura,

foram compradas na única casa especializada em equipamentos fotográficos

de Vitória que vendia as lentes com filtro polarizador (Zé Color).

Optamos pelo par de lentes com o maior diâmetro disponível, de forma

a não deixar a concepção do equipamento limitada já por isto.

Com o par de lentes com filtro polarizador de ø 82mm em mãos,

partimos para a elaboração do corpo principal do equipamento.

Figura 10. Filtros polarizadores de diâmetro 82 mm.

Desejávamos ter um equipamento leve, de fácil construção, e que não

sofresse ação da oxidação com o tempo. Pensando nisso, optamos pela

utilização de Alumínio, e fizemos diversos esboços com o auxílio do programa

Solid Edge, até chegar em um corpo principal feito pela usinagem de uma

única peça, evitando assim complicações com soldagem, encaixes, fixação

com parafusos, etc.

23

As figuras a seguir mostram as etapas de sua fabricação:

Figura 11. Corte de uma fatia de 20mm de espessura

de um tarugo de ø 150mm de Alumínio.

Figura 12. Com o Torno, foi rebaixado 4mm no centro da

peça com ø 82mm para encaixe das lentes.

Figura 13. Com a Fresa, foi aberto um vão com secção retangular de

50mm x 100mm onde estará o Corpo de Prova.

24

Figura 14. Geração de roscas para adaptação do sistema de carregamento.

Figura 15. Peça construída denominada Corpo Principal.

Para o carregamento compressivo, utilizamos um par de parafusos de

Alumínio, tendo uma borboleta em uma de suas extremidades de forma a

possibilitar o giro e, portanto a compressão do corpo de prova.

Figura 16. Parafusos de fixação e aplicação de carga.

25

Adaptamos uma pequena peça também de Alumínio entre o contato

do parafuso e o corpo de prova analisado para que a carga não fosse pontual

e não danificasse o material de Acrílico e para que a tensão fosse mais

parecida com uma tensão distribuída.

Figura 17. Adaptadores para aplicação de carga concentrada e distribuída.

Construímos alguns corpos de prova de acrílico para serem ensaiados

no Polariscópio. Esses corpos de prova possuem descontinuidades de

material em diferentes locais.

A fonte de luz é obtida através de lâmpada (policromática) existente

em retroprojetor comum, a qual apresenta espectro discreto, tendendo a

freqüências na região do ultravioleta. Outras lâmpadas poderiam ser

utilizadas, como por exemplo, lâmpada de filamento. Neste caso, o espectro

será contínuo, correspondendo a um espectro de corpo negro, apresentando

forte tendência ao infravermelho. Também poderiam ser utilizadas fontes

monocromáticas a partir da utilização de filtros ou de lâmpadas próprias,

como a de sódio, que apresenta o comprimento de onda no amarelo sódio,

em torno de 575 Angstrons.

26

4.3 Princípio do funcionamento do nosso equipamento

Trabalharemos apenas no regime elástico, assim a estrutura do

material retornará à sua situação inicial quando cessarmos o esforço aplicado.

Ou seja, o material retornará a apresentar característica isotrópica; esta

propriedade é conhecida como dupla refração temporária, sendo os materiais

que apresentam esta característica, denominados fotoelásticos.

Uma análise de tensão que emprega o método fotoelástico necessita,

além do Polariscópio de Transmissão, de um modelo fotoelástico usinado na

mesma forma do componente ao qual se pretende realizar a análise.

A função do Polariscópio é somente polarizar a luz que incide sobre o

modelo fotoelástico e analisar a luz transmitida através deste modelo. Ao

incidir luz polarizada sobre um modelo fotoelástico tensionado, haverá a

projeção do campo elétrico, segundo os eixos que correspondem às tensões

principais para um dado ponto. O resultado esperado será uma imagem

constituída de franjas e possivelmente de pontos. Tanto estas franjas como

estes pontos têm origem na interação da luz polarizada com o qual o material

birrefringente foi modelado. Como a luz utilizada será policromática

(retroprojetor), acreditamos que será possível visualizar franjas coloridas e

escuras mapeando o modelo. Caso desejássemos realizar esta análise com

luz monocromática, poderíamos utilizar uma lâmpada de sódio no

retroprojetor, o que faria com que as franjas fossem escuras intercaladas com

franjas claras.

A intensidade da luz que emerge do Analisador é proporcional ao

quadrado da amplitude do vetor campo elétrico que passa pelo Analisador.

27

Neste nosso Polariscópio com polarizadores planos, a intensidade da

luz será dada por:

2)2( 22 senKsenI

Desta forma, a extinção ocorrerá quando:

a) 0)2(2 sen ;

onde n2 , com ,...3,2,1,0n

Este caso indica que o eixo de polarização coincide com uma das

direções principais. Logo, no momento em que o modelo está

sendo analisado, as franjas escuras corresponderão a extinção

sendo denominadas de isóclinas.

As isóclinas são regiões onde as direções das tensões principais

são constantes. A cada isóclina está associado um parâmetro que

corresponde ao ângulo que uma das direções principais faz com o

eixo do “x”.

b) 02

2

sen ;

onde n

2, com ,...3,2,1,0n

com

)(2

21

hc

n

28

Sendo assim, a extinção dependerá da diferença entre as tensões

principais e, também, do comprimento de onda da luz. As franjas

visualizadas nesse caso serão denominadas de isocromáticas.

As isocromáticas são o resultado da interação da luz polarizada

policromática com a dupla refração temporária presente nos

modelos. Esta dupla refração temporária determina a extinção de

freqüências do espectro visível, tal que cores complementares

podem ser observadas.

Estas franjas são função da diferença entre as tensões principais,

como mostra a equação básica da fotoelasticidade, apresentada na

equação:

e

fn

Ken

21

e podem ser interpretadas como as regiões onde, para cada franja,

a diferença entre as tensões principais e a tensão máxima

cisalhante é constante.

A primeira cor a ser extinta frente a qualquer variação nas tensões

principais é o violeta. Neste caso, uma franja amarela que

corresponde a cor complementar é esperada ser visível no modelo.

Isto é o mesmo de dizer que, só aparecerá escura a região em que as

tensões principais se anularem. As outras regiões aparecerão como franjas

coloridas. Nos valores em que esta diferença de tensão fazem com que a

ordem de franja n seja um número inteiro, a cor da franja assume um tom

29

violeta. Para os outros valores não-inteiros de n , o que observamos são

franjas com outras cores.

A tabela abaixo mostra a variação destas cores para diversos valores

da ordem de franja n .

Ordem de franja (n) Cor

0 Preto

0,28 Cinza

0,45 Branco

0,6 Amarelo pálido

0,8 Laranja

0,9 Vermelho

1 Púrpura

1,08 Azul

1,22 azul/verde

1,39 verde/amarelo

1,63 Laranja

1,82 rosa/vermelho

2 Purpura

Tabela 1. Relação da ordem de franja com algumas cores

Com a Tabela1 podemos obter uma aproximação para valores do fator

de concentração de tensões nos corpos de prova. Esses valores não são

precisos pois nossa capacidade de medir a ordem de franja está restrita a

tabela, que não fornece a ordem de franja para um espectro interio. Se

mudarmos um pouco a tonalidade da cor, a ordem de franja muda.

Para o cálculo de tk (fator de concentração de tensões) utilizamos a

seguinte expressão, onde 1n é a ordem de franja correspondente ao ponto de

máxima tensão e 2n é a ordem na região longe do efeito do concentrador.

2

1

n

nkt

30

5 ENSAIOS REALIZADOS

Após o projeto e construção do polariscópio, verificou-se,

primeiramente, se os corpos de prova possuiam tensões residuais devido a

processos de fabricação. Isso foi feito ensaiando-se os mesmos sem

aplicação de tensão no polariscópio. Observamos uma imagem clara na

projeção, sem as franjas que caracterizariam uma distribuição qualquer de

tensões no corpo de prova. Isso mostrou que os corpos a serem ensaiados

são de boa qualidade.

Observou-se, depois de ensaios com aplicação de carga externa, que

não era fácil a determinação da ordem das franjas, o que torna impossível a

quantificação precisa do fator de concentração de tensões tk com os recursos

disponíveis.

A seguir, pode-se notar na Figura 18 a dificuldade em se obter a

ordem de franja. No corpo de prova ensaiado não aparecem franjas coloridas

nítidas o bastante que permitam a obtenção da ordem das franjas perto do

concentrador (furo).

Figura 18. Corpo de prova com furo central submetido à leve compressão.

31

Isso talvez possa ser explicado pela incapacidade de aplicação de

cargas externas suficientes para criar um campo de tensões mais bem

definido do que o mostrado pela figura, onde se poderia determinar, ainda

sem muita precisão, as ordens de franjas que seriam utilizadas no cálculo do

fator de concentração de tensões.

Na Figura 19 pode-se ver franjas mais bem definidas, oq ue permite

fazer uma aproximação, mesmo que grosseira, do fator de concentração de

tensões.

Figura 19. Corpo de prova com entalhe retangular submetido a compressão.

Se utilizarmos a Tabela 1, podemos aproximar a ordem de franja

próxima do concentrador do entalhe, 1n , como sendo a correspondente da cor

púrpura e a ordem de franja longe do efeito do concentrador, 2n ,

correspondente à amarelo pálido. Isso nos fornece uma valor para tk .

7,16,0

1

2

1 n

nkt

32

Porém, esse valor pode não representa uma boa aproximação, pois se

observarmos novamente a tabela e considerarmos, por exemplo, ordens de

franjas correspondentes à púrpura e branca para as regiões do concentrador

e longe do efeito do concentrador respectivamente, iremos obter um valor de

tk muito diferente do que foi obtido.

2,245,0

1

2

1 n

nkt

33

6 FOTOELASTICIDADE X ELEMENTOS FINITOS

A fotoelasticidade já foi muito utilizada na obtenção de valores

numéricos do fator de concentração de tensões e da diferença de tensões

principais em duas e até três dimensões.

Hoje, este método não é muito utilizado para a obtenção de dados

quantitativos, pois com o advento da computação e dos métodos numéricos,

como o Método dos Elementos Finitos, surgiu uma maneira mais rápida e

mais barata de se obter esses valores.

Como muitos podem pensar, o Método dos Elementos Finitos não

surgiu de uma idéia nova e nem está vinculado a uma pessoa ou a um grupo

de pessoas da mesma época. Há mais de dois mil anos, filósofos gregos já

haviam elaborado teorias nas quais supunham que todas as coisas eram

formadas por inúmeras partículas.

Eudóxio, criador do método da exaustão, que consiste em inscrever e

circunscrever figuras retilíneas em figuras curvilíneas, já pensava, dessa

forma, em discretizar a figura contínua para facilitar certos cálculos. Esse

método permitiu que fossem calculados áreas de figuras curvas e volumes de

sólidos como esferas e cones. Ele é equivalente à passagem ao limite do

cálculo diferencial e integral.

Métodos como o de Eudóxio, que originaram a análise matricial,

embora considerem o corpo contínuo discretizado por elementos com

propriedades de rigidez e elasticidades conhecidas, não apresentam o

aspecto conceitual do Método dos Elementos Finitos. Este consiste não

apenas em uma associação de elementos discretos com as equações de

compatibilidade e equilíbrio entre eles, mas admite funções contínuas que

34

representam, por exemplo, o campo de deslocamentos no domínio de um

elemento. A partir daí, pode-se obter o estado de deformações

correspondente que quando associado às relações constitutivas do material,

permite definir o estado de tensões em todo o elemento.

Atualmente, existem centenas de programas computacionais

comerciais de uso corrente em diversas áreas do conhecimento que utilizam

esse método para análises lineares e não-lineares.

O Método dos Elementos Finitos está hoje completamente agregado

às atividades do engenheiro, de modo que seu aprendizado é essencial para

que se possa lidar com lucidez com os programas comerciais disponíveis nos

escritórios de projeto.

Todavia, a fotoelasticidade não deixa de ser importante, não só devido

ao forte apelo didático que tem, mas também na indústria. Por exemplo, a

fotoelasticidade é muito utilizada no controle de qualidade de vidros ou

qualquer outro componente composto de material fotoelástico. Esse controle

de qualidade é feito de maneira simples, apenas ensaiando amostras sem

esforços externos e verificando se há tensões residuais devido aos processos

de fabricação.

35

7 CONCLUSÃO

No início desse projeto foi criada uma expectativa muito grande em

torno da capacidade que o método fotoelástico tem de fornecer dados

numéricos para cálculo de parâmetros importantes, como o fator de

concentração de tensões ou a diferença entre as tensões principais. Porém,

quando finalmente o polariscópio ficou pronto, pode-se perceber que a

obtenção de dados quantitativos, com os recursos disponíveis, é difícil e

pouco precisa. Provavelmente, a dificuldade na obtenção dos valores

numéricos reside na pouca experiência que nós tivemos com a teoria da

fotoelasticidade propriamente dita, pois nos ocupamos bastante com a

construção do aparelho.

Durante a realização dos ensaios, constatamos que novas peças de

acrílico poderiam ser construídas, reduzindo-se sua espessura e tomando

cuidado com a flambagem na compressão, aproveitando melhor a carga

compressiva fornecida pelos parafusos.

Com esta simples alteração acreditamos que, baseados nos

resultados alcançados até aqui, seria possível observarmos a formação de

mais franjas coloridas, o que facilitaria a utilização desse equipamento para

uma análise quantitativa. Sabemos que essa análise é possível e pode ter um

bom grau de precisão, apesar de ser mais trabalhosa que uma análise

numérica.

Uma sugestão para alunos que se interessarem por esse trabalho e

quiserem se utilizar do polariscópio, é a comparação de resultados (mesmo

qualitativos) com resultados obtidos de algum programa comercial que utilize

o método dos elementos finitos. Para isso, seria necessário apenas a

adaptação de algum dispositivo que possibilite a medição da carga aplicada

36

no corpo de prova. Assim, com a geometria da peça e a carga aplicada como

dados de entrada, quase todos os programas disponíveis no mercado podem

fornecer a distribuição de tensões no sólido bem como os valores numéricos

correspondentes.

Outra sugestão, é o aprimoramento dos métodos experimentais

utilizados nesse trabalho, que foram bastante rudimentares, para a obtenção,

via fotoelasticidade, de parâmetros importantes, como o fator de concentração

de tensões.

Apesar das dificuldades encontradas, o trabalho foi bem positivo, pois

além de ter produzido um equipamento de análise fotoelástica de custo muito

baixo, poderá encorajar os estudantes a se aventurarem no meio

experimental e validarem os experimentos através de resultados obtidos por

modelos confiáveis.

37

8 ADAPTAÇÂO PARA APLICAÇÃO DE TRAÇÃO

8.1 Introdução

Embora tenhamos construído um equipamento com um sistema de

aplicação de carga somente compressiva, nada impede que nele venha a ser

adaptado algum acessório para trabalhar também realizando ensaios com

carga trativa.

Assim, criamos este capítulo para sugerir elementos para a realização

destes ensaios, com sugestão de formatos de corpos de prova e adaptador

para fixá-los ao parafuso.

8.2 Acessório de fixação do Corpo de Prova ao sistema de tração

Será necessária a fabricação de um par do componente abaixo:

Figura 20. Componente para dispositivo de carga trativa

Para sua fixação no parafuso já existente, é necessário um anel para

travar o eixo.

Figura 21. Anel para travamento do parafuso.

38

O parafuso deverá ser usinado, retirando-se 9mm do início de sua

rosca:

Figura 22. Parafuso para dispositivo de carga trativa.

A figura abaixo mostra como esses três elementos se uniriam:

Figura 23. Montagem do dispositivo para carga de tração.

39

8.3 Corpos de Prova de apropriados para o ensaio trativo

Estes corpos de prova devem ser fabricados de acrílico, o mesmo

material dos corpos de prova para o ensaio de compressão, mudando suas

dimensões e disposição das descontinuidades. São propostas quatro

geometrias:

Figura 24. Corpo de prova para tração 1.


40



41

O método de encaixe no sistema de aplicação de carga é o mesmo

para qualquer um dos quatro corpos de prova:

Figura 28. Encaixe do corpo de prova no sistema de tração.

42

9 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

➢ Dally, J. W.; Riley, W. F. “Experimental Stress Analysis”. McGraw-Hill ➢ BEER, F. P. “Resistência dos Materiais”. Makron Books. São Paulo,

1995.

➢ HALLIDAY, D. e RESNICK, R. Física. Volume 4. Livros técnicos e

científicos editora. São Paulo, 1984.

43

10 ANEXOS

10.1 Desenhos Técnicos

10.1.1 Corpo principal de alumínio

10.1.2 Corpo de prova de acrílico – modelo 1







10.1.9 Sistema de para carga trativa

10.1.10 Corpo de prova de acrílico – Tração – 1




10.2 Distribuição de tensões em vários corpos de prova ensaiados no

polariscópio

10.3 Tabela de Custos do Projeto

44

ANEXO 10.1 DESENHOS TÉCNICOS

anÁlise fotoelÁstica: construÇÃo e...

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