Análisis de una muñeca esférica para el corte artístico con disco de piedra natural

J.M. Rodes, R.Morales, J.M. Sabater, A.M López-Buendía *, N. Garcia-Aracil, R. Saltaren** Virtual Reality and Robotics Lab. Dpto. Ingeniería de Sistemas Industriales,

Universidad Miguel Hernández, j.sabater@umh.es * Unidad Técnica del Mármol AIDICO, Camí de Castella, 4, 03660-Alicante

** GRMI-DISAM. Universidad Politécnica de Madrid

Resumen Este artículo presenta el concepto y análisis de un nuevo sistema robotizado versátil que permite el corte con disco, mecanizado y pulido de bloques de piedra natural siguiendo trayectorias predefinidas. El mecanizado de bloques mediante disco con fines ornamentales se realiza actualmente artesanal no industrializado. El sistema presentado se basa en una arquitectura robótica paralela, otorgando una simplicidad mecánica y versatilidad que actualmente no se encuentra en otros sistemas de corte o mecanizado de piedra. El artículo presenta las herramientas matemáticas para el análisis cinemático del dispositivo diseñado. Palabras Clave: Piedra natural, diseño de robots, robots paralelos, análisis cinemático. 1 MECANIZADO ARTÍSTICO DE

ROCA ORNAMENTAL Para el corte de piedra ornamental se usan discos diamantados. Se fabrican discos diamantados para el corte de cualquier material en instalaciones fijas y móviles, ya que tienen unas propiedades idóneas para el mismo. Se puede distinguir entre el corte recto para la realización de losas y tableros, y el corte siguiendo trayectorias para la obtención de toda clase de ornamentos [1], [8]. Un primer paso para la obtención de un sistema automático que permita realizar el corte con disco siguiendo trayectorias no rectilíneas, es saber qué fuerzas debe ejercer el cabezal del disco para poder realizar el corte. Para conseguir esta información se automatizó un sistema cortador de puente monobloque Auro 3000-4 (figura 1), fabricado por Audi, el cual se encuentra ubicado en los laboratorios de la Unidad Técnica del Mármol de AIDICO. Cada eje cartesiano del sistema está accionado por un motor controlado mediante variadores de frecuencia Altivar 28. Este modelo de variador proporciona lectura automática de las intensidades eléctricas. De

las características de los motores, (V=230; fp=0.8), y trabajando con un disco de corte de ø = 450 mm a 1900 r.p.m. se obtienen las relaciones (1) a (4). Potencia disponible:

Pd=230 ⋅ I Kw (1)

Potencia Útil:

Pot=Pd ⋅ fp= Kw (2)

Par motor= otPw

Nw/m (3)

Para el caso de la fuerza de corte:

F=Par motor ⋅ radio del disco=Nw (4)

Los datos tomados con este sistema automatizado permiten dimensionar los requerimientos dinámicos del robot diseñado. 1.1 OBTENCION DE DATOS

EXPERIMENTALES DE CORTE Para la obtención de los parámetros de corte se utilizó un robot cartesiano modelo Audi Auro 3000-4, y se modificó el sistema de control del robot con el fin de ser capaz de obtener de forma automática datos relativos al corte recto durante la obtención de losas de diferentes materiales. Algunos de los resultados obtenidos se muestran en las figuras 2 y 3.

Figura 1: robot cartesiano para la obtención de datos experimentales

La gráfica de la figura 2 muestra la intensidad de corriente que se produce durante un corte de losas de mármol de material “crema marfil” de un espesor de 1.9 cm. Se observa que para una velocidad longitudinal baja, la intensidad es baja, ya que simplemente el desplazamiento sin corte requiere de un intensidad de 8 A en el motor del cabezal de corte. Para la velocidad máxima de dicho cabezal, la intensidad requerida es 13.8 A. La referencia de frecuencia y la frecuencia de salida aplicada al motor es de 32.2 Hz.

Crema marfil 1.9 cm grosor

02468

10121416

0 1 2 2.5 3 3.5 4 5

Vel. Longitudinal

Inte

nsid

ad d

el m

otor

en

A

Intensidad en A

Figura 2: intensidades del motor de corte para

diferentes velocidades de avance A continuación vamos a ver como se relacionan las r.p.m. del cabezal con la velocidad de avance (m/s) y con el diámetro del disco. Como se puede observar en la figura 3, a menor diámetro de disco se necesitan más revoluciones para mantener la velocidad y con el aumento del diámetro las revoluciones siguen una función descendente igualándose para distintas velocidades.

velocidad de rotación en (r.p.m.) en función de la velocidad del periférico (m/s) y diámetro del disco

05000

100001500020000

2500030000

50 100

150

200

300

400

500

600

800

1000

1200

1500

2000

diámetro del disco

r.p.

m.

1015202530354045505565

Figura 3: velocidades de rotación en función de la velocidad de corte

Con la realización de los experimentos, poniendo a prueba el cortador monobloque, se han obtenido los requerimientos dinámicos del robot paralelo de corte y fresado de piedra ornamental.

2 P-CUT. ROBOT PARALELO DE 4 GDL

2.1 SELECCIÓN DE LA ARQUITECTURA

MECÁNICA Una vez obtenidos los datos necesarios para conocer los requisitos dinámicos, el siguiente paso es el diseño y elección de la arquitectura del manipulador. Se propone un manipulador de 4 grados de libertad (g.d.l.), consistentes en una traslación sobre el eje z, y los otros tres g.d.l., las rotaciones en Ф, θ, Ψ, ya que con estos movimientos el manipulador alcanza la libertad necesaria, sin movimientos redundantes, para la manufactura de piedra ornamental. Para conseguir los dos g.d.l. trasnacionales en X e Y, se propone añadir una mesa cartesiana x-y, de forma que se dispongan de 6 g.d.l. relativos entre el disco de corte y la superficie de la piedra a cortar (figuras 12 y 13). Se realizó un estudio de las distintas posibles arquitecturas de robots paralelos de 4 g.d.l. Las dos arquitecturas candidatas fueron H4 del LIRMM [2] y VAP [3], [4]. La figura 4 muestra los esquemas cinemáticos de estas arquitecturas.

Figura 4: arquitecturas H4 y VAP

H4

• No tiene cadenas cinemáticas pasivas • proporciona altas prestaciones en términos

de velocidad y aceleración. VAP

• Más Robustez frente al H4 • Su arquitectura fue diseñada para ser un

vehículo. Tras varias simulaciones, la robustez del esquema VAP se adapta mejor a los requerimientos del problema planteado. La figura 5 muestra el esquema cinemático seleccionado. Se trata de un mecanismo de 4 grados de libertad (g.d.l.), 3 de ellos rotacionales y la traslación sobre un eje paralelo a los ejes de los actuadores. El dispositivo está constituido por:

- una plataforma móvil, - un pivote central P, - una base fija, - 4 actuadores lineales, - 4 barras de configuración US,

- 1 articulación central lineal y pasiva.

Figura 5: esquema cinemático seleccionado. La

articulación prismática central es pasiva. 2.2 ANÁLISIS DEL ESPACIO DE TRABAJO La cinemática inversa (ecuación (5)) del dispositivo seleccionado puede resolverse y programarse fácilmente en Matlab siguiendo los pasos siguientes (ver figura 6):

- obtención de las coordenadas de los puntos Ai

- obtención de las coordenadas de los puntos Bi como

ii BP

OB rRhr += - resolución de cada cadena cinemática por el

teorema del coseno.

Figura 6: cinemática inversa

iiiiii CBPBOPOACA +++= (5) Para la realización de un estudio cuantitativo y cualitativo del espacio de trabajo se ha procedido a discretizar el grado de libertad trasnacional y a analizar en cada posición zi el mecanismo como un dispositivo puramente esférico según la metodología mostrada en este apartado [5]. El espacio de trabajo de un mecanismo esférico se define como todas las posibles orientaciones de la articulación esférica equivalente. El término “posibles” indica que las restricciones impuestas por los actuadores y las restricciones geométricas deben ser verificadas.

Sea p una posible orientación representada utilizando los quaternios de Hamilton:

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=2sin2cos

3

2

1

0

θθ

ueeee

p (6)

Donde, de acuerdo al teorema de Euler, u es el vector unitario que representa el eje de rotación y θ es el ángulo rotado alrededor de dicho eje.

Figura 7: análisis del espacio de trabajo de un

mecanismo esférico De la definición de u, se puede observar que los posibles vectores unitarios del eje de rotación forman una esfera (U) de radio unidad en ℜ3. Sin embargo, una rotación de un ángulo θ alrededor de u es lo mismo, o produce el mismo efecto que una rotación de un ángulo -θ alrededor de –u, por tanto, si se consideran todas las posibles rotaciones de un giro completo (de -π a π), sólo se debe analizar una porción de la esfera, por ejemplo la semiesfera superior (Uup). Si analizamos ahora el efecto de esta consideración sobre el quaternio p se verifica que el término cos(θ/2) tiene siempre un valor positivo entre -π y π, mientras que el término sin(θ/2) puede tener valores positivos o negativos dependiendo del ángulo considerado. Ahora, si analizamos la proyección en ℜ3 de todos los posibles quaternios, es decir el producto usin(θ/2) se verifica que si u es un vector unitario de la parte superior de la esfera (Uup), es decir u=[ux,uy,uz]T con uz ≥ 0 y -π < θ ≤ π el producto x=usin(θ/2) contiene todos los puntos que están dentro y sobre una esfera (X) en ℜ3.(figura 7) Una de las ventajas de utilizar la representación de una esfera para las rotaciones es que el espacio de las posibles rotaciones se representa como un objeto sólido, donde cada eje de rotación tiene dos rotaciones críticas, el mínimo y el máximo admisible, y los valores externos a este intervalo son rotaciones imposibles. Se ha programado en matlab el diseño paramétrico de la arquitectura elegida. Se ha realizado un análisis de sensibilidad de los dimensiones de los eslabones para ver el campo de trabajo del dispositivo seleccionado. Los parámetros utilizados fueron: diámetro superior, diámetro inferior, longitud de eslabón CB y la altura z, todas las medidas en mm. La figura 8 muestra el aspecto del sistema paramétrico desarrollado. La gráfica de la izquierda muestra el esquema cinemático del dispositivo,

mientras que la gráfica de la derecha muestra el espacio de trabajo en orientación para una altura z especificada.

Figura 8: Diseño paramétrico de la muñeca de

orientación En la figura 9 se muestra el espacio de trabajo con más detalle. Como se puede ver es casi una esfera perfecta, concluyendo que los parámetros seleccionados para el prototipo son adecuados desde el punto de vista cinemático.

Figura 9: espacio de trabajo del dispositivo esférico

para z=450 mm. 2.3 ANÁLISIS DE SINGULARIDADES Posteriormente se realiza un análisis de las singularidades internas que puedan ocurrir. Para ello, se ha recurrido a la teoría de screws [5], [6] para obtener una expresión del jacobiano que permita graficar las superficies singulares que intersectan con el sólido obtenido. Sea q el vector de variables independientes y x el vector de localización de la plataforma móvil del mecanismo. La ecuación cinemática puede expresarse como f(x,q)=0. Diferenciando con respecto del tiempo se obtiene una relación entre las velocidades de las articulaciones y la velocidad de la plataforma móvil.

qJxJ qx && = (7)

Donde x

fJ x ∂∂= y

qfJ q ∂∂−= .

La figura x muestra los screws unitarios que definen una de las cadena cinemáticas del mecanismo. Se ha tomado como sistema de referencia un sistema instantáneo centrado en P y cuyos ejes son paralelos a x,y,z del sistema inercial O. Definiendo estos screws unitarios según las ecuaciones (8) y aplicando el teorema de los screws reciprocos se obtienen las expresiones (12).

Figura 10: cadena cinemática PRRS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ii u ,1,1

0$̂ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ii

ii uc

u

,2

,2,2 ~$̂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ii

ii uc

u

,3

,3,3 ~$̂

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

0~$̂ ,4

,4

,4,4

i

ii

ii

uub

u (8)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ii

ii ub

u

,5

,5,5 ~$̂ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ii

ii ub

u

,6

,6,6 ~$̂

Donde (~) es el operador skew aplicado al correspondiente vector. El screw resultante para la plataforma móvil es:

iiiiii

iiiiii

ef

efef

dvw

,6,6,5,5,4,4

,3,3,2,2,1,1

$̂$̂$̂$̂$̂$̂

$θθθ

θθ&&&

&&&

++++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= (9)

Los ejes de todas las articulaciones no activas intersectan con la línea iCB Para obtener un screw recíproco se elige aquel screw de forma que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

ii

iirec ub

u

,5

,5, ~$̂ (10)

De forma que aplicando el producto ortogonal entre los screws $ef y $rec,i, ( ) ii

Tefi

Tefirec

Tefirecef ubwuv ,5,5,,

~$̂$̂$̂$̂ +=∆=o (11)

( ) ( )iT

iiirecii uudd ,5,1,,1 $̂$̂ &o& = y extendiéndolo a las cadenas cinemáticas existentes, se obtiene tras algunos cálculos las expresiones que permite obtener los términos de la ecuación (7)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

T

T

T

T

T

T

T

T

x

ubububub

uuuu

J

4,54

3,53

2,52

1,51

4,5

3,5

2,5

1,5

~~~~

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4,54,1

3,53,1

2,52,1

1,51,1

uuuuuuuu

J

T

T

T

T

q (12)

Como es conocido, cuando se anula el determinando de la matriz jacobiana tenemos una singularidad, que en el caso de robots paralelos puede significar la aparición de grados de libertad adicionales o el bloqueo del mecanismo. Las expresiones (12) permiten conocer las situaciones en las que estas matrices pierden rango. Si se evita por diseño que los vectores u1,i y u5,i sean colineales, se evitarán las singularidades directas de det(Jq)=0. Esto se logra dando diferentes dimensiones al anillo superior y al inferior. Por otra parte se debe controlar que los vectores bi y u5,i no se alineen, por lo que evitaremos que la plataforma inferior ascienda hasta una cota h en la que eso pueda suceder. 2.4 DISEÑO ELEGIDO Después de numerosas simulaciones, el prototipo elegido tiene las siguientes medidas: Diámetro superior: 300 mm. Diámetro inferior: 150 mm. Longitud de eslabón CBi: 200 mm. Rango de variación en z: 450 mm. La figura 11 muestra el modelo en ADAMS del mecanismo paralelo seleccionado. Se pueden observar los movimientos posibles de este mecanismo. En la figura de la izquierda se muestra el g.d.l. de traslación sobre el eje z, y en parte derecha se muestra la rotación de la plataforma inferior.

Figura 11: Modelo en ADAMS del

mecanismo seleccionado. Para completar los g.d.l. de traslación y poder disponer una completa versatilidad para la generación de trayectorias, se propone la adición de una mesa xy que soporte la pieza a mecanizar. La figura 12 muestra la disposición relativa de esta mesa frente a la muñeca presentada.

Figura 12: Posibles movimientos de la mesa en x e y.

Una vez tenemos los 6 gdl tenemos la posibilidad de realizar todos los movimientos posibles, con lo que podemos manufacturar piezas con una precisión y una velocidad que actualmente no se pueden realizar. Finalmente se muestra como el dispositivo diseñeado puede ser insertado dentro de una línea de trabajo, dado que sus características permiten una cómoda integración a un proceso de fabricación.

Figura 13: Simulación del sistema diseñado

3 CONCLUSIONES En este artículo se ha realizado el estudio de un manipulador paralelo de cuatro gdl. en conjunto con una mesa de dos gdl. para el corte y fresado de piedra ornamental. Para ello se ha sensado un cortador monobloque situado en los laboratorios de AIDICO, se han estudiado arquitecturas y espacios de trabajo y singularidades. El fin de este proyecto es la construcción de un primer prototipo, en los laboratorios de la UMH, que nos pueda servir para su estudio para posteriores prototipos. Agradecimientos Este trabajo ha sido parcialmente financiado por la Generalitat Valenciana dentro del programa Ajudes

per a projected d'investigació científica i desenvolupament technologic a través del proyecto GV06/034, y por la Comision Interministerial de Ciencia y Tecnología (CICyT) a través del proyecto DPI2005-08203-C02-02. Referencias [1] Marco Mazzoni, (2006) Stone: Manufacturing,

classification and defects". WoodStone Workshop, 26-May-2006, UMH.

[2] Pierrot, F., and Company, O., H4: a new family

of 4-dof parallel robots, Proceedings of IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, Atlanta, Georgia, USA, September 19-22, 1999, pp. 508-513.

[3] Reboulet, C., Durand-Leguay, S., (1999)

Optimal design of redundant parallel mechanism for endoscopic Surgery, Proc.of IEEE/RSJ Int. Conf. on Intelligent Robots and Systems.

[4] Reboulet, C., Rapport d’avancement projet

VAP, thème 7, phase 3. Rapport de Recherche 7743, CNES/DERA, January 1991.

[5] R. Saltarén, J.M. Sabater, E. Yime, J.M. Azorín,

R. Aracil. Performance evaluation of spherical parallel platforms for humanoid robots. Robotica,25 (3), pp. 257-267

[6] L. W. Tsai. Robot Analysis: the mechanics of

serial and parallel manipulators. Wiley Interscience. John Wiley and Sons. 1999.

[7] Ying HU, Bling LI, Zhixing Wang, Xiaojun

Yang and Hong HU. Analysis of Kinematics and Dynamics for a Nobel Hybrid Kinematics Machine. Journal of Advanced Mechanical Desing, Systems and Manufacturing (2007)

[8] Varios Autores (2005) Reportaje: Especial

Alicante", ROC Máquina. vol 96. Ed. Reed Business Information S.A.