Universidad  Simón  Bolívar  Departamento  de  Conversión  y  Transporte  de  Energía  

CT-­‐4311.  Conversión  de  energía  IV  Tarea  3  

Prof.  José  Manuel  Aller  

ANÁLISIS  DEL  RÉGIMEN  TRANSITORIO  DE  LA  MÁQUINA  SINCRÓNICA  (Tarea  N°  3)  

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                 Alumno:  

Freiber  Rojas   09-­‐10752  

Sartenejas,  Abril  de  2013  

 

Enunciado:  

Modelar  el  comportamiento  dinámico  de  una  motor  sincrónico  de  polos  salientes  con  devanados  amortiguadores  de  20  MVA,  13.8  kV,  factor  de  potencia  nominal  0.85,  y  corriente  de  campo  nominal  de  500  A.  Los  datos  de  la  máquina  en  el  sistema  adimensional  de  unidades,  son  los  siguientes:  

Re   Rf   Lse   Lsf   Ld   Lq   Ldf   2HwB  0.01   0.03   0.2   0.3   1.2   0.8   1.0   800  Rad   Raq   Lad   Laq   Lad-­‐d   Laq-­‐q   Lad-­‐f   Lsa  0.02   0.02   1.2   0.8   1.0   0.6   0.9   0.1  

 

La  corriente  de  campo  nominal  produce  la  tensión  nominal  en  la  condición  de  vacío.  El  motor  sincrónico  acciona  una  bomba  cuya  característica  es:  

Tm  =  0.3+2.7  wm2  

 La  máquina  sincrónica  se  arranca  conectándola  a  la  red  trifásica,  mientras  se  mantiene  la  bobina  de  campo  en  cortocircuito  hasta  alcanzar  el  punto  de  equilibrio.  Una  vez  alcanzado  este  punto  se  inyecta  la  corriente  de  campo  nominal.      Asignaciones:  

1. Determine  las  bases  coherentes  del  sistema  adimensional  de  unidades.  2. Realice  un  análisis  de  los  resultados  obtenidos  cuando  se  integran  las  

ecuaciones  dinámicas  por  medios  numéricos  3. Determine  con  el  modelo  las  corrientes  de  campo  que  hacen  operar  a  la  

máquina  en  factor  de  potencia  capacitivo  e  inductivo  de  0.9  4. Calcule  las  corrientes  de  cortocircuito  brusco  en  la  barra  de  alimentación  en  

el  instante  inicial  si  la  máquina  se  encuentra  previo  al  cortocircuito  en  un  punto  de  operación  donde  consume  la  potencia  nominal  a  factor  de  potencia  0.8  inductivo  considerando  que  la  velocidad  no  cambia  durante  el  transitorio  electromagnético.  

5. Repita  el  cálculo  de  las  corrientes  de  cortocircuito  brusco  en  la  barra  de  alimentación  en  el  instante  inicial  si  la  máquina  se  encuentra  previo  al  cortocircuito  en  un  punto  de  operación  donde  consume  la  potencia  nominal  a  factor  de  potencia  0.8  capacitivo  no  cambia  durante  el  transitorio  electromagnético.  

6. Compare  los  resultados  obtenidos  en  los  puntos  3  y  4  con  el  método  transitorio  aproximado  

7. Determine  la  frecuencia  y  amortiguamiento  de  las  oscilaciones  de  pequeña  señal  ante  pequeños  escalones  de  la  carga  mecánica  

 

1) En  la  tabla  1.1  se  muestran  los  valores  correspondientes  a  las  bases  de  las  variables  del  estator  en  el  sistema  adimensional  de  unidades.  

Tabla  1.1  

V  Base  [KV]   7.9674  S  Base  [MVA]   6.6667  I  base  [A]   836.7395  Z  base  [Ω]   9.5220  ω  base  [rad/s]   376.9911  Tiempo  base  [ms]   2.6526  L  base  [mH]   25.2579    

  Luego,  el  valor  de  Lmd  en  unidades  reales  es:  

𝐿𝑚𝑑 = 𝐿𝑑 − 𝐿!" ∗ 𝐿𝑏𝑎𝑠𝑒 = 25.2579𝑚𝐻  

  La  inductancia  Ldf  se  obtiene  con  la  expresión  de  la  fuerza  electromotriz  del  campo  en  la  condición  de  vacío:  

𝐸𝑓 = 𝑉𝑛 =𝜔!3∗ 𝐿𝑑𝑓 ∗ 𝑖𝑓 → 𝐿𝑑𝑓 =

𝑉𝑛𝜔!3∗ 𝑖𝑓𝑛

= 73.2113𝑚𝐻  

  La  relación  La  inductancia  mutua  y  las  inductancias  de  magnetización  Lmf  y  Lmd  permiten  determinar  el  valor  físico  de  la  inductancia  de  magnetización  del  campo:  

𝐿𝑚𝑓 =𝐿𝑑𝑓!

𝐿𝑚𝑑 = 212.2066𝑚𝐻  

  La  tensión  base  y  corriente  base  del  campo  se  obtienen:  

𝐼𝑏𝑓 = 𝐼𝑏 ∗𝐿𝑚𝑑𝐿𝑚𝑓 = 288.6751  𝐴;  𝑉𝑏𝑓 =

𝑉𝑏𝐼𝑏𝑓 ∗ 𝐼𝑏 = 23.094𝐾𝑉  

  Con  estos  valores  se  pueden  las  impedancias  e  inductancias  base  propias  y  mutuas.  Los  valores  obtenidos  se  muestran  en  la  tabla  1.2.  

  Tabla  1.2  

V  Base  F  [KV]   23.0940  I  base  F  [A]   288.6751  Z  base  F  [Ω]   80.0000  L  base  F  [mH]   212.2066  Z  base  F-­‐E  [Ω]   27.6  L  base  F-­‐E  [mH]   73.2113  

2) El  sistema  de  ecuaciones  diferenciales  que  debe  integrarse  es  el  siguiente:    

𝑑𝐼𝑑𝑡 = 𝐿!! ∗ 𝑉 − 𝑅 ∗ 𝐼 − 𝜔 ∗ 𝐺 ∗ 𝐼  

𝑑𝜔𝑑𝑡 =

(𝑇𝑒 − 𝑇𝑚)2 ∗ 𝐻 ∗ 𝜔𝑏𝑎𝑠𝑒  

𝑑𝜃𝑑𝑡 = 𝜔  

  Donde:  

  𝐼 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟  𝑑𝑒  𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 =

𝑖𝑑𝑖𝑞𝑖𝑓𝑖𝑎𝑑𝑖𝑎𝑞

;𝑉 = 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟  𝑑𝑒  𝑡𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 =

𝑣𝑑𝑣𝑞𝑣𝑓𝑣𝑎𝑑𝑣𝑎𝑞

=

𝑣𝑑𝑣𝑞𝑣𝑓00

 

𝑅 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧  𝑑𝑒  𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 =

0.010

00.01

0 0 00 0 0

0 0 0.03 0 000

00

00

0.020

00.02

 

𝐿 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧  𝑑𝑒  𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =

1.20

00.8

1 1 00 0 0.6

1 0 1.3 0.9 010

00.6

0.90

1.20

00.8

 

 

  𝐺 = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧  𝑑𝑒  𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 =  

01.2

−0.80

0 0 −0.61 1 0

0 0 0 0 000

00

00

00

00

 

  𝜔 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑  𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟;  𝜃 = 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝑟𝑜𝑡𝑜𝑟  

2 ∗ 𝐻 ∗ 𝜔𝑏𝑎𝑠𝑒 = 800;  𝑇𝑚 = 𝑝𝑎𝑟  𝑚𝑒𝑐𝑎𝑛𝑖𝑐𝑜 = 0.3+ 2.7 ∗ 𝜔!  

𝑇𝑒 = 𝑝𝑎𝑟  𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐿𝑑 − 𝐿𝑞 𝑖𝑑 ∗ 𝑖𝑞 + 𝐿𝑑𝑓 ∗ 𝑖𝑓 ∗ 𝑖𝑞 + 𝐿𝑎𝑑 ∗ 𝑖𝑎𝑑 ∗ 𝑖𝑞 − 𝐿𝑎𝑞 ∗ 𝑖𝑎𝑞 ∗ 𝑖𝑑  

   

 

Con  ayuda  de  matlab  se  integraron  las  ecuaciones.  Para  ello  se  empleó  la  función  ode23tb  que  resuelve  sistema  de  ecuaciones  diferenciales  dada  la  función  del  sistema,  los  tiempos  iniciales  y  finales  a  integrar  y  las  condiciones  iniciales.  El  código  que  implementa  la  función  del  sistema  es  el  siguiente:  

 

function dX_dt =maq_sinc(t,X,inv_L,R,G,J)

va=sqrt(3)*cos(t);

vb=sqrt(3)*cos(t-2*pi/3);

vc=sqrt(3)*cos(t-4*pi/3);

alfa=exp(1i*2*pi/3);

v=sqrt(2/3)*(va+alfa*vb+alfa^2*vc);

theta=X(7);

w=X(6);

Vdq=v*exp(-1i*theta);

V=zeros(5,1);

V(1)=real(Vdq);

V(2)=imag(Vdq);

if abs(w-1)<0.01

V(3)=0.1;

end

dX_dt=zeros(7,1);

I=X(1:5);

dX_dt(1:5,1)=inv_L*(V-R*I-w*G*I);

Id=I(1);

Iq=I(2);

If=I(3);

Iad=I(4);

Iaq=I(5);

Te=(1.2-0.8)*Id*Iq + 1 * If*Iq + 1.2*Iad*Iq- 0.8 *Iaq*Id;

Tm=sign(w)*0.3+2.7*w^2*sign(w);

dX_dt(6,1)=1/J*(Te-Tm);

dX_dt(7,1)=w;

end

 

 

Con  este  código  guardado  y  las  variables  inv_L,  R,  G  y  J  se  escriben  las  dos  instrucciones  siguientes  en  la  línea  de  comandos:  

 

>>  f=@(t,X)(maq_sinc(t,X,inv_L,R,G,J));  

>>  [T,Y]=ode23tb(f,[0  5000],([0;0;0;0;0  ;0.01;  0]));  

 

El  sistema  de  ecuaciones  diferenciales  se  resolvió  con  todas  las  variables  de  estado  inicializadas  en  cero.  Se  aplicó  un  sistemas  de  tensiones  nominales  balanceadas  en  secuencia  positiva.  La  tensión  aplicada  el  campo  es  cero  mientras  la  desviación  de  la  velocidad  angular  sea  mayor  al  cinco  por  ciento,  una  vez  alcanzado  este  punto  se  inyecta  la  corriente  nominal.  Para  determinar  el  valor  de  la  tensión  de  campo  que  se  debe  aplicar  se  tiene:  

 

𝐼𝑓𝑛 =500𝐴𝐼𝑏𝑎𝑠𝑒𝑓 = 1.732  𝑝𝑢;  𝑉𝑓𝑛 = 𝑅𝑓 ∗ 𝑖𝑓𝑛 = 0.05196   → 𝑉𝑓𝑛 = 1200𝑉  

 

  Los  resultados  de  Vd,  id,Vq,  iq,  Vf,  if,  iad,iaq  se  muestran  en  la  figura  2.1.  Los  resultados  obtenidos  de  w,  theta,  P,  Q  se  muestran  en  la  figura  2.2  

Figura  2.1

 

   

  Figura  2.2  

 

 

3)  

Para  determinar  las  corrientes  de  campo  con  factor  de  potencia  0.9  inductivo  y  capacitivo  (convención  motor!)  se  debe  resolver  el  problema  directo.  La  potencia  nominal  es  0.85,  por  lo  tanto  ese  debe  ser  el  valor  de  la  parte  real  de  la  corriente.  

 𝐸 = 𝑉 − 𝑅 ∗ 𝐼 − 𝑋𝑑 ∗ 𝐼𝑑 − 𝑋𝑞 ∗ 𝐼𝑞  

 Con  ello  se  calculan  las  corrientes  de  campo.  Los  resultados  se  muestran  en  

la  tabla  3.1.          

 Tabla  3.1  

Valores   Caso  Inductivo   Caso  Capacitivo  V  [pu]   1.0000   1.0000  Re(I)   0.8500   0.8500  Im(I)   0.4117   -­‐0.4117  I   0.9444   0.9444  If  [pu]   1.8599   3.1005  If  [A]   536.9069   895.0373  

   

  4)   y   5)   Para   este   caso   se   deben   encontrar   las   condiciones   pre   falla.   Esto  implica  hallar  las  corrientes  de  campo  y  del  eje  directo  y  cuadratura  y  las  tensiones  Vd,  Vq  y  Vf  que  hacen  operar  la  máquina  en  las  condiciones  de  motor  capacitivo  e  inductivo  a  potencia  nominal  (0.85)  a  factor  de  potencia  0.8  inductivo  y  capacitivo.  Las  condiciones  pre  falla    

Tabla  4.1  

Valores   Caso  Inductivo   Caso  Capacitivo  V  [pu]   1.0000   1.0000  Re(I)   0.8500   0.8500  Im(I)   0.6375   -­‐0.6375  I   1.0625   1.0625  If  [pu]   1.6564   3.506  If  [A]   478.1615   1012.0950  Vd[pu]   -­‐1.4091   -­‐0.7201  Vq[pu]   1.0072   1.5753  Vf  [pu]   0.0497   0.1052  Id  [pu]   -­‐0.5556   -­‐1.6163  Iq  [pu]   1.7544   0.8799    

  Luego  resuelvo  el  siguiente  sistema  de  ecuaciones  diferenciales:  

𝑑𝐼𝑑𝑡 = 𝐿!! ∗ 𝑉 − 𝑅 ∗ 𝐼 − 𝜔 ∗ 𝐺 ∗ 𝐼  

  Donde   L,   R   y   G   son   las  mismas  matrices   que   el   caso   anterior,  w   =1   y   las  condiciones   iniciales   de   las   corrientes   y   las   tensiones   aplicadas   antes   del  cortocircuito  son   las  especificadas  en   la   tabla  4.1  según  si  el   caso  es  capacitivo  o  inductivo.  Cabe  destacar  que  en  esta  corrida  se  asume  que  solo  se  cortocircuitan  las   bobinas   del   eje   directo   y   cuadratura,   mientras   que   el   campo   se   mantiene  constante.   En   la   figura  4.1   y   en   la   figura  4.2   se  muestran   las   corrientes  de   corto  para  el  caso  inductivo  y  capacitivo  respectivamente.  

  Figura  4.1  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Figura  4.2  

 

5)   Para     realizar   los   cálculos   de   cortocircuito   brusco   se   deben   calcular   la  reactancia   transitoria   del   eje   directo   y   las   subtransitorias   del   eje   directo   y  cuadratura.  Para  eso  se  tiene:  

𝑋𝑑! = 𝑋𝑑 −𝐿𝑑𝑓!

𝐿𝑓 ;  𝑋𝑑!! = 𝑋𝑑 −𝐿𝑑 − 𝑎𝑑!

𝐿𝑎𝑑 ;    𝑋𝑞!! = 𝑋𝑞 −𝐿𝑞 − 𝑎𝑞!

𝐿𝑎𝑞  

  Los  valores  de  las  reactancias  se  muestran  en  la  tabla  5.1.  

 

 

 

 

  Tabla  5.1  

Xd   1.2000  Xq   0.8000  Ldf   1.0000  Lf   1.3000  Ld-­‐ad   1.0000  Lq-­‐aq   0.6000  Lad   1.2000  Laq   0.8000  Xd'   0.4308  Xd''   0.3667  Xq''   0.3500    

  Con  esto,  se  realiza  el  cálculo  de  las  corrientes  transitorias  y  subtransitorias,  para  ello  se  debe  resolver  dos  problemas  directos,  una  con  las  condiciones  pre  falla  y  otra  con  la  condición  post  falla.  Las  ecuaciones  transitorias  y  subtransitorias  son  las  siguientes.  

𝐸′ = 𝑉 − 𝑅 ∗ 𝐼 − 𝑋𝑑′ ∗ 𝐼𝑑 − 𝑋𝑞 ∗ 𝐼𝑞  

𝐸′′ = 𝑉 − 𝑅 ∗ 𝐼 − 𝑋𝑑′′ ∗ 𝐼𝑑 − 𝑋𝑞′′ ∗ 𝐼𝑞  

  Con  las  ecuaciones  anteriores  y  con  las  condiciones  pre  falla  expresados  en  la   tabla  4.1  se  obtienen   las   fuerzas  electromotrices   transitorias  y  subtransitorias,  los  resultados  se  expresan  en  la  tabla  5.2  

  Tabla  5.2  

Valores   Caso  Inductivo   Caso  Capacitivo  E'd   0   0  E'q   0.7096   1.3064  E''d   0.0445   0.0198  E''q   0.7136   1.2497    

  Con   estos   valores   se   puede   encontrar   las   corrientes   transitorias   y  subtransitorias  del  eje  directo  y  cuadratura.  Se  debe  resolver  el  siguiente  sistema  de  ecuaciones  para  el  caso  transitorio  y  subtransitorio  respectivamente:  

𝑅𝑒 𝑋𝑞𝑋𝑑 𝑅𝑒 ∗ 𝐼𝑑

𝐼𝑞 = 𝑉𝑑 − 𝐸𝑑𝑉𝑞 − 𝐸𝑞  

Se   debe   tener   cuenta   que   la   ecuación   anterior   se   aplica   para   el   caso  transitorio  y  subtransitorio.  Solo  se  debe  tomar  en  cuenta  sustituir  las  reactancias  correctas  según  se  trate  del  análisis  transitorio  o  subtransitorio.  También  se  debe  

recordar   que   para   el   caso   transitorio   la   fuerza   electromotriz   Ed   es   cero.   Los  resultados  se  muestran  en  la  tabla  5.3.  

Tabla  5.3  

Corrientes  transitorias  Valores   Caso  Inductivo   Caso  Capacitivo  Id'  [pu]   -­‐1.6477   -­‐3.0336  Iq'   0.0206   0.0379  I'   1.6478   3.0338  

Corrientes  subtransitorias  Valores   Caso  Inductivo   Caso  Capacitivo  Id''  [pu]   -­‐1.9453   -­‐3.4089  Iq''   -­‐0.0334   0.0191  I''   1.9456   3.4090