ann115_ unidad iv
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Ajuste de curvas
Unidad IV
Regresión por mínimos cuadradosInterpolación
Aproximaciones de Fourier
RMC: Regresión lineal
x1,
y1 , x
2,y
2 , x
3,y
3 , x
4,y
4 , ⋯ , x
n, y
n
RMC: Regresión lineal
Wilber Calderón
x1, y1 , x2, y2 , x3, y3 , x4, y4 , ⋯ , xn , yn
y=a0a1 xe e=y−a0−a1x
Sr=n
∑ ei2
i=1
=
n
∑ [ yi ,medida−yi , modelo ]2
i=1
Sr=
n
∑ [ yi−a0−a1 x i ]2
i=1
RMC: Regresión lineal
Wilber Calderón
∂Sr
∂a0
=−2∑ [ yi−a
o−a
1x
i ]=0
∂Sr
∂a1
=−2∑ [ [ yi−a
o−a
1x
i ] xi ]=0
0=∑ yi−∑ a
0−∑ a
1x
i
0=∑ yix
i−∑ a
ox
i−∑ a
1x
i2
RMC: Regresión lineal
Wilber Calderón
n a0a1∑ xi=∑ yi
a0∑ xia1∑ xi2=∑ x i yi
a1=n∑ x i yi−∑ x i∑ yi
n∑ x i2−[∑ x i ]
2
a0=y−a1 x
Ejemplo
Utilizando mínimos cuadrados, encontrar la ecuación de la línea recta que represente con el mínimo error posible los siguiente datos.
x = [ 1.2 2.1 2.5 3.65 4.5 5.1 5.7 6.4 7.8 9.2];y = [ -1.5 0 0.8 3.5 5.1 6.0 7.2 8.9 12 15.1];
Wilber Calderón6
Ejemplo
. Wilber Calderón7
x yi x*x y*y x*y
1.2 1.50 1.44 2.250 1.800
2.1 0.0 4.41 0.0 .0
2.5 0.80 6.25 0.640 2.000
3.65 3.50 13.32 12.250 12.775
4.5 5.10 20.25 26.010 22.950
5.1 6.00 26.01 36.000 30.600
5.7 7.20 32.49 51.840 41.040
6.4 9.10 40.96 82.810 58.240
7.8 11.50 60.84 132.250 89.700
9.2 15.10 84.64 228.010 138.920
suma suma suma suma suma
48.150 57.10 290.613 580.210 397.045
RMC: Regresión lineal
Wilber Calderón
a1 =n∑ xi yi−∑ x i∑ yi
n∑ xi2−[∑ xi ]
2 = 2.0777
a0 = y−a1 x = −4.2943
Coeficiente de correlación
Wilber Calderón
r =n∑ x i y i−∑ x i∑ yi
√n∑ x i2−[∑ x i ]
2√n∑ yi2−[∑ yi ]
2
r=0.999093
Esbozo y comparación de resultados
Relaciones no lineales
Wilber Calderón
y=a1 eb1 x
Relaciones no lineales
Wilber Calderón
y=a1e
b1 x
Exponencial
Wilber Calderón
y=a1e
b1 x ln y=ln a
1b
1x
b1 =n∑ x
iln y
i−∑ x
i∑ ln yi
n∑ xi2−[∑ x
i ]2
ln a1
= ln y−b1x
Relaciones no lineales
Wilber Calderón
y=a2 xb2
Relaciones no lineales
Wilber Calderón15
y=a2
xb2
Potencial
Wilber Calderón
y=a2 xb2 log y=log a2b2 log x
b2 =n∑ log xi log yi−∑ log xi∑ log yi
n∑ log x i2−[∑ log xi ]
2
log a2 = log y − b2 log x
Relaciones no lineales
Wilber Calderón
y=a3
x
b3x
Relaciones no lineales
Wilber Calderón
y=a3
x
b3x
Saturación
Wilber Calderón
y=a3x
b3x
1y=
b3
a3
1x
1a3
b3
a3
=
n∑1x i
1yi
−∑1x i∑
1yi
n∑ [ 1x i ]
2
−[∑ 1x i ]
2 ,1a3
= [ 1y ] −
b3
a3[ 1
x ]
;
Hacer el mejor ajuste para los siguientes datos.
Wilber Calderón
x y
1 1.990
50 51.990
99 69.830
148 72.350
197 81.490
246 84.930
294 87.390
346 89.850
383 90.690
452 91.840
501 92.790
600 93.150
;
Hacer el mejor ajuste para los siguientes datos.
f( x ) = 45.875143 +0.107865 xr = 0.76862
f( x ) = 23.82 * exp ( 0.00332 x )r = 0.57304762
f( x ) = 2.9208 x ^ 0.598481r = 0.96194844
f( x ) = 102.341617 x / (50.427209 + x )r = 0.99999799
;
Hacer el mejor ajuste para los siguientes datos.
;
Saturación
x y 1/x 1/yi 1/x*1/x 1/y*1/y 1/x*1/y
1 1.99 100.00E2 502.51E3 100.00E2 252.52E3 502.51E3
50 51.99 200.00E4 192.35E4 400.00E6 369.97E6 384.69E6
99 69.83 101.00E4 143.21E4 102.03E6 205.08E6 144.65E6
148 72.35 675.70E5 138.22E4 456.54E7 191.04E6 933.90E7
197 81.49 507.60E5 122.71E4 257.67E7 150.59E6 622.92E7
246 84.93 406.50E5 117.74E4 165.25E7 138.64E6 478.63E7
294 87.39 340.10E5 114.43E4 115.69E7 130.94E6 389.22E7
346 89.85 289.00E5 111.30E4 835.31E8 123.87E6 321.67E7
383 90.69 261.10E5 110.27E4 681.71E8 121.59E6 287.90E7
452 91.84 221.20E5 108.89E4 489.47E8 118.56E6 240.90E7
501 92.79 199.60E5 107.77E4 398.41E8 116.14E6 215.11E7
600 93.15 166.70E5 107.35E4 277.78E8 115.25E6 178.92E7
suma suma suma suma suma
10.608E1 63.994E2 10.006E1 25.430E2 50.341E2
Saturación
Wilber Calderón
b3
a3
=
n∑1x i
1yi
−∑1x i∑
1yi
n∑ [ 1x i ]
2
−[∑ 1xi ]
2 = 0.49273
1a3
= [ 1y ]− b3
a3[ 1
x ] = 0.0097712
a3 = 102.34, b3 = 50.427
Saturación
Wilber Calderón
r =
n∑1
xi
1
yi
−∑1
xi
∑1
yi
n∑ [ 1
xi]2
−[∑ 1
xi]2
n∑ [ 1
yi]2
−[∑ 1
yi]2
r=0.99999799
Saturación
Wilber Calderón
y=102.34 x
50.427x
RMC: Polinomial
Wilber Calderón
RMC: Polinomial
Wilber Calderón
x1, y1 , x2, y2 , x3, y3 , x4, y4 , ⋯ , xn , yn
y=a0a1 xa2 x2e e=y−a0−a1 x−a2 x2
Sr=n
∑ ei2
i=1
=
n
∑ [ yi ,medida−yi ,modelo ]2
i=1
Sr=
n
∑ [ yi−a0−a1 x i−a2 x i2 ]
2
i=1
Wilber Calderón
∂ Sr
∂ a0
=−2∑ [ yi−a0−a1 x i−a2 x i2 ]=0
∂ Sr
∂ a1
=−2∑ [ [ yi−a0−a1 x i−a2 x i2 ] x i ]=0
∂ Sr
∂ a2
=−2∑ [ [ y i−a0−a1 x i−a2 x i2 ] x i
2 ]=0
0=∑ yi−∑ a0−∑ a1 xi−∑ a2 xi2
0=∑ yi xi−∑ ao xi−∑ a1 xi2−∑ a2 x i
3
0=∑ yi xi2−∑ ao xi
2−∑ a1 x i3−∑ a2 x i
4
RMC: Polinomial
Wilber Calderón
∑ a0∑ a1 xi∑ a2 xi2=∑ yi
∑ ao xi∑ a1 xi2∑ a2 x i
3=∑ yi x i
∑ ao xi2∑ a1 x i
3∑ a2 x i4=∑ yi x i
2
RMC: Polinomial
[n ∑ x i ∑ xi
2
∑ x i ∑ x i2 ∑ xi
3
∑ x i2 ∑ x i
3 ∑ xi4 ][
a0
a1
a2]=[
∑ yi
∑ yi x i
∑ yi x i2 ]
Primer acercamiento.
Código final.
Wilber Calderón
Código: Polinomial
:)
Fin de sección
Wilber Calderón