ANOVA multifactorialEn un ANOVA multifactorial nos planteamos si entre una cierta variable numrica continua, Y , llamada variable respuesta, y ciertas variables categricas e o F1 , . . . , Fn , llamadas factores, hay relacin o no. Por ejemplo, Y podr ser o a el tiempo de cura de determinada enfermedad, F1 el tipo de medicamento administrado, y F2 el grupo sangu neo. En este contexto, hay dos preguntas que, en general, deseamos contestar: (1) [Factores signicativos] Qu factores resultan signicativos? Es decir, nos e planteamos qu factores tienen inuencia sobre la variable respuesta, , e o equivalentemente, en cules se observan diferencias signicativas entre los a distintos niveles. Es similar a realizar varios ANOVAS simples (aunque no equivalente, ya que el procedimiento matemtico es diferente en uno y a otro caso; ms concretamente, este mtodo permite detectar inuencias que a e en un ANOVA simple podr pasar desapercibidas). an (2) [Interaccin] La combinacin de ciertos factores, posee alguna inuencia o o en el valor de la variable respuesta? Dicho de otro modo, nos preguntamos si la conclusin sobre el efecto que cada factor tiene sobre la variable reo spuesta, se mantiene independientemente de los niveles que se consideren para los factores restantes. Si sucede esto ultimo (y por lo tanto, la respuesta a la primera pregunta es no), decimos que no existe interaccin entre los o factores; en caso contrario, que s existe. Por ejemplo, podr suceder que a un cierto medicamento, teniendo un buen efecto en general (es decir, proporcionando un tiempo medio de cura menor que otros), fuera sin embargo muy poco efectivo o incluso nocivo para los pacientes de un cierto grupo sangu neo. En ese caso, jado un cierto nivel para uno de los factores (el grupo sangu neo anmalo), se observar un comportamiento diferente o a al del resto de los niveles (los restantes grupos sangu neos): en ese caso s existir interaccin. a o Si hay evidencia de que la interaccin no es relevante, utilizaremos un modelo o de ANOVA multifactorial sin interaccin. En caso contrario, utilizareo mos un modelo con interaccin. Este ultimo es el ms completo. A cambio, o a requiere en general de ms observaciones que el modelo sin interaccin. a o Modelo de ANOVA multifactorial sin interaccin: o (Suponemos una sola variable respuesta Y , y dos factores F1 , F2 ; se generaliza fcilmente para el caso en que hay ms de dos factores) a a 1

Cada observacin (dato) la notaremos como Yijk , entendiendo que en dicha o observacin el factor F1 est en el nivel i, el factor F2 est en el nivel j, y que o a a dentro de las que tienen dichas caracter sticas, nuestra observacin ocupa el o lugar k. Si representamos la media global como , el modelo de ANOVA sin interaccin supone que: o Yijk = + i + j +ijk

donde i es el efecto del factor F1 en nivel i, j es el efecto del factor F2 en nivel j, y ijk es el residuo, que entendemos debido al azar. Si representamos por i a la media de todas las observaciones que tienen F1 en nivel i, y por j a la media de todas las observaciones que tienen F2 en nivel j, entonces i = i , j = j . Para ver si F1 es un factor signicativo, realizaremos el contraste de hiptesis: o H0 : i = 0 para todo i H1 : algn i = 0 u Si H0 es rechazada, decimos que F1 es signicativo. Igualmente, para ver si F2 es un factor signicativo, realizaremos el contraste de hiptesis: o H0 : j = 0 para todo j H1 : algn j = 0 u Si H0 es rechazada, decimos que F2 es signicativo. Adems, si F1 tiene a niveles posibles, y F2 tiene b niveles posibles, entonces a los requisitos o hiptesis de partida de este modelo de ANOVA son: o (1) Cada uno de los a b grupos es normal. (2) (Homocedasticidad) La varianza es la misma en cada uno de los a b grupos. (3) (Independencia de las observaciones) No hay relacin entre unos datos y o otros, o entre unas variables y otras. Las condiciones anteriores se traducen en que los residuos deben ser normales y aleatorios. Modelo de ANOVA multifactorial con interaccin: o En este caso, para cada observacin Yijk suponemos: o Yijk = + i + j + ()ij +ijk

donde i , j tienen el mismo sentido que en el modelo anterior, ()ij es el efecto de interaccin entre F1 en nivel i, y F2 en nivel j, y ijk es el residuo, o 2

que entendemos debido al azar. Los contrastes sobre la signicatividad de F1 y de F2 son anlogos al modelo anterior. Aqu adems, debemos comprobar a , a si existe interaccin entre los factores, lo cul supone contrastar la siguiente o a hiptesis: o H0 : ()ij = 0 para todo i, j H1 : algn ()ij = 0 u i , j se estiman como en el modelo anterior. Sin embargo, si escribimos la media de los datos con F1 en nivel i y F2 en nivel j como ij , entonces ()ij se estima como ()ij = ij i j + Los requisitos del modelo son anlogos a los del caso anterior. Conviene oba servar, sin embargo, que los residuos son diferentes en el caso de considerar modelos con o sin interaccin. De hecho, en el segundo caso ijk = Yijk ij , o pero en el primer caso no es as .

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