ANTECEDENTES SOBRE LA FIGURA DE LA TIERRA

(Diego García Castaño, Catedrático de Matemáticas)

El que Jorge Juan llegara a ser el Sabio Español, para sus colegas europeos, nos indica de forma fehaciente lo mucho que aprendió de los académicos franceses que con él convivieron durante más de una década en el Virreinato del Perú. Porque fue midiendo el grado de meridiano contiguo al Ecuador, a la sombra de tan grandes e ilustres personajes, cuando él hizo su brillante “carrera científica y el doctorado correspondiente”.

Un ejemplo, de lo que acabamos de afirmar, lo tenemos al morir Jorge Juan, porque en su blblioteca habían más de diez obras de Bouguer, sobre Astronomía, Mecánica y Navegación. Y es que de Bouguer aprendió él tanta geometría que se hizo acreedor al elogio de la Academia de Ciencias de París, que lo catalogó como “uno de los más grandes geómetras de la España del siglo XVIII”.

Para situar con propiedad la figura de la Tierra, en su contexto histórico, recordaremos, que Erastótenes, (siglos III y II a.C.), suponiendo que la Tierra era esférica, y sabiendo que el 21 de junio, a medio día, las casas de Siena, (S), Fig.1, no arrojaban sombra sobre sus aceras y, que la distancia Siena-Alejandría, (A), era de 800 Km., obtuvo la longitud del meridiano de la siguiente forma.

Como los rayos del Sol (r), caían prácticamente paralelos, según la vertical, (ST), de Siena, tenía que:

1

ángulo (TS,TA)= ángulo ( rayo solar, TA )=α

y como una varilla de 10 cm. en posición vertical, a medio día en Alejandría, arrojara una sombra de 8,7 cm., pudo escribir que:

tg α = 8,710 = o,87 de donde α=7º

de ahí sacó que el meridiano medía 20.571,15 Km, y por lo tanto uno de sus grados 114.284 m.

Pero como siglos después Newton dijera que la Tierra estaba achatada por los polos y la familia de astrónomos de los Cassini, alguno de ellos Directores del Observatorio Astronómico de París, que estuvieron trabajando durante 36 años, que lo que estaba era alargada por los polos, hubo que aclarar el embrollo. Por eso, en 1735, Felipe V, acuciado y asesorado por la Academia de Ciencias de París, ordenó al Secretario de Estado de la Marina francesa que se organizaran dos expediciones, sufragadas por el erario público, con destinos al Virreinato del Perú y a Laponia para que se calcularan las longitudes de un grado de meridiano, contiguo al Ecuador y otro en las proximidades del Polo Norte.

Con esta forma de actuar quedaría definitivamente zanjada la cuestión planteada, porque si los grados medidos por ambas expediciones eran iguales la Tierra sería esférica y, según fuera

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mayor el del Ecuador o el de los Polos alargada o achatada por los extremos del eje de la Tierra.

Una vez hecho el trabajo de campo, o sea, calculada la longitud del grado de meridiano contiguo al Ecuador y conocida la del próximo al Polo Norte, que era de 111.945 m., Jorge Juan se “encerró” en su habitáculo y, con papel y pluma, inició su Tesis Doctoral sobre la figura de la Tierra, un antecedente de los modelos matemáticos de hoy día.

Las investigaciones de Jorge Juan comienzan con una alusión a las longitudes de los arcos correspondientes a un grado de meridiano en las proximidades del Polo Norte, paralelo de 45º de latitud y del Ecuador, dando, respectivamente como valores de los mismos: 111,946 Km., 111,190 Km. y 110,640 Km. También hace referencia a la tabla de valores de otros muchos grados que Cassini y el Abate de la Caille incluyeron en su obra "La Meridienne de París verifièe".

Jorge Juan, supuso, a priori, que la Tierra tenía la forma de un elipsoide que se engendraba al girar una elipse, y matemáticamente va determinando sus elementos, el eje menor o eje de la Tierra, el mayor o diámetro del Ecuador, etc. utilizando, claro está, la longitudes de los grados de meridiano del Virreinato de Perú y el de Laponia. En esta Tesis Doctoral de Jorge Juan, fue en la que se utilizó, por primera vez en España, el recién nacido Cálculo Infinitesimal que crearan Newton y Leibnitz.

Jorge Juan manifestó que "M. de Maupertuis al igual que yo hice en Quito, ignorando su trabajo, supuso que la curva, por cuya revolución se produce la Figura de la Tierra es una elipse” y, aunque el método que utilizara Maupertuis fuera más corto, el mío resultó ser más general.

La cuestión a resolver, y que nosotros exponemos en su totalidad a través de diapositivas, la enunciaba así: "Dados dos

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grados, o minutos de la periferia de una elipse, hallar la razón de sus Diámetros"

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Una de las primeras cuestiones que se le plantearon fue, que como en una circunferencia ángulos centrales iguales interceptan arcos de la misma longitud y en la elipse esto no es así, había que sustituir en los razonamientos que se hicieran, los arcos UT y OP de la elipse por

arcos de círculos que se adaptaran perfectamente a ellos, él se acogió a los de los círculos de curvatura de los puntos medios H e I, de UT y OP, respectivamente.Porque al tener con la elipse un contacto de segundo orden, le permitía igualar las funciones de la elipse y del círculo de curvatura, al igual que sus primeras y segundas derivadas, con lo que disponía de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que le permitía hallar las coordenadas del centro de curvatura y el radio de curvatura. Las fórmulas que encontró, fueron:

según las curvas vinieran en forma explícita, paramétrica o polar. Recordemos que, en la Fig.2, el lugar geométrico de los centros de curvatura es la evoluta KLN de la elipse

Utilizaremos la misma elipse que él empleó para lograr lo expuesto. En ella tomó como unidad de medida el semieje de la Tierra DB, como eje de las equis la recta que contiene al eje EQ y como eje de las íes la tangente a la elipse en el punto E, el semieje positivo del eje de las equis la semirrecta de origen E que contiene a Q. Como ED es el radio R del Ecuador la ecuación paramétrica de la elipse será:

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r= ( 1+ y '2)32

y } } `````````;`````````r= { { \( ``x' rSup { size 8{2} } +y' rSup { size 8{2} } \) ` rSup { size 8{ { {3} over {2} } } } } over {x'``y− y ' x} } `````````;```````r= { { \( ρ rSup { size 8{2} } +ρ' rSup { size 8{2} } \) ` rSup { size 8{ { {3} over {2} } } } } over {ρ rSup { size 8{2} } +`2ρ' rSup { size 8{2} } ` - ``ρ`ρ

x = R + R cos ; y = sen; siendo la latitud

o sea, en forma implícita:

aunque, de la que partió Jorge Juan fuera:

En la figura, por lo tanto, HF e IG son los senos de las latitudes de dichos puntos H e I, puntos medios respectivamente de los grados, o minutos, UT=m y OP=µ de la Fig.2. Como en una circunferencia ángulos centrales iguales interceptan arcos de la misma longitud y en la elipse esto no es así, sustituyó, en sus razonamientos, los arcos UT y OP de la elipse por los correspondientes arcos de los círculos de curvaturas, prácticamente iguales a los de la elipse, al tener con ella un contacto de segundo orden, que le permitía igualar las funciones de la elipse y del círculo de curvatura, al igual que sus primeras y

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( x−R )2

R2 + y2=1

R2 y2=2 R x−x2 (1 )

segundas derivadas, tenia pues un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que le permitía hallar las coordenadas del centro de curvatura y el radio de curvatura

para curvas en forma explícita, paramétrica o polar.

Recordemos que, en la Fig.2, el lugar geométrico de los centros de curvatura es la evoluta KLN de la elipse. Ahora bien como los ángulos ^QYP y ^TXU, ambos por ejemplo de un grado, o de un minuto para que el ajuste sea mejor, son iguales tendremos que en sus círculos de curvatura se verifica que:

Él utilizó la fórmula del radio de curvatura en la forma:

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r= ( 1+ y ' 2)32

y } } `````````;`````````r= { { \( ``x' rSup { size 8{2} } +y' rSup { size 8{2} } \) ` rSup { size 8{ { {3} over {2} } } } } over {x'``y− y ' x} } `````````;```````r= { { \( ρ rSup { size 8{2} } +ρ' rSup { size 8{2} } \) ` rSup { size 8{ { {3} over {2} } } } } over {ρ rSup { size 8{2} } +`2ρ' rSup { size 8{2} } ̀- ``ρ`ρ

rhri

= mμ

(2)

r =( ( d x )2+ (d y )2 )

32

− d x d2 y( 3 )

Halló, a partir de (1), las dx, dy y d2y, las sustituyó en (3), y obtuvo el radio r de curvatura del punto de ordenada “y”:

Sustituyendo en esta fórmula la “y” por y0 y después por y! , encontró los valores rh y ri, y aplicando (2), sacó:

Y de aquí despejó R:

Con lo que podía calcular el radio del Ecuador en ejes de la Tierra, a continuación encontró la razón entre el eje de la Tierra y el diámetro del Ecuador.

y aplicando las fórmulas (8) y (9), considerando que H está en el Polo e I en el Ecuador, o sea con::

9

r =( 1 + ( R2− 1 ) y2 )

32

R

( 1+ ( R2− 1 ) y02 )

32

( 1+ (R2− 1) y12 )

32

=mμ

R = ( m23 − μ

23

μ23 y0

2− m23 y1

2

+ 1 )12 ( 8 )

ℜ = BC2R

= 22 R

= 1R

= ( m23 − μ

23

μ23 y0

2− m23 y1

2

+ 1 )12 (9)

m= 111,946 Km. ; m= 110,640 Km. ; y0= 1 ; y1= 0

que sustituyó en (8) y sacó el radio R = 1,0039193 del Ecuador en semiejes de la Tierra, por lo que el exceso del radio del Ecuador

respecto al semieje de la Tierra es d=0,0039193 ~. 1265 Como la razón

 entre el eje y el diámetro del Ecuador es la inversa de R, fórmula (9), sacó que su valor era:  = 0,996096.

Después se dedica a hallar corolarios que le permitieran sacar los valores en Kms. del eje de la Tierra y el diámetro del Ecuador.

Corolarios

En todos estos corolarios µ vale siempre 110640,42 m., lo que mide el grado de meridiano que midieron en el Perú, e = m - µ, d = R-1 = 0,0039193 y la longitud del semieje de la Tierra es 1, al tomarse como unidad de medida.

Corolario I .- Toma en (8) el m del Perú y como su y1 = 0 saca::

.

Corolario II .- Tomó en (I) la m de Laponia y como su y0 = 1

obtuvo:

10

R = ( m23− μ

23

μ23 y

02

+ 1 )12 ( I )

R3 = mμ

( II )

Los cálculos que realizamos, aplicando la fórmula (8), para encontrar R=1'0039193 semiejes de la Tierra, resultarían más cortos utilizando la (II).

Corolario III .- Para calcular el exceso d del radio R del Ecuador respecto al semieje, puso:

elevó al cuadrado R2 = 1+δ2+2δ

sustituyó R por (8) y obtuvo despreciando δ2 que:

de aquí:

Corolario IV .- A partir de (III) podemos demostrar la siguiente fórmula de Maupertuis:

en la que e = m - m; podemos escribir:

11

R = 1+ δ

R2=1+2 δ= m23−μ

23

μ23 y0

2−m23 y1

2

+ 1

δ= m23−μ

23

2 ( μ23 y0

2−m23 y1

2 )

( III )

δ = ε3 μ ( y0

2 − y12 )

( IV )

m23 = ( μ+ε )

23 = (¿0

23) μ

23 + (¿ 1

23 ) μ 1

3 ε + (¿223 ) μ

43 ε 2 + ρ

y despreciando r , o sea, el resto de esta serie nos queda:

que sustituida en (III) nos da (IV), después de despreciar de nuevo pequeñas cantidades.

Corolario V .- Tomando en (IV) la m del Perú que Þ y1 = 0 tenemos:

Recordando que = m-µ; δ= 1265 e y0 = sen de (V) sacamos:

m=¿ +1) µ (V’)

Corolario VI .- Si en (V) m es la de Laponia, Þ y0 = 1 obtenemos:

Comprobamos con esta fórmula el valor de d = 0,0039193 que calculamos aplicando (8), como eP = 111,946 - 110,640 = 1,306 y m=110,640 sacamos que d = 0,0039346831, por lo que el error cometido, respecto al anterior cálculo, es menor que una diezmilésima del semieje de giro de la Tierra.

Corolario VII .- Como en (V) tanto d = R - 1 como m = 110'640 son constantes, también lo será el siguiente cociente:

12

m23 = μ

23 + 2

3μ

13 ε − 1

9μ

43 ε 2

δ = ε3 μ y0

2( V )

δ =εP

3 μ( VI )

y02

ε= K ⇒

y22

ε2=y3

2

ε 3( VII )

Corolario VIII .- Si tomamos m45º = 111,190 Km., (V) se convierte en:

¿❑45º

3 45ºsen2 =¿=45º

32

=2❑45º

3 (VIII)

y como e45º = 111,190 - 110,640 = 0,550 y m = 110,640 por ser la longitud de un grado contiguo al Ecuador, aplicando (VIII) encontramos:

con un error menor que una milésima respecto a los resultados obtenidos anteriormente.

Corolario IX .- La (VIII) la podemos escribir de la siguiente forma:

❑❑45 º

= 132

Por lo que " el grado de meridiano contiguo al Ecuador es a lo que el grado de 45º excede al anterior, como el semieje de la Tierra es a vez y media el exceso del radio del Ecuador respecto al semieje de la misma".

Corolario X .- Como los grados de meridiano m son proporcionales a sus radios de curvatura y el grado del propio Ecuador k lo es a su radio R, sacamos:

13

δ = 0 ,550 x 23 x 110 ,640

= 0 ,0033140516

m R

( 1 + ( R2 − 1 ) y2 )32

= κR

mκ

=( 1 + (R2− 1) y2 )

32

R2 ( X )

de donde obtenemos:

Corolario XI .- Si m es el del Perúr m Þ y=0 y entonces la (X) se convierte en:

haciendo uso del inicio del Corolario (III).

Corolario XII .- Como una proporción se conserva al restarle a

cada consecuente su antecedente, de (XI) obtenemos:

siendo eE el exceso del grado k.

Corolario XIII .- Por (VI) podemos poner:

después de apoyarnos en (XII), m es la longitud de un grado contiguo al Ecuador y eP el exceso del grado del Polo..

Corolario XIV .- De (XIII) y (VII) sacamos:

siendo j la latitud del lugar donde la longitud del grado de meridiano coincide con el grado del propio Ecuador y como:

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μκ

= 1R2

⇒ μκ

= 11 +2 δ

( XI )

μεE

= 12 δ

( XII )

με P

= 13 δ

⇒ε EεP

= 23

(XIII )

32

=εPεE

=yP

2

yE2 = 1

sen2 ϕ( XIV )

sen2 ϕ = 23

⇒ ϕ = 54 º 44 ' 8 . 2} {¿

Del mismo modo que nosotros calculamos la razón  del eje al diámetro del Ecuador, mediante la fórmula (8), conocidas las longitudes de los minutos o grados de meridiano próximos al Polo y al Ecuador y obtuvimos como resultado 0'996096, Jorge Juan y Santacilia dijo: " Yo he hecho varias veces esta operación, y siempre la he concluido distinta, valiéndome de distintos grados; lo que prueba, que no están estos entre sí en la razón que pide el Corolario VII. Según éste es preciso que las cantidades 0'5500311 Km., 1'3060483 Km. en que los grados de latitudes 45º y 66º 31' exceden respectivamente al contiguo al Ecuador, sean entre sí como los cuadrados de los senos de dichas latitudes, lo que no se hallará si se examina".

En efecto tenemos que y2 = sen 45º , y3 = sen 66º 31' , e2 = 0,5500311

y e3 = 1,3060483 por lo tanto:

que se diferencian en algo más de dos décimas.

Y continúa diciendo Jorge Juan y Santacilia: " Por este motivo quieren algunos, que no sea exacta la suposición hecha, de que la curva, por cuya revolución se produce el esferoide de la Tierra, sea una elipse. Pero muy lejos de creer yo, que las disparidades, que se hallan en los excesos de los grados, procedan de la suposición hecha, de que la curva sea una elipse, discurro no nacen más, que del corto yerro, que indispensablemente se debe cometer en las medidas de los grados, como se verá en el libro siguiente" (refiriéndose al Libro VIII " De las Experiencias del Péndulo simple, y conclusión de la Figura de la Tierra" de su obra Observaciones Astronómicas).

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sen2 45 º0 ,5500311

= 0 ,9090395 ; sen2 66 º 31 '1,3060483

= 0 ,6440894

En este libro VIII destaca la concordancia entre sus investigaciones y los resultados correspondientes a que llega la obra Theori de la Figure de la Terre tirée des principes de l'Hydrostatique de Clairaut. El cual demuestra que la Tierra tiene forma de elipsoide, tanto si es homogénea como si no lo es, porque lo único que varía, de un caso al otro, es la razón  de sus ejes que en el primero es de 230 a 231 y en el segundo algo menor.

Siguiendo la forma de proceder de esta obra confirma la validez de todas sus fórmulas y corolarios, del capítulo VI del libro VII de Observaciones Astronómicas, y hace uso de la fórmula que

en él se incluye relativa a los péndulos:

que es análoga a la que él obtuvo en el corolario VI para grados de meridiano; d es el exceso del radio R del Ecuador sobre el semieje de la Tierra, elegido este último como unidad de medida; LP y LE son las longitudes del péndulo que bate segundos en el Polo y el Ecuador respectivamente siendo e, la elipticidad de la Tierra supuesta homogénea, o sea, el exceso del diámetro del Ecuador respecto al eje dividido por el mismo eje, por lo que e = R - 1 = (231/230) - 1 = 1/230 .

Jorge Juan Santacilia refiriéndose a la igualdad (10) manifiesta que: "Si aplicamos esta fórmula a los péndulos observados, se hallará la razón de los diámetros de la Tierra, que después se verá no convenir con la que dieren los grados medidos; es pues preciso, que las suposiciones hechas no sean exactas, o que haya algún yerro en las medidas, que ya notamos en los corolarios. No podemos asegurar lo uno ni lo otro; pero siempre que los yerros no salgan fuera de los límites en que están encerrados, parece que debemos aceptarlos prudentemente, y más cuando con ello conviene todo lo operado".

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δ = 2 ε −LP− LELE

(10 )

A través de sus muchas experiencias con el péndulo en Quito calculó LE=0,96838 m., y por los trabajos de Maupertuis en Laponia sabía que LP= 0,97326

Con todos estos datos aplica la fórmula (10) y saca d=0,0036 considerándola como 1/265, por la coincidencia de ambas hasta las milésimas, redondea la longitud del grado de meridiano contiguo al Ecuador que había medido 110,64042Km. y que él toma como 110,7032 Km. , o sea, lo incrementa en 62,78 m. A partir de aquí puede calcular, por ejemplo, el exceso e45º del grado de meridiano en las proximidades del paralelo de 45º respecto al grado m contiguo al Ecuador por la fórmula (IX), encuentra:

e45º= 3md/2 = 0,6266218 Þ m45º = 111,32982 Km.

por lo que la longitud m45º del grado de meridiano en las cercanías del paralelo de 45º de latitud, por la fórmula (IX), sale 139,37 m. más largo que el medido por los astrónomos franceses que fue de 111,19045 Km.

Por la fórmula (V’) m45º= 111,16612 , o sea, unos 23,88 m. menos que los franceses.

A través, por ejemplo, de la fórmula (VI) se puede calcular la longitud del grado de meridiano mP en el Polo, pues:

eP= 3md = 1,2532438 Þ mP = 111,95644 Km.

resultando que esta longitud es 10,44 m. superior a la que obtuvieron en Laponia que fue de 111,946 Km.

También se puede calcular por la fórmula (V’) obteniéndose mp= 111893 con una longitud de 65 m. por debajo de la de Laponia.

Mediante la fórmula (XII) calcula la longitud del grado k del propio Ecuador:

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eK = 2md = 0,8354958 Þ k = 111,5387 Km.

O mediante la (V’), teniendo en cuenta que k=m54º 44’ 8,2” y sale

k= 111832,35º, o sea, 293,6 m. de más.

acada de la (V), puede reemplazar a las (VI), (IX), y (XII) que acabamos de aplicar, sirve para todos los casos, incluso para calcular el grado k del propio Ecuador poniendo j= 54º 44' 8,2" como vimos en el corolario XIV, en ella m es la longitud del grado de meridiano en las proximidades del paralelo de latitud j, y m=110,7032 Km. la longitud del grado contiguo al Ecuador.

Aplicando (11) calculamos m66º29' =111,75691 Km. cuando al medirlo su longitud fue de 189,752 m. más, o sea, 111,94666 Km.,

Estos desajustes, por no ser demasiado significativos, hicieron que Jorge Juan Santacilia afirmase: "Según todo esto las observaciones convienen en que la Tierra es un elipsoide lata, y su razón de diámetros  = 265/266 aunque en esto último se podrían admitir algunas cortas alteraciones, según los yerros, que se quisieren suponer en las observaciones".

Establecido esto, como el valor del grado k del Ecuador hemos visto que tiene 111,5387 Km., la longitud de la circunferencia del Ecuador será de 40153,932Km. y su radio R = 6390,6968 Km. luego:

longitud del eje = 2 x 6390,6968 x 265/266 = 12733,343 Km., por lo que podemos decir que el centro de la Tierra dista 24,0253 Km. más de los puntos del Ecuador que de los Polos.

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m = ( 3 sen2ϕ265

+ 1 ) μ (11)

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