antenas e propagação -...
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2Antenas Filiformes
• Equações de Maxwell e Relações Constitutivas– Forma diferencial no domínio do tempo
Lei de Faraday
Lei de Ampére
Lei de Gauss
Continuidade das linhas de força de B
Equações de Maxwell
Relações Constitutivas
ε - permitividade
µ - permeabilidade
3Antenas Filiformes– Notação fasorial para grandezas sinusoidais
(o mesmo para H)
Equações de Maxwell
Relações Constitutivas
Condutividade
Num meio linear, homogéneo e isotrópico ε, µ e σ são constantes.
4Antenas Filiformes
• Determinação dos campos radiados– Normalmente é mais simples determinar os campos devidos às
fontes recorrendo a vectores potenciais• A – vector potencial magnético
• F – vector potencial eléctrico
5Antenas Filiformes– Vector potencial magnético A devido a uma fonte de corrente J
• Dado que
• E usando a identidade vectorial (válida para qualquer vector)
• Podemos definir o vector potencial magnético pela relação
• Substituindo na equação de Maxwell para o rotacional de E vem
• Da identidade vectorial (onde φe é um potencial eléctrico escalar arbitrário)
• Podemos escrever para o campo eléctrico
6Antenas Filiformes– Equação de onda
• Aplicando o operador rotacional à equação
e usando a identidade vectorial
temos
• Substituindo as relações seguintes em (1)
• Obtém-se
• Definindo a divergência de A pela condição de Lorentz
• Obtemos finalmente
(1)
sendo
Equação de onda
7Antenas Filiformes– A equação de onda
é uma equação não homogénea que permite calcular o vector potencial A a partir do conhecimento da densidade de corrente Jda fonte
– Uma vez obtido A podem-se calcular os campos pelas relações seguintes
Obtém-se o campo magnético a partir de A
A partir do campo magnético obtém-se o campo eléctrico, supondo a densidade de corrente nula pois estamos interessados nos pontos do espaço fora da fonte
8Antenas Filiformes– A solução da equação de onda, para pontos do espaço fora da
fonte, pode ser feita por analogia com o caso estático (w = 0 e k= 0) mas multiplicando pelo factor e-jKr
– Para o caso da fonte estar na origem das coordenadas o integral a resolver é o seguinte
9Antenas Filiformes– Para o caso da fonte estar fora da origem das coordenadas o
integral a resolver é o seguinte
10Antenas Filiformes
• Dualidade• Se duas equações que descrevem o comportamento de duas grandezas
distintas têm a mesma forma matemática as suas soluções são idênticas; as grandezas que ocupam as mesmas posições nas duas equações são ditas grandezas duais assim como as equações
Grandezas Duais Equações Duais
11Antenas Filiformes
• Dipolo infinitesimal ou elementar(comprimento l << λ e raio a << λ)
– Esta antena constitui o elemento base para o estudo das antenas filiformes de qualquer comprimento
– Considerando a antena na origem dos sistema de coordenadas e orientada segundo o eixo dos zztemos
12Antenas Filiformes– Partindo do potencial vector magnético
– Considerando que a densidade de corrente pode ser substituída por uma corrente constante na direcção do eixo dos zz
– No passo seguinte obtém-se o campo magnético calculando o rotacional do vector potencial, pela relação
13Antenas Filiformes– A transformação de coordenadas rectangulares para esféricas é
– O rotacional em coordenadas esféricas terá apenas componente segundo φ que podemos obter pela expressão seguinte
00
14Antenas Filiformes– Do rotacional do potencial vector obtém-se o campo magnético
– Obtemos agora o campo eléctrico da equação de Maxwell
• considerando J = 0 pois estamos interessados no campo eléctrico em pontos do espaço fora da fonte
Impedância intrínseca de meio
15Antenas FiliformesAs expressões obtidas para os campos permitem distinguir três regiões espaciais em torno do dipolo elementar
• Região reactiva do campo próximo Kr << 1– No campo eléctrico dominam os termos proporcionais a 1/r3
Em fase entre si mas em quadratura com o campo magnético (a potência média associada é nula, daí o nome de região reactiva)
16Antenas Filiformes
• Região de radiação do campo próximo Kr > 1– No campo eléctrico o termo proporcional a 1/r3 é desprezável
Existe uma componente relevante do campo eléctrico (Er) segundo a direcção da propagação pelo que não temos ainda uma onda TEM
17Antenas Filiformes
• Região do campo distante Kr >> 1– No campo eléctrico domina o termo proporcional a 1/r
Esta é a região de interesse do ponto vista da radiação. Os campos eléctrico e magnético estão em fase, são perpendiculares entre si e estão num plano perpendicular à direcção radial da propagação, constituindo assim uma onda TEM (Transverse ElectroMagnetic).
A impedância de onda é igual à impedância intrínseca do meio.
No campo distante a onda electromagnética radiada comporta-se como uma onda plana.
Impedância de onda
18Antenas Filiformes
• Densidade de potência– É dada pelo vector de Poynting
– Com componentes segundo r e θ
19Antenas Filiformes
• Potência Média Total– A potência média total na direcção radial é dada por
– Podemos também escrever
Prad + jQ
20Antenas Filiformes
• Potência radiada– A parte real da potência média total é a potência média radiada
que normalmente designamos apenas por potência radiada Prad
• Potência reactiva Q– A parte imaginária da potência média total é a potência reactiva
Note-se que não depende de r, o que significa que terá sempre o mesmo valor qualquer que seja a esfera que se considera para integrar a densidade de potência. Isto significa que a densidade de potência W tem de diminuir proporcionalmente ao aumento da área da esfera de integração, isto é, W ~1/r2
Decresce rapidamente com a distância r, sendo desprezável no campo distante
21Antenas Filiformes
• Resistência de radiação do dipolo elementar– A partir da potência radiada pode-se definir a resistência de
radiação da seguinte forma
– Uma antena filiforme real pode ser aproximada pelo dipoloelementar se l << λ (usualmente considera-se l ≤ λ/50)
– Para l = λ/50 obtém-se uma resistência de radiação de 0,361 Ωo que significa uma desadaptação elevada quando estas antenas são alimentadas por linhas de 50 ou 75 Ω
120π
22Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação– A intensidade de radiação é dada por
– Cujo máximo ocorre para θ = 90º
Diagrama de radiação normalizado
Omnidireccional nos planos perpendiculares ao dipolo e tipo “figura de oito” nos planos que contêm o dipolo
23Antenas Filiformes
• Directividade– Aplicando a definição obtém-se para a directividade máxima do
dipolo elementar
• Área efectiva máxima
24Antenas Filiformes
• Dipolo pequeno ou electricamente curto(comprimento λ/50< l ≤ λ/10 e raio a << λ)
Distribuição de corrente linear com máximo na origem e nula nos extremos da antena
z’ = z e R ≈ r
25Antenas Filiformes– Calculando o potencial vector com a distribuição de corrente
triangular vem
– Como z’ = z e R ≈ r obtemos o resultado seguinte
Metade do valor do potencial vector do dipolo elementar
26Antenas Filiformes– Como o potencial vector do dipolo curto é metade do obtido para
o dipolo elementar então os campos radiados serão também metade
– Para o campo distante temos
– Como a intensidade de radiação é proporcional a Eθ2 então a
intensidade do dipolo curto será ¼ da do dipolo elementar– O mesmo para a densidade de potência
27Antenas Filiformes– Do mesmo modo se conclui que quer a potência radiada quer a
resistência de radiação do dipolo curto serão as do dipoloelementar multiplicadas por ¼
– A directividade e a área efectiva têm o mesmo valor do dipoloelementar
– O diagrama de radiação normalizado é igual para os dois dipolos (curto e elementar)
28Antenas Filiformes
• Dipolo de comprimento finito (Regiões envolventes)
• Região do campo distante
Para o campo distante podemos considerar R e r paralelos e tomar as seguintes aproximações
Nas amplitudesR ≈ rNas fasesR ≈ r – z’cosθ
29Antenas Filiformes
• Região do campo distante– As aproximações R ≈ r nas amplitudes e R ≈ r – z’cosθ nas
fases são válidas para r ≥ 2l2/λ• Garantem um erro de fase menor que π/8 rad
– Esta aproximação é estendida para outros tipos de antenas substituindo-se l pela maior dimensão da antena D
• Define-se região reactiva do campo próximo se
• Região de radiação do campo próximo se
Região do campo distante (Fraunhofer)
Região de Fresnel
30Antenas Filiformes
• Dipolo de comprimento finito– Distribuição de corrente na antena
Toma-se como analogia o que se passa numa linha de transmissão em circuito aberto e considera-se para a antena uma distribuição de corrente sinusoidal, com um máximo I0 e com nulos de corrente nos extremos.
Distribuição de corrente para vários valores de l
31Antenas Filiformes
• Determinação dos campos radiados distantes• Considera-se o dipolo de comprimento finito constituído por dipolos
elementares de comprimento dz’.• Cada dipolo elementar colocado na sua coordenada z’ tem uma distribuição
de corrente constante e igual ao valor da distribuição de corrente I(z’) para essa coordenada.
• Recorrendo à sobreposição somam-se os campos distantes devidos a todos os dipolos elementares que constituem o dipolo finito. Esta soma é um integral onde se tomam as aproximações para o cálculo do campo distante, isto é, nas amplitudes R ≈ r e nas fases R ≈ r – z’cosθ
32Antenas Filiformes
• Determinação dos campos radiados distantes• A resolução do integral anterior pode fazer-se recorrendo a
• O resultado obtido é
• E para o campo magnético vem
sendo
33Antenas Filiformes
• Densidade média de potência radiada
• Intensidade de radiação
34Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação
Para l ≤ λ não ocorrem lóbulos secundários
Plano vertical
35Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação– Para l ≥ λ teremos lóbulos secundários (na figura l = 1.25 λ)
Diagrama 3D
Plano vertical
36Antenas Filiformes
• Potência radiada
– A resolução deste integral exige manipulações matemáticas extensas obtendo-se
– Onde C = 0,5772 é a constante de Euler e os integrais Ci e Si aolado estão tabelados
37Antenas Filiformes
• Resistência de radiação, directividade e área efectiva
• Resistência de entradaDependendo do valor de l normalmente o valor da corrente de entrada será diferente do máximo I0 da distribuição de corrente; deve referir-se a resistência de entrada àcorrente de entrada I in
38Antenas Filiformes
• Dipolo de meio comprimento de onda• Utilizam-se as expressões para o dipolo de comprimento finito com l = λ/2
• Campos radiados distantes
• Densidade de radiação, intensidade de radiação
39Antenas Filiformes
• Diagrama de radiação (normalizado)
Diagrama 3D
Omnidireccional nos planos perpendiculares à antena
Direcção de máximo θ = π/2
Largura de feixe a meia potência de 78º
40Antenas Filiformes
• Potência radiada
• Directividade e área efectiva
41Antenas Filiformes
• Resistência de radiação– Neste caso temos distribuição de corrente com I in = I0
• Impedância de entrada
– Normalmente para eliminar a parte imaginária de Zin reduz-se o comprimento físico l da antena para valores entre 0,47λ e 0,48λ, isto é, procura-se o valor de l correspondente à primeira ressonância onde Zin fica puramente real
42Antenas Filiformes
• Dipolo dobrado• Em certos casos práticos usam-se linhas de transmissão com impedâncias
características mais elevadas que 50 Ω ou 75 Ω (por ex. 300 Ω). Para promover a adaptação podem usar-se modificações do dipolo, sendo um exemplo o dipolo dobrado.
λ/2
s→ 0
Id Idd
Dipolo λ/2 DipoloDobrado
Com s muito pequeno podemos dizer que o campo distante radiado pelo dipolo dobrado é o dobro do dipolo de meio comprimento de onda, logo para as resistências de radiação teremos a relação
Se em vez de dois elementos usarmos N elementos próximos teremos
Rdd = 4Rd
Rdd = N2Rd
43Antenas Filiformes
• Dipolo situado acima de um plano condutor perfeito e infinito– Recorre-se à teoria das imagens considerando uma antena
virtual, a antena imagem, abaixo do plano condutor
A localização da antena imagem é tal que o campo produzido pela antena real, em qualquer ponto acima do plano condutor, pode ser obtido somando o campo directo proveniente da antena real com o campo proveniente da antena imagem
44Antenas Filiformes
• Dipolo elementar vertical a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito
Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r
Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ
Aproximações para cálculo do campo distante
Imagem
45Antenas Filiformes– Campo directo
– Campo reflectido (provem da antena imagem)
– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos
Coeficiente de reflexão vale 1
Factor do elemento EF(θ)
Factor de agrupamento
AF(θ)
46Antenas Filiformes– Intensidade de radiação (máxima em θ = π/2)
– Diagrama de radiação
Plano Vertical
O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de 2h/λ + 1
47Antenas Filiformes– Potência radiada, directividade e resistência de radiação
• Kh elevado então D0 e Rr ficam iguais às do dipolo isolado
• Kh = 0 então D0 e Rr são o dobro do dipolo isolado
• O máximo da directividadeocorre para h = 0,458λ
48Antenas Filiformes
• O monopolo– Antena vertical com l = λ/4, alimentada na sua base junto a um
plano condutor perfeito
Monopolo
DipoloEquivalente
Imagem
• Acima do plano xy as antenas produzem o mesmo campo, logo a intensidade de radiação e densidade de potência são iguais nesse semi-espaço
• A potência radiada pelo monopolo e a resistência de radiação são metade do dipolo isolado
• A directividade do monopolo é o dobro do dipolo isolado
• A impedãncia de entrada é metade da do dipolo isolado
49Antenas Filiformes
• Dipolo elementar horizontal a uma altura h do plano condutor perfeito e infinito
Nas amplitudesr1 ≈ r2 ≈ r
Nas fasesr1 ≈ r – hcosθr2 ≈ r + hcosθ
Usam-se as mesmas aproximações para cálculo do campo distante
Supondo antena na direcção do eixo dos yy
Imagem
50Antenas Filiformes– Campo directo
– Campo reflectido (provem da antena imagem)
– Somando os dois campos e aplicando as aproximações nas amplitudes e nas fases para o cálculo do campo distante temos
Coeficiente de reflexão vale -1
EF(θ) AF(θ)
Nota:
51Antenas Filiformes– Intensidade de radiação
– Diagrama de radiação
Plano vertical que contém a antena
O número total de lóbulos vem dado pelo inteiro mais próximo de2h/λ com no mínimo 1
52Antenas Filiformes– Potência radiada, resistência de radiação e directividade
R(kh)
Notar que h = 0 não pode ser considerado pois antena ficaria sobre o plano condutor perfeito não radiando
53Antenas Filiformes
• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar vertical a uma altura h
da terra
Plano Vertical
• O coeficiente de reflexão Rv
depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção
• O programa que iremos usar permite considerar este efeito de terra para vários tipos de solos
54Antenas Filiformes
• Efeito da terra (considerada como plana)– Campo distante para o dipolo elementar horizontal a uma altura
h da terra
Plano vertical que contém a antena
• O coeficiente de reflexão Rh
depende das impedâncias intrínsecas do ar e da terra e dos ângulos de incidência e de refracção
• Neste caso o diagrama não é muito diferente da situação de um plano condutor perfeito