PORTAFOLIOS DE CALCULO INTEGRAL DE PRIMER CORTE

PRESENTADO POR:

PRESENTADO A:GUILLERMO E. CADENA HERRERA

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

2014Anti derivadas o primitivasUna anti derivada o primitiva como s ele conoce no es ms que la operacin contraria a una derivada, y se denota como: f(x) dx. Estas operaciones se llevan a cabo con el fin de encontrar la funcin de la que se obtuvo una derivada cualquiera.Formulas generales: f(x) = axn esto es una funcin, y derivndola obtendramos f (x) = naxn-1Integrando la derivada axn dx = axn+1/n+1 + c. Esta es la forma generalizada de una integral. Ntese que la expresin obtenida despus de integrar la derivada viene siendo igual a la funcin que derivamos.

Integrales inmediatasLas integrales inmediatas son aquellas de las que podemos tener un resultado inmediato mediante una operacin mental, sin necesidad de aplicas ningn procedimiento complicado ni ninguna propiedad especifica.Por ejemplo:(x2-6x)dx = (x2+1/2+1)- (6x1+1/1+1) + c = (x3/3)-(6x2/2) =(1/3)x3-3x2 +cNotemos que la regla general para las integrales inmediatas, axn dx = axn+1/n+1 + c se cumpleEl +c se coloca siempre al final de una integracin porque existen infinitos valores que pueden satisfacer dicha integral y la forma de representarlos es con la variable c que representa a una constante.

Graficas de funciones Cualquier grafica puede construirse con tan solo tener la derivada de esta y un punto de la funcin. Simplemente debemos integrar la derivada y encontrar la funcin, luego la remplazamos los valores de (x,y) del punto que nos dieron en la funcin para encontrar c; luego tendremos la funcin completa y la graficaremos con un mtodo de nuestra preferencia. Por ejemplo:Encuentre y grafique f(x) = 5x+4 y (0,-3) es un punto de f(x)F(x) = 5x+4 = (5x2/2)+4+cRemplazando el punto en f(x)= -3 = 5(0) + $(0) + c -3=c Por lo tanto: f(x)= (5x2/2)+4x-3La grafica seria la siguiente

Propiedades de la integracin indefinida1. Integrar una multiplicacin por una constante es lo mismo que multiplicar la constante por la integral de la funcin as: k.f(x)dx = kf(x)dx2. Integrar una suma de funciones es igual que sumar la integral de esas 2 funciones as: (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx3. Integrar una diferencia de funciones es lo mismo que la diferencia de las integrales de cada funcin asi:(f(x) - g(x))dx = f(x)dx - g(x)dx

Integral por sustitucinEste mtodo se utiliza en caso de estar frente a una integral que no se inmediata, y que en la integral que tenga el producto de una funcin por su derivada, o cuando la derivada se puede obtener a partir de resultados algebraicos sin alterar la respuesta. En forma general se expresara as: Si se tiene una integral f(x) . f(x)dx se puede remplazar f(x) por una variable u y f(x) por du de esta manera quedara as: uduSe derivara en esa forma y luego se remplazara otra vez por el valor original de u,La idea de usar este mtodo, es que despus de sustituir las variables en la integral, debera quedar una integral ms sencilla.Por ejemplo: u = du = 4x 3Remplazando las variables quedara as: Remplazando u: + c

Integracin por partes Este mtodo de integracin consiste en transformar la integral que tenemos en otra ms sencilla de integrar. Esto se hace utilizando la forma de integracin No existe ninguna forma que nos demuestre claramente que integral se debe resolver por este mtodo, y tampoco que funcin de la integral debemos escoger como u, pero si podemos decir que al aplicarla la formula la parte de debe ser ms sencilla que Por ejemplo: Aplicando la frmula:Solucionando la integral

Integrales trigonomtricas Existen diferentes estructuras diferentes para una integral trigonomtrica, y cada una de ellas se debe abordar de manera diferente para resolverse. A continuacin mostraremos varias estructuras y como se resuelven: 1. A) integrales de la forma senkx cosnx dx siendo k y n enteros no negativos y que por lo menos uno de los dos se impar.Por ejemplo: sen5x cos2x dxEn este caso observamos que se cumple que uno de los exponentes sea impar y con exponentes no negativos entero. Entonces habiendo verificado esto se procede as:

=(=

B) Ambas potencias son pares para seno y coseno x.Las funciones se separan hasta quedar con exponentes cuadrados y luego se remplazan por las identidades: cos2x = (1+cos2x)/2 sen2x = (1-cos2x)/22. Integrales de la forma tankx secnx dx donde k y n son enteros no negativos n es par se sustituye u = tanx n es impar y k es impar sustituimos u = secx

3. Integrales de la forma senAx cosBx dxEsto se resulve aplicando: senAx cosBx dx = (1/2)(sen(A+B)x + sen(A-B)x)

senAx SenBx dxGeneralizando la solucin:senAx SenBx dx = (1/2)(cos(A-B)x - cos(A+B)x)

cosAx senBx dx Generalizando la solucin: cosAx senBx dx = (1/2)(cos(A-B)x + cos(A+B)x)

Integracin por sustitucin trigonomtrica Las integrales es que contienen polinomio de segundo grado, se pueden transformar a integrales directas o inmediatas si se utilizan sustituciones de variables que contienen funciones trigonomtricas que transforman la expresin en una identidad trigonomtrica.Las sustituciones que involucran funciones trigonomtricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo integrando contiene una expresin de la forma: a2-u2 a2+u2 u2-a2El objetico de las sustituciones trigonomtricas es eliminar al radical en el integrando. Hacer esto con las identidades pitagricas.Por ejemplo: a 0, sea u= a sin; donde , entonces: a2-u2 = a2-a2sen2 = a2(1-sen2 = a2cos2 =acos cos, porque -

Sustituciones trigonomtricas (a0) Para integrales que contienen a2-u2, se u = asen Entonces a2-u2 = acos, donde

u a a2-u2 Para integrales que contienen a2+u2, sea U = atanEntonces a2+u2 = asec, donde

u a2+u2

a

Para integrales que contienen u2-a2, sea u = asecEntonces u2-a2 = atan, donde 0 o Usar el valor positivo si ua y el valor negativo si u-a

u2-a2 u

a

Integracin por fracciones parcialesDe acuerdo con la definicin de una funcin racional, H es racional cuando H(x) = (P(x))/ (Q(x)), siendo P(x) y Q(x) polinomios.El mtodo de las fracciones parciales consiste en descomponer una funcin racional en funciones racionales ms simples para poder aplicar las formulas bsicas de la integracin. Se consideran varios casos por separado:

Caso 1Los factores del denominador Q(x) son todos los lineales y ninguno se repite, es decir: Q(x) = (a1x+b1)(a2x+b2)(anx+bnx)En este caso, se escribe: (P(x))/ (Q(x)) = (A1/(a1x+b1))+ (A2/(a2x+b2))+ (An/(anx+bn))Por ejemplo:Factorizamos el denominador

Expresamos el integrando como una suma de fracciones parciales

Se multiplican ambos miembros por el mnimo comn denominador (x+2)(x-2) y se simplifican

Asociamos de la forma correcta:

Armamos un sistema de ecuaciones lineales para encontrar A y B:

Sustituimos A y B:

De tal manera que:

Caso 2Para cada factor lineal (px+q)m, la descomposicin en fracciones simples debe incluir la suma siguiente de m fracciones: Por ejemplo:

Pero:Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

Caso 3 Factorizar completamente el denominador en factores de los tipos (px+q)m y (ax2+bx+c)n , donde ax2+bx+c es irreducible.Por ejemplo:

Con lo que se obtiene

de donde

Luego los valores a encontrar son.A =0, B =1, C =1, D =0

Otros ejemplosa. (Por partes)

; (*)

Donde Hacemos nuevamente

Y volviendo nuevamente a la expresin (*) obtenemos el resultado final:

b. (Por partes)

. Aplicamos nuevamente el mtodo de integracin por partes:

c. =

=

==

d. Sustitucin

e. Sustitucin

f. Sustitucin trigonomtrica

g. Sustitucin trigonomtrica

h. Fracciones parciales

Bibliografa Purcell Varberg Rigdon, Calculo