antiderivada o primitiva - matevbv.files.wordpress.com · a medida que vayas haciendo ejercicios...

Antiderivada o Primitiva

Antiderivada o Primitiva

Veronica Briceno V.

Octubre 2013

Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva

En esta Presentacion...

En esta Presentacion veremos:

Definicion de Antiderivada

EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.




Definicion de AntiderivadaEjemplos

Metodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.




Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de Sustitucion

Metodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.




Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes

Antiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.




Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por Tramos

Antiderivada de una Funcion InversaEjemplos.




Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion Inversa

Ejemplos.




Definicion de AntiderivadaEjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por PartesAntiderivada de Funciones Definidas por TramosAntiderivada de una Funcion InversaEjemplos.


Definicion

Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Una PRIMITIVA o ANTIDERIVADA de f en A es una funcionF : A ⊆ R→ R continua, si:

F ′(x) = f (x), ∀x ∈ A.


Ejemplos:

1 f (x) = x2

2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1

x + ex + 2x5−√

xx


Ejemplos:

1 f (x) = x2

2 f (x) = sen(x)

3 f (x) = 1x + ex + 2x5−

√x

x


Ejemplos:

1 f (x) = x2

2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1

x + ex + 2x5−√

xx


Observaciones:

1 Las antiderivadas no son unicas.

2 Notacion:∫f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .


Observaciones:

1 Las antiderivadas no son unicas.2 Notacion:∫

f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .


Tabla de Antiderivadas

1∫

dx = x + C2∫

xndx = xn+1

n+1 + C3∫ dx

x = ln|x |+ C4∫

sen(x)dx = −cos(x) + C5∫

cos(x)dx = sen(x) + C6∫

tg(x)dx = −ln(|cos(x)|) + C7∫

cotg(x)dx = ln(|sen(x)|) + C8∫

sec2(x)dx = tg(x) + C9∫

sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C10∫

exdx = ex + C11∫ dx√

1−x2= arcsen(x) + C

12∫ dx

1+x2 = arctg(x) + C


IDEA!!!

Construye tu propia tabla con antiderivadas.A medida que vayas haciendo ejercicios podras ir completandoesta tabla.


Proposiciones:

1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.

2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =

∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫

f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,

a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de

f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.

Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Proposiciones:



∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫

f (x)dx , α ∈ R

3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,a 6= 0, entonces 1

aF (ax + b) es una antiderivada def (ax + b) en A.

4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)

f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Proposiciones:



∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫



f (ax + b) en A.

4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)

f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Proposiciones:



∫f (x)dx +

∫g(x)dx∫

αf (x)dx = α∫



f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0, ∀x ∈ A.

Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C


Ejercicios:

Calcular:

1∫

sen2(x)dx

2∫ √1+x

1−x dx

3∫(√

x + x)2dx4∫ ex

1+ex dx


Metodo de Sustitucion

TeoremaSea g una funcion derivable con recorrido un intervalo I .Suponga tambien que f es continua en I entonces∫

f (g(x))g′(x)dx =

∫f (u)du =

∫f (u)

dudx

dx


Ejercicios:

Calcular:

1∫

x√

25 + x2dx2∫ dx√

x(1+√

x)2

3∫ √x+ln x

x dx4∫ dx

7x2+8dx5∫

42−3xdx6∫ x+1√

x2+2x−4dx

7∫ e2x

1+ex dx8∫ 3x

x2+1dx9∫

sen3(x)dx


Algunas Tecnicas de Sustitucion:

Se tiene:

InmediataRacionalFracciones ParcialesTrigonometricaHiperbolicasTangente del Angulo MedioIrracional

NOTA:Mas adelante, veremos un capitulo sobre FuncionesTrascendentales, donde estudiaremos las FuncionesHiperbolicas.


Algunas Ideas:

Formas Irracionales:

Si la antiderivada contiene terminos: n√

x , m√

x , usar lasustitucion: unm = x

Formas Racionales:∫ p(x)

q(x)dx

Analizar si q(x) se puede factorizar, entonces usar fraccionesparciales, en otro caso, utilizar otra estrategia como completarcuadrados, formas trigonometricas, etc.


Sustitucion Trigonometrica:

Analizar las formas: ∫senn dx ;

∫cosm dx

∫senn cosm dx

Para antiderivadas que contienen terminos de la forma:√a2 − x2 ,

√a2 + x2 o

√x2 − a2 , usar la sustitucion:

x = a sen θ , x = a tg θ o x = a sec θ.

Muy util es tambien la sustitucion: z = tg(x/2).Donde: sen(x/2) = z

1+z2 ; cos(x/2) = 11+z2

Por tanto, sen x = 2z1+z2 ; cos x = 1−z2

1+z2


Ejercicios Propuestos:

Calcular:1∫ e1/x

x2 dx2∫ arc tg(x/2)

4+x2 dx

3∫ (arc sen x)2√

1−x2dx

4∫ x√

1+x4dx

5∫ dx

x√

x2−2

6∫ dx

1+ex

7∫ x2+1

x3+8dx8∫ dx

3√x+√

x9∫ dx

x2−2x+210∫ dx

2x2+12x+1011∫ √

2 + x2dx


Metodo de Integracion por Partes

Metodo de Integracion por Partes∫udv = uv −

∫vdu


Ejercicios:

Calcular:

1∫

x cos(x)dx2∫

ln(x)dx3∫

x2exdx4∫

ex cos(x)dx5∫

sen(ln x)dx


Ejercicios:

Usar integracion por partes para escribir las formulas dereduccion:

1∫

cosn(x)dx = cosn−1 x sen xn + n−1

n

∫cosn−2(x)dx

2∫

xn cos(x)dx = xnsenx − n∫

xn−1 sen(x)dx3∫

xnexdx = xnex − n∫

xn−1exdx4∫(ln x)ndx = x(ln x)n − n

∫(lnx)n−1dx


Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos

Observacion

Por definicion, F debe ser continua.

Ejercicios:Calcular:

1 La antiderivada de:

f (x) ={

x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx



ObservacionPor definicion, F debe ser continua.



f (x) ={

x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx




Ejercicios:

Calcular:


f (x) ={

x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx






f (x) ={

x − 1 si x < 1x + 2 si x ≥ 1

2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx

3∫|x − |x − 2||dx


Antiderivadas de una Funcion Inversa

Nos interesa calcular:

∫f−1(x)dx

Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−

∫f (u)du

En efecto: usando la sustitucion u = f−1(x)⇐⇒ f (u) = xAsı, f ′(u)du = dx . Entonces,∫

f−1(x)dx =

∫uf ′(u)du

Usando integracion por partes:

w = u,dw = du

dv = f ′(u)du, v = f (u)



Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx


∫f (u)du


f−1(x)dx =

∫uf ′(u)du


w = u,dw = du

dv = f ′(u)du, v = f (u)




Aplicar:

∫f−1(x)dx = xf−1(x)−

∫f (u)du


f−1(x)dx =

∫uf ′(u)du


w = u,dw = du

dv = f ′(u)du, v = f (u)





∫f (u)du


f−1(x)dx =

∫uf ′(u)du


w = u,dw = du

dv = f ′(u)du, v = f (u)


Ejemplo:

Calcular∫

arc tg xdx

Sea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .

Ası,∫

arc tg xdx = x arc tg x −∫

f (u)du

Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2

Por tanto,∫

f (u)du =∫ x

1+x2 dx

Finalmente,∫

arc tg xdx = x arc tg x − 12 ln(1 + x2) + C


Ejercicios:

Calcular:

1∫

arc sen xdx2∫

arc cos xdx


antiderivada o primitiva - matevbv.files.wordpress.com · a medida que vayas haciendo ejercicios...

Documents