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Antiderivada o Promitiva
Antiderivada o Primitiva
Veronica Briceno V.
agosto 2012
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva
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Definicion de Antiderivada.
EjemplosMetodo de SustitucionMetodo de Integracion por Partes.Antiderivada de Funciones Definidas por Tramos.Antiderivada de una Funcion Inversa.Ejemplos.
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Ejemplos.
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Definicion
Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Una PRIMITIVA o ANTIDERIVADA de f en A es una funcionF : A ⊆ R→ R continua, si:
F ′(x) = f (x),∀x ∈ A
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Ejemplos:
1 f (x) = x2
2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1
x + ex
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Ejemplos:
1 f (x) = x2
2 f (x) = sen(x)
3 f (x) = 1x + ex
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Ejemplos:
1 f (x) = x2
2 f (x) = sen(x)3 f (x) = 1
x + ex
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Observaciones:
1 Las antiderivadas no son unicas.
2 Notacion:∫f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .
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Observaciones:
1 Las antiderivadas no son unicas.2 Notacion:∫
f (x)dx denota la familia de todas las antiderivadas de f .
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Tabla de Antiderivadas
1∫
dx = x + C2∫
xndx = xn+1
n+1 + C3∫ dx
x = ln|x |+ C4∫
sen(x)dx = −cos(x) + C5∫
cos(x)dx = sen(x) + C6∫
tg(x)dx = −ln(|cos(x)|) + C7∫
cotg(x)dx = ln(|sen(x)|) + C8∫
sec2(x)dx = tg(x) + C9∫
sec(x)tg(x)dx = sec(x) + C10∫
exdx = ex + C11∫ dx√
1−x2= arcsen(x) + C
12∫ dx
1+x2 = arctg(x) + C
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Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,
a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de
f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.
Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
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Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R
3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,a 6= 0, entonces 1
aF (ax + b) es una antiderivada def (ax + b) en A.
4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)
f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
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Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,
a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de
f (ax + b) en A.
4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0,∀x ∈ A.Se cumple:∫ f ′(x)
f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
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Proposiciones:
1 Sea f : A ⊆ R→ R una funcion.Si F es una antiderivada de f en A, entonces F (x) + C esuna antiderivada de f .Reciprocamente, si F y G son antiderivadas de f ,entonces F (x) = G(x) + C, para alguna constante C.
2 f ,g : A ⊆ R→ R. Se cumple:∫(f (x) + g(x))dx =
∫f (x)dx +
∫g(x)dx∫
αf (x)dx = α∫
f (x)dx , α ∈ R3 f ,F : A ⊆ R→ R. Si F es una antiderivada de f en A,
a 6= 0, entonces 1aF (ax + b) es una antiderivada de
f (ax + b) en A.4 Sea f : A ⊆ R→ R derivable, tal que f (x) 6= 0, ∀x ∈ A.
Se cumple:∫ f ′(x)f (x) dx = ln(|f (x)|) + C
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Ejercicios:
Calcular:
1∫
sen2(x)dx
2∫ √1+x
1−x dx
3∫(√
x + x)2dx4∫ ex
1+ex dx
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Metodo de Sustitucion
TeoremaSea g una funcion derivable con recorrido un intervalo I .Suponga tambien que f es continua en I entonces∫
f (g(x))g′(x)dx =
∫f (u)du =
∫f (u)
dudx
dx
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Ejercicios:
Calcular:
1∫
x2cos(x3 + 5)dx
2∫ sen
√x√
x dx
3∫ x√
1−2x2dx
4∫ 4
(1+2x)3 dx
5∫ ln(x)
x dx6∫ x+1√
x2+2x−4dx
7∫ e2x
1+ex dx8∫ 3x
x2+1dx9∫
cos2(x)sen(x)dx10∫
sen3(x)dx
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Metodo de Integracion por Partes
Metodo de Integracion por Partes∫udv = uv −
∫vdu
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Ejercicios:
Calcular:
1∫
xcos(x)dx2∫
ln(x)dx3∫
x2exdx4∫
excos(x)dx5∫
sen(lnx)dx
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Ejercicios:
Usar integracion por partes para escribir las formulas dereduccion:
1∫
cosn(x)dx = cosn−1xsenxn + n−1
n
∫cosn−2(x)dx
2∫
xncos(x)dx = xnsenx − n∫
xn−1sen(x)dx3∫
xnexdx = xnex − n∫
xn−1exdx4∫(lnx)ndx = x(lnx)n − n
∫(lnx)n−1dx
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Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
Observacion
Por definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:Calcular:
1 La antiderivada de
f (x) ={
x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
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Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
ObservacionPor definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:Calcular:
1 La antiderivada de
f (x) ={
x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
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Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
ObservacionPor definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:
Calcular:
1 La antiderivada de
f (x) ={
x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
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Antiderivadas de Funciones Definidas por Tramos
ObservacionPor definicion, F debe ser continua.
Ejercicios:Calcular:
1 La antiderivada de
f (x) ={
x − 1 si x > 1x + 2 si x ≥ 1
2∫(|x − 1|+ |x − 3|)dx
3∫|x − |x − 2||dx
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Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular:
∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
Ejemplo: Calcular∫
arc tg xdxSea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .Ası,
∫arc tg xdx = x arc tg x −
∫f (u)du
Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2
Por tanto,∫
f (u)du =∫ x
1+x2 dxFinalmente,
∫arc tg xdx = x arc tg x − 1
2 ln(1 + x2) + C
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Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
Ejemplo: Calcular∫
arc tg xdxSea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .Ası,
∫arc tg xdx = x arc tg x −
∫f (u)du
Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2
Por tanto,∫
f (u)du =∫ x
1+x2 dxFinalmente,
∫arc tg xdx = x arc tg x − 1
2 ln(1 + x2) + C
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Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar:
∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
Ejemplo: Calcular∫
arc tg xdxSea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .Ası,
∫arc tg xdx = x arc tg x −
∫f (u)du
Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2
Por tanto,∫
f (u)du =∫ x
1+x2 dxFinalmente,
∫arc tg xdx = x arc tg x − 1
2 ln(1 + x2) + C
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Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
Ejemplo: Calcular∫
arc tg xdxSea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .Ası,
∫arc tg xdx = x arc tg x −
∫f (u)du
Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2
Por tanto,∫
f (u)du =∫ x
1+x2 dxFinalmente,
∫arc tg xdx = x arc tg x − 1
2 ln(1 + x2) + C
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Antiderivadas de una Funcion Inversa
Nos interesa calcular: ∫f−1(x)dx
Aplicar: ∫f−1(x)dx = xf−1(x)−
∫f (u)du
Ejemplo: Calcular∫
arc tg xdxSea u = arc tg x ⇒ f (u) = tg x .Ası,
∫arc tg xdx = x arc tg x −
∫f (u)du
Pero, f (u) = arc tg(tg x) = x y du = dx1+x2
Por tanto,∫
f (u)du =∫ x
1+x2 dxFinalmente,
∫arc tg xdx = x arc tg x − 1
2 ln(1 + x2) + C
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Ejercicios:
Calcular:
1∫
arc sen xdx2∫
arc cos xdx
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IDEA!!!
Preparar resumenes
Ejemplo: Considerar el tema SUSTITUCION.Observar que existen distintos tipos de ejercicios en este tema,que podrıan clasificarse como sustitucion...
1 inmediata2 trigonometrica3 racional
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IDEA!!!
Preparar resumenes
Ejemplo: Considerar el tema SUSTITUCION.Observar que existen distintos tipos de ejercicios en este tema,que podrıan clasificarse como sustitucion...
1 inmediata2 trigonometrica3 racional
Veronica Briceno V. Antiderivada o Primitiva