antologia ecuaciones diferenciales 2012

ECUACIONES DIFERENCIALES M.C. Alicia E. Prez Yebra

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Objetivo Educacional

Modelar la relacin existente entre una funcin desconocida y una variable independiente mediante una ecuacin diferencial que describe algn proceso dinmico

(crecimiento, decaimiento, mezclas, geomtricos, circuitos elctricos).

Identificar los diferentes tipos de E.D. ordinarias de primer orden, sus soluciones generales, particulares y singulares e interpretarlas, en el contexto de la situacin en

estudio.

1.1 Teora preliminar.

1.1.1 Definiciones (Ecuacin diferencial, orden, grado, linealidad).

Ecuacin diferencial: Se dice que una ecuacin diferencial (ED) es cualquier ecuacin que

contiene las derivadas o diferenciales de una o ms variables dependientes con respecto a una

o ms variables independientes.

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con el tipo, orden y la linealidad.

Clasificacin segn el tipo:

Si una ecuacin contiene solo derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes con

respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuacin diferencial

ordinaria (EDO). Por ejemplo:

( )

Notacin de Leibinz


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Notacin prima

Notacin de punto de Newton

Una ecuacin que contiene las derivadas parciales de una o ms variables dependientes de dos

o ms variables independientes se llama ecuacin diferencial parcial (EDP). Por ejemplo:

Con frecuencia las derivadas parciales se denotan mediante una notacin subndice, que indica las

variables independientes:

Clasificacin segn el orden:

El orden de una ecuacin diferencial (EDO o EDP) representa el orden de la derivada ms alta

presente en la ecuacin. Por ejemplo:

(

)

Segundo orden Primer orden

Ejemplos:


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La ecuacin diferencial

( ( )donde f es una funcin continua de valores

reales se conoce como la forma normal.

Ejemplos:

( ) ,

( ,

Clasificacin segn la linealidad o no linealidad:

Se dice que una ecuacin diferencial es lineal si tiene la forma:

( )

( )

( )

( ) ( )

Dos propiedades caractersticas de una EDO lineal son:

1) La variable dependiente y as como todas sus derivadas y,y,,y(n) son de primer

grado, es decir, la potencia de cada uno de los trminos que involucra a y es 1.

2) Cada coeficiente depende solo de la variable independiente x.

Una ecuacin diferencial que no es lineal se llama no lineal.

El coeficiente depende de y

El exponente no es 1

Grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la que est elevada la derivada ms alta,

siempre y cuando la ecuacin diferencial est dada en forma polinomial.


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Evidencia 1

Defina el orden de la ecuacin diferencial. Determine si la ecuacin es lineal o no lineal.

1) ( )

2) ( )

3)

(

)

4) ( ) ( )

1.1.2. Soluciones de las ecuaciones diferenciales.

Solucin de una ecuacin diferencial es una funcin que no contiene derivadas y que satisface

a dicha ecuacin, es decir al sustituir la funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial

resulta una identidad.

Solucin general de una ecuacin diferencial es la funcin que contiene una o ms constantes

arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones).

Solucin particular de una ecuacin diferencial es la funcin cuyas constantes arbitrarias

toman un valor especfico.

Definicin: Toda funcin , definida sobre un intervalo I y que posea al menos n derivadas

continuas sobre I, y que al ser sustituida en una ecuacin diferencial ordinaria de n-simo

orden reduzca la ecuacin a una identidad, se dice que es una solucin sobre el intervalo.

No podemos pensar en la solucin de una EDO sin simultneamente pensar en un intervalo

conocido como intervalo de definicin, intervalo de existencia, intervalo de validez o dominio

de la solucin y puede ser un intervalo abierto ( ), un intervalo cerrado [ ], un intervalo

infinito ( ), etc.

Ejemplo: Verificacin de una solucin

a) Verifique que

es una solucin de la ecuacin no lineal

( )


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La solucin a una ecuacin diferencial idntica a cero sobre un intervalo I se dice que es una

solucin trivial.

b) Verifique que es una solucin de la ecuacin lineal

Curva solucin: La grfica de una solucin de una EDO se denomina curva de solucin.

Una ecuacin diferencial dada tiene generalmente un nmero infinito de soluciones.

Ejemplo:

Para cualquier valor de c , la funcin

es una solucin de la ecuacin diferencial de

primer orden

( )

La funciones y en donde son constantes arbitrarias, son

soluciones de la ecuacin diferencial

Evidencia 2

Verifique que la funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial dada:

1)

2)

3) ( )

4)

5)


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1.1.3 Problema del valor inicial (PVI).

Con frecuencia enfrentamos problemas en los que buscamos una solucin ( ) de una

ecuacin diferencial de modo que ( ) satisfaga condiciones adicionales establecidas, es

decir, condiciones impuestas sobre la incgnita ( ) o sobre sus derivadas.

Ejemplo 1:

Se comprueba fcilmente que representa una familia de soluciones de un parmetro

de la ecuacin de primer orden, en el intervalo (-, ), si se especifica una condicin

inicial

a) ( ) encontrar una solucin del PVI.

b) Ahora si precisamos que una solucin de la ecuacin diferencial atraviese el punto

( )

x

y


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Ejemplo 2:

Representa una familia de soluciones de dos parmetros para

encuentre una solucin de PVI

(

) (

)

Evidencia 3

1.

( )

Representa una familia de soluciones de un parmetro para la ED de

primer orden . Encuentre una solucin de PVI de primer orden que incluya

est ecuacin diferencial y la condicin inicial proporcionada.

a) ( )

b) ( )

x

y


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2.

( ) Representa una familia de soluciones de un parmetro para la ED de

primer orden . Encuentre una solucin de PVI de primer orden que

incluya est ecuacin diferencial y la condicin inicial proporcionada.

a) ( )

b) ( )

3. Representa una familia de soluciones de dos parmetros para

encuentre una solucin de PVI

a) ( ) ( )

b) (

) (

)

1.1.4 Teorema de existencia y unicidad

Dentro de los lmites seguros de un curso formal de ED se puede estar seguro en buena

medida de que las ED tendrn soluciones y que las soluciones de problemas iniciales sern

nicas. Sin embargo, en la vida real no es tan idlico, Por consecuencia al tratar de resolver un

problema de valores iniciales es deseable saber por adelantado si existe una solucin y, cuando

es as, si la solucin es nica.

Teorema de existencia-unicidad

Dada la ED de primer orden ( ), si ( ) satisface las siguientes condiciones:

1) ( ) es real, finita, simple valorada y continua en todos los puntos de una regin R

del plano xy (que puede contener todos los puntos)

2) ( )

es real, finita, simple valorada y continua en R

3) Entonces existe una y solo una solucin ( ) en R, tal que cuando

esto es ( )


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Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solucin nica para el

problema de valor inicial

( )

( )

Evidencia 4: Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solucin

nica para el problema de valor inicial

( )

( )

x

y

x0,y0


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1.2 ED de variables separables y reducibles.

Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

( ) ( )

Es separable o que tiene variables separables.

El mtodo de separacin de variables:

Un tipo especialmente simple de ecuacin que ocurre a menudo en la prctica es aquella que

puede ser escrita en la forma:

( ) ( )

Donde un trmino involucra solo a x mientras el otro involucra solo a y. Esta ecuacin puede

ser resuelta por integracin. As la solucin general es

( ) ( )

Ejemplo: Encuentre la solucin general de:

a)

b)

c) ( )

d) ( )

( )


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Evidencia 5: Resuelva la ecuacin diferencial dada mediante separacin de variables

1)

2) ; ( ) ( ) (

)

3)

4)

5)

(

)

6)

7) ( ) ( )

( ) ( )


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1.3 ED exactas y factor integrante.

Diferencial de una funcin de dos variables:

Si ( )es una funcin de dos variables con primeras derivadas parciales continuas en

una regin R del plano xy, entonces su diferencial es:

En el caso especial cuando ( ) , donde c es una constante, entonces la ecuacin

implica.

Definicin. Una expresin diferencial ( ) ( ) es una diferncial exacta en una

regin R del plano xy si esta corresponde a la diferencial de alguna funcin ( ) definida en

R. Una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

( ) ( )

Se dice que es una ecuacin exacta si la expresin del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Criterio para una diferencial exacta:

Sean ( ) ( ) continuas y que tienen primeras derivadas parciales continuas en una

regin rectangular R definida por . Entonces una condicin necesaria

para que ( ) ( ) sea una diferencia exacta es

Mtodo de solucin:

1) Determine si


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2)

( ) entonces podemos determinar f integrando ( ) respecto a x mientras

y se conserva constante: ( ) ( ) ( ) donde la funcin arbitraria

( ) es la constante de integracin.

3) Ahora derivamos respecto a y y suponiendo que

( ):

( ) ( ) ( )

Se obtiene ( ) ( )

( )

4) Por ltimo se integra respecto a y y se obtiene la solucin implcita de la ecuacin

( )


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1.4 ED lineales.

Se dice que una ecuacin diferencial de primer orden de la forma

( )

( ) ( )

Es una ecuacin lineal en la variable dependiente y.

Cuando ( ) se dice que la ecuacin lineal es homognea, de lo contrario es no homognea.

La forma estndar de la ecuacin lineal es:

( ) ( )

Para su solucin se hace lo siguiente:

Convierta la ecuacin lineal a la forma estndar, determine ( ) y el factor integrante

( ) .

Multiplique la ecuacin en forma estndar por el factor integrante. El lado izquierdo de la

ecuacin resultante es automticamente la derivada del factor integrante y de y: escriba:

[ ( ) ] ( ) ( )

Despus integre ambos lados de sta ecuacin.


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Ejemplo:

a) Resuelva

b) Resuelva ( )

( )

c) Resuelva

( )

Evidencia

Encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial dada y proporcione el intervalo ms largo

sobre el cual est definida la solucin general.

1)

2)

3)

4)


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5)

6)

7)

( )

8) ( )

( ) ( )

9)

( ) ( )

10)

( )


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1.5 ED de Bernoulli.

1.6 Aplicaciones.


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Objetivo Educacional Aprender ecuaciones diferenciales de orden superior por los

diferentes mtodos propuestos y los aplicar en la solucin de problemas de aplicacin

2.1 Teora preliminar-

2.1.1 Definicin de ED de orden n.

2.1.2 Problemas de valor inicial.

2.1.3 Teorema de existencia y unicidad de solucin nica.

2.1.4 EDL homogneas.

2.1.4.1 Principio de superposicin.

Sean soluciones de la ecuacin diferencial homognea de n-esimo orden en unn intervalo I, entonces la combinacin lineal

( ) ( ) ( )

Donde las son constantes arbitrarias, tambin es una solucin en el intervalo.


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Corolario:

a) Un mltiplo constante ( ) de una solucin ( )de una ecuacin diferencial lineal homognea es tambin una solucin.

b) Una ecuacin diferencial lineal homognea tiene siempre la solucin trivial

2.1.5 Dependencia e independencia lineal, wronskiano.

Se dice que un conjunto de funciones ( ) ( ) ( ) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes no todas cero, tales que

( ) ( ) ( )

para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el

intervalo, se dice que es linealmente independiente.

2.1.6 Solucin general de las EDL homogneas.

2.1.6.1 Reduccin de orden de una EDL de orden dos a una de primer orden,

construccin de una segunda solucin a partir de otra ya conocida.

( ) ( ) ( )

Suponga que ( ) denota una solucin conocida de la ecuacin diferencial lineal de orden dos. Buscamos una segunda solucin ( ) de manera que sean linealmente independientes en algn intervalo I. Recuerde que si son linealmente independientes

entonces no es constante en I, es decir,

( ).

Metodologa:

1) Considerar que ( ) , encontrar su primera y segunda derivando sustituyendo

en la ecuacin diferencial original.

2) Sustituir y verificando la reduccin de orden de la ecuacin

diferencial de orden dos a uno.

3) Resolver la ecuacin diferencial de primer orden, utilizando el factor integrante.

4) Una vez encontrada hacer el cambio de variable e integrar para obtener

( ).


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5) Hacer cambio de variable ( ) , encontrando la segunda solucin buscada,

considerar que .

Ejemplo:

Dado que es una solucin de la ecuacin diferencial lineal de orden dos,

en el intervalo (-,) use la reduccin de orden para obtener una solucin

( ).

Evidencia

( ) ( ) ( ) Suponga que dividimos la ecuacin entre

( ) obtenemos la ecuacin en la formulacin estndar:

( ) ( )

Si elegimos a partir de ( ) encontramos que una segunda solucin de la ecuacin es:

( ) ( )

( )

2.2 Solucin de EDL homogneas de coeficientes constantes.


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2.2.1 Ecuacin caracterstica para EDL de segundo orden (races reales y distintas,

races reales e iguales, races complejas conjugadas).

( )

( )

( )

( )

Se considera el caso especial de una ecuacin de segundo orden:

Con ecuacin auxiliar:

CASO I: Races reales distintas

Donde entonces

CASO II: Races reales repetidas

Donde entonces

CASO III: Races conjugadas complejas

Donde y

Entonces

Ejemplos:

Evidencia


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Ecuacin de Cauchy-Euler

Es de la forma

.Para encontrar su solucin, usamos la siguiente

sustitucin y sus derivadas:

( )

Su ecuacin auxiliar es

( )

CASO I: Races reales distintas

Donde entonces

CASO II: Races reales repetidas

Donde entonces ( )

CASO III: Races conjugadas complejas

Donde y

Entonces y= [ ( ) ( )]


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Ejemplo:

Evidencia

Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes.

Resolver

Resolver ( )

[ ]

Resolver ( )

[ ]

Evidencia

Resolver

Resolver (

)

Resolver ( )

( )

Resolver ( )


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Resolver ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Resolver ( ) (

) (

) (

) (

)

Resolver ( ) ( ) ( )

2.3 Solucin de las EDL no homogneas.

2.3.1 Mtodo por coeficientes indeterminados.

( )

( )

( )

( ) ( )

Para resolver una ecuacin diferencial no homognea debemos hacer dos cosas:

1) Encontrar la ecuacin complementaria

2) Encontrar cualquier solucin particular de la ecuacin no homognea

La solucin general en un intervalo I es

Mtodo de coeficientes determinados:

La idea bsica de ste mtodo es una conjetura (un supuesto razonable) acerca de la forma

de , el mtodo est limitado a:

i) Los coeficientes , son constantes

ii) ( ) es una combinacin lineal de

( )


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( ) ( ) ( )

No es aplicable cuando:

( ) , ( )

, ( ) , ( )

Principio de superposicin: ecuaciones homogneas

( )

( )

( )

( ) ( )

Donde entonces

( ) ( ) ( )

Metodologa:

Primer paso: Resolver la ecuacin diferencial homognea asociada.


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Segundo paso: Con la funcin ( ) asumir una solucin particular, buscando los

coeficientes especficos para los cuales sea una solucin.

Ejemplo:

Resolver

( )

( )

Resolver

Resolver

( ) ( ) ; ( )

; ( ) (

)

Evidencia

( ) ( )

Solucin particular caso I:


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La forma de es una combinacin lineal de todas las funciones independientes que se

generan por diferenciaciones repetidas de ( ).

Solucin particular caso II:

Una funcin presente en una solucin particular asumida tambin es una solucin de la

ecuacin diferencial homognea asociada.

Regla de la multiplicacin para el caso II: Si cualquier contiene trminos que duplican

trminos en , entonces dicha debe de multiplicarse por , donde n es el entero positivo

ms pequeo posible que elimina tal duplicidad

( ) ( )

( )


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2.3.2 Mtodo de variacin de parmetros.

Mtodo para resolver

( )

1) Encontrar la ecuacin complementaria

2) Calculamos el wronskiano [ ( ) ( )]

|

|

3) Ponemos la ecuacin en la forma estndar

( ) para determinar ( )

|

( ) |

|

( )|

4) Encontramos y mediante la integracin de

y

5) Una solucin particular es y la solucin general es

Este mtodo se puede generalizar para las ecuaciones lineales de n-simo orden escritas en

la forma estndar

( ) ( )

( ) ( )

Evidencia


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2.4 Aplicaciones.


Pgina 33 de 53


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Objetivo Educacional Aprender las propiedades operacionales de la transformada de

Laplace y la transformada inversa de Laplace usando diferentes mtodos (Fracciones

Parciales, uso de teoremas, convolucin)

3.1 Teora Preliminar.

3.1.1 Definicin de la trasformada de Laplace.

La derivacin y la integracin son transformadas, es decir, stas operaciones transforman

una funcin en otra, adems, stas transformadas tienen la propiedad de linealidad tal que la

transformada de una combinacin lineal de funciones es una combinacin lineal de las

transformadas. Un tipo especial de transformada integral es llamada transformada de Laplace.

Sea ( ) una funcin definida para , a la expresin:

{ ( )} ( )

( )

Se llama transformada de Laplace de la funcin ( ) , si la integral existe

(converja).Cuando la integral converge, el resultado es una funcin de s.

{ ( )} ( ) , { ( )} ( ) , { ( )} ( )

3.1.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace.

Las condiciones suficientes que garantizan la existencia de { ( )} son que f sea continua por

tramos en [ ) y que f sea de orden exponencial para

Se dice que una funcin f es de orden exponencial c si existen constantes c, M >0 y T >0 tales

que | ( )|

Determinar si ( ) es de orden exponencial c


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| |

es de orden exponencial c para c >0

x

y


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Condiciones de suficiencia para la existencia: Si ( ) es continua por tramos en el intervalo

[0, ) y de orden exponencial c, entonces la transformada existe para s > c

3.2 Transformada directa.

Hallar { } donde c es un nmero real.

Hallar { }

Hallar { }

Hallar { }

Hallar { }

Evidencia

Encontrar las transformadas de Laplace en las siguientes funciones:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )


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( )

( )

( )

( )

( )

( )

Usar las frmulas para encontrar la transformada de Laplace de las siguientes funciones

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)


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( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

3.3 Transformada inversa.

Si

{ ( )} ( ) entonces:

{ ( )} ( ) se llama transformada inversa de ( )

Ejemplo: { }

{

}

Evidencia

{

}

{

}

{( )

}

{

}

{

}


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{

}

{

}

{

}

{

}

{

}

{

( )( )}

{

( )( )( )}

{

( )( )( )}

{

}

{

( )( )}

{

( )( )}

{

}


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{

}

{

( )( )}

{

}

3.4 Propiedades.

3.4.1. Transformada de Laplace de funciones definidas por tramos.

{ ( )} ( )

Evidencia

( )

( )

3.4.2. Funcin escaln unitario.

La funcin escaln unitario o funcin de Heaviside ( )


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0

( )

Segundo teorema de traslacin

Si ( ) { ( )}

{ ( ) ( )} ( )

3.4.3. Propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad, teoremas de traslacin).

Propiedad de linealidad:

{ ( ) ( )} { ( )} { ( )} ( ) ( )

Traslacin sobre el eje s (Primer teorema de traslacin):

Primera propiedad de traslacin: Si { ( )} ( ) { ( )} ( )

Ejemplo: { }

{ }

( )

Aplicar el primer teorema de traslacin para encontrar { }

Hallar { }

Hallar { }


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Segunda propiedad de traslacin: Si { ( )} ( ) y

( )

( )

{ ( )} ( )

Ejemplo: { }

( )

( )

{ ( )}

Propiedad de cambio de escala: Si { ( )} ( ) entonces { ( )}

(

)

Ejemplo: { }

{ }

(

)


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3.4.4. Transformada de funciones multiplicadas por tn

, y divididas entre t.

Multiplicacin por : Si { ( )} ( ) y

{ ( )} ( )

( )

Ejemplo: { }

{ }

(

)

( )

{ }

(

)

( )

Divisin por t : Si { ( )} ( )

{ ( )

} ( )

( )

Ejemplo: { }

{

}

(

)

3.4.5. Trasformada de derivadas (teorema).

Este mtodo es til para calcular las transformadas de Laplace sin integracin

{ ( )} ( ) ( )

{ ( )} ( ) ( ) ( )

{ ( )} ( ) ( ) ( ) ( )

Si ( ) son continuas en [0,) y de orden exponencial, y si es continua por

tramos en [0,) entonces

{ ( )( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


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Donde ( ) { ( )}

Ejemplo: { }

{ ( )} { } (

)

3.4.6. Trasformada de integrales (teorema).

Si { ( )} ( )

{ ( ) } ( )

Ejemplo: { }

{ }

{

}

( )

3.4.7 Teorema de la convolucin.

Si ( ) ( ) son continuas por tramos en [0,) y de orden exponencial, entonces:

[ ] { ( )} { ( )} ( ) ( )

{ ( ) ( )}

Transformada de una integral : { ( )

}

( )

( )

{ ( )

}


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3.4.8- Trasformada de Laplace de una funcin peridica.

Si ( ) es continua por tramos en [0,) y de orden exponencial, y peridica con periodo T,

entonces:

{ ( )}

( )

3.12 Funcin Delta Dirac.

El impulso unitario ( ) se denomina funcin delta de Dirac

3.4.9. Trasformada de Laplace de la funcin Delta Dirac.

Para { ( )}

3.14 Trasformada de Laplace de la funcin Delta Dirac.

Propiedad de linealidad: Si y son constantes arbitrarias y ( ) y ( ) son las

transformadas de ( ) ( ) respectivamente, entonces:

{ ( ) ( )} { ( )}

{ ( )} ( ) ( )

Ejemplo:

{

} {

} {

} {

}

Primera propiedad de traslacin: Si { ( )} ( ) { ( )} ( )

Ejemplo: {

}


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{

} {

( ) }

Segunda propiedad de traslacin: Si { ( )} ( ) y

( )

{ ( )}

Ejemplo:

{

}

( )

{

}

Propiedad de cambio de escala: Si { ( )} ( ) entonces { ( )}

(

)

Ejemplo:

{

}

{

( ) }


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3.5 Solucin de ecuaciones.


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Objetivo Educacional Aprender a usar la transformada de Laplace como herramienta

en la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales, as como

sistemas de ecuaciones diferenciales lineales.

4.1 Teora preliminar. 4.1.1 Sistemas de EDL. 4.1.2 Sistemas de EDL homogneos. 4.1.3 Solucin general y solucin particular de sistemas de EDL. 4.2 Mtodos de solucin para sistemas de EDL. 4.2.1 Mtodo de los operadores. 4.2.2 Utilizando transformada de Laplace. 4.3 Aplicaciones.

4.1 Solucin de una ecuacin diferencial lineal con condiciones iniciales por medio de

la trasformada de Laplace.

Usar la transformada de Laplace para resolver el problema del valor inicial

( )

{

} { } { }

( ) ( )

( )

( )( )

{ ( )} {

} {

} {

}


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( )

Resuelva , ( ) , ( )

{ } { } { } { }

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )

( )

( ) [ ]

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

{ ( )} {

} {

( ) }

{

( ) }

( )

Evidencia

Resuelva:

( )


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( )

( )

, ( ) , ( )

( )

, ( ) , ( )

( )

( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( )

, ( ) , ( ) , ( )

, ( ) , ( )

( )


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4.2 Solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales

por medio de la trasformada de Laplace.

Cuando las condiciones iniciales estn especificadas, la transformada de Laplace se reduce de

un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes a un conjunto de

ecuaciones algebraicas simultaneas en las funciones transformadas.

Evidencia

Use la transformada de Laplace para resolver el sistema de ecuaciones diferenciales dado:

1)

( ) ( )

2)

( ) ( )

3)

( ) ( )

4)

( ) ( ) ( ) ( )


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5)

( ) ( ) ( ) ( )

4.3 Problemas de aplicacin.

antologia ecuaciones diferenciales 2012

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