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ANUALIDADES

Una anualidad es una serie de pagos que cumple con las siguientes condiciones: Todos los pagos son de igual valor. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés. El número de pagos es igual al número de periodos.

Por anualidad ordinaria, entenderemos una anualidad en la cual las cuotas se pagan al final de cada período. Al valor de cada cuota suele llamársele renta y al tiempo entre dos cuotas se le llama período de renta.

CALCULO DE LA CUOTA FIJA

Ejemplo: Una persona ha efectuado un préstamo de $2.000 que deberá pagar en un año con cuotas trimestrales al 12% nominal. ¿Cuál será el valor de cada cuota?

Miremos el diagrama del flujo de caja:

1 2 3 4

A1 A A A

2.000


Si planteamos una ecuación de valor con fecha focal en el mes cero debemos considerar que 2.000 es el valor presente de las cuatro cuotas fijas:

Tasa trimestral = 12% / 4 = 3%

2.000 = A/( 1 + 0,03 )1 + A/( 1 + 0,03 )2 + A/( 1 + 0,03 )3 + A/( 1 + 0,03 )4

2.000 = A [ ( 1 + 0,03 )-1 + ( 1 + 0,03 )-2 + ( 1 + 0,03 )-3 + ( 1 + 0,03 )-4 ]

2.000 = A x 3.717098403

A = 538.05


El cálculo pudo efectuarse entonces por el simple hecho de que solo había cuatro cuotas. Pero si el número de cuotas es mucho más alto, debe tratar de encontrarse una fórmula que facilite los cálculos.

Para este caso tendríamos que utilizar la siguiente formula:


Para la mejor compresión de la fórmula miremos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2: Una persona ha efectuado un préstamo de $15.000 para comprar un automóvil y se le fijan cuotas mensuales durante cinco años al 15% nominal liquidado mensualmente. ¿Cuál es el valor de la cuota mensual?

i = 0,15 / 12 = 0.0125 = 1.25% mensual.n = 5 x 12 = 60 meses

15.000 x 0,0125 x (1 + 0,0125)60

(1 + 0,0125)60 -1

A = A = $356.85

Cálculo del valor presente

Para el cálculo del valor presente de una anualidad ordinaria, es decir aquella en la cual las cuotas se pagan al final de cada período, basta reemplazar el valor de la tasa de interés periódica, el número de cuotas y el valor de la cuota fija en la fórmula que dedujimos en la sección anterior para P.

Para la comprensión de la teoría anterior tenemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3: Una persona desea efectuar una inversión de tal manera que el último día de cada mes pueda retirar $250.000 durante los próximos tres años. ¿Cuánto debe invertir hoy al 12% nominal liquidado mensualmente?

Cálculo del valor presente

i = 0,12 / 12 = 0,01 = 1% mensual

n = 12 x 3 = 36 meses

P =

P = 250.000 x a 36]1% = 250.000 x 30,107505 = 7.526.876,26

0

P

250.000

1 2 3 36

Cálculo del valor futuro

Podría también presentarse el caso en el cual debamos encontrar el valor futuro de una anualidad cuando por ejemplo debemos calcular el monto final de una inversión.

VF

AAAAAA

53 21 n40


Para encontrar este valor será por medio de esta formula:

Al factor [(1 + i)n - 1] / i se le llama sn]i que significa valor final o saldo después de n

períodos a una tasa periódica i.


Para la compresión de la formula anterior la aplicamos en el siguiente ejemplo:

El último día de cada mes una persona ahorra $125.000 durante dos años y le reconocen una tasa del 14% anual efectivo. ¿De cuánto dispondrá al cabo de los dos años?

En primer lugar calculemos la tasa periódica:i = (1 + Tasa efectiva) 1/n - 1i = (1 + 0,14)1/12-1 = 0,010978852 = 1,0978852% mensual.

Luego el valor futuro será igual:VF = A x sn]i = 125.000 x [ ( 1 + 0,010978852 )24 - 1 ]/ 0,010978852VF = 125.000 x 27,2888278 = 3.411.103,47

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