Problemas Propuestos 1.- Por el arrendamiento de un local comercial se debe cancelar 400 al inicio de cada mes. El arrendatario propone cancelar anticipadamente el valor de los arriendos de los siguientes 3 años. ¿Cuánto debe pagarse si se supone una tasa de interés del 18% capitalizable mensualmente?

VA= 𝐴1 ∗ [1 + [1−(1+𝑖)−(𝑛−1)

𝑖]]

VA= 400 ∗ [1 + [1−(1+0,015)−35

0,015]]

VA= 𝟏𝟏. 𝟐𝟑𝟎, 𝟐𝟒

2.- Una persona decide depositar 200, al inicio de cada mes, durante 5 años. Determinar el valor disponible al término de los 5 años, considerando la tasa de interés del 9% capitalizable mensualmente.

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] ∗ (1 + 𝑖)

VF= 200 ∗ [(1+0,0075)60−1

0,0075] ∗ (1 + 0,0075)

VF = 𝟏𝟓. 𝟏𝟗𝟕, 𝟗𝟔

3.- Por la compra de un electrodoméstico por el valor de 500, se acepta se cancele 6 cuotas mensuales anticipadas. Determinar el valor de cada cuota si la tasa de interés es el 15% capitalizable mensualmente.

VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]*(1 + 𝑖)

400= 𝐴1 ∗ [1−(1+0,0125)−6

0,0125] ∗ (1 + 0,0125)

400

[1 − (1 + 0,0125)−6

0,0125]

= 𝐴1

𝐴1 = 𝟖𝟓, 𝟗𝟒 4.- Determinar la mejor alternativa para la adquisición de un electrodoméstico: a) Seis cuotas mensuales de 150 al inicio de cada mes; o, b) Cuatro cuotas mensuales de 220 al inicio de cada mes Suponer la tasa del 18% capitalizable mensualmente.

m= 12 n=3 A1=400 (anticipado) j= 0,18; j / m= 0,015

m= 12 n= 5 A1=200 (anticipado) j= 0,09; j / m= 0,0075

m= 12 n=6 VA=400 (anticipado) j= 0,15; j / m= 0,0125

A) Determinando el valor actual determinando con la primera alternativa

VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]*(1 + 𝑖)

VA= 150 ∗ [1−(1+0,015)−6

0,015] ∗ (1 + 0,015)

VA= 𝟖𝟔𝟕, 𝟑𝟗𝟔𝟕

B) Determinando el valor actual determinando con la primera alternativa

VA= A1 ∗ [1−(1+i)−n

i]*(1 + i)

VA= 220 ∗ [1−(1+0,015)−4

0,015] ∗ (1 + 0,015)

VA= 𝟖𝟔𝟎, 𝟔𝟖 la mejor altrenativa

5.- Una empresa deposito 2500 al inicio de cada trimestre, durante 6 años, en un fondo de inversión de una institución financiera. Si el valor acumulado al término de los 6 años fue de 90000, determinar la tasa nominal capitalizable trimestralmente que se percibió, así como la tasa efectiva.

VF = A ((1 + i)n − 1

i)

90000 = 2500 ((1 + i)m∗n − 1

i)

36 = ((1 + i)24 − 1

i)

Tasa por periodo i = 0,03111

Tasa nominal anual i ∗ m = 0,03111 ∗ 4 tasa nominal anual = 0,124786

Tasa efectiva

𝑖 = (1 +𝑗

𝑚)

𝑚

− 1

𝑖 = (1 +0,124786

4)

4

− 1

𝑖 = (1 + 0,124786)4 − 1

Tasa efectiva 𝐢 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟎𝟒𝟏𝟏

m= 12 n=6 A1=150 (anticipado) i= 0,18; j / m= 0,015

m= 3 n=4 A1=150 (anticipado) i= 0,18; j / m= 0,015

m= 4(trimestral) A1=2500 VF= 90000 (trimestral) n = 6

6.- ¿En qué tiempo se acumulará 200000, si se realizan depósitos de 10000 al inicio de cada semestre, en una cuenta bancaria que reconoce la tasa del 18% capitalizable semestralmente?

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖]

VF= 𝐴1∗(1+𝑖)𝑛

𝑖− 𝐴1

𝑉𝐹 ∗ 𝑖 + 𝐴1 = 𝐴1∗(1 + 𝑖)𝑛

𝑙𝑜𝑔(𝑣𝑓 ∗ 𝑖 + 𝐴1) = 𝑙𝑜𝑔𝐴1 + 𝑛 ∗ 𝑙𝑜𝑔(1 + 𝑖)

𝑛 =𝑙𝑜𝑔 ∗ (𝑣𝑓 ∗ 𝑖 + 𝐴1) − 𝑙𝑜𝑔𝐴1

𝑙𝑜𝑔 ∗ (1 + 𝑖)

𝑛 =𝑙𝑜𝑔 ∗ (200000 ∗ 0,09 + 10000) − 𝑙𝑜𝑔10000

𝑙𝑜𝑔 ∗ (1 + 0,09)

𝑛 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟏𝟒𝟕

7.- Una empresa planifica construir un inmueble, después de 5 años, estimándose que se requerirá de 1000000. Para cumplir con este objetivo decide realizar depósitos mensuales al inicio de cada mes, en una cuenta bancaria que reconoce el 9% capitalizable mensualmente. Determinar el valor de cada depósito que tendrá que realizarse.

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖]*(1 + 𝑖)

1000000= 𝐴1 ∗ [1−(1+0,0075)60

0,0075] ∗ (1 + 0,0075)

1000000

[(1 + 0,0075)60

0,007$5] ∗ (1 + 0,0075)

= 𝐴1

𝐴1 = 𝟏𝟑. 𝟏𝟓𝟗, 𝟔𝟓

8.- Que tasa de interés capitalizable mensualmente se paga, si por la compra de una maquinaria, que tiene un valor de 80000, debe cancelarse 3200 al inicio de cada mes, durante 3 años.

Va = A (1−(1+i)−n

i)

80000 = 3200 (1−(1+i)m∗−n

i)

25 = (1−(1+i)−36

i)

Tasa por periodo i = 0,022623

Tasa nominal anual i ∗ m = 0,022623 ∗ 12 tasa nominal anual = 0,27148

Tasa efectiva

𝑖 = (1 +𝑗

𝑚)

𝑚

− 1

i= 18%, i= j / m= 0,09 m= 2 (semestre) A1=10000 Vf= 200000

m= 12 (mensual) n=5 Vf =1000000 (anticipado) j= 0,09; j / m= 0,0125

m= 12 (mensual) A1=3200 Vf= 80000 (mensual) n = 3

𝑖 = (1 +0,27148

36)

36

− 1

𝑖 = (1 + 0,27148)36 − 1

Tasa efectiva 𝐢 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟕𝟗𝟒𝟗

9.- Determinar el valor actual de una serie de pagos mensuales de 4000 al inicio de cada mes, durante 2 años. Considerar la tasa de interés del 12% capitalizable mensualmente.

VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]*(1 + 𝑖)

VA= 4000 ∗ [1−(1+0,01)−24

0,01] ∗ (1 + 0,01)

VA= 𝟖𝟓. 𝟖𝟐𝟑, 𝟐𝟖

10.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos al inicio de cada trimestre, de 8000 cada uno, durante 10 años, considerando la tasa de interés del 10% capitalizable trimestralmente, durante los 4 primeros años; y, del 12% capitalizable trimestralmente en los siguientes.

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] ∗ (1 + 𝑖)

VF= 200 ∗ [(1+0,0025)16−1

0,0025] ∗ (1 + 0,0025)

VF = 15.8917,84

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] ∗ (1 + 𝑖)

VF= 200 ∗ [(1+0,03)24−1

0,03] ∗ (1 + 0,03)

VF = 283.674,1144

VF= 15.8917,84 ∗ (1 + 0,03)24 + 283.721,35= 606.721,35

11.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos al inicio de cada mes, durante 6 años, considerando la tasa de interés del 12% capitalizable mensualmente; si el depósito inicial es de 400; y, el incremento entre cada depósito es de 50. Determinar además el valor del último depósito.

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

VF= 400 ∗ [(1+0,01)72−1

0,01] +

50

0,01∗ {[

(1+0,01)72−1

0,01] − 72}

VF = 41.883,972 + 163.549,65

VA = vf ∗ (1 + i)−n

VA = 205.433,622 ∗ (1 + 0,01)−72

VA = 100.353,52*(1+0,01)= 101.357,0553

m= 12 (mensual) n=2 A1=4000 (anticipado) j= 0,12; j / m= 0,01

m= 4 (trimestre) n= 4

A1=8000 (anticipado)

j= 0,10; j / m= 0,0025

m= 4 (trimestre) n= 6

A1=8000 (anticipado)

j= 0,12; j / m= 0,03

A1 =400 n= 6 m= 12 i= 12%; i/m= 0,01 d= 50

12.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos al inicio de cada trimestre, durante 3 años, considerando la tasa de interés del 12% capitalizable trimestralmente; si el primer depósito es de 500; y, la tasa de variación del 2,5% trimestral entre cada depósito.

VF= {𝐴 ∗ [(1+𝑖𝑟)𝑛−(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]} ∗ (1 + 𝑖)−𝑛

VA= {500 ∗ [(1+0,025)12−(1+0.03)12

(1+0,025)−(1+0.03)]} ∗ (1 + 0,03)−12

VA= 8.087,288 ∗ (1 + 0,03)−12= 5.672,20

VA= 5.672,20 ∗ (1 + 0,03)= 5.842,37

13.- Determinar el pago mensual anticipado que debe realizarse por la compra de una

maquinaria en 200000, a 3 años plazo, a la tasa del 12% efectivo.

VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]*(1 + 𝑖)

200.000= 𝐴1 ∗ [1−(1+0,0119453)−36

0,01] ∗ (1 + 0,0119453)

200000

[1 − (1 + 0,0119453)−36

0,0119453] ∗ (1 + 0,0119453)

= 𝐴1

𝐴1 = 𝟔. 𝟓𝟐𝟐, 𝟔𝟓

14.- Una maquinaria se adquiere en 100.000, a 3 años plazo, a la tasa efectiva del 15%, debiendo cancelarse mediante cuotas mensuales anticipadas. Determinar el saldo de la deuda al final del segundo año y antes de realizar el pago 25. Suponer la tasa de variación de los pagos del 1% mensual.

𝐽1 = 𝑚1 [(1 +𝑗2

𝑚2)

𝑚2𝑚1

⁄

− 1]

𝐽1 = 12 [(1 +0,15

1)

112⁄

− 1]= 0,140579003

0,011714916 =𝑗1

𝑚1

Va= {𝐴 ∗ [(1+𝑖𝑟)𝑛∗(1+𝑖)−𝑛−1

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]}

VA= {100000 ∗ [(1+0,01)36∗(1+0,011714916)−36

(1+0,01)−(1+0,011714916)]} ∗ (1 + 0,011714916)

VA= 2.860,665

𝐴0=2.860,665 ∗ (1 + 0,01)(0) = 𝟐. 𝟖𝟔𝟎, 𝟔𝟔𝟓

𝐴1=2.860,665 ∗ (1 + 0,01)(1) = 𝟐. 𝟖𝟖𝟗, 𝟒𝟐

𝐴24=2.860,665 ∗ (1 + 0,01)(24) = 𝟑. 𝟔𝟑𝟐, 𝟒𝟕

𝐴25=2.860,665 ∗ (1 + 0,01)(25) = 𝟑. 𝟔𝟔𝟖, 𝟖𝟎

n= 3 m= 4; n*m= 12 i= 12%; i/m= 0.03 ir= 0,025 A=500

m= 12 (mensual) n=3 VA=200000 (anticipado) J2= 0,12; j1= 0,0119453

Va = 100000 n =3 i= 0,15 m1= 12 ir= 0,01

15.- Determinar el valor del pago trimestral anticipado, equivalente a tres pagos mensuales anticipados, si el primero es de 500 y se incrementa en 100 cada mes. Considerar la tasa de interés del 12% capitalizable mensualmente.

VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

VF= 500 ∗ [(1+0,01)3−1

0,01] +

100

0,01∗ {[

(1+0,01)3−1

0,01] − 3}

VF = 1.834,21 ∗ (1 + 0,01) = 𝟏. 𝟖𝟑𝟒, 𝟐𝟏𝟎𝟓

A1 =500

n= 3 (mensual)

m= 4 (trimestral)

i= 12%; i/m= 0,01

d= 100