Problemas propuestos 1.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos anuales, durante 10 años, si el primero es

de 5000 y la tasa de crecimiento anual es del 5%. Suponer la tasa de interés del 8% efectivo.

VF = 88.338,40

A1 =5000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖𝑟)

𝑛−(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]

n= 10

m= 1 VF =5000 ∗ [(1+5%)10−(1+8%)10

(1+5%)−(1+8%)]

i= 8%

i r =5% VF =5000 ∗ [1,62889427−2,15894997

1,05−1,08]=88.338,40

2.- Un crédito, se acuerda cancelar con un primer pago de 500 al final del primer mes y con

incrementos mensuales de 10. Si el plazo del crédito es 3 años y la tasa de interés del 9%

capitalizable mensualmente, determinar el valor del crédito.

VA = 20.973,33

A1 =500 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛}

n= 3

m= 12 ; n*m= 36 VA= 500 ∗ [1−(1+0,0075)−36

0,0075] +

10

0,0075∗ {[

1−(1+0,0075)−36

0,0075] − 36 ∗ (1 + 0,0075)−36}

i= 9% ; i/m= 0,0075

d =10 VA= 500 ∗ [31,4468052] + 1333,333 ∗ {[31,4468052] − 36 ∗ 0,76414896}

VA= 20.973,33

3.- Determinar el valor del primer depósito, de una serie creciente de depósitos mensuales, que se

incrementarán al 2% mensual, si el valor futuro se establece que será del 100000, en 5 años.

Considerar la tasa del 12% capitalizable mensualmente.

VF= 100000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖𝑟)

𝑛−(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]

m = 12

i = 12% ; i/m =0.01 𝐴1= VF ∗ [(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)

(1+𝑖𝑟)𝑛−(1+𝑖)

𝑛]

ir = 2%

n = 5 ; n*m= 60 𝐴1= 100000 ∗ [(1+0.02)−(1+0.01)

(1+0.02)60−(1+0.01)60]= 682.9043

4.- Una empresa desea acumular 200000 en 5 años, mediante depósitos trimestrales crecientes, a

la tasa del 5% trimestral. Si la tasa de interés es del 16% capitalizable trimestralmente, determinar

el valor del primer depósito.

A1 = 4.327,37

VF= 200000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖𝑟)

𝑛−(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]

m = 4

i = 16% ; i/m =0.04 𝐴1= VF ∗ [(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)

(1+𝑖𝑟)𝑛−(1+𝑖)

𝑛]

ir = 5%

n = 5 ; n*m= 20 𝐴1= 200000 ∗ [(1+0.05)−(1+0.04)

(1+0.05)20−(1+0.04)

20]= 43.327,37

5.- La sociedad BXW depositó 40000 al final del primer año y luego incrementó cada año el valor

de los mismos a una determinada tasa. Si el dinero depositado en una cuenta bancaria reconoce

una tasa de interés igual a la tasa de crecimiento de los depósitos, determinar la tasa si el valor

futuro alcanzará a 400000, al término de 5 años.

i = 0.189207

𝐴1= 40000 VF= 𝐴1 ∗ 𝑛 ∗ (1 + 𝑖𝑟)𝑛−1

m = 1

i =? ; 400000= 40000 ∗ 5 ∗ (1 + 𝑖)4

n = 5

VF= 400000 √400000

200000

4= √(1 + 𝑖)4

4 𝑖 = √2

4− 1= 0.189207115

6.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos anuales de 20000 cada uno, durante 5

años; seguido de 5 depósitos anuales crecientes, con un primer depósito de 20000 y con un

incremento anual de 5000. Suponer una tasa del 8% efectivo.

VF = 343.893,81

Primer flujo

A1 =20000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖]

n= 5

m= 1 ; n*m= 5 VFaño5= 20000 ∗ [(1+0,08)5−1

0,08]= 117,332.02

i= 8% ; i/m= 8%

Segundo flujo

A1 =20000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

n= 5

m= 1 ; n*m= 5 VF= 20000 ∗ [(1+0,08)5−1

0,08] +

5000

0,08∗ {[

(1+0,08)5−1

0,08] − 5}

i= 8% ; i/m= 8%

d= 5000 VF pa= 20000 ∗ [(1+0,08)5−1

0,08] +

5000

0,08∗ {[

(1+0,08)5−1

0,08] − 5}

VF pa = 171,495.7

Llevando el VFaño5 VF AÑO 10

VF año10=[117,332.02 ∗ (1+ 𝑖)𝑛] ; VF año10=117,332.02 ∗ (1 + 0.08)5= 172399.23

Suma entre: VF pa y VF año10= 171,495.7 + 172399.23 = 343.893,81

7.- Determinar el valor de un activo, adquirido a 10 años plazo, si debe cancelarse 20000 al final de

cada semestre, durante 4 años; y, a continuación pagos semestrales crecientes a una tasa del 6%

por semestre, con un primer pago de 40000. Suponer la tasa de interés del 10% capitalizable

semestralmente.

VA = 343.201,54

Primer flujo

A1 =20000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]

n= 4

m= 2 ; n*m= 8 VAaño4= 20000 ∗ [1−(1+0,05)−8

0,05]= 117.332,02

i= 10% ; i/m= 0.05

Segundo flujo

A5 =40000 VA= {𝐴5 ∗ [(1+𝑖𝑟)

𝑛−(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]} ∗ (1 + 𝑖)−𝑛

n= 6

m= 2; n*m= 12 VA= {40000 ∗ [(1+0,06)12−(1+0.05)12

(1+0,06)−(1+0.05)]} ∗ (1 + 0,05)−12

i= 10%; i/m= 0.05

ir= 0,06 VAPG=865360 ∗ (1 + 0,05)−12= 481.865,8282

Llevando el VFPG VF INICIO

VF inicio=[481865,8282 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛] ; VF inicio=481865,8282 ∗ (1 + 0.05)−8= 326145,0829

Suma entre: VAaño4y VF inicio= 117,332.02+ 326145,0829= 455.409,34

8.- AA decide realizar ahorros mensuales, durante 5 años, siendo el depósito inicial de 50, en una

institución financiera que reconoce el 9% capitalizable mensualmente. Si el primer depósito lo

hará luego de transcurridos 7 meses; y, el incremento mensual será de 10. Determinar el valor que

dispondrá luego de a) 3 años; y, b) 5 años, de realizar los depósitos.

VF = 8.927,92 VF = 24.336,72

a) Luego de tres años

A1 =50 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

n= 3

m= 12; n*m= 60 VF= 50 ∗ [(1+0,0075)36−1

0,0075] +

10

0,0075∗ {[

(1+0,0075)36−1

0,0075] − 36}

i= 9%; i/m= 0.0075

d= 10 VF= 50 ∗ [41,15271613] + 1333,33 ∗ {[41,15271613] − 36}

VF= 8,927.92

b) Luego de cinco años

A1 =50 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

n= 3

m= 12; n*m= 60 VF= 50 ∗ [(1+0,0075)60−1

0,0075] +

10

0,0075∗ {[

(1+0,0075)60−1

0,0075] − 60}

i= 9%; i/m= 0,0075

d= 10 VF= 50 ∗ [75,42413693] + 1333,33 ∗ {[75,42413693] − 60}

VF= 24.336,7176

9.- Determinar el valor presente de una serie de pagos anuales creciente, durante los primeros 5

años, desde 5000 que corresponde al primer pago, con variación de 5000, hasta 25000; seguido de

pagos iguales de 25000 durante los 5 años siguientes; y, en los 5 años siguientes, pagos

decrecientes desde 25000 a 5000, con 5000 de diferencia entre uno y otro. Considerar la tasa del

12% capitalizable semestralmente.

VA = 117.331,27

Primer flujo

i= 12% VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛}

A1 =5000

n= 5 VA= 5000 ∗ [1−(1+0,1236)−5

0,1236] +

5000

0,1236∗ {[

1−(1+0,1236)−5

0,1236] − 5 ∗ (1 + 0,1236)−5}

m= 1 ; n*m= 5

d =5000 VA= 5000 ∗ [3,572858] + 40.453,07 ∗ {[3,572858] − 2,79195}

VA= 49453,4438

Segundo flujo

A1 =25000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]

n= 5

m= 1 ; n*m= 5 VA= 25000 ∗ [1−(1+0,1236)−5

0,1236]

i= 12% ; i/m= 0,1236

VA= 25000 ∗ [3,572858]

VA= 89.321,44 El cual llevo a valor actual del inicio VA= 𝐴1 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛

VA= 89.321,44 ∗ (1 + 0,1236)−5= 49.876,63

Tercer flujo

A1 =25000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛}

n= 5

m= 1 ; n*m= 5 VA= 25000 ∗ [1−(1+0,1236)−5

0,1236] −

5000

0,1236∗ {[

1−(1+0,1236)−5

0,1236] − 5 ∗ (1 + 0,1236)−5}

i= 12% ; i/m= 0,1236

d =-5000 VA= 25000 ∗ [3,572858] − 40.453,07 ∗ {[3,572858] − 2,79195}

VA= 57.732,29 El cual llevo a valor actual del inicio VA= 𝐴1 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛

VA= 57.732,29 ∗ (1 + 0,1236)−10= 18001,20

Suma de va de todos los flujos= 49.453,4458 + 49.876,63 + 18.001,20= 117.331,27

10.- Determinar el valor futuro de dos series de pagos consecutivos, de 6 años cada uno, cuyo

comportamientos se repite; si el primer pago es de 5000 y el último de 10000, con una variación

anual de 1000. Suponer la tasa del 10% capitalizable semestralmente. VF = 156.669,79

Primera serie

A1 =5000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

n= 6

m= 1; n*m= 6 VF= 5000 ∗ [(1+0,01025)6−1

0,1025] +

1000

0,1025∗ {[

(1+0,1025)6−1

0,1025] − 6}

i=10%; i/m= 0.1025

d= 1000 VF= 50 ∗ [7,764452] + 9756,097561 ∗ {[7,764452] − 6}

VF= 56.036,4253 El cual llevo a valor futuro del año 10 VA= 𝐴1 ∗ (1 + 𝑖)𝑛

VA= 56.036,4253 ∗ (1 + 0,1025)6= 100.533,3688

Segunda serie

A1 =5000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

n= 6

m= 1; n*m= 6 VF= 5000 ∗ [(1+0,01025)6−1

0,1025] +

1000

0,1025∗ {[

(1+0,1025)6−1

0,1025] − 6}

i=10%; i/m= 0.1025

d= 1000 VF= 50 ∗ [7,764452] + 9756,097561 ∗ {[7,764452] − 6}

VF= 56.036,4253

Suma de va de todas las series = 100.533,3688 + 56.036,4253= 156.669,79

11.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos trimestrales, durante 5 años, si el

primero es de 10000 y la diferencia entre dos pagos consecutivos es de 500. Suponer la tasa de

interés del 12% capitalizable trimestralmente.

A1 =10000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖] − 𝑛 ∗ (1 + 𝑖)−𝑛}

n= 5

m= 4 ; n*m= 20 VA= 10000 ∗ [1−(1+0,03)−20

0,03] +

500

0,03∗ {[

1−(1+0,03)−20

0,03] − 20 ∗ (1 + 0,03)−20}

i= 12% ; i/m= 0,03

d =500 VA= 10000 ∗ [1−(1+0,03)−20

0,03] +

500

0,03∗ {[

1−(1+0.03)−20

0.03] − 20 ∗ (1 + 0.03)−20}

VA= 10000 ∗ [14,8774749] + 16666,666 ∗ {[14,8774749] − (200 ∗ 0,554)}

VA= 212.174,08

12.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos mensuales, durante 3 años, si el primero

es de 250 y la diferencia entre dos pagos consecutivos es de 10. Suponer la tasa de interés del 9%

capitalizable mensualmente.

A1 =250 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] +

𝑑

𝑖∗ {[

(1+𝑖)𝑛−1

𝑖] − 𝑛}

n= 3

m= 12; n*m= 36 VF= 250 ∗ [(1+0,0075)36−1

0,0075] +

10

0,0075∗ {[

(1+0,0075)36−1

0,0075] − 36}

i= 9%; i/m= 0,0075

d= 10 VF= VF= 250 ∗ [41,15271613] + 1333,33 ∗ {[41,15271613] − 36}

VF= 17.158,4672

13.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos mensuales, durante 6 años, si el primero

es de 10000 y la tasa de variación entre dos pagos consecutivos es del 1%. Suponer la tasa de

interés del 9% capitalizable mensualmente.

A5 =10000 VA= {𝐴5 ∗ [(1+𝑖𝑟)

𝑛−(1+𝑖)𝑛

(1+𝑖𝑟)−(1+𝑖)]} ∗ (1 + 𝑖)−𝑛

n= 6

m= 12 ; n*m= 72 VA= {10000 ∗ [(1+0,01)72−(1+0.0075)72

(1+0,01)−(1+0.0075)]} ∗ (1 + 0,0075)−72

i= 9% ; i/m= 0,0075

ir= 0,01 VA= {10000 ∗ [(1+0,01)72−(1+0.0075)72

(1+0,01)−(1+0.0075)]} ∗ (1 + 0,0075)−72

VA= {10000 ∗ [133,818642]} ∗ (1 + 0,0075)−72 =781.398,68

14.- Determinar el valor actual de una serie de depósitos anuales, durante 10 años, si el primero es

de 10000, el segundo de 12000 y los restantes de 14000. Suponer la tasa de interés del 8%

capitalizable anualmente.

Primer depósito

A1 =10000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]

n= 1

m= 1; n*m= 1 VAaño1= 10000 ∗ [1−(1+0,08)−1

0,08]= 9.259,26

i= 8% ; i/m= 0,08

Segundo depósito

A1 =12000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]

n= 2

m= 1; n*m= 2 VAaño2= 12000 ∗ [1−(1+0,08)−2

0,08]= 21.399,18

i= 8%; i/m= 0,08

El resto de depósitos

A =14000 VA= 𝐴1 ∗ [1−(1+𝑖)−𝑛

𝑖]

n= 8 VA = 14000 ∗ [1−(1+0,08)−8

0,08]= 80.452,95

m= 1; n*m= 8

i= 8% ; i/m= 0,08 suma de VAaño1+ VAaño2 + VA = 111.111,38

15.- Determinar el valor futuro de una serie de depósitos anuales, durante 8 años, si el primero es

de 6000, el segundo de 8000 y los restantes de 10000. Suponer la tasa de interés del 10%

capitalizable anualmente. PAGO 1

TASA

Primer deposito

A1 =6000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖]

n= 8

m= 1; n*m= 8 VAaño8= 6000 ∗ [(1+0,1)8−1

0,1]= 68.615,33

i= 10% ; i/m= 0,10ANUAL

NÚMERO CAPITALIZ. TASA

Segundo deposito

A1 =6000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖]

n= 7

m= 1; n*m= 7 VFaño7= 8000 ∗ [(1+0,1)7−1

0,1]= 75.897,37

i= 10% ; i/m= 0,10ANUAL

EFECTIVA AÑ VF

El resto de depósitos

A1 =6000 VF= 𝐴1 ∗ [(1+𝑖)𝑛−1

𝑖]

n= 6

m= 1; n*m= 6 VF= 10000 ∗ [(1+0,1)7−1

0,1]= 77.156,10

i= 10% ; i/m= 0,10ANUAL

Suma de Vfaño8+ Vfaño7+ VF = 221.668,80