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LA CREATIVIDAD EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Uno de los temas que se enseñan en secundaria y bachillerato es la resolución de problemas, habilidad por demás fundamental en la vida del hombre. Los docentes deben estar conscientes de la importancia de saber solucionar problemas en la vida cotidiana; es más, puede decirse que ese es uno de los fines fundamentales de las matemáticas, los otros pudieran ser realizar comprobaciones, hacer mediciones o simplemente divertirse. En nuestra vida diaria todos resolvemos problemas con el apoyo de las matemáticas, por ejemplo, al hacer el cálculo del tiempo que requerimos para algo, la estimación de costos, el cálculo de descuentos, la estimación de la probabilidad de que algo suceda, etc. La resolución de problemas matemáticos ha sido objeto de estudio de la psicología, la ingeniería, la inteligencia artificial y, en general, de todas las ciencias. Sin embargo, puesto que cada persona mata las pulgas como puede, aunque se han hecho intentos serios por establecer diversas metodologías para solucionar problemas matemáticos, no se ha logrado definir una técnica única que sea exitosa en todos los casos. Para mejorar nuestra práctica docente en este tema es importante que consideremos lo siguiente: a) Aunque se recomienda conocer algunos métodos para la

solución de problemas, no deben tomarse como la panacea pues cada problema requiere de un tratamiento individual. Además, la creación de una solución dependerá de los conocimientos matemáticos, las características y las necesidades de quien lo resuelve y no del método.

b) Los problemas pueden tener muchos caminos para llegar a su solución, además de que pueden tener muchas soluciones.

c) Todos tenemos la capacidad de solucionar problemas matemáticos sólo que lo hacemos a diferentes velocidades y de diferentes maneras. Por esto, habrá que tener en consideración cuáles problemas requieren velocidad para solucionarse y cuáles no.

d) La habilidad para resolver problemas se desarrolla con la práctica, la experiencia y el conocimiento de algunas bases matemáticas.

Existen universidades que dedican muchos recursos al desarrollo de la creatividad aplicada a la resolución de problemas y para ello incluyen en su currículo varios cursos. En nuestro sistema educativo de educación básica y bachillerato, por el contrario, sólo se incluye como un tema más y se trata de cubrir haciendo ejercicios con el fin de mecanizar algunas operaciones. Es más, en ocasiones los docentes enfrentan a los estudiantes a problemas con soluciones tan sencillas que los estudiantes no alcanzan a desarrollar su capacidad para formular los caminos hacia las soluciones. Por lo anterior, reitero que uno de los objetivos de los profesores de matemáticas debe ser precisamente el que los alumnos desarrollen sus habilidades para resolver problemas. En las aulas, a veces se da mucha teoría sobre cómo solucionar los problemas o sobre los errores que se cometen al resolverlos. Esto no estorba pero consume el tiempo que podría emplearse mejor en aquello que sí garantiza el éxito en esta competencia: la práctica constante y reflexiva. Al orientar a los alumnos para desarrollar esta habilidad, no deben perderse de vista los siguientes puntos:

MATEMÁTICAS PARA

TODOSAño 10, Número 90, mayo de 2009

EN ESTE BOLETÍN:

Mayo de 2009 1

Educación y el Desarrollo, A. C.Educación y Desarrollo, A. C.Educación y el Desarrollo, A. C.Educación y Desarrollo, A. C.

“Cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas y cuando son ciertas no se refieren a la realidad.”

Albert Einstein

La creatividad en la solución de problemas

La simetría en las matemáticas

Algunos números interesantes

Los problemas del calendario

1) La solución de un problema matemático siempre implica creatividad.

2) Para resolver un problema es necesario entenderlo de manera absoluta.

3) Es necesario definir qué datos se requieren y con cuáles se cuenta.

4) Si es factible, debe estimarse de manera aproximada la magnitud del resultado, con ello se podrá evaluar si lo obtenido es lógico.

5) Siempre se debe tratar de establecer un método de comprobación.

6) Si no se encuentra la solución de inmediato no debe olvidarse el problema, lo que debe hacerse es descansar y luego volverlo a tomar.

Todos nacemos con la capacidad de ser creativos, es sólo cuestión de desarrollarla igual que cualquier otra capacidad en los seres vivos. Imagine: si durante los dos primeros años de su vida, a alguien se le impidiera gatear, arrastrarse o caminar, y sólo se le mantuviera acostado, esta persona perdería la habilidad de caminar y le costaría mucho trabajo recuperarla. Lo mismo ocurre con nuestra habilidad para ser creativos la cual, en algunas ocasiones, es inhibida dentro de la misma escuela. Un ejemplo real de esto son los niños de preescolar que les dejan de tarea hacer 10 planas del número dos y otras tantas del número cinco. ¿No es acaso así como se inhibe la creatividad y se despierta el odio hacia los números? Por algo Bertrand Roussell dijo alguna vez “interrumpí mi educación cuando ingresé en la escuela”. Se dice que existen dos tipos de pensamiento creativo para la solución de problemas: a) El pensamiento divergente, que no se

fundamenta en lo que otros han hecho sino que supone inventar o encontrar nuevos caminos para solucionar un problema. Antonio Meucci (1808-1889), que inventó el teléfono, y Charles Darwin (1809-1882), que fundamentó la teoría de la evolución, utilizaron este método.

Antonio Meucci Charles Darwin

Imágenes obtenidas de Wikipedia

b) El pensamiento convergente, que incluye la habilidad de hacer crítica y lógica sobre lo que otros han hecho y, con ello, plantear posibilidades de solución. Así, fue como Alexander Graham Bell (1847-1922) patentó el teléfono y, posteriormente, Thomas Alva Edison (1847-1931) perfeccionó y patentó algunas modificaciones a este mismo aparto.

Alexander Graham Bell Thomas Alva Edison

Imágenes obtenidas de Wikipedia Los psicólogos, los neurocientíficos y los estudiosos del aprendizaje se han concentrado en tratar de encontrar las etapas o pasos que se llevan a cabo durante el proceso creativo. Para ello, han estudiado las características y personalidades de quienes han desarrollado una gran creatividad. Se han analizado a distinguidos matemáticos en sus costumbres y formación, así como los antecedentes culturales y educativos de sus padres, el medio en el que crecieron, etc. No se han encontrado estándares consistentes, sin embargo, existe una gran tendencia a que los creadores provengan de padres preocupados por la educación de sus hijos. Al estudiar la forma de actuar de estos matemáticos, se ha obtenido información muy interesante sobre la manera en cómo enfrentan, analizan y tratan los problemas hasta resolverlos. De estos estudios, se han concentrado algunas técnicas que pudieran ayudarnos en el aula al momento de tratar este tema con nuestros alumnos. He aquí algunas de ellas: • Invertir el problema. En esta técnica se pueden

seguir dos caminos: Por un lado, se puede estudiar y definir lo que no se debe hacer para resolver el problema y con ello identificar con qué tener cuidado. Por el otro lado, es posible estimar un resultado, analizarlo y justificar cómo se podría llegar a él y así reflexionar sobre las variables que influyen en el problema. Este

2 MATEMÁTICAS PARA TODOS

“El experimentador que no sabe lo que está buscando no comprenderá lo que encuentra.”

Claude Bernard

último método fue el que siguió, en la mayoría de sus inventos, Arquímedes.

• Emplear el pensamiento exploratorio con actividades no convencionales. Incluso se pueden utilizar técnicas que serían reprobadas por los especialistas y obtener soluciones inesperadas.

• Saber descansar. Cuando no se llega a un resultado, es recomendable cambiar de actividad de tal manera que se olvide un poco el problema para después retomarlo; con esto es muy probable que se encuentren caminos más productivos.

• Analizar cómo lo hacen otros. No es malo imitar lo que hacen otros, el problema es plagiar los resultados. Kepler utilizó los métodos de investigación de Galileo para estimar las órbitas de los planetas conocidos en aquel tiempo.

• Fomentar la discusión en grupo. Para afinar la puntería, y encontrar mejores soluciones, no hay como generar sinergia entre pares al discutir en grupo.

• Hacer mapas mentales. Tratar de hacer un diagrama con todas las variables, datos, relaciones y posibles resultados del problema, permite integrar todos los elementos que participan o deben participar en la solución.

• Utilizar la programación neurolingüística para analizar todos los elementos que pudieran contribuir al proceso creativo y entonces buscar proporcionarlos.

• Buscar los bloqueos mentales. Analizar aquellos elementos que actúan como freno en el desarrollo de la creatividad que pueden ser culturales, ambientales, intelectuales o de incapacidad de expresión.

A pesar de todo lo anterior, este tema es uno de los más difíciles de enseñar en la secundaria y el bachillerato. Podemos asegurarles que sólo se tendrá éxito en él si se busca resolver problemas relacionados con el contexto de los estudiantes, aquellos en los que la necesidad los obligue a estudiarlos y, a través de ello, encontrar lo que buscan. No olvidemos que la necesidad es la madre de todas las ciencias.

LA SIMETRÍA EN LAS MATEMÁTICAS Cuando nos vemos en el espejo, en el reflejo observamos una figura simétrica a nuestra cara. En las matemáticas, a esto se le llama isometría.

Imagen de Microsoft Clip Art

Toda figura tiene un contorno simétrico o genera una figura simétrica al reflejarse. La simetría puede encontrarse en algunas figuras, en ecuaciones y en otros elementos físicos o abstractos y se define como “la posibilidad de que al dividir algo por un eje, las distancias de dicho eje a los puntos del contorno o elementos característicos de lo dividido sean las mismas”. Esto implica que una figura puede tener un contorno simétrico o que dos figuras pueden ser simétricas. Por ejemplo, el cuerpo humano, al dividirlo por un eje vertical, es simétrico y las dos manos son simétricas una a la otra. En la geometría euclidiana, la simetría puede ser producto de una reflexión o una rotación. Lo importante es que siempre se podrá calcular la posición de una figura simétrica. Esto se logra al realizar operaciones con las dimensiones de los puntos al eje de simetría. El eje puede ser vertical,

“Para las personas creyentes, Dios esta al principio. Para los científicos está al final de todas sus reflexiones.”

Max Plank

Mayo de 2009 3

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horizontal o diagonal. Observe las siguientes figuras:

Las letras p, q, b y d son simétricas según sea su eje, vertical u horizontal. El símbolo del yin-yang puede ser producto de la simetría con una rotación de 1800. Para enseñar el concepto de simetría en primaria y secundaria, recomendamos a nuestros lectores que lo hagan por medio de palíndromos, de retos o de manera práctica con la construcción de un aparato para obtener el reflejo. Por ejemplo, puede introducir el concepto de simetría pidiendo a sus alumnos que de la figura siguiente, dibujen las formas que faltan y que luego que las pongan en orden. Para construir un instrumento para dibujar el reflejo de una figura, siga los siguientes pasos: Coloque en un riel cuatro varillas articuladas del mismo tamaño como se muestra en la figura. Las uniones articuladas a y b corren libremente sobre el riel. Con el extremo O se sigue el contorno de la figura y en P se coloca un lápiz para dibujar el reflejo de la figura. ¡Así de fácil! ¿Qué otras formas se le ocurren para enseñar este tema?

ALGUNOS NÚMEROS INTERESANTES Si para contar 200 números usted necesita un minuto y decidiera contar durante 12 horas al día. A este ritmo, se llevaría 19,024 años, 68 días, 10 horas y cuarenta minutos el contar hasta un trillón. El número más grande que se puede escribir con

tres dígitos es el:9)9(9

Lo que es igual a 9387’420,489 . Si usted escribiera este número con todos sus dígitos tendría una hilera de cerca de 965 kilómetros de longitud y su lectura le tomaría unos 150 años.

¿Será verdad esto? LOS PROBLEMAS DEL CALENDARIO Viernes 1. Pedro recorre en automóvil 5,000 kilómetros. Para que todas las llantas (incluida la de repuesto) sufran el mismo desgaste las cambia regularmente. ¿Cuántos kilómetros recorre cada llanta? Martes 5. Un concurso de matemáticas consiste de 20 preguntas. Por cada solución correcta se dan 8 puntos, por cada solución incorrecta se penalizan 5 puntos y si un problema se deja sin resolver se dan 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 13 puntos, ¿cuántos problemas resolvió correctamente? Viernes 15. Si en la figura los dos triángulos son equiláteros ¿Cuánto mide el ángulo x?

“Se puede tener por compañera la fantasía, pero se debe tener como guía a la razón.”

Samuel Johnson

Matemáticas para todos. Año 10, número 90, mayo de 2009. Periodicidad: diez números al año. Editor responsable: Alfonso Ramón Bagur. Nº de Certificación de reserva de derechos al uso exclusivo de título: 04-2000-0829110600-106. Certificado de licitud de título: Núm. 11423. Certificado de licitud de contenido: Núm. 8018. Publicación en formato electrónico elaborado y distribuido por: Educación y Desarrollo, A.C. y el Instituto de Ingeniería de la UNAM.

E-mail: [email protected]. Página web: www.educacion.org.mx

Consejo Editorial: • Sergio Manuel Alcocer Martínez de Castro • Hugo Balbuena Corro • Radmila Bulajich Rechtman• Roger Díaz de Cossío • Guillermo Fernández de la Garza • Carlos Lara Esparza • María Teresa Rojano • Fernando Solana. Tel: 5623-3500 ext. 1208 E-mail: [email protected]

4 Matemáticas para Todos

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