∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο · Έτσι προκύπτει ότι: ΑΒ=Γ...

∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

ΚΑΡΑΚΑΣΤΑΝΙΑΣ ΘΑΝΑΣΗΣ ΙΩΛΚΟΥ 405. ΤΗΛ.2421050413-6973306167

[1]

∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ∆ιανυσµατικά ονοµάζονται τα µεγέθη τα οποία, για τον προσδιορισµό τους, εκτός από το µέτρο τους και τη µονάδα µέτρησης, χρειάζονται και τη διεύθυνση και τη φορά τους. ∆ιάνυσµα ονοµάζεται ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα είναι διατεταγµένα. Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο λέγεται πέρας του διανύσµατος. Β

Ένα διάνυσµα µε αρχή το Α και πέρας το Β συµβολίζεται µε AB.

Α AB

Για το συµβολισµό των διανυσµάτων χρησιµοποιούµε και µικρά γράµµατα όπως π. χ. a, β, υ, v κ.λ.π.

Ένα διάνυσµα του οποίου τα άκρα συµπίπτουν λέγεται µηδενικό διάνυσµα και

συµβολίζεται µε AA=0.

• Μέτρο ή µήκος ενός διανύσµατος ΑΒ λέγεται η απόσταση των άκρων του. δηλαδή το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. Αν το διάνυσµα έχει µέτρο ίσο µε 1 λέγεται µοναδιαίο διάνυσµα.

• Φορέας ενός µη µηδενικού διανύσµατος AB

λέγεται η ευθεία πάνω στην οποία βρίσκεται το διάνυσµα.

Για το µηδενικό διάνυσµα AA

θεωρούµε ως φορέα οποιαδήποτε από τις ευθείες που διέρχονται από το Α.

• ∆ύο µη µηδενικά διανύσµατα ΑΒ και Γ∆

λέγονται παράλληλα ή συγγραµµικά αν έχουν τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς. Λέµε τότε ότι

τα ΑΒ και Γ∆

έχουν την ίδια διεύθυνση. Γ

∆ Β Α Β ∆ Α Γ

Τα συγγραµµικά διανύσµατα διακρίνονται σε οµόρροπα και αντίρροπα.

• Τα διανύσµατα ΑΒ και Γ∆

λέγονται οµόρροπα όταν έχουν παράλληλους φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ηµιεπίπεδο ως προς την ευθεία ΑΓ που ενώνει τις αρχές τους ή όταν έχουν τον ίδιο φορέα και κάποια από τις ηµιευθείες ΑΒ

και Γ∆ περιέχει την άλλη. Γράφουµε τότε: .Γ∆↑↑AB Β Α ∆ ∆ Γ Γ Β

Α



[2]

• Τα διανύσµατα ΑΒ και Γ∆

λέγονται αντίρροπα όταν είναι συγγραµµικά και δεν είναι οµόρροπα. Λέµε τότε ότι τα διανύσµατα αυτά έχουν αντίθετη κατεύθυνση. Γράφουµε τότε: AB Γ∆.↑↓

Β Γ Α ∆ Β Γ ∆ Α

• Τα διανύσµατα a και β

λέγονται ίσα αν έχουν ίσα µέτρα και ίδια

κατεύθυνση( διεύθυνση και φορά). Γράφουµε .β=a Α Β Προφανείς είναι οι ισότητες:

∆Β=ΓΑΒΑ=∆ΓΒ∆=Γ ,,A .

Γ ∆

• Αν Μ είναι το µέσον του διανύσµατος ΑΒ τότε ισχύει: .ΜΒ=ΑΜ Μ Α Β

• Αντίθετα λέγονται τα διανύσµατα που έχουν ίσα µέτρα και αντίθετη

κατεύθυνση. Γράφουµε: AB=-Γ∆.

Β Γ Γ

∆

Α Β ∆ Α

Γωνία δύο διανυσµάτων Αν µε αρχή το σηµείο Ο πάρουµε δύο διανύσµατα α=ΟΑ και β=ΟΒ

τότε την κυρτή

γωνία ΒΟΑ

που σχηµατίζουν οι ηµιευθείες ΟΑ και ΟΒ την ονοµάζουµε γωνία των

διανυσµάτων α και β

και την συµβολίζουµε µε ( ) ( )α,β ή β,α .



[3]

Α θ=900

Α Ο Β θ θ=00 θ=1800 Ο Ο Α Β Α Ο Β Β

Ισχύει ότι: .1800 00 ≤≤ θ

• Αν 0ÔA OB θ=0 .↑↑ ⇔

• Αν 0ÔA OB θ=180 .↑↓ ⇔

• Αν 0ÔA OB θ=90 .⊥ ⇔

ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ∆ΙΑΝΎΣΜΑΤΑ Πρόσθεση διανυσµάτων

β β Μ

α

Α

α

α β+

Ο

Αν α και β

δύο διανύσµατα τότε: µε αρχή ένα σηµείο Ο παίρνουµε διάνυσµα

aOA = και στη συνέχεια µε αρχή το Α παίρνουµε διάνυσµα AM=β.

Τότε το

διάνυσµα ΟΜ λέγεται άθροισµα ή συνισταµένη των α και β

και συµβολίζεται µε

α+β

.

• Το άθροισµα α+β

είναι ανεξάρτητο από την επιλογή του σηµείου Ο στο επίπεδο.

• Το άθροισµα α+β

βρίσκεται και µε τον κανόνα του παραλληλογράµµου.

∆ηλαδή αν µε αρχή το Ο πάρουµε τα διανύσµατα OA=α

και OB=β

, τότε το

άθροισµα α+β

ορίζεται από την διαγώνιο ΟΜ του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται από τα διανύσµατα αυτά.

Α Μ

α

α+β

Ο

β

Β



[4]

Ιδιότητες της πρόσθεσης Στην πρόσθεση των διανυσµάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες που ισχύουν και

στους αριθµούς. ∆ηλαδή αν α, β και γ

είναι τρία διανύσµατα του επιπέδου τότε:

• α+β=β+α (αντιµεταθετική ιδιότητα)

• (α+β)+γ=α+(β+γ) (προσεταιριστική ιδιότητα)

• α+0=α

• α+(-α)=0

Αφαίρεση διανυσµάτων

Η διαφορά α-β

του διανύσµατος β από το α

ορίζεται ως το άθροισµα του α

µε το

-β.

∆ηλαδή: α-β=α+(-β).

α

α

α-β

-β

β

β

α-β

α

∆ιάνυσµα θέσης Έστω Ο ένα σταθερό σηµείο του χώρου. Τότε για κάθε σηµείο Μ του χώρου ορίζεται

το διάνυσµα OM

, που λέγεται διάνυσµα θέσης ή διανυσµατική ακτίνα του Μ. Το σηµείο Μ µπορεί να θεωρηθεί ως η κοινή αρχή όλων των διανυσµατικών ακτίνων των σηµείων του χώρου και λέγεται σηµείο αναφοράς στο χώρο.

Αν Ο σηµείο αναφοράς, για οποιοδήποτε διάνυσµα AB

ισχύει ότι AB=OB-OA.

∆ηλαδή: Κάθε διάνυσµα στο χώρο είναι ίσο µε τη διανυσµατική ακτίνα του πέρατος µείον τη διανυσµατική ακτίνα της αρχής.



[5]

Μέτρο αθροίσµατος διανυσµάτων

β

Β

A

α

α+β

Ο

Από το σχήµα και σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα προκύπτει ότι:

α - β α+β α + β .≤ ≤

Εδικά αν:

• α β τότε α+β = α + β .↑↑

• α β τότε α+β = α - β .↑↓

ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1. Αν ζητείται να δείξουµε ότι ισχύει µια διανυσµατική ισότητα, τότε:

• (Μ1) Ξεκινώντας από το ένα µέλος, γράφουµε καθένα από τα διανύσµατα ως άθροισµα διαδοχικών διανυσµάτων ώστε να εµφανίζονται τα διανύσµατα του δεύτερου µέλους ή

• (Μ2) (Μέθοδος των διανυσµάτων θέσης) Θεωρούµε ως σηµείο αναφοράς ένα τυχαίο σηµείο Ο ή κάποιο από τα αναφερόµενα στην άσκηση και εκφράζουµε όλα τα διανύσµατα µε τις

διανυσµατικές τους ακτίνες από αυτό. Π.χ. AB=OB-OA.

Έτσι εµφανίζουµε διανύσµατα µε κοινή αρχή και διευκολύνουµε ενδεχόµενες απλοποιήσεις.

• (Μ3) (Μέθοδος των βασικών διανυσµάτων) Θεωρούµε δύο µη συγγραµµικά διανύσµατα του προβλήµατος και τα

ονοµάζουµε α και β.

(Αν έχω τρίγωνο ΑΒΓ τις δύο διαδοχικές πλευρές ΑΒ και ΑΓ, αν έχω παραλ/µο ΑΒΓ∆ τις πλευρές ΑΒ και Α∆.). Έτσι, γράφουµε κάθε άλλο διάνυσµα του προβλήµατος ως γραµµικό συνδυασµό των

.βκαιa Τότε εµφανίζονται δύο µόνο διανύσµατα και το πρόβληµα γίνεται απλούστερο. (Η επιλογή των βασικών διανυσµάτων βέβαια, γίνεται µε κριτήριο την ευκολία έκφρασης των υπόλοιπων µε βάση αυτά)

Παράδειγµα 1. ∆είξτε ότι για τα τυχαία σηµεία Α, Β, Γ, ∆, Ε, Ζ του επιπέδου ισχύει η σχέση:

.Γ∆+ΒΖ+ΑΕ=ΓΖ+ΒΕ+Α∆ ΛΥΣΗ (Μ1)

Έχουµε ότι: .,, ∆Ζ+Γ∆=ΓΖΖΕ+ΒΖ=ΒΕΕ∆+ΑΕ=Α∆



[6]

Άρα

=∆Ζ+Γ∆+ΖΕ+ΒΖ+Ε∆+ΑΕ=ΓΖ+ΒΕ+Α∆AE+BZ+Γ∆+(∆Ζ+ΖΕ+Ε∆)=AE+BZ+Γ∆+0=AE+BZ+Γ∆.

(Μ2) Αν Ο τυχαίο σηµείο αναφοράς, έχουµε:

.)()()( ΟΓ−ΟΖ+ΟΒ−ΟΕ+ΟΑ−Ο∆=ΟΓ−ΟΖ+ΟΒ−ΟΕ+ΟΑ−Ο∆=ΓΖ+ΒΕ+Α∆

AE+BZ+Γ∆=(OE-OA)+(OZ-OB)+(O∆-ΟΓ)=Ο∆-ΟΑ+ΟΕ-ΟΒ+ΟΖ-ΟΓ.

Εποµένως ισχύει ότι: .Γ∆+ΒΖ+ΑΕ=ΓΖ+ΒΕ+Α∆ (Να λυθεί η άσκηση θεωρώντας το Α ως σηµείο αναφοράς). Παράδειγµα 2. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και έστω Ε το µέσο της ΒΓ και Ζ το µέσο

της ΑΕ. Να αποδείξετε ότι: .)5(4

1ΑΓ+ΑΒ=ΑΖ+ΑΕ

ΛΥΣΗ (Μ3)

Έστω ΑΒ=α και Α∆=β.

Τότε: 1

AE=AB+BE=α+ β,2

1 1 1 1 3ΑΖ= (Α∆+ΑΕ)= (β+α+ β)= α+ β και ΑΓ=α+β.

2 2 2 2 4

Άρα έχουµε:

1 1 3 3 5AE+AZ=α+ β+ α+ β= α+ β.

2 2 4 2 41 1 3 5

(ΑΒ+5ΑΓ)= (α+5α+5β)= α+ β.4 4 2 4

Εποµένως συµπεραίνουµε ότι: .)5(4

1ΑΓ+ΑΒ=ΑΖ+ΑΕ

Παράδειγµα 3. ∆ίνεται το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και έστω Ε το µέσο του ΑΒ και Ζ

σηµείο για το οποίο είναι .2Ζ∆=ΓΖ Αν Μ είναι το κοινό σηµείο των ΑΓ. ΕΖ

και ισχύουν οι σχέσεις ΕΖ=ΕΜΑΓ=ΑΜ7

3

7

3και να αποδείξετε ότι το

ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο. ΛΥΣΗ

Έστω

3 3ΑΓ=α και ΕΖ=β.(Βασικάδιανύσµατα). Τότε: ΑΜ= α ,ΕΜ= β

7 74 4

άρα ΜΓ= α και ΜΖ= β.7 7

Οπότε: 3 3 4 4

ΑΕ=ΑΜ+ΜΕ= α- β και ΖΓ=ΜΓ-ΜΖ= α- β.7 7 7 7

Άρα θα είναι:6 6 3 6 6

AB=2AE= α- β και ∆Γ= ΖΓ= α- β .7 7 2 7 7

Έτσι προκύπτει ότι: ∆Γ=ΑΒ δηλαδή το ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο.



[7]

2. Αν ζητείται να δείξουµε ότι δύο διανύσµατα είναι ίσα, (δηλ. α=β

), τότε:

• (Μ1) Αρκεί να δείξουµε ότι α β (δες περίπτωση 5) και α = β .↑↑

• (Μ2) Αρκεί να δείξουµε ότι τα βκαιa είναι ίσα προς τρίτο διάνυσµα οπότε θα είναι και µεταξύ τους ίσα.

Παράδειγµα 4. Έστω α και β

δύο διανύσµατα του επιπέδου για τα οποία

ισχύει: xα+(1-x)β =(1-x) α +x β , για κάθε x [0,1].∈

Να αποδείξετε ότι α =β.

ΛΥΣΗ (Μ1)

Εφόσον η δοσµένη σχέση ισχύει για κάθε x στο [0, 1], θέτω x=1 και παίρνω α = β .

Επίσης θέτω x=2

1 και παίρνω

1 1 1 1 1 1 1α+ β = α + β α+β = α + β

2 2 2 2 2 2 2⇔ ⇔

α+β = α + β .

Εποµένως έχουµε α β και α = β .↑↑

δηλαδή α =β.

Παράδειγµα 5. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και τα µέσα Ε, Ζ, Η, Θ των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α αντίστοιχα. ∆είξτε ότι το ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο. ΛΥΣΗ (Μ2)

Από το τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: .ΓΖ+ΑΓ+ΕΑ=ΕΖΒΖ+ΕΒ=ΕΖ και Με

πρόσθεση κατά µέλη παίρνουµε: .2

12 ΑΓ=ΕΖ⇔ΑΓ=ΕΖ (1) Όµοια στο τρίγωνο

Α∆Γ παίρνουµε .2

1ΑΓ=ΘΗ (2) Από (1) και (2) ΘΗ=ΕΖ⇒ οπότε το ΑΒΓ∆ είναι

παραλληλόγραµµο. 3. Αν ζητείται να δείξουµε ότι δύο σηµεία Α και Β ταυτίζονται, τότε,

• (Μ1) Αρκεί να δείξουµε ότι AB=0

ή

• (Μ2) OA=OB

για κάποιο σηµείο Ο. Παράδειγµα 6. ∆ίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α∆Ε τέτοια ώστε AB+AΓ=Α∆+ΑΕ.

∆είξτε ότι τα τµήµατα ΒΓ και ∆Ε έχουν κοινό µέσο.



[8]

ΛΥΣΗ (Μ2) Αν Μ και Ν τα µέσα των ΒΓ και ∆Ε έχουµε:

.22 ΑΝ=ΑΕ+Α∆ΑΜ=Γ+ καιAAB Αλλά ισχύει ότι: AB+AΓ=Α∆+ΑΕ.

Εποµένως .22 Ν≡Μ⇔ΑΝ=ΑΜ⇔ΑΝ=ΑΜ Παράδειγµα 7.

Αν ισχύει η ισότητα ΣΒ+ΣΑ=ΡΒ+ΡΑ να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ρ και Σ ταυτίζονται. ΛΥΣΗ (Μ1) Έχουµε:

.000)()( =ΡΣ⇔=ΡΣ+ΡΣ⇔=ΣΒ−ΡΒ+ΣΑ−ΡΑ⇔ΣΒ+ΣΑ=ΡΒ+ΡΑ Άρα τα σηµεία Ρ και Σ ταυτίζονται. 4. Αν ζητείται να προσδιορίσουµε ένα άγνωστο σηµείο Ρ που ικανοποιεί κάποια διανυσµατική σχέση, τότε:

• Αρκεί να βρούµε ένα διάνυσµα θέσης AP

του Ρ όπου Α γνωστό σηµείο του προβλήµατος. Αυτό γίνεται συνήθως θεωρώντας ένα σηµείο αναφοράς από τα δεδοµένα του προβλήµατος και εκφράζοντας όλα τα διανύσµατα της δοσµένης σχέσης µε βάση αυτό.

Παράδειγµα 8. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε σηµείο Ρ για το οποίο ισχύει η σχέση

.053 =ΡΓ+ΡΒ−ΡΑ ΛΥΣΗ

Έστω Α σηµείο αναφοράς και τα ΑΒ και ΑΓ

βασικά διανύσµατα. Η δοσµένη σχέση γράφεται:

⇔=ΑΡ−ΑΓ+ΑΡ+ΑΒ−ΑΡ−⇔=ΑΡ−ΑΓ+ΑΡ−ΑΒ−ΑΡ− 055330)(5)(3

ΑΓ+ΑΒ−=ΑΡ⇔ΑΓ−ΑΒ=ΑΡ−3

5533 .

Εποµένως το Ρ είναι το πέρας του διανύσµατος που έχει αρχή το Α και είναι ίσο µε

ΑΓ+ΑΒ−3

5.

Παράδειγµα 9. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. Να προσδιοριστεί σηµείο Ρ τέτοιο, ώστε να

ισχύει: .0=Ρ∆+ΡΓ+ΡΒ+ΡΑ ΛΥΣΗ Έστω το Α ως σηµείο αναφοράς. Η δοσµένη σχέση γράφεται:



[9]

)1.(2

124)(4

40)()()(

ΑΓ=ΑΡ⇔ΑΓ=ΑΡ⇔Α∆+ΑΒ+ΑΓ=ΑΡ

⇔Α∆+ΑΓ+ΑΒ=ΑΡ⇔=ΑΡ−Α∆+ΑΡ−ΑΓ+ΑΡ−ΑΒ+ΑΡ−

Αν Ο το κέντρο του παραλ/µου τότε 1

AO= AΓ (2)2

Από (1) και (2) έχουµε ότι

,Ο≡Ρ⇔ΑΟ=ΑΡ δηλαδή το ζητούµενο σηµείο είναι το κέντρο του παραλληλογράµµου.

5. Αν ζητείται να αποδείξουµε ότι δύο διανύσµατα βκαιa είναι παράλληλα (ειδικά δε οµόρροπα ή αντίρροπα), τότε:

• (Μ1) ∆είχνουµε ότι υπάρχει ένας αριθµός λ ℜ∈ τέτοιος, ώστε: α=λ β.⋅

• (Μ2) Είναι α β α+β α + β ή α=λ β µε λ>0.↑↑ ⇔ = ⋅

• (Μ3) Είναι α β α+β = α - β ή α=λ β µε λ<0.↑↓ ⇔ ⋅

Παράδειγµα 10.

Αν για τα διανύσµατα β γ

a ,β,γ ισχύει α+2β+3γ=0 και α = =4 3

να αποδείξετε

ότι: i) α β ii) β=4α και γ=-3α.↑↑

ΛΥΣΗ (Μ2)

i) Έχουµε: α+2β+3γ=0 α+2β=-3γ α+2β = -3γ α+2β =3 γ .⇔ ⇔ ⇔

Επίσης: β γ

α + 2β = α +2 β και επειδή α = =4 3

έχουµε

γα =

3

και

4β = γ

3

. Έτσι παίρνουµε

γ 4α + 2β = +2 γ =3 γ .

3 3

Άρα

α+2β = α + 2β α 2β α β.⇔ ↑↑ ⇔ ↑↑

ii) Ισχύει 4a =β και α β άρα β=4α.↑↑

Επίσης για β=4α

η δοσµένη σχέση

α+2β+3γ=0

γράφεται: α+2β+3γ=0 α+8α+3γ=0 γ=-3α.⇔ ⇔


Αν για τα διανύσµατα ισχύει α β γ

a ,β,γ ισχύει α+2β+λ×γ=0 και = = 0,3 4 2λ+5

≠

να βρείτε τον λ>0 έτσι ώστε να είναι α β.↑↑

ΛΥΣΗ (Μ2)

Ισχύει α+β = -λγ =λ γ , γιατί λ>0.



[10]

Επίσης 3 4 7

α = γ και β = γ άρα α + β = γ .2λ+5 2λ+5 2λ+5

Έτσι η σχέση 7

α+β = α + β γίνεται λ γ = γ και επειδή γ 02λ+5

⋅ ≠

προκύπτει 27 7λ= 2λ +5λ-7=0 λ=1 ή λ=- .

2λ+5 2⇔ ⇔ Επειδή λ>0 έχουµε τελικά λ=1.

∆ηλαδή α β λ=1.↑↑ ⇔

Παράδειγµα 12. Αν για τα σηµεία Α, Β, Κ, Λ, Μ ισχύει η σχέση

ΒΜ+ΑΜ+ΑΚ=ΚΒ+ΒΛ+ΑΛ 232 δείξτε ότι τα διανύσµατα ΜΛΚΛ και είναι αντίρροπα. ΛΥΣΗ (Μ3) Έχουµε:

.2

3032

02)(02

0)(2)()(

0232232

ΜΛ↑↓ΚΛ⇔ΜΛ−=ΚΛ⇔=ΜΛ+ΚΛ

⇔=ΜΛ+ΒΛ+ΚΒ+ΜΛ+ΚΛ⇔=ΚΒ+ΜΛ+ΒΛ+ΜΛ+ΚΛ

⇔=ΚΒ+ΒΜ−ΒΛ+ΒΛ+ΑΜ−ΑΛ+ΑΚ−ΑΛ

⇔=ΒΜ−ΑΜ−ΑΚ−ΚΒ+ΒΛ+ΑΛ⇔ΒΜ+ΑΜ+ΑΚ=ΚΒ+ΒΛ+ΑΛ

6. Αν ζητείται να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία (π.χ. Α, Β, Γ) είναι συνευθειακά, τότε:

• Αποδεικνύουµε ότι δύο από τα διανύσµατα που παράγονται από τα σηµεία

αυτά είναι παράλληλα. Π.χ.: ΑΒ=xΑΓ ή ΑΒ=ψΒΓ.

Αυτό µπορεί να γίνει αν στη δοσµένη διανυσµατική ισότητα εκφράσουµε όλα τα διανύσµατα µε σηµείο αναφοράς ένα από τα Α, Β ή Γ.

Παράδειγµα 13. Aν ισχύει η ισότητα ΑΚ+4ΒΚ=3ΑΒ+7ΒΛ+2ΜΑ,

να αποδείξετε ότι τα σηµεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ



[11]

⇔ΚΜΚΛ⇔ΚΜ=ΚΛ⇔=ΚΜ+ΚΛ−

⇔=ΚΜ+ΚΑ−ΚΒ+ΚΛ−ΚΑ+ΚΒ−ΚΒ−ΚΑ−

⇔ΚΜ−ΚΑ+ΚΒ−ΚΛ+ΚΑ−ΚΒ=ΚΒ−ΚΑ−

⇔ΜΑ+ΒΛ+ΑΒ=ΒΚ+ΑΚ

//7

2027

02277334

)(2)(7)(34

2734

τα σηµεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. Παράδειγµα 14. ∆ίνονται τα διανύσµατα ΟΑ=7α+15β-14γ, ΟΒ=3α+7β-4γ, ΟΓ=α+3β+γ.

Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ

ΑΒ=ΟΒ-ΟΑ=3α+7β-4γ-7α-15β+10γ=-4α-8β+10γ=

=-2(-2α-4β+5γ).

ΒΓ=ΟΓ-ΟΒ=α+3β+γ-3α-7β+4γ=-2α-4β+5γ .

Άρα ⇔ΒΓΑΒ⇔ΒΓ=ΑΒ //2 Α, Β, Γ συνευθειακά. Παράδειγµα 15. ∆ίνεται η ισότητα: ΑΚ+λΑΒ+(λ+1)ΒΚ=ΒΛ+(λ+1)ΑΜ.

∆είξτε ότι τα σηµεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά για κάθε λ .ℜ∈ Για ποια τιµή του λ το σηµείο Μ είναι το µέσο του ΚΛ; ΛΥΣΗ

Αν Ο τυχαίο σηµείο αναφοράς η ισότητα ΑΚ+λΑΒ+(λ+1)ΒΚ=ΒΛ+(λ+1)ΑΜ

γίνεται: ( )(ΟΚ-ΟΑ)+λ (ΟΒ-ΟΑ)+(λ+1)(ΟΚ-ΟΒ)=ΟΛ-ΟΒ+(λ+1)(ΟΜ-ΟΑ)

που τελικάµετά τις πράξεις παίρναι τη µορφή

(λ+2)ΜΚ=ΜΛ+(λ+1)ΜΜ (λ+2)ΜΚ=ΜΛ (1)

⇔

⇔

∆ηλαδή τα σηµεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά για κάθε λ .∈ℜ Το Μ είναι µέσο του ΚΛ αν και µόνο αν

0 (λόγω της (1)) ΜΚ+(λ+2)ΜΚ=0 (λ+3)ΜΚ=0

και επειδή ΜΚ 0 έχουµε λ+3=0 λ=-3.

ΜΚ +ΜΛ = ⇔ ⇔

≠ ⇔

7. Αν ζητείται να αποδείξουµε ότι µια παράσταση είναι σταθερή ενώ περιέχει ως άκρο διανύσµατος ένα µεταβλητό σηµείο Μ, τότε:

• ∆είχνουµε ότι η παράσταση αυτή τελικά ισούται µε ένα γραµµικό συνδυασµό διανυσµάτων που ως άκρα έχουν µόνο τα σταθερά σηµεία του προβλήµατος. Αυτό γίνεται θεωρώντας κάποιο σταθερό σηµείο ως σηµείο αναφοράς και εκφράζοντας όλα τα άλλα σηµεία µε αρχή αυτό οπότε το µεταβλητό σηµείο



[12]

απαλείφεται ή µε κατάλληλη οµαδοποίηση των διανυσµάτων και πράξεις µεταξύ τους το µεταβλητό σηµείο απαλείφεται .

Παράδειγµα 16. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και µεταβλητό σηµείο Μ. Να αποδειχθεί ότι το διάνυσµα u =ΜΑ+4ΜΒ-2ΜΓ-3Μ∆

είναι σταθερό. ΛΥΣΗ

Έστω Α το σηµείο αναφοράς . Έχουµε: u =ΜΑ+4ΜΒ-2ΜΓ-3Μ∆=

=-ΑΜ+4(ΑΒ-ΑΜ)-2(ΑΓ-ΑΜ)-3(Α∆-ΑΜ)=

=-ΑΜ+4ΑΒ-4ΑΜ-2ΑΓ+2ΑΜ-3Α∆+3ΑΜ=

=4ΑΒ-2ΑΓ-3Α∆

Άρα u =4ΑΒ-2ΑΓ-3Α∆

που είναι σταθερό, δηλαδή, ανεξάρτητο της θέσης του σηµείου Μ στο επίπεδο.

8. Αν ζητείται, σε γεωµετρικό σχήµα (π.χ. τρίγωνο ή παραλληλόγραµµο) ότι ένα διάνυσµα είναι γραµµικός συνδυασµός άλλων τότε, θεωρούµε δύο διαδοχικές πλευρές ως βασικά διανύσµατα και εκφράζουµε τα άλλα µε βάση αυτά. Στηριζόµαστε µάλιστα και στην εξής πρόταση: « Αν α,β

µη συγγραµµικά διανύσµατα και κ,λ∈ℜ τότε ισχύει:

κ α+λ β=0 κ=λ=0.⋅ ⋅ ⇔

» Απόδειξη:

Έστω λ

κ α+λ β=0 κ α=-λ β . Αν κ 0 τότε α=-κ

⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ≠

β.

∆ηλαδή α//β.

Άτοπο γιατί

τα α, β

είναι µη συγγραµµικά. Άρα κ=0. Όµοια και λ=0.

Αντιστρόφως αν κ=λ=0 έχουµε: κ α+λ β=0 α+0 β=0 .⋅ ⋅ ⋅ ⋅


Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ και τα διανύσµατα: 1 1

Α∆= ΑΒ και ΑΕ= ΑΓ.3 2

Οι

ευθείες ΒΕ και Γ∆ τέµνονται στο σηµείο Μ.

Να δείξετε ότι: 1 2

AM= AB+ AΓ .5 5

ΛΥΣΗ Α ∆ Ε

β γ Μ



[13]

Γ Β

Έστω ότι ΒΜ=xΒΕ και ΓΜ=ψΓ∆, x,ψ .∈ℜ

Έχουµε ότι:

xΒΕ-ψΓ∆=ΒΓ

x(ΑΕ-ΑΒ)-ψ(Α∆-ΑΓ)=ΑΓ-ΑΒ

1 1x ΑΓ-ΑΒ -ψ ΑΒ-ΑΓ =ΑΓ-ΑΒ

2 3

x ψ ψ xγ-χβ- β+ψγ-γ+β=0 -x- +1 β+ +

2 3 3 2

ΒΜ +ΜΓ = ΒΓ ⇔ ⇔

⇔

⇔

⇔

ψ-1 γ=0 ⇔

ψ-x- +1=0 -3x-ψ+3=0 x=4/53 .

x+2ψ-2=0 ψ=3/5x+ψ-1=0

2

⇔ ⇔

Εποµένως .5

4ΒΕ=ΒΜ Έτσι έχουµε:

( )4 4 4 1ΑΜ=ΑΒ+ΒΜ=β+ ΒΕ=β+ ΑΕ-ΑΒ =β+ γ-β =

5 5 5 2

1 2β+ γ .

5 5


Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και τα διανύσµατα 1

3ΒΕ = ΒΓ

και

.3

2Γ∆=ΓZ

Οι ευθείες ΒΖ και ∆Ε τέµνονται στο σηµείο Μ. Να δείξετε ότι:

.5

3

5

3∆+= AABAM

ΛΥΣΗ Ζ ∆ Γ

β Μ Ε

Α a Β



[14]

Έστω ΑΒ=α και Α∆=β. Θέτουµε ΒΜ=xΒΖ και ΜΕ=ψ∆Ε.

1

ΒΜ+ΜΕ=ΒΕÞxΒΖ+ψ∆Ε=ΒΕÛx(ΒΓ+ΓΖ)+ψ(∆Γ+ΓΕ)= ΒΓ3

2 2 1 2 2 1x Α∆+ Γ∆ +ψ ∆Γ+ ΓΒ = ΒΓ x β- α +ψ α- β = β

3 3 3 3 3 3

2ψ 1 2χx- - β+ ψ-

3 3 3

⇔

⇔ ⇔

α=0 ⇔

2 1 3x- ψ- =0 x=

3x-2ψ=13 3 52χ -2x+3ψ=0 2

ψ- =0 ψ=3 5

⇔ ⇔

Άρα .5

3BZBM = Εποµένως:

3 3 3 2 3 2ΑΜ=ΑΒ+ΒΜ=α+ ΒΖ=α+ (β+ΓΖ)=α+ β- α =α+ β- α=

5 5 5 3 5 5

3 3= α+ β .

5 5

Εποµένως 3 3

AM= AB+ A∆ .5 5

*****************

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 1.∆ύο παραλληλόγραµµα ΑΒΓ∆ και Α΄Β’Γ∆ έχουν δύο κοινές κορυφές. ∆είξτε ότι το ΑΒΑ’Β’ είναι παραλληλόγραµµο. 2.∆ύο παραλληλόγραµµα ΑΒΓ∆ και ΑΒ’Γ∆’ έχούν κοινές τις κορυφές Α.Γ. ∆είξτε ότι το ΑΒ∆’Β’ είναι παραλληλόγραµµο. 3.Πάνω στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ παραλληλογράµµου ΑΒΓ∆ παίρνουµε τα σηµεία

Μ και Ν αντίστοιχα και γράφουµε τα διανύσµατα .καιΓΕ = ΑΜ ΑΖ = ΓΝ

Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΖΜΕΝ είναι παραλληλόγραµµο.

4.∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ τυχαίο σηµείο της πλευράς ΒΓ. Έστω επίσης σηµείο

Μ που ορίζεται από τη σχέση .ΡΜ = ΑΡ + ΡΒ + ΡΓ

Να αποδείξετε ότι το ΑΒΜΓ είναι παραλληλόγραµµο.

5.Για τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και Ε ισχύουν οι σχέσεις: .καιΑΓ = Β∆ ΕΒ = ∆Α

Να αποδείξετε ότι το ∆ είναι µέσο του ΓΕ.



[15]

6. Σε τρίγωνο ΑΒΓ κατασκευάζουµε τα διανύσµατα καιΓ∆ = ΒΓ ΒΕ = ΑΓ

. Να αποδείξετε ότι το Γ είναι το µέσον του ∆Ε.

7.Θεωρούµε τα µη συνευθειακά σηµεία Α , Β, Γ, ∆ και το µέσο Μ της ΑΓ. Να

αποδείξετε ότι: ΜΒ+Μ∆=ΑΒ-∆Γ=Α∆+ΓΒ.

8.Αν AB'

=κ 'B B

και 'ΓA = κ. ΓΓ ' , να συγκρίνετε τα διανύσµατα ΓB και ''ΓΒ ’.

9.Αν Α,Β,Γ,∆ σηµεία του επιπέδου µε Β≠ Γ και Α∆= κ.ΒΓ , κ ℜ∈ , να βρείτε το

x ℜ∈ αν ΑΒ+Γ∆=(x-2)ΒΓ

.

10. Αν Α,Β,Γ,∆ σηµεία του επιπέδου και Μ,Ν τα µέσα των Β∆, ΑΓ δείξτε ότι

4ΝΜ=Α∆+ΑΒ+ΓΒ+Γ∆

. 11. Αν Μ το µέσο της διαγωνίου ΑΓ τετραπλεύρου ΑΒΓ∆, δείξτε ότι:

ΜΒ+Μ∆=ΑΒ-∆Γ

. 12. Θεωρούµε ένα τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Μ και Ν τέτοια, ώστε:

BM=2ΑΓ-3ΑΒ και ΓΝ=ΑΓ-2ΑΒ

. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ και Ν ταυτίζονται.

13. Αν Μ το µέσο της πλευράς ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και για τα σηµεία ∆, Ε ισχύει:

AB+AΓ=Α∆+ΑΕ

τότε δείξτε ότι: )α Το Μ είναι µέσο του ∆Ε.

)β για κάθε άλλο σηµείο Ρ θα είναι ΡΒ+ΡΓ=Ρ∆+ΡΕ

.

14. ∆ίνονται τα διανύσµατα u =ΑΒ+ΓΑ και v =ΚΒ+ΓΛ .

Αν u=v

, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Κ και Λ συµπίπτουν.

15. Αν είναι 3 1

α = , β = και α+β 14 4

≥

, να αποδείξετε ότι τα α και β

είναι

οµόρροπα. 16. ∆ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ και τα µέσα Μ και Ν των ΑΓ και Β∆. Αν

ΒΓ−Α∆=ΜΝ4 να δείξετε ότι το ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο.

ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 17. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Μ,

ώστε: ΑΓ−ΑΒ=ΑΝΑΓ+ΑΒ=ΑΜ 23,3 . ∆είξτε ότι ΜΝ //ΑΓ.

18. ∆ίνονται τα διανύσµατα u=3α-4β,

v=α+2β.

∆είξτε ότι το u+2v



[16]

είναι συγγραµµικό του α.

19. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β και Γ, και τα σηµεία ∆ και Ε που ορίζονται από τις

σχέσεις: 0 0.καιΓ∆ + ΑΒ = ΓΕ + ΒΑ =

Να αποδείξετε ότι το Γ είναι µέσο του ∆Ε.

20. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία ∆, Ε ώστε: ΑΒ=Α∆3

2 και .

3

2ΓΑ=ΓΕ

Αν Ρ το µέσο της διαµέσου ΑΜ και Κ το µέσο της ∆Ε δείξτε ότι .//ΡΚ ΒΓ .

21. Αν τα διανύσµατα α

και β

δεν είναι παράλληλα δείξτε ότι και τα

u=2α+β,v=α+3β

δεν είναι παράλληλα.

22. Το τµήµα που ενώνει τα µέσα των διαγωνίων τραπεζίου είναι παράλληλο στις βάσεις και ισούται µε την ηµιδιαφορά τους.

23. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, ένας αριθµός λ 0≠ και τα σηµεία Ε και Ζ

τέτοια, ώστε: λ-1

ΒΕ= ΒΓ και ΓΖ=λΓ∆λ

. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΒΖ και ∆Ε

είναι παράλληλες.

24. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε .Γ∆κ=AB Αν Μ, Ν σηµεία τέτοια ώστε:

ΑΜ=xΑ∆ και ΒΝ=ψΒΓ,

δείξτε ότι .//ΑΒΜΝ

25. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Α∆=κΑΒ+λΑΓ και ΑΕ=λΑΒ+κΑΓ

, δείξτε ότι

.//ΒΓ∆Ε 26. Aν για τα διανύσµατα α, β, γ

ισχύει η σχέση α+2β+3γ=0

καθώς και

β γ

a = = ,4 3

να αποδείξετε ότι: α) α β↑↑

β) β=4α

και γ=-3α.

27. Αν για τα διανύσµατα α, β, γ

ισχύουν οι σχέσεις α+β+λγ=0

και

βα γ

= = 0,3 4 2λ+5

≠

να βρείτε το θετικό αριθµό λ έτσι ώστε να είναι α β.↑↑

ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

28. ∆ίνονται τα διανύσµατα OA=a+β-γ, ΟΒ=2α+3β+γ, ΟΓ=3α+5β+3γ

. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά.

29. Αν ισχύει η ισότητα ΑΚ+λΑΒ+(λ+1)ΒΚ=ΒΛ+(λ+1)ΑΜ,

να αποδείξετε ότι τα σηµεία Κ, Λ και Μ είναι συνευθειακά για κάθε λ .ℜ∈ Για ποια τιµή του λ το σηµείο Μ είναι το µέσο του ΚΛ;



[17]

30. ∆ίνονται τα διανύσµατα ΟΓΟΒΟΑ ,, τέτοια ώστε: .023 =ΟΓ−ΟΒ−ΟΑ ∆είξτε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.

31. Αν 032 =ΒΑ+ΑΓ+ΑΡ , δείξτε ότι τα Β, Γ, Ρ είναι συνευθειακά. 32. ∆ίνονται τα διανύσµατα ΟΑ=α+2β-3γ, ΟΒ=2α+β+γ

και ΟΓ=-α+4β-11γ.

∆είξτε ότι τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 33. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά αν ισχύει µια από τις παρακάτω σχέσεις:

α) 9ΟΑ-7ΟΒ-2ΟΓ=0, β)12ΟΑ-8ΟΒ+4ΓΟ=0,

γ) 3ΑΚ-2ΛΓ+ΛΑ=3ΒΚ-ΛΑ.

34. Αν ισχύει 3 7 4 3ΟΚ + ΚΑ = ΚΒ + ΟΒ

, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α και Β συµπίπτουν.

35. Οι διαγώνιες τραπεζίου ΑΒΓ∆ (Α∆//ΒΓ) τέµνονται στο Ο, έτσι ώστε

ΟΑ=κΟΓ και Ο∆=κΟΒ (κ 0).≠

Αν Μ και Ν είναι τα µέσα των ΒΓ και Α∆ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι τα σηµεία Μ, Ο και Ν είναι συνευθειακά.

36. ∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ, Ο το µέσο της ΒΓ και τα σηµεία Κ, Λ

ώστε:2ΟΑ+λ ΟΒ 2ΟΑ-λΟΓ

ΟΚ= , ΟΛ=λ+2 λ-2

, λ 2.≠ ± ∆είξτε ότι τα Ο, Κ, Λ είναι

συνευθειακά.

37. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ δίνονται τα σηµεία Ε και Ζ ώστε 1

AE= AB5

και

1

AZ= AΓ6

.∆είξτε ότι τα Ε, Ζ, ∆ είναι συνευθειακά.

38. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το σηµείο Ρ για το οποίο ισχύει:ΑΡ=κΑΒ+λΑΓ

. ∆είξτε ότι αν το Ρ βρίσκεται πάνω στη ΒΓ, τότε: κ+λ=1.

39. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το µέσο Μ της ΒΓ και το σηµείο Ρ ώστε: .2ΡΜ=ΑΡ ∆είξτε ότι τα Β, Ρ, Ν είναι συνευθειακά, όπου Ν το µέσο της ΑΓ.

40. ∆ίνεται τραπέζιο ΑΒΓ∆. ∆είξτε ότι τα µέσα Μ, Ν των βάσεων ΑΒ και Γ∆ και η

τοµή Ο των µη παράλληλων πλευρών βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 41. ∆ίνονται τα σταθερά σηµεία Α, Β, Γ και το µεταβλητό σηµείο Μ. ∆είξτε ότι το

διάνυσµα u=2ΜΑ+ΜΒ-3ΜΓ

είναι σταθερό. 42. ∆ίνονται τα σταθερά σηµεία Α, Β, Γ, ∆, Ε και το µεταβλητό Μ. ∆είξτε ότι το



[18]

διάνυσµα u=ΜΑ+ΜΒ-2ΜΓ+ΜΛ-ΜΕ

είναι σταθερό. 43. ∆ίνονται τα σηµεία Α, β, Γ. ∆. ∆είξτε ότι υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο Ο τέτοιο

ώστεΟΑ+ΟΒ+ΟΓ+Ο∆=0 .

.

Για κάθε άλλο σηµείο Ρ δείξτε ότι ισχύει:ΡΑ+ΡΒ+ΡΓ+Ρ∆=4ΡΟ.

. 44. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και α, β, γ ℜ∈ ώστε α+β+γ=0. Να αποδείξετε ότι για το τυχαίο σηµείο Μ του επιπέδου το διάνυσµα v=αΜΑ+βΜΒ+γΜΓ

είναι

σταθερό, δηλ ανεξάρτητο από τη θέση του Μ.

ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ 45. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ. Να κατασκευάσετε τα σηµεία Α1, Β1, Γ1 ώστε να

ισχύουν: 1 1 1AA =ΒΓ, ΑΒ =ΑΒ-ΑΓ, ΑΓ =2ΑΒ-ΑΓ+ΒΓ.

46. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆. Να βρεθεί σηµείο Μ ώστε:

ΜΑ+2ΜΒ-3ΜΓ+Μ∆=0.

47. ∆ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να βρείτε σηµείο Μ τέτοιο ώστε:

ΜΑ+ΜΒ-2ΜΓ+Μ∆=0.

48. ∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ και ένα σηµείο ∆ τέτοιο ώστε:Α∆=xΑΒ+ψΑΓ

µε

x+ψ=1. ∆είξτε ότι το ∆ ανήκει στην ευθεία ΒΓ. 49. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Μ , τέτοιο

ώστε να ισχύει: 2 3 0.ΜΑ−ΜΒ − ΜΓ =

50. Να βρείτε σηµείο Ρ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ, ,ώστε να ισχύει:

α) ,ΑΡ + ΑΒ = ΓΑ

β) 5 2 ,ΑΡ + ΒΡ = ΓΡ

γ) 5 3 .ΓΡ = ΑΡ + ΒΡ

51. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να βρείτε σηµείο Κ του επιπέδου του τέτοιο, ώστε:

α) ,ΒΚ = Β∆ − Γ∆ − ΑΓ

β) 0.ΑΒ + ΑΓ + Α∆ + ΑΚ =

52. ∆ίνονται τα σηµεία Α, Β, Γ, ∆ και το διάνυσµα u=ΜΑ+2ΜΒ+3ΜΓ-Μ∆

α) Βρείτε ένα σηµείο Ο ώστε .032

=Ο∆−ΟΓ+ΟΒ+ΟΑ

β) ∆είξτε ότι u=5ΜΟ.

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΙ

53. Στο διπλανό σχήµα να εκφράσετε το διάνυσµα Α∆ =x

ως γραµµικό συνδυασµό των β και γ

αν Β∆=4∆Γ.



[19]

Α

β

x

γ

Β ∆ Γ 54. Στο παρακάτω σχήµα είναι (Β∆)=(∆Ε)=(ΕΓ). Να αποδείξετε ότι

1 1x= (2α+β) και ψ= (α+2β).

3 3

Επίσης δείξτε ότι: i) x+ψ α+β↑↑

. ii) 1

x-ψ=- ΒΓ.3

Α

α

x

ψ

β

B ∆ Ε Γ

55. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Εστω Ε το µέσο του Γ∆ καιBΡ=3ΡΕ

. Να βρείτε

το ΑΡ συναρτήσει των ΑΒ=β, ΒΓ=γ και Α∆=δ .

56. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, η διάµεσος Α∆ και το µέσο Ρ της .Α∆ Αν η ΒΡ τέµνει

την ΑΓ στο Μ, να δείξετε ότι: .2

1ΜΓ=ΑΜ

57. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Ρ σηµείο της ΒΓ ώστε, ΑΡ=(λ+1)ΑΒ-(3λ+2)ΓΑ

λ ℜ∈ . Να βρεθεί ο λ.

58. Αν τα α , β

είναι µη συγγραµµικά διανύσµατα , να βρείτε τις τιµές των λ και µ για τις οποίες ισχύει:

α) 5α+λβ=(6-µ)α+7β

, β) 2α+3β+(2-µ)β=(λ-4)α

,

γ) 2λα+3λβ+3µα-5µβ=21β-5α.

59. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Κ, Λ ώστε 1

ΑΚ= ΑΒλ

και

1ΓΛ= ΓΒ

λ+1

.

Αν η ΚΛ τέµνει την ΒΓ στο Μ δείξτε ότι: ΑΜ=λ ΑΓ.⋅

60. ∆ίνεται παρ/µο ΑΒΓ∆. Αν Ε σηµείο της ΑΒ τέτοιο ώστε ΑΒ=ΑΕ3

1 και Σ το

σηµείο τοµής των ΑΓ και ∆Ε, δείξτε ότι .4 ΑΣ⋅=ΑΓ

61. Σε τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουµε το σηµείο Ε της ΑΓ µε 1

5ΑΕ = ΑΓ

και το σηµείο ∆

της διαµέσου ΑΜ µε 1

3Α∆ = ΑΜ

. Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Β, ∆, Ε είναι




[20]

62. Στο παρακάτω σχήµα τα σηµεία Α και Β έχουν διανυσµατικές ακτίνες α και β

αντίστοιχα µε σηµείο αναφοράς το Ο. Το σηµείο Μ είναι µέσο του ΟΑ , το Κ χωρίζει το ΟΒ σε λόγο 3:1 και το Λ χωρίζει το ΑΚ σε λόγο 4:1.

i) Nα γράψετε µε τη βοήθεια των α και β

τις διανυσµατικές ακτίνες των σηµείων Μ,

Κ και Λ.

ii) Nα αποδείξετε ότι: 1

ΒΛ= (α-2β).5

iii) Nα αποδείξετε ότι τα σηµεία Β, Λ και Μ είναι συνευθειακά.

iv) Να βρείτε το λόγο ( )

.( )

ΒΛΛΜ

63. Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και τα σηµεία Ε και Ζ των Α∆ και ΑΓ

αντίστοιχα µε 5 6 .καιΑ∆ = ΑΕ ΑΓ = ΑΖ

Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Ε, Ζ, Β είναι συνευθειακά.

64. Θεωρούµε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆, το µέσο Ε της ΑΒ και το σηµείο Ο της

διαγωνίου ΑΓ µε 1

.3

ΑΟ = ΑΓ

Να αποδείξετε ότι:

i) Τα σηµεία ∆, Ο, Ε είναι συνευθειακά και ii) 2 .∆Ο = ΟΕ

65. Tα σηµεία Μ και Ν διαιρούν το τµήµα ΑΒ σε τρία ίσα µέρη. Για οποιοδήποτε

σηµείο Ο του χώρου , να αποδείξετε ότι: 1 1

(2 ) ( 2 ).3 3

καιΟΜ = ΟΑ +ΟΒ ΟΝ = ΟΑ + ΟΒ

66. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το µέσο ∆ της ΑΒ και σηµείο Ε στην πλευρά ΑΓ τέτοιο ώστε:ΑΕ=2ΕΓ. Οι ευθείες ∆Ε και ΒΓ τέµνονται στο Μ.

α)Να εκφραστεί το ΜΑ ως γραµ. συνδυασµός των ΑΒ=β

και ΑΓ=γ.

β)Να δειχθεί ότι το Γ είναι µέσο της ΒΜ.

………………………………….



[21]

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο Ορισµός άξονα-θέση σηµείου στον άξονα Ο Ι Μ(x)

x΄ i x

Θεωρούµε ευθεία χ΄χ και σηµείο Ο και Ι πάνω σ’αυτή και το διάνυσµα ΟΙ=i

µε µέτρο 1 πάνω στην ηµιευθεία Οχ. Με αυτόν τον τρόπο ορίζουµε έναν άξονα µε αρχή

το Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i . Η ηµιευθεία Οχ λέγεται θετικός ηµιάξονας, ενώ η Οχ΄ αρνητικός ηµιάξονας. Για κάθε σηµείο Μ του άξονα χ΄χ υπάρχει µοναδικός x ℜ∈ τέτοιος, ώστε: OM=x i⋅

επειδή OM// i .

Ο αριθµός x λέγεται τετµηµένη του Μ.

Αλλά και αντίστροφα, από την ισότητα OM=x i⋅

προκύπτει ότι υπάρχει µοναδικό σηµείο Μ του χ΄χ µε τετµηµένη x. Το σηµείο Μ συµβολίζεται και µε Μ(x). Καρτεσιανό επίπεδο

Έστω χ΄χ και ψ΄ψ δύο κάθετοι άξονες µε κοινή αρχή το σηµείο Ο και ji , τα µοναδιαία διανύσµατά τους. Λέµε τότε ότι έχουµε ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο. ψ Μ Μ2

j

x΄ Ο i Μ1 x ψ΄ Αν Μ1(x) και Μ2(ψ) οι προβολές του Μ στους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ αντίστοιχα τότε, οι (µοναδικοί) αριθµοί x και ψ είναι η τετµηµένη και η τεταγµένη του Μ. Η τετµηµένη και η τεταγµένη λέγονται συντεταγµένες του Μ και το σηµείο συµβολίζεται µε Μ(x, ψ).



[22]

Συντεταγµένες διανύσµατος Πρόταση «Κάθε διάνυσµα α

του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή

a =xi +ψ j .

” Aπόδειξη Έστω Οχψ ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και α =OA

ένα διάνυσµα µε αρχή το Ο. Αν Α1 και Α2 οι προβολές του Α στους άξονες χ΄χ και ψ΄ψ αντίστοιχα

τότε: 1 2OA=OA +OA .

ψ a Α2 A

a Ο Α1 x

Αν x,ψ οι συντεταγµένες του Α τότε: 1 2OA =xi και OA =ψ j . Άρα α=xi +ψ j

.

Αποδείξαµε δηλ. ότι το a είναι γραµµικός συνδυασµός των i και j .

Η έκφραση αυτή είναι µοναδική. Πράγµατι:

Έστω ότι ισχύει: ' 'α=x i +ψ j.

Τότε έχουµε ' ' 'xi +ψ j =x i +ψ j (x-x )i =(ψ '-ψ) j .⇔

Αν υποθέσουµε ότι x x' δηλ.≠ x-x’ 0≠ τότε παίρνουµε: ψ'-ψ

ι = jx-x'

που

σηµαίνει ότι i // j

, που είναι άτοπο, γιατί τα i και j

είναι µη συγγραµµικά. Εποµένως x=x’, που σηµαίνει ότι και ψ=ψ’.

∆ηλαδή η γραφή ' 'α=x i +ψ j

είναι µοναδική. Ισότητα δύο διανυσµάτων

Έστω τα διανύσµατα 1 1 2 2a =(x ,ψ ) και β=(x ,ψ ).

Τότε:

1 2 1 2α=β x =x και ψ =ψ .⇔

Συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού διανυσµάτων Έστω τα διανύσµατα 1 1 2 2a =(x ,ψ ) και β=(x ,ψ ).

Τότε:

• 1 1 2 2 1 2 1 2α+β=(x ,ψ )+(x ,ψ )=(x +x ,ψ +ψ )

• 1 1 2 2 1 2 1 2α-β=(x ,ψ )-(x ,ψ )=(x -x ,ψ -ψ )

• 1 1 1 1λ α=λ (x ,ψ )=(λ x ,λψ )⋅ ⋅

• 1 1 2 2 1 1 2 2λ α+µ β=λ (x ,ψ )+µ (x ,ψ )=(λ x +µψ ,λ x +µψ )⋅ ⋅



[23]

Συντεταγµένες του µέσου ευθυγράµµου τµήµατος ψ Α(x1,ψ1) Μ(x,ψ) Β(x2,ψ2) x Ο

Σύµφωνα µε το σχήµα είναι: 1 1 2 2OM=(x,ψ), ΟΑ=(x ,ψ ) και ΟΒ=(x ,ψ ).

Έχουµε λοιπόν, [ ] ( )1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1ΟΜ= (ΟΑ+ΟΒ)= (x ,ψ )+(x ,ψ ) = x +x ,ψ +ψ =

2 2 2

1 2 1 2x +x ψ +ψ= , .

2 2

Εποµένως οι συντεταγµένες του Μ είναι:

1 2 1 2x +x ψ +ψx= και ψ= .

2 2

Συντεταγµένες διανύσµατος µε γνωστά άκρα ψ Α(x1,ψ1) Β(x2,ψ2) x

Ο

Έστω το διάνυσµα ),( ψxAB = µε άκρα Α(x1,ψ1) και Β(x2,ψ2). Τότε:

2 2 1 1 2 1 2 1ΑΒ=ΟΒ-ΟΑ=(x ,ψ )-(x ,ψ )=(x -x ,ψ -ψ ).

Άρα x=x2-x1 και ψ=ψ2-ψ1.

Το διάνυσµα γράφεται: 2 1 2 1AB=(x -x ,ψ -ψ ).

∆ηλαδή :

«τετµηµένη του AB

= τετµηµένη του Β – τετµηµένη του Α.»

«τεταγµένη του AB

= τεταγµένη του Β – τεταγµένη του Α.» Μέτρο διανύσµατος ψ

α

Α2 Α(x,ψ)

Ο Α1 x



[24]

Έστω α=(x,ψ)

διάνυσµα του επιπέδου και Α το σηµείο του µε διανυσµατική ακτίνα

ΟΑ=α.

Σύµφωνα µε το σχήµα έχουµε:

( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2

1 2α = ΟΑ = ΟΑ + ΟΑ = x + ψ =x +ψ α = x +ψ .⇔

∆ηλαδή αν α=(x,ψ)

τότε 2 2α = x +ψ

Απόσταση σηµείων στο επίπεδο Έστω Α(x1,ψ1) και Β(x2,ψ2) δύο σηµεία του επιπέδου. Η απόσταση (ΑΒ) των

σηµείων Α και Β είναι ίση έ το µέτρο του διανύσµατος 2 1 2 1AB=(x -x ,ψ -ψ )

.

ψ Β(x2,ψ2) Α(x1,ψ1)

Ο x

Εποµένως: (ΑΒ)= 2 22 1 2 1(x -x ) +(ψ -ψ ) .

Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Έστω τα διανύσµατα 1 1 2 2α =(x ,ψ ) και β=(x ,ψ ).

Τότε:

Ονοµάζουµε ορίζουσα των διανυσµάτων 1 1 2 2α =(x ,ψ ) και β=(x ,ψ )

την ορίζουσα

1 11 2 2 1

2 2

x ψdet(α ,β)= =x ψ -z ψ .

x ψ

Ισχύει ότι: ( )α //β det α ,β =0.⇔

Γωνία διανύσµατος µε τον άξονα χ΄χ – Συντελεστής διεύθυνσης διανύσµατος Έστω α=(x,ψ)

διάνυσµα του επιπέδου και Α το σηµείο του µε διανυσµατική ακτίνα

ΟΑ=α.

ψ

Α(x,ψ) φ Ο x



[25]

Την γωνία φ, που διαγράφει ο ηµιάξονας Οx αν στραφεί γύρω από το Ο κατά την θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ηµιευθεία ΟΑ, την ονοµάζουµε γωνία που

σχηµατίζει το διάνυσµα a µε τον άξονα χ΄χ. Φανερά ισχύει ότι: 0 φ<2π .≤

Για τη γωνία φ ισχύει ότι: ψ

εφφ= µε x 0.x

≠

Το πηλίκο ψ

x λέγεται συντελεστής διεύθυνσης του διανύσµατος =(x,ψ) και

συµβολίζεται µε λ. ∆ηλαδή: λ=εφφ=ψ

x.

• Αν α

//ψ΄ψ τότε φ=90ο και το διάνυσµα δεν έχει συντ. διεύθυνσης. (Αυτό γίνεται όταν x=0).

• Αν α

//χ΄χ τότε φ=0ο και το διάνυσµα έχει λ=0. (Αυτό γίνεται όταν ψ=0).

• Αν δύο διανύσµατα α και β

έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντίστοιχα τότε η συνθήκη παραλληλίας γίνεται:

1 2α //β λ =λ .⇔

ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

(Μ1).Aν ζητείται να βρεθεί ένα άγνωστο σηµείο Μ του επιπέδου, τότε: Συµβολίζουµε πάντα το άγνωστο σηµείο ως Μ(x, ψ) και µε βάση τις συνθήκες του προβλήµατος οδηγούµαστε σε σύστηµα από το οποίο βρίσκουµε τα x, ψ.

(Μ2). Aν ζητείται να αναλυθεί ένα διάνυσµα α

, κατά τις διευθύνσεις δύο

άλλων γνωστών διανυσµάτων β και γ

, δηλαδή να γραφεί το α

ως γραµµικός

συνδυασµός των β και γ

, τότε:

Συµβολίζουµε πάντα το διάνυσµα που ζητάµε µε α =(x,ψ)

. Θεωρούµε

πραγµατικούς αριθµούς κ και λ και παίρνουµε τη σχέση a =κβ+λ γ .

Μα αντικατάσταση και πράξεις οδηγούµαστε σε σύστηµα από όπου βρίσκουµε τα κ και λ και από εκεί το ζητούµενο γραµµικό συνδυασµό. (Μ3). Αν ζητείται να βρεθεί ότι τρία σηµεία Α, Β, Γ του επιπέδου είναι συνευθειακά, τότε: Αποδεικνύουµε ότι για τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ ή τα ΑΒ και BΓ

ισχύει η

συνθήκη παραλληλίας π.χ.: ( ) .0,det =ΑΓΑΒ

(Μ4). Αν ζητείται να αποδείξουµε ότι δύο διανύσµατα α και β

είναι παράλληλα, οµόρροπα ή αντίρροπα, τότε: Αποδεικνύουµε ότι για τα διανύσµατα α και β

ισχύει η συνθήκη παραλληλίας

det(a , β)=0 και κατόπιν α =κ β, µε κ>0 για οµόρροπα ή κ<0 για

αντίρροπα.

⋅



[26]

(Μ5). Αναλυτική µέθοδος. (Κυρίως για γεωµετρικά προβλήµατα) Τοποθετούµε το σχήµα σε ένα σύστηµα αναφοράς µε τέτοιο τρόπο ώστε, να έχουµε όσο το δυνατόν περισσότερα σηµεία του σχήµατος µε τετµηµένες ή τεταγµένες µηδέν. Α) Για ορθογώνιο τρίγωνο, ορθογώνιο παραλληλόγραµµο και τετράγωνο θα έχουµε:

Γ(0,β) Γ(0,β) Β(α,β) Γ(0,α) Β(α,α) Β(α,0) Α(α,0) Α(α,0) Ο(0,0) Ο(0,0) Ο(0,0) Β) Για ισοσκελές ή ισόπλευρο τρίγωνο ή ισοσκελές τραπέζιο θα έχουµε: Α(0,α) Γ(-β,γ) ∆(β,γ) Γ(δ,γ) Β(β,γ) Β(-β,0) Γ(β,0) Β(-α,0) Α(α,0) Ο(0,0) Α(α,0) Γ) Για τυχαία, τρίγωνο, παραλληλόγραµµο, τετράπλευρο θα έχουµε: Α(α,β) ∆(β,γ) Α(α,β) Γ(α+β,γ) Ο(0,0) Γ(γ,0) Ο(0,0) Β(α,0) Ο(0,0) Β(γ,0) Γ(δ,ε) ∆) Αν υπάρχει πλευρά του σχήµατος πάνω στον χ΄χ συµφέρει να θεωρήσουµε την πλευρά αυτή ως µοναδιαίο διάνυσµα, οπότε ελαττώνουµε το πλήθος των υπόλοιπων γραµµάτων µε τα οποία εκφράζουµε τις συντεταγµένες: Α(0,α) ∆(β,γ) Γ(β+1,γ) Β(-1,0) Γ(1,0) Ο(0,0) Β(1,0)



[27]

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΕ∆Ο∆ΩΝ Παράδειγµα 1. ∆ίνονται τα σηµεία Α(0,4), Β(5,-3) και Γ(-1,-2). Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου ∆, ώστε: AB=2Γ∆ .

ΛΥΣΗ (Μ1) Έστω ∆(x,ψ). Τότε:

AB=(5-0,-3-4)=(5,-7)και Γ∆=(x-(-1).ψ-(-2))=(x+1,ψ+2).

Η δοσµένη σχέση γίνεται:

AB=2Γ∆ (5,-7)=2(x+1,ψ+2)=(2x+2,2ψ+4).⇔

Άρα 2x+2=5 και 2ψ+4=-7. Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε:

3 11 3 11x= και ψ=- . Άρα ∆= ,- .

2 2 2 2


Να γραφεί το διάνυσµα )4,12( −=δ ως γραµµικός συνδυασµός των

διανυσµάτων .)2,2()1,3( −== βκαια ΛΥΣΗ (Μ2)

Έστω κ,λ R µε δ =κα+λβ (12,-4)=κ (3,1)+λ (-2,2)∈ ⇔ ⇔

3κ-2λ=12 κ=2(12,-4)=(3κ-2λ ,κ+2λ ) .

κ+2λ=-4 λ=-3

⇔ ⇔

Εποµένως είναι: δ =2α-3β .

Παράδειγµα 3. ∆ίνονται τα σηµεία Α(3,-2), Β(2,-1) και Γ(κ+1, 2κ). Να βρεθεί ο κ ώστε τα σηµεία Α, Β, Γ να είναι συνευθειακά. ΛΥΣΗ (Μ3)

Έχουµε: AB=(2-3,-1+2)=(-1,1)και ΑΓ=(κ+1-3,2κ-2)=(κ-2,2κ-2).

Πρέπει ( )ΑΒ//ΑΓ det AB,AΓ =0.⇔

Άρα: -1 1 4

=0 -(2κ-2)-1(κ-2)=0 -3κ=4 κ=- .κ-2 2κ-2 3

⇔ ⇔ ⇔



[28]

Παράδειγµα 4. ∆ίνονται τα διανύσµατα α =(x+1,5) και β=(5, x+1).

Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός x ώστε τα διανύσµατα να είναι: α) οµόρροπα και β) αντίρροπα. ΛΥΣΗ (Μ4) Καταρχήν πρέπει

( ) 2 2x+1 5det a ,β =0 =0 ( +1) -5 =0 (x+1-5)(x+1+5)=0

5 x+1

x=4 ή x=-6.

x⇔ ⇔ ⇔ ⇔

α) Για x=4 είναι: α =(5,5) και β=(5,5) α=1 β α β.⇔ ⋅ ⇔ ↑↑

β) Για x=-6 είναι: α =(-5,5) και β=(5,-5) α =-1 β α β.⇔ ⋅ ⇔ ↑↓

Παράδειγµα 5. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆. ∆είξτε ότι οι διαγώνιες του ΑΒΓ∆ διχοτοµούνται. ΛΥΣΗ (Μ5) ∆(β,γ) Γ(α+β,γ) Ο(0,0) Β(α,0)

Το µέσο της ΟΓ είναι το σηµείο α+β+0 γ+0 α+β γ

, = , .2 2 2 2

Το µέσο της ∆Β είναι το σηµείο α+β γ+0 α+β γ

, = , .2 2 2 2

Εποµένως τα µέσα των διαγωνίων ταυτίζονται, άρα οι διαγώνιες του παραλληλογράµµου διχοτοµούνται. Παράδειγµα 6. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(2, 6), Β(-4, 2), Γ(8, -2) και η διάµεσός του ΑΜ. Αν

για το σηµείο ∆ της ΑΜ ισχύει: ∆Μ⋅=Α∆ 3 , να βρεθούν οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής Ρ των ΑΓ και Β∆. ΛΥΣΗ (Μ3)

Είναι: ( )-4+8 -2+2A∆=(x-2,ψ-6) και ∆Μ=(2-x,-ψ) και Μ= , = 2,0 .

2 2



[29]

Άρα: Α∆=3 ∆Μ (x-2,ψ-6)=3(2-x, -ψ) (x-2,ψ-6)=(6-3x,-3ψ)⋅ ⇒ ⇔ ⇔

Α(2,6)

x-2=6-3x x=2(2,3/ 2).

ψ-6=-3ψ ψ=3/2

⇔ ⇔ ∆ =

∆(x,ψ) Ρ(α,β) Β(-4,2) Μ(2,0) Γ(8,-2)

Έστω Ρ(α,β). Τότε: ΑΡ=(α-2,β-6), ΑΓ=(6,-8), ΒΡ(α+4,β-2) και Β∆=(6,-1/2).

α-2 β-6Είναι ΑΡ//ΑΓ =0 -8α+16-6β+36=0 8α+6β=52.

6 -8

6 -1/2 1Β∆//ΒΡ =0 6β-12+ (α+4)=0 α+12β=20.

α+4 β-2 2

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔ ⇔

Λύνω το σύστηµα:

28α=8α+6β=52 28 65 . Εποµένως Ρ= , .

α+12β=20 6 5 5β=

5

⇔

Παράδειγµα 7. ∆ίνονται τα διανύσµατα α=(2x-ψ, x+2ψ-4), β=(x-3ψ+2,-3x+2ψ-2),

γ=(3,-2) και δ=(-3,4) και το διάνυσµα v =α+β+γ .

α) Να βρεθεί η σχέση µεταξύ των x και ψ έτσι ώστε v //δ .

β) Να υπολογιστούν τα x και ψ έτσι ώστε v =0 .

ΛΥΣΗ (Μ4)

α) Είναι: v =a +β+γ =(2x+x+3-ψ-3ψ, x-3x+2ψ+2ψ-4-2-2)=

(3x-4ψ+5,-2x+4ψ-8). Άρα: v //δ det(v ,δ )=0

3x-4ψ+5 -2x+4ψ-8=0 ....... 3x-2ψ=2.

-3 4

⇔ ⇔

⇔ ⇔

β) Είναι:

προσθέτω x=33x-4ψ+5=0 x-3=0

v =0 .7-2x+4ψ-8=0 -2x+4ψ-8=0 ψ=

2

⇔ ⇔ ⇔

Παράδειγµα 8. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Κ, Λ και Μ τέτοια ώστε: ΑΚ=κΚΒ,

ΒΜ=µΜΓ

και ΓΛ=λΛΑ.

Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά αν και µόνον αν κλµ=-1.



[30]

ΛΥΣΗ (µε τη µέθοδο των συντεταγµένων) (Μ3) ψ

Α(α1,α2)

Κ

Λ Β(0,0) Γ(1,0) Μ x

(Υποθέτουµε ότι Κ, Λ, Μ έχουν συντεταγµένες (x,ψ) για λόγους απλούστευσης)

Έχουµε 1 21 2

α αΑΚ=κΚΒ (x-α ,ψ-α )=κ (-x, -ψ) Κ= ,

1+κ 1+κ

⇔ ⇔

,

µΒΜ=µΜΓ (x,ψ)=µ (1-x, -ψ) Μ= ,0 ,

1+µ

⇔ ⇔

και

1 21 2

1+λα λαΓΛ=λΛΑ (x-1,ψ)=λ (α -x,α -ψ) Λ= , .

1+λ 1+λ

⇔ ⇔

Άρα: Κ, Λ, Μ συνευθειακά

1 2

1 2

α αµ-

1+κ 1+µ 1+κΜΚ//ΜΛ =0

1+λα λαµ-

1+λ 1+µ 1+λ

⇔ ⇔ ⇔

1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2λα α +λµα α -λµα -κλµα α +µα λα α +λµα α -µα -λµα- =0

(1+κ)(1+λ)(1+µ) (1+κ)(1+λ)(1+µ)⇔

2 2 2-κλµα -α =0 κλµ=-1.(Γιατί α 0αφού αλλιώς δεν θα υπήρχε τρίγωνο).⇔ ≠

Παράδειγµα 9. Να βρεθεί η γωνία φ που σχηµατίζει το διάνυσµα AB

, όπου Α(2, 4) και Β(4, 2) µε τον άξονα χ΄χ. Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης του AB

; ΛΥΣΗ

Είναι AB=(4-2,2-4)=(2,-2).

Αν φ η γωνία που σχηµατίζει το AB

µε τον άξονα χ΄χ,

τότε: εφφ= ⇔−2

2εφφ=-1

πφ=κπ- , κ .

4⇔ ∈Ζ Επειδή

7πφ [0, 2π) κ=2 άρα φ= .

4∈ ⇒

Είναι ΑΒ

ψ -2λ = = =-1.

x 2



[31]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. ∆ίνεται το διάνυσµα 2 2α=(x -3x+2,x -4).

Βρείτε τις τιµές του x ώστε:

α) α=0

β)α

//χ’χ και α 0≠

γ)α

//ψ’ψ και α 0≠

2. ∆ίνεται το διάνυσµα α=(-3,4).

Να βρείτε:

α) Το µέτρο του α

β) Τα διανύσµατα που είναι παράλληλα στο α

και έχουν διπλάσιο µέτρο τουα

.

3. Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι Α(-3,-2), Β(-2,6), Γ(4,-4).Να βρείτε το µήκος της

διαµέσου του τριγώνου.

4. Οι τετµηµένες των σηµείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης x2-(λ2-3λ+2)x-2005=0. Να βρείτε τις τιµές του λ ώστε το µέσον του ΑΒ να είναι το σηµείο Μ(1,3).

5. ∆ίνονται τα σηµεία Α(1,3), Β(6,8), ∆(-2,2). Να βρείτε τις συντεταγµένες του Γ ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ να είναι παραλληλόγραµµο.

6. ∆ίνεται το ευθ τµήµα ΑΒ µε Α(3,-1), Β(9,5). Να βρείτε τα σηµεία Μ, Ν ώστε: ΑΜ=ΜΝ=ΝΒ.

7. Να γράψετε το διάνυσµα v=(4,13)

ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων

α

=(2,3) και β

=(-1,2).

8. Βρείτε τα x,ψ ώστε τα διανύσµατα α

=(x3+ψ3,x+ψ) και β

=(-7,-1) να είναι αντίθετα.

9. ∆είξτε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε Α(1,2), Β(4,6), Γ(10,14), ∆(7,10) είναι παραλληλόγραµµο. Βρείτε τα µήκη των πλευρών.

10. ∆ίνεται τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε Α(λ,-2), Β(2λ,λ), Γ(3λ,1), ∆(3λ+1,λ+1). Βρείτε

τις τιµές του λ ℜ∈ , ώστε το ΑΒΓ∆ να είναι τραπέζιο µε βάσεις ΑΒ και Γ∆.

11. ∆ίνονται τα διανύσµατα α

=(x+ψ,ψ2-ψ-x+1) και β

=(-2,x-ψ). Βρείτε τα x,ψ ώστε τα διανύσµατα αυτά να είναι συγγραµµικά.

12. ∆ίνονται τα σηµεία Α(3, -1) και Β(2, -1). Να βρείτε τις συντεταγµένες του

συµµετρικού Κ του Α ως προς το Β.

13. α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(3, 2), Β(11, 8), Γ(8, 12) και ∆(0, 6) είναι κορυφές ορθογωνίου.

β) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(2α, 2α) , Β(2α+ 3α, 5α) , Γ(2α, 6α) είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου.



[32]

14. Έστω α

καιβ

δύο µη συγγραµµικά διανύσµατα του επιπέδου. ∆είξτε ότι κάθε διάνυσµα v

γράφεται κατά µοναδικό τρόπο ως γραµµικός συνδυασµός των α

καιβ

.

15. Σε ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι Α(-3,-1), Β(-5,-3), Γ(-4,7) και ∆(-2,3). )α δείξτε ότι οι ευθείες ΑΒ και Γ∆ τέµνονται. )β βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των ΑΒ,Γ∆.

16. Σε ένα επίπεδο Οχψ θεωρούµε τα σηµεία Α(-2,-4), Β(7,2), Γ(2,-1) και ∆(5,2).

α) ∆είξτε ότι οι ευθείες ΑΒ και Γ∆ τέµνονται.

β) Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής των ευθειών ΑΒ και Γ∆.

17. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε: Α(2,-3), Β(6,-1), Γ(4,3) και ∆(0,1) είναι τετράγωνο και να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου τοµής των διαγωνίων του.

18. ∆ίνεται ότι οι συντεταγµένες ενός σηµείου Α είναι ρίζες της εξίσωσης x2-(λ2-3λ+9)x+λ+2=0 και οι συντεταγµένες του Β ρίζες της εξίσωσης x2-(λ+2)x+3-2λ=0 µε λ .1−−ℜ∈ Αν για το σηµείο Ρ(xΡ, ψΡ) ισχύει:

AΡ=λΡΒ

και xΡ+ψΡ=5, να προσδιορίσετε την τιµή του λ.

19. ∆ίνεται το τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφές Α(-1, 0), Β(5, 2) και Γ(1, 2).Αν για τα

σηµεία ∆ και Ε ισχύει: ,33 ΕΓ−=ΒΕ∆Γ−=Α∆ και να αποδείξετε ότι: α) το τετράπλευρο ΑΒ∆Ε είναι τραπέζιο,

β) .2

1ΑΕ+ΑΒ=Α∆

20. ∆ίνεται τυχαίο τετράπλευρο ΑΒΓ∆. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα των ΑΒ και Γ∆ και το ευθύγραµµο τµήµα που ενώνει τα µέσα των ΑΓ και Β∆ διχοτοµούνται.

21. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( 0A=90 )

και τα σηµεία ∆, Ε, Ζ των πλευρών

ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ αντίστοιχα ώστε: 1

Α∆=2∆Β, ΒΕ=3ΕΓ και ΑΖ= ΖΓ .2

Αν Ρ είναι

το σηµείο τοµής των ΑΕ και ∆Ζ, να αποδειχθεί ότι : 8

ΑΡ= ΑΕ και ∆Ρ=6ΡΖ.21

22. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΚ µε Α(5,0), Β(4,1) και Κ(0,1). Αν για τα σηµεία Γ και ∆

ισχύει: ,33 ∆Κ−=Β∆ΓΚ−=ΑΓ και να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο ΑΒΓ∆

είναι τραπέζιο και να γραφεί το διάνυσµα ΓA ως γραµµικός συνδυασµός των

AB και Α∆.



[33]

23. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και σηµείο Σ τέτοιο, ώστε: .4

1ΑΓ=ΑΣ Αν Ε

είναι το σηµείο τοµής των ΑΒ και ∆Σ, να αποδειχθεί ότι: .3

1ABAE =

24. Αν είναι α=(συν3ω,ηµ3ω), β=(συν2ω,ηµ2ω), γ =(συνω,ηµω),

να αποδειχθεί

ότι α+γ //β.

25. Να βρεθούν τα x, ψ, z ℜ∈ ώστε να ισχύει η σχέση: 2 2(x +ψ -2x+1) i +(x+ψ+z) j =0 .

26. Να βρείτε τα α και β, ώστε να ισχύει:

(α-3) i -β j //ψ΄ψ και (α+1)i +2β j //i + j .⋅ ⋅ ⋅

27. α) Αν a =2i +2j ,β=3i - j και ισχύει: α+2β+γ=0 ,

να βρείτε το .γ

β) Αν α =( 2, 2+1),β=( 2-1,-1) και γ =(3,1),

να υπολογίσετε το διάνυσµα

2α+( 2+1)β-γ .

Κατόπιν να γράψετε το α

ως γραµµικό συνδυασµό των

β και γ .

28. Αν α=(1,2),β=(x-ψ, x+2ψ+1) και γ =(ψ-2x, x-1) ,

να βρεθούν τα x, ψ

µε x ψ∈ℜ ≠ ώστε: τα διανύσµατα α και β+γ

να είναι συγγραµµικά και

.1=β

λ Για τις τιµές αυτές των x και ψ να εξετάσετε αν τα α και β+γ

είναι

οµόρροπα ή αντίρροπα.

29. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ, το ύψος του Α∆ και τα σηµεία Ε και Ζ των πλευρών ΑΒ , ΑΓ αντίστοιχα ώστε: ΕΖ//ΒΓ. Αν Η και Θ οι προβολές των Ε και Ζ στην ΒΓ αντίστοιχα, να αποδειχθεί ότι: το µέσο κ του ύψους Α∆, το µέσο Μ της πλευράς ΒΓ και το κέντρο Ρ του ορθογωνίου ΕΗΘΖ είναι σηµεία συνευθειακά.

30. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και ευθεία (ε) η οποία τέµνει τις ΑΒ, ΑΓ, Α∆

στα σηµεία Κ, Λ, Μ αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι: AB=κAK, A∆=λΑΜ και

ΑΓ=µΑΛ

να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: κ+λ=µ.

*****************



[34]



[35]

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο Ορισµός εσωτερικού γινοµένου Εσωτερικό γινόµενο δύο µη µηδενικών διανυσµάτων a και β

το οποίο

συµβολίζουµε µε α β⋅

, ονοµάζουµε τον πραγµατικό αριθµό α β συνφ⋅ ⋅

και

γράφουµε: α β= α β συνφ⋅ ⋅ ⋅

όπου φ η γωνία των α και β

.

α

φ

β

Αν α=0 ή β=0 , ορίζουµε: α β=0.⋅

Συνέπειες του ορισµού:

• α β=β α (Αντιµεταθετική ιδιότητα)⋅ ⋅

• Αν 0α β α β=0 (Γιατί τότε: α β= α β συν90 = α β 0=0)⊥ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

• ( )0Αν α β α β= α β Γιατί α β= α β συν0 = α β 1= α β .↑↑ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

• ( )0Αν α β α β=- α β Γιατί α β= α β συν180 =α β (-1)=- α β↑↓ ⇔ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

• 2 220Είναι α α= α α συν0 = α . Συνεπώς α = α .⋅ ⋅

• Συνέπεια της αντιµεταθετικής ιδιότητας είναι ότι ισχύουν οι γνωστές

ταυτότητες από την άλγεβρα, π.χ. ( )2 2 2a +β =α +2α β+β .⋅

• Εδικά για τα µοναδιαία διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν οι

σχέσεις: 2 2

i j = j i =0 και i = j =1.⋅ ⋅

Αναλυτική έκφραση εσωτερικού γινοµένου Έστω τα διανύσµατα 1 1 2 2α =(x ,ψ ) και β=(x ,ψ ).

Ισχύει η πρόταση:

« Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι ίσο µε το άθροισµα των γινοµένων των οµώνυµων συντεταγµένων τους» ∆ηλαδή: 1 1 2 2α β=x ψ +x ψ .⋅

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ψ Β(x2,ψ2) Α(x1.ψ1)

β

a

Ο α

x



[36]

Από το νόµο των συνηµιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουµε:

(ΑΒ)2=(ΟΑ)2+(ΟΒ)2-2(ΟΑ)(ΟΒ)συνΑOΒ (1).

Αλλά (ΑΒ)2=(x2-x1)2+(ψ2-ψ1)

2, (ΟΑ)2=x12+ψ1

2 και (ΟΒ)2=x22+ψ2

2 και η (1) γίνεται:

(x2-x1)2+(ψ2-ψ1)

2=x12+ψ1

2+x22+ψ2

2-2(ΟΑ)(ΟΒ)συν ΑOΒ⇔

x12+x2

2-2x1x2+ψ12+ψ2

2-2ψ1ψ2= x12+ψ1

2+x22+ψ2

2-2 α β συν(α,β)⋅ ⇔

-2x1x2-2ψ1ψ2=-2α β α β=⋅ ⇔ ⋅

x1x2+ψ1ψ2. Ιδιότητες εσωτερικού γινοµένου Έστω τα διανύσµατα 1 1 2 2 3 3a =(x ,ψ ) , β=(x ,ψ ). και γ =(x ,ψ ).

Τότε ισχύουν:

1. ( ) ( ) ( )λ α β=α λ β =λ α β⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Απόδειξη

( ) 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

λ α β=(λ x ,λψ ) (x ,ψ )=λ x x +λψ ψ =λ(x x +ψ ψ )=λ (α β)

α (λβ)=(x ,ψ ) (λ x ,λψ )=x λψ +x λψ =λ (x x +ψ ψ )=λ (α β)

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα ( ) ( ) ( )λα β=α λβ =λ α β⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2. ( )α β+γ =α β+α γ⋅ ⋅ ⋅

Απόδειξη

( ) 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 3 1 3

α β+γ =(x ,ψ ) (x +x ,ψ +ψ )=x (x +x )+ψ (ψ +ψ )=

(x x +x x )+(ψ ψ +χ ψ )=(x x +ψ ψ )+(x x +ψ ψ )=

a β+α γ .

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

3. 1 2a β λ λ = -1⊥ ⇔ ⋅

µε α, β µη παράλληλα στον ψ΄ψ.

Απόδειξη

1 2 1 2 1 2 1 2

1 21 2

1 2

α β α β=0 x x +ψ ψ =0 ψ ψ =-x x

ψ ψ=-1 λ λ =-1.

x x

⊥ ⇔ ⋅ ⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⋅

Συνηµίτονο γωνίας δύο διανυσµάτων

Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα 1 1 2 2α =(x ,ψ ) και β=(x ,ψ ).

Από τη σχέση

α β= α β συνφ⋅ ⋅ ⋅

παίρνουµε: α β

συνφ=α β

⋅

από όπου υπολογίζουµε το συνφ και από

εκεί τη γωνία φ.

Πιο αναλυτικά η σχέση αυτή γράφεται: 1 2 1 2

2 2 2 21 1 2 2

x x +ψ ψσυνφ=

x +ψ x +ψ⋅ αν τα

διανύσµατα δίνονται µε συντεταγµένες.



[37]

Προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα

Έστω a , v µε α 0≠

δύο διανύσµατα του επιπέδου. Με αρχή ένα σηµείο Ο

κατασκευάζουµε τα διανύσµατα OA=α και ΟΜ=v .

Φέρνουµε από το Μ κάθετο

στην διεύθυνση του OA και έστω Μ1 το ίχνος της καθέτου.

Το διάνυσµα 1OM

λέγεται προβολή του v πάνω στο α

και συµβολίζεται µε

απροβ v.

∆ηλαδή 1 αOM =προβ v .

Ισχύει η σχέση: α

a β=α προβ v⋅ ⋅

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Μ

v

Α

Ο Μ1 α

( )1 1 1 1 1

1 α

Έχουµε ότι α β=α ΟΜ +Μ Μ =α ΟΜ +α Μ Μ=α ΟΜ +0=

α ΟΜ =α προβ v .

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

Πρόταση Έστω a ,vµε α 0≠

δύο διανύσµατα του επιπέδου. Ισχύει η σχέση

2α

α vπροβ v = α

α

⋅⋅

.

ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ Σύµφωνα µε το προηγούµενο σχήµα είναι

1 1 αOM //α άρα υπάρχει λ ώστε ΟΜ =λα =προβ v .∈ℜ

(1) Εποµένως έχουµε:

2

2α

α βα β=α προβ v α β=α (λα) α β=λα λ= .

α

⋅⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⇔

Η (1) τότε γίνεται: α α

προβ v =λ α προβ v =⋅ ⇔

2

α vα

α

⋅⋅

.



[38]

Επισήµανση Για τον υπολογισµό του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων πρέπει τα διανύσµατα να έχουν κοινή αρχή. Αλλιώς µεταφέρω το ένα στην αρχή του άλλου. ΜΕΘΟ∆ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

(Μ1) Αν ζητείται ή δίνεται η καθετότητα δύο διανυσµάτων α και β

, τότε:

χρησιµοποιούµε τη συνθήκη καθετότητας a β=0.⋅

(Μ2) Αν ζητείται ο υπολογισµός του µέτρου ενός διανύσµατος που είναι γραµµικός συνδυασµός των διανυσµάτων α και β

, τότε:

χρησιµοποιούµε τη σχέση: 22

α = α .

Για παράδειγµα αν v =κα+λβ

τότε 2 2 2 22 2 2v = κ α+λ β =(κ α+λ β) =κ α +2κ λ α β+λ β =............⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(Μ3) Αν ζητείται ή δίνεται η γωνία που σχηµατίζουν δύο διανύσµατα α και β

, τότε:

κάνουµε χρήση του τύπου α β

συνφ= .α β

⋅

⋅

(Μ4) Αν ζητείται να δείξουµε ότι δύο διανύσµατα είναι παράλληλα ή οµόρροπα ή αντίρροπα, τότε:

• είναι α//β α=λβ, λ .⇔ ∈ℜ

• είναι α//β det(α ,β)=0.⇔

• είναι 2 22α//β a β = α β (a β) =α β .⇔ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅

• είναι α β α=λβ, λ>0↑↑ ⇔

• είναι α β α+β = α + β↑↑ ⇔

• είναι α β α β= α β↑↑ ⇔ ⋅ ⋅

• είναι α β συν(α,β)=1↑↑ ⇔

• είναι α β α=λβ, λ<0↑↓ ⇔

• είναι α β α+β = α - β↑↓ ⇔

• είναι α β α β=- α β↑↓ ⇔ ⋅ ⋅

• είναι α β συν(α,β)= -1↑↓ ⇔

(M5) Για την αντιµετώπιση προβληµάτων της Ευκλείδειας γεωµετρίας µε τη βοήθεια του εσωτερικού γινοµένου, τότε:

• προσπαθούµε να αξιοποιήσουµε τη συνθήκη καθετότητας που αναφέρεται στο πρόβληµα αντικαθιστώντας το ένα από τα δύο διανύσµατα που εµφανίζονται στο εσωτερικό γινόµενο µε την προβολή του πάνω στο άλλο.



[39]

• προσπαθούµε να αντικαταστήσουµε τα διανύσµατα που εµφανίζονται στο εσωτερικό γινόµενο ως άθροισµα και διαφορά των ίδιων διανυσµάτων µε τη βοήθεια των διανυσµατικών τους ακτίνων µε σηµείο αναφοράς κάποιο σηµείο του σχήµατος.

• προσπαθούµε να αντικαταστήσουµε τα διανύσµατα που εµφανίζονται στο εσωτερικό γινόµενο ως άθροισµα άλλων διανυσµάτων και να εκµεταλλευτούµε τις καθετότητες του σχήµατος αλλά και τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου

• αν τίποτε από αυτά δεν µπορούµε, τότε ακολουθούµε την αναλυτική µέθοδο κατασκευάζοντας καρτεσιανό σύστηµα αναφοράς όπως την περιγράψαµε στο κεφάλαιο για τις συντεταγµένες διανύσµατος.

(Μ6) Αν ζητείται να βρεθεί η προβολή διανύσµατος σε διάνυσµα ( ή η ανάλυση διανύσµατος σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µία είναι παράλληλη σε δοσµένο διάνυσµα), τότε:

β

α

προβ β

α

Έχουµε τις σχέσεις:

α α

αα α

2

2α

α

α β=α προβ β α β=α προβ β α β=α (λ α)

προβ β=λ απροβ β//α προβ β=λ α

α βλ=

a βα προβ β= α .

απροβ β=λ α

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⇔ ⇔

⋅⋅

⋅ ⋅

⇔ ⋅

⋅

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΜΕΘΟ∆ΩΝ Παράδειγµα 1.

Aν 62 == βκαιa , να βρείτε το λ ώστε, τα διανύσµατα a +λβ και α-λβ

να

είναι κάθετα. ΛΥΣΗ

(Μ1) Πρέπει 2 22 22 2(a +λβ)(α-λβ)=0 α -λ β =0 α -λ β =0⇔ ⇔ ⇔

2 2 2 2 24 1 12 -λ 6 =0 λ = λ = λ=± .

36 9 3⇔ ⇔ ⇔



[40]


Aν α =2 και β =3

και ( ) 2πα , β =

3

να βρεθεί το µέτρο του διανύσµατος

x=2α +4β .

ΛΥΣΗ

(Μ2) Είναι 2π 1

α β= α β συν(α,β)=2 3 συν =6 - = -3.3 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα

( )22 2 2 2

x = 2α+4β = 2α+4β =4 α +16αβ+16β =4 4+18 (-3)+16 9=

112. Άρα x = 112 .

⋅ ⋅ ⋅


Aν α =2 και β =3

και ( ) 2πα ,β =

3

να βρεθεί η γωνία των διανυσµάτων

x=2α +4β και ψ=α-β.

ΛΥΣΗ

(Μ3) Είναι 2π 1

α β= α β συν(α,β)=2 3 συν =6 - =-3.3 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα

( )22 2 2 2x = 2α+4β = 2α+4β =4 α +16αβ+16β =4 4+18 (-3)+16 9=

112. Άρα x = 112 .

⋅ ⋅ ⋅

( ) .199)3(24222222

=+−⋅−=+⋅−=−=−= ββααβαβαψ

Άρα ψ = 19.

2 2x ψ=(2α+4β)(α-β)=2 α +2α β-4 β =2 4+2 (-3)-4×9=

8-6-48=-46.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Εποµένως είναι: x ψ -46 46 23

συν(x,ψ)= = =- =- .112 19 4 7 19 2 133x ψ

⋅

⋅ ⋅⋅


Να αποδειχθεί ότι τα διανύσµατα u =(a γ)β-(α β)γ⋅ ⋅

και 2

α βv =β- α

α

⋅⋅

είναι

κάθετα στο α .

ΛΥΣΗ

(Μ1) Αρκεί να αποδείξουµε ότι: u α =0 και v α =0.⋅ ⋅

Έχουµε:



[41]

u α = (α γ)β-(α β)γ α=(α γ)(β α)-(α β)(γ α)=

(α γ)(β α)-(α γ)(β α)=0. Άρα u α .

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⊥

22

2 2 2

α β α β α βv α = β- α α=β α- α =β α- α =

α α α

β α-α β=0. Άρα v α .

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⊥


Αν τα διανύσµατα α και β

είναι µη µηδενικά και ισχύει: a +β = α - β ,

να

αποδείξετε ότι: α β.↑↓

ΛΥΣΗ

(Μ4) Η δοσµένη σχέση γίνεται: ( ) ( )22

α +β = α - β a +β = α - β⇔ ⇔

( )2 2 2 2 2 2 2α+β = α + β -2 α β α +2α β+β =α +β -2 α β

α β=- α β α β συν(α,β)=- α β συν(α,β)=-1 (α,β)=π

α β.

⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⇔

⋅ ⋅ ⇔ ⋅ ⋅ ⇔ ⇔ ⇔

↑↓

Παράδειγµα 6. Αν α, β, γ

είναι τρία διανύσµατα του επιπέδου για τα οποία ισχύει:

α = β = γ =1 και α β+β γ=2⋅ ⋅

να αποδείξετε ότι α=β=γ.

ΛΥΣΗ

(Μ4) Η σχέση α β+β γ=2⋅ ⋅

γράφεται:

α β+β γ=2 α β συν(α,β)+ β γ συν(β, γ)=2

1 1 συν(α, β)+1 1 συν(β, γ)=2 συν(α, β)+συν(β, γ)=2.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇔

Επειδή 1 συνω 1− ≤ ≤ η τελευταία ισότητα δίνει: συν(α, β)=συν(β, γ)=1

που σηµαίνει ότι α β γ και επειδή α = β = γ↑↑ ↑↑

θα είναι α=β=γ.


Αν ΑΒΓ ορθογώνιο τρίγωνο µε Α=900 να δειχθεί ότι: 2 2 2

ΒΓ =ΑΒ +ΑΓ

και αντιστρόφως. (Πυθαγόρειο θεώρηµα)



[42]

ΛΥΣΗ Γ

Α Β (Μ5) Ισχύει ότι:

( ) ⇔ΑΓ⋅ΒΑ+ΑΓ+ΒΑ=ΒΓ⇔ΑΓ+ΒΑ=ΒΓ⇔ΑΓ+ΒΑ=ΒΓ 222222

2 2 2 2 2 2

0 γιατί οπότε 0.ΒΓ = ΒΑ + ΑΓ + ⇔ ΒΓ = ΒΑ + ΑΓ ΒΑ ⊥ ΑΓ ΒΑ ⋅ΑΓ =

Αντίστροφα: έστω ότι 222

ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ (1). Σύµφωνα µε το σχήµα έχουµε:

( )

.900022

2

022

)1(22222

=Α⇔ΒΓ⊥ΑΒ⇔=ΒΓ⋅ΑΒ⇔=ΒΓ⋅ΑΒ⇔ΒΓ⋅ΑΒ−ΒΓ=ΒΓ

⇔ΒΓ⋅ΑΒ−ΑΒ+ΑΓ=ΒΓ⇔ΑΒ−ΑΓ=ΒΓ⇔ΑΒ−ΑΓ=ΒΓ


Αν ΑΒΓ τρίγωνο µε Α<900 να δειχθεί ότι: Α∆⋅ΑΓ−ΑΓ+ΑΒ=ΒΓ 2222

όπου ∆ το ίχνος του ύψους από την κορυφή Α. ( Γενίκευση του Πυθαγορείου θεωρήµατος) ΛΥΣΗ Β Α ∆ Γ (Μ5) Ισχύει ότι:

2 2 2 22

2 2 2 2 2 2

ΑΓ

2 2 2

( ) 2

2 2 προβ

2

ΒΓ = ΒΑ + ΑΓ ⇔ ΒΓ = ΒΑ + ΑΓ ⇔ ΒΓ = ΒΑ + ΑΓ + ΒΑ ⋅ΑΓ ⇔

ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ − ΑΓ ⋅ΑΒ ⇔ ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ − ΑΓ ⋅ ΑΒ ⇔

ΒΓ = ΑΒ + ΑΓ − ΑΓ

.⋅ Α∆


Αν ΑΒΓ τρίγωνο µε ΑΒ<ΑΓ να δειχθεί ότι: ∆Μ⋅ΒΓ⋅=ΑΒ−ΑΓ 222

όπου ∆ και Μ τα ίχνη του ύψους και της διαµέσου αντίστοιχα από την κορυφή Α. ( ∆εύτερο θεώρηµα διαµέσων) ΛΥΣΗ Α Β Γ

∆ Μ



[43]

(Μ5) Έχουµε ότι:

( )2 2

ΒΓ( ) 2 2 2 προβ

2 .

ΑΓ − ΑΒ = ΑΓ + ΑΒ ΑΓ − ΑΒ = ⋅ ΑΜ ⋅ΒΓ = ⋅ΒΓ ⋅ ΑΜ = ⋅ΒΓ ⋅ ΑΜ =

⋅ΒΓ ⋅ ∆Μ

Παράδειγµα 10. ∆ίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ, η διάµεσος ΑΜ και η διχοτόµος Α∆. ∆είξτε ότι η ΑΜ και η Α∆ ταυτίζονται µε το ύψος του τριγώνου από την κορυφή Α. ΛΥΣΗ Α Α ω φ Β Μ Γ Β ∆ Γ (Μ5) Για τη διάµεσο ΑΜ έχουµε:

.002

1

2

1

2

1))((

2

1 2222=⋅=

ΑΓ−ΑΒ=

ΑΓ−ΑΒ=ΑΒ−ΑΓΑΓ+ΑΒ=ΒΓ⋅ΑΜ

Άρα η διάµεσος ΑΜ είναι ύψος του τριγώνου. Για τη διχοτόµο Α∆ έχουµε:

ˆ ˆω=φ συνω=συνφ

( ) 0 0 .

ΑΒ ⋅Α∆ Α∆ ⋅ΑΓ⇔ ⇔ = ⇔ ΑΒ ⋅Α∆ = Α∆ ⋅ΑΓ ⇔

ΑΒ ⋅ Α∆ Α∆ ⋅ ΑΓ

Α∆ ⋅ ΑΒ − ΑΓ = ⇔ Α∆ ⋅ΓΒ = ⇔ Α∆ ⊥ ΓΒ

Άρα η διχοτόµος Α∆ είναι ύψος του τριγώνου. Παράδειγµα 11. Κάθε εγγεγραµµένη γωνία που βαίνει σε ηµικύκλιο είναι ορθή. ΛΥΣΗ Μ Α Β (Μ5) Είναι:

2 2

2 22 2 0

( )( ) ( )( )

ˆR -R =0 ΑΜΒ=90 .

ΜΑ⋅ΜΒ = ΜΚ + ΚΑ ΜΚ + ΚΒ = ΜΚ + ΚΑ ΜΚ −ΚΑ = ΜΚ −ΚΑ =

ΜΚ − ΚΑ = ⇔ ΜΑ ⊥ ΜΒ ⇔



[44]


Aν α και β

διανύσµατα του επιπέδου µε 2π

α =2, β =3 και (α,β)=3

να βρεθεί η

βπροβ α .

ΛΥΣΗ

Έχουµε:

2β

2 2

β

β

α β=β προβ α α β συν(α,β)α βα β=λβ λ= λ=

προβ α =λβ β β

12 -α συν(α,β) 1 12

λ= λ= λ=- . Άρα: προβ α =- β.3 3 3β

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⇔ ⋅ ⇔ ⇔ ⇔

⋅ ⋅ ⇔ ⇔ ⋅

Παράδειγµα 13. Να αναλυθεί το διάνυσµα β=(8,1)

σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η

µία είναι κάθετη στο διάνυσµα α=(2,-3).

ΛΥΣΗ

1β β

2β α (Μ6) Είναι:

.)3,2(.194

316

.,

2

2

2

−==Ε=+−

=⋅

=

⇔⋅=⋅⇔⋅=⋅ℜ∈==

αβπροβνωςποµα

βαλ

αλβαβπροβαβαραλαλβπροββ

α

αα

έ

Ά

Αλλά .)4,6()3,2()1,8( 112121 =⇔−−=⇔−=⇔=+ ββββββββ

(2ος τρόπος) Το διάνυσµα .0)3,2()2,3( =⋅−== αγγιαταστοθετοκναιεγ ίάί

Άρα οι ζητούµενες συνιστώσες είναι παράλληλες προς τα διανύσµατα .γκαιa



[45]

Εποµένως: .2

1

123

832)2,3()3,2()1,8(

=

=⇔

=+−

=+⇔+−=⇔+=

µλ

µλµλ

µλγµαλβ

∆ηλαδή οι ζητούµενες συνιστώσες είναι οι:

.)3,2()3,2(1)4,6()2,3(2 21 −=−⋅=⋅==⋅=⋅= αλβκαιγµβ Παράδειγµα 14. ∆ίνεται τετράγωνο ΑΒΓ∆. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ παίρνουµε τα σηµεία Ζ και Ε αντίστοιχα, ώστε ΒΖ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι .∆Ζ⊥AE ΛΥΣΗ ∆(0,1) Γ(1,1)

Ε(1,x)

Α(0,0) Ζ(x,0) B(1,0)

(Μ5) Είναι: .)1,()10,0(),1()0,01( −=−−=∆Ζ=−−=ΑΕ xxxx και

Άρα: .0)()1,)(,1( ∆Ζ⊥⇔=−+=−=∆Ζ⋅ AExxxxAE Παράδειγµα 15. ∆ίνεται παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και οι προβολές Ε και Ζ του ∆ πάνω στις

πλευρές ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι .2

Α∆=ΑΕ⋅ΑΒ−ΑΖ⋅ΑΓ ΛΥΣΗ ∆ Γ Ζ Α Β Ε (Μ5) 1ος τρόπος (Με προβολές)

Έχουµε ότι: :. ραπροβκαιπροβ ΆΑ∆=ΑΕΑ∆=ΑΖΑΒΑΓ

.)(2

Α∆=Α∆⋅Α∆=ΒΓ⋅Α∆=ΑΒ−ΑΓ⋅Α∆

=Α∆⋅ΑΒ−Α∆⋅ΑΓ=Α∆⋅ΑΒ−Α∆⋅ΑΓ=ΑΕ⋅ΑΒ−ΑΖ⋅ΑΓΑΒΑΓ

προβπροβ

2ος τρόπος (Με ανάλυση των διανυσµάτων)

=∆Ε+Α∆⋅ΑΒ−∆Ζ+Α∆⋅ΑΓ=ΑΕ⋅ΑΒ−ΑΖ⋅ΑΓ )()(

.)(

002

Α∆=Α∆⋅Α∆=ΒΓ⋅Α∆=ΑΒ−ΑΓ⋅Α∆=Α∆⋅ΑΒ−Α∆⋅ΑΓ

=−Α∆⋅ΑΒ−+Α∆⋅ΑΓ=∆Ε⋅ΑΒ−Α∆⋅ΑΒ−∆Ζ⋅ΑΓ+Α∆⋅ΑΓ



[46]

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ 1. ∆είξτε ότι τα διανύσµατα α

και γβαβγα

)()( − είναι κάθετα.

2. ∆είξτε ότι τα διανύσµατα α

και ααβα

β

⋅−2

είναι κάθετα.

3. Αν τα διανύσµατα α

=(x2+ψ2,1) και β

=(1,2x-4ψ-5) είναι κάθετα, βρείτε

τα x και ψ.

4. Αν ΑΒ

=(α+ρβ,ρα), ΑΓ

=(ρβ, ρα-2β) όπου ρ=22 βα

αβ+

να αποδείξετε ότι

ΑΒ

⊥ ΑΓ

. 5. Έστω γβα

,, τρία µη µηδενικά διανύσµατα. Αν ),(),( αγββαγ

+⊥+⊥

να δειχθεί ότι ).( γβα

−⊥

6. ∆ίνονται τα διανύσµατα )1

2,

1

1(

22

2

λλ

λλ

α++

−=

, )1

1,

1

2(

2

2

2 κκ

κκ

β+

−

+=

µε .1=⋅λκ

∆είξτε ότι: α) ,1== βα

β) .βα

⊥

7. Θεωρούµε τα διανύσµατα α και β

µε 6α =

. Αν για τα διανύσµατα αυτά

ισχύει: ( ) ( )4 9 ,x x ά xα ψ β ψα β για κ θε ψ+ ⊥ − ∈ℜ

, να βρείτε τα µέτρα των

διανυσµάτων 2β και α β−

.

8. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι 6 2 3 4i j i jκαιΑΒ = − ΑΓ = +

, όπου i jκαι

είναι τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων, βρείτε το διάνυσµα ΑΗ

όπου Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ.

9. Έστω Α και Β δύο σηµεία του επιπέδου µε (ΑΒ)=4 και σηµείο Γ διαφορετικό του

Β µε 16.ΑΒ⋅ΑΓ =

Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα καιΑΒ ΒΓ

είναι κάθετα. 10. ∆ίνεται ορθογώνιο ΑΒΓ∆. Αν ΒΚ⊥ΑΓ και Μ, Ν τα µέσα των ΑΚ και Γ∆ να δείξετε ότι ΒΜΝ

=900.



[47]

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

11. Αν 2,1 == βα

και =),( βα

3

π βρείτε τα µέτρα βα

+ και .23 βα

−

12. Αν βα

⊥ , βαβα

−⊥+ και ,13 =− βα

να βρεθούν τα α

και .β

13. Αν γβα

,, µοναδιαία διανύσµατα και 0

=++ γβα βρείτε το

.αγγββα

++

14. Αν γβα

,, µοναδιαία διανύσµατα και ,3

),(),(),(π

αγγββα ===

να

υπολογίσετε το .2 γβα

−+

15. Αν 1== βα

και 2=γ

και 0432

=−+ γβα να υπολογίσετε το

άθροισµα .γβγαβα

++

16. Αν 3=α

και βλαµβµαλ

−⊥+ για κάθε ℜ∈µλ, τότε:

α) βρείτε το β

β) βρείτε το βα

+

γ) βρείτε τη γωνία ).,( βαβα

−+

17. Αν 1== βα

και 3

),(π

βα =

βρείτε τα µέτρα των διαγωνίων του παρ/µου

ΑΒΓ∆ µε .4,3 βαβα

+=Α∆−=ΒΑ

18. ∆είξτε ότι .βαβαβα ↑↑⇔−=−

ΓΩΝΙΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

19. Αν τα διανύσµατα βα

, είναι µοναδιαία και 3

2),(

πβα =

να βρείτε τις γωνίες

( ) ( ),,,, βδδα

όπου .32 βαδ

−=

20. Αν 1== βα

και ( )3

2,

πβα =

, να υπολογίσετε την γωνία των διανυσµάτων



[48]

βα

24 +=u και αβ

−=v .

21. ∆ίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα ,,βα

µε .2αβ

= Αν )( βαα

−⊥ ,

να δείξετε ότι η γωνία των βα

, είναι ίση µε .3

π

22. Για τα διανύσµατα ,α β

του επιπέδου ισχύουν οι σχέσεις:

( )2, 1 , .3

πα β και α β= = =

∢ Aν θ η γωνία των διανυσµάτων α β+

και

α β−

, δείξτε ότι: συνθ=1

.7

23. Για τα διανύσµατα , ,α β γ

του επιπέδου ισχύουν οι σχέσεις:

1 3 5 8α β γ και αβ βγ= = = + =

. Να αποδείξετε ότι: .α β γ= =

24. Για τα διανύσµατα , ,α β γ

του επιπέδου ισχύουν οι σχέσεις: 1α β γ= = =

και ( 1)γ λα λ β= − +

για κάποιο λ .∈ℜ Να αποδείξετε ότι: .ήγ α γ β= − = −

25. ∆ίνονται τα διανύσµατα ),( λκα =

και ),,( λκλκβ −−−=

µε .λκ ≠

Να υπολογίσετε την γωνία των α

και .β

26. ∆ίνονται τα διανύσµατα .,βαΑν βαβα −⊥+

και ,2332 βαβα

−⊥−

να βρείτε τη γωνία των α

και .β

27. Έστω α

και β

δυο µη µηδενικά διανύσµατα του επιπέδου για τα οποία ισχύουν:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 .α β α β και α β α β− ⊥ + − ⊥ +

Να αποδείξετε ότι

1( , ) .

10συν α β = −

28. Αν τα διανύσµατα γβα

,, είναι µοναδιαία και σχηµατίζουν ανά δύο γωνία ω και

ισχύει 6=++ γβα

, να βρείτε την ω.

29. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ είναι 2,3

2==ΒΑ=Α α

π και ,3==∆Α β

να

βρείτε την γωνία των διαγωνίων του παραλληλογράµµου.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ



[49]

30. Αν ( ) ,x x α β α− ⋅ ⋅ =

να βρεθεί το x

συναρτήσει των .,βα

31. Αν ( ) ,x x α β γ+ ⋅ ⋅ =

(1) µε 1 0α β+ ⋅ ≠

,

i) Nα αποδειχθεί ότι: .1

xα γ

αα β

⋅⋅ =

+ ⋅

ii) Nα λυθεί η εξίσωση (1).

32. Να λυθεί η εξίσωση 2( ) ,x xα α α=

.0

≠α 33. Αν ψχβα

,,, διανύσµατα του επιπέδου µε βα

, µη συγγραµµικά και

x

x

α αψ

β βψ

=

=

, δείξτε ότι .x ψ=

34. Να λυθεί το σύστηµα:

2 3

0

//

x

x

x

ψ α

ψ

β

+ =

⋅ =

, όπου βα

, γνωστά διανύσµατα.

35. Έστω τα µη µηδενικά διανύσµατα βα

, , µε ( ) 2.α β α α β⋅ ⋅ = ⋅

α) ∆είξτε ότι // .α β

β) Αν 1β ≠

, να λυθεί το σύστηµα: 2

( )

( ) 0

x

x

α β ψ α

α α β ψ

⋅ ⋅ + =

⋅ + ⋅ ⋅ =

.

ΠΡΟΒΟΛΕΣ

36. Να αναλύσετε το διάνυσµα )5,1(=δ

σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από

τις οποίες η µία να είναι παράλληλη προς το διάνυσµα ).1,1( −=v

37. ∆ίνονται τα διανύσµατα ).1,5(),1,2( −=−= βα

Να βρείτε την προβολή του

βα

− στο .βα

+ 38. ∆ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και το ύψος του .Α∆ ∆είξτε ότι:

2 2.καιΑΒ = Β∆ ⋅ΒΓ Α∆ = −∆Β ⋅∆Γ

39. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε , .β γΑΒ = ΑΓ =

Βρείτε το ύψος Β∆

συναρτήσει των

.,γβ

40. Αν 'ΑΑ

το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ , δείξτε ότι: '.ΒΓ ⋅ΒΑ = ΒΓ ⋅ΒΑ



[50]

41. Σε τρίγωνο ΑΒΓ φέρουµε το ύψος Α .∆ Αν ισχύει ότι 2

,ΑΒ = Β∆ ⋅ΒΓ

να

αποδείξετε ότι .900=Α

42. Ένα διάνυσµα 2 10δ µε δ =

έχει αναλυθεί σε δύο κάθετες συνιστώσες , από

τις οποίες η µία είναι η (4,2). Να προσδιορίσετε το διάνυσµα .δ

43. Aν ΑΜ και Α∆ η διάµεσος και το ύψος τριγώνου ΑΒΓ, να αποδείξετε ότι:

2 2ΑΒ 2 .− ΑΓ = ΒΓ ⋅Μ∆

44. Να βρεθεί η προβολή του διανύσµατος v

πάνω στο διάνυσµα ,α

αν 3,2

1=− v

α και η γωνία των διανυσµάτων α

καιv

είναι .6

π

45. Να αναλύσετε το διάνυσµα )19,9(−=u

σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες

από τις οποίες η µία έχει τη διεύθυνση ρου διανύσµατος ).3,5( −=α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

46. ∆ίνεται το παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ και οι προβολές Ε και Ζ του ∆ πάνω στις

ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα. ∆είξτε ότι ισχύει η σχέση: 2.ΑΓ ⋅ΑΖ − ΑΒ⋅ΑΕ = Α∆

47. ∆ίνονται τρία διαδοχικά τετράγωνα ΑΒΓ∆, ΒΓΕΖ, ΖΕΘΗ. ∆είξτε ότι

.Θ∆Η=Ζ∆Β

48. Στο εξωτερικό ενός τριγώνου ΑΒΓ κατασκευάζουµε τα τετράγωνα ΑΒ∆Ε και

ΑΓΖΗ. Να αποδειχθεί ότι .ΓΕ⊥ΒΗ . 49. Ένας κύκλος κέντρου Ο διέρχεται από την κορυφή Α ενός παραλληλογράµµου

και τέµνει τις ευθείες ΑΒ, ΑΓ και Α∆ στα σηµεία Β’, Γ’, ∆’ αντίστοιχα. Να

αποδειχθεί ότι: ' ' '

.ΑΒ⋅ΑΒ + Α∆ ⋅Α∆ = ΑΓ ⋅ΑΓ

50. ∆είξτε ότι η διάµεσος ισοσκελούς τριγώνου είναι και ύψος. 51. Έστω ΑΒΓ∆ τετράγωνο και Κ, Λ, Μ, Ν σηµεία των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, Γ∆, ∆Α

αντίστοιχα. Αν Ο είναι το κέντρο του τετραγώνου να αποδειχθεί ότι η παράσταση

ΟΚ ⋅ΟΛ +ΟΛ ⋅ΟΜ +ΟΜ ⋅ΟΝ +ΟΝ ⋅ΟΚ

είναι σταθερή.(∆ηλ δεν εξαρτάται από τη θέση των σηµείων Κ, Λ, Μ, Ν πάνω στις πλευρές).



[51]

52. α) Να δειχθεί ότι ο φορέας του διανύσµατος βααβ

⋅+⋅=v διχοτοµεί την

γωνία ).,( βα

β) Να δειχθεί ότι ο φορέας του διανύσµατος β

βαα

−=u διχοτοµεί την

παραπληρωµατική της γωνίας ).,( βα

53. Έστω τα διανύσµατα ji

⋅+⋅= 32α και .2 ji

+⋅=β Να αναλυθεί το α

σε δύο

συνιστώσες, µία παράλληλη στο β

και µία κάθετη σε αυτό. 54. Έστω τα διανύσµατα βα

, τέτοια ώστε )()( βαλβλα

−⊥+ για κάθε .ℜ∈λ

Αν 1=α

να δειχθεί ότι: )α ,βα

⊥ β) ,1=β

γ) 543 =+ βα

55. ∆ίνονται τα διανύσµατα ),(),,( 2121 bbaa == βα

µε 2== βα

και .βα

⊥

∆είξτε ότι .4),det( =βα

56. Αν τα µη µηδενικά διανύσµατα βα

, σχηµατίζουν γωνία θ και ),( βαα

−⊥

να αποδειχθεί ότι .συνθβ

α=

57. Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ∆ µε 5, 4ΑΒ = Α∆ =

και 0( , ) 60 .ΑΒ Α∆ =

Να βρεθεί η γωνία που σχηµατίζει η ΑΒ µε τη διαγώνιο ΑΓ του ΑΒΓ∆. 58. )α Αν βα

, είναι µη µηδενικά η συγγραµµικά διανύσµατα, να αποδειχθεί ότι

για τυχαίους αριθµούς κ λ ℜ∈ ισχύει: .0)(2 2222 ≥+⋅⋅⋅−⋅ βκβαλκαλ

Πότε ισχύει η ισότητα;

)β Αν η εξίσωση 0)22()( 2 =−+++− βαβαβα

xx είναι αδύνατη στο ℜ , να

βρεθούν οι τιµές που παίρνει η γωνία ).,( βα

59. Θεωρούµε τετράγωνο ΑΒΓ∆ και τα σηµεία Ε και Ζ τέτοια, ώστε να ισχύει:

, , .λ και µ λ µΑΕ = ΑΒ ΒΖ = ΒΓ ∈ℜ

Να δείξετε ότι οι ευθείες ΑΖ και ∆Ε είναι κάθετες , αν και µόνον αν : λ=µ.

60. Να αποδείξετε ότι ένα τετράπλευρο ΑΒΓ∆ είναι παραλληλόγραµµο αν, και

µόνον αν: 2 2 2 2 2 2

.ΑΒ + ΒΓ + Γ∆ + ∆Α = ΑΓ + Β∆

61. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(0,-2), Β(5,-1) και Γ(1,2) και το ύψος του ΑΗ.

α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόµενο .ΒΑ ⋅ΒΓ

β) ∆είξτε ότι το µήκος του ΒΗ είναι ίσο µε 17

.5



[52]

62. Θεωρούµε τρίγωνο ΑΒΓ µε : 3 3, 2 3 .3

πκαιΑΒ = − ΑΓ = Α =

α) ∆είξτε ότι το µέτρο της διαµέσου Α∆ είναι 3

2.2

β) ∆είξτε ότι .4

πΒΑ∆ =

63. Έστω ορθογώνιο ΑΒΓ∆. Να αποδείξετε ότι για κάθε σηµείο Μ του επιπέδου του

ορθογωνίου ισχύουν:

α) ΜΑ⋅ΜΓ = ΜΒ ⋅Μ∆

, β) 2 2 2 2

.ΜΑ +ΜΓ = ΜΒ +Μ∆

64. Θεωρούµε ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και τα σηµεία Μ και Ν τέτοια, ώστε:

2 1.

3 5καιΑΜ = ΑΒ ΒΝ = ΒΓ

Να αποδείξετε ότι: .ΑΝ ⊥ ΓΜ

65. Στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ ισόπλευρου τριγώνου ΑΒΓ παίρνουµε τα σηµεία ∆ και Ε

αντίστοιχα, έτσι ώστε: Α∆=2∆Β και ΓΕ=2ΑΓ. Να αποδείξετε ότι ∆Ε⊥ΑΓ. 66. Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ∆ το µέσο της βάσης ΒΓ . Αν Ε η

προβολή του ∆ στην ΑΓ και Ζ το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ∆Ε, να δείξετε

ότι .ΑΖ ⊥ ΒΕ

67. Θεωρούµε τα διανύσµατα α και β

µε 0β ≠

και έστω , .x xδ α β= + ∈ℜ

Να

βρείτε τους αριθµούς x, για τους οποίους το δ

είναι ελάχιστο. Για τις τιµές

αυτές του x , να δείξετε ότι .δ β⊥

68. Για δύο πραγµατικούς αριθµούς x και ψ , ισχύει: 2 2 2.x ψ+ ≤ ∆είξτε ότι

2x ψ+ ≤ µε τη βοήθεια του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων.

69. ∆ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ∆, Ε τα µέσα των πλευρών ΒΓ και ΑΓ αντίστοιχα

Αν ισχύει: 2 2 2

5ΒΓ + ΑΓ = ΑΒ

να αποδειχθεί ότι .Α∆ ⊥ ΒΕ

70. Έστω τετράπλευρο ΑΒΓ∆ µε 90 .ΟΑ = Γ =

Αν Μ και Ν τα µέσα των διαγωνίων

ΑΓ και Β∆, να αποδειχθεί ότι .ΜΝ ⊥ ΑΓ

*****************

********** ****

*



[53]

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ- ΥΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

1. ΑΒ και Α΄Β΄ άρα: ΑΒ Α΄Β΄ ΑΒΒΆ παραλληλόγραµο.= ∆Γ = ∆Γ = ⇒

2. ΑΒΓ∆ παρ/µο⇔ τα Β∆ και Β΄∆΄ έχουν κοινό µέσο Κ. ΑΒ΄Γ∆΄ παρ/µο ⇔ τα Β∆ και Β΄∆΄ έχουν κοινό µέσο Κ. Άρα: τα Β∆, Β΄∆΄ έχουν κοινό µέσο Κ⇔ Β΄Β∆΄∆ παρ/µο.

3. ΖΝ = ΖΑ+ ΑΜ +ΜΕ+ΕΓ +ΓΝ = ΖΑ+ ΑΜ +ΜΕ−ΓΕ−ΝΓ = ΜΕ

Άρα

παρ/µο.ΖΝ = ΜΕ⇔ ΖΜΕΓ

4. Η δοθείσα σχέση γράφεται: παρ/µο.ΡΜ −ΡΒ = ΑΡ + ΡΓ ⇔ ΒΜ = ΑΓ ⇔ ΑΒΜΓ

5. ρκεί να δείξω ότι: Γ∆ . Με πρόσθεση κατά µέλη των σχέσεων που δίνονται παίρνουµε:

∆Α ......

Α = ∆Ε

+ ΑΓ = ΕΒ+Β∆ ⇔ ∆Γ = Ε∆ ⇔ Γ∆ = ∆Ε

6. Αρκεί να δείξω ότι: ∆Γ . Είναι: ∆Γ

......

= ΓΕ = ΑΒ = ΑΓ +ΓΒ = ΒΕ +ΓΒ = ΓΒ+ΒΕ =

ΓΕ

7. Πρώτα: ΜΒ που ισχύει.+Μ∆ = ΑΒ− ∆Γ ⇔ ΜΒ−ΑΒ = ∆Μ −∆Γ ⇔ ΜΑ = ΓΜ

Έπειτα: που ισχύει.ΑΒ−Γ∆ = Α∆ + ΓΒ⇔ ΑΒ−Α∆ = ∆Γ +ΓΒ⇔ ∆Β = ∆Β

8. Θεωρώντας σηµείο αναφοράς Ο και αναλύοντας τις δοθείσες σχέσεις καταλήγουµε τελικά στην κ

Β΄Γ΄= ΒΓ µε κ -1. (Εξετάστε την περίπτωση για κ=-1)1+κ

≠

9. Έχουµε: κ κ (x-2) ... x=κ+1.κΑ∆ = ΒΓ ⇔ ΑΒ+ΒΓ + Γ∆ = ΒΓ ⇔ ΒΓ +ΒΓ = ΒΓ ⇔ ⇔

10. Ισχύει ότι: Α∆ 2 και ΓΒ 2 και αντικαθιστώ στη δοσµένη σχέση......+ ΑΒ = ΑΜ +Γ∆ = ΓΜ

11. Η δοθείσα γίνεται: που ισχύει.ΜΒ−ΑΒ = −Μ∆ −∆Γ ⇔ΜΑ = −ΜΓ⇔ ΜΑ = ΓΜ

12. Η δεύτερη σχέση γίνεται:

ΓΒ 2 2 2

2 3 τα Μ, Ν ταυτίζονται.

+ΒΝ = ΑΓ − ΑΒ⇔ ΒΝ = ΒΓ + ΑΓ − ΑΒ⇔ ΒΝ = ΑΓ −ΑΒ+ ΑΓ − ΑΒ⇔

ΒΝ = ΑΓ− ΑΒ⇔ ΒΝ = ΒΜ ⇔

13. α.Η δοθείσα σχέση γράφεται:

ΑΒ το ΒΕΓ∆ είναι παρ/µο οπότε οι διαγώνιές του

διχοτοµούνται, στνεπώς το Μ είναι µέσο και της ∆Ε.

− Α∆ = ΑΕ −ΑΓ ⇔ ∆Β = ΓΕ⇔

β. Θεωρώ το Ρ ως σηµείο αναφοράς και η δοθείσα σχέση οδηγεί στην αποδεικτέα.

14. ΑΒ .+ ΓΑ = ΚΒ+ ΓΛ ⇔ ΑΒ−ΚΒ = ΓΛ −ΓΑ⇔ ΑΚ = ΑΛ ⇔ Κ ≡ Λ

15. Με βάση την σχέση: α+β α + β παίρνουµε ότι: 1 α+β 1 α+β 1 α + β . Άρα α β.≤ ≤ ≤ ⇔ = = ↑↑

16. Με τη βοήθεια της άσκησης 10. ΣΥΓΓΡΑΜΜΙΚΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

17. Mε αφαίρεση κατά µέλη των ισοτήτων που δίνονται προκύπτει: ΜΝ 3 .= − ΑΓ

18. Προκύπτει: u+2v=5α.

19. ∆είχνω ότι: ∆Γ .= ΓΕ

20. A σηµείο αναφοράς και 1

AB, ΑΓ βασικά διανυσµατα. Βρίσκω: ΡΚ άρα ΡΚ // ΒΓ.12

= − ΒΓ

21. ∆εχόµαστε ότι // και καταλήγουµε σε άτοπο, δηλ. α//β.u v u vλ⇔ =

22. Αν ΚΛ το τµήµα που συνδέει τα µέσα των διαγωνίων, τότε εκφράζω το ΚΛ

µε δύο τρόπους,

ώστε να εµφανιστούν τα ΑΒ και Γ∆ που είναι τα διανύσµατα των βάσεων του τραπεζίου.

Βρίσκω: ΚΛ ....2

∆Γ −ΑΒ=

23. Γ σηµείο αναφοράς και ΓΒ, Γ∆ βασικά διανύσµατα. Βρίσκω: ΒΖ λΓ∆ .= −ΓΒ

( )1 1 Όµοια: Ε∆ λΓ∆ , άρα Ε∆ // .

λ λ= −ΓΒ = ΒΖ ⇔ Ε∆ ΒΖ



[54]

24.

25. Αφαιρώ κατά µέλη τις σχέσεις που δίνονται και βρίσκω ( )∆Ε κ-λ άρα ∆Ε // .= ΒΓ ΒΓ

26. Θέτω β γ

α = = =κ>0, οπότε: α =κ, β =4κ και γ =3κ. 4 3

Από την πρώτη σχέση παίρνω:

α 2 3 α 2 3 α 2 9 .Αλλά και α + 2β =9κ οπότε:

α+2β α + 2β α//2β α//β..........

β γ β γ β κ+ = − ⇒ + = − ⇒ + =

= ⇔ ⇔

27. Όπως η 26, και βρίσκω λ=1 καταλήγοντας στην εξίσωση 2λ2+5λ-7=0. ΣΥΝΕΥΘΕΙΑΚΑ ΣΗΜΕΙΑ

28. Αρκεί να δείξουµε ότι ΑΒ // . Έναι: ΑΒ =...=α+2β+2γ. ΑΓ ...ΑΓ = ΟΒ−ΟΑ = ΟΓ −ΟΑ =

( ) 2 α+2β+2γ .....

29. Έστω Κ σηµείο αναφοράς . Τότε η δοθείσα σχέση οδηγεί στην ( )ΚΛ 1 , άρα τα λ= − ΚΜ

σηµεία Κ, Λ, Μ είναι συνευθειακά. To M είναι µέσο αν 1-λ=2 λ=-1.⇔

30. Α σηµείο αναφοράς. 31. Ρ σηµείο αναφοράς. 32. Όπως η 28. 33. Θεωρώ σε κάθε περίπτωση το Α ως σηµείο αναφοράς.

34. Θεωρώ το Α ως σηµείο αναφοράς και δείχνω ότι: ΑΒ 0.=

Άρα τα Α και Β συµπίπτουν.

35. Είναι: ΟΝ .2 2 2

κ κκ κ

ΟΑ+Ο∆ ΟΓ + ΟΒ ΟΒ+ΟΓ= = = = ΟΜ

Άρα τα σηµεία Μ, Ο, Ν είναι

συνευθειακά. 36. Αν θεωρήσω το Ο ως σηµείο αναφοράς (συµφέρει γιατί εµφανίζεται παντού ), παρατηρώ ότι

( )2ΟΑ-λ -ΟΒ λ+2 ΟΓ , άρα ΟΛ= =.....= ΟΚ.

λ-2 λ-2= −ΟΒ

Συνεπώς, τα Ο, Κ, Λ είναι συνευθειακά.

37. Θεωρώ Α σηµείο αναφοράς και , Α∆ βασικά διανύσµατα. Εκφράζω τα ΕΖ και Ε∆ΑΒ

5 5 µε βάση αυτά και βρίσκω ΕΖ και Ε∆ ,οπότε Ε∆ 6

30 5

Α∆ −ΑΒ Α∆ −ΑΒ= = = ΕΖ

……

38. Θεωρώ Α σηµείο αναφοράς και ΑΒ και ΑΓ βασικά διανύσµατα. Έστω ότι το Ρ

( )βρίσκεται πάνω στην ΒΓ. Τότε ΒΡ ..........x x= ΡΓ ⇔ ΑΡ−ΑΒ = ΑΓ −ΑΡ ⇔

(κ+κx-1)ΑΒ=(x-λ-λx)ΑΓ

. Επειδή τα ΑΒ και ΑΓ είναι µη συγγραµµικά,

για να ισχύει η σχέση

αυτή, πρέπει

1κ=

κ+κx-1=0 1+xκ+λ=1.

x-λ-λx=0 xλ=

1+x

⇔ ⇒

39. Θεωρώ Α σηµείο αναφοράς και ΑΒ και ΑΓ βασικά διανύσµατα.

Είναι:

2 2, ΡΝ . Άρα 2 ΡΝ

3 6

− ΑΒ+ ΑΓ − ΑΒ+ ΑΓΒΡ = = ΒΡ =

οπότε τα σηµεία Β, Ρ, Ν είναι


40. Αν Μ µέσο της ΑΒ και Ν µέσο της Γ∆ τότε: ΟΜ και ΟΝ . 2 2

ΟΑ+ΟΒ Ο∆ +ΟΓ= =

Αλλά από τα

όµοια τρίγωνα ΟΑΒ και ΟΓ∆ είναι ΟΑ ΟΒ

= =λ OA=λΟ∆ και ΟΒ=λΟΓΟ∆ ΟΓ

⇒

και µε

αντικατάσταση στην πρώτη προκύπτει ότι ΟΜ=λΟΝ....

ΣΤΑΘΕΡΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

41. Αν εκφράσω τα διανύσµατα µε σηµείο αναφοράς το Α, θα προκύψει: u=ΑΒ-3ΑΓ

που σηµαίνει ότι η παράσταση είναι ανεξάρτητη του Μ άρα είναι σταθερή.



[55]

42. Όµοια αν θεωρήσω το Α ως σηµείο αναφοράς.

43. Αν Α σηµείο αναφοράς, βρίσκω: ( )1ΑΟ

4= ΑΒ+ ΑΓ + Α∆

που σηµαίνει ότι το Α ορίζεται

µονοσήµαντα ως γραµµικός συνδυασµός γνωστών διανυσµάτων. (Η δεύτερη αποδεικνύεται αν πάρω το Ρ ως σηµείο αναφοράς.)

44. Το Α ως σηµείο αναφοράς. ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ

45.

46. Αν Α σηµείο αναφοράς , η δοθείσα γίνεται: ΑΜ=2ΑΒ-3ΑΓ+Α∆.

Άρα το Μ προσδιορίζεται ως γραµµικός συνδυασµός γνωστών διανυσµάτων.

47. Όµοια.

48. Η δοθείσα γίνεται: Α∆ (1 ) ( )x x x x= ΑΒ+ − ΑΓ ⇔ Α∆ = ΑΒ−ΑΓ + ΑΓ ⇔ Α∆ = ΓΒ+ ΑΓ ⇔

Α∆ x x− ΑΓ = ΓΒ⇔ Γ∆ = ΓΒ

που σηµαίνει ότι το ∆ ανήκει στην ΒΓ. 49. Το Α ως σηµείο αναφοράς.

50. α) Αν ΑΜ η διάµεσος του ΑΒΓ τότε: ΑΡ 2 .= − ΑΜ

β) 1 5

ΑΡ .3 6

= ΑΓ − ΑΒ

γ) 3 1

ΑΡ= ΑΒ- ΑΓ. 7 7

51.

52. α) Αν Α σηµείο αναφοράς η δοθείσα ισότητα οδηγεί στην ( )1ΑΟ 2 3

5= ΑΒ+ ΑΓ −Α∆

από την

οποία προσδιορίζεται το Ο. β) Αν Ο σηµείο αναφοράς, η σχέση u=ΜΑ+2ΜΒ+3ΜΓ-Μ∆

δίνει

u 2 3 5 u=0 5 u=5ΟΜ.= ΟΑ+ ΟΒ+ ΟΓ −Ο∆ − ΟΜ ⇔ − ΟΜ ⇔

ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΣΥΝ∆ΥΑΣΜΟΙ

53. ( )4 4 1 4Α∆=ΑΒ+Β∆=β+ ΒΓ=β+ γ-β =...= β+ γ.

5 5 5 5

54. 1 1

x=α+ ΒΓ=.... ψ=β+ΓΕ=β- ΒΓ=......3 3

55. 2β+γ+2δ3 3 Γ∆

ΑΡ=β+ ΒΕ=β+ γ+ =.......= .4 4 2 2


‘Έστω

Α∆ΑΜ=xΑΓ και ΜΡ=ψΜΒ. Τότε: ΑΜ=ΑΡ+ΡΜ xΑΓ= +(-ψ)ΜΒ

2⇔ ⇔

( ) ( )4x-1+4xψ ΑΓ+ -1-4ψ ΑΒ=0

. Επειδή ΑΒ // ΑΓ

, από την σχέση αυτή προκύπτει ότι:

5x-1+4xψ=0 και –1-4ψ=0 άρα: ψ=-1/4 και x=1/3, οπότε: 1

ΑΜ ....3

= ΑΓ

57. Επειδή το Ρ είναι σηµείο της ΒΓ, υπάρχει x: ΒΡ=xΒΓ.

Από το σχήµα έχουµε:

( )ΑΡ ΑΡ ΑΒ+xΒΓ ΑΡ .x= ΑΒ+ΒΡ ⇔ = ⇔ = ΑΒ+ ΑΓ −ΑΒ

Με αντικατάσταση στη δοθείσα

σχέση παίρνουµε: -(x+λ) ( )ΑΒ+ x-3λ-2 ΑΓ=0.

Επειδή ΑΒ // ΑΓ

, από την σχέση αυτή προκύπτει

ότι: x+λ=0 και x-3λ-2=0 και τέλος: λ=-1/2. 58. α) λ=7, µ=1. β) λ=6, µ=5. γ) λ=-7, µ=3.


Έστω ΚΛ=xΚΜ και ΑΜ=ψΑΓ. Είναι: ΑΜ = ΑΚ +ΚΛ +ΛΓ + ΓΜ ⇔

1 1ψΑΓ+ ΑΒ+xΚΜ- ΓΒ+ΓΑ-ΜΑ

λ λ+1⇔

….1 x 1 1

- + + ΑΒ= xψ+ -1 ΑΓ.λ λ λ+1 λ+1

⇔

Επειδή



[56]

ΑΒ // ΑΓ

, από την σχέση αυτή προκύπτει ότι: 1 x 1 1

- + + =0 και xψ+ -1 =0λ λ λ+1 λ+1

από

όπου παίρνουµε: 1

x= και ψ=λ.....λ+1

60. Θεωρώ Α σηµείο αναφοράς και ΑΒ και Α∆ βασικά διανύσµατα.

Έστω ΑΣ=xΑΓ και ΣΕ =ψ∆Ε.

Είναι:

( )1 1 ΑΣ=ΑΕ+ΕΣ xΑΓ= ΑΒ+(-ψ)∆Ε x(ΑΒ+Α∆)= ΑΒ+(-ψ) ΑΕ-Α∆

3 3⇔ ⇔ ⇔

…….

( ) ( )ψ1x- - ΑΒ+ x-ψ Α∆=0 επειδή ΑΒ, Α∆ µη συγγραµµικά

3 3

⇔ ⇔

1ψ1 x=

x- - =0 4 .3 31

x-ψ=0 ψ=4

⇔

….


Εκφράζω τα ∆Ε και Β∆

ως

γραµµικούς συνδυασµούς των βασικών διανυσµάτων και βρίσκω:

5 ΑΓ 1 ΑΓΒ∆= -ΑΒ+ , ∆Ε= -ΑΒ+ άρα: Β∆ 5 Β, ∆, Ε συνευθειακα.

6 5 6 5

= ∆Ε ⇔

62. i.Είναι ( ) ( )1 3 1ΟΜ= α ΟΚ= β. Επίσης: ΑΛ=4ΛΚ ΟΛ-ΟΑ=4 ΟΚ-ΟΛ ... = α+3β .

2 4 5⇔ ⇔ ΟΛ

ii. ( )1ΒΛ=ΟΛ-ΟΒ ......ΒΛ= α-2β .

5⇔

iii. Aρκεί να δείξουµε ότι υπάρχει

λ : ΛΜ=λΒΛ.∈ℜ

( ) ( )1 1 3 1 3 ΛΜ=ΟΛ-ΟΜ= α- α+3β =....= α-2β = ΒΛ.....

2 5 2 5 2

iv. Είναι: ( )( )ΒΛ3 2 2

Είναι ΛΜ= ΒΛ άρα ΒΛ= ΛΜ, δηλ. = .2 3 ΛΜ 3

63. ( ) ( )1 1 1 1 1 1ΕΖ=ΑΖ-ΑΕ= ΑΓ- Α∆= ΑΒ+Α∆ - Α∆=....= ΑΒ-ΑΕ = ΕΒ.

6 5 6 5 6 6

Άρα τα σηµεία Ε, Β, Ζ

είναι συνευθειακά. ( Β’ τρόπος: Θεωρώ Α σηµείο αναφοράς καιΑΒ και Α∆ βασικά διανύσµατα.

Εκφράζω τα ΕΖ και ΕΒ

συναρτήσει των βασικών διανυσµάτων και καταλήγω στην ίδια σχέση).

64. Θεωρώ Α σηµείο αναφοράς και ΑΒ και Α∆ βασικά διανύσµατα.

Εκφράζω τα ΕΟ και Ε∆

µε

βάση αυτά και τέλος βρίσκω: 1

ΕΟ , άρα τα Ε ,Ο, ∆ είναι συνευθειακά. 3

= Ε∆

65. Έστω ότι ΑΜ=ΜΝ=ΝΒ. ( ) ( )1 1 1 ΟΜ=ΟΑ+ΑΜ=ΟΑ+ ΑΒ=ΟΑ+ ΟΒ-ΟΑ ... 2 .

3 3 3= = ΟΑ+ΟΒ

Όµοια και για το ΟΝ.

66. α) Εκφράζουµε το ΑΜ

µε δύο τρόπους:

( )2 2ΑΜ=ΑΕ+ΕΜ= γ+ψ∆Μ ΑΜ= γ+ψ ∆Α+ΑΜ ...

3 3⇒ ⇒

ψ 2(1-ψ)ΑΜ=- β+ γ. (1)

2 3

( )ΑΜ=ΑΓ+ΓΜ ΑΜ=γ+ x-1 ΒΓ ......ΑΜ=xγ+(1-x)β.⇒ ⇒

Άρα η (1) γίνεται:

ψ2x(1-ψ)γ+(1-ψ)(1-x)β= γ- β

3 2

από όπου βρίσκω ότι x=2 και ψ=2/3. Άρα ΑΜ=-β+2γ.

β) Για x=2 έχουµε: ΒΜ 2= ΒΓ

δηλ. το Γ είναι µέσο του ΒΜ. ( ∆οκιµάστε να λύσετε την άσκηση µε την µέθοδο Μ5-Γσελ 27 µε συντεταγµένες αργότερα).

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο

1. α) x=2, β) x=-2, γ) x=1.

2. α) α =5.

β) ( ) ( )β= -6,8 και γ= 6,-8 .



[57]

3. Είναι ( )ΑΜ= 4, 3 άρα ΑΜ =5.

4. Αν x1, x2 οι ρίζες της εξίσωσης, από τον τύπο του Vietta είναι x1+x2=-β/α=λ-3λ+2. Το µέσον του

Μ έχει τεταγµένη 1 21 2

x1 x 2. Άρα λ=0 ή 3.

2

xx

+= ⇔ + =

5. Πρέπει ΑΒ=∆Γ µε Γ(x, ψ). Είναι Γ(3, 7).

6. Έστω Μ(x1, ψ1) και Ν(x2, ψ2). Παίρνω τις σχέσεις 1 1

ΑΜ= ΑΒ και ΒΝ=- ΑΒ3 3

και βρίσκω:

Μ(5, 1) και Ν(11, 7).

7. Έστω v=κα+λβ

. Αντικαθιστώ τα διανύσµατα και από το σύστηµα που δηµιουργείται βρίσκω:

κ=3, λ=2. Άρα: v=3α+2β.

8. Πρέπει 3 3 2 2

3 3 x +ψ =7 (x+ψ)(x -xψ+ψ )=7α=-β (x +ψ , x+ψ)=(7. 1)

x+ψ=1 x+ψ=1

⇒ ⇔ ⇔

…….

από όπου βρίσκω: (x,ψ)=(-1,2) και (x,ψ)=(2,-1).

9. Βρίσκω ότι: ΑΒ=∆Γ=(3, 4).

Τα µήκη των πλευρών είναι: (ΑΒ)=5 και (ΒΓ)=10.

10. Είναι: ( ) ( ) ( ) λ λ+2 ΑΒ= λ, λ+2 , Γ∆= 1, λ . det ΑΒ, Γ∆ = =0 λ=-1 ή λ=2.

1 λ⇔

H τιµή λ=-1

απορρίπτεται γιατί τότε το ΑΒΓ∆ είναι παρ/µο. Η τιµή λ=2 είναι δεκτή γιατί ΑΒ 2= Γ∆

εποµένως το ΑΒΓ∆ είναι τραπέζιο.

11. Από την συγγραµµικότητα παίρνουµε (µε µηδενισµό της ορίζουσας) ότι: (x-1)2+(ψ-1)2=0 άρα x=1 και ψ=1.

12. Θεωρούµε ΑΒ όπου Κ(x, ψ) και βρίσκουµε Κ(1, -1).= ΒΚ

13. α) Αποδεικνύουµε ότι Α∆ // και Α∆ και ΑΓ .ΒΓ = ΒΓ = Β∆

β) Βρίσκουµε τα µέτρα των

πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ και δείχνουµε ότι ισχύει το πυθαγόρειο θεώρηµα. Είναι:

( ) ( )2 2 2(ΑΒ)= 12α , ΒΓ = 4α , ΑΓ = 16α .

15. α) Είναι: ΑΒ=(-2,-2) και Γ∆=(2,-4). Η ορίζουσά τους είναι ίση µε 12 0, εποµένως τέµνονται.≠

β) Έστω Κ(x,ψ) το σηµείο τοµής τους. Είναι

( ) ( )ΑΚ= x+3, ψ+1 //ΑΒ και ∆Κ= x+2,ψ-3 //Γ∆

οπότε, από τον µηδενισµό των οριζουσών παίρνω

σύστηµα ως προς x και ψ από όπου βρίσκω ότι x=-1 και ψ=1, δηλαδή Κ(-1,1).

16. ∆ουλεύοντας όµοια µε την 15, βρίσκω: ( )det ΑΒ, Γ∆ 9 0, άρα οι ευθείες ΑΒ και Γ∆ = ≠

τέµνονται. Το σηµείο τοµής τους είναι το Ρ(1, -2).

17. Βρίσκω ότι: ( )det ΑΒ, =0 και (ΑΒ)=(Γ∆)= 20 οπότε το ΑΒΓ∆ είναι παρ/µο. Γ∆

Μετά:

( ) ( ) ( ) ( )Β∆ = ΑΓ = 40και ΒΓ = ΑΒ = 20. Οπότε ΑΒΓ∆ τετράγωνο. Αν Ο το µέσο της Β∆, από

τη σχέση 1

ΒΟ2

= Β∆

βρίσκω ότι Ο(3, 0).

18. Έστω Α(xA,ψΑ), Β(xΒ,ψΒ) και Ρ(xΡ, ψΡ). Τότε xA+ψΑ=-β/α=λ2-3λ+9, xB+ψΒ=-β/α=λ+2. (1)

( ) ( )Ρ A Ρ B Ρ Β ΡΑΡ= x , ψ και ΡΒ= x -x ,ψ -ψx ψΑ− −

και αντικαθιστώντας στην ΑΡ=λΡΒ

µε τη

βοήθεια των σχέσεων (1) καταλήγω στην: λ2-3λ+2=0 οπότε λ=1 ή λ=2.

19. Έστω ∆(x1, ψ1) και Ε(x2, ψ2) οπότε από τις σχέσεις Α∆=-3∆Γ και ΒΕ=-3ΕΓ

παίρνω ∆(2, 3) και Ε( -1, 2).

α) ( ) ( ) ( )ΑΒ 6, 2 και ∆Ε 3, 1 άρα det ΑΒ,∆Ε 0 ΑΒ // ∆Ε.= = − − = ⇒

Eπίσης

( ) ( ) ( )(Α∆)= 40 , ∆Ε 10 δηλαδή Α∆ οπότε ΑΒ∆Ε τραπέζιο.= > ∆Ε

β) Έστω 1

Α∆=κΑΒ+λΑΕ (3,3)=κ(6,2)+λ(0,2) ... κ= και λ=1.2

⇒ ⇔ ⇔



[58]

20. Τοποθετούµε το τετράπλευρο ΑΒΓ∆ σε σύστηµα συντεταγµένων ώστε να είναι: Α(0,0), ∆(α,0),

Γ(δ,ε) και Β(β,γ). Τότε: β γ α+β γδ+α ε δ ε

Κ , , Λ , , Μ , και Ν , .2 2 2 2 2 2 2 2

Οπότε

1 2

α+β+δ ε+γΡ = , =Ρ

4 4

δηλαδή τα Ρ1 και Ρ2 συµπίπτουν.

21. Τοποθετούµε το ορθογώνιο τρίγωνο σε σύστηµα συντεταγµένων ώστε: Α(0,0), Β(α,0) και Γ(0,β).

Εφαρµόζοντας τις δεδοµένες σχέσεις παίρνουµε: 3β β2 α

∆ α,0 , Ε , και Ζ 0, .3 4 4 3

Έστω

Ρ(x,ψ),

( ) 3β βα 2α -2αΑΡ=κΑΕ και ∆Ρ=λΡΖ µε ΑΡ= x,ψ , ΑΕ= , , ∆Ρ= x- ,ψ , ∆Ζ= , .

4 4 3 3 3

2αx ψ x- ψ

2αβ3ΑΡ//ΑΕ =0 3βx=αψ (1). ∆Ρ//∆Ζ =0 βx+2αψ= (2).3βα

β-2α 34 4

3 3

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

Από το

σύστηµα των (1) και (2) παίρνουµε: x=2α/21 και ψ=2β/7 οπότε 2β2α

Ρ ,21 7

. Αφού βρήκαµε το

σηµείο Ρ, από τις σχέσεις ΑΡ=κΑΕ και ∆Ρ=λΡΖ

προκύπτουν τα ζητούµενα κ=8/21 και λ=6.

22. Να λύσετε την άσκηση αυτή ως επανάληψη της άσκησης 19. Είναι 1

ΑΓ .2

= ΑΒ+ Α∆

23. Έστω ΑΕ=xΑΒ και ΣΕ=ψ∆Ε. Θεωρούµε τα ΑΒ,Α∆ως βασικά διανύσµατα και ξεκινόντας

από

τη σχέση ( ) ( )ΑΕ=ΑΣ+ΣΕ καταλήγουµε στην 4x-1-4xψ ΑΒ= 1-4ψ Α∆.

Επειδή ΑΒ // Α∆

παίρνουµε (µε άτοπο) 4x-1-4xψ=0 και 1-4ψ=0 οπότε: x=1/3 και ψ=1/4.

24. Προκύπτει: α+γ=2β

µε χρήση των τύπων µετασχηµατισµού αθροισµάτων σε γινόµενα από την

τριγωνοµετρία.

25. Ταδιανύσµατα i j είναι µη συγγραµµικά, άρα από τη δεδοµένη σχέση προκύπτει και

( )22 2 2x +ψ -2x+1=0 και x+ψ+z=0 x-1 +ψ =0 και x+ψ+z=0 x=1, ψ=0, z=-1. ⇔ ⇔

26. Η πρώτη σχέση ισχύει αν α-3=0 άρα α=3. Η δεύτερη γίνεται: 4 2β

4i+2β j // i+ j (4,2β)//(1,1) =0 ... β=21 1

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

27. α) Είναι ( )γ 8, 0 γ =8.= − ⇒

β) Με αντικατάσταση προκύπτει ότι:

( ) 2 22α+ 2+1 β-γ=0 άρα: α=- 1+ γ+ β.

2 2

28. Είναι ( )β

1 2 1β+γ= -x, 2x+2ψ . =0 2x+ψ=0. λ =1 x+2ψ+1=x-ψ ψ= .

-x 2x+2ψ 3⇔ ⇔ ⇔

Οπότε και

x=1

.6

− 1

β+γ= α δηλαδή είναι οµόρροπα.6

29. Θεωρήστε ορθογώνιο σύστηµα αναφοράς µε κέντρο το σηµείο ∆ έτσι ώστε οι κορυφές του τριγώνου να είναι τα σηµεία Α(0,α) , Β(-β, 0), Γ(γ,0) µε α, β, γ>0.

30. Σύµφωνα ε το σχήµα έχουµε: ( )ΛΚ=xΛΜ ΑΒ και Α∆ βασικά διανύσµατα⇔ ⇔

( ) ( ) ( )1 1 x xΑΚ-ΑΛ=x ΑΜ-ΑΛ ΑΒ- ΑΒ+Α∆ = Α∆- ΑΒ+Α∆

κ µ λ µ⇔ ⇔

…………⇔

1 1 x- - =0

κ µ µ1 1 x x x 1- - ΑΒ= - + Α∆ κ+λ=µ.

x x 1κ µ µ λ µ µ΄- + =0

λ µ µ

⇔ ⇔



[59]

ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ

1. ∆είχνω ότι το γινόµενό τους είναι 0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )α αγ β- αβ γ = αγ αβ - αβ αγ =0 ⋅

2. 2

2 2

αβ αβα β- α =αβ- =αβ-αβ=0.

α αα

⋅ ⋅ ⋅

3. Πρέπει ( )22α β=0 ........ (x+1) +ψ-2 =0 x=-1 και ψ=2.⋅ ⇔ ⇔ ⇔

4. Εφαρµόζω τον τύπο της αναλυτικής έκφρασης του εσωτερικού γινοµένου: 1 2 1 2ΑΒ ΑΓ=x x +ψ ψ . i

5. ( ) ( )Είναι: γ α+β =0 γ α γ β 0, β γ+α =0 β γ+β α=0⋅ ⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⇔ ⋅ ⋅

και αφαιρώ κατά µέλη, οπότε

παίρνω ( )γ-β α=0.⋅

6. 2 222 2

2 2 2

1-λ 2λ 1+λα). α = + =...= = 1=1.

1+λ 1+λ 1+λ

β) ( ) ( )

( ) ( )2 2

2 2 2 2 2 2

2 κ+λ 1-κλ1-λ 2κ 2λ 1-κα β + .... =0

1+λ 1+κ 1+λ 1+κ 1+λ 1+κ⋅ = = =

γιατί κ λ=1.⋅

7. ( )2

2 2(4xα+ψβ) (ψα-9xβ)=0 ... 144xψ- 36x -ψ α β-9xψ β =0 (1)⋅ ⇔ ⇔ ⋅

Εφόσον η (1) ισχύει για

κάθε x και ψ, θέτω x=1 και ψ=6 και παίρνω β =4. Γιά x=0 και ψ=1 η (1) δίνει α β=0.⋅

Άρα

( )22 2 2 2α 2 2 α -2αβ+4 β =....=100 α 2 100 α 2 10.β α β β β− = − = ⇒ − = ⇒ − =

8. Είναι ( ) ( ) ( ) ( )ΑΒ= 6,-2 , ΑΓ= 3,4 οπότε ΒΓ=ΑΓ-ΑΒ= -3,4 . Έστω ΑΗ= κ,λ .

Από τις σχέσεις

κ=2λ κ=2ΒΗ και ΑΗ παίρνουµε το σύστηµα: .

3κ+4λ=10 λ=1

⊥ ΑΓ ⊥ ΒΓ ⇔

Άρα ( )ΑΗ 2,1 .=

9. ( ) 2ΑΒ 16 16 16 .... 0.⋅ ΑΓ = ⇔ ΑΒ⋅ ΑΒ+ΒΓ = ⇔ ΑΒ + ΑΒ⋅ΒΓ = ⇔ ⇔ ΑΒ⋅ΒΓ =

10. Τοποθετούµε το σχήµα σε σύστηµα ορθογώνιων συντεταγµένων. Αρκεί να δείξουµε ότι:

ΒΚ 0.⋅ ΑΓ =

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ

11. α+β = 7, 3α-2β = 13.

12. Από τις δεδοµένες σχέσεις παίρνουµε: 2 2

α×β=0, α -β =0 α = β και 9 α β 1.⇒ + =

Θεωρώντας

σύστηµα µε αγνώστους τα 1

α και β βρίσκω: α = β = .10

13. ( ) ( )2 2 2 22 3α+β+γ =0 α +β +γ +2 αβ+βγ+γα =0 αβ+βγ+γα .

2⇔ ⇔ = −

14. Με ύψωση στο τετράγωνο και εφαρµογή του τύπου του εσωτερικού γινοµένου βρίσκουµε:

2α+β-γ = 5.

15. Η δοθείσα σχέση γίνεται ( ) ( )2 2 532α+3β=4γ 2α+3β = 4γ ... αβ= .

12⇒ ⇒ ⇒

Όµοια βρίσκουµε ότι:

33 59βγ= και γα= και προσθέτουµε κατά µέλη.

8 16

16. Η δοθείσα σχέση γίνεται ( ) ( ) ( )2

2 2λα+µβ µα-λβ =0 ... 9λµ+ µ -λ αβ-λµ β =0⇒ ⇒

.

α)Επειδή ισχύει για κάθε λ και µ, θέτω λ=µ=1 και παίρνω β 3.=



[60]

β) Για λ=0 και µ=1 βρίσκω: αβ=0 και τέλος (µε ύψωση στο τετράγωνο) α β 3 2.+ =

γ) Η ζητούµενη γωνία θα βρεθεί από τον τύπο: ( ) ( )α+β α-β

συνω= .α+β α-β⋅

Παίρνω συνω=0 άρα ω=900.

17. Καταρχάς είναι 1

αβ .2

=

ΑΓ=ΑΒ+Α∆=...=4α+3β και Β∆=Α∆-ΑΒ=...=-2α+5β.

Με ύψωση στο

τετράγωνο παίρνω: ΑΓ = 37 και Β∆ = 19.

18. Με ύψωση στο τετράγωνο παίρνω: α β= α β εποµένως α β.⋅ ⋅ ↑↑

ΓΩΝΙΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ


αβ .2

= −

Οι γωνίες θα βρεθούν από τους τύπους

( ) ( ) δ βδσυν α, και συν δ,β .

α δ δ β

αδ

⋅⋅= =

⋅ ⋅

Έχουµε 7

δ 3 2 , α , δβ 4 οπότε 2

δ= = = −

( ) ( )7 2 2 2συν α,δ , συν δ,β .

12 3= = −


αβ .2

= −

( ) 1u v 3, u 12, v 3 οπότε: συν u, v

2⋅ = − = = = − ⇒

ω=2π/3.

21. Η δοθείσα σχέση γίνεται: ( ) 22α α β 0 α αβ 0 αβ α⋅ − = ⇔ − = ⇔ = ⇔

2 α 1 πα β συνω= α συνω= ω= .

2 3β⇔ = ⇒


αβ .2

=

Επίσης: ( ) ( )α-β α+β =1, α-β = 3- 2 , α+β = 3+ 2 άρα:

( ) ( )α-β α+β 1συνθ= ... .

7α-β α+β= =

23. Η δοθείσα σχέση γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( )3 α β συν α,β +5 β γ συν β,γ =8 3συν α,β +5συν β,γ =8.⇔

( ) ( )Επειδή -1 συνω 1, από αυτήν προκύπτει ότι: συν α,β =συν β,γ =1≤ ≤

εποµένως

α--β και β--γ και επειδή έχουν ίσα µέτρα θα είναι α=β=γ.

24. Είναι ( ) ( ) ( )2α γ α γ

συν α,γ = = =α γ α λα- λ+1 β =λα - λ+1 αβ .........1 1α γ

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = = ⋅⋅

( ) ( )λ- λ+1 συν α,β . (1)

Υψώνω στο τετράγωνο την ( )γ=λα- λ+1 β και παίρνω

( )2λ(λ+1)αβ 2λ λ+1 .Αν λ 0, 1 παίρνω αβ=1 ... συν(α,β) 1.= ≠ ⇒ ⇒ =

Έτσι η (1) γίνεται

( )συν α,γ =-1 και επειδή α = γ =1, είναι γ=-α. Αν λ=0 ή λ=-1 βρίσκω αντίστοιχα ότι

γ=-β και γ=-α.

25. Είναι ( ) ( ) 0αβ 2συν α, β =.......=- α, β 145 .

2α β= ⇒ =

26. ( ) 12συν α, β .

13=



[61]

27. Από τις δύο καθετότητες προκύπτει: 2 2 5

β =-4αβ και α =- αβ.2

Επειδή 2

0 αβ<0α > ⇒

συνεπώς και συνω<0. Είναι: ( )2

2 2

2 2

αβ 1 1συν ω= .... συν ω= συνω=- .

10 10α β

⇔ ⇔ ⇒

28. Αν ω η γωνία που σχηµατίζουν ανά δύο τα διανύσµατα, υψώνοντας στο τετράγωνο κατά µέλη την δοθείσα σχέση και αντικαθιστώντας τα εσωτερικά γινόµενα βρίσκουµε: συνω=1/2 άρα ω=60ο.

29. Καταρχάς είναι αβ 3.= −

Ζητάµε την γωνία ω των διανυσµάτων

ΑΓ=α+β και Β∆=β-α.

Είναι: α β 7, β α 19 και (α+β)(β-α)=5.+ = − =

Τέλος, προκύπτει ότι:

5συνω= .

113

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

30. Πολλαπλασιάζω την εξίσωση µε α για να πάρω το εσ. γινόµενο x α.⋅

( ) 2 Γίνεται: xα- xα βα=α⋅ ⇔

( )2

2 αxα 1-αβ =α xα .

1-αβ⇔ =

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση και

λύνοντας ως προς x παίρνω τελικά: 2

αx=α+ β.

1-αβ

⋅

31. i. Πολλαπλασιάζω την (1) µε α

και παίρνω το ζητούµενο.

ii. αγ

x γ- β.1+αγ

= ⋅

32. Πολλαπλασιάζω µε α

, απλοποιώ το 2

α 0 και προκύπτει εξίσωση που αληθεύει για κάθε x.≠

33. Από τις δοθείσες σχέσεις παίρνω: ( )α x 0 δηλ. ή α x-ψ ή x-ψ=0. ψ⋅ − = ⊥

Επειδή τα διανύσµατα

α και β είναι µη συγγραµµικά, θα είναι και µη µηδενικά γιατί το 0 είναι συγγραµµικό

µε κάθε

διάνυσµα. Αν ( )x-ψ 0, από τη δεύτερη σχέση παίρνω: β x-ψ =0 β x-ψ.≠ ⇒ ⊥

Εποµένως

τα α και β είναι και τα δύο κάθετα στο x δηλ. είναι παράλληλα µεταξύ τους. Άτοπο.ψ−

Άρα x-ψ=0 x=ψ.⇔

34. Επειδή ( )1x//β x=λβ. Από την πρώτη εξίσωση παίρνω ψ= α-2λβ και αντικαθιστώντασ στην

3⇒

2 2 2α α 1 α

αψ=0 βρίσκω λ= , άρα x= β και από την πρώτη ψ α- β .32αβ 2αβ 2αβ

⋅ = ⋅

35. Η δοθείσα σχέση γίνεται 2

κα=λβ, όπου κ=αβ και λ=α 0. Άρα α//β και υπάρχει µ : β=µα.≠ ∈ℜ

Το σύστηµα γίνεται

2 22 2

2 2

22

1ψ= α

µα x +ψ=α 1-µ αµα ×x +ψ=α... .

λx+µψ=0α x+µα ψ=0 x=- α1-µ α

⋅

⇔ ⇔ ⇔ ⋅ ⋅

ΠΡΟΒΟΛΕΣ

36. Έστω 2 2 2v 2

δv -4 2 2 2δ //δ άρα δ =προβ δ=λv. Aλλά λ= = =- . Προκύπτει: δ , .

26 13 13 13δ

= −

( )1 2 1 22 2 15 63

δ=δ +δ δ =δ-δ = 1,5 - - , = , .13 13 13 13

⇔



[62]

37. Είναι ( ) ( ) ( ) ( )α β 2

α-β α+β 21προβ α β =λ α+β , λ και λ= . Προκύπτουν: λ=- και

53α-β+

− ∈ℜ

( )α β

63προβ α β , 0 .

53+

− =

38. α) ( ) 2 2 2

ΒΓΒ∆ ΒΓ=προβ ΒΑ ΒΓ=ΒΑ ΒΓ=ΒΑ ΒΑ+ΑΓ =ΒΑ +ΒΑ ΑΓ=ΑΒ +0=ΑΒ .⋅ ⋅ ⋅ ⋅

β) Αναλύουµε το Α∆ µε δύο τρόπους και πολλαπλασιάζουνε κατά µέλη.

39. Είναι 2

2 2

βγ βγΑ∆=λγ. βγ=γΑ∆ βγ=λγ λ= , άρα Β∆=-β+ γ.

γ γ⇒ ⇔

40. ΒΓ

ΒΓ ΒΑ=ΒΓπροβ ΒΑ=ΒΓ ΒΑ .⋅ ⋅

41. Η δοθείσα σχέση γίνεται: 2 2 2

ΒΓΑΒ ΑΒ =ΒΓ προβ ΒΑ ΒΓ ΒΑ= Β∆ ⋅ΒΓ ⇔ ⋅ ⇔ ΑΒ = ⋅ ⇔

( )2ΑΒ = ΒΑ+ΑΓ ΒΑ .... 0 .⇔ ⇔ ΑΓ⋅ΒΑ = ⇔ ΑΒ ⊥ ΑΓ

42. Έστω ( ) ( ) ( )1 2 1 1 2δ = 4,2 . Τότε το δ = -2,4 είναι κάθετο στο δ . Άρα δ=δ +xδ 4-2x, 2+4x .=

( ) ( )Επειδή δ 2 10 ....x=±1. Άρα δ 2, 6 ή δ 6, 2 .= ⇒ = = −

43. Έχουµε:

( ) ( ) ( )2ΒΓ 2 2⋅Μ∆ = ΒΓ ⋅ΜΑ = ΒΓ ⋅ ΜΑ = ΒΓ ⋅ ΒΑ+ ΓΑ = ΑΓ−ΑΒ ⋅ ΓΑ +ΒΑ =

( ) ( ) 2 2=- ΑΓ-ΑΒ ΑΓ+ΑΒ =ΑΒ -ΑΓ .

44. Αν 2

1 1α 2 2

πα v συν

αv 6v =προβ v=λα τότε αv=λα λ= = ... 3. Άρα v 3α.

α α

⇔ = = =

45. Όµοια µε την 36. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

46. ( )ΑΓ ΑΒΑΓ ΑΖ-ΑΒ ΑΕ=ΑΓ προβ Α∆-ΑΒ προβ Α∆=ΑΓ Α∆-ΑΒ Α∆=Α∆ ΑΓ-ΑΒ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2=Α∆ ΒΓ=Α∆ Α∆=Α∆ .⋅ ⋅

47. Έστω ˆ ˆΒ∆Ζ=ω και Η∆Θ=φ. Το σχήµα τοποθετείται σε σύστηµα συντεταγµένων ώστε: Α(0,0),

Β(α,0), Γ(α,α), Ζ(2α,0), Ε(2α,α), Η(3α,0) και Θ(3α,α). Υπολογίζουµε τα

∆Β ∆Η 3 10ˆ ˆσυνω= και συνφ= τα οποία ισούνται µε , άρα ω=φ.

10∆Β ∆Η

⋅ ∆Ζ ⋅∆Θ

∆Ζ ∆Θ

48. Έστω δ = γ =α και α = β =β. ΒΗ=ΑΗ-ΑΒ=δ-α και ΓΕ=ΑΕ-ΑΓ=β-γ, άρα

( ) ( ) ( )ΒΗ ΓΕ= δ-α β-γ =δ β+α γ= δ β συνω+ α γ συν π-ω ... 0 άρα ΒΗ ΓΕ.⋅ ⋅ ⋅ = = ⊥

49. ΑΒ Α∆

ΑΒ ΑΒ΄=ΑΒ προβ ΑΑ=ΑΒ ΑΑ΄ και Α∆ Α∆΄=Α∆ προβ ΑΑ=Α∆ ΑΑ .⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Άρα

( ) ΑΓΑΒ ΑΒ΄+Α∆ Α∆΄=ΑΒ ΑΑ΄+Α∆ ΑΑ΄=ΑΑ΄ ΑΒ+Α∆ =ΑΓ προβ ΑΑ΄=ΑΓ ΑΓ .⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

50. Έστω Α σηµείο αναφοράς και ΑΒ+ΑΓ

ΑΒ, ΑΓ βασικά διανύσµατα. Τότε: ΑΜ= .2

∆είχνω ότι

ΑΜ 0 οπότε ΑΜ ΒΓ και η διάµεσος ΑΜ είναι και ύψος. ⋅ΒΓ = ⊥

51. Έστω Ε το µέσο του ΚΜ και Ζ το µέσο του ΝΛ. Τότε ΟΕ//ΑΒ και ΟΖ//∆Α. Η δοθείσα σχέση

γίνεται: ( ) ( ) ( ) ( )ΟΛ ΟΚ+ΟΜ +ΟΝ ΟΜ+ΟΚ ΟΚ+ΟΜ 2⋅ ⋅ = ⋅ ΟΛ +ΟΝ = ⋅ΟΕ ⋅ΟΖ =

=2λ ΑΒ µ ∆Α=2λµ ΑΒ ∆Α=2 λ µ 0=0⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅



[63]

52. α) ∆είχνω ότι: ( ) ( )συν α, v =συν v, β . β) ∆είχνω ότι v u=0.⋅

53. Αν ( ) 21 1α η συνιστώσα του α κατά την διεύθυνση του β, τότε α =λβ. α β=β λβ =λ β⋅ ⋅ ⋅ ⇒

1 2 12

α β 7 14 7 4 8λ= = . Άρα α = , και α =α-α =...= - , .

5 5 5 5 5β

⋅

54. Από την καθετότητα οδηγούµαστε στην σχέση λ+(λ2-1)2

αβ-λ β =0, λ .∈ℜ

Για λ=0 ή 1 προκύπτει

αντίστοιχα ότι α β και β =1.⊥

Με τετραγωνισµό βρίσκω ότι 3α+4β =5.

55. Είναι

( ) 1 2 2 1det α, β =α b -α b . Από τις υποθέσεις της άσκησης παίρνουµε:

2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2α b +α b =0, α +α =4 και b +b =4. Με χρήση αυτών βρίσκω ότι: ( )2

1 2 2 1α b -α b =16 .

( )Άρα det α, β =4

56. Από την καθετότητα παίρνουµε ( )2

2 α αα βα =α β. Άρα συν α,β = = = .

α β α β β

⋅⋅

⋅ ⋅

57. Βρίσκω πρώτα: 1 ΑΓ

ΑΒ 5 4 10. Ζητάµε το συνω= .2

⋅ ΑΒ⋅Α∆ = ⋅ ⋅ =

ΑΓ ⋅ ΑΒ

Βρίσκουµε ότι

( ) 2ΑΓ 61 και ΑΒ 35.= ⋅ΑΓ = ΑΒ⋅ ΑΒ+ Α∆ = ΑΒ + ΑΒ⋅Α∆ =

Άρα συνω=7 61

.61

58. α) Θεωρούµε το πρώτο µέρος της δοθείσας ως τριώνυµο µε άγνωστο το λ. Αρκεί να δείξουµε ότι:

∆ 0.≤ Είναι ∆= ( ) ( )2 22 2 2 224κ α β -α β 0 γιατί α β α β . Το "=" ισχύει όταν ∆=0 ⋅ ⋅ ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅

δηλαδή

όταν ( )2 2 2α β =α β α//β.⋅ ⋅ ⇔

β) Από τη σχέση ( )0 0∆ 0 οδηγούµαστε στην: α β 0 90 , β 180 .α≤ ⋅ < ⇔ < ≤

59. Τοποθετούµε το τετράγωνο σε κατάλληλο σύστηµα συντεταγµένων έτσι ώστε να είναι: Α(0, 0), Β(α, 0), Γ(α, α) και ∆(0, α).

60.

61. α)Είναι: ( ) ( )ΒΑ 5,1 και ΒΓ 4,3 . ΒΑ 17. = = − ⋅ΒΓ = −

β) 2

2

68 51 1725, άρα ΒΗ , ΒΗ .

25 25 5προβ

ΒΓ

ΒΑ⋅ΒΓ − ΒΓ = = ΒΑ = ⋅ΒΓ = ⇒ = ΒΓ

62. α) Είναι

( ) 2 2ΑΒ 3 3 1 . Α∆ 2 2

2

ΑΒ+ ΑΓ⋅ΑΓ = ⋅ − = ⇒ Α∆ = ΑΒ+ ΑΓ ⇔ Α∆ = ΑΒ+ ΑΓ ⇔

3 2Α∆ = .

2⇔

β) Πρώτα βρίσκουµε ότι 9 3 3 2 π

ΑΒ και µετά: συνω= ... ω= .2 2 4

− ΑΒ⋅Α∆⋅Α∆ = = = ⇒

ΑΒ ⋅ Α∆

63. α) Αν Ο το κέντρο του ορθογώνιου και εκφράσουµε όλα τα διανύσµατα µε σηµείο αναφοράς το Ο,

τότε: ( ) ( )2

2 αΜΑ =ΜΟ - , όπου α= ΑΓ .

2⋅ΜΓ = ΜΒ⋅Μ∆ = Β∆

β) Παίρνοντας και τα δύο µέλη και το Ο ως σηµείο αναφοράς, καταλήγουµε σε προφανή ισότητα.



[64]

64. Αν α=(ΑΒ)=(ΒΓ)=(ΑΓ) και τοποθετήσουµε το σχήµα σε κατάλληλο σύστηµα αναφοράς, ώστε

Β(0,0), Γ(α,0) και α α 3

Α .2 2

, έχουµε: α α 3 α

Μ , και Ν ,0 .6 6 2

Βρίσκουµε ότι: ΑΝ 0.⋅ΓΜ =

65. Θεωρούµε τα ΑΒ=α και ΑΓ=β

ως βασικά διανύσµατα.

β-2α1 2∆Ε=ΑΕ-Α∆= β- α= . Από τη σχέση ΒΓ = α β-α = α

3 3 3⇔

βρίσκω ότι 2

βα β= .

2⋅

Τέλος:

β-2α∆Ε β=...=0.

3

⋅ ΑΓ =

66. Τοποθετούµε το σχήµα σε κατάλληλο σύστηµα αναφοράς ώστε το ύψος από την κορυφή να είναι

στο άξονα ψ΄ψ οπότε: ∆(0,0), Β(-κ,0), Γ(κ,0) και Α(0,λ). Άρα: ( )det ΑΕ, ΑΓ =0 ...⇔ ⇔

λx+κψ=κλ (1). Αν Ε(x,ψ), τότε ( )∆Ε= x,ψ . . ΑΓ=0 .... κx-λψ=0 (2)∆Ε ⊥ ΑΓ⇒ ∆Ε⋅ ⇔ ⇔

Από

το σύστηµα των (1) και (2) βρίσκω: 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

κλ κ λ κλ κ λx= , ψ= άρα Ε , .

κ +λ κ +λ κ +λ κ +λ

( ) ( )

2 2

2 2 2 2

κλΤο µεσο Ζ του ∆Ε : Ζ ,

2 2

κ λ

κ λ κ λ

+ +

.

Τέλος δείχνουµε ότι ΒΕ 0.⋅ΑΖ =

67. 2 2 2 22

2

β αβδ = α+xβ =β x +2xαβ+α . To τριώνυµο αυτό γίνεται ελάχιστο για x=- =- .

2α β

Τότε:

( ) 2 2

2

α ββ δ=β α+xβ =α β+xβ =α β- β =0.

β

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

68. Θεωρώ τα διανύσµατα ( ) ( )α , και β 1,1 . Τότε: α β=x+ψ. Από την γνωστή ανισότητα x ψ= = ⋅

2 2 2 2α β α β x+ψ x +ψ 1 +1 2.⋅ ≤ ⋅ ⇒ ≤ ⋅ ≤

69. Έστω

α+β -2α+βΑΒ=α και ΑΓ=β. Τότε: Α∆= και ΒΕ= . Από την δοθείσα σχέση µε

2 2

αντικατάσταση

παίρνουµε: ( ) ( )( )12

2 2 2 2 -2α-αβ+ββ-α +β =5α ... -2α-αβ+β =0. 1 Άρα: Α∆ ... 0.

2⇔ ⇔ ⋅ΒΕ = = =

70. Τοποθετούµε το σχήµα σε κατάλληλο σύστηµα αναφοράς ώστε: Α(0,0), Β(β,0), Γ(δ,ε) και ∆(0,γ). Είναι:

2 2β γ δ εΝ , , Μ , . Γ∆ 0 ......... ε +δ =βδ+εγ (1). Άρα:

2 2 2 2 ⋅ΓΒ = ⇔ ⇔

( )( ) ( )

12 2

βδ+εγ- ε +δβ-δ γ-εΜΝ , . δ,ε ...... = 0.

2 2 2

⋅ΑΓ = = =

****************

∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο · Έτσι προκύπτει ότι: ΑΒ=Γ...

Documents