ผลคณคารทเซยน (Cartesian Product)บทนยามผลคณคารทเซยนของเซต A และ B คอ เซตของคอนดบ (a,b)ทงหมด โดยท a เปนสมาชกของเซต A

และ b เปนสมาชกของเซต B ผลคณคารทเซยนของเซต A และ B เขยนแทนดวย A x B

เขยน A x B ในรปแบบบอกเงอนไขไดดงน

A x B = {( a ,b ) | a A และ b B }

ตวอยางก าหนด A = {2,4,6} , B = {a,b}

จะได A x B = { (2,a), (2,b) ,(4,a) ,(4,b) ,(6,a) ,(6,b) }

n(AxB) = 6

B x A = { (a,2),(a,4) ,(a,6) ,(b,2) ,(b,4) ,(b,6) }

n(B x A) = 6

B x B = { (a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,b) }

n(B x B) = 4

สรป ถา n(A) = m , n(B) = n จะได n( A x B) = mn

ตวอยางก าหนด A = {1,2,3} , B = {2,3} , C = {3,5}จงหา )( CBA

วธท า หา CB

จะได CB = { 3 }

ดงนน )( CBA = { (1,3) , (3,3) } (2,3) ,

ตวอยาง ก าหนด A = { 1 , 3, 4 } , B = { } จงหา A x B

วธท าจะได A x B = { }

ตวอยางก าหนด A = {1,2,3} , B = {2,3} , C = {3,5}จงหา )()( CABA

วธท า

จะได BA

ดงนน

= { (1,2) ,(1,3) , (2,2) ,(2,3) ,(3,2) ,(3,3) }

CA = { (1,3) ,(1,5) , (2,3) ,(2,5) ,(3,3) ,(3,5) }

= { (1,3), (2,3) , (3,3) } )()( CABA

สมบตทส าคญ

1. )()( CABA )( CBA =

2. )( CBA = )()( CABA

3. )( CBA = )()( CABA

ความสมพนธ (relation)นยาม

r เปนความสมพนธ จาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A x B

ตวอยาง ก าหนดให A = { 1, 2 ,3 ,4 } , B = { 0, 2 ,4 ,6 }

ให r แทนความสมพนธ “ มากกวา” จาก A ไป B

จะได r = { (1,0) ,(2,0) ,(3,0) ,(3,2) ,(4,0) ,(4,2) }

หรอ r = { (x,y) A x B | a > b }

ตวอยางก าหนด A = { x | x เปน จ านวนเตม }

B = { x | x เปน จ านวนเตมบวก }

ถา r1 = { (x,y) A x B | y = x2 }

เขยน r1 แบบแจกแจงสมาชกไดดงน

r1 = { (1,1) ,(-1,1) ,(2,4) ,(-2,4) ,(3,9) ,(-3,9) , . . . }

โดเมนและเรนจ บทนยาม

ให r แทนความสมพนธจาก A ไป B โดเมนของ r คอสมาชกตวหนาของคอนดบใน rเขยนแทนโดเมนของ r ดวย Dr

เรนจของ r คอสมาชกตวหลงของคอนดบใน rเขยนแทนเรนจของ r ดวย Rr

ตวอยาง

ก าหนด r1 = { (1,2) ,(2,3) ,(3,4) ,(4,5) }

จะได D = r

1

{ 1 ,2 ,3 ,4 }R = { 2 , 3 , 4, 5 }r

1

,

ก าหนด r = { (x,y) I+x I+ | y = 2x }

เขยน r แบบแจกแจงได r = { (1, 2) ,(2,4) , (3,6) ,(4,8)

{ 1, 2 ,3, …}= { x | x เปนจ านวนเตมบวก }

Rr = { 2 ,4, 6 ,…}= { x | x เปนจ านวนเตมบวกค }

ดงนน Dr =

ตวอยาง จงหา โดเมนและเรนจ ของ r เมอก าหนดr = { (x,y) | }92 xy

วธท า หาโดเมนจาก 92 xy

จะหาคา y ไดกตอเมอ x2 - 9 0

(x-3)(x+3) 0

ดงนน x -3หรอ x 3

ดงนนโดเมน r = }33|{ xËÃ×ÍxRx

หาเรนจ จาก x2 - 9 0

จะได 092 x

ดงนนเรนจ r = }0|{ yRy

กราฟความสมพนธ บทนยาม

ให R เปนเซตจ านวนจรง r เปนสบเซตของ R x Rกราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดในระนาบโดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r

ตวอยาง จงเขยนกราฟความสมพนธ r = }|),{( 2xyIIyx

(1,1)

(0,0)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)

( กราฟมลกษณะเปนจด )

ตวอยาง จงเขยนกราฟความสมพนธ r = }|),{( 2xyRRyx

(1,1)

(0,0)

(2,4)

(-1,1)

(-2,4)

( กราฟมลกษณะเปนเสน เนองจากโดเมนคอ R )

ตวอยาง จงเขยนกราฟความสมพนธ r = }31|),{( xRRyx

(กราฟมลกษณะเปนพนท)

การหาโดเมนและเรนจจากกราฟ

การหาโดเมน ใหดเสนกราฟตามแนวแกน X วาเรมตนและสนสดทใด กจะไดคาโดเมน

การหาเรนจ ใหดเสนกราฟตามแนวแกน Y วาเรมตนและสนสดทใด กจะไดคาเรนจ

ตวอยาง ก าหนดกราฟ r ดงรป จงหาโดเมน และเรนจของ r

O 9

3

โดเมนของ r คอ

เรนจของ r คอ

(เงากราฟทแกน X )

(เงากราฟทแกน Y )

[0,9]

[0,3]

อนเวอรของความสมพนธ บทนยาม

อนเวอรสของความสมพนธ r ความสมพนธทเกตจากการสลบทของสมาชกตวหนาและสมาชกตวหลง ของคอนดบทเปนสมาชกของ r

อนเวอรสของความสมพนธ r เขยนแทนดวย r-1

เชน r = { (1,2),(3,4) ,(5,-6) }

จะได r-1 = { (2,1) ,(4,3) ,(-6,5) }

ตวอยาง จงหาอนเวอรสของความสมพนธ r = {(x,y) | y = 2x + 1 }

วธท าจะได r-1 = {(y,x) | y = 2x + 1 }

หรอ r-1 = {(x,y) | x = 2y + 1 }

หรอ }2

1|),{(1

xyyxr

( นยมเขยนในรป y = f(x) )

กราฟอนเวอรสของความสมพนธ

กราฟทเปนอนเวอรสกน คอ กราฟทสมมาตรกนโดยม เสนตรง y = x เปนแกนสมมาตร

ตวอยาง

O

r

r-1

X

Y

ฟงกชน คอ ความสมพนธ ซงจะไมมคอนดบสองคอนดบใดในความสมพนธทมสมาชกตวหนาเหมอนกน แตสมาชกตวหลงตางกน

ตวอยาง

r = { ( 1,1),( -1,1 ),( 2, 2 ) ,( -2, 2 ),(3, 3 ),( -3, 3 ) }

f = { ( 1,2),( -1,2 ),( 2, 2 ) ,( -2, 2 ),(3, 2 ),( 3, 2 ) }

ตวอยางทไมเปนฟงกชน

r = { ( 1,1),( 1,4 ),( 2, 2 ) ,( -2, 2 ),(3, 3 ),( -3, 3 ) }

f = { ( 1,2),( -1,3 ),( 2, 4 ) ,( -2, 5 ),(2, 6 ),( 3, 7 ) }

ตวหนาซ ากน

ตวหนาซ ากน

ก าหนด r = { ( x, y ) | 2x + y = 1 } r เปนฟงกชนหรอไมวธท า เงอนไข r คอ 2x + y = 1เขยน y ในรปของ x จะได y = 1 - 2xจะพบวาแตละคาของ x จะใหคา y เพยงคา เดยวเทานน แสดงวา r เปนฟงกชน ###

ก าหนด r = {(x,y) | x2 + y2 = 4 }r เปนฟงกชนหรอไม

ไมเปนฟงกชน

เนองจาก (0,-2) สมาชกของ rมคอนดบ (0,2) และ

ตวหนาซ ากน

กรณความสมพนธทเปนกราฟ

เปนฟงกชน เมอ ลากเสนตรงทขนานกบแกน Y ตดกราฟเพยงจดเดยว

ตวอยาง

O O

เสนตรงขนานกบแกน Y ตดกราฟเพยงจดเดยวเสนตรงขนานกบแกน Y ตดกราฟมากกวาหนงจด( กราฟนเปนฟงกชน )

( กราฟนไมเปนฟงกชน )

ตวหนาซ ากน

บทนยามf เปนฟงกชนจาก A ไป B (function from A to B) กตอเมอ

1. f เปนฟงกชน2. Df = A

3. Rf B

ตวอยาง ก าหนด A = { 1 , 2 , 3 , 4 ,5 } , B = { a, b, c, d }

r = { (1,a) , (2,b) ,(3,c) , (4,d) ,(5 c) }

r เปนฟงกชนจาก A ไป B

เนองจาก 1. r เปนฟงกชน2. Dr = { 1 ,2 ,3 ,4 ,5 } = A

3. Rr B

ตวอยาง ก าหนด A = { 1 , 2 , 3 , 4 ,5 } , B = { a, b, c, d }

r = { (2,a) , (3,b) ,(4,c) , (5,d) }

r ไมเปนฟงกชนจาก A ไป B

Dr = { 2 ,3 ,4 ,5 } A

เนองจาก

บทนยาม f จะเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B ( function from A onto B ) กตอเมอ

1. f เปนฟงกชน

2. Df = A

3. Rf = B

นยาม ก าหนด f : A B

f เปนฟงกชนหนงตอหนง (one- to-one function) จาก A ไป B กตอเมอ

ถา y R f แลว จะม x A เพยงตวเดยวซงท าให ( x, y ) f

f : A B1-

1

ฟงกชนหนงตอหนงจาก A ไป B เขยนแทนดวยสญลกษณ

ตวอยาง ก าหนดฟงกชน

f = { (0,1) , (1,2) ,(-2,4) }

Rf = { 1 , 2 , 4 }

แตละสมาชกของ Rf ถกจบคเพยงครงเดยว

ดงนน f เปนฟงกชนหนงตอหนง

ตวอยาง ก าหนดฟงกชน

f = { (0,1) , (1,2) ,(-2,4) ,(3,2) }

Rf = { 1 , 2 , 4 }

เนองจาก Rf บางตวถกจบคมากกวาหนงครง คอ

ดงนน f ไมเปนฟงกชนหนงตอหนง(1,2) f และ (3,2) f

ฟงกชนทเปนกราฟ

จะเปนฟงกชนหนงตอหนง กตอเมอเสนตรงทขนานแกน X ตดกราฟเพยงจดเดยวตวอยาง

O

เปนฟงกชนหนงตอหนง

เพราะวา เสนตรงขนานกบแกน X ตดกราฟเพยงจดเดยว

ตวอยางทไมใชฟงกชนหนงตอหนง

O O

เสนตรงขนานกบแกน X ตดกราฟมากกวาหนงจด

ไมเปนฟงกชน เนองจากเสนตรงทขนานกบแกน Y ตดกราฟมากกวาหนงจด

ฟงกชนอนเวอรส

ตวอยาง ก าหนด f = { (1,-1), (2,0), (3,2), (4,1), (5, 3) }g = { (-4,4), (-2,2), (0, 0) ,(2, 2) ,(4, -4) }

จะได f -1 =

{ (-1,1), (0,2), (2,3), (1,4), (3,5) }

g -1

=

{ (4,-4), (2,-2), (0, 0) ,(2, 2) ,(-4, 4) }

จะเหนวา อนเวอรสฟงกชนอาจไมเปนฟงกชนกได

ตวอยาง ก าหนด f = { (x,y) | y = 2x + 4 } จงหา f-1RR

วธท า f -1 = { (x,y) | x = 2y + 4 }RR

หรอ f -1 = { (x,y) | y = }RR

24x

สลบตวแปร x และ y

นยมจดเทอมรป y = f(x)

ตวอยาง ก าหนด f = { (x,y) | y = 2x + 4 } จงหา f -1(2) , f -1(0)

RR

วธท าจาก f(x) = 2x + 4

ดงนน f-1(2x+4) = xให 2x + 4 = 2

x = 2

42 = -1

ดงนน f-1(2) = -1

หา f-1(0)

ให 2x + 4 = 0x = -2

ดงนน f-1(0) = -2

โดเมน เรนจ

โดเมน

เรนจ

ตวอยาง ก าหนดฟงกชน f(3x-4) = 4x + 3 จงหา f-1(x)

โดเมน เรนจ

วธท าจะได f -1(4x + 3) = 3x - 4

โดเมน เรนจ

ให 4x + 3 = kx =

4

3k

แทนคา x = ใน 3x - 44

3k จะได 44

)3k(3

=

425k3

จะได f -1(k) = 4

25k3 ดงนน f -1(x) = 4

25x3

ตวอยาง ก าหนดฟงกชน f(3x-4) = 4x + 3 จงหา f -1(-5)

โดเมน เรนจ

วธท าจะได f -1(4x + 3) = 3x - 4

โดเมน เรนจ

ให 4x + 3 = -5x =

4

35

แทนคา x = - 2 ใน 3x - 4จะได =

ดงนน f -1(-5) = -10

= -

23(-2) - 4 -10

f ( 3x-4 , 4x+3 )

f -1 ( 4x+3 , 3x-4 )

f -1 ( -5 , ? )

y = 2x + 4

2

4

xy

กราฟฟงกชนอนเวอรส

ตวอยาง ก าหนดกราฟ f ดงรป จงหากราฟ f -1

f

f -1

x

y

o

แกนสมมาตร

ตวอยาง ก าหนดกราฟ f ดงรป จงหากราฟ f -1

f

f -1

x

y

o

แกนสมมาตร

ฟงกชนคอมโพสท

บทนยาม

ให f และ g เปนฟงกชนโดยท Rf Dg

ฟงกชนคอมโพสท f และ g เขยนแทนดวย gof ซงเปนฟงกชนจาก Df | g ไปยง Rg ทนยามดงน ถา x Df | g แลว

(gof)(x) = g(f(x))

ตวอยางก าหนด f = { (1,a) ,(2,a) , (3,b) ,(4,c) ,(5,d) }

g = { (a,2) ,(b,4) ,(c,6) ,(e,8) }จงหา gof และ fog

วธท า หา gofเนองจาก Rf = {a ,b ,c ,d } , Dg = { a ,b , c ,e }

จะได Rf Dg = { a ,b ,c } ดงนน Dgof = Df | g = {1 ,2 ,3 ,4 }

f g1234

ab

e

c

24

86

gof

5d

f = { (1, a) , (2, a) , (3, b) , (4, c) , (5, d) }

g = { (a, 2) , (b, 4) , (c, 6) , (e , 8) }

หา fog

จะได fog = { (a ,a ), (b ,c) }

ควรจ า หา gof ไลจาก f gfog ไลจาก g f

ตวอยาง

ก าหนด f = { (1,2) , (2,3) , (3,4) , (4,4) }

g = { ( 0,- 1) , (1,0 ) , ( 2,1) , (3,2) , (4,3) }

h = { ( -3,0 ),( -2, 0) ,(-1, 0) , (1,1), (2,1),(3,1) , (0,0)}

จงหา fog ,hogof , fogoh

ตอบ fog = { (2,2)

,

, (3,3)

,

(4,4) }

fogoh (ไมม){

(1,1)

,

(2

,1),

(3,

1),

(4,1)

}

hogof =

สรปแผนภาพฟงกชนคอมโพสท

f g

gof

Rf Dg(g) (f)

(fog)

(Rg

Df)

x y z

(x,z) f = {(x,y)} , g = {(y,z)}gof = {(x,z)}

ก าหนดฟงกชน f(x) = 3x + 1 และ g(x) = ถามจงหา gof(x) , fog(x)

x

ตวอยาง

วธท า จะได Df = R, Rf = R , Dg = [0,

)

, Rg = [0,

)

ดงนน Rf Dg = [0, ) ม gof(x)Rg Df = [ 0, ) ม fog(x)

จาก gof(x) = g(f(x)) = g(3x+1)

= 13 x

จาก fog(x) = f(g(x)) = f( )x = 13 x

พชคณตฟงกชนนยาม

f+g = {(x,y) | y = (f+g)(x) = f(x) + g(x) เมอ } RR gf DDx

f-g = {(x,y) | y = (f-g)(x) = f(x) - g(x) เมอ } RR gf DDx

f .g = {(x,y) | y = (f .g)(x) = f(x) . g(x) เมอ } RR gf DDx

= {(x,y) | y = (x) = เมอ } RR gf DDx

gf

gf

)x(g)x(f

0)x(g

ตวอยางก าหนด f = { (0,0) , (1,1) , (2,-1) , (3,2) , (4,-2) ,(5,3) , (6,-3) }

g = { (0,1) , (2,3) , (4,5) , (6,6) , (8,9) ,(10,10) }จงหา f + g , f -g , f.g ,

gf

วธท า จะได gf DD = { 0 , 2 , 4 , 6 }ดงนน f + g = { (0,0+1) ,(2,-1+3) ,(4,-2+5) ,(6,-3+6) }

f - g = { (0,-

1) ,

(2,-

4) ,

(4,-

7) ,

(6,-9)

}

f + g = { (0,1) ,(2,2) ,(4,3) ,(6,3) }

f.g = { (0,0) , (2,-3) , (4,-10)

, (6,-18) }gf = })2

1,6(),52,4(),3

1,2(),1,0({

ตวอยาง ก าหนด f (x) = , g(x) = 2x + 1 x

จงหา (f - g)(x) , )x)(gf(

วธท า จะได gf DD [ 0, )

ดงนน (f - g)(x) = x - 2x - 1 , x [ 0,

)

)x)(gf( =

21x,1x2

x

, x [ 0,

)

=