“analisis de sistemas y seÑales” · presenta en la salida frente a una señal muy breve, o...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO(UNAM)
ldquoANALISIS DE SISTEMAS Y SENtildeALESrdquo
ALUMNO Farrera Vega Juan Carlos Rosales Marroquin Eduardo Santillaacuten Domiacutenguez Marcos
PROFESOR MI Elizabeth Fonseca ChaacutevezFECHA DE ENTREGA
19Septiembre08Trabajo No 2
Transformadas y Convolucioacuten
GRUPO 05
INDICE
1 Tablas de Transformadas en tiempo y frecuencia de Laplace Fourier y Z
2 Definicioacuten ecuacioacuten y ejemplos de Convolucioacuten
3 Descripcioacuten de que son como y para que se utilizan las siguientesrespuestas
Respuesta EscaloacutenRespuesta ImpulsoRespuesta en frecuencia
4 Meacutetodo para realizar la transformada inversa para Z Fourier yLaplace
5 Funcioacuten de Transferencia
CONVOLUCIOacuteN Y TRANSFORMADAS
1TABLA DE TRANSFORMADAS
Dominio t (Tiempo) Dominio s (Laplace) Dominio z
- Impulso 1 1
- Escaloacuten
donde
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
EJEMPLOSEjemplo 1 Obtener la transformada de Laplace de Sen at
Paso 1- resolviendo la integral por partes
Paso 2-
Paso 3-
Paso 4- Integrando por partes
Paso 5- u= Cos at du= -a Sen at dt
Paso 6-
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
INDICE
1 Tablas de Transformadas en tiempo y frecuencia de Laplace Fourier y Z
2 Definicioacuten ecuacioacuten y ejemplos de Convolucioacuten
3 Descripcioacuten de que son como y para que se utilizan las siguientesrespuestas
Respuesta EscaloacutenRespuesta ImpulsoRespuesta en frecuencia
4 Meacutetodo para realizar la transformada inversa para Z Fourier yLaplace
5 Funcioacuten de Transferencia
CONVOLUCIOacuteN Y TRANSFORMADAS
1TABLA DE TRANSFORMADAS
Dominio t (Tiempo) Dominio s (Laplace) Dominio z
- Impulso 1 1
- Escaloacuten
donde
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
EJEMPLOSEjemplo 1 Obtener la transformada de Laplace de Sen at
Paso 1- resolviendo la integral por partes
Paso 2-
Paso 3-
Paso 4- Integrando por partes
Paso 5- u= Cos at du= -a Sen at dt
Paso 6-
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
CONVOLUCIOacuteN Y TRANSFORMADAS
1TABLA DE TRANSFORMADAS
Dominio t (Tiempo) Dominio s (Laplace) Dominio z
- Impulso 1 1
- Escaloacuten
donde
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
EJEMPLOSEjemplo 1 Obtener la transformada de Laplace de Sen at
Paso 1- resolviendo la integral por partes
Paso 2-
Paso 3-
Paso 4- Integrando por partes
Paso 5- u= Cos at du= -a Sen at dt
Paso 6-
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
donde
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
EJEMPLOSEjemplo 1 Obtener la transformada de Laplace de Sen at
Paso 1- resolviendo la integral por partes
Paso 2-
Paso 3-
Paso 4- Integrando por partes
Paso 5- u= Cos at du= -a Sen at dt
Paso 6-
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE FOURIER
EJEMPLOSEjemplo 1 Obtener la transformada de Laplace de Sen at
Paso 1- resolviendo la integral por partes
Paso 2-
Paso 3-
Paso 4- Integrando por partes
Paso 5- u= Cos at du= -a Sen at dt
Paso 6-
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
EJEMPLOSEjemplo 1 Obtener la transformada de Laplace de Sen at
Paso 1- resolviendo la integral por partes
Paso 2-
Paso 3-
Paso 4- Integrando por partes
Paso 5- u= Cos at du= -a Sen at dt
Paso 6-
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Paso 7-
Paso 8-
Paso 9- Resultado
Ejemplo 2 Meacutetodo alternativo para obtener la transformada de Sen at y simultaacuteneamente latransformada de Cos at
Paso 1-
Paso 2- Sustituir Sen at por
Paso 3- L
Paso 4- Como en el ejemplo 1se obtuvo entonces en este
caso
Ejemplo 3Calcular la siguiente transformada de Fourier
SolucioacutenAplicamos la propiedad de diferenciacioacuten en la frecuencia
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Ejemplo 1
Halle X[Z] si X[n]=d [n]
Solucioacuten
Se define
por consiguiente
o sea
X[Z] = 1middotZ0 = 1Ejemplo 2
Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos
Hallar X[Z]
Solucioacuten
por consiguiente
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Sabiendo que
se tiene
Siacute el periodo de muestreo T = 1 se tiene
Ejemplo 3
Sea
Halle X[Z]
Solucioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
por tanto
como
es una serie geomeacutetrica la expresioacuten para X[Z] soacutelo es vaacutelida siacute
|13Z-1| lt 1
oacute sea que |Z-1| lt 3 y por tanto |Z| gt 13 La anterior ecuacioacuten define la regioacuten de convergencia de
X[Z] en el plano complejo asiacute
2
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
CONVOLUCIOacuteN
Definicioacuten [Convolucioacuten]
La funcioacuten donde es el conjunto de funciones
continuas en el intervalo dada por
se conoce como la convolucioacuten de y
La convolucioacuten tiene muchas de las propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria como veremos enel siguiente teorema
Teorema [Propiedades de la convolucioacuten]
Sean y funciones continuas en el intervalo entonces
1 (ley conmutativa)
2 (ley distributiva)
3 (ley asociativa)
4
Demostracioacuten
La demostracioacuten de estas propiedades es muy simple Haremos la primera de ellas y dejamoslas restantes al lector
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Observacioacuten sin embargo existen algunas propiedades de la multiplicacioacuten ordinaria que la
convolucioacuten no tiene Por ejemplo no es cierto en general que para ver esto noteque
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes tenemos que
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Ejemplo
Calcule la convolucioacuten de las funciones y
SolucioacutenUsando la definicioacuten e integracioacuten por partes
Observacioacuten para calcular la integral
del ejemplo anterior hemos usado la identidad
Otras identidades que pueden ser uacutetiles en el caacutelculo de integrales similares son
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia teoacuterica y praacutectica comoveremos
Teorema [Teorema de convolucioacuten]
Si y existen para entonces
Observacioacuten La forma inversa del teorema de convolucioacuten
es muy importante en la solucioacuten de ecuaciones diferenciales pues nos puede evitar el caacutelculode fraciones parciales complejas
EjemploCalcule
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten tenemos que
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Observacioacuten como ya hemos calculado podemos corroborar el resultado obtenidoanteriormente
como obtuvimos en el ejemplo anteriorLos siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucioacuten para elcaacutelculo de transformadas inversas
EjemploCalcule la siguiente transformada inversa
SolucioacutenUsando el teorema de convolucioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
3Respuesta a impulso
La respuesta a impulso de un sistema simple de audio Se muestra primero el impulso originalluego con las altas frecuencias reforzadas y por uacuteltimo con las bajas frecuencias reforzadas
En teacuterminos simples la respuesta a impulso o respuesta impulsiva de un sistema es la que sepresenta en la salida frente a una sentildeal muy breve o impulso en la entrada Mientras que unimpulso es un concepto difiacutecil de imaginar y es imposible en la realidad eacuteste representa el casoliacutemite de un pulso infiniacutetamente corto en el tiempo pero que mantiene su aacuterea o integral (por locual tiene un pico de amplitud infinitamente alto) Aunque es imposible en cualquier sistema reales un concepto uacutetil como idealizacioacuten
Bases matemaacuteticas
Matemaacuteticamente un impulso puede ser representado por una funcioacuten Delta de Dirac Supongamos que T es un sistema
discreto es decir que toma una entrada x[n] y produce una salida y[n]
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Por lo tanto T es un operador actuando sobre sucesiones (a traveacutes de los nuacutemeros enteros) produciendo nuevas
sucesiones Tener en cuenta que T no es el sistema sino una representacioacuten matemaacutetica del sistema T puede ser no lineal
por ejemplo
o lineal como
Supongamos que T es lineal Entonces
y
Supongamos tambieacuten que T es invariante en el entorno es decir que si entonces
En tal sistema cualquier salida puede calcularse en teacuterminos de la entrada y enuna sucesioacuten muy especial llamada respuesta a impulso queda caracterizado el sistema por completo Esto puede verse de la
siguiente manera Tomando la identidad
Y aplicando T en ambos lados
Por supuesto esto tiene sentido soacutelo si
Cae en el dominio de T Pero como T es lineal e invariante en el entorno podemos escribir
Y como la salida y[k] estaacute dada por
Podemos escribir
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Reemplazando
Obtenemos finalmente
La sucesioacuten es la respuesta a impulso del sistema representado por T Como se observa arriba es lasalida del sistema cuando su entrada es un delta de Dirac discreto Se obtienen resultados similares en sistemas de tiempo
continuo
Como ejemplo conceptual considere un globo dentro de un recinto ubicado en un punto p El globo explota y hace un sonido
similar a un pum Aquiacute el recinto es un sistema T que toma el sonido pum y lo dispersa a traveacutes de muacuteltiples reflexiones La
entrada δp[n] es el pum similar (debido en parte a su corta duracioacuten) a un delta de Dirac y la salida es la
sucesioacuten del sonido afectado por el sistema y depende de la ubicacioacuten (punto p) del globo Si conocemos paracada punto del recinto conocemos la respuesta a impulso por completo del saloacuten y es posible predecir la respuesta del mismo
a cualquier sonido producido en eacutel
RESPUESTA DE FRECUENCIA
La respuesta de frecuencia es una caracteriacutestica de un sistema que tiene una respuesta medidaque es el resultado de una entrada conocida aplicadaEn el caso de una estructura mecaacutenicalarespuesta de frecuencia es el espectrode la vibracioacuten de la estructuradividido entre el espectrode la fuerza de entrada al sistemaPara medir la respuesta de frecuencia de un sistemamecaacutenicohay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta devibracioacuten Esto se hace maacutes facilmente con un analizadorTRFLas mediciones de respuesta defrecuencia se usan mucho en el anaacutelisis modal de sistemas mecaacutenicosLa funcioacuten de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vsfase vs frecuenciaPor eso una graacutefica verdadera de ella necesita tres dimensiones lo que esdifiacutecil de representar en papelUna manera de realizaer esto es la llamada graacutefica de Bodequeconsiste en dos curvasuna de amplitud vs frecuenciay una de fase vs frecuenciaOtra manera dever la funcioacuten es de resolver la porcioacuten de fase en dos componentes ortogonalesuna parte enfase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase(llamada la parte imaginaria o partede la cuadradura)Aveces se hace una graacutefica de esas dos partes una contra la otray el resultadaes la graacutefica Nyquist
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Respuesta en Frecuencia en audio
En audio para que sea un equipo de calidad debe cubrir al menos el margen de las audiofrecuencias (20-20000 Hz)
Por el mismo motivo cuanto mayor sea la respuesta en frecuencia de un equipo maacutes calidad tendraacute el sonido final Asiacute a los
nuevos formatos de audio digital que sobrepasan sobradamente este margen (SACD 20-100 KHz y DVD-Audio 20-80 kHz)
se los cataloga como formatos HI-FI (High Fidelity) Alta Fidelidad
La respuesta en frecuencia de cualquier sistema deberiacutea ser plana lo que significa que el sistema trata igual a todo el sonido
entrante con lo que nos lo devuelve igual
No obstante en la praacutectica la respuesta en graves y agudos normalmente no es la misma Hecho que se nota maacutes en unos
equipos que en otros (En los altavoces por ejemplo esta diferencia entre la respuesta a graves o agudos es muy acusada
pudiendo estar por encima de los 10 dB de maacutes o de menos entre una y otra)
Un equipo con una respuesta inapropiada afectaraacute al sonido final
Si un equipo enfatiza los agudos el sonido resultante seraacute vibrante y chilloacuten mientras que si por el contrario pierde
agudos todo lo que reproduzca tendraacute un matiz oscuro
Si un equipo enfatiza los graves el sonido resultante resulta atronador mientras que si por el contrario pierde graves
todo lo que reproduzca tendraacute un matiz metaacutelico
Si se acentuacutean las frecuencias medias se produce un sonido nasal
En la mayoriacutea de equipos en las especificaciones teacutecnicas ademaacutes de indicar cuaacutel es la respuesta en frecuencia tiacutepica se
indica tambieacuten la variacioacuten en dB entre una y otra
Para ello lo habitual es eligir -como nivel de referencia para indicar la respuesta en frecuencia- 1 kHz y a esta frecuencia se
le da el valor de 0 dB Luego los fabricantes analizan todo el margen de frecuencias y establecen la diferencia en dBs entre
la frecuencia maacutes baja y la maacutes alta
Con esto en las especificaciones teacutecnicas nos dicen por ejemplo tal lector de CD tiene una respuesta en frecuencia de 20-20
kHz (+-5 dB)
Salvo en los transductores (microacutefonos altavoces etc) este margen para asegurarnos ldquocalidadrdquo debe ser
Inferior a +- 1 dB si hablamos de formatos digitales
Inferior a +- 3 dB si son equipos analoacutegicos
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Como mucho +- 6 dB si son micros o altavoces En la praacutectica los muchos transductores altavoces y microacutefonos (salvo
los maacutes ldquoprofesionalesrdquo) llegan a una variacioacuten de +- 10
Una mala respuesta en frecuencia no es lo peor que puede suceder lo peor es una respuesta desigual Es decir como
a ciertas frecuencias sube en otras baja por lo que el sonidoresultante sale distorsionado
4La transformada inversa de Laplace
Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacioacuten diferencial la convertimos en
una ecuacioacuten algebraica la cual podemos resolver para es
decir Ahora como si pudieacuteramos devolvernos
obtendriacuteamos la solucioacuten que buscamos Es decir necesitamos de la
transformada inversa para hallar la funcioacuten
Entonces definamos la transformada inversa Definicioacuten [Transformada inversa de Laplace]
Si es la transformada de Laplace de una funcioacuten continua es
decir entonces la transformada inversa de Laplace de
escrita es es decirEjemploCalcule
SolucioacutenPuesto que
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
tenemos que
Observacioacuten existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa
puede no ser uacutenica En efecto es posible que
siendo Para nuestro propoacutesito esto no es tan malo como parece
pues si y son continuas y de orden exponencial
en y entonces pero si y son
continuas y de orden exponencial en y entonces se
puede demostrar que las funciones y son casi iguales esto quiere decir quepueden diferir soacutelo en puntos de discontinuidad
Ejemplo
Calcule donde esta dada por
iquestQueacute se puede concluir
Solucioacuten
Usando la definicioacuten de transformada
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Pero anteriormente hemos comprobado que
con lo cual las funciones y tienen la misma transformada de este modola transformada inversa de
no es uacutenica
El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito
La Transformada Inversa de ZLa Transformada Z inversa La transformada Z en sistemas de control de tiempo discreto juega
el mismo papel que la transformada de Laplace en sistemas de control de tiempo continuo Para
que la transformada Z sea uacutetil se debe estar familiarizado con los meacutetodos para hallar la
transformada Z inversa
La notacioacuten para la transformada Z inversa seraacute Z-1 La transformada Z inversa de X[Z] da como
resultado la correspondiente secuencia X[n]
Existen cuatro meacutetodos para obtener la transformada Z inversa y seraacuten
1 Meacutetodo de la Divisioacuten Directa
2 Meacutetodo Computacional
3 Meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
4 Meacutetodo de la Integral de inversioacuten
El meacutetodo de la divisioacuten directa proviene del hecho de que si X[Z] estaacute expandida en una serie
de potencias de Z-1 esto es siacute
entonces X[n] es el coeficiente de Z-k y por consiguiente los valores de X[n] se pueden hallar
por inspeccioacuten para n= 0 1 2
Ejemplo 14
Halle X[n] para n = 0 1 2 3 4 cuando
Solucioacuten
Dividiendo el numerador por el denominador se obtiene
X[Z]=10Z-1+17Z-2+184Z-3+1868Z-4+
Al comparar esta expansioacuten X[Z] en una serie infinita
se obtiene X[0]=0 X[1]=10 X[2]=17 X[3]=184 x[4]=1868
En la mayoriacutea de los casos no resulta tan sencillo identificar el teacutermino general mediante la
observacioacuten de algunos valores de la secuencia
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
El meacutetodo mas utilizado es la descomposicioacuten en fracciones parciales de X[Z] En vista de la
unicidad de la transformada Z se puede utilizar la tabla de parejas de transformadas para
identificar las secuencias correspondientes
Ejemplo 15
Halle la transformada inversa de
mediante el meacutetodo de expansioacuten en fracciones parciales
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Usando una tabla de transformadas se tiene que
X[n]=9n2n-1-2n+3 para n = 0 1 2
Ejemplo 16
Halle la transformada inversa de
Solucioacuten
Expandiendo en fracciones parciales se tiene que
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Utilizando una tabla de transformadas y el teorema de desplazamineto temporal podemos ver que
X[n] = 2n-1U[n-1] - d[n-2] - d[n-1]
Por tanto
TRANSFORMADAS INVERSA DE FOURIERUna serie de Fourier puede usarse algunas veces para representar una funcioacuten dentro unintervalo Si una funcioacuten esta definida sobre toda la recta real puede ser representarse con unaserie Fourier si es perioacutedica Si no es perioacutedica entonces no puede representarse con una serieFourier para todo x Aun en este caso es posible representar la funcion en terminos de senos ycosenos pero la serie de Fourier se convierte en una integral de Fourier La motivacioacuten provienede considerar formalmente las series de Fourier como funciones con periacuteodo 2T y hacertender T al infinitoSuponiendo
y
Tomando
y reemplanzando la foacutermula de la integral por los coeficientes de Fourier
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
La sumatoria se asemeja a una suma de Riemann de una integral definida y en elliacutemite ( ) tendriacuteamos
Este razonamiento informal suguiere la siguiente definicioacuten Definicioacuten 6 (Transformadas deFourier)
Una funcioacuten se denomina la transformada de Fourier de f(x) si
(10)
existe
(11)
se denomina la transformada inversa de Fourier de La transformada de Fourier de f es
por lo tanto una funcioacuten de una nueva variable Esta funcioacuten evaluada en
es Nota 5
Las constantes 1 y que preceden la integral en (10) y (11) pueden ser reemplazadas con
cualquieras dos constantes cuyo producto sea Ejemplo 7La transformada de Fourier de f definida como
es
La transformada inversa de Fourier se calcula asiacute
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
5Funcioacuten de transferenciaUna funcioacuten de transferencia es un modelo matemaacutetico que entrega la respuesta de un sistema a una sentildeal de entrada o
excitacioacuten exterior
Uno de los primeros matemaacuteticos en describir estos modelos fue Laplace a traveacutes de su transformacioacuten matemaacutetica
Por definicioacuten una funcioacuten de transferencia se puede determinar seguacuten la expresioacuten
donde H (s) es la funcioacuten de transferencia (tambieacuten notada como G (s) ) Y (s) es la transformada de Laplace de la
respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la sentildeal de entrada
La funcioacuten de transferencia tambieacuten puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a
un impulso como sentildeal de entrada
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como funcioacuten del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s)
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Cualquier sistema fiacutesico (mecaacutenico eleacutectrico etc) se puede traducir a una serie de valores matemaacuteticos a traveacutes de los cuales
se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos
Por ejemplo en anaacutelisis de circuitos eleacutectricos la funcioacuten de transferencia se representa como
Una funcioacuten de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuestay un fasor de excitacioacuten que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una
impedancia
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones La primera dimension esde y la segunda de Hay tambieacuten funciones de transferencia adimensionalesfuncioacuten de transferencia de voltaje (V2V1) de corriente (I2I1)
Funciones de entrada Funciones de transferencia
impedancia deentrada
admitancia deentrada
impedancia detransferencia transferencia de voltaje transferencia de
corriente
3 Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
Si tenemos el siguiente circuito
Si calculamos la funcioacuten de transferencia de voltaje
Esto representado queda
Se ve coacutemo la funcioacuten de transferencia es praacutecticamente 1 (v2 = v1) a frecuenciaspequentildeas y praacutecticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas Esto hace que lo quetengamos sea un filtro paso bajo
Viendo la graacutefica de la fase se ve coacutemo v2 estaraacute atrasada siempre respecto a v1desde 0ordm a 90ordm de atraso Es por tanto una red de atraso
Frecuencia a 3dB es aquella a la que una magnitud disminuye en 0707 (es decirse divide entre ) A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
En la expresioacuten
4 Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito
La funcioacuten de transferencia es
Representando la funcioacuten obtenemos que queda de la siguiente forma
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten
El moacutedulo del fasor v2 aumenta con la pulsacioacuten y es nulo a =0 esto quiere decirque deja pasar las altas frecuencias Es un filtro paso alto
En la graacutefica de fase se ve que variacutea de 90ordm (a =0) hasta 0ordm a altas frecuenciarv2 estaraacute adelantado a v1 tenemos una red de adelanto (en realidad esto es soacutelo enapariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270ordm y -360ordm)
BIBLIOGRAFIAKREYSZIG Matemaacuteticas avanzadas para ingenieriacutea Vol II Limusa
S SOLIMAN M SRINATH Sentildeales y sistemas continuos y discretos Prentice-Hall
A OPPENHEIM A WILLSKY Sentildeales y sistemas Pearson Educacioacuten