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Universitat Bielefeld
AngewandteInformatik
“Komplizierte Probleme” der Informatik
Marc Hanheide
Juli 2003
KomplexitätsklassenLösungstrategien
TSPZusammenfassung
Randomisierte Algorithmen
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AngewandteInformatik Problemklassen
• EXPTIME: exponentiell• NP: nichtdeterministisch polynomial
(Rucksackproblem, Traveling Salesman Problem,Erfüllbarkeit)
• P: determinitisch polynomial ( Sortieren, usw. )
• Für Probleme in EXPTIME besteht keine Hoffnung auf effiziente Algorithmen
• Probleme aus NP können in polynomialer Zeit mit einem nichtdeterministischenAlgorithmus gelöst werden.
• Für kein NP-hartes Problem konnte bisher ein deterministischer polynomialerAlgorithmus gefunden werden
• Große Frage der theoretischen Informatik: NP = P ? (1 Mio $ von ClayMathematics Institute)
“Komplizierte Probleme” ∧ ∨ > � � 1
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AngewandteInformatik Ein Beispiel: Weltreiseproblem (TSP)
Aufgabe: Plündere alle 193 Staatender Erde auf der kürzesten Strecke!
kürzester Weg über alle Knoten eines Graphen mit gewichteten Kanten
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 2
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AngewandteInformatik Ein Beispiel: Weltreiseproblem (TSP)
Aufgabe: Plündere alle 193 Staatender Erde auf der kürzesten Strecke!
kürzester Weg über alle Knoten eines Graphen mit gewichteten Kanten
• Weltreise durch alle 193 Länder⇒ 192!= 3.549967931·10356 mögliche Routen
• Universum hat 6·1077 Atome und ist erst 12,5·109 Jahre alt
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 2
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AngewandteInformatik Ein Beispiel: Weltreiseproblem (TSP)
Aufgabe: Plündere alle 193 Staatender Erde auf der kürzesten Strecke!
kürzester Weg über alle Knoten eines Graphen mit gewichteten Kanten
• Weltreise durch alle 193 Länder⇒ 192!= 3.549967931·10356 mögliche Routen
• Universum hat 6·1077 Atome und ist erst 12,5·109 Jahre alt
• exakte Lösung so nicht berechenbar ( O((n−1)!/2))
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 2
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AngewandteInformatik Ein Beispiel: Weltreiseproblem (TSP)
Aufgabe: Plündere alle 193 Staatender Erde auf der kürzesten Strecke!
kürzester Weg über alle Knoten eines Graphen mit gewichteten Kanten
• Weltreise durch alle 193 Länder⇒ 192!= 3.549967931·10356 mögliche Routen
• Universum hat 6·1077 Atome und ist erst 12,5·109 Jahre alt
• exakte Lösung so nicht berechenbar ( O((n−1)!/2)) Was tun?
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 2
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AngewandteInformatik Lösungsansätze NP-harter Probleme
Subklassenidentifikation Viele auftretende Probleme sind in der realen Anwendungan Vorbedingungen geknüpft, die das Problem zum Teil erheblich vereinfachen.
Randomisierung Vermeidung „ungeschickter” Ausgangskonfigurationen durchZufallsverteilung, verbessert nicht die worst-case-Komplexität, aber den average-case. → Mathias Katzer
Approximation Durch effizientere Verfahren eine Lösung ermitteln, die nur um einenbestimmten Fehler von der optimalen Lösung abweicht
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AngewandteInformatik Lösungsansätze NP-harter Probleme
Subklassenidentifikation Viele auftretende Probleme sind in der realen Anwendungan Vorbedingungen geknüpft, die das Problem zum Teil erheblich vereinfachen.
Randomisierung Vermeidung „ungeschickter” Ausgangskonfigurationen durchZufallsverteilung, verbessert nicht die worst-case-Komplexität, aber den average-case. → Mathias Katzer
Approximation Durch effizientere Verfahren eine Lösung ermitteln, die nur um einenbestimmten Fehler von der optimalen Lösung abweicht
Ein Standardapproximationsverfahren ist die Klasse der „greedy” (gierigen)Algorithmen:
• ermittelt immer die lokale beste Lösung, u. U. auf Kosten eines schlechterenGesamtergebnisses (daher gierig)
• vorwiegend für Optimierungsaufgaben (Minimum, Maximum eingesetzt)• lokale Optimierung führt (hoffentlich) zu guter globaler Approximation
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 4
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems I
Berechne Minimal-spanning-Tree [Prim, 1957]. . .
• Wähle eine Startknoten
• Wähle kürzeste verfügbare Kante, dienicht behandelte, erreichbare Knotenmit bereits verarbeiteten verbindet
• Füge nächsten Knoten demLösungsgraphen hinzu
• Ende, wenn alle Knoten bearbeitet
• Laufzeit: O(n2)
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems II
. . . und traversiere den Baum
d
c
a
f
eb
a• Traversiere depth-first ausgehend
vom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems II
. . . und traversiere den Baum
d
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c
• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems II
. . . und traversiere den Baum
d
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eb
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c
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f
eb
a
c
d
• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 5
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AngewandteInformatik Approximation des TSP-Problems II
. . . und traversiere den Baum
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• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f
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. . . und traversiere den Baum
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f
b
• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f ,b
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• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f ,b,e
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• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f ,b,e,a)
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• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f ,b,e,a)
• Laufzeit: O(n)
• Qualität der Approximation:
l(Rmst)≤ 2l(Ropt)
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DEMO
• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f ,b,e,a)
• Laufzeit: O(n)
• Qualität der Approximation:
l(Rmst)≤ 2l(Ropt)
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DEMO
• Traversiere depth-first ausgehendvom Startpunkt
• Überspringe bereits besuchte Knoten
• Lösung: Rmst = (a,c,d, f ,b,e,a)
• Laufzeit: O(n)
• Qualität der Approximation:
l(Rmst)≤ 2l(Ropt)
• Jan Schäfer: genetischer Algorithmus
& DEMO
“Komplizierte Probleme” � ≺ < ∧ ∨ > � � 5
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Universitat Bielefeld
AngewandteInformatik TSP-Anwendungen
• Schweißroboter: Trajektorienplanung
• Process-Scheduling
• Platinenlayout
• Flugrouten
• Navigationssysteme
• Basis für viele andere geometrische Algorithmen
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Universitat Bielefeld
AngewandteInformatik TSP-Anwendungen
• Schweißroboter: Trajektorienplanung
• Process-Scheduling
• Platinenlayout
• Flugrouten
• Navigationssysteme
• Basis für viele andere geometrische Algorithmen
• und natürlich: Raubzüge
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Universitat Bielefeld
AngewandteInformatik Take-Home-Messages
• Beweist NP= P oder NP 6= P und Ihr seid reich
• Findet gute Approximationsalgorithmen für NP-harte Probleme
• Vermeidet NP-harte Probleme
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Universitat Bielefeld
AngewandteInformatik Take-Home-Messages
• Beweist NP= P oder NP 6= P und Ihr seid reich
• Findet gute Approximationsalgorithmen für NP-harte Probleme
• Vermeidet NP-harte Probleme
und nun Mathias Katzer: Randomisierte Algorithmen
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