“spinta delle terre e muri di sostegno”geotecnica.dicea.unifi.it/less_spi_es10.pdf“spinta...

“SPINTA DELLE TERRE E MURI DI

SOSTEGNO” Esercizi svolti

UNIVERSITA’

DEGLI STUDI DI FIRENZEDipartimento di Ingegneria Civile e AmbientaleSezione geotecnica (www.dicea.unifi.it/geotecnica)

Johann [email protected]

http://www.dicea.unifi.it/~johannf/

Corso di GeotecnicaIngegneria Edile, A.A. 2010\2011

UNIVERSITA’

DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILESezione geotecnica

Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––

GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011 22/80/80

SPINTA ATTIVA E PASSIVA

Spinta attiva e passiva

Esercizio

1

Si

consideri

una

parete

rigida

verticale

e

liscia,

di

altezza

H

=

5

m,

che

sostiene un

terrapieno,

omogeneo

e

con

piano

di

campagna

orizzontale,

costituito

da

sabbia

con

peso

di

volume

saturo,

γsat

,

di

20

kN/m3

e

angolo

di

resistenza

al taglio, ϕ’, pari a 30°. Il livello di falda è al piano di campagna e si assuma γw

= 10 kN/m3.

Si determini, trascurando eventuali moti di filtrazione:a)

l’andamento

delle

pressioni

limite

attive

σ’hA

lungo

il

parametro

interno della parete;

b) la forza risultante STOT

che il terrapieno esercita sulla parete, e la distanza dS

del punto di applicazione dalla base della parete.

UNIVERSITA’


33/80/80



Dati:

Angolo di resistenza al taglio (ϕ’)

= 30°Sabbia (c’) = 0 kPa

Altezza della parete (H)

= 5 mInclinazione della parete rispetto alla verticale (λ)

= 0°

Parete liscia angolo d’attrito (δ) = 0°Terrapieno orizzontale angolo d’inclinazione rispetto all’orizzontale (β) = 0°

Peso di volume saturo della sabbia (γsat

)

= 20 kN/m3

Peso specifico dell’acqua (γw

)

= 10 kN/m3

HProfondità

della falda (zw

)

= 0 m


GeotecnicaGeotecnicaCorso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011Corso di Laurea in Ingegneria Edile A.A. 2010/2011

UNIVERSITA’


44/80/80


Svolgimento:

H

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

AvoAhA ʹKʹ σ⋅=σIn particolare, all’interno del deposito omogeneo, risulta:

KA

= tan2(45°‐30°/2) = 0.33

σ’v0

(H) = σv

(H) –

u(H)

= γsat

∙H ‐

γw

∙H = (100‐50) kPa

= 50 kPaz

z = 0

a)

Si

determini,

trascurando

eventuali

moti

di

filtrazione

l’andamento

delle pressioni limite attive σ’hA

lungo il parametro interno della parete;Considerata

l’ipotesi

di

parete

liscia,

può

essere

applicata

la

teoria

di

Rankine

per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti sul parametro interno della parete, secondo cui:

Si

calcola

la

distribuzione

delle

tensioni

efficaci verticali

lungo

il

parametro

interno

della

parete,

individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed

alla

posizione

della

falda)

l’andamento

(sempre

lineare) può cambiare pendenza.

dove la pressione interstiziale alla base del muro è stata calcolata nell’ipotesi di assenza di filtrazione (pressione idrostatica)

con:

σ’v0

(0) = σv

(0) – u(0) = 0 kPa

σ’v0

σ’v0

(H)



UNIVERSITA’


55/80/80


Svolgimento:

H

σ’hA

(H) = KA

∙σ’v0

(H) = 0.33∙50 kPa

= 16.7 kPa

z

z = 0

σ’hA

(H) u(H)STOT

= S’A

+ SW

A

B C D

S’A

= ½

∙σ’hA

(H)∙H = ½

∙16.7 kN/m2∙5m

= 41.7 kN/m

S’W

= ½

∙u(A)∙H = ½

∙50 kN/m2∙5m

= 125 kN/m

Si calcolano le pressioni limite attive

nei medesimi punti:

b)

Si

determini

la

forza

risultante

STOT

che

il terrapieno

esercita

sulla

parete,

e

la

distanza

zS

del punto di applicazione dalla base della parete.

La

spinta

totale

(per

unità

di

lunghezza

della parete) esercitata dal terreno sulla parete (STOT

) è la somma del contributo del terreno (spinta attiva, S’A

) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW

):

dove

la

spinta

attiva

è l’area

della

distribuzione

delle

pressioni

limite

attiva (triangolo ABC):

e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni

interstiziali (triangolo ABD):

σ’hA

(0) = KA

∙σ’v0

(0) = 0 kPa

e

si

determina

l’andamento

tra

i

punti

considerati, che sarà

sempre lineare.

σ’hA

,u



UNIVERSITA’


66/80/80


Svolgimento:

H

La spinta totale vale dunque:

z

z = 0

σ’hA

(H) u(H)dS

= 1/3 H

= 1.7 m

A

B C D

STOT

= S’A

+ SW

= (125 + 41.7)kN/m

= 166.7 kN/m

S’A SW

Le

due

spinte

sono

applicate

in

corrispondenza

del baricentro

delle

relative

distribuzioni,

che

per

entrambe

è

situato

a

1/3

dell’altezza

della

parete dalla

base

del

muro

e

quindi

anche

la

loro

risultante ha punto di applicazione a distanza dalla base del muro:

σ’hA

,u

dS

N.B.

Si

osservi

come

la

spinta

dell’acqua

sia

preponderante

rispetto

a

quella del terreno



UNIVERSITA’


77/80/80



Esercizio

2

H = 4m2

Sabbia:

= 19 kN/m’ = 25°

γϕ

s a t

3H = 2m1

Sabbia:

= 20 kN/m’ = 30°

γϕ

s a t

3

q = 20 kPas

Con riferimento alla situazione riportata in Figura ed assumendo

γw

= 10 kN/m3, si determinino, nell’ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno:

‐

la spinta totale agente a monte, S1

, e a valle della parete, S2

;‐

il momento risultante di tali spinte, M1

e M2

, e le distanze, d1

e d2

dei rispettivi punti di applicazione dalla base della parete.



UNIVERSITA’


88/80/80


Dati:

Sabbia (c’) = 0 kPa

Profondità

dello strato (H1

)

= 2 m

Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ)

= 0°

Parete liscia angolo d’attrito (δ) = 0°Terrapieno orizzontale angolo d’inclinazione rispetto all’orizzontale (β) = 0°

Peso di volume saturo (γsat1

)

= 19 kN/m3


)

= 10 kN/m3

Profondità

della falda (zw

)

= 2 mH1

H2

q

Angolo di resistenza al taglio (ϕ’1

)

= 25°

Strato 1Profondità

dello strato (H2

)

= 4 m

Peso di volume saturo (γsat2

)

= 20 kN/m3

Angolo di resistenza al taglio (ϕ’2

)

= 30°

Strato 2

Sovraccarico (q)

= 20 kPa



UNIVERSITA’


99/80/80


Svolgimento:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

AvoAhA ʹKʹ σ⋅=σ

In particolare risulta:KA1

= tan2(45°‐25°/2) = 0.41

Considerata l’ipotesi di parete liscia, può essere applicata la teoria di Rankine per

il

calcolo

della

distribuzione

delle

pressioni

limite

attive

agenti

sulla

parete,

a

monte

(strato

1

e

2),

e

la

distribuzione

delle

pressioni

limite

passive agenti a valle (strato 2):

H1

H2

q

MonteValle

KP2

= tan2(45°+30°/2)= 1/KA2

= 3

voPhP ʹKʹ σ⋅=σ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+π

=φ−φ+

=2ʹ

4tan

ʹsen1ʹsen1K 2

P

OSS.

La

parete

è

progettata

per sostenere

le

pareti

laterali

di

uno

scavo

o un terrapieno e, considerati i possibili movimenti

della

parete

(spostamenti

o

rotazioni

verso

valle)

raggiungerà

la condizione

di

equilibrio

limite

per

spinta attiva a monte e passiva a valle

KA2

= tan2(45°‐30°/2) = 0.33

con:

con:

a) Si determinino, nell’ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno la spinta totale agente a monte, S1

, e a valle della parete, S2

;

UNIVERSITA’


1010/80/80


Svolgimento:

σ’v0

(A) = σv

(A) – u(A) = 0 kPa

Si

calcola

la

distribuzione

delle

tensioni

efficaci

verticali

a

monte

della

parete (prescindendo per il momento dal sovraccarico), individuando i punti in cui (in base alla stratigrafia ed alla posizione della falda) l’andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (A, B e C):

dove la pressione interstiziale alla base del muro è

stata

calcolata

considerando

che

non

vi

è

filtrazione (pressione idrostatica).

H1

H2

MonteValleA

B

Cz

σ’v0

(B) = σv

(B) – u(B) = γsat1

∙H1

= 19∙2 kPa = 38 kPaσ’v0

(C) = σv

(C) – u(C) = γsat1

∙H1

+ γsat2

∙H2

‐

γw

∙H2

= (19∙2+

20∙4 ‐

10∙4)kPa

= 78 kPa

σ’hA

(A) = KA1

∙σ’v0

(A) = 0 kPa

Quindi

si

calcolano

le

pressioni

limite

attive

nei medesimi

punti

e

si

disegna

il

corrispondente

andamento (lineare):

σ’hA

(B‐) = KA1

∙σ’v0

(B) = 0.41∙38 kPa

= 15.6 kPaσ’hA

(B+) = KA2

∙σ’v0

(B) = 0.33∙38 kPa

= 12.5 kPaσ’hA

(C) = KA2

∙σ’v0

(C) = 0.33∙78 kPa

= 25.7 kPa

σ’hA



UNIVERSITA’


1111/80/80


Svolgimento:

σ’v

(E) = σv

(E) – u(E) = 0 kPa

Si

calcola

la

distribuzione

delle

tensioni

efficaci

verticali

a

valle

della

parete, individuando

i

punti

in

cui

(in

base

alla

stratigrafia

ed

alla

posizione

della

falda) l’andamento (sempre lineare) può cambiare pendenza (D e E):

dove la pressione interstiziale alla base del muro è

stata calcolata

considerando

che

non

vi

è

filtrazione

(pressione idrostatica). H1

H2

MonteValleA

B

Cz

σ’hP

(E) = KP2

∙σ’v0

(E) = 0 kPa

Quindi

si

calcolano

le

pressioni limite passive nei medesimi punti e si

disegna

il

corrispondente

andamento (lineare):

σ’hP

(D) = KP2

∙σ’v0

(D) = 3∙40 kPa

= 120 kPa

σ’hA

D

E

σ’v

(D) = σv

(D) – u(D) = γsat2

∙H2

‐

γw

∙H2

= (20∙4 ‐

10∙4)kPa= 40 kPa

σ’hP

La

pressione

limite

attiva

agente

a

monte

della

parete

dovuta

al

sovraccarico

è costante con la profondità

in ciascuno strato e vale:

σ’hA,q1

= KA1

∙q = 0.41∙20 = 8.2 kPaσ’hA,q2

= KA2

∙q = 0.33∙20 = 6.6 kPa



UNIVERSITA’



Svolgimento:

H1

H2

σ’hA

,

S1

= S’A

+ Sq

+ SW1

S’A

= A1

+ A2

+ A3

La

spinta

totale

(per

unità

di

lunghezza

della

parete)

esercitata

dal

terreno

a monte

sulla

parete

(S1

)

è la

somma

del

contributo

del

terreno

(spinta

attiva, S’A

), del sovraccarico (Sq

) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW1

):

dove la spinta attiva è l’area della distribuzione delle pressioni limite attive:

F

H

A1

A2

A3

B

CD

E

u

1212/80/80

A6

A1

= ½σ’hA

(B‐)∙H1

= ½

15.6 ∙2

= 15.6 kN/mA2

= σ’hA

(B+)∙H2

= 12.5∙4 = 50 kN/mA3

= ½ [σ’hA

(C) ‐

σ’hA

(B+)]∙H2

= 26.4 kN/mS’A

= A1

+ A2

+ A3

= 92 kN/m

A5

A4e la spinta attiva dovuta al sovraccarico vale:

S’q

= A4

+ A5A4

= σ’hA,q1

∙H1

= 8.2 ∙2 = 16.4 kN/mA5

= σ’hA,q2

∙H2

= 6.6∙4 = 26.4 kN/m

S’q

= A4

+ A5

= 42.8 kN/m



UNIVERSITA’



Svolgimento:

H1

H2

σ’hA

,

σ’hP

S2

= S’P

+ SW2

S’P

= A7

= ½ σ’hP

(D)∙H2

=

½

120 ∙4

= 240 kN/m

La

spinta

totale

(per

unità

di

lunghezza

della

parete)

esercitata

dal

terreno

a valle

sulla

parete

(S2

)

è la

somma

del

contributo

del

terreno

(spinta

passiva, S’P

) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW2

):

dove

la

spinta

passiva

è l’area

della

distribuzione

delle

pressioni

limite passive:

e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni interstiziali: F

H

A1

A2

A3

B

CD

E

A7

u

1313/80/80

A6

SW2

= A8

= SW1

= 80 kN/m

La spinta totale vale dunque:S2

= S’P

+ SW2

= (240 + 80)kN/m= 320 kN/m A8

La spinta totale vale dunque:S1

= S’A

+ S’q

+ SW1

= (92 + 42.8+ 80)kN/m

= 214.8 kN/m

e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni interstiziali:SW1

= A6

= ½

∙u(C)∙H2

= ½

∙40∙4 = 80 kN/m

A5

A4

S2

S1



UNIVERSITA’



Svolgimento:

H1

H2

σ’hA

,

σ’hP

dA1

= H2

+ H1

/3 = 4+2/3

= 4.67 m

Si

determinano

i

baricentri

delle

aree

che

compongono

le

spinte

e

quindi

i bracci delle relative risultanti rispetto al piede della parete (D):

F

H

A1

A2

A3

B

CD

E

A7

u

1414/80/80

A6d1

= M1

/S1

= 449.2/214.8 = 2.09 m

Il momento risultante delle azioni che agiscono a monte

della parete è

dunque:

A8

dA2

= dA5

= H2

/2 = 4/2 = 2 mdA3

= dA6

= dA7

= dA8

= H2

/3 = 4/3 = 1.33 m

M1

= A1

∙dA1

+A2

∙dA2

+A3

∙dA3

+A4

∙dA4

+A5

∙dA5

+A6

∙dA6

== 15.6 ∙4.67+50∙2+26.4∙1.33

+16.4∙5+26.4∙2+80∙1.33

= 449.2 kN

e a valle:M2

= A7

∙dA7

+A8

∙dA8

= 240 ∙1.33 + 80∙1.33 = 425.6 kNe

i

punti

di

applicazione

delle

risultanti

hanno

distanza

dal piede della parete:

d2

= M2

/S2

= 425.6/320 = 1.33 mA5

A4

dA4

= H2

+ H1

/2 = 4+2/2

= 5 m

S2

S1

d1d2

b)

Si

determinino,

nell’ipotesi

di

assenza

di

attrito

tra

parete

e

terreno,

il momento

risultante

di

tali

spinte,

M1

e

M2

,

e

le

distanze,

d1

e

d2

dei

rispettivi punti di applicazione dalla base della parete.



UNIVERSITA’




Esercizio

3

H

1515/80/80


= 6 m


= 0°Parete liscia angolo d’attrito (δ) = 0°Terrapieno orizzontale angolo d’inclinazione rispetto all’orizzontale (β) = 0°

Dati:

Coesione (c’)

= 10 kPaCoesione non drenata (cu

)

= 50 kPaAngolo di resistenza al taglio (ϕ’)

= 26°

Peso di volume (γ)

= 19 kN/m3


)

= 10 kN/m3

Un muro a parametro interno verticale di altezza H = 6 m, sostiene uno strato di argilla con le seguenti caratteristiche geotecniche: γ = 19 kN/m3

, cu

= 50 kPa, ϕ’ = 26°

e

c’

=

10

kPa.

Il

livello

di

falda

è al

piano

di

campagna.

Si

determini,

nell’ipotesi

di

assenza

di

attrito

tra

terreno

e

muro,

il

diagramma

della

spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, Sb.t.

e a lungo termine, Sl.t.

( assumendo γw

= 10 kN/m3).



UNIVERSITA’


1616/80/80


Svolgimento:

H

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

AAvoAhA Kʹc2ʹKʹ ⋅−σ⋅=σ

In particolare, all’interno del deposito omogeneo, risulta:

KA

= tan2(45°‐26°/2) = 0.39

z

z = 0

Considerata

l’ipotesi

di

parete

liscia,

può

essere

applicata

la

teoria

di Rankine

per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti

sul parametro interno della parete, nel caso di terreno coesivo,

secondo cui:

con:σv0

σv0

(H)

a lungo termine:

a breve termine:

uvohA c2−σ=σ

Si

calcola

la

distribuzione

delle

tensioni

totali verticali

lungo il parametro interno della parete:

σv0

(H) = γ∙H = (19∙6)

kPa

= 114 kPaσv0

(0) = 0 kPa

Si

determini,

nell’ipotesi

di

assenza

di

attrito

tra

terreno

e

muro,

il

diagramma della

spinta

attiva,

e

la

relativa

risultante,

a

breve,

Sb.t.

e

a

lungo

termine,

Sl.t.

( assumendo γw

= 10 kN/m3).



UNIVERSITA’


1717/80/80


Svolgimento:

H

z

z = 0 σv0

, σ’v0

, uSi

calcola

la

distribuzione

delle

tensioni

efficaci

verticali

lungo

il

parametro interno della parete:

σ’v0

(H) = σv

(H) –

u(H)

= γ∙H ‐

γw

∙H = (114‐60) kPa

= 54 kPadove

la

pressione

interstiziale

alla

base

del

muro

è

stata

calcolata

nell’ipotesi

di

assenza

di filtrazione (pressione idrostatica).

σ’v0

(0) = σv

(0) – u(0) = 0 kPa

Si

calcola

la

distribuzione

delle

pressioni

interstiziali

lungo

il

parametro interno della parete:

u(H) = γw

∙H = (6∙10) kPa

= 60 kPau(0) = 0 kPa



UNIVERSITA’


1818/80/80


Svolgimento:

z

z = 0

σ’hA

(H) u(H)

A

BC D

Si calcola l’andamento le pressioni limite attive efficaci (a lungo termine):σ’hA

(0) = KA

∙σ’v0

(0)‐2c’√KA

= ‐2∙10∙√0.39 = ‐12.5 kPa

σ’hA

, uσ’hA

(H) = KA

∙σ’v0

(H)‐2c’√KA

= 0.39∙54 ‐2∙10∙√0.39 = 8.6 kPae la profondità

critica in cui tali pressioni si annullano (O):

Ac Kʹ

ʹc2z⋅γ

⋅= = 2∙10/(9∙√0.39) = 3.56 m ‐

H

+

Sl.t.

= S’A

+ SW

S’A

= ½

∙σ’hA

(H)∙(H‐zc

) = ½

∙8.6∙kN/m2

(6 ‐

3.56)m

= 10.5 kN/m

La

spinta

totale

(per

unità

di

lunghezza

della

parete) esercitata

dal

terreno

sulla

parete

(Sl.t.

)

a

lungo termine è la somma del contributo del terreno (spinta attiva, S’A

) e dell’acqua (spinta idrostatica, SW

):

dove

la

spinta

attiva

è l’area

della

distribuzione

delle pressioni

limite

attiva,

calcolata

assumendo

tali

pressione

nulle

al

di

sopra

della

profondità

critica (triangolo OBC):

O

zc



UNIVERSITA’


1919/80/80


Svolgimento:

SW

= ½

∙u(A)∙H = ½

∙60 kN/m2∙6m

= 180 kN/m

e la spinta idrostatica è l’area della distribuzione delle pressioni

interstiziali (triangolo ABD):

La spinta totale a lungo termine

vale dunque:Sl.t.

= S’A

+ SW

= (10.5 + 180)kN/m

= 190.5 kN/mOSS.

In

questo

caso

non

si

considera,

data

la

posizione

della

falda,

il

contributo dell’acqua di infiltrazione al di sopra della profondità

critica.Si calcola l’andamento le pressioni limite attive totali (a breve termine):σhA

(0) = σv0

(0) ‐

2cu

= ‐2∙50 = ‐100 kPa

e

la

profondità

critica

in

cui

tali

pressioni

si annullano (O):

γ⋅

= uc

c2z

σhA

(H) = σv0

(H) ‐

2cu

= 114 ‐

2∙50 = 14 kPa

z

z = 0A

B C

σhA

‐

H

+

O

zc

= 2∙50/19 = 5.26 mSl.t.

S’a

Sw



UNIVERSITA’


2020/80/80


Svolgimento:

Sb.t.

= SA

= ½

∙σhA

(H)∙(H‐zc

) = ½

∙14∙kN/m2

(6 –

5.26)m

= 5.2 kN/m

La

spinta

totale

(per

unità

di

lunghezza

della

parete)

esercitata

dal

terreno sulla

parete

(Sb.t.

)

a

breve

termine

è

data

dalla

somma

delle

pressioni

limite attive

totali,

calcolata

assumendo

tali

pressione

nulle

al

di

sopra

della

profondità

critica (triangolo OBC)::

OSS.

In

questo

caso

nel

calcolo

della

spinta

totale non

si

considera

il contributo dell’acqua di falda, né, data la posizione della falda, il contributo dell’acqua di infiltrazione al di sopra della profondità

critica.

z

z = 0

σhA

(H)

A

BC

σhA

‐

H

+

O

zc

Sb.t.



UNIVERSITA’




Esercizio

4

H

2121/80/80


= 6 m


= 0°Angolo d’attrito terreno‐parete

(δ = ϕ’)

= 30°

Angolo d’inclinazione del terrapieno rispetto all’orizzontale

(β)

= 0°

Dati:


= 30°Peso di volume (γ)

= 18 kN/m3

Profondità

della falda (zw

)

>> H

a) in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine);b) considerando un angolo di attrito terreno‐muro δ = ϕ’

nell’ipotesi di superficie

di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac);c)

ipotizzando

anche

che

il

piano

di

campagna

sia

inclinato,

rispetto

all’orizzontale, di un angolo β = 30°.

Sabbia (c’) = 0 kPa

β

SAδ

Un muro in cemento armato di altezza H = 6 m, sostiene un terrapieno di sabbia asciutta, avente γ = 18 kN/m3

e ϕ’ = 30°. Calcolare la spinta attiva, SA, agente sul muro:



UNIVERSITA’


2222/80/80


Svolgimento:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−π

=φ+φ−

=2'

4tan

'sen1'sen1K 2

AvoAhA ʹKʹ σ⋅=σ

In particolare, all’interno del deposito omogeneo, risulta:KA

= tan2(45°‐30°/2) = 0.33

Considerata

l’ipotesi

di

parete

liscia,

può

essere

applicata

la

teoria

di Rankine

per il calcolo della distribuzione delle pressioni limite attive agenti

sul parametro interno della parete, secondo cui:

con:

Si

calcola

la

distribuzione

delle

tensioni

efficaci verticali

lungo il parametro interno della parete:

σ’v0

(H) =

σv

(H) = γ∙H = (18∙6)

kPa

= 108 kPa

σ’v0

(0)

=

σv

(0) = 0 kPa

a)

Calcolare

la

spinta

attiva,

SA

, agente

sul

muro:

in

assenza

di

attrito

tra terreno e muro (col metodo di Rankine) e terrapieno orizzontale

H

z

z = 0A σ’v0

σ’v0

(H)Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


2323/80/80


Svolgimento:Si

calcola

la

distribuzione

delle

pressioni

limite

attive

lungo

il

parametro

interno della parete:

H

z

z = 0A σ’hA

σ’hA

(H) = KA

∙σ’v0

(H) = 0.33∙108 kPa

= 35.6 kPaσ’hA

(0) = KA

∙σ’v0

(0) = 0 kPa

SA(R)

= ½

∙σ’hA

(H)∙H = ½

∙35.6 kN/m2∙6m

= 106.9 kN/m

La

spinta

attiva

(per

unità

di

lunghezza

della

parete)

esercitata

dal

terreno sulla

parete

(SA

)

è

data

dall’area

della

distribuzione

delle

pressioni

limite attiva (triangolo ABC):

B C

e

coincide

con

la

spinta

totale

(non

essendo presente la falda):

STOT

= SA

= 106.9 kN/mN.B. La spinta, in questo caso, è

orizzontale e

applicata

lungo

la

parete

ad

una

distanza dalla base del muro:

dA

= 1/3∙H = 1/3 ∙6m

= 2 m

SA

dASpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


2424/80/80


Svolgimento:

Considerata l’ipotesi di attrito

tra muro

e

terreno,

non

può

essere

applicata

la teoria di Rankine

per il calcolo della spinta attiva agente sul parametro interno

della parete.

b)

Calcolare

la

spinta

attiva,

SA

, agente

sul

muro

considerando

un

angolo

di attrito

terreno‐muro

δ

=

ϕ’

nell’ipotesi

di

superficie

di

rottura

piana

(Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale.

A seconda della forma ipotizzata per la superficie di rottura esistono differenti teorie

che

forniscono

una

soluzione

in

forma

analitica

o

numerica

(grafica

o

tabellare) per il calcolo del modulo della spinta attiva, ma che non consentono di determinare la distribuzione delle pressioni limite attive e quindi il punto di applicazione della spinta.

In

particolare,

nell’ipotesi

di

superficie

di

rottura

piana,

si

può

applicare

la teoria

di

Coulomb

che

fornisce

il

modulo

della

spinta

attiva,

nel

caso

di

terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto:

A2

A KH21S ⋅⋅γ⋅= ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A

coscos'sen'sen1coscos

'cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

βλδλβφφδδλλ

λφcon:



UNIVERSITA’


2525/80/80


Svolgimento:In questo caso (λ

= 0°; β

= 0°; δ

= ϕ’ = 30°) risulta:

A2

)C(A KH21S ⋅⋅γ⋅=

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

2

2

2

A

00cos300cos030sen300sen1300cos0cos

030cos

coscosʹsenʹsen1coscos

ʹcosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡β−λ⋅δ+λβ−φ⋅φ+δ

+⋅δ+λ⋅λ

λ−φ=

= 0.37

HSA

δ

( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )( )

22

2

30cos30sen1

30cos

130cos30sen30sen130cos1

30cos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⋅+⋅⋅

=

= ½

∙18∙62

∙0.37 = 119.9 kN/mN.B.

La

spinta,

in

questo

caso,

è

inclinata

verso

l’alto

dell’angolo

di

attrito, ma

non

se

ne

conosce il

punto

di

applicazione,

che,

si

assume

comunque

ad

una

distanza

dalla

base

del

muro pari

a

1/3

dell’altezza

del

muro,

come

suggerito

dalla teoria di Rankine: dA

= 1/3∙H = 1/3 ∙6m

= 2 m

dA

OSS.

La

spinta

calcolata

col

metodo

di

Coulomb nel

caso

δ

=

0

coincide

con

quella

di

Rankine:

SA(C)

= SA(R)Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


2626/80/80


Svolgimento:Nell’ipotesi

di

superficie

di

rottura

curvilinea,

si

può

applicare

la

teoria

di

Navfac

per

superficie

a

spirale

logaritmica,

che

fornisce

per

via

numerica

il modulo

della

spinta

attiva,

nel

caso

di

terrapieno

omogeneo,

incoerente

ed

asciutto:

A2

A KH21S ⋅⋅γ⋅=

con

KA

fornito

in

forma grafica (β/ϕ’ = 0; δ

= ϕ’=30°):

β/ϕ’ = 0; δ

= ϕ’

KA

= 0.32

A2

)N(A KH21S ⋅⋅γ⋅=

= ½

∙18∙62

∙0.32 = 103.7 kN/m



UNIVERSITA’


2727/80/80


Svolgimento:Se

invece

si

applica

la

teoria

di

Caquot

e

Kerisel

(β

=

0;

δ/ϕ’ =

1;

ϕ’ =

30°),

utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare :

A2

)CQ(A KH21S ⋅⋅γ⋅=

φ’ 5° 10° 15° 20° 25° 30° 35° 40° 45° 50° 0,81 0,65 0,53 0,44 0,37 0,31 0,26 0,22 0,19 0,16

1'

=φδ

1,26 1,66 2,20 3,04 4,26 6,56 10,7 18,2 35,0 75,0

0,81 0,66 0,54 0,44 0,36 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

32

'=

φδ

1,24 1,59 2,06 2,72 3,61 5,25 8,00 12,8 21,0 41,0

0,82 0,67 0,56 0,45 0,37 0,30 0,25 0,20 0,16 0,13

31

'=

φδ

1,22 1,52 1,89 2,38 3,03 4,02 5,55 8,10 12,0 19,0

0,84 0,70 0,59 0,49 0,41 0,33 0,27 0,22 0,17 0,13 0

'=

φδ

1,19 1,42 1,70 2,04 2,46 3,00 3,70 4,60 5,80 7,50

kakp

KA

= 0.31

= ½

∙18∙62

∙0.31 = 100.4 kN/m

Valida per β = λ = 0



UNIVERSITA’


2828/80/80


Svolgimento:c)

Calcolare

la

spinta

attiva,

SA

, agente

sul

muro

considerando

un

angolo

di attrito

terreno‐muro

δ =

ϕ’,

con

il

piano

di

campagna

inclinato,

rispetto

all’orizzontale,

di

un

angolo

β =

30°,

nell’ipotesi

di

superficie

di

rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac) e terrapieno orizzontale.

Nell’ipotesi

di

superficie

di

rottura

piana,

secondo

la

teoria

di

Coulomb

nel caso di terrapieno omogeneo, incoerente ed asciutto.

In questo caso (λ

= 0°; β

= 30°; δ

= ϕ’ = 30°) risulta:

A2

)C(A KH21S ⋅⋅γ⋅=

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

2

2

2

A

300cos300cos3030sen300sen1300cos0cos

030cos


ʹcosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+−⋅+

+⋅+⋅

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣


+⋅δ+λ⋅λ

λ−φ=

= 0.87( )

( ) ( )( ) ( )

( )30cos

30cos30cos0sen30sen130cos1

30cos2

2

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

⋅+⋅⋅

=

= ½

∙18∙62

∙0.87 = 281.9 kN/m



UNIVERSITA’


2929/80/80


Svolgimento:N.B. La spinta, in questo caso, è

inclinata verso l’alto dell’angolo di attrito, ma

non

se

ne

conosce

il

punto

di

applicazione,

che,

si

assume

comunque

ad

una distanza

dalla

base

del

muro

pari

a

1/3

dell’altezza

del

muro,

come

suggerito

dalla teoria di Rankine:

dA

= 1/3∙H = 1/3 ∙6m

= 2 m

H

β

SAδ

dA



UNIVERSITA’


3030/80/80


Svolgimento:Nell’ipotesi di superficie di rottura curvilinea, applicando la teoria di Navfac

il

modulo

della

spinta

attiva,

nel

caso

di

terrapieno

omogeneo,

incoerente

ed asciutto, è

pari a

A2

A KH21S ⋅⋅γ⋅=

con

KA

fornito

in

forma grafica (β/ϕ’ = 1; δ

= ϕ’=30°):

β/ϕ’ = 1; δ

= ϕ’=30°

KA

= 0.92

A2

)N(A KH21S ⋅⋅γ⋅=

= ½

∙18∙62

∙0.92 = 298.1 kN/m



UNIVERSITA’


3131/80/80


Svolgimento:Se

invece

si

applica

la

teoria

di

Caquot

e

Kerisel

(δ =

ϕ’ =

30°;

λ

=

0°),

utilizzando i risultati, ottenuti per via numerica e forniti in forma tabellare :

A2

)CQ(A KH21S ⋅⋅γ⋅=

KA

= 0.87

= ½

∙18∙62

∙0.87 = 281.9 kN/m

β -30° -18° 0° +18° +30°

KA 0,232 0,257 0,308 0,409 0,866

KP 0,84 2,85 6,56 11,8 16,1

Valida per λ = 0; δ = ϕ’

=30°



UNIVERSITA’


3232/80/80


OSSERVAZIONI1) La presenza dell’attrito tra terreno e muro (δ)

determina, a parità

delle altre

condizioni,

un

incremento

della

spinta

attiva

in

modulo

poco

significativo (indipendentemente dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb:

|SA(R)

|= 106.9 kN/m

< |SA(C)

|= 119.9 kN/mmentre comporta un’inclinazione, verso l’alto, della spinta attiva

di un angolo

pari all’angolo di attrito (δ), per cui la componente instabilizzante

della spinta (ovvero la componente orizzontale) di fatto si riduce :

SA(C),H

= 119.9 ∙cos30 kN/m

= 103.8 kN/m

< SA(R),H

= SA(R)

= 106.9 kN/m

L’effetto

complessivo

dell’attrito

tra

terreno

e muro

sulla

stabilità

del

muro

è

quindi

benefico.

H

SA(c)δ

dASA(R)

SA(c),HSA(c),V

e la componente stabilizzante della spinta (ovvero la componente verticale) aumenta :

SA(C),V

= 119.9 ∙sen30 kN/m

= 60 kN/m

> SA(R),V

= 0 kN/m



UNIVERSITA’


3333/80/80


|SA(C)

|= 119.9 kN/m

< <|SA(C),β

|= 281.9 kN/m

2) L’effetto dell’

inclinazione del terrapieno (β), a parità

di inclinazione della spinta

(e

quindi

delle

condizioni

di

attrito)

è

quello

di

incrementare

il

modulo

della

spinta

attiva

in

modo

significativo

(indipendentemente

dalla soluzione adottata), ad esempio con la soluzione di Coulomb:

con

un

conseguente

aggravio

delle condizioni

di

carico

a

sfavore

della

stabilita.H

β

SA(c)δ

dA

SA(c),β3)

Il

metodo

utilizzato,

a

parità

di condizioni

di

attrito e

di

inclinazione

del

pendio

(e

quindi

di

inclinazione

della spinta)

influisce

poco

sensibilmente

sul

modulo

della

spinta

attiva

e

quindi

le soluzioni

ottenute

possono

ritenersi

tutte

utili

ai

fini

del

calcolo

della

stabilità

del muro. Ad esempio nel caso di pendio:

|SA(C),β

|= 281.9 kN/m

≅

|SA(CQ),β

|<|SΑ(Ν),β

| = 298.1 kN/m



5 m

1.6 m

15°

α

2.7 m

UNIVERSITA’


3434/80/80

VERIFICHE DI STABILITÀ

Verifiche di stabilità

Viene realizzato un muro di sostegno a gravità

in c.a.(γm

= 25 kN/m3), della forma e

delle

dimensioni

riportate

in

Figura,

per

sostenere

un

terrapieno

omogeneo

costituito

prevalentemente

da

sabbia

(γ =

19.5

kN/m3, ϕʹ

=

38°)

e

con

piano

di campagna inclinato di un angolo β = 15°. Si consideri la presenza dellʹattrito tra terreno e muro (δ = 25°) e si supponga che il terreno di fondazione abbia le stesse caratteristiche

del

terrapieno

e

che

la

falda

sia

a

grande

distanza

dal

piano

di

campagna. Si determini:a)

la

risultante

delle

componenti

orizzontali

e

verticali

delle

forze

che

agiscono

sul

muro, distinguendo

tra

forze

stabilizzanti e

instabilizzanti;b) il momento risultante rispetto al piede esterno

del

muro

sempre

distinguendo

tra

forze stabilizzanti e instabilizzanti;

c)Si

verifichi

la

stabilità

della

fondazione scegliendo

la

condizione

più

cautelativa

(trascurando o meno la presenza del terrapieno).

Esercizio 5 (Esame del 16/04/2007)



UNIVERSITA’


3535/80/80



H

Altezza del muro (H)

= 5 m

Angolo d’attrito terreno‐parete

(δ)

= 20°

Dati:


= 38°Peso di volume (γ)

= 19.5 kN/m3

Profondità

della falda (zw

)

>> H

Terreno omogeneo, sabbia (c’) = 0 kPa

β

SAδ

Larghezza del muro al piede (B)

= 2.7 mLarghezza del muro al tetto (b)

= 1.6 m

B

b

Peso specifico del c.a. (γm

)

= 25 kN/m3

Inclinazione della parete rispetto alla verticale (λ) λ

Inclinazione del terrapieno rispetto all’orizzontale

(β)

= 15°

Caratteristiche del muro

Caratteristiche del terrapieno

λ



UNIVERSITA’


3636/80/80


Svolgimento:a)

la

risultante

delle

componenti

orizzontali

e

verticali

delle

forze

che

agiscono

sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti;Sul muro di sostegno agiscono (per unità

di lunghezza del muro):

‐

il peso del muro:W = γm

∙(A1

+ A2

)

B

b

A1

A2

A1

= b∙H = 1.6m∙5m = 8 m2

A2

= (B‐b)∙H/2 = (2.7‐1.6)m∙5m/2 = 2.75 m2

W = γm

∙(A1

+ A2

) = 25kN/m3∙(8+2.75)m2

= 268.75 kN/mche

agisce

in

direzione

verticale

ed

il

braccio

rispetto

al

piede esterno del muro O è:

O x

y

xM

= [(A1

∙xA1

)+(A2

∙xA2

)]/(A1

+A2

)

xA1

= b/2 = 1.6/2 m = 0.8 mdove :

xA2

= b + (B‐b)/3 = [1.6 + (2.7‐1.6)/3] m = 1.97 mxM

= [(A1

∙xA1

)+(A2

∙xA2

)/(A1

+A2

)] = [(8∙0.8)+(2.75∙1.97)]m3/(8+2.75)m2

= 1.1 m

H/2

b/2

H/3

H(B‐b)/3

N.B.:

Il

baricentro

di

un

rettangolo

si

trova

a

distanza

da

ciascun

lato

pari

alla lunghezza del lato adiacente, mentre il baricentro di un triangolo rettangolo si trova

a

distanza

dai

lati

che

formano

l’angolo

retto

pari

a

1/3

della

lunghezza

del lato adiacente

UNIVERSITA’


3737/80/80


Svolgimento:‐

la spinta attiva

(calcolata secondo la teoria di Coulomb):

SA

= 1/2γ

∙KA

∙H2

b

O x

y

con :

H

W

xM

B

λIn questo caso risulta: β

= 15°; δ

= 20°; ϕ’ = 38°

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A


ʹcosK

⎥⎦

⎤⎢⎣


+⋅δ+λ⋅λ

λ−φ=

e λ

= arctg(B‐b)/H = 12.4°.

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

A

154.12cos254.12cos1538sen3825sen1254.12cos4.12cos

4.1238cosK

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅+

−⋅++⋅+⋅

−=

= 0.38( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2

2

2

6.2cos4.37cos)23(sen63sen14.37cos4.12cos

6.25cos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⋅

⋅+⋅⋅

=

= ½

∙19.5∙52

∙0.38 kN/m = 92.6 kN/m

Quindi:

SA

= 1/2γ

∙KA

∙H2

SAδ

λ



UNIVERSITA’


3838/80/80


Svolgimento:La

spinta

è

inclinata

di

δ

rispetto

alla

normale

alla

parete

e

quindi

di

δ+λ

rispetto all’orizzontale

e si suppone applicata lungo la parete ad una distanza dalla base del muro pari a 1/3 dell’altezza, ovvero nel punto di coordinate:

SAH

= SA

∙cos(δ+λ) = 92.6 kN/m∙cos(20+12.4) = 78.2 kN/m b

O x

y

H

W

xM

B

λ

yS

= H/3 = 5/3 m = 1.67 m

Quindi può essere scomposta

in una componente orizzontale:

SA

δ λ

yS

xS

= B ‐

H/3∙tgλ

= (2.7 ‐

5/3∙tg12.4°) m = 2.33 m

xS

con braccio rispetto a O:

SAV

SAH

yS

= 1.67 m

SAV

= SA

∙sen(δ+λ) = 95.1 kN/m∙sen(20+12.4) = 51 kN/m

ed in una componente verticale:

con braccio rispetto a O:xS

= 2.33 m



UNIVERSITA’


3939/80/80


Svolgimento:‐

la forza di attrito

agente alla base del muro:

T = RV

∙tgδbdove

RV

è la

risultante

di

tutte

le

componenti

verticali

delle

forze

agenti

sul muro, ovvero:

RV

= W + SAV

= (268.75 + 51) kN/m = 319.75 kN/me δb

è l’angolo d’attrito tra terreno e base del muro ed in genere si assume:

Quindi:

b

O x

y

H

W

xM

B

λSA

δ λ

ySxS

SAV

SAH

T

δb

= δ = 20°

T =

RV

∙tgδb

= 319.75 kN/m ∙tg

20°

= 116.4 kN/m

N.B.:

Nel

caso

in

cui

il

terreno

di

fondazione

sia diverso da quello costituente il terrapieno allora δb

≠ δ

e

nel

caso

in

cui

sia

terreno

coesivo,

allora

deve

essere

considerato

anche

il

contributo

dell’adesione (cA

) e la forza corrispondente, che agisce nella stessa direzione e verso di T, e che ad essa si somma: cA

∙B



UNIVERSITA’


4040/80/80


Svolgimento:

Ai

fini

della

traslazione

orizzontale

del

muro

verso

valle,

la

risultante

delle forze che determinano lo slittamento (orizzontale) è:

HSL

= SAH

= 78.2 kN/m

e la risultante orizzontale delle forze resistenti è: HST

= T

= 116.4 kN/mSe si esegue la verifica in base al D.M. 11.03.1988 (verifica allo slittamento lungo la

base):

FS

= HST

/HINST

= 116.4/78.2

= 1.49 > 1.3 (SODDISFATTA)b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo

tra forze stabilizzanti e instabilizzanti;Ai

fini

della

rotazione

(antioraria)

del

muro

rispetto

al

piede

esterno

(O),

il

momento risultante delle forze instabilizzanti è: MRIB,1

= SAH

∙yS

= 78.2 kN/m ∙

1.67 m = 130.6 kN

oppure:MRIB,2

= SAH

∙yS

‐

SAV

∙xS

= 78.2 kN/m ∙

1.67 m –

51kN/m∙

2.33 m = 11.8 kNSpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


4141/80/80


Svolgimento:

e il momento risultante delle forze stabilizzanti vale:

MST,2

= W ∙xM

= 268.75kN/m ∙

1.1 m = 295.6 kNoppure:MST,1

= W ∙xM

+ SAV

∙xS

= 268.75 kN/m ∙

1.1 m + 51kN/m∙

2.33 m = 414.5kN

b

O x

y

H

W

xM

B

λSA

δ λ

ySxS

SAV

SAH

T

Se si esegue la verifica in base al D.M. 11.03.1988 (verifica ribaltamento):

FS

= MST,2

/MRIB,2

= 295.6/11.8

= 25 > 1.5 (SODDISFATTA)

c) Si verifichi la stabilità

della fondazione scegliendo la condizione

più

cautelativa

(trascurando

o

meno

la

presenza del terrapieno).Ai

fini

della

verifica

della

capacità

portante

della

fondazione si ipotizza che il terrapieno sia allo stesso livello

da

entrambi

i

lati

della

fondazione

(per

applicare

le

formule

note)

e,

per

porsi

nella condizione

più

cautelativa,

si

considera

il

livello

più

basso.Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’



Svolgimento:

RV

B

Nel caso specifico significa che la profondità

del piano di posa vale:D = 0Inoltre si suppone la fondazione nastriforme

di larghezza B e il carico trasmesso

al

terreno

sottostante

in

condizioni

di

esercizio

è

dato

dalla

risultante

della spinta

attiva

e

del

peso,

quindi

ha

componente

orizzontale

e

verticale

rispettivamente:RV

= W + SAV

= 319.75 kN/mRH

= SAH

= 78.2 kN/m RH RV

ed è

applicata nel punto di ascissa (rispetto al piede esterno O):

Ox

xR

xR

= MTOT

/RV

= (MST

– MRIB

)/RV

= (295.6‐11.8) kN/319.75kN/m = 0.89 me l’eccentricità

rispetto all’asse della fondazione vale:

con angolo di inclinazione:ψ

= arctg(RH

/RV

) = arctg(78.2/319.75)

= 13.7°

ψ

e

4242/80/80

e = B/2 ‐

xR

= (2.7/2 –

0.89)m =

0.46 m ≅

B/6CASO LIMITE (sezione interamente reagente)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅=σ

Be61

BRV

max⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=σ

Be61

BRV

min≅

0 = 239.5 kPa

σmax

UNIVERSITA’



Svolgimento:Il carico limite è

dato da (Vesic, 1975):

Essendo:

4343/80/80

γγγγγγγ gbidsNB'21gbidsNqgbidsNcq qqqqqqcccccclim ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

sc

, sq

, sγ

= 1‐

la fondazione nastriforme

‐

la profondità

del piano di posa, D = 0dc

, dq

, dγ

= 1

‐

il terrapieno e la fondazione orizzontali:bc

, bq

, bγ

= 1gc

, gq

, gγ

= 1

q = 0

l’espressione del carico limite diventa:

γγ ⋅⋅⋅γ⋅= iNBʹ21qlim

‐

il terreno incoerente (c’

= 0):



UNIVERSITA’



Svolgimento:dove:

4444/80/80

‐

i fattori di capacità

portante valgono:

‐

la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale:B’

= B ‐

2e = 2.7 ‐

2∙0.46

= 1.78 m

‐

il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V = 78.2/319.75 = 0.24):

ϑ⋅+ϑ⋅= 2B

2L senmcosmm

LB1

LB2

mB

+

+=

BL1

BL2

mL

+

+=iγ

=1m

VH1

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

dove

θ

è l’angolo

d’inclinazione

della

proiezione

del

carico

rispetto

alla lunghezza della fondazione, ovvero θ

= 90°, quindi:

m = mB

= 2 (per L = +∞) iγ

= (1‐0.24)3

= 0.44

( ) φγ tg1N 2N q ⋅−⋅= = 2∙(48.9‐1)∙tg38°

= 74.8

)2

(45 tgeN 2tgq

φφπ +°= ⋅ = eπtg38°tg2(45°+38°/2)

= 48.9

‐

il peso di volume del terreno di fondazione γ

= 19.5 kN/m3

(essendo il terreno asciutto)



UNIVERSITA’



Svolgimento:Il carico limite vale dunque:

4545/80/80

γγ ⋅⋅⋅γ⋅= iNBʹ21qlim = ½∙

19.5

kN/m3∙

1.78m

∙

74.8∙

0.44

= 571.2 kPa

N.B.

Nel

caso

in

cui

sia

prevista

anche

una

verifica

strutturale

dell’opera, dovranno essere considerate, oltre alle azioni

trasmesse

dal

terrapieno

lungo

la

parete, anche la distribuzione delle pressioni di contatto

agenti alla base.

Se si esegue la verifica in base al D.M. 11.03.1988 (verifica di capacità

portante):

FS

= qlim∙B’/RV

= 571.2∙1.78/319.75

= 3.2 > 2 (SODDISFATTA)

Inoltre,

nel

caso

in

cui

il

terreno

di

fondazione

sia

di

tipo

coesivo

la

verifica della capacità

portante dovrà

essere condotta anche a breve termine

e nel caso in

cui

anche

il

terreno

sostenuto

sia

di

tipo

coesivo,

le

verifiche

dovranno

essere condotte

anche

a

breve

termine,

considerando

il

contributo

della

spinta

attiva

calcolata in termini di tensioni totali.



UNIVERSITA’


4646/80/80



Si consideri il muro di sostegno a mensola in c.a. riportato in Figura, che sostiene un

terreno

costituito

da

sabbia

ghiaiosa

incoerente

di

densità

medio‐alta

con

angolo di pendio β = 20°.

Esercizio 6

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

3,50,95 0,7

φ ʹk = 32°

γ k = 20 kN/m3

Il

terreno

antistante

il

muro

e

quello

di fondazione

hanno

le

stesse

caratteristiche

del

terreno

sostenuto.

La

superficie

di intradosso

della

soletta

di

fondazione

del

muro

è

gettata

in

opera

a

contatto

con

il terreno. Il livello di falda è molto al di sotto della

zona

di

influenza

del

muro.

Si

effettui

la

verifica

geotecnica

secondo

le

normativa italiana

previgente

(D.M.

11/03/1988)

e

secondo

le

nuove

Norme

Tecniche

per

le Costruzioni (NTC‐08).



β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

3,50,95 0,7

φ ʹk = 32°

γ k = 20 kN/m3

UNIVERSITA’


4747/80/80


Altezza del paramento del muro (h)

= 6 m

Angolo d’attrito terreno‐parete

(δk

= ϕ’k

)

= 32°

Dati:

Angolo di resistenza al taglio (ϕ’k

)

= 32°Peso di volume (γk

)

= 20 kN/m3

Profondità

della falda (zw

)

>> H

Terreno omogeneo, sabbia (c’) = 0 kPa

Spessore del paramento alla sommità

(b1

)

= 0.5 m

Peso specifico del c.a. (γm

)

= 24 kN/m3

Inclinazione del terrapieno rispetto all’orizzontale

(β)

= 20°

Caratteristiche del muro

Caratteristiche del terrapieno

Profondità

del piano di posa (h1

)

= 0.8 mSpessore della soletta di fondazione (h2

)

= 0.8 m

Spessore del paramento alla sommità

(b3

)

= 0.7 mLunghezza della scarpa posteriore (b2

)

= 0.95 mLunghezza della scarpa anteriore (b)

= 3.5 m

Sovraccarico (qk

)

= 10 kPa

UNIVERSITA’


4848/80/80


Svolgimento:Nel

calcolo

delle

forze

che

agiscono

sul

muro

per

le

verifiche

di

stabilità,

si

considera :il terreno che grava sulla soletta di fondazione come parte integrante del

muro (e quindi contribuisce al suo peso);la superficie verticale che delimita tale terreno come una parete virtuale su

cui agisce la spinta attiva (a monte) e la spinta passiva (a valle), purchél’ipotetico cuneo di rottura sia compreso entro tale volume di terreno.

La larghezza del muro è:B

= b2

+ b3

+ b = (0.95 + 0.7 + 3.5)m = 5.15 mLa profondità

del piano di posa:

D = h1

= h2

= 0.8 mL’altezza della parete virtuale vale:H

= h1

+ h + b∙tgβ

= (0.8 + 6 + 3.5∙tg20°)

m = 8.07 m



UNIVERSITA’


4949/80/80


Verifiche secondo la precedente normativa (D.M. 11 marzo 1988)

‐

il peso del muro (comprendente il terreno che grava sulla soletta a monte)che agisce in direzione verticale:W = γm

∙(A1

+ A2

+A3

+ A4

) + γk

∙(A5

+ A6

)A1

= (b2

+ b3

)∙h2

= (0.95 + 0.7)m∙0.8m = 1.32 m2

A2

= b∙h2

= 3.5m∙0.8m = 2.8 m2

dove

ciascun

contributo

agisce

in

direzione verticale

e

il

relativo

bracco

rispetto

al

piede

O

vale:

Le forze che agiscono sul muro sono:

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

A3

= (b3

– b1

)∙h/2 = (0.7 –

0.5)m∙6m/2 = 0.6 m2

b1

A4

= b1

∙h = 0.5m∙6m = 3 m2

A5

= b∙h = 3.5m∙6m = 21 m2

A6

= b∙(btgβ)/2= 3.5m∙3.5m tg20°/2 = 2.23 m2

Ox1

= (b2

+ b3

)/2 = (0.95 + 0.7)/2 m = 0.825 mx2

= x5

= b2

+ b3

+ b/2 = (0.95 + 0.7 + 3.5/2) m = 3.4 mx3

= b2

+ 2/3(b3

‐

b1

) = 0.95 + 2/3∙(0.7 –

0.5) m = 1.08 mx4

= b2

+(b3

‐

b1

) + b1

/2 = (0.95 + 0.7 –

0.5 + 0.5/2) m = 1.4 mx6

= b2

+b3

+ 2/3b = (0.95 + 0.7 +2/3∙3.5) m = 3.98 m

x

UNIVERSITA’


5050/80/80


il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono dati dalla somma dei singoli contributi:

= 649.88 kN/m

W1

= γm

∙A1

= 24kN/m3∙1.32m2

= 31.68 kN/m M1

= W1

∙x1

= 31.68kN/m∙0.825m = 26.14 kNW2

= γm

∙A2

= 24kN/m3∙2.8m2

= 67.20 kN/m M2

= W2

∙x2

= 67.2kN/m∙3.4m = 228.48 kNW3

= γm

∙A3

= 24kN/m3∙0.6m2

= 14.40 kN/m M3

= W3

∙x3

= 14.4kN/m∙1.08m = 15.55 kNW4

= γm

∙A4

= 24kN/m3∙3m2

= 72.00 kN/m M4

= W4

∙x4

= 72kN/m∙1.4m = 100.80 kNW5

= γk

∙A5

= 20kN/m3∙21m2

= 420.00 kN/m M5

= W5

∙x5

= 420kN/m∙3.4m = 1428.00 kNW6

= γk

∙A6

= 20kN/m3∙2.23m2

= 44.60 kN/m M6

= W6

∙x6

= 44.6kN/m∙3.98m = 177.51 kN

∑=

=6

1iiWW = 1976.48 kN∑

=

=6

1iiw MM

‐

la

spinta

attiva

(esercitata

dal

terrapieno

a

monte),

che

agisce

sulla

parete virtuale (verticale e senza attrito), calcolata con il metodo di

Rankine

nel caso

di terrapieno inclinato ed inclinata quindi di β

rispetto all’orizzontale:

Terrapieno omogeneo:γk

= 20 kN/m3

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−

=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ϕ−β+β

ϕ−β−β=

22

22

2k

2

2k

2

A

32cos20cos20cos32cos20cos20cos

ʹcoscoscosʹcoscoscos

K

0.398Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


5151/80/80


Il

modulo

della

spinta

attiva

è

dato

dalla

somma

del

contributo

dovuto

al

peso proprio del terreno e del sovraccarico

(nell’ipotesi che esso si propaghi all’interno

del terreno in modo uniforme come nel caso di terrapieno orizzontale):

= 0.398 ∙

20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2

= 243.57 kN/m

= 0.398 ∙

10 kN/m2∙8.07m

= 32.12 kN/m

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

b1

O

SAγ

= A8

= σ’hA

(H)∙H/2 = KA

∙σ’v0

(H)∙H/2 = KA

∙γk

∙cosβ∙H∙H/2

SAq

= A7

= Δσ’hA

∙H = kA

∙q∙H

Le cui componenti orizzontali e verticali e i relativi bracci valgono:

Saγ,H

= SAγ

∙cosβ

= 243.57∙cos20°

kN/m

= 228.88 kN/m

SA

SAq

applicato lungo la parete virtuale ad H/3 dalla base del muro.

applicata lungo la parete virtuale ad H/2 dalla base del muro.

SAqvSAqh

SAvSAh

β

β

yAγ

= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 mSaγ,V

= SAγ

∙senβ

= 243.57∙sen20°

kN/m

= 83.31 kN/mxAγ

= b2

+ b3

+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 mSAq,H

= SAq

∙cosβ

= 32.12∙cos20°

kN/m

= 30.18 kN/myAq

= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 mSAq,V

= SAq

∙senβ

= 32.12∙sen20°

kN/m

= 10.99 kN/mxAq

= xA

= 5.15 m

UNIVERSITA’


5252/80/80


La somma delle componenti verticali delle spinte ed i relativi momenti rispetto a

O

valgono

(assumendo

positivo

il

momento

che

determina

una

rotazione

antioraria):SV

= SAγ.V

+ SAq,V

= (83.31 + 10.99)kN/m = 94.30 kN/m

MAV

= ‐(Saγ,V

∙xAγ

+ SAq,V

∙

xAq

) = ‐(83.31 + 10.99)kN/m∙5.15 m = ‐

485.645 kN

SH

= Saγ,H

+ SAq,H

= (228.88 + 30.18)kN/m = 259.06 kN/m

MAH

= Saγ,H

∙yAγ

+ SAq,H

∙

yAq

= (228.88∙2.69+30.18∙4.035)kN = 737.46 kN‐

la

spinta

passiva

(esercitata

dal

terrapieno

a

valle),

che

agisce

sulla

parete

virtuale

(verticale

e

senza

attrito),

può

essere

calcolata

con

il

metodo

di Rankine

nel

caso

di

terrapieno

orizzontale

ed

è

orizzontale

ed

applicata

ad

una distanza dal piede pari a D/3:SP

= SPH

= σ’hp

(D)∙D/2 = kP

∙σ’v0

(D)∙D/2 = kP

∙γk

∙D∙D/2 =

con braccio:yP

= D/2 = 0.8/2 m = 0.4 mCautelativamente la spinta passiva viene trascurata.

(KP

= tan2(45°+32°/2) = 3.255)

= 3.255∙

20 kN/m3∙0.82

m2/2 = 20.83 kN/m



UNIVERSITA’


Origine e struttura dei terreni Origine e struttura dei terreni ––

Fondamenti di GeotecnicaFondamenti di GeotecnicaCorso di Laurea in Scienze dellCorso di Laurea in Scienze dell’’Ingegneria Edile A.A. 2009/2010Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 5353/80/80


‐

la resistenza d’attrito che si sviluppa lungo la base del muro (orizzontale):

MST

= MW

= 1976.48 kN

T = RV

∙

tgδk

= (SV

+ W)∙tgδk

= (94.30 + 649.88)kN/m ∙tg32°= 465.02 kN/m

FS = MST

/MRIB

> 1.5VERIFICA AL RIBALTAMENTO

Nel

calcolo

del

momento

stabilizzante

e

ribaltante rispetto

al

piede

esterno

del

muro

(O),

si

considera

il

peso tra le forze stabilizzanti e la spinta attiva tra quelle ribaltanti

(la

resistenza

d’attrito

ha

momento

nullo

rispetto al piede O)

MRIB

= MAH

+MAV

= (737.46 ‐485.645) kN

= 251.815 kN

FS = MST

/MRIB

= 1976.48/251.815

= 7.75 > 1.5 (SODDISFATTA)

W

Pa

N

FOPp

a

h

B

(coefficiente d’attrito: tgδk

= tan(32°) = 0.625)

UNIVERSITA’


5454/80/80


La forza resistente agenti nella direzione di slittamento del muro (orizzontale), è:

W

Pa

FOPp

a

h

B

FS = HRES

/HSL

> 1.3VERIFICA ALLA TRASLAZIONE DEL PIANO DI POSA

HRES

= T = 465.02 kN/mLa forza che determina lo slittamento del muro (in direzione

orizzontale), è: HSL

= SH

= 259.06 kN/m

FS = HRES

/HSL

= 465.06/259.06

= 1.80 > 1.3

VERIFICA AL CARICO LIMITE DELL’INSIEME FONDAZIONE‐TERRENOAi

fini

della

verifica

della

capacità

portante

della

fondazione

si

ipotizza

che

la fondazioni sia nastriforme, di larghezza:

Il

terreno

latistante

la

fondazione

si

assume

dello

stesso

tipo

del

terreno

di fondazione

ed

allo

stesso

livello

ad

entrambi

i

lati

della

fondazione

(per

applicare

le

formule

note)

e,

per

porsi

nella

condizione

più

cautelativa,

si considera il livello più

basso (quello a valle):

B = 5.15 m

D = 0.8 mSpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


5555/80/80


Inoltre il carico trasmesso al terreno sottostante in condizioni di esercizio

(Qes

) è

dato

dalla

risultante

della

spinta

attiva

e

del

peso

(del

muro

e

del

terreno

sovrastante

la

soletta),

quindi

è

inclinato

ed

ha

componente

orizzontale

e verticale,

che,

a

seconda

che

si

includa

(approccio

1)

o

meno

(approccio

2)

anche

il

contributo

del

sovraccarico

agente

sulla

parte

del

terrapieno compreso

tra

la

parete

reale

e

quella

virtuale

(q∙b

=

10

kN/m2∙3.5m

=

35

kPa),

valgono rispettivamente:

RH

= SH

= 259.06 kN/m

ed

è

applicata

nel

punto

di

ascissa

(rispetto

al piede esterno O):

xR(1)

=

MTOT(1)

/RV(1)

=

[MST

+

q∙b∙(b2

+

b3

+

b/2)– MRIB

]/RV(1)

= [1976.48 + 35∙(0.95+0.7+3.15/2)‐251.815] kN/(779.18kN/m) = 2.36 m

con angolo di inclinazione:Ψ(1)

= arctg(RH

/RV(1)

) = arctg(259.06/779.18)

= 18.4°

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

b1

Ox

RV(2)

= W + SV

= (649.88 + 94.30 ) kN/m

= 744.18 kN/m

Ψ(2)

= arctg(RH

/RV(2)

) = arctg(259.06/744.18)

= 19.2°

xR(2)

= MTOT(2)

/RV(2)

= [MST

– MRIB

]/RV(2) = [1976.48 ‐251.815] kN/(744.18kN/m) = 2.32 m

RV(1)

= W + SV

+ q∙b = (649.88 + 94.30 + 35) kN/m

= 779.18 kN/m

UNIVERSITA’


5656/80/80


e l’eccentricità

rispetto all’asse della fondazione vale:e(1)

= B/2 – xR(1)

= (5.15/2 –

2.36)m =

0.215 m < B/6 = 0.858 m

(sezione interamente reagente)

RV

B

RH RVOx

xR

ψ

e

σmax σmin

e(2)

= B/2 – xR(1)

= (5.15/2 –

2.32)m =

0.255 m < B/6 = 0.858 m

Il carico limite è

dato da (Vesic, 1975):

Essendo:

γγγγγγ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅= gbidsNBʹ21gbidsNqgbidsNcq qqqqqqcccccclim

sc

, sq

, sγ

= 1‐

la fondazione nastriforme

‐

la profondità

del piano di posa, D = 0.8 m (e zw

>>D)

‐

il terrapieno e la fondazione orizzontali:bc

, bq

, bγ

= 1gc

, gq

, gγ

= 1

q = γk

∙D = 20 kN/m3∙0.8 m = 16 kPa

‐

il terreno incoerente (c’

= 0):

dc

, dq

, dγ

= 1

(cautelativamente)



UNIVERSITA’



dove:

5757/80/80

‐


portante valgono:

‐

la larghezza equivalente della fondazione (essendo il carico eccentrico) vale:B’(1)

= B ‐

2e(1)

= 5.15 ‐

2∙0.215

= 4.72 m

‐

il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V(1)

= RH

/RV(1)

= 259.06/779.18 = 0.332; H/V(2)

= RH

/RV(2)

= 259.06/744.18 = 0.348)

ϑ⋅+ϑ⋅= 2B

2L senmcosmm

LB1LB2

mB

+

+=

BL1

BL2

mL

+

+=iγ

=1m

VH1

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

dove

θ

è l’angolo

d’inclinazione

della

proiezione

del

carico

rispetto


= 90°, quindi:

m = mB

= 2 (per L = +∞) Iγ(1)

= (1‐0.348)3

= 0.297

( ) φγ tg1N 2N q ⋅−⋅= = 2∙(23.15‐1)∙tg32°

= 27.68

)2

(45 tgeN 2tgq

φφπ +°= ⋅ = eπtg32°tg2(45°+32°/2)

= 23.15

‐

il

peso

di

volume

del

terreno

di

fondazione

γ

=

20kN/m3

(essendo

il

terreno asciutto)

Iq(1)

= (1‐0.348)2

= 0.445

L’espressione del carico limite diventa: γγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ21iNqq qqlim

B’(2)

= B ‐

2e(2)

= 5.15 ‐

2∙0.255

= 4.64 m

Iγ(2)

= (1‐0.348)3

= 0.277 Iq(2)

= (1‐0.348)2

= 0.425



UNIVERSITA’



Svolgimento:Il carico limite

vale dunque:

5858/80/80

qlim(1)

= 16 kN/m2∙

23.15∙0.445 + ½∙

20

kN/m3∙

4.72m

∙

27.68∙

0.297

= 552.86 kPa

FS

= (qlim

‐q)/(qes

– q)

γγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ21iNqq qqlim

qes(1)

= (779.18kN/m)/(4.72m) = 165.08 kPa

Non si esegue la verifica strutturale e la verifica di stabilità

globale.

qlim(2)

= 16 kN/m2∙

23.15∙0.425 + ½∙

20

kN/m3∙

4.64m

∙

27.68∙

0.277

= 513.19 kPa

Il carico di esercizio

è:

qes(2)

= (744.18kN/m)/(4.64m) = 160.38 kPaIl fattore di sicurezza vale:

FS(1)

=

(552.86–

16)/(165.08 –

16) = 3.60 > 2 (SODDISFATTA)

qes(1)

= RV

/B’

FS(2)

=

(513.19 –

16)/(160.38 –

16) = 3.44 > 2 (SODDISFATTA)

N.B. L’approccio 2 prevede un carico più

inclinato ed una maggiore eccentricità ed è

dunque più

cautelativo.



UNIVERSITA’


5959/80/80


Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)

1. VERIFICA ALLO STATO LIMITE DI RIBALTAMENTOLo

stato

limite

di

ribaltamento

non

prevede

la

mobilitazione

della

resistenza

del terreno di fondazione (Rd

= 0), e deve essere trattato come uno stato limite di equilibrio come corpo rigido (EQU).

‐

per

le

azioni

di

progetto

si

utilizzano

i

coefficienti

parziali

γG

sulle

azioni (EQU) della Tabella 2.6.I

‐

per

i

parametri

geotecnici

di

progetto

del

terreno

si

utilizzano

i

coefficienti parziali γM

(M2) della Tabella 6.2.II.

La verifica diventa:

Tutte

le

azioni

agenti

sul

muro

di

sostegno

possono

essere

ricondotte

a

una forza risultante applicata al piano di posa.

Ed

≤

0



UNIVERSITA’


6060/80/80



I

coefficienti

parziali

γM

da

adottare

per

determinare

i

parametri geotecnici di progetto del terreno

sono:

Tabella 6.2.II –

Coefficienti parziali per i parametri geotecnici del terreno

PARAMETRO GRANDEZZA ALLA QUALE APPLICARE IL COEFFICIENTE

PARZIALE

COEFFICIENTEPARZIALE

( M1 ) ( M2 )

Tangente dell’angolo diresistenza al taglio

tan

φ’k γφ’ 1.0 1.25

Coesione efficace c’k γc’ 1.0 1.25

Resistenza non drenata cuk γcu 1.0 1.4

Peso dell’unità

di volume γ γγ 1.0 1.0

tg

ϕ’d

= tgϕ’k

/γϕ’

= tg

32°/1.25 = 0.500

γd

= γk

/γγ

= 20/1 kN/m3

= γk

= 20 kN/m3

ϕ’d

= arctg(tgϕ’k

/γϕ’

) = 26.6°

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ϕ−β+β

ϕ−β−β=

22

22

2k

2

2k

2

Ad 6.26cos20cos20cos6.26cos20cos20cos

ʹcoscoscosʹcoscoscos

K 0.530



UNIVERSITA’


6161/80/80



Nel

caso

delle

opere

di

sostegno

si

considerano

azioni

quelle

dovute

al peso proprio del terreno e del materiale di riempimento, ai sovraccarichi, all’acqua,

ad

eventuali

ancoraggi

presollecitati,

al

moto

ondoso,

ad

urti

e

collisioni, alle variazioni di temperatura e al ghiaccio.Il

terreno

e

l’acqua

costituiscono

carichi

permanenti

(strutturali)

quando,

nella

modellazione

utilizzata,

contribuiscono

al

comportamento dell’opera con le loro caratteristiche di peso, resistenza e rigidezza.

Tabella

6.2.I (2.6.I) –

Coefficienti

parziali

per le azioni

o per l’effetto

delle

azioni

CARICHI EFFETTOCoefficienteParzialeγF

(o

γE)EQU ( A1 )

STR( A2 )GEO

PermanentiFavorevole

γG10,9 1,0 1,0

Sfavorevole 1,1 1,3 1,0

Permanenti

non strutturaliFavorevole

γG20,0 0,0 0,0


VariabiliFavorevole

γQi0,0 0,0 0,0


Il sovraccarico si considera come carico variabile.



= 1.5∙0.53 ∙

10 kN/m2∙8.07m

= 64.16 kN/m

UNIVERSITA’


6262/80/80


Ai

fini

della

verifica

la

spinta

del

terreno

dovuta

al

peso

proprio

e

al sovraccarico

rappresentano carichi rispettivamente permanenti strutturali

e

variabili

con

effetto

sfavorevole,

mentre

il

peso

proprio

del

muro

e

del terrapieno

che

grava

su

di

esso

rappresentano

carichi

permanenti

strutturali con effetto favorevole:

= 1.1∙0.53 ∙

20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2

= 356.79 kN/m

SAγ(d)

= γG1

∙A8

= γG1

∙

σ’hA

(H)∙H/2 = γG1

∙KAd

∙σ’v0

(H)∙H/2 = γG1

∙KAd

∙γd

∙cosβ∙H∙H/2

SAq(d)

= γQi

∙A7

= γQi

∙

Δσ’hA

∙H = γQi

∙kA

∙q∙HLe

cui

componenti

orizzontali

e

verticali

e

i

relativi bracci valgono:Saγ(d),H

= Saγ(d)

∙cosβ

= 356.79∙cos20°

kN/m

= 335.27 kN/myAγ

= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 m

Saγ(d),V

= Saγ(d)

∙senβ

= 356.79∙sen20°

kN/m

= 122.02 kN/mxAγ

= b2

+ b3

+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 m

yAq

= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 m

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

b1

O

SA

SAqSAqv

SAqhSAvSAh

β

β

SAq(d),H

= SAq(d)

∙cosβ

= 64.16∙cos20°

kN/m

= 60.29 kN/m

SAq(d),V

= SAq(d)

∙senβ

= 64.16∙sen20°

kN/m

== 21.94 kN/m

xAq

= xA

= 5.15 m

UNIVERSITA’


6363/80/80


La somma delle componenti verticali delle spinte ed i relativi momenti rispetto a

O

valgono

(assumendo

positivo

il

momento

che

determina

una

rotazione

antioraria):SV(d)

= Saγ(d).V

+ SAq(d),V

= (122.02 + 21.94)kN/m = 143.96 kN/mx

MAV(d)

= ‐(Saγ(d),V

∙xAγ

+ SAq(d),V

∙

xAq

) = ‐(122.02 + 21.94)kN/m∙5.15 m = ‐

741.39 kN

SH(d)

= Saγ(d),H

+ SAq(d),H

= (335.27 + 60.29)kN/m = 395.56 kN/m

MAH(d)

= Saγ(d),H

∙yAγ

+ SAq(d),H

∙

yAq

= (335.27∙2.69+60.29∙4.035)kN = 1145.15 kN

La

spinta

passiva

(esercitata

dal

terrapieno

a

valle),

che

agisce

sulla

parete virtuale (verticale e senza attrito), viene trascurata.



UNIVERSITA’


6464/80/80


Il peso del muro W ed il relativo momento M rispetto al piede esterno (O) sono (sempre assumendo positivo il momento che produce una rotazione antioraria):

= 584.89 kN/m

W1d

= γG1

∙γm

∙A1

= 0.9∙24kN/m3∙1.32m2

= 28.51 kN/m;M1d

= W1d

∙x1

= 28.51 kN/m∙0.825m = ‐23.52 kNM2d

= W2d

∙x2

= 60.48kN/m∙3.4m = ‐205.63 kNM3d

= W3d

∙x3

= 12.96kN/m∙1.08m = ‐14.00 kNM4d

= W4d

∙x4

= 64.8kN/m∙1.4m = ‐90.72 kNM5d

= W5d

∙x5

= 378kN/m∙3.4m = ‐1285.20 kNM6d

= W6d

∙x6

= 40.14kN/m∙3.98m = ‐159.76 kN

∑=

=6

1ii(d) WW = ‐1778.83 kN∑

=

=6

1i)d(i)d(w MM

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

b1

Ox

W2d

= γG1

∙γm

∙A2

= 0.9∙24kN/m3∙2.8m2

= 60.48 kN/m;W3d

= γG1

∙γm

∙A3

= 0.9∙24kN/m3∙0.6m2

= 12.96 kN/m;W4d

= γG1

∙γm

∙A4

= 0.9∙24kN/m3∙3m2

= 64.80 kN/m;W5d

= γG1

∙γm

∙A5

= 0.9∙20kN/m3∙21m2

= 378.00 kN/m;W6d

= γG1

∙γm

∙A6

= 0.9∙20kN/m3∙2.23m2

= 40.14 kN/m;

La verifica diventa:Ed

= MAH(d)

+ MAV(d)

+ MW(d)

≤

Rd

= 0ovvero:Ed

= (1145.15 –

741.39 –

1778.83)kN = ‐1375.07 kN

≤

0VERIFICA SODDISFATTA

UNIVERSITA’


6565/80/80


Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)2.

VERIFICA

ALLO

STATO

LIMITE

PER

SCORRIMENTO

SUL

PIANO DI POSALo

stato

limite

di

scorrimento

prevede

la

mobilitazione

della

resistenza

del

terreno

di

fondazione

lungo

il

piano

di

posa

(Rd

>

0),

e

deve

essere

trattato come uno stato limite di tipo geotecnico (GEO).

‐

per

le

azioni

di

progetto

si

utilizzano

i

coefficienti

parziali

γG

sulle

azioni (A1 e/o A2) della Tabella 2.6.I

‐

per

i

parametri

geotecnici

di

progetto

del

terreno

si

utilizzano

i


(M1 e/o M2) della Tabella 6.2.II.


≤

Rd

‐

per

la

resistenza

di

progetto

il

coefficiente

parziale

γR

da

adottare

è fornito dalla Tabella 6.5.I:



UNIVERSITA’


6666/80/80



I

coefficienti

parziali

γM

da

adottare

per

determinare

i


sono:

Tabella 6.2.II –



PARZIALE


( M1 ) ( M2 )


tan

φ’k γφ’ 1.0 1.25



Peso dell’unità


tg

ϕ’d1

= tgϕ’k

/γϕ‘1

= tg

32°/1.00 = 0.625

γd1

= γd2

= γd

= γk

/γγ

= 20/1 kN/m3

= γk

= 20 kN/m3

ϕ’d1

= arctg(tgϕ’k

/γϕ1

’) = 32°;KAd1

= 0.398tg

ϕ’d2

= tgϕ’k

/γϕ‘2

= tg

32°/1.25 = 0.500 ϕ’d2

= arctg(tgϕ’k

/γϕ2

’) = 26.6°;KAd2

= 0.530

tg

δ’d2

= tgδk

/γϕ‘2

= tg

32°/1.25 = 0.500 δd2

= arctg(tgδk

/γϕ2

’) = 26.6°tg

δd1

= tgδk

/γϕ‘1

= tg

32°/1.00 = 0.625 δd1

= arctg(tgϕ’k

/γϕ1

’) = 32°



UNIVERSITA’


6767/80/80


Nello

stato

limite

ultimo

di

collasso

per

scorrimento,

l’azione

di

progetto

è data

dalla

componente

della

risultante

delle

forze

in

direzione

parallela

al

piano

di

scorrimento

della

fondazione,

mentre

la

resistenza

di

progetto

è il valore della forza parallela allo piano cui corrisponde lo scorrimento del muro.

Tabella

6.2.I (2.6.I) –

Coefficienti

parziali

per le azioni

o per l’effetto

delle

azioni


(o

γE)EQU ( A1 )

STR( A2 )GEO


γG10,9 1,0 1,0


Permanenti


γG20,0 0,0 0,0


VariabiliFavorevole

γQi0,0 0,0 0,0


Tabella 6.5.I –

Coefficienti parziali γR

per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno

VERIFICA COEFFICIENTE

PARZIALE (R1

)COEFFICIENTE

PARZIALE (R2

)COEFFICIENTE

PARZIALE (R3

))

Capacità

portante della fondazione 1.0 1.0 1.4

Scorrimento 1.0 1.0 1.1

Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4

UNIVERSITA’


6868/80/80


Approccio 1 –

Combinazione 2 (A2 + M2 + R2)SAγ(d)

= γG1

∙A8

= γG1

∙

σ’hA

(H)∙H/2 = γG1

∙KAd2

∙σ’v0

(H)∙H/2 = γG1

∙KAd1

∙γd

∙cosβ∙H∙H/2

SAq(d)

= γQi

∙A7

= γQi

∙

Δσ’hA

∙H = γQi

∙kAd1

∙q∙HSaγ(d),H

= Saγ(d)

∙cosβ

= 324.35∙cos20°

kN/m

= 304.79 kN/mSAq(d),H

= SAq(d)

∙cosβ

= 55.60∙cos20°

kN/m

= 52.25 kN/m

= 1.0∙0.53 ∙

20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2

= 324.35 kN/m= 1.3∙0.53 ∙

10 kN/m2∙8.07m

= 55.60 kN/m

Saγ(d),V

= Saγ(d)

∙senβ

= 324.35∙sen20°

kN/m

= 110.93 kN/mSAq(d),V

= SAq(d)

∙senβ

= 55.60∙sen20°

kN/m

= 19.02 kN/m

= 649.88 kN/m

W1d

= γG1

∙γm

∙A1

= 1.0∙24kN/m3∙1.32m2

= 31.68kN/m;

∑=

=6

1ii(d) WW

W2d

= γG1

∙γm

∙A2

= 1.0∙24kN/m3∙2.8m2

= 67.20 kN/m;W3d

= γG1

∙γm

∙A3

= 1.0∙24kN/m3∙0.6m2

= 14.40 kN/m;W4d

= γG1

∙γm

∙A4

= 1.0∙24kN/m3∙3m2

= 72.00 kN/m;W5d

= γG1

∙γm

∙A5

= 1.0∙20kN/m3∙21m2

= 420.00 kN/m;W6d

= γG1

∙γm

∙A6

= 1.0∙20kN/m3∙2.23m2

= 44.60 kN/m;

RH(d)

= SAγ(d),H

+ SAq(d),H

= (304.79 + 52.25) kN/m

= 357,04 kN/m

RV(d)

= SAγ(d),V

+ SAq(d),V

+W(d)

= (110.93 + 19.02 + 649.88) kN/m

= 779.83 kN/mSpinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’


6969/80/80


Approccio 1 –

Combinazione 2 (A2 + M2 + R2)

Rd

= 1/γR2

∙RV(d),V

∙tgδd2

= (779.83)kN/m ∙tg26.6°

= 390.51 kN/m

Ed

= R,H(d)

= 357.04 kN/m

Quindi:

Ed

≤

Rd VERIFICA SODDISFATTA

Approccio 2 –

Combinazione (A1 + M1 + R3)

SAγ(d)

= γG1

∙A8

= γG1

∙

σ’hA

(H)∙H/2 = γG1

∙KAd1

∙σ’v0

(H)∙H/2 = γG1

∙KAd1

∙γd

∙cosβ∙H∙H/2

SAq(d)

= γQi

∙A7

= γQi

∙

Δσ’hA

∙H = γQi

∙kAd2

∙q∙HSaγ(d),H

= Saγ(d)

∙cosβ

= 316.64∙cos20°

kN/m

= 297.54 kN/mSAq(d),H

= SAq(d)

∙cosβ

= 48.18∙cos20°

kN/m

= 45.27 kN/m

= 1.3∙0.398 ∙

20 kN/m3∙cos20°∙8.072m2/2

= 316.64 kN/m= 1.5∙0.398 ∙

10 kN/m2∙8.07m

= 48.18 kN/m

Saγ(d),V

= Saγ(d)

∙senβ

= 316.64∙sen20°

kN/m

= 108.30 kN/mSAq(d),V

= SAq(d)

∙senβ

= 48.18∙sen20°

kN/m

= 16.48 kN/m

RH(d)

= SAγ(d),H

+ SAq(d),H

= (297.54 + 45.27) kN/m

= 342,81 kN/m



UNIVERSITA’


7070/80/80


= 649.88 kN/m

W1d

= γG1

∙γm

∙A1

= 1.0∙24kN/m3∙1.32m2

= 31.68kN/m;

∑=

=6

1ii(d) WW

W2d

= γG1

∙γm

∙A2

= 1.0∙24kN/m3∙2.8m2

= 67.20 kN/m;W3d

= γG1

∙γm

∙A3

= 1.0∙24kN/m3∙0.6m2

= 14.40 kN/m;W4d

= γG1

∙γm

∙A4

= 1.0∙24kN/m3∙3m2

= 72.00 kN/m;W5d

= γG1

∙γm

∙A5

= 1.0∙20kN/m3∙21m2

= 420.00 kN/m;W6d

= γG1

∙γm

∙A6

= 1.0∙20kN/m3∙2.23m2

= 44.60 kN/m;

Rd

= 1/γR3

∙RV(d)

∙tgδd1

= 1/1.1∙774.66 kN/m

∙tg32°

= 444.06 kN/m

Ed

= RH(d)

= 342.81 kN/m

Quindi:

Ed

≤

Rd VERIFICA SODDISFATTA

N.B. Essendo R1

< R3

la verifica secondo l’Approccio 1‐Combinazione 1 può essere omessa.

RV(d)

= SAγ(d),V

+ SAq(d),V

+W(d)

= (108.30 + 16.48 + 649.88) kN/m

= 774.66 kN/m



UNIVERSITA’


7171/80/80


Verifiche secondo la vigente normativa (D.M. 14 gennaio 2008)2.

VERIFICA

ALLO

STATO

LIMITE

DI

COLLASSO

PER

CARICO

LIMITE

DELL’INSIEME FONDAZIONE‐TERRENOLo

stato

limite

di

scorrimento

prevede

la

mobilitazione

della

resistenza

del

terreno di fondazione (Rd

> 0), e deve essere trattato

come

uno

stato

limite

di tipo geotecnico (GEO).

‐

per

le

azioni

di

progetto

si

utilizzano

i

coefficienti

parziali

γG

sulle

azioni (A1 e/o A2) della Tabella 2.6.I

‐

per

i

parametri

geotecnici

di

progetto

del

terreno

si

utilizzano

i


(M1 e/o M2) della Tabella 6.2.II.


≤

Rd

‐

per

la

resistenza

di

progetto

il

coefficiente

parziale

γR

da

adottare

è fornito dalla Tabella 6.5.I:



UNIVERSITA’


7272/80/80



I

coefficienti

parziali

γM

da

adottare

per

determinare

i


sono:

Tabella 6.2.II –



PARZIALE


( M1 ) ( M2 )


tan

φ’k γφ’ 1.0 1.25



Peso dell’unità


tg

ϕ’d1

= tgϕ’k

/γϕ‘1

= tg

32°/1.00 = 0.625

γd1

= γd2

= γd

= γk

/γγ

= 20/1 kN/m3

= γk

= 20 kN/m3

ϕ’d1

= arctg(tgϕ’k

/γϕ1

’) = 32°;KAd1

= 0.398tg

ϕ’d2

= tgϕ’k

/γϕ‘2

= tg

32°/1.25 = 0.500 ϕ’d2

= arctg(tgϕ’k

/γϕ2

’) = 26.6°;KAd2

= 0.530



UNIVERSITA’


7373/80/80


Nello

stato

limite

di

collasso

per

raggiungimento

del

carico

limite

della fondazione,

l’azione

di

progetto

è la

componente

della

risultante

delle

forze in direzione normale al piano di posa. La resistenza di progetto

è il valore

della

forza

normale

al

piano

di

posa

a

cui

corrisponde

il

raggiungimento del carico limite nei terreni in fondazione. Tabella

6.2.I (2.6.I) –

Coefficienti

parziali

per le azioni

o per l’effetto

delle

azioni


(o

γE)EQU ( A1 )

STR( A2 )GEO


γG10,9 1,0 1,0


Permanenti


γG20,0 0,0 0,0


VariabiliFavorevole

γQi0,0 0,0 0,0


Tabella 6.5.I –

Coefficienti parziali γR

per le verifiche agli stati limie ultimi STR e GEO dei muri di sostegno

VERIFICA COEFFICIENTE

PARZIALE (R1

)COEFFICIENTE

PARZIALE (R2

)COEFFICIENTE

PARZIALE (R3

))

Capacità

portante della fondazione 1.0 1.0 1.4

Scorrimento 1.0 1.0 1.1

Resistenza del terreno a valle 1.0 1.0 1.4

UNIVERSITA’


7474/80/80


Approccio 1 –

Combinazione 2 (A2 + M2 + R2)

Si

considera

sempre

il

caso

più

cautelativo

di

maggiore

eccentricità

e inclinazione

del

carico

(ovvero

non

considerando

il

sovraccarico

agente

tra lembo anteriore del piede e parete del muro).

con angolo di inclinazione:Ψ(d)

= arctg(RH(d)

/RV(d)

) = arctg(357.04/779.83)

= 24.6°β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

b1

Ox

RV(d)

= SAγ(d),V

+ SAq(d),V

+W(d)

= (110.93 + 19.02 + 649.88) kN/m

= 779.83 kN/mRH(d)

= SAγ(d),H

+ SAq(d),H

= (304.79 + 52.25) kN/m

= 357.04 kN/m

La

risultante

delle

forze

trasmesse

dal

muro

al

terreno

di

fondazione

ha componenti verticale ed orizzontale:

e momento risultante rispetto al piede esterno O:MTOT(d)

= ‐

MW(d)

‐(SAγ(d),V

∙xAγ

+ SAq(d),V

∙

xAq

) + SAγ(d),H

∙yAγ

+ SAq(d),H

∙

yAqyAγ

= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 mxAγ

= b2

+ b3

+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 myAq

= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 mxAq

= xA

= 5.15 m

con:



UNIVERSITA’


7575/80/80


β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

qk

h

D = h2

b1

Ox

= ‐

1976.48 ‐(110.93∙5.15 + 19.02∙

5.15)+304.79∙2.69+ 52.25∙4.035= ‐

1615 kN

= 649.88 kN/m

W1d

= γG1

∙γm

∙A1

= 1.0∙24kN/m3∙1.32m2

= 31.68 kN/m;M1d

= W1d

∙x1

= 31.68 kN/m∙0.825m = ‐26.14 kNM2d

= W2d

∙x2

= 67.20kN/m∙3.4m = ‐228.48 kNM3d

= W3d

∙x3

= 14.40kN/m∙1.08m = ‐15.55 kNM4d

= W4d

∙x4

= 72kN/m∙1.4m = ‐100.80 kNM5d

= W5d

∙x5

= 420kN/m∙3.4m = ‐1428.00 kNM6d

= W6d

∙x6

= 44.60kN/m∙3.98m = ‐177.51 kN

W2d

= γG1

∙γm

∙A2

= 1.0∙24kN/m3∙2.8m2

= 67.20 kN/m;W3d

= γG1

∙γm

∙A3

= 1.0∙24kN/m3∙0.6m2

= 14.40 kN/m;W4d

= γG1

∙γm

∙A4

= 1.0∙24kN/m3∙3m2

= 72.00 kN/m;W5d

= γG1

∙γm

∙A5

= 1.0∙20kN/m3∙21m2

= 420.00 kN/m;W6d

= γG1

∙γm

∙A6

= 1.0∙20kN/m3∙2.23m2

= 44.60 kN/m;

∑=

=6

1ii(d) WW ∑

=

=6

1i)d(i)d(w MM = 1976.48 kN

MTOT(d)

= ‐

MW(d)

‐(SAγ(d),V

∙xAγ

+ SAq(d),V

∙

xAq

)+ SAγ(d),H

∙yAγ

+ SAq(d),H

∙

yAq

La

risultante

è

dunque

applicata

nel

punto

di ascissa (rispetto al piede esterno O):

xR(d)

= |MTOT(d)

|/RV(d)

= 1615kN /779.83kN/m = 2.07 m

e l’eccentricità


(sezione interamente reagente)

e(d)

= B/2 – xR(d)

= (5.15/2 –

2.07)m =

0.505 m < B/6 = 0.858 m



UNIVERSITA’



dove:

7676/80/80

‐


portante valgono:

‐


= B ‐

2e(d)

= 5.15 ‐

2∙0.505

= 4.14 m

‐

il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V = RH(d)

/RV(d)

= 357.04/779.83 = 0.458)

ϑ⋅+ϑ⋅= 2B

2L senmcosmm

LB1LB2

mB

+

+=

BL1

BL2

mL

+

+=iγ

=1m

VH1

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

dove

θ

è l’angolo

d’inclinazione

della

proiezione

del

carico

rispetto


= 90°, quindi:

m = mB

= 2 (per L = +∞)

( ) 2dq ʹtg1N2N ϕ⋅−⋅=γ = 2∙(12.63‐1)∙tg26.6°

= 11.65

)2ʹ(45tg eN 2d2d2ʹtg

q

ϕ+°= ϕ⋅π = eπtg26.6°tg2(45°+26.6°/2)

= 12.63

‐

il

peso

di

volume

del

terreno

di

fondazione

γd

=

20kN/m3

(essendo

il

terreno asciutto)

L’espressione del carico limite è

data da: γγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ21iNqq qqlim

Iγ = (1‐0.458)3

= 0.159 Iq

= (1‐0.458)2

= 0.294

q = γd

∙D = 20 kN/m3∙0.8 m = 16 kPa‐

Il sovraccarico vale::Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’



7777/80/80

qlim

= 16 kN/m2∙

12.63∙0.294 + ½∙

20

kN/m3∙

4.14m

∙

11.65∙

0.159

= 136.10kPaγγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ

21iNqq qqlim

Il carico limite

vale dunque:

Quindi l’azione di progetto

vale:Ed

= RV(d)

= 779.83 kN/me la resistenza di progetto

vale:

Rd

= 1/γR2

∙qlim

∙B’

= 1/1∙136.10kN/m2∙4.14 m = 563.45 kN/m

< EdVERIFICA NON SODDISFATTA

Approccio 2 –

Combinazione (A1 + M1 + R3)

RV(d)

= SAγ(d),V

+ SAq(d),V

+W(d)

= (108.30 + 16.48 + 649.88) kN/m

= 774.66 kN/mRH(d)

= SAγ(d),H

+ SAq(d),H

= (297.54 + 45.27) kN/m

= 342.81 kN/m

La

risultante

delle

forze

trasmesse

dal

muro

al

terreno

di

fondazione

ha componenti verticale ed orizzontale:

con angolo di inclinazione:Ψ(d)

= arctg(RH(d)

/RV(d)

) = arctg(342.81/774.66)

= 23.9°



UNIVERSITA’



7878/80/80

β = 20°

qk = 10 kPa

h=6 m

h1=h2=0,8 m

b2 b3 b

H

B

b1=0,5m

21

6

54

3

7

8

MTOT(d)

= ‐

MW(d)

‐(SAγ(d),V

∙xAγ

+ SAq(d),V

∙

xAq

) + SAγ(d),H

∙yAγ

+ SAq(d),H

∙

yAqyAγ

= H/3 = 8.07/3 m = 2.69 mxAγ

= b2

+ b3

+b = (0.95 + 0.7 +3.5)m = 5.15 myAq

= H/2 = 8.07/2 m = 4.035 mxAq

= xA

= 5.15 m= 649.88 kN/m;∑

=

=6

1ii(d) WW ∑

=

=6

1i)d(i)d(w MM = 1976.48 kN

= ‐

1976.48 ‐(108.30∙5.15 + 16.48∙

5.15)+297.54∙2.69+ 45.27∙4.035= ‐

1636.05 kN

MTOT(d)

= ‐

MW(d)

‐(SAγ(d),V

∙xAγ

+ SAq(d),V

∙

xAq

)+ SAγ(d),H

∙yAγ

+ SAq(d),H

∙

yAq

=

La

risultante

è

dunque

applicata

nel

punto

di ascissa (rispetto al piede esterno O):

xR(d)

= |MTOT(d)

|/RV(d)

= 1636.05kN /774.66kN/m = 2.11 m

e l’eccentricità


(sezione interamente reagente)e(d)

= B/2 – xR(d)

= (5.15/2 –

2.11)m =

0.465 m < B/6 = 0.858 m



UNIVERSITA’



dove:

7979/80/80

‐


portante valgono:

‐


= B ‐

2e(d)

= 5.15 ‐

2∙0.465

= 4.22 m

‐

il fattore di inclinazione del carico (essendo il carico inclinato conH/V = RH(d)

/RV(d)

= 342.81/774.66 = 0.443)

ϑ⋅+ϑ⋅= 2B

2L senmcosmm

LB1LB2

mB

+

+=

BL1

BL2

mL

+

+=iγ

=1m

VH1

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

dove

θ

è l’angolo

d’inclinazione

della

proiezione

del

carico

rispetto


= 90°, quindi:

m = mB

= 2 (per L = +∞)

( ) 1dq ʹtg1N2N ϕ⋅−⋅=γ = 2∙(23.15‐1)∙tg32°

= 27.68

)2ʹ(45tg eN 1d2d1ʹtg

q

ϕ+°= ϕ⋅π = eπtg32°tg2(45°+32°/2)

= 23.15

‐

il

peso

di

volume

del

terreno

di

fondazione

γd

=

20kN/m3

(essendo

il

terreno asciutto)

L’espressione del carico limite è

data da: γγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ21iNqq qqlim

Iγ = (1‐0.443)3

= 0.173 Iq

= (1‐0.443)2

= 0.310

q = γd

∙D = 20 kN/m3∙0.8 m = 16 kPa‐

Il sovraccarico vale::Spinta delle terre e muri di sostegno Spinta delle terre e muri di sostegno ––


UNIVERSITA’



80/8080/80

qlim

= 16 kN/m2∙

23.15∙0.310 + ½∙

20

kN/m3∙

4.22m

∙

27.68∙

0.173

= 316.9 kPaγγ ⋅⋅⋅γ⋅+⋅⋅= iNBʹ

21iNqq qqlim

Il carico limite

vale dunque:

Quindi l’azione di progetto

vale:Ed

= RV(d)

= 774.66 kN/me la resistenza di progetto

vale:

Rd

= 1/γR3

∙qlim

∙B’

= (1/1.4)∙316.9 kN/m2∙4.22 m = 955.23 kN/m

> EdVERIFICA SODDISFATTA



“spinta delle terre e muri di sostegno”geotecnica.dicea.unifi.it/less_spi_es10.pdf“spinta...

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