ap polonius
DESCRIPTION
makalahTRANSCRIPT
MAKALAH SEMINAR PENDIDIKAN MATEMATIKA
Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips dan Hiperbola
Oleh :
Fitri Handayani
NIM. 07 05045 136
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MULAWARMAN
2010
i
HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN
Judul : Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips
dan Hiperbola
Nama : Fitri Handayani
Nim : 070504536
Diajukan pada mata kuliah : Seminar PendidikanMatematika
Pembimbing I
Dra. Suriaty, M.PdNIP. 19571213 198601 2 001
Pembimbing II
Drs. H. Zainuddin Untu, M.PdNIP.19651231 199203 1 041
Pembimbing III
Safrudiannur, S.Pd, M.PdNIP.
ii
KATA PENGANTAR
Segala puji hanya milik Allah SWT, karena berkat rahmat dan hidayah-
Nya makalah ini dapat disusun. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah
kepada suri teladan, Rasulullah SAW.
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Seminar
Pendidikan Matematika dengan judul “Pembuktian Dalil Apollonius pada Ellips
dan Hiperbola”.
Tak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Drs. Zainuddin
Untu, M.Pd dan Bapak Safrudiannur, M. Pd serta Ibu Dra. Suriaty, M.Pd selaku
dosen mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika yang telah memberikan
bimbingan dan arahan selama penyusunan makalah ini. Penulis juga
mengucapkan terima kasih kepada keluarga dan teman-teman yang memberikan
semangat dan bantuan kepada penulis.
Penulis menyadari, bahwa makalah ini masih terdapat banyak kekurangan,
karena keterbatasan kemampuan penulis dalam penyusunannya. Oleh karena itu
kritik dan saran sebagai perbaikan sangat penulis harapkan.
Samarinda, 26 Desember 2010
Penulis
iii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL DAN PENGESAHAN ................................................... i
KATA PENGANTAR...................................................................................... ii
DAFTAR ISI .................................................................................................... iii
BAB I. PENDAHULUAN ..................................................................................1
A. Latar Belakang ..................................................................................1
B. Rumusan Masalah..............................................................................2
C. Batasan Masalah ................................................................................2
D. Tujuan Penulisan ...............................................................................2
E. Manfaat Penulisan..............................................................................3
BAB II. PEMBAHASAN....................................................................................4
A. Ellips .................................................................................................4
B. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Ellips.........................................8
C. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Ellips .......................................6
D. Hiperbola...........................................................................................10
E. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Hiperbola ..................................12
F. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Hiperbola .................................16
BAB III. PENUTUP.............................................................................................22
A. Kesimpulan .......................................................................................22
B. Saran .................................................................................................22
DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................23
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Matematika memiliki struktur dan keterkaitan yang kuat dan jelas antar
konsepnya. Sehingga untuk mencapai konsep yang lebih tinggi, harus
diketahui dulu konsep-konsep dasar yang menjadi pondasinya. Begitu pula
dengan irisan kerucut.
Untuk memahami lebih dalam tentang irisan kerucut, harus dipahami
terlebih dahulu konsep tentang kerucut, bangun ruang, bangun datar, dan
konsep-konsep dasar lain yang mendukung. Apollonius adalah salah satu
matematikawan yang memperkenalkan irisan kerucut lewat karya-karyanya
yang berdampak besar bagi perkembangan matematika. Buku karyanya yang
terkenal, Conics (kerucut), mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer
seperti: parabola, elips dan hiperbola. Disebut dengan kerucut karena irisan
dari sebuah kerucut akan menghasilkan tiga bentuk yang sudah disebut di atas.
Dalam pembahasannya tentang irisan kerucut, Apollonius menemukan
sebuah dalil pada ellips dan hiperbola yang kemudian diberi nama Dalil
Apollonius. Pada ellips, Dalil Apollonius I berbunyi, ”Jumlah kuadrat garis
tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya” dan Dalil
Apollonius II, “Luas jajargenjang yang mengelilingi elips pada garis-garis
tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips”.
Pada hiperbola, Dalil Apollonius I berbunyi, “Selisih kuadrat garis
tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya.” dan Dalil
2
Apollonius II, “Luas jajargenjang yang mengelilingi hiperbola pada garis-garis
tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu
hiperbola”. Dalil-dalil ini tentu akan semakin jelas apabila diketahui alur
penemuannya, yang pada akhirnya akan terlihat dengan jelas pula keterkaitan
antar konsepnya. Untuk itu perlu dilakukan pembuktian pada dalil tersebut.
Berdasarkan pemaparan di atas, penulis ingin membahas pembuktian
Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola.
B. Rumusan Masalah
Dari latar belakang dan batasan masalah di atas penulis merumuskan
masalah yaitu bagaimana pembuktian Dalil Apollonius I dan II pada ellips dan
hiperbola?
C. Batasan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan di atas, maka dalam
makalah ini penulis membatasi masalah pada pembuktian Dalil Apollonius I
dan II pada ellips dan hiperbola.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang diharapkan dari penulisan ini adalah untuk membuktikan
Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola yaitu, pada ellips Dalil Apollonius I
berbunyi, ”Jumlah kuadrat garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat
sumbu-sumbunya” dan Dalil Apollonius II, “Luas jajargenjang yang
3
mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi
panjang pada sumbu-sumbu ellips”. Pada hiperbola, Dalil Apollonius I
berbunyi, “Selisih kuadrat garis tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat
sumbu-sumbunya.” dan Dalil Apollonius II, “Luas jajargenjang yang
mengelilingi hiperbola pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas
persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola”.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat yang dapat diambil dari hasil penulisan ini adalah dapat
membantu siswa, guru, dan semua pihak yang berminat pada matematika
dalam memahami Dalil Apollonius pada ellips dan hiperbola, serta dapat
menambah pengetahuan kita tentang materi ellips dan hiperbola khususnya
pada mata kuliah Geometri Analit Bidang dan Ruang.
4
BAB II
PEMBAHASAN
A. Ellips
Ellips adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik pada bidang
datar yang jaraknya terhadap dua titik adalah tetap (konstan) dan merupakan
bilangan tertentu, kedua titik tetap itu disebut focus. Dari definisi tersebut,
diperoleh persamaan ellips dengan pusat O(0,0) adalah 12
2
2
2
b
y
a
x. Untuk
ellips dengan pusat P ),( , persamaannya adalah 1)()(
2
2
2
2
b
y
a
x .
Suatu garis lurus dapat memotong ellips, menyinggung, atau tidak
memotong dan menyinggung ellips. Dalam hal yang terakhir, garis dan ellips
tidak mempunyai titik persekutuan.
Misalkan persamaan garis yang gradiennya m adalah nxmy dan
persamaan ellips 12
2
2
2
b
y
a
x, maka untuk garis yang menyinggung ellips
atau disebut garis singgung ellips, persamaannya adalah
222 mabmxy . persamaan ini untuk ellips dengan pusat O(0,0).
Tampak bahwa ada dua garis singgung yang gradiennya m. Sedangkan untuk
ellips yang berpusat di P ),( dengan gradien m, persamaan garis
singgungnya adalah 222)()( mabxmy .
5
Persamaan garis singgung ellips juga dapat diperoleh dengan
menggunakan titik singgung yang diketahui. Misal titik singgungnya adalah T
),( 11 yx .
Persamaan garis yang menyinggung ellips 12
2
2
2
b
y
a
xadalah
12
12
1 b
yy
a
xx, sedangkan garis singgung ellips 1
)()(2
2
2
2
b
y
a
x ,
persamaannya adalah 1))(())((
21
21
b
yy
a
xx .
Garis-garis tengah y = mx dan xma
by
2
2 disebut garis-garis tengah
sekawan, sedangkan m1= m dan m2 = ma
b2
2disebut arah-arah sekawan.
Berarti 2
2
21 a
bmm
< 0 sehingga m1 dan m2 berlawanan tanda. Jadi, garis-
garis tengah sekawan ellips dipisahkan oleh sumbu-sumbu koordinat.
6
B. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Ellips
“Jumlah kuadrat garis tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-
sumbunya”
Persamaan Ellips 12
2
2
2
b
y
a
x
Misal ),( 11 yxP dan ),( 11 yxQ adalah titik ujung garis tengah sekawan.
Garis singgung di P memiliki persamaan 12
1
2
1 b
yy
a
xx
Gradiennya 1
2
1
2
1 ya
xbm
Gradien PQ adalah 1
12 x
ym
A
P(x1,y1)
D
S
C
Q
B O
R(x2,y2)
a1b1
a
bx
y
7
Apabila kedua gradien dikalikan, 1
1
12
12
21 x
y
ya
xbmm
maka hasilnya adalah
2
2
21 a
bmm
Hal ini menujukkan bahwa garis singgung di P sejajar dengan garis tengah yang
sekawan dengan P Q.
Jadi garis singgung di P sejajar dengan garis tengah sekawan PQ
Jika RS garis tengah sekawan PQ maka persamaannya 02
1
2
1 b
yy
a
xx.
Koordinat R dan S sebagai koordinat-koordinat titik potong RS dengan ellips.
Dari persamaan garis RS diperoleh1
21
ya
bxx
b
y sehingga 1
2
12
12
2
ya
bxx
a
xatau
112
12
221
2
2
ya
bx
a
x. Karena P(x1,y1) terletak pada ellips maka
2221
2221 bayabx . Jadi 1
21
2
22
2
2
ya
ba
a
xatau 1
1 21
2
22
ya
bxatau 12 y
b
ax ,
sehingga 12 xa
by .
Jadi,
11 , x
a
by
b
aR dan
11, x
a
by
b
aS
Jika 1aOP , 1bOR , maka
2
1
2
1
2
1 yxa
2
12
22
12
22
1 xa
by
b
ab
8
A
P(x1,y1)
D
S
C
Q
B O
R(x2,y2)a1
b1
ab
x
2
12
222
12
222
1
2
1 yb
bax
a
baba
2
21
2
21222
121 )(
b
y
a
xbaba , karena 1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
222
1
2
1 baba
222
1
2
1 4444 baba
Jadi terbukti Dalil Apollonius I, bahwa “Jumlah kuadrat garis tengah sekawan
sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya”
C. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Ellips
“Luas jajargenjang yang mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama
dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips”
9
1
2sinb
y
1
2cosb
x
1
1sina
y
1
1cosa
x
, sehingga
)sin(sin
sincoscossinsin
1
1
1
2
1
1
1
2sina
y
b
x
a
x
b
y
11
1221sinba
yxyx
Luas jajargenjang OPAR = sin11ba
= 11
122111 ba
yxyxba
= 1221 yxyx
Karena P(x1,y1) terletak pada ellips maka 2221
2221 bayabx . Jadi
12
12
22
2
2
ya
ba
a
xatau 1
1 21
2
22
ya
bxatau 12 y
b
ax , sehingga 12 x
a
by .
10
= 1221 yxyx
= 1111 yyb
ax
a
bx
= 2
1
2
1 yb
ax
a
b
=
2
2
1
2
2
1
b
y
a
xab , karena 1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
= ab
Luas jajargenjang ABCD = ab4
= 4ab
Luas persegi panjang = panjang x lebar
Luas persegi panjang = abba 422
Jadi terbukti Dalil Apollonius II, bahwa “Luas jajargenjang yang mengelilingi
ellips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada
sumbu-sumbu ellips”
D. Hiperbola
Hiperbola adalah himpunan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap
dua titik tertentu tetap besarnya atau hiperbola adalah tempat kedudukan yang
perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu tetap
besarnya dan perbandingan ini lebih besar dari 1. Titik itu disebut titik api dan
garis tertentu disebut garis arah ( direktris). Dari definisi tersebut, diperoleh
11
persamaan hiperbola dengan pusat O(0,0) adalah 12
2
2
2
b
y
a
x. Untuk
hiperbola dengan pusat P ),( , persamaannya adalah
1)()(
2
2
2
2
b
y
a
x .
Garis yang menyinggung hiperbola atau disebut garis singgung
hiperbola, persamaannya adalah 222 mabmxy , persamaan ini untuk
hiperbola dengan pusat O(0,0). Sedangkan untuk hiperbola dengan pusat P
),( , persamaan garis singgungnya adalah
222)()( mabxmy .
Persamaan garis singgung hiperbola juga dapat diperoleh dengan
menggunakan titik singgung yang diketahui. Misal titik singgungnya adalah T
),( 11 yx . Persamaan garis yang menyinggung hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
xadalah
12
12
1 b
yy
a
xx, sedangkan garis singgung hiperbola 1
)()(2
2
2
2
b
y
a
x ,
persamaannya adalah 1))(())((
21
21
b
yy
a
xx .
Garis-garis tengah y = mx dan xma
by
2
2
disebut garis-garis tengah
sekawan, sedangkan m1= m dan m2 = ma
b2
2
disebut arah-arah sekawan.
Berarti 2
2
21 a
bmm > 0 sehingga m1 dan m2 mempunyai tanda yang sama.
12
E. Pembuktian Dalil Apollonius I pada Hiperbola
“Selisih kuadrat garis tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat sumbu-
sumbunya”
Persamaan hiperbol yang melalui P adalah 12
2
2
2
b
y
a
x
Misal ),( 11 yxP dan ),( 11 yxQ adalah titik ujung garis tengah sekawan
Garis singgung di P memiliki persamaan 12
1
2
1 b
yy
a
xx
Gradiennya 1
2
1
2
1 ya
xbm
Gradien PQ adalah 1
12 x
ym
P (x1,y1)O
GD
CBD
F
E
A
a1b1
a
b
x
y
S
Q
R (x2,y2)
13
Apabila kedua gradient dikalikan, hasilnya 2
2
21 a
bmm
Jadi garis singgung di P sejajar dengan garis tengah sekawan PQ
Jika RS garis tengah sekawan PQ maka persamaannya 02
1
2
1 b
yy
a
xx
2
1
2
1
b
yy
a
xx
1
2
1
2
xb
yyax ...(i)
Koordinat R dan S sebagai koordinat-koordinat titik potong RS dengan
hiperbola 12
2
2
2
b
y
a
x …(ii)
Untuk mencari koordinat R dan S , substitusikan (i) dan (ii)
12
2
2
2
b
y
a
x
12
2
2
1
42
22
1
4
b
y
xba
yya
11
22
1
4
2
1
22
bxb
yay
12
1
4
2
1
22
1
22
xb
xbyay
14
22
22
2
1
22
1
2
2
1
42
1
1
ba
baxbya
xby
222
1
22
1
2
22
1
22
1)(
/
baxbya
axby
2
2
1
2
2
1
22
1
22 /
a
x
b
yaxb
y
2
2
1
2
2
1
22
1
22 /
a
x
b
yaxb
y
2
2
1
22
a
xby
a
bxy 1
a
bxy 1
2
Substitusikan a
bxy 1 ke persamaan (i) akan diperoleh
1
2
1
2
xb
yyax
axb
bxyax
1
2
11
2
b
ayx 1
15
b
ayx 1
2
11, xa
by
b
aR dan
11 , x
a
by
b
aS
Jika 1aOP , 1bOR , maka
2
1
2
1
2
1 yxa
2
12
22
12
22
1 xa
by
b
ab
2
12
222
12
222
1
2
1 yb
bax
a
baba
2
2
1
2
2
1222
1
2
1 )(b
y
a
xbaba , karena 1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
222
1
2
1 baba
222
1
2
1 4444 baba
Jadi terbukti Dalil Apollonius I , bahwa “Selisih kuadrat garis tengah sekawan
sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya”.
16
F. Pembuktian Dalil Apollonius II pada Hiperbola
“Luas jajargenjang pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas persegi
panjang pada sumbu-sumbu hiperbola”
1
2sinb
y
1
2cosb
x
1
1sina
y
1
1cosa
x
, sehingga
)sin(sin
sincoscossinsin
P (x1,y1)O
GD
CBD
F
E
A
a1
b1
a
b
x
y
S
Q
R (x2,y2)
17
1
1
1
2
1
1
1
2sina
y
b
x
a
x
b
y
11
1221sinba
yxyx
Luas jajargenjang OPFR = sin11ba
= 11
122111 ba
yxyxba
= 1221 yxyx
Karena P(x1,y1) terletak pada hiperbola maka 2221
2221 bayabx . Jadi
12
12
22
2
2
ya
ba
a
xatau 1
1 21
2
22
ya
bxatau 12 y
b
ax , sehingga 12 x
a
by
= 1111 yyb
ax
a
bx
= 2
1
2
1 yb
ax
a
b
=
2
2
1
2
2
1
b
y
a
xab , karena 1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
= ab
Luas jajargenjang DEFG = ab4
Luas persegi panjang ABCD = pajang x lebar
Luas persegi panjang ABCD = abba 422
Jadi terbukti Dalil Apollonius II , bahwa “Luas jajargenjang pada garis-garis
tengah sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu hiperbola”.
18
Contoh Soal:
1. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1520
22
yx
yang tegak lurus garis 2x – 2y + 13 = 0
Penyelesaian:
Koefisien arah garis 2x – 2y + 13 = 0 adalah m1 = 1
Andaikan persamaan garis singgungnya mempunyai arah persamaan m, maka
berlakulah m.(m1) = -1. Jadi, persamaan garis singgungnya
222 mabmxy
5)1(20 2 xy
5 xy
Jadi, persamaan garis singgung pertama y = -x + 5 dan garis singgung kedua
adalah y = -x – 5
2. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 12430
22
yx
yang mempunyai absis 5.
Penyelesaian:
Titik yang mempunyai absis 5 pada ellips ordinatnya dapat dicari dengan cara
mensubtitusikan absisnya ke persamaan ellips.
19
12430
22
yx
Untuk x = 5, maka
12430
22
yx
12430
5 22
y
12430
252
y
1246
52
y
24
24
2424
202
y
24
20
24
24
24
2y
24
4
24
2
y
6
1
24
2
y
246 2 y
6
242 y
42 y
4 y
20
2y
Titik singgungnya (5,2) dan (5,-2). Rumus persamaan garis singgung
12
12
1 b
yy
a
xx
124
2
30
5
yx
12126
yx
12
12
1212
2
yx
2x + y = 12 atau 2x + y – 12 = 0
Garis singgung yang kedua melalui (5, -2) adalah
124
2
30
5
yx
124
2
30
5
yx
12126
yx
12
12
1212
2
yx
12126
yx
12
12
1212
2
yx
2x - y = 12 atau 2x - y – 12 = 0
Jadi, persamaan garis singgung pada ellips adalah 2x + y – 12 = 0 dan
21
2x - y – 12 = 0
3. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips 1
520
22
yx
yang melalui titik A(2, -1).
Penyelesaian:
Perlu diselidiki letak A(2, -1) terhadap ellips. Ternyata titik A terletak di luar
ellips. Misal titik S(x0, y0) adalah titik singgungnya, maka persamaan garis
singgung di S adalah
11400
yyxx
atau x0x + 4y0y = 4. titik A pada garis singgung, maka
2x0 + 4y0 = 4 atau x0 = 2y0 + 2 ………(i)
Titik S terletak pada ellips, jadi berlaku
114
20
20
yx
atau x02 + 4y0
2 = 4 ………(ii)
dari (i) dan (ii) diperoleh
(2y0 + 2)2 + 4y02 = 4
4y02 + 8y0 + 4 + 4y0
2 = 4
y02 + y0 = 0.
Jadi, persamaan garis singgung pada ellips adalah y01 = -1 dan y02 = 0
22
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa:
1. Dalil Apollonius I pada ellips yang berbunyi, “Jumlah kuadrat garis
tengah sekawan sama dengan jumlah kuadrat sumbu-sumbunya” dan
Dalil Apollonius I pada hiperbola yang berbunyi, “Selisih kuadrat garis
tengah sekawan sama dengan selisih kuadrat sumbu-sumbunya”,
dibuktikan dengan memanfaatkan konsep garis singgung, garis tengah
sekawan, Teorema Pythagoras, dan operasi aljabar.
2. Dalil Apollonius II pada ellips yang berbunyi, “Luas jajargenjang yang
mengelilingi elips pada garis-garis tengah sekawan sama dengan luas
persegi panjang pada sumbu-sumbu ellips” dan Dalil Apollonius II pada
hiperbola yang berbunyi, “Luas jajargenjang pada garis-garis tengah
sekawan sama dengan luas persegi panjang pada sumbu-sumbu
hiperbola”, dibuktikan dengan memanfaatkan konsep trigonometri,
geometri, dan operasi aljabar.
B. Saran
Diharapkan dengan adanya makalah seminar ini dapat menambah
pengetahuan khususnya bagi guru untuk dapat menjelaskan pembuktian Dalil
Apollonius pada ellips dan hiperbola dalam pembelajaran.
23
DAFTAR PUSTAKA
Kukuh. 2003. Geometri Anallit Bidang dan Ruang Bagian II. Samarinda : FKIP
Universitas Mulawarman.
http://id.wikipedia.org/wiki/Apollonius_dari_Perga (diakses pada tanggal 20
Oktober 2010 pukul 16.40)
http://www.matematikk.org/biografi/vis.html?tid=62492 (diakses pada tanggal 20
Oktober 2010 pukul 16.55)
http://choirisa.blogspot.com/2009/06/matematika-dan-ilmperkembangannya.html
(diakses pada tanggal 2 November 2010 pukul 11.30)