apéndice g

APNDICE G

Pg. XXXVIII

APNDICE G MODELADO DEL MOTOR

Considerando el motor de C.A. que deseamos controlar en posicin, el campo

est elaborado con un imn permanente, de tal manera que el control se hace por

armadura, para lo que partimos del siguiente circuito electromecnico para realizar

el modelado matemtico.

Fig.G.1. Circuito electromecnico de un motor de CA

Donde: es el voltaje de armadura, la corriente de armadura, la

fuerza contraelectromotriz, la resistencia de armadura, la inductancia de

armadura, la constante elctrica, el par elctrico desarrollado, la

posicin angular, el momento de inercia del motor, la constante de par,

la friccin viscosa total, la velocidad angular, la inductancia mutua, y

el par de la carga.

Para iniciar de manera ms estructurada el modelado del motor aplicamos la ley

de Kirchoff para mallas al circuito de armadura, obteniendo la siguiente ecuacin

diferencial:

APNDICE G

Pg. XXXIX

Por otra parte. A partir de la segunda ley de Newton del equilibrio de fuerzas,

obtenemos la ecuacin de movimiento de la parte mecnica del sistema.

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones y , nos quedan de

la siguiente manera:

Despejando en ambas ecuaciones para igualar y eliminarla, obtenemos:

Encontrando la funcin de transferencia en lazo abierto para una salida en

posicin angular respecto a una entrada de voltaje de armadura, obtenemos el

sistema de tercer orden siguiente:

Si consideramos que la inductancia de la armadura es pequea, el polo

elctrico

se hace ms grande y su desempeo es rpido a bajas frecuencias,

por lo que se puede despreciar. Quedando de la ecuacin el siguiente sistema

de segundo orden:

APNDICE G

Pg. XL

El supuesto anterior se logr de manera ms eficiente implementando un lazo

interno de control de la corriente de armadura, lo cual reduce la constante de

tiempo elctrica y hace el polo elctrico an ms rpido. Este parte se considera

posteriormente en el modelo.

Continuando con la agrupacin de trminos, nos queda la siguiente funcin de

transferencia en lazo abierto:

Al servomotor se le agreg como carga un disco de latn, el cual se comporta

como una masa inercial , de tal manera que la inercia total ser:

Considerando ahora el lazo interno de control en corriente con un controlador

proporcional integral (PI), mas una ganancia debida al sensado y conversin de la

corriente en voltaje , adems de la ganancia debida al amplificador

tenemos el siguiente diagrama a bloques:

Fig. G.2 Modelo del servomotor en lazo abierto, solo con un lazo interno de control

en corriente.

lazo interno PI en corriente

Va T

Ia

w

Servo motor de corriente directa

Tref

Kc

KiI

s

Ka

KpI

Km

Ke

1

s

1

Jt.s+Bm

1

La .s+Ra

APNDICE G

Pg. XLI

Donde; son, respectivamente, las ganancias proporcional e integral del

lazo interno de corriente.

Mediante lgebra de bloques pasamos el punto de resta al inicio y sumamos las

acciones proporcional e integral del lazo de corriente de armadura, quedndonos

lo siguiente:

Fig.G.3 Primera simplificacin del modelo del servomotor en lazo abierto, con un lazo

interno de control en corriente.

Normalmente el valor del polo

, del lazo de retroalimentacin, es

mucho mayor que el polo

. Es decir, est ms alejado del origen del

plano complejo, o sea, es ms rpido; por lo que el trmino

puede aproximarse a bajas frecuencias por , quedando12.

Fig.G.4 Segunda simplificacin del modelo del servomotor en lazo abierto, solo con un

lazo interno de control en corriente.

Lazo PI en corriente

T

Ia

Tref w


KaKpI .s+KaKiI

s

s

KaKpI .s+KaKiI

Kc

Km

Ke

1

s

1

Jt.s+Bm

1

La .s+Ra

Lazo PI en corriente

T

Ia

w


TrefKaKpI .s+KaKiI

s

s

KiI

Kc

Km

Ke

1

s

1

Jt.s+Bm

1

La .s+Ra

APNDICE G

Pg. XLII

Resolviendo primero la parte del lazo interno de corriente y denominndolo como

tenemos:

Como los polos de normalmente estn ms alejados del origen

del plano complejo que el polo

, la funcin de transferencia anterior se

puede aproximar a bajas frecuencia como:

Quedndonos ahora los siguientes diagramas a bloques:

Fig.G.5 Tercera simplificacin del modelo del servomotor en lazo abierto, solo con un


Fig.G.6. Cuarta simplificacin del modelo del servomotor en lazo abierto, solo con un


TIaTref w

s

KiIKe

1

s

1

Jt .s+Bm

1

Kc

IaTref w

s

KiIKe

1

s

1

KcJt.s+KcBm

APNDICE G

Pg. XLIII

Resolviendo ahora el modelo hasta la salida en velocidad y denominando a la

funcin de transferencia como , nos queda:

Considerando que

es mucho menor que , el trmino

podemos aproximarlo a: .

La funcin de transferencia de la posicin angular, a la salida, entre el voltaje de

armadura, a la entrada, se obtiene multiplicando por , y nos queda de la

siguiente manera:

Finalmente tenemos un sistema de segundo orden, del cual podemos definir las

siguientes constantes:

Dichas constantes son claramente positivas, muy similares a las obtenidas

anteriormente en el modelo del servomotor sin realimentacin en corriente.

APNDICE G

Pg. XLIV

La funcin de transferencia del sistema en lazo abierto, con un lazo de control

interno en corriente se puede reducir al siguiente bloque:

Fig.G.7 Simplificacin final del modelo del servomotor en lazo abierto, solo con un lazo

interno de control en corriente.

Representando el modelo obtenido en ecuaciones diferenciales tenemos:

Se observa tambin que el sistema tiene dos polos, uno en el origen del plano

complejo y otro del lado izquierdo, por lo que es marginalmente estable debido al

polo que se encuentra en el origen.

Tref b

s(s + a )

apéndice g

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